高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案

抛物线专题复习
焦 点弦 长 AB
12()x x p ++
12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++
焦点弦
AB 的几条性质
11(,)
A x y 22(,)
B x y
以AB 为直径的圆必与准线l 相切
若AB 的倾斜角为α，则22sin p AB α=
若AB 的倾斜角为α，则22cos p
AB α
= 2
124
p x x = 212y y p =-
112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p
++===•• 切线 方程
00()y y p x x =+ 00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+
一．直线与抛物线的位置关系 直线
，抛物线
，
，消y 得：
（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，
Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 二．关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线，)0( p
联立方程法：
⎩⎨⎧=+=px
y b
kx y 22
⇒0)(2222=+-+b x p kb x k o
x ()22,B x y
F
y ()11,A x y
设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出
b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 相交弦AB 的弦长
2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a
k ∆+=2
1 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+
=a
k ∆+=2
1 抛物线练习
1、已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值
时，点P 的坐标为 2、已知点P 是抛物线2
2y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为
3、直线3y x =-与抛物线2
4y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，则梯形APQB 的面积为
4、设O 是坐标原点，F 是抛物线2
2(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为
60，则OA 为
5、抛物线2
4y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F x 轴上方的部分相交于点A ，
AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是
6、已知抛物线2
:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK =，则AFK
∆的面积为
7、已知双曲线22
145
x y -=，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为 8、在平面直角坐标系xoy 中，有一定点(2,1)A ,若线段OA 的垂直平分线过抛物线2
2(0)y px p =>则该抛物线的方程是 。

9、在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是
10、抛物线2
y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是
11、已知抛物线y 2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 12、已知点11(,)A x y ,22(,)B x y 12(0)x x ≠是抛物线2
2(0)y px p =>上的两个动点,O 是坐标原点,向量
OA ,OB 满足OA OB OA OB +=-.设圆C 的方程为221212()()0x y x x x y y y +-+-+=。

(1) 证明线段AB 是圆C 的直径;
(2)当圆C 的圆心到直线
x-2y=0p 的值。

解： (1)证明:
22,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-，
2
2
2
2
22OA OA OB OB OA OA OB OB +⋅+=-⋅+，
整理得: 0OA OB ⋅=，12120x x y y ∴⋅+⋅=……(1) 以线段AB 为直径的圆的方程为
2222121212121
()()[()()]224
x x y y x y x x y y ++-
+-=-+-， 展开并将(1)代入得:22
1212()()0x y x x x y y y +-+-+=，
故线段AB 是圆C 的直径
(2)解: 设圆C 的圆心为C(x,y),则12122
2
x x x y y y +⎧
=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩
圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则12
12|
()|x x y y d +-+=22
1
1222,2(0)y px y px p ==>，22
12122
4y y x x p
∴=，又因12120x x y y ⋅+⋅=，1212x x y y ∴⋅=-⋅， 22
12122
4y y y y p ∴-⋅=，
12120,0x x y y ⋅≠∴
⋅≠，21
24y y p ∴⋅=-，
2212122221
|
()()|
y y y y
d +-+∴==22
=
， 当122
y y p +=
时,d 5=
，2p ∴=. 13、已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线2
2y x =上，其中O 为坐标原点，设圆C 是OAB 的内接圆（点
C 为圆心）
（1）求圆C 的方程；
（2）设圆M 的方程为2
2
(47cos )(7cos )1x y θθ--+-=，过圆M 上任意一点P 分别作圆C 的两条切线
PE PF ，，切点为E F ，，求CE CF ，
的最大值和最小值． （1）解：设A B ，两点坐标分别为11()x y ，，22()x y ，，由题设知
22221122x y x y +=+．又因为2112y x =，2
222y x =，可得22112222x x x x +=+．即
1212()(2)0x x x x -++=．由10x >，20x >，可知12x x =，故A B ，两点关于x 轴对称，所以圆心C 在x 轴
上．设C 点的坐标为(0)r ，，则A
点坐标为32r ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，于是有2
3222r r ⎛⎫=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，解得4r =，所以圆C 的方程为22
(4)16x y -+=．
（2）解：设2ECF a ∠=，则2
||||cos 216cos 232cos 16CE CF CE CF ααα===-．
在Rt PCE △中，4
cos ||||
x PC PC α=
=，由圆的几何性质得 ||||17PC MC +=≤18+=，||||1716PC MC -=-=≥，
所以
12cos 23α≤≤，由此可得1689CE CF --≤≤．则CE CF 的最大值为16
9
-，最小值为8-． 14、如图，已知点(10)F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点， 过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ =． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ，已知1MA AF λ=，1-2MB BF λ=，求12λλ+的值；
解：（1）设点()P x y ，，则(1)Q y -，，由QP QF FP FQ =得：
(10)(2)(1)(2)x y x y y +-=--，，，，，化简得2:4C y x =．
（2）设直线AB 的方程为1(0)x my m =+≠．
设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ⎛
⎫-- ⎪⎝⎭
，
， 联立方程组2
41y x x my ⎧=⎨
=+⎩，
，
，消去x 得：
2440y my --=，2(4)120m ∆=-+>，故
1212
44y y m y y +=⎧⎨
=-⎩，
．
由1MA AF λ=，2MB BF λ=得：
1112y y m λ+
=-，2222
y y m
λ+=-，整理得： 1121my λ=--，2221my λ=--，12
122112m y y λλ⎛⎫∴+=--+ ⎪⎝⎭121222y y m y y +=--2424
m
m =---0=．。