2022-2023学年浙江省嘉兴市第一中学高一数学第一学期期末考试模拟试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1．若函数()1f x ax =+在区间(1,1)-上存在零点，则实数a 的取值范围是 A.(1,)+∞ B.(,1)-∞C.(,1)(1,)-∞-+∞ D.(1,1)-2．已知函数2()sin()2cos 2264f x x x πππ=+--，则()f x 在3[0,]2上的最大值与最小值之和为（ ） A.92-B.72-C.0D.112-3．若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()2xf xg x -=，则有（）A.(2)(3)(0)f f g <<B.(0)(3)(2)g f f <<C.(2)(0)(3)f g f <<D.(0)(2)(3)g f f <<4．已知函数()()2122x x f x g x x ⎧->⎪=⎨≤⎪⎩，，，在R 上是单调函数，则()g x 的解析式可能为（ ）A.21x +B.()ln 3x -C.21x -D.12x⎛⎫ ⎪⎝⎭5．已知函数3()log 3f x x x =+，()33x g x x =+，3()3h x x x =+的零点分别1x ，2x ，3x ，则1x ，2x ，3x 的大小关系为（ ） A.231x x x << B.123x x x << C.213x x x <<D.321x x x <<6．在平行四边形ABCD 中，E 是CD 中点，F 是BE 中点，若AE +BF =m AB +n AD ，则（ ）A.12m =-，34n = B.14m =，32n = C.12m =-，32n =D.14m =，34n =7．已知函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的图象与直线y k =有三个不同的交点，则k 的取值范围是（ ）A.()4,3--B.[)4,3--C.[]4,3--D.(]4,3--8．已知00ab bc ＜，＜，则直线0ax by c 通过( ) 象限A.第一、二、三B.第一、二、四C.第一、三、四D.第二、三、四9．设命题2:,0p x R x ∀∈>，则p ⌝为（） A.2,0x R x ∀∈≤ B.2,0x R x ∀∈> C.2,0x R x ∃∈>D.2,0x R x ∃∈≤10．设函数1222,2()1130,2x x f x x x x +⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数a ，b ，c ，d 满足()()()()f a f b f c f d ===，则2222a b c d +++的取值范围是A.(6422,146)B.(98,146)C.(6422,266)D.(98,266)二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11．已知扇形的周长是2022cm ，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是___________.12．在某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各个选项中，一定符合上述指标的是__________(填写序号)①平均数3x ≤；②标准差2S ≤；③平均数3x ≤且极差小于或等于2； ④平均数3x ≤且标准差2S ≤；⑤众数等于1且极差小于或等于413．在平面直角坐标系中，已知点A 在单位圆上且位于第三象限，点A 的纵坐标为23-，现将点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为2π，则点B 的坐标为___________. 14．已知函数()214f x x mx =++，()lng x x =.（1）若函数()()g f x 的值域为R ，求实数m 的取值范围；（2）若函数()h x 是函数()g x 的反函数，当01x ≤≤时，函数()()f h x 的最小值为54，求实数m 的值； （3）用{}max ,m n 表示m ，n 中的最大值，设函数()()(){}max ,G x f x g x =，()0x >有2个零点，求实数m 的范围.15．若函数2()21f x ax x =+-在区间(),6-∞上单调递增，则实数a 的取值范围是__________.三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．已知函数()4cos sin 6f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）求2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值 （2）求函数()f x 的最小正周期及其图像的对称轴方程（3）对于任意[]0,x m ∈，均有()()0f x f ≥成立，求实数m 的取值范围 17．已知函数()32log f x a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭. （1）当1a =时，解关于x 的不等式()0f x <；（2）请判断函数()()()3log 1g x f x ax a =-+-是否可能有两个零点，并说明理由；（3）设0a <，若对任意的1,14t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求实数a 的取值范围.18．已知集合{}2A x a x a =<<，{}2120B x x x =+-≥ （1）当2a =时，求()RA B ⋃；（2）若RA B ⊆，求a 的取值范围19．求值：（1）2log 30.255218log 102log 5--（2）已知1tan 3α=-，求sin()2sin 2sin cos(3)παααπα++-+的值 20．已知角θ终边经过点()43P ,-，求22cos sin 122sin 4θθπθ--⎛⎫+ ⎪⎝⎭21．如图，动物园要建造一面靠墙的两间相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是60m()1用宽x （单位m ）表示所建造的每间熊猫居室的面积y （单位2m）；()2怎么设计才能使所建造的每间熊猫居室面积最大？并求出每间熊猫居室的最大面积？参考答案一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1、C【解析】由函数的零点的判定定理可得f （﹣1）f （1）＜0，解不等式求得实数a 的取值范围【详解】由题0a ≠ ，函数f （x ）＝ax +1单调，又在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则f （﹣1）f （1）＜0，即 （1﹣a ）（1+a ）＜0，解得a ＜﹣1或a ＞1 故选C【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题 2、D【解析】首先利用两角和与差的正弦公式将函数化简为()sin()326f x x ππ=--，当3[0,]2x ∈时，7[,]26612x ππππ-∈-，由正弦型函数的单调性即可求出最值.【详解】21cos312()sin()2cos 2=sin +cos 222642222231sin cos 3sin()3222226x f x x x x x x x x ππππππππππ+=+---⨯-=--=--当3[0,]2x ∈时，7[,]26612x ππππ-∈-，max 7()(0)sin()362f x f π==--=-min 4()()sin()3232f x f π==-=-所以最大值与最小值之和为：112-. 故选：D【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式，正弦型函数的单调性与最值，属于基础题. 3、D【解析】函数()(),f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数,()()()(),f x f x g x g x ∴-=--=，由()()2xf xg x -=，得()()2xf xg x ----=，()()2x f x g x -∴--=， ()()2x f x g x -∴+=-，解方程组得()()2222,22x x x xf xg x -----==， 代入计算()()()2,3,0f f g 比较大小可得()()()023g f f <<. 考点：函数奇偶性及函数求解析式 4、C【解析】根据条件可知当2x >时，()f x 为增函数，在()g x 在(]2-∞，为增函数，且()23g ≤，结合各选项进行分析判断即可【详解】当2x >时，()f x 为增函数，则()g x 在(]2-∞，上为增函数，且()22213g ≤-=， A .()21x g x =+在(]2-∞，上为增函数，()253g =>，故不符合条件；B .()()ln 3g x x =-为减函数，故不符合条件；C .()g x 在(]2-∞，上为增函数，()23g =，故符合条件； D .12xg x 为减函数，故不符合条件．故选：C ． 5、A 【解析】判断出三个函数的单调性，可求出113x =，30x =，并判断20x <，进而可得到答案 【详解】因为3()log 3f x x x =+在()0,∞+上递增，当13x =时，311log 1033f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以113x =；因为()33x g x x =+在(),-∞+∞上递增，当0x ≥时，()3310x g x x =+≥>恒成立，故()g x 的零点小于0，即20x <； 因为3()3h x x x =+在(),-∞+∞上递增，当0x =时，(0)0h =，故30x =， 故231x x x <<． 故选：A ． 6、B【解析】通过向量之间的关系将,AE BF 转化到平行四边形边,AB AD 上即可 【详解】由题意可得1122AE AC CE AC CD AC AB =+=+=+, 同理：12BF AF AB AE AB =-=-, 所以331224AE BF AE AB AC AB +=-=+所以13,42m n ==，故选B.【点睛】本题考查向量的线性运算，重点利用向量的加减进行转化，同时，利用向量平行进行代换 7、D【解析】作出函数()f x 的图象，结合图象即可求出k 的取值范围.【详解】作函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩和y k =的图象，如图所示，可知k 的取值范围是43k -<≤-，故选D ． 8、A【解析】根据00ab bc ＜，＜判断a 、b 、c 的正负号，即可判断直线0ax by c 通过的象限【详解】因为00ab bc ＜，＜，所以0ac >， ①若0a >则0c >，0b ＜，直线0ax by c 通过第一、二、三象限 ②若0a <则0c <，0b >，直线0ax by c 通过第一、二、三象限【点睛】本题考查直线，作为选择题 9、D【解析】根据全称量词否定的定义可直接得到结果.【详解】根据全称量词否定的定义可知：p ⌝为：x R ∃∈，使得20x ≤. 故选：D .【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题. 10、B【解析】不妨设a b c d <<<，由112222a b ++-=-，得222a b +=，结合图象可知，()11,4,5c d c +=∈，则11112222222c d c ccc -+=+=+，令()()1121632g t t t t=+<<，可知()g t 在()16,32上单调递减，故()2296,144c d +∈，则()222298,146a b c d +++∈，故选B.【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、指数与对数的运算以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上） 11、2【解析】设扇形的弧长为l ，半径为r ，则22022l r +=，将面积最值转化为一元二次函数的最值； 【详解】设扇形的弧长为l ，半径为r ，则22022l r +=，∴11(20222)(1011)22S l r r r r r =⋅=⋅-⋅=--， ∴当1011,10112r l ==时，扇形面积最大时，此时||2lrα==， 故答案为：2 12、③⑤【解析】按照平均数、极差、方差依次分析各序号即可.【详解】连续7天新增病例数：0，0，0，0，2，6，6，平均数是2<3，①错； 连续7天新增病例数：6，6，6，6，6，6，6，标准差是0<2，②错； 平均数3x ≤且极差小于或等于2，单日最多增加4人，若有一日增加5人， 其他天最少增加3人，不满足平均数3x ≤，所以单日最多增加4人，③对； 连续7天新增病例数：0，3，3，3，3，3，6，平均数是3且标准差小于2，④错； 众数等于1且极差小于或等于4，最大数不会超过5，⑤对. 故答案为：③⑤.13、33⎛- ⎝⎭【解析】设点A 是角α终边与单位圆的交点，根据三角函数的定义及平方关系求出sin α，cos α，再利用诱导公式求出cos 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭，sin 2πα⎛⎫+⎪⎝⎭即可得出答案. 【详解】解：设点A 是角α的终边与单位圆的交点，因为点A 在单位圆上且位于第三象限，点A 的纵坐标为3-，所以2sin 3α=-，27cos 1sin 3αα=--=-， 因为点A 沿单位圆逆时针运动到点B ，所经过的弧长为2π， 所以212AOB ππ∠==，所以点B 的横坐标为2cos sin 23παα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭， 纵坐标为7sin cos 23παα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭， 即点B 的坐标为27,33⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故答案为：27,33⎛⎫-⎪⎝⎭.14、（1）(][),11,-∞-⋃+∞ （2）0m = （3）1m <-【解析】( 1 )函数()()g f x 的值域为R,可得210m ∆=-≥,求解即可; ( 2)设[]21,1,,,4xe t t e y t mt =∈=++分类论可得m 的值; (3)对m 分类讨论可得结论. 【小问1详解】()()21ln 4g f x x mx ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭值域为R ,21(0,)4x mx ∴++∈+∞∴(][)210,11,m m ∆=-≥⇒∈-∞-⋃+∞【小问2详解】()xh x e =，()()()()214x x f h x em e =++. 设x e t =，[]1,t e ∈，214y t mt =++①若12m -≤即2m ≥-时，min 15144y m =++=，0m = ②若12m e <-<，即22e m -<<-时，2min 1544m y -==，舍去③若2m e -≥即2m e ≤-时，2min 1544y e me =++=，无解，舍去 综上所示：0m = 【小问3详解】①显然，当1m >-时，()f x 在()0,∞+无零点，舍去 ②当1m =-时，()102f x x =⇒=，舍去 ③1m <-时，()0f x =解分别为1x ，2x ， 只需控制1x ，2x 不要均大于等于1即可 Ⅰ：11x =，2514x m >⇒=-，214x =，舍去Ⅱ：11x >，21x >⇒无解， 综上：1m <-15、1,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】按a 值对函数()f x 进行分类讨论，再结合函数()f x 的性质求解作答.【详解】当0a =时，函数()21f x x =-在R 上单调递增，即()f x 在(),6-∞上递增，则0a =， 当0a ≠时，函数()f x 是二次函数，又()f x 在(),6-∞上单调递增，由二次函数性质知，0a <，则有160a a ⎧-≥⎪⎨⎪<⎩，解得106a -≤<， 所以实数a 的取值范围是1,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16、（1）0； （2）π；,62k x k Z ππ=+∈ （3）0,3m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】(1)由三角函数的和差公式，倍角公式，辅助角公式化简原式，带入求值即可.(2)由化简后的表达式代入公式即可求的.(3)恒成立问题，第一步求出函数的单调区间，结合函数性质即可解得.【小问1详解】化简如下：()24cos sin 4cos sin cos cos sin sin 2cos 666f x x x x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2()sin 2cos 21cos 22sin(2)16f x x x x x x x π=+=++=++ 2sin()1026f πππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭. 【小问2详解】由（1）可知()2sin(2)16f x x π=++，周期222T πππω===，对称轴2,,6262k x k x k Z πππππ+=+=+∈. 【小问3详解】 ()02f =，所以任意[]0,x m ∈，均有()2f x ≥，解出函数的单调性增区间，222,26236k x k k x k πππππππππ-+≤+≤+-+≤≤+，k Z ∈所以在0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦递增，()2f x ≥成立，2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦递减，由对称性可知23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以max 3m π=，所以0,3m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦17、（1）()1,2（2）不可能，理由见解析（3）8,5⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】（1）结合对数函数的定义域，解对数不等式求得不等式()0f x <的解集.（2）由()0g x =，求得12x =-，21x a=，但推出矛盾，由此判断()g x 没有两个零点. （3）根据函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1列不等式，结合分离常数法来求得a 的取值范围.【小问1详解】当1a =时，不等式()0f x <可化为32log 10⎛⎫-< ⎪⎝⎭x ， 有2011<-<x ，有20,10,x x x x-⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩ 解得12x <<，故不等式，()0f x <的解集为()1,2.【小问2详解】令()0g x =，有()332log log 1a ax a x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭， 有210a ax a x -=+->，()22122210,0ax a x a ax x x---+--+==， ()22120ax a x x+--=，()()210x ax x +-=， 则()()20210a x x ax x ⎧->⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩， 若函数()g x 有两个零点，记()1212,x x x x ≠，必有12x =-，21x a=，且有20 220a a a ⎧->⎪-⎨⎪->⎩，此不等式组无解，故函数()g x 不可能有两个零点.【小问3详解】当0a <，1,14t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1t x t ≤≤+时，20->a x，函数()f x 单调递减， 有()()3max 2log f x f t a t ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()()3min 21log 1f x f t a t ⎛⎫=+=- ⎪+⎝⎭有3322log log 11⎛⎫⎛⎫---≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭a a t t ， 有3322log log 31⎡⎤⎛⎫⎛⎫-≤- ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦a a t t 有2231⎛⎫-≤- ⎪+⎝⎭a a t t ，整理为311≤-+a t t ， 由311≤-+a t t 对任意的1,14t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，必有31,231,11144a a ⎧≤-⎪⎪⎨≤-⎪+⎪⎩解得85≤-a ， 又由()()()254131801551t t t t t t +-⎛⎫---=≥ ⎪++⎝⎭，可得31815-≥-+t t ， 由上知实数a 的取值范围为8,5⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 18、（1）(){}44R A B x x ⋃=-<<（2）3,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】（1）解一元二次不等式求得集合B ，由补集和并集的定义可运算求得结果；（2）分别在A =∅和A ≠∅两种情况下，根据交集为空集可构造不等式求得结果.【小问1详解】由题意得{}24A x x =<<，{4B x x =≤-或}3x ≥，{}43R B x x =-<<，(){}44R A B x x ⋃=-<<.【小问2详解】R A B ⊆，当0a ≤时，A =∅，符合题意，当0a >时，由23a ≤，得302a <≤， 故a 的取值范围为3,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦19、（1）0；（2）12【解析】（1）由指数幂的运算性质及对数的运算性质可求解；（2）由诱导公式即同角三角函数关系可求解.【详解】（1）原式314455522log 10log 232log 532130=⨯+--=+-=+-=； （2）原式21cos 2sin 12tan 131sin cos tan 1213αααααα-++====++-. 20、7【解析】要求值的三角函数式可化简为1tan 1tan θθ+-，再利用任意角三角函数的定义求出tan θ，代入即得所求 【详解】因为角θ终边经过点()43P ,-，则3tan 4θ=-又22cos sin 1cos sin 142tan 4444πθθθθθππππθθθθ⎛⎫+-- ⎪-⎝⎭===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 311tan 4731tan 14θθ+-===+- 21、（1）()2330,0202y x x x =-+<<（2）使每间熊猫居室的宽为10m ，每间居室的长为15m 时所建造的每间熊猫居室面积最大；每间熊猫居室的最大面积为1502m【解析】（1）根据周长求出居室的长，再根据矩形面积公式得函数关系式，最后根据实际意义确定定义域（2）根据对称轴与定义区间位置关系确定最值取法：在对称轴处取最大值试题解析：解：（1）设熊猫居室的宽为x （单位m ），由于可供建造围墙的材料总长是60m ，则每间熊猫居室的长为()36032302x x -÷=-（单位m ） 所以每间熊猫居室的面积3302y x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 又06030x x >⎧⎨->⎩得020x << ()2330,0202y x x x ∴=-+<< （2）()2233301015022y x x x ∴=-+=--+ 二次函数图象开口向下，对称轴10x =且()0,20x ∈，当10x =时，max 150y =，所以使每间熊猫居室的宽为10m ，每间居室的长为15m 时所建造的每间熊猫居室面积最大；每间熊猫居室的最大面积为1502m点睛：在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题。