甘肃省兰州一中2013届高三12月月考数学(理)试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设a R ∈，且2()a i i +为正实数，则a =.A 2 .B 1 .C 0 .1D -2.已知随机变量ξ服从正态分布N σ2（1，）,ξ≤P(4)=0.79，则-ξ≤≤P(21)= A .0.21 B . 0.58 C . 0.42 D . 0.293.下列说法正确的是.A 有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱， .B 四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形，.C 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台，.D 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥.4.51()(2)ax x x x+-展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为 A .40- B .20- C .20 D .405.若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23x y z +=的最小值为.A 0 .B 1 .C .D 96. 函数ln x x y x=的图像可能是7.已知函数()sin cos f x a x b x =+，（,a b 为常数，0,a x R ≠∈）在4x π=处取得最小值，C M NOB A则函数3()4y f x π=- .A 是偶函数，且它的图像关于(,0)π对称 .B 是偶函数，且它的图像关于3(,0)2π对称 .C 是奇函数，且它的图像关于3(,0)2π对称 .D 是奇函数，且它的图像关于(,0)π对称 8．在数列{}n a 中，若对任意的n 均有12n n n a a a ++++为定值（*n N ∈）， 且79982,3,4a a a ===，则数列{}n a 的前100项的和100S = A ．132B ．299C ．68D ．999．设f(x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,()()()()0f x g x f x g x ''+> 且g(3)=0.则不等式()()0f x g x <的解集是A ．（－3,0)∪(3,+∞)B ．(－3,0)∪(0, 3)C ．(－∞,- 3)∪(3,+∞)D ．(－∞,－ 3)∪(0, 3)10.如图所示，两个不共线向量OA ,OB的夹角为θ，,M N 分别为OA 与OB 的中点，点C 在直线MN 上，且(,)OC xOA yOB x y R =+∈ ，则22x y +的最小值为.A .B 18 .C 2 .D 1211.设()f x 是定义在R 上的增函数，且对任意x ，都有()()0f x f x -+=恒成立，如果实数,m n 满足不等式22(621)(8)0f m m f n n -++-<，那么22m n +的取值范围是.A （9，49） .B （13，49） .C （9，25） .D （3，7）12.对于定义在D 上的函数()f x ，若存在距离为d 的两条直线1y kx m =+和2y kx m =+，使得对任意x D ∈都有12()kx m f x kx m +≤≤+恒成立，则称函数()()f x x D ∈有一个宽度为d 的通道.给出下列函数：①1()f x x=，②()sin f x x =，③()f x =，其中在区间[1,)+∞上通道宽度可以为1的函数有：.A ①② .B ①③ .C ① .D ③第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.从如图所示的长方形区域内任取一个点(,)M x y ，则点M 取自阴影部分的概率为______.14．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为_______________.15.等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表中的同一列，则数列{}n a 的通项公式n a =______________.16.已知函数22()f x x x =+，1()2xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.若1[1,2]x ∀∈,2[1,1]x ∃∈-使12()()f x g x ≥,则实数m 的取值范围是________________.选择、填空题答案：1—5：DDBDB 6—10：BDBDB, 11—12：AB13.13; 14. ;15. 123n -⨯;16. 5[,)2-+∞三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．如图，A,B 是海面上位于东西方向相距5(33)+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45 ，B 点北偏西60 的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60 且与B 点相距C 点救援船立即前往营救，其航行速度为 30海里/小时,该救援船到达D 点需要多长时间？ 解：DB18.已知函数23(),3x f x x +=数列{}n a 满足*1111,(),n na a f n N a +==∈， （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令12233445221,n n n T a a a a a a a a a a +=-+-+- 求n T ； （3）若2n mT ≤对*n N ∈恒成立，求m 的最小值. 解：(1)因为2321()33x f x x x +==+，又112()3n n n a f a a +==+，即{}n a 是以1为首项，以23为公差的等差数列，所以2133n a n =+. （2）12233445221n n n T a a a a a a a a a a +=-+-+-21343522121()()()n n n a a a a a a a a a -+=-+-++- 2424()3n a a a =-+++ 24(23)9n n =-+ （3）由*n N ∈，{}n T 递减，所以1n =，n T 取最大值209-，由2n mT ≤时，*n N ∈恒成立，所以，max 40(2),9n m T ≥=-所以，min 409m =-. 19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为的菱形，120BAD∠= 且PA ABCD ⊥面，PA =，,M N 分别为,PB PD 的中点.(1)证明://MN ABCD 面(2)过点A 作AQ PC ⊥,垂足为点Q ,求二面角A MN Q --的余弦值. 19.20.现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （1）求这4个人中恰好有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件i A ，(0,1,2,3,4)i =，则4412()()()33i i ii P A C -=.（1）这4个人中恰好有2人去参加甲游戏的概率22224128()()()3327P A C ==（2）设“这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，34B A A =⋃，故，334434441211()()()()()()3339P B P A P A C C =+=+=. 所以，这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.（3）ξ的所有可能取值为0,2,4.28(0)()27P P A ξ===，1340(2)()(),81P P A P A ξ==+=0417(4)()(),81P P A P A ξ==+= 所以，ξ的分布列是14881E ξ=. 21.已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-， （1）讨论()f x 的单调性， （2）设0a >，证明：当10x a <<时，11()()f x f x a a+>-， （3）若函数()y f x =的图像与x 轴交于,A B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：0'()0f x <解：(1) f (x)的定义域为(0,+∞)1(21)(1)()2(2)x ax f x ax a x x+-'=-+-=-(ⅰ) 若0a ≤时, ()0f x '>,所以f (x)在(0,+∞)内单调递增(ⅱ) 若0a >时, 由()0f x '= 得 1x a =, 且1(0,)x a∈内单调递增 1(,)x a∈+∞时f (x)单调递减(2) 设11()()()g x f x f x a a =+--()ln(1)ln(1)2g x ax ax ax ∴=+---32222()2111a a a x g x a ax ax a x -'=--=+--当10x a<<时，()0g x '>，而(0)0g = ∴()0g x >即10x a <<时 11()()f x f x a a+>- (3) 由(1)可得，当0a ≤，f (x)单调递增，所以f (x)与x 轴至多有一个交点，不合题意. 故a >0,从而max 1()()f x f a =, 且1()0f a>不妨设1212(,0),(,0),0A x B x x x <<，则1210x x a<<< 由(2)知1111221111()()()()0()f x f x f x f x f x aa a a a -=+->-+=== 即12210021()02x x x x x f x a a+'>-∴=>∴<22．选考题（本小题10分）请从下列三道题当中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，请在答题卷上注明题号。

22—1.设函数()2123f x x x =-+-（1）解不等式()51f x x ≤+, （2）若()g x =R ,求实数m 的取值范围.解：(1)原不等式等价于：1133222293155x x x x x x ⎧⎧⎧<≤≤>⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪⎪≥≤≥-⎩⎩⎩或或 因此不等式的解集为13x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭(2)由于()g x =R∴()0f x m +=在R 上无解又()|21||23||2123|2f x x x x x =-+-≥--+= 即min ()2f x = ∴-m <2, 即m >-222—2.如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的角平分线，ACD ∆的外接圆交BC 于E ，2AB AC =，（1）求证：2BE AD =（2）当1,2AC BC ==时，求AD 的长.证明：(1)连接DE ，∵ACDE 为圆的内接四边形. ∴∠BDE=∠BCA 又∠DBE=∠CBA ∴△BDE ∽△BCA 即BE DEBA CA=而 AB=2AC ∴BE=2DE又CD 是∠ACB 的平分线 ∴AD=DE 从而BE=2AD.第- 11 -页 共11页。