福建省厦门第一中学2021届高三12月月考数学试题
福建省厦门第一中学2023-2024学年高二上学期12月月考英语试题
第一节(共15小题;每小题2.5分，满分37.5分)
阅读下列短文，从每题所给的A、B、C和D四个选项中，选出最佳答案。
A
HANDSTITCHED WORLDS: THE CARTOGRAPHY OF QUILTS
Quilts(床罩) are a narrative art; with themes that are political, spiritual, munal, or memorative, they are infused with history and memory, mapping out intimate stories and legacies through a handcrafted language of design. Handstitched Worlds: The Cartography of Quilts is an invitation to read quilts as maps, tracing the paths of individual histories that illuminate larger historic events and cultural trends.
Spanning the nineteenth to twentyfirst centuries, this insightful and engaging exhibition brings together 18 quilts from the collection of the American Folk Art Museum, New York, representing a range of materials, motifs, and techniques from traditional earlyAmerican quilts to more contemporary sculptural assemblages. The quilts in Handstitched Worlds show us how this toooften overlooked medium balances creativity with tradition, individuality with collective zeitgeist. Like a road map, these unique works offer a path to a deeper understanding of the American cultural fabric.
福建省福州第一中学2025届高三上学期10月月考数学试题
福建省福州第一中学2025届高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．若直线:10l x my ++=的倾斜角为2π3，则实数m 值为（ ）AB ．CD ．2．某市政府调查市民收入与旅游欲望时，采用独立性检验法抽取3 000人，计算发现k2＝6．023，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游欲望有关系的把握是( )A ．90%B ．95%C ．97．5%D ．99．5%3．在四棱锥S ABCD -中，若SA xSB ySC zSD =++u u r u u r u u u r u u u r，则实数组(),,x y z 可能为（ ）A ．()1,1,1-B ．()1,0,1-C ．()1,1,0-D ．()1,1,1--4．n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1236a a a ++=，7916+=a a ，则9S =（ ） A ．43B ．44C ．45D ．465．已知函数()()()()2,f x a x a x b a b =--∈R ，则“0b a >>”是“b 为()f x 的极小值点”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ）A ．47CB ．48CC ．49C D ．49A7．已知函数()f x 在R 上可导，且()()f x f x '<，若()()1e 1af f a ->成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞B ．()1,eC ．()1,+∞D ．()e,+∞8．已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点，A 是C 的右顶点，点P 在过点F 且斜率为22π3OAP ∠=且线段OP 的垂直平分线经过点A ，则C 的离心率为（ ）AB 1C D二、多选题9．为了解推动出口后的亩收入情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（ ）（参考：若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，()0.8413P Z μσ<+≈）A ．(2)0.5P X >>B ．( 1.9)0.2P X ><C ．(2)0.5P Y >>D ．(2)0.8P Y ><10．已知抛物线22x py =（0p >）的焦点为F ，过点Fl 与该抛物线相交于()11,M x y ，()22,N x y 两点（其中1>0x ），则下面说法正确的是（ ）A ．若2p =，则124x x =-B ．若121y y =，则2p =C ．若2p =，则OMN S =V D ．若2p =，则8MF =+11．设函数32()231f x x ax =-+，则（ ）A ．当1a >时，()f x 有三个零点B ．当a<0时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心三、填空题12．在二项式7x ⎛- ⎝的展开式中x 的系数为．13．已知函数32(),()f x x x g x x a =-=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线也是曲线()y g x =的切线．则a 的值是14．舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处的铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动．当点D 在滑槽AB 内做往复移动时，带动点N 绕O 转动，点M 也随之而运动．若1ON DN ==，3MN =，4AB =，则 MA 的最小值为．四、解答题15．已知各项均为正数的等差数列{}n a 前n 项和为n S ，248a a ⋅=，515S =； (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设12n n b -=，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .16．已知四棱锥,,P ABCD E F -为,AC PB 的中点，PA ⊥平面ABCD ，BC PC ⊥.(1)若AD DC =，证明：DE ∥平面PBC ；(2)若2AC BC ==，二面角A FC B --的大小为120︒，求PA .17．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长､短半轴长的乘积.已知椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 均在x 轴上，离心率等于45，面积为15π.(1)求C 的标准方程；(2)若()0,1Q ，过点()0,5P 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，求QAB V 面积的最大值.18．放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数i x 与该机场飞往A地航班放行准点率i y （1210i =L ，，，）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.其中()ln 2012i i t x =-，1110i i t t ==∑(1)根据散点图判断，y bx a =+与()ln 2012y c x d =-+哪一个适宜作为该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于年份数x 的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A 地的航班放行准点率. (2)已知2023年该机场飞往A 地､B 地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A 地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B 地及其他地区（不包含A 、B 两地）航班放行准点率的估计值分别为80%和75%，试解决以下问题：（i ）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； （ii ）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A 地、B 地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由.附：（1）对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()1122211ˆn niii ii i nniii i u u v v u v nu vu u unu β====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆv u αβ=- 参考数据：ln10 2.30≈，ln11 2.40≈，ln12 2.48≈.19．已知函数()e cos xf x ax x =--，且()f x 在[)0,∞+上的最小值为0.(1)求实数a 的取值范围；(2)设函数()y x ϕ=在区间D 上的导函数为()y x ϕ'=，若()()1x x x ϕϕ'⋅>对任意实数x D ∈恒成立，则称函数()y x ϕ=在区间D 上具有性质S . （i ）求证：函数()f x 在 0,+∞ 上具有性质S ；（ii ）记()()()()112...ni p i p p p n ==∏，其中*N n ∈，求证：()111sin 1ni i i n n =>+∏.。
福建省厦门第一中学2021—2022学年高三上学期12月考试数学试题+PDF版含答案
这 3 所大学 A ， B ， C 招生考试的概率分别为 x ， y ， 1 ，该同学能否通过这 3 所大学的招生考 2
A． 3 5
B． 4 3
C． 8 3
D．3
7．设 n 是偶数， n N ，i 为虚数单位， a,b 分别表示 ( x + )i 2n+1 的展开式中系数大于 0 与小于 0
的项的个数，那么
A． a = b
B． a = b +1
C． a = b −1
D． a = b + 2
8．函数
f
(x)
=
log2 x − 2x,
A． f (x) 的图像关于 y 轴对称
B． f (x) 的最小正周期为
C． f (x) 在区间 (0, ) 上单调递增 4
D． f (x) 的图像关于点 (3 ， 0) 对称 4
11．如图，正方形 ABCD 与正方形 DEFC 边长均为 1，平面 ABCD 与平面
DEFC 互相垂直， P 是 AE 上的一个动点，则
3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题 目要求的．
1．设U = R ，已知两个非空集合 P ， Q 满足 (CU P) Q = R 则
A． P Q =
B． P Q
C． Q P
D． P Q = R
2．设复数 z 满足 (1 + i)z = 2i ，其中 i 为虚数单位，则 z 的共轭复数 z =
福建省厦门双十中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试卷【含答案】
厦门双十中学2025届高二（下）第二次月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知圆22:10C x y mx +++=的面积为π，则m =（）A ．2±B ．±C ．±D ．8±2．若随机变量()2~3,2X N ，随机变量1(3)2Y X =-，则()1()1E Y D Y +=+（）A ．0B ．12C ．45D ．23．甲、乙两人要在一排6个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（）A ．6种B ．3种C ．20种D ．12种4．已知,m n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A ．若m α⊥、//n α，则m n ⊥B ．若m α⊥，//m n ，则n α⊥C ．若//m n ，n β⊥，m α⊥，则//αβD ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α5．设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()()()111,,432P A P B P A B ==⋃=，则()|P B A =（）A ．14B ．13C ．16D ．1126．已知n S 等差数列{}n a 的前n 项和，则“n n S na ≥”是“{}n a 是递减数列”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．若0.91ln1.1,,e a b c ===）A ．a b c<<B ．c b a<<C ．a c b<<D ．c a b<<8．如图，在ABC 中，120BAC ∠= ，其内切圆与AC 边相切于点D ，且1AD =.延长BA 至点E .使得BC BE =，连接CE .设以,C E 两点为焦点且经过点A 的椭圆的离心率为1e ，以,C E两点为焦点且经过点A 的双曲线的离心率为2e ，则12e e 的取值范围是（）A．∞⎫+⎪⎪⎣⎭B．∞⎫+⎪⎪⎝⎭C ．[)1,+∞D ．()1,∞+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．椭圆()2222:101x y C m m m +=>+的焦点为1F ，2F ，上顶点为A ，直线1AF 与C 的另一个交点为B ，若12π3F AF ∠=，则（）A ．C 的焦距为2B ．C的短轴长为C ．C 的离心率为32D ．2ABF △的周长为810．已知321()2313f x x x x =-++，则下列结论正确的是（）A ．()f x 有三个零点B ．()f x 有两个极值点C ．若方程()f x a =有三个实数根，则71,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．曲线()y f x =关于点71,3⎛⎫⎪⎝⎭对称11．已知数列{}n a 的通项公式为143n na =-，其前n 项和为n S ，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭与数列{}14nn n a a +的前n 项和分别为n R ，n T ，则（）A ．114n n a a +<B ．存在n ，使得13n T >C ．4339n S <D ．265n R n n≥-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．251(21)x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，含3x 的项的系数为．13．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项的和，若341a a +=，6247S S =，则12S =.14．如今中国在基建方面世界领先，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD 体积为，则模型中最大球的体积为，模型中九个球的表面积之和为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．正四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为6的正方形，高为4，点M ，N 分别在线段PC ，AB 上，且2AN NB =，4PC PM =，E 为PC 的中点．(1)求证：BE ∥平面DMN ；(2)求直线AC 与平面DMN 所成角的正弦值．16．全球新能源汽车产量呈上升趋势.以下为20202318-年全球新能源汽车的销售量情况统计.年份201820192020202120222023年份编号x 123456销售量y /百万辆2.022.213.136.7010.8014.14若y 与x 的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：(1)求变量y 与x 的样本相关系数r (结果精确到0.01)；(2)求y 关于x 的线性回归方程，并据此预测2024年全球新能源汽车的销售量.附：线性回归方程ˆˆˆybx a =+，其中()()()112211ˆˆˆ,n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb ay bx x x xnx ====--- ===---∑∑∑∑，样本相关系数()()nnii ii xx y y x ynx yr--- =∑∑参考数据：66211181.30,11.2i i i i i x y y ====≈≈∑∑.17．设函数()()24ln 42f x x ax a x =-+-，a ∈R(1)讨论()f x 的单调性．(2)若函数()f x 存在极值，对任意的120x x <<，存在正实数0x ，使得()()()()21021f x f x f x x x '-=-（ⅰ）证明不等式212121ln ln 2x x x x x x ->-+．（ⅱ）判断并证明122x x +与0x 的大小．18．已知抛物线2:2E y x =的焦点为F ，A ，B ，C 为E 上不重合的三点.(1)若0FA FB FC ++=，求FA FB FC ++ 的值；(2)过A ，B 两点分别作E 的切线1l ，2l ，1l 与2l 相交于点D ，过A ，B 两点分别作1l ，2l 的垂线3l ，4l ，3l 与4l 相交于点M .（i ）若AB 4=，求ABD △面积的最大值；（ii ）若直线AB 过点()1,0，求点M 的轨迹方程.19．设点集(){}{}23*1,,,,|0,1,1,n niM a a a a a i n i =∈≤≤∈N L ，从集合nM中任取两个不同的点()123,,,,n A a a a a ，()123,,,,n B b b b b ，定义A ，B 两点间的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑．(1)求3M 中(),2d A B =的点对的个数；(2)从集合n M 中任取两个不同的点A ，B ，用随机变量X 表示他们之间的距离(),d A B ，①求X 的分布列与期望；②证明：当n 足够大时，()24D X n <．（注：当n 足够大时，20n -≈）1．B【分析】由题意确定圆的半径，结合圆的面积公式建立方程，解之即可求解.【详解】因为圆22:10C x y mx +++=，即222124m m x y ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，所以22π(1)ππ4m S r ==-=，解得m =±故选：B.2．B【分析】利用正态分布的两个参数就是随机变量的期望和方差，再利用两个线性随机变量之间的期望和方差公式，即()()(),E Y E kX b kE X b =+=+()2()()D Y D kX b k D X =+=，就可以求出结果.【详解】由()2~3,2X N 可知：()3,()4E X D X ==，又因为1(3)2Y X =-，所以()131333()()0222222E Y E X E X =-=-=-=，()131()(1224D Y D X D X =-==，则()1011()1112E Y D Y ++==++，故选：B.3．A【分析】采用插空法，在4个空座中间的3个空中插入甲、乙两人的座位即可得答案.【详解】一排共有6个座位，现有两人就坐，故有4个空座.要求每人左右均有空座，即在4个空座的中间3个空中插入2个座位让两人就坐，即有23A 326=⨯=种坐法.故选：A.4．D【分析】对于A ，可过n 作平面β，使l βα⋂=，则//n l ，即可判断；对于B ，由线面垂直的性质即可判断；对于C ，由条件，可得m β⊥，又m α⊥，则//αβ，即可判断；对于D ，要考虑n 可能在平面α内，即可判断．【详解】对于A ，当//n α时，过n 作平面β，使l βα⋂=，则//n l ，因为m α⊥，l ⊂α，所以m l ⊥，所以m n ⊥，故A 正确；对于B ，当m α⊥，//m n ，由线面垂直的性质可得n α⊥，故B 正确；对于C ，因为//m n ，n β⊥，所以m β⊥，又m α⊥，所以//αβ，故C 正确；对于D ，当m α⊥，m n ⊥时，n 可能在平面α内，故D 错误．故选：D ．5．B【分析】根据概率的性质解得()112P AB =，结合()()()P B P AB P AB =+可得()14P AB =，代入条件概率公式分析求解.【详解】因为()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-，即()111243P AB =+-，解得()112P AB =，又因为()()()P B P AB P AB =+，即()11312P AB =+，解得()14P AB =，且()14P A =，可得()()314P A P A =-=，所以()()()114|334P AB P B A P A ===.故选：B.6．B【分析】正向举常数列反驳，反向利用等差数列求和公式和递减数列性质判断即可.【详解】当等差数列{}n a 为常数列时，此时n n S na =，满足前者，但是此时“{}n a 不是递减数列”，故充分性不成立；当{}n a 是递减数列，则对n *∀∈N ，1n n a a +<，()()1122n n n n n n a a n a a S na na +--=-=，当1n =时，0n n S na -=，当2n ≥时，1n a a >，0n n S na ->，所以对n *∀∈N ，n n S na ≥，则反推成立，故必要性成立，则“n n S na ≥”是“{}n a 是递减数列”的必要而不充分条件.故选：B.7．C【分析】初步判断三个数值都在0到1之间，常规方法不好处理，可考虑结合导数放缩来比较,a b 大小，设()()ln 1f x x x =--，()()e 1xg x x =-+，求出()f x '在()1,2的单调性，()g x '在()1,0-的单调性，可判断,a b 与0.1的大小；0.91,b c e ==断0.9e 大小，判断,b c ，进而得解.【详解】设()()ln 1f x x x =--，()11f x x'=-，当()1,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单减，故()()()1.1ln1.1 1.1110f f =--<=，即ln1.10.1<；设()()e 1x g x x =-+，()e 1xg x '=-，当()1,0x ∈-时，()0g x '<，所以()()0.90g g ->，即()()0.900e0.9101e ---+>-+=，即0.90.1e ->；1120.10.10.1c =>=，故a最小，0.91,b c e ==()100.99319683e <=，10510100000==，因为19683100000<，所以()10100.993e <<，所以0.9e<，0.91e >，所以b c a >>故选：C【点睛】本题考查由指对幂比大小，常规比大小步骤为：①结合指对幂函数单调性初步判断每个数值所在区间；②当两数值所在区间相同时，一般考虑引入中间量进一步比大小；③若常规方法不好处理时，常考虑构造函数法，结合导数放缩来进一步求解，此法难度较大，对学生基础能力要求较高，平常可积累一部分常见放缩公式，如1e 1ln x x x x x ≥+≥≥-≥等.8．D【分析】设内切圆与边,BC BE 分别相切于点,F G ，设CF CD EG x ===，可得223CE x =+，结合椭圆和双曲线的定义可得12134e e x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用余弦定理求得3x >，结合对勾函数的单调性分析求解.【详解】如图，设内切圆与边,BC BE 分别相切于点,F G ，由切线长定理和BCE 的对称性，可设CF CD EG x ===.由1AD =，可得1,1AC x AE EG AG x =+=-=-.在ACE △中，由余弦定理，()()2222(1)(1)211cos603CE x x x x x =++--+-=+ .于是根据椭圆和双曲线的定义，221222313224CE CE CE x e e x AC AE AC AE AC AE x x +⎛⎫=⋅===+ ⎪+--⋅⎝⎭.接下来确定x 的取值范围.设BF BG y ==，在ABC 中， 1.1,AC x AB y BC x y --=+=+，于是由余弦定理，()()222()(1)(1)211cos120x y x y x y +=+++-++，整理得()330xy x y -+-=，于是()3103x y x +=>-，故3x >，又因为3y x x =+在()3,∞+内单调递增，可知33341y x x =+>+=，可得121314e e x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以12e e 的取值范围是()1,∞+.故选：D.【点睛】方法点睛：1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法：求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a，c代换，求e的值；2．焦点三角形的作用：在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．9．ABD【分析】根据12π3F AF ∠=以及椭圆的对称性可得222221b ma m==+⎝⎭，进而可求解2,1a b c===，即可根据选项逐一求解.【详解】由于12π3F AF∠=，所以12π6F AO OAF∠=∠=,故11πcos cos62AO bF AOAF a∠=====，因此222221b ma m==+⎝⎭，故23m=，所以椭圆22:143x yC+=，2,1a b c===对于A，焦距为22c=，故A正确，对于B，短轴长为2b=B正确，对于C，离心率为12cea==，C错误，对于D，2ABF△的周长为48a=，D正确，故选：ABD10．BC【分析】利用导函数讨论单调性和极值即可判断AB，再根函数的最值、单调性判断C，再根据特例，利用点的对称性判断D.【详解】2()43f x x x'=-+，令()0f x'<解得13x<<，令()0f x'>解得1x<或3x>，所以()f x 在(),1∞-单调递增，()1,3单调递减，()3,∞+单调递增，因为13(1)03f -=-<，极大值7(1)03f =>，且极小值1(3)0f =>，所以()f x 在(1,1)-有一个零点，共1个零点，A 错误；由A 知，函数有1,3两个极值点，故B 正确；由A 知，函数()f x 在(),1∞-单调递增，()1,3单调递减，()3,∞+单调递增，且x →-∞时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →+∞，所以方程()f x a =有三个实数根，需(3)(1)f a f <<，即71,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；因为(3)1f =，所以点(3,1)在函数图象上，又点(3,1)关于点71,3⎛⎫⎪⎝⎭的对称点为111,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，而13(1)3f -=-，即111,3⎛⎫- ⎪⎝⎭不是函数()f x 图象上的点，故函数()f x 不关于点71,3⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 错误.故选：BC.11．ACD【分析】根据1191144434n n n a a ++-<-=即可求解A ，根据裂项求和即可求解B ，根据放缩法即可求解C ，根据作差求解数列单调性即可求解D.【详解】对A ，由143n n a =-可得11143n n a ++=-，所以()11111111994343114344414343443443n nn n n n n nn a a ++++++----====-<----，故A 正确，对B ，()()414441143,33143n n nn n R n n a --=-∴=-=--，()()11141114343434343n nn n n n n n a a +++⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，所以12231111111111111113434334343343433433n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,故B 错误，对C ，由于3n ≥时，1111449433n n n -->>⇒-，故111131114311443n n n n a --=<=-，所以221221111314111414214344111131113444134439393914n n n n S a a a --⎛⎫-⎪⎛⎫⎝⎭=+++<++⨯=+-<+<+= ⎪⎝⎭-()()()222441441653656233n n n R n n n nn nn ----=--+=-+,对D ，记()()()()()1222144144144162,61216233n n n n n n P nn P P n n n n ++----=-+-=-++++-，故114124n n n P P n ++-=--，根据指数幂的性质可知14124n n +≥+，当且仅当1n =取等号，故11141240n n n n n P P n P P +++-=--≥⇒≥，只有1n =取等号，故143210n n P P P P P P ->>>>≥=,故D 正确，故选：ACD 12．118-【分析】由()2552211(21)212x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，写出()512x +展开式的通项，利用通项计算可得.【详解】因为()2552211(21)212x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()5525221121212x x x x x +⋅-++=+，其中()512x +展开式的通项为()155C 22C rrr r r r T x x +==⋅（{}0,1,2,3,4,5r Î），所以251(21)x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中，含3x 的项为()215533355521C 2C (2)2C (2)118x x x x x x ⋅⋅+⋅⋅-⋅=-，所以含3x 的项的系数为118-．故答案为：118-13．6316【分析】由等比数列的求和公式和等比数列的性质进行计算即可求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可得1q ≠，由6247S S =，可得()()6211417111a q a q qq--=--，解得212q =，又341a a +=，即22121a q a q +=，所以122a a +=，同理5612a a +=，7814a a +=，91018a a +=，1112116a a +=，因为12123456789101112S a a a a a a a a a a a a =+++++++++++，所以12111163212481616S =+++++=.故答案为：631614．43π##43π9π【分析】根据三棱锥的体积公式计算可得正四面体的棱长为出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的半径，得到答案.【详解】设正四面体的棱长为x ，高为h ，底面圆半径为r ，则2sin 60xr ︒=，得r =，又h x ，所以正四面体的体积为2111···sin 60332A BCD BCD V S h x ︒-=== ，解得x =如图，取BC 的中点E ，连接DE ，AE ，则CE BE =，AE DE ===过点A 作AF ⊥底面BCD ，垂足在DE 上，且2DF EF =，所以DF EF ==4AF ===，点O 为最大球的球心，连接DO 并延长，交AE 于点M ，则DM ⊥AE ，设最大球的半径为R ，则OF OM R ==，因为Rt AOM △∽Rt AEF ，所以AO OMAE EF ==，解得1R =，所以最大球的体积为344ππ33R =，且1OM OF ==，则413AO =-=，1sin 3OM EAF AO ∠==，设最小球的球心为J ，中间球的球心为K ，则两球均与直线AE 相切，设切点分别为,H G ，连接,HJ KG ，则,HJ KG 分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为,a b ，则33,33AJ HJ a AK GK b ====，则33JK AK AJ b a =-=-，又JK a b =+，所以33b a a b -=+，解得2b a =，又33OK R b AO AK b =+=-=-，故432b R =-=，解得12b =，所以14a =，模型中九个球的表面积和为2224π4π44π44π4ππ9πR b a +⨯+⨯=++=.故答案为：4π3；9π【点睛】思路点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的思路是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.15．(1)证明见解析【分析】(1)构造面面平行，再证线面平行.(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求线面角的正弦.【详解】（1）在线段CD 上取点F ，使得2CF DF =，连接EF 、BF ，如图：因为4PC PM =，E 为PC 的中点，所以2CE ME =，所以//EF DM ，又EF ⊄平面DMN ，DM ⊂平面DMN ，所以//EF 平面DMN ，在平行四边形ABCD 中，因为2AN NB =，2CF DF =，所以DF NB =，且//DF NB ，所以四边形DFBN 是平行四边形，所以//DN FB ，又BF ⊄平面DMN ，DN ⊂平面DMN ，所以//BF 平面DMN ，又BF ，EF ⊂平面EFB ，且BF EF F ⋂=，所以平面//EFB 平面DMN ，又BF ⊂平面EFB ，所以//BE 平面DMN ．（2）连接BD 交AC 于点O ，连接PO ，因为正四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，所以PO ⊥平面ABCD ，且OA OB ⊥，故以O 为坐标原点，OA ，OB ，OP 所在直线依次为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示：由已知可得：()A，()B，()C -，()0,D -，324M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，)N所以()AC =-，)DN =，324DM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面DMN 的一个法向量为(),,n x y z = ，则·0·0DN n DM n ⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒323040x z ⎧-++=⎪+=，取5,1,4n ⎛=- ⎝⎭设直线AC 与平面DMN 的夹角为θ，则：·102cos ,17·AC n sin AC n AC nθ===16．(1)0.95.r ≈(2)ˆ 2.56 2.46yx =-，15.46百万辆【分析】（1）利用相关系数r 公式即可求解；（2）根据已知数据，利用公式先求出ˆb，进而求出ˆa ，得到线性回归方程，再利用线性回归方程进行预测即可.【详解】（1）因为1234563.56x +++++==，2.02 2.213.13 6.710.814.146.56y +++++==，所以6221496149162536617.54i i x x =-=+++++-⨯=∑，622216380.2316 6.5126.731ii yy =-=-⨯=∑，所以6644.80.95.4.211.2iix yxyr -==≈≈⨯∑（2）由题意得61621644.8ˆ 2.5617.56iii ii x yxybxx ==-===-∑∑，所以ˆˆ 6.5 3.5 2.56 2.46ay bx =-=-⨯=-，得y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.56 2.46yx =-，所以可以预测2024年全球新能源汽车的销售量为2.567 2.4615.46⨯-=百万辆.17．(1)()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）1202x xx +>，证明见解析【分析】（1）求导得()()()1241f x ax x x'-=-+，分a 是否大于0进行讨论即可得解；（2）（ⅰ）要证明212121ln ln 2x x x x x x ->-+即只需证明()()21ln 11t t t t ->>+，从而构造函数即可得证；（ⅱ）同构作差法并结合（ⅰ）中结论即可得解.【详解】（1）()()()41242241f x ax a ax x x x'-=-+-=-+，0x >，若0a ≤，则()0f x ¢>，()f x 在()0,∞+上单调递增，若0a >，由()0f x '=得2x a=，当20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x ¢>；当2,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，∴()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.（2）∵()f x 存在极值，由（1）知0a >，()()()()()()22212121214ln ln 42f x f x x x a x x a x x -=---+--()()()()()212121214ln ln 42x x a x x x x a x x =--+-+--，由题设得()()()()()212102121214ln ln 42f x f x x x f x a x x a x x x x --==-+'+---，∵120x x <<，设21(1)x t t x =>，（ⅰ）要证明212121ln ln 2x x x x x x ->-+即证明()()21ln 11t t t t ->>+，设()()21ln 1t g t t t -=-+，（1t >），则()()()22221211(1)0(1)(1)t t t g t t t t t +---=-=+'>+，∴()g t 在()1,+∞上单调递增，()()10g t g >=，∴()21ln 1t t t ->+，即212121ln ln 2x x x x x x ->-+得证，（ⅱ）()1221128422x x f a x x a x x '+⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭，()()2112210211221124ln ln ln ln 82402x x x x x x f x f x x x x x x x x '-⎛⎫+-⎛⎫-=-=-> ⎪ ⎪-+⎝'+-⎝⎭⎭，∴()1202x x f x f +⎛⎫> ⎪⎝'⎭'，∵()()424f x ax a x=-+-'在()0,∞+上是减函数，∴1202x x x +>.【点睛】难点点睛：本题综合考查了导数的应用问题，涉及到函数的单调性以及不等式证明问题，难点在于不等式的证明，解答时要注意根据所要证明的不等式的结构特征，构造恰当的函数，利用导数的单调性进行证明.18．(1)3(2)（i ）8；（ii ）224y x =-【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，根据向量的坐标运算即可得12332x x x ++=，再根据抛物线的定义即可得结论；（2）（i ）设直线AB 的方程为x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线得交点坐标关系，再求导，根据导数的几何意义求解切线斜率，即可得切线方程，从而可得切线的交点坐标，根据三角形面积公式列关系求解即可；（ii ）利用直线相交、直线过定点即可得点M 的轨迹方程.【详解】（1）依题意，1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，由0FA FB FC ++= 得，1231110222x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即12332x x x ++=，由抛物线定义得，1231113222FA FB FC x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .（2）（i ）显然，直线AB 的斜率不为0，可设直线AB 的方程为x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y，由22,y x x my n⎧=⎨=+⎩得：2220y my n --=，2480m n ∆=+>，122y y m ∴+=，122y y n =-.22y x =Q，则y =1y y=='∴，∴切线1l 的方程为()11111112y y x x y x y y =-+=+，同理，切线2l 的方程为2212y y x y =+，联立两直线方程11221212y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得121222y y x n y y y m ⎧==-⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即(),D n m -，则点D 到直线AB的距离为d =由4AB ===，化简得：22421m n m +=+，114822ABDS AB d ∴==⨯=≤ ，当且仅当0m =时取等号，ABD ∴ 面积的最大值为8.（ii ）若直线AB 过点()1,0，由（i ），可以设直线AB 的方程为1x my =+，122y y m ∴+=，122y y =-.∴直线3l 的方程为311111112y y y x x y y y x y =-++=-++，同理，直线4l 的方程为32222y y y x y =-++.联立两直线方程3111322222y y y x y y y y x y ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得()2212121212122y y y y x y y y y y ⎧++=+⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，整理后可得222,2,x m y m ⎧=+⎨=⎩消去m 得：224y x =-，∴点M 的轨迹方程为224y x =-.【点睛】关键点点睛：本题考查了抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、三角形面积问题最值问题.解决问题的关键是确定直线与抛物线交点坐标关系，并将题中几何性质转化为交点坐标关系，另外在求抛物线的切线可以考虑利用导数来求解切线斜率.19．(1)12对(2)①分布列见解析，()()212n nE X -=-；②证明见解析【分析】（1）根据题意分析可知：A ，B 有两个位置的坐标不相等，另一个相等，进而可得结果；（2）①分析可知X k =的随机变量，在坐标()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 中有k 个坐标值不同，即i i a b ≠，剩下n k -个坐标值满足i i a b =，进而可求分布列，结合组合数性质可求期望；②根据方差公式()()21nk k k D X P X E X =⎡⎤=⋅-⎣⎦∑整理可得()()2121C C C 214n n n n n n D X ⎡⎤<+++⎢⎥-⎣⎦L ，结合组合数性质分析证明.【详解】（1）当3n =时，若(),2d A B =，可知A ，B 有两个位置的坐标不相等，另一个位置的坐标相等，所以共有122322C A A 12=对.（2）①由题意可知，n M 中元素的个数为2n 个，对于X k =的随机变量，在坐标()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 中有k 个坐标值不同，即i i a b ≠，剩下n k -个坐标值满足i i a b =，此时所对应情况数为12C 2C 22k k n k k n nn --⋅=⋅种．所以()122C 2C C 21n k n k n n n P X k -⋅===-，故X 的分布列为：X12⋅⋅⋅nP1C 21n n-2C 21n n-⋅⋅⋅C 21n nn-数学期望()1212C C C C C C 12120212121212121n n n n n n nn n n n n n n E X n n =⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯+------L L ，当2k n ≤≤时，则()()()()()2!!C 2C 2!!2!2!k n k n nn n k n k k n k k n k n k k -++-+=⨯+-+⨯--+-()()()()()()()!!!111!!1!2!1!1!n n n n k k k n k n k k n k k =+=-++----+--+-()()1!C 1!1!k n n n n n k k -⋅==-+-，且10C 0C C nn n n n n n +==⋅=⋅，则()()11C C C 011212121n n n nn n n n E X n n -=+⨯+-⨯++⨯---L ，两式相加得()()01222C C C C 2121n nn n n n n n n n E X ⋅=++++=--L ，所以()()212n nE X -=-；②当n 足够大时，()2n E X ≈，由方差定义()()21nk k k D X P X E X =⎡⎤=⋅-⎣⎦∑22212C C C 12212212212n n n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 222121C 1C 2C 21222n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 222121C 1C 2C 21222n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ()()()21212221C C C C 1C 22214n n n n n n n n n n ⎧=+++-+-+⎨-⎩ ()()()()}23212C 33C 11C n n n nn n n n n n n n -⎡⎤-++---⋅+-⋅⎣⎦因为k n ≤，则()()()20n k n k n k k n ---⋅=-≤，当且仅当0k =或k n =时，等号成立，则()()()2221211C C C 212142144n n n n n n n n n n D X ⎡⎤⎡⎤<+++=-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦L ，所以()24D X n <.【点睛】关键点点睛：（2）①利用倒序相加法结合()21C 2C C kn k k n nn k n k n -+-+-+=分析求解；②根据方差公式结合()()20n k n k n ---⋅≤分析证明.。
福建省厦门市第一中学2021-2021学年高三上期中考
福建省厦门市第一中学2021-2021学年高三上期中考福建省厦门市第一中学2021-2021学年度第一学期期中考试高三年语文试题一、文学类文本阅读（14分）阅读下面的作品，完成题目。
古渡头叶紫太阳渐渐地隐没到树林中去了，晚霞散射着一片凌乱的光辉，映到茫无际涯的淡绿的湖上，现出各种各样的色彩来。
微风波动着皱纹似的浪头，轻轻地吻着沙岸。
破烂不堪的老渡船，横在枯杨的下面。
渡夫戴着一顶尖头的斗笠，弯着腰，在那里洗刷一叶断片的船篷。
我轻轻地踏到他的船上，他抬起头来，带血色的昏花的眼睛，望着我大声说道：“过湖吗，小伙子?” “唔，”我放下包袱，“是的。
”“那么，要等到明天哆。
”他又弯腰做事去了。
“为什么呢?”我茫然地，“我多给你些钱不能吗?”“钱?你有多少钱呢?”他的声音来得更加响亮了，教训似的。
他重新站起来，抛掉破篷子，把斗笠脱在手中，立时现出了白雪般的头发，“年纪轻轻，开口就是‘钱’，有钱就命都不要了吗?”我不由得暗自吃了一惊。
他从舱里拿出一根烟管，饱饱地吸足了一口，接着说：“看你的样子也不是一个老出门的。
哪里来的呀?” ‘‘从军队里回来。
”“军队里?……”他又停了一停，“是当兵的吧，为什么又跑开来呢?”“我是请长假的。
我妈病了。
” “唔!…?””两个人都沉默了一会儿，他把烟管在船头上磕了两磕，接着又燃第二口。
夜色苍茫地侵袭着我们的周围，浪头荡出了微微的合拍的呼啸。
我的心里偷偷地发急，不知道这老头子到底要玩什么花头。
于是，我说：“既然不开船，老人家，就让我回到岸上去找店家吧!”“店家，”老头子用鼻子哼着，“年轻人到底不知事。
回到岸上去还不同过湖一样的危险吗?到连头镇去还要退回七-1-里路。
唉!年轻人……就在我这船中过一宵吧。
”他擦着一根火柴把我引到船艘后头，给了我一个两尺多宽的地方。
好在天气和暖，还不至于十分受冻。
当他再擦火柴吸上了第三口姻的时候，他的声音已经和缓多了。
我躺着，一面细细地听着孤雁唳过寂静的长空，一面又留心他和我谈的一些江湖上的情形，和出门人的秘诀。
2023-2024学年福建省厦门市湖滨中学高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年福建省厦门市湖滨中学高三（上）期中数学试卷一、单选题1．已知集合M ＝{﹣1，0，1，2，3，4}，N ＝{1，3，5}，P ＝M ∩N ，则P 的真子集共有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．8个2．若函数f （x ）＝x 2﹣mx +10在（﹣2，﹣1）上是减函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[2，+∞）B ．[﹣2．+∞）C ．（﹣∞，2]D ．（﹣∞，﹣2]3．若“x−1x−3＜0”是“|x ﹣a |＜2”的充分而不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1＜a ≤3B ．1≤a ≤3C ．﹣1＜a ≤3D ．﹣1≤a ≤34．已知焦距为4的双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线与直线x −√3y =0垂直，则该双曲线的方程为（ ） A ．x 23−y 2=1B ．x 22−y 26=1C ．x 2−y 23=1D ．x 26−y 22=15．已知函数y ＝f （x ）在[﹣π，π]上的图象如图所示，则与之大致匹配的函数是（ ）A ．y =cosxe x −e −xB ．y =cosxe x +e −xC ．y =sinxe x −e−xD ．y =e x −e −xsinx6．已知sin （π2−θ）﹣cos （π+θ）＝6sin （2π﹣θ），则sin θcos θ+cos 2θ等于（ ）A ．35B ．25C ．−35D ．−257．设a ＝0.01，b ＝ln 1.01，c ＝log 30.01，则（ ） A ．a ＜c ＜bB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a8．已知定义在R 上的函数f （x ）满足：（1）f （x +2）＝f （x ）：（2）f （x ﹣2）为奇函数：（3）当x ∈[0，1)时，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，(x 1≠x 2)恒成立，则f(−152)，f(4)，f(112)的大小关系正确的为（ ）A ．f(112)＞f(4)＞f(−152) B ．f(4)＞f(112)＞f(−152)C ．f(−152)＞f(4)＞f(112)D ．f(−152)＞f(112)＞f(4) 二、多选题9．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈（0，+∞），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0”的有（ ）A ．f （x ）＝﹣3x +1B ．f （x ）＝e x ﹣e ﹣x C ．f （x ）＝x 2+4x +3 D ．f(x)=2x10．已知复数z =−50i3+4i，则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限 B ．复数z 的虚部为﹣6 C ．复数z 的共轭复数z ＝﹣8+6iD ．复数z 的模|z |＝1011．设函数f(x)=cos(x +π3)，则下列结论正确的是（ ）A ．f （x ）的一个周期为﹣2πB ．y ＝f （x ）的图像关于直线x =8π3对称C ．f （x +π）的一个零点为x =π6D ．f （x ）在(π2，π)单调递减12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2022＞0，a 2021+a 2022＜0，则（ ） A ．数列{a n }是递增数列 B ．数列{S n }是递增数列C ．S n 的最小值是S 2021D ．使得S n 取得最小正数的n ＝4042三、填空题13．若θ∈（0，π2），tan θ=13，则sin θ﹣cos θ＝ ．14．若直线y ＝k （x ﹣1）与曲线y ＝e x 相切，则k 的值为 ．15．记函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为T ．若f （T ）=√32，x =π9为f （x ）的零点，则ω的最小值为 ．16．已知函数f （x ）＝ln （x +a ）+x 2存在极值，则实数a 的取值范围是 ． 四、解答题17．（10分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，且a 2+b 2＝c 2+√2ab ． （1）求C ；（2）若tanB tanC =2a−cc，求A ．18．（12分）设各项非负的数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=a n+12−n（n∈N*），且a2，a3，a5成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+12a n，数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，侧面P AB⊥底面ABCD，P A＝PB＝AD=12BC＝2，且E，F分别为PC，CD的中点．（1）证明：DE∥平面P AB；（2）若直线PF与平面P AB所成的角为60°，求平面P AB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．20．（12分）已知P为椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上任一点，F1，F2为椭圆的焦点，|PF1|+|PF2|＝4，离心率为√2 2．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y＝kx+m（m≠0）与椭圆的两交点为A，B，线段AB的中点C在直线y=12x上，O为坐标原点，当三角形OAB的面积等于√2时，求直线l的方程．21．（12分）学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛．经多轮比赛后，由教师甲、乙作为代表进行决赛．决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负者得﹣5分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的获得冠军．已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为0.4，0.5，0.75，各项目的比赛结果相互独立．甲、乙获得冠军的概率分别记为p1，p2．（1）判断甲、乙获得冠军的实力是否有明显差别（如果|p 1−p 2|≥√2|p 12−p 22|5+0.1，那么认为甲、乙获得冠军的实力有明显差别，否则认为没有明显差别）； （2）用X 表示教师乙的总得分，求X 的分布列与期望． 22．（12分）已知函数f(x)=kx ，g(x)=lnxx． （1）若不等式f （x ）≥g （x ）在区间（0，+∞）内恒成立，求实数k 的取值范围； （2）求证：ln224+ln334+...+lnn n 4＜12e．（n ≥2，n ∈N *，e 为自然对数的底数）2023-2024学年福建省厦门市湖滨中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．已知集合M ＝{﹣1，0，1，2，3，4}，N ＝{1，3，5}，P ＝M ∩N ，则P 的真子集共有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．8个解：∵M ＝{﹣1，0，1，2，3，4}，N ＝{1，3，5}，∴P ＝{1，3}， 故P 的真子集是{1}，{3}，∅共3个． 故选：B ．2．若函数f （x ）＝x 2﹣mx +10在（﹣2，﹣1）上是减函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[2，+∞）B ．[﹣2．+∞）C ．（﹣∞，2]D ．（﹣∞，﹣2]解：由题意可知f （x ）＝x 2﹣mx +10的对称轴为：x =m2， 故f （x ）的单调递减区间为（﹣∞，m2]，又函数f （x ）在（﹣2，﹣1）上是减函数， 所有﹣1≤m2，得m ≥﹣2， 故选：B ．3．若“x−1x−3＜0”是“|x ﹣a |＜2”的充分而不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1＜a ≤3B ．1≤a ≤3C ．﹣1＜a ≤3D ．﹣1≤a ≤3解：因为x−1x−3＜0，所以（x ﹣1）（x ﹣3）＜0⇒1＜x ＜3，因为|x ﹣a |＜2，则﹣2＜x ﹣a ＜2⇒a ﹣2＜x ＜a +2， 即1＜x ＜3是a ﹣2＜x ＜a +2的充分而不必要条件， 所以{a −2≤1a +2≥3⇒1≤a ≤3．故选：B ．4．已知焦距为4的双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线与直线x −√3y =0垂直，则该双曲线的方程为（ ） A ．x 23−y 2=1B ．x 22−y 26=1C ．x 2−y 23=1D ．x 26−y 22=1解：∵双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为4，2c ＝4，即c ＝2，双曲线的一条渐近线与直线x −√3y =0垂直， ∴b a=√3，∴b =√3a ， ∵c 2＝a 2+b 2， ∴a ＝1，b =√3， ∴双曲线的方程为：x 2−y 23=1． 故选：C ．5．已知函数y ＝f （x ）在[﹣π，π]上的图象如图所示，则与之大致匹配的函数是（ ）A ．y =cosxe x −e −xB ．y =cosxe x +e −xC ．y =sinxe x −e −x D ．y =e x −e −xsinx解：由函数的图象可知，f(π2)＞0，对于选项A ，B 中的函数，当x =π2时，函数值均为0，故选项A 错误，选项B 错误；由图可知，f （π）＝0，对于选项D 中的函数，定义域中取不到x ＝π， 故选项D 错误，选项C 正确． 故选：C ．6．已知sin （π2−θ）﹣cos （π+θ）＝6sin （2π﹣θ），则sin θcos θ+cos 2θ等于（ ）A ．35B ．25C ．−35D ．−25解：由已知得cos θ+cos θ＝﹣6sin θ，则tanθ=−13，可得sinθcosθ+cos 2θ=sinθcosθ+cos 2θsin 2θ+cos 2θ=tanθ+1tan 2θ+1=23109=35． 故选：A ．7．设a ＝0.01，b ＝ln 1.01，c ＝log 30.01，则（ ） A ．a ＜c ＜bB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a解：b ＝ln 1.01∈（0，1），令f （x ）＝ln （x +1）﹣x ，则f ′（x ）=−xx+1， 当f ′（x ）＞0时，即﹣1＜x ＜0，f （x ）单调递增，f ′（x ）＜0时，x ＞0，f （x ）单调递减， 则f （x ）≤f （0）＝0，故f （0.01）＝ln 1.01﹣0.01＜0，故0＜b ＜a ， 又log 30.01＜0， 则c ＜b ＜a ， 故选：D ．8．已知定义在R 上的函数f （x ）满足：（1）f （x +2）＝f （x ）：（2）f （x ﹣2）为奇函数：（3）当x ∈[0，1)时，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，(x 1≠x 2)恒成立，则f(−152)，f(4)，f(112)的大小关系正确的为（ ）A ．f(112)＞f(4)＞f(−152) B ．f(4)＞f(112)＞f(−152)C ．f(−152)＞f(4)＞f(112)D ．f(−152)＞f(112)＞f(4) 解：根据（1）知f （x ）的周期为2，根据（2）知f （x ）为奇函数，根据（3）知f （x ）在[0，1）上单调递增，∴f （x ）在（﹣1，1）上单调递增， ∴f(−152)=f(12−2×8)=f(12)，f(4)=f(0)，f(112)=f(−12+2×6)=f(−12)， ∴f(−152)＞f(4)＞f(112)． 故选：C ． 二、多选题9．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈（0，+∞），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0”的有（ ）A ．f （x ）＝﹣3x +1B ．f （x ）＝e x ﹣e ﹣xC ．f （x ）＝x 2+4x +3D ．f(x)=2x解：由∀x 1，x 2∈（0，+∞），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，可知函数f （x ）在x ∈（0，+∞）时减函数．函数f （x ）＝﹣3x +1在x ∈（0，+∞）时为减函数，符合题意，故A 正确；函数y =−e −x =−(1e)x 在x ∈（0，+∞）时为增函数，所以f （x ）＝e x ﹣e ﹣x 在x ∈（0，+∞）时为增函数，故B 错误；函数f （x ）＝x 2+4x +3图象的对称轴为x ＝﹣2，故在x ∈（0，+∞）时f （x ）＝x 2+4x +3为增函数，故C 错误；函数f(x)=2x在x ∈（0，+∞）时单调递减，符合题意，故D 正确．故选：AD ． 10．已知复数z =−50i3+4i，则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限 B ．复数z 的虚部为﹣6 C ．复数z 的共轭复数z ＝﹣8+6iD ．复数z 的模|z |＝10解：因为z =−50i 3+4i =−50i(3−4i)(3+4i)(3−4i)=−50i(3−4i)25=−8−6i ， 所以复数z 在复平面内对应的点（﹣8，﹣6）在第三象限，故A 错误； 虚部为﹣6，故B 正确；复数z 的共轭复数z ＝﹣8+6i ，故C 正确；复数z 的模|z|=√(−8)2+(−6)2=10，故D 正确； 故选：BCD ．11．设函数f(x)=cos(x +π3)，则下列结论正确的是（ ）A ．f （x ）的一个周期为﹣2πB ．y ＝f （x ）的图像关于直线x =8π3对称C ．f （x +π）的一个零点为x =π6D ．f （x ）在(π2，π)单调递减解：函数f （x ﹣2π）＝cos （x +π3−2π）＝cos （x +π3）＝f （x ），故它的一个周期T ＝﹣2π，故A 正确；令x =8π3，求得f （x ）＝﹣1，为最小值，故f （x ）的图像关于直线x =8π3对称，故B 正确； 对于y ＝f （x +π）＝cos （x +π+π3）＝﹣cos （x +π3），令x =π6，可得f （x +π）＝0，故f （x +π） 的一个零点为x =π6，故C 正确；当x ∈（π2，π），x +π3∈（5π6，4π3），函数f （x ）不单调，故D 错误，故选：ABC ．12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2022＞0，a 2021+a 2022＜0，则（ ） A ．数列{a n }是递增数列 B ．数列{S n }是递增数列C ．S n 的最小值是S 2021D ．使得S n 取得最小正数的n ＝4042解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2022＞0，a 2021+a 2022＜0，对于A ，由题意a 2022＞0，a 2021＜0，即公差d ＞0，所以数列{a n }是递增数列，故A 正确； 对于B ，由题意a 2022＞0，a 2021＜0，所以数列{S n }是先减后增数列，故B 错误； 对于C ，由题意a 2022＞0，a 2021＜0，所以S n 的最小值是S 2021，故C 正确；对于D ，由S 4043=12（a 1+a 4043）×4043＝4043a 2022＞0，S 4042=12（a 1+a 4042）×4042＝2021（a 2021+a 2022）＜0，使得S n 取得最小正数的n ＝4043，故D 错误． 故选：AC ． 三、填空题13．若θ∈（0，π2），tan θ=13，则sin θ﹣cos θ＝ −√105 ．解：∵θ∈（0，π2），tan θ=13=yx ，∴令x ＝3，y ＝1，设θ终边上一点的坐标P （3，1）， 则r ＝|OP |=√32+12=√10， 则sin θ﹣cos θ=√10−√10=√10=−√105．故答案为：−√105．14．若直线y ＝k （x ﹣1）与曲线y ＝e x 相切，则k 的值为 e 2 ． 解：直线y ＝k （x ﹣1）过点（1，0），设直线y ＝k （x ﹣1）与曲线y ＝e x 相切于（t ，e t ），由y ＝e x ，得y ′＝e x ，则过切点的切线方程为y ﹣e t ＝e t （x ﹣t ）， 把（1，0）代入，可得﹣e t ＝e t （1﹣t ），解得t ＝2． ∴k ＝e t ＝e 2． 故答案为：e 2．15．记函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为T ．若f （T ）=√32，x =π9为f （x ）的零点，则ω的最小值为 3 ．解：函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为T =2πω， 若f （T ）＝cos （ω×2πω+φ）＝cos φ=√32，0＜φ＜π，则φ=π6， 所以f （x ）＝cos （ωx +π6）．因为x =π9为f （x ）的零点，所以cos （ωπ9+π6）＝0，故ωπ9+π6=k π+π2，k ∈Z ，所以ω＝9k +3，k ∈Z ，因为ω＞0，则ω的最小值为3． 故答案为：3．16．已知函数f （x ）＝ln （x +a ）+x 2存在极值，则实数a 的取值范围是 （√2，+∞） ． 解：f （x ）的定义域为（﹣a ，+∞）， f ′（x ）=2x 2+2ax+1x+a，方程2x 2+2ax +1＝0的判别式Δ＝4a 2﹣8， （ⅰ）若Δ＜0，即−√2＜a ＜√2，在f （x ）的定义域内f '（x ）＞0，故f （x ）无极值； （ⅱ）若Δ＝0，则a =√2或a =−√2，若a =√2，x ∈（−√2，+∞），f ′（x ）=(2−1)2x+√2，当x =−√22时，f '（x ）＝0，当x ∈（−√2，−√22）∪（−√22，+∞）时，f '（x ）＞0，f （x ）无极值，若a =−√2，x ∈（√2，+∞），f ′（x ）=(√2x−1)2x−20，f （x ）也无极值，（ⅲ）若Δ＞0，即a ＞√2或a ＜−√2，则2x 2+2ax +1＝0有两个不同的实根x 1=−a−√a 2−22，x 2=−a+√a 2−22，当a ＜−√2时，x 1＜﹣a ，x 2＜﹣a ，从而f '（x ）在f （x ）的定义域内没有零点，故f （x ）无极值， 当a ＞√2时，x 1＞﹣a ，x 2＞﹣a ，f '（x ）在f （x ）的定义域内有两个不同的零点， 由根值判别方法知f （x ）在x ＝x 1，x ＝x 2取得极值． 综上，f （x ）存在极值时，a 的取值范围为（√2，+∞）．故答案为：（√2，+∞）． 四、解答题17．（10分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，且a 2+b 2＝c 2+√2ab ． （1）求C ；（2）若tanB tanC =2a−c c，求A ．解：（1）∵a 2+b 2＝c 2+√2ab ，∴a 2+b 2−c 22ab=√22， ∴cos C =√22，∴C ＝45°． （2）由正弦定理可得tanB tanC=2a−c c=2sinA−sinCsinC，∴sinBcosC cosBsinC=2sinA−sinCsinC∴sin B cos C ＝2sin A cos B ﹣sin C cos B ，∴sin B cos C +sin C cos B ＝2sin A cos B ， ∴sin （B +C ）＝2sin A cos B ，∴sin A ＝2sin A cos B ． ∵sin A ≠0，∴cos B =12，∴B ＝60°，A ＝180°﹣45°﹣60°＝75°．18．（12分）设各项非负的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n =a n+12−n （n ∈N *），且a 2，a 3，a 5成等比数列．（Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）若b n =a n +12a n，数列{b n }的前n 项和T n ． 解：（Ⅰ）当n ＝1时，2a 1=a 22−1， 当n ≥2时，2S n =a n+12−n ，① 2S n ﹣1=a n 2−（n ﹣1），②．①﹣②得2a n =a n+12−a n 2−1，即a n+12=a n 2+2a n +1=(a n +1)2，∵a n ≥0，∴a n +1＝a n +1，∴数列{a n }从第2项起是公差为1的等差数列， ∴a n ＝a 2+n ﹣2（n ≥2）又a 2，a 3，a 5成等比数列，∴a 32=a 2a 5，即(a2+1)2=a2(a2+3)，解得a2＝1，∴a n＝1+n﹣2＝n﹣1（n≥2），∵2a1=a22−1，∴a1＝0，适合上式，∴数列{a n}的通项公式为a n＝n﹣1．（Ⅱ）∵b n=n2n−1，∴数列{b n}的前n项的和为：T n=120+221+322+⋯+n−12n−2+n2n−1，③1 2T n=121+222+323+⋯+n−12n−1+n2n，④③﹣④得，1 2T n=1+12+122+⋯+12n−1−n2n=1−(12)n1−12−n2n=2−12n−1−n2n=2−n+22n，∴T n=4−n+22n−1．19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，侧面P AB⊥底面ABCD，P A＝PB＝AD=12BC＝2，且E，F分别为PC，CD的中点．（1）证明：DE∥平面P AB；（2）若直线PF与平面P AB所成的角为60°，求平面P AB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．证明：（1）取PB中点M，连接AM，EM，∵E为PC的中点，∴ME∥BC，ME=12BC，又∵AD∥BC，AD=12BC，∴ME∥AD，ME＝AD，∴四边形ADEM为平行四边形：∴DE∥AM，∵DE ⊄平面P AB ，AM ⊂平面P AB ， ∴DE ∥平面P AB ；解：（2）∵平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，BC ⊂平面ABCD ，BC ⊥AB ，∴BC ⊥平面P AB ，取AB 中点G ，连接FG ，∴FG ∥AD ，FG ⊥平面P AB ，∴∠GPF ＝60°，GF ＝3， ∴tan60°=3PG⇒PG =√3，∴AG ＝GB ＝1，AB ＝2， 如图建系，∴P(0，0，√3)，C （1，4，0），D （﹣1，2，0），∴PC →=(1，4，−√3)，CD →=(−2，−2，0)，设平面PCD 的一个法向量n 1→=(x ，y ，z)，∴{n 1→⋅PC →=0n 1→⋅CD →=0⇒{x +4y −√3z =0−2x −2y =0⇒n 1→=(−1，1，√3)，平面P AB 的一个法向量n 2→=(0，1，0)，设平面P AB 与平面PCD 所成锐二面角为θ， ∴cosθ=|n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→||=15=√55． 20．（12分）已知P 为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上任一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，|PF 1|+|PF 2|＝4，离心率为√22． （1）求椭圆的方程；（2）若直线l ：y ＝kx +m （m ≠0）与椭圆的两交点为A ，B ，线段AB 的中点C 在直线y =12x 上，O 为坐标原点，当三角形OAB 的面积等于√2时，求直线l 的方程．解：（1）由椭圆定义得2a ＝4，a ＝2，所以c =ae =√2，故b =√2， 所以椭圆的方程为x 24+y 22=1．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y ＝kx +m 代入方程x 24+y 22=1，得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣4＝0．（*） 所以x C =x 1+x 22=−2km 1+2k 2，y C =kx C +m =m1+2k2， 所以m 1+2k 2=12⋅−2km1+2k 2，解得k ＝﹣1，则（*）式变为3x 2﹣4mx +2m 2﹣4＝0，则|AB|=√2|x 1−x 2|=4√6−m 23，△OAB 底边AB 上的距离ℎ=|m|√2，所以△OAB 的面形S =√2√(6−m 2)m 23，令√2√(6−m 2)m 23=√2，解得m =±√3，把k ＝﹣1，m =±√3代入（*）式，经检验，均满足Δ＞0， 此时直线l 的方程为x +y −√3=0或x +y +√3=0．21．（12分）学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛．经多轮比赛后，由教师甲、乙作为代表进行决赛．决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负者得﹣5分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的获得冠军．已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为0.4，0.5，0.75，各项目的比赛结果相互独立．甲、乙获得冠军的概率分别记为p 1，p 2．（1）判断甲、乙获得冠军的实力是否有明显差别（如果|p 1−p 2|≥√2|p 12−p 22|5+0.1，那么认为甲、乙获得冠军的实力有明显差别，否则认为没有明显差别）； （2）用X 表示教师乙的总得分，求X 的分布列与期望．解：（1）不妨设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为A ，B ，C ， 则教师甲获得冠军的概率p 1=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)＝0.4×0.5×0.75+0.6×0.5×0.75+0.4×0.5×0.75+0.4×0.5×0.25＝0.15+0.225+0.15+0.05＝0.575，则教室以获得冠军的概率p 2＝1﹣p 1＝0.425， 因为√2|p 12−p 22|5+0.1=√0.16=0.4，解得|p 1﹣p 2|＝0.15，又|p 1−p 2|＜√2|p 12−p 22|5+0.1， 所以甲、乙获得冠军的实力没有明显差别； （2）已知X 的所有取值为﹣15，0，15，30，此时P （X ＝﹣15）＝0.4×0.5×0.75＝0.15，P （X ＝0）＝0.6×0.5×0.75+0.4×0.5×0.75+0.4×0.5×0.25＝0.425，P （X ＝15）＝0.4×0.5×0.25+0.6×0.5×0.25+0.6×0.5×0.75＝0.35，P （X ＝30）＝0.6×0.5×0.25＝0.075， 则X 的分布列为：所以E （X ）＝﹣15×0.15+0×0.425+15×0.35+30×0.075＝5.25． 22．（12分）已知函数f(x)=kx ，g(x)=lnxx． （1）若不等式f （x ）≥g （x ）在区间（0，+∞）内恒成立，求实数k 的取值范围； （2）求证：ln224+ln334+...+lnn n 4＜12e．（n ≥2，n ∈N *，e 为自然对数的底数）解：（1）因为x ＞0，kx ≥lnx x ，所以k ≥lnxx2， 令ℎ(x)=lnx x 2，又ℎ′(x)=1−2lnxx 3，令h ′（x ）＝0，解得x =√e ， 0＜x ＜√e 时，h ′（x ）＞0，h （x ）递增，x ＞√e 时，h '（x ）＜0，h （x ）递减， 所以当x =√e 时函数h （x ）有最大值，且最大值为12e，所以k ≥12e， 即k 的取值范围是[12e，+∞）．（2）证明：由（1）知lnx x 2≤12e ，所以lnx x 4≤12e ⋅1x 2，所以ln224+ln334+...+lnnn 4＜12e (122+132+...+1n2)， 又122+132+⋯+1n 2＜11×2+12×3+⋯+1(n−1)n=(1−12)+(12−13)+...+(1n−1−1n )=1−1n＜1，所以ln224+ln334+...+lnnn4＜12e(122+132+...+1n2)＜12e，即ln224+ln334+...+lnnn4＜12e．。
福建省厦门第一中学近年届高三数学上学期第三次返校考试试题文(扫描(2021年整理)
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福建省厦门市湖里区湖里实验中学2020-2021学年九年级上学期12月月考数学试题(解析版)
2020-2021学年福建省厦门市湖里实验中学九年级（上）第二次月考数学试卷（12月份）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，每题都有4个选项，其中有且只有一个选项正确）1. ﹣13的倒数是（）A. ﹣13B.13C. ﹣3D. 3【答案】C【解析】【分析】直接利用倒数定义解答即可．【详解】13的倒数是－3；故答案为:C【点睛】本题主要考查了倒数，掌握相关定义是解答本题的关键2. 下列所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A. 矩形B. 平行四边形C. 正五边形D. 正三角形【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可得．【详解】在一个平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，这样的图形叫做中心对称图形．A、既是中心对称图形，又是轴对称图形，此项符合题意；B、是中心对称图形，不一定是轴对称图形，此项不符题意；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，此项不符题意；D、不是中心对称图形，是轴对称图形，此项不符题意；故选：A．【点睛】本题考查了中心对称图形、轴对称图形，熟记定义是解题关键．3. 用配方法解方程x 2﹣2x ﹣4＝0，配方正确的是（ ）A. （x ﹣1）2＝5B. （x ﹣1）2＝4C. （x +1）2＝﹣3D. （x ﹣1）2＝﹣3 【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程的配方法：一除、二移、三配，即可求出答案．【详解】解：x 2-2x-4=0，移项得，x 2-2x=4，两边加上一次项系数一半的平方，x 2-2x+1=4+1，（x-1）2=5，故选：A ．【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一除、二移、三配的方法把一元二次方程等号左边配成完全平方式，本题属于基础题型．4. 将抛物线23y x =如何平移得到抛物线23(2)3y x =+-（ ）A. 向左平移2个单位，向上平移3个单位；B. 向右平移2个单位，向上平移3个单位；C. 向左平移2个单位，向下平移3个单位；D. 向右平移2个单位，向下平移3个单位．【答案】C【解析】【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可得出答案．【详解】根据二次函数的平移规律可知，将抛物线23y x =向左平移2个单位，再向下平移3个单位即可得到抛物线23(2)3y x =+-，故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．5. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 是直径，CD 平分∠ACB 交⊙O 于D 点，则∠BAD 等于（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°【答案】B【解析】【分析】 由题意，根据直径所对的圆周角是90︒，可知90ACB ∠=︒，再由角平分线性质，可得190452ACD DCB ∠=∠=⨯︒=︒，最后根据同圆中，同弧所对的圆周角相等即可解题 【详解】△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 是直径，90ACB ∴∠=︒，CD 平分∠ACB 交⊙O 于D 点，190452ACD DCB ∴∠=∠=⨯︒=︒ 又BD BD =45BAD BCD ∴∠=∠=︒故选：B ．【点睛】本题考查圆的有关元素，其中涉及直径所对的圆周角为90度、同一个圆中，同弧所对的圆周角相等、角平分线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．6. 新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有81人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，下列列式正确是（ ）A. (1)81x x x ++=B. 2181x x ++=C. 1(1)81x x x +++=D. (1)81x x +=【答案】C【解析】【分析】平均一人传染了x 人，根据有一人患病，第一轮有（x+1）人患病，第二轮共有x+1+（x+1）x 人，即81人患病，由此列方程求解．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得，x+1+（x+1）x=81故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．7. 如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，⊙O的半径长为a，下列说法中不正确的是（）A. 正六边形ABCDEF的中心角等于60°B. 正六边形ABCDEF的周长等于6aC. 正六边形ABCDEF的边心距等于3 2aD. 正六边形ABCDEF的面积等于23a【答案】D【解析】【分析】正多边形每一边对应的圆心角等于中心角，判断出△OAB为正三角形，即可求得周长为6a，边心距即为正△OAB的高，正六边形的面积为6个正三角形的面积之和，计算出结果依次判断即可．【详解】∵⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，∴正六边形ABCDEF的中心角等于360606︒=︒，故A正确；∵⊙O的半径长为a，正六边形ABCDEF的中心角等于60°，∴△OAB为正三角形，∴正六边形的边长为a，∴正六边形ABCDEF的周长等于6a，故B正确；∵正六边形ABCDEF 2=， 故C 正确，∵正六边形ABCDEF 的面积等于六个正三角形OAB 的面积，∴162ABCDEF S a =⨯⨯= 故D 错误；故选：D ．【点睛】本题主要考查的是正多边形外接圆的性质，熟练掌握圆心角的计算，以及正三角形的性质是解答本题的关键．8. 将点A （5，0）绕着点B （1，0）逆时针旋转120°，得到点C ，则点C 的坐标为（ ）A. （﹣1，﹣B. （52-）C. （﹣2，）D. （﹣1，【答案】D【解析】【分析】 连结AB ，BC ，过C 作CD ⊥x 轴于D ，构造Rt △BCD ，求出BC=AB=4，∠CBD=60º，在Rt △BCD 中解直角三角形求出BD ，CD ，再求出OD 即可．【详解】连结AB ，BC ，过C 作CD ⊥x 轴于D ，∴BC=AB=5-1=4，∵∠CBA=120º，∴∠CBD=180º-∠CBA=180º-120º=60º，在Rt △BCD 中，∴BD=BC•cos ∠CBD=4×12=2，CD= BC•sin ∠， ∴OD=BD-OB=2-1=1，∵点C 在第二象限，∴C(-1，．故选择：D ．．【点睛】本题考查旋转图形中点的坐标问题，掌握把旋转角转化为Rt △BCD 中的角，A 、B 两点长度AB 转化为BC ，利用三角函数解直角三角形是解题关键．9. 如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图象称为“果园”，已知点A ，B ，C ，D 分别是“果园”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y ＝x 2﹣4x ﹣5，AB 为半圆的直径，则这个“果园”被y 轴截得的弦CD 的长为（ ）A. 8B. 5C. 5D. 55【答案】C【解析】【分析】 连接CM ，根据抛物线解析式求出OD=5，AO=1，BO=5，AB=6，M （2，0），利用勾股定理求出OC ，即可得到CD 的长度.【详解】连接CM ，∵抛物线的解析式为245y x x =--，∴点D 的坐标为（0，-5），∴OD=5.设y=0，则0=x 2-4x-5，解得：x=-1或5，∴A （-1，0），B （5，0）.∴AO=1，BO=5，AB=6，M （2，0），∴MC=3，OM=2，在Rt △COM 中，OC=2222325CM OM -=-=,∴CD= OD+ OC=55+,即这个“果圆”被y 轴截得的线段CD 的长55+，故答案为：C【点睛】此题考查二次函数的性质，图象与坐标轴的交点坐标，数轴上两点之间的距离，圆的半径相等的性质，勾股定理，正确掌握基础知识点是解题的关键.10. 如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，22AC BC ==，CD AB ⊥于点D ．点P 从点A 出发，沿A D C →→的路径运动，运动到点C 停止，过点P 作PE AC ⊥于点E ，作PF BC ⊥于点F ．设点P 运动的路程为x ，四边形CEPF 的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分两段来分析：①点P 从点A 出发运动到点D 时，写出此段的函数解析式，则可排除C 和D ；②P 点过了D 点向C 点运动，作出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口方向可得答案．【详解】解：∵90ACB ∠=︒，22AC BC ==， ∴45A ∠=︒，4AB =，又∵CD AB ⊥，∴2AD BD CD ===，45ACD BCD ∠=∠=︒，∵PE AC ⊥，PF BC ⊥，∴四边形CEPF 是矩形，I ．当P 在线段AD 上时，即02x <≤时，如解图1∴2sin 2AE PE AP A x ===， ∴222CE x =-， ∴四边形CEPF 的面积为2221222222y x x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向下，故选项CD 错误； II ．当P 在线段CD 上时，即24x <≤时，如解图2：依题意得：4CP x =-，∵45ACD BCD ∠=∠=︒，PE AC ⊥，∴sin CE PE CP ECP ==⨯∠，∴())4sin 4542CE PE x x ==-︒=-， ∴四边形CEPF的面积为)2214482x x x y ⎤-=-+⎥⎣⎦=，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向上，故选项B 错误；故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，分段写出函数的解析式并数形结合进行分析是解题的关键．二、填空题（每小题4分，共24分）11. 方程x 2＝2x 的解是__________．【答案】120,2x x ==【解析】【分析】移项后利用分解因式法求解即可．【详解】解：移项，得x 2－2x =0，原方程可变形为：()20x x -=，∴x =0或x －2=0， ∴120,2x x ==．故答案为：120,2x x ==．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题目，掌握求解的方法是关键． 12. 在一个不透明的口袋内只装有一些除颜色外完全相同的红球3个，白球4个，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是_____． 【答案】37． 【解析】【分析】根据随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，用红球的个数除以总个数，求出恰好摸到红球的概率即可．【详解】∵袋子中有3个红球， 4个白球共有7个球，∴任意摸出一球，红球出现有3种情况，所有情况有7种∴任意摸出一球，摸到红球的概率是37； 故答案为：37． 【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，解答此题的关键是要明确：随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．13. 在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，⊙O 是以AB 为直径的圆，则直线DC 与⊙O 的位置关系是____．【答案】相离【解析】【分析】AB 为直径，6AB =，则半径是3；矩形ABCD 中，4BC =，则圆心到CD 的距离为4.根据距离大于半径判定相离. 【详解】矩形ABCD 中，4BC =，∴圆心到CD 的距离为4，AB 为直径，6AB =，∴半径是3，43>，∴直线DC 与O 相离.故答案为相离.【点睛】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系解答.若d r <，则直线与圆相交；若d r =，则直线与圆相切；若d r ，则直线与圆相离.14. 已知三角形ABC 是⊙O 的内接三角形，∠BOC ＝140°，则∠BAC 的度数为_____． 【答案】70°．【解析】【分析】利用圆心角与圆周角的关系来求即可．【详解】∵三角形ABC 是⊙O 的内接三角形，BOC 140∠=︒，11=BO 1407022A C ∠∠=⨯︒=︒∴， 故答案为：70°．【点睛】本题考查圆心角与圆周角的关系，掌握圆周角定理，会利用圆心角与圆周角的关系解决问题是关键．15. 公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s(m)与时间t(s)的函数关系式为s=20t-5t 2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行______m 才能停下来．【答案】20．【解析】求停止前滑行多远相当于求s 的最大值.则变形s =-5(t -2)2+20，所以当t =2时，汽车停下来，滑行了20m .16. 如图，在直角坐标系中，⊙A 的半径为2，圆心坐标为（4，0），y 轴上有点B （0，3），点C 是⊙A 上的动点，点P 是BC 的中点，则OP 的范围是_____．【答案】3722OP ≤≤ 【解析】【分析】如图，在y 轴上取一点()0,3B '-，连接B A '，B C '，由勾股定理求出B A '=5，由三角形中位线定理求B C '=2OP ，当C 在线段B A '上时，B C '的长度最小值=5-2-3，当C 在线段B A '延长线上时，B C '的长度最大值=5+2=7，即可求解．【详解】如图，在y 轴上取一点()0,3B '-，连接B A '，B C '，∵B （0，3），()0,3B '-，A （4，0），∴3OB OB '==，4OA =， ∴22345B A '=+=，∵点P 是BC 的中点，∴BP PC =，∵OB OB '=，BP PC =，∴2B C OP '=，当C 在线段B A '上时，B C '的长度最小值为：5-2-3，当C 在线段B A '延长线上时，B C '的长度最大值为：5+2=7， ∴3722OP ≤≤， 故答案为：3722OP ≤≤．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，三角形中位线定理，勾股定理等知识，添加恰当的辅助线是解答本题的关键．三、解答题（共86分）17. 计算：011(3)()33π---+． 【答案】332+【解析】【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式=3313-+=332+【点睛】此题主要考查了二次根式的性质以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．18. 解不等式组：124(3)21223x xxx--≥⎧⎪-⎨+>⎪⎩．【答案】不等式组的解集为：-1＜x≤4．【解析】【分析】先求出每一个不等式的解集，再求出其公共解集即可．【详解】124(3)2(1)122(2)3x x x x--≥⎧⎪-⎨+>⎪⎩，（1）去括号得，12−4x＋12≥2x，移项、合并同类项得，−6x≥−24，解得，x≤4；（2）去分母得，3（x+2）＞1−2x，去括号得，3x+6＞1−2x，移项、合并同类项得，5x＞-5，化系数为1得，x＞-1．∴不等式组的解集为：-1＜x≤4．【点睛】主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．19. 已知二次函数当x＝3时，有最小值﹣1，且当x＝0时，y＝2，求二次函数的解析式．【答案】二次函数解析式为y＝13（x-3）2−1．【解析】【分析】由当x＝3时，y有最小值是−1，可知二次函数的顶点坐标为（3，−1），设二次函数y＝a（x-3）2−1，代入（0，2）求得a的数值即可．【详解】设二次函数解析式为y＝a（x-3）2−1，把点（0，2）代入得，a（0-3）2−1＝2，解得a＝13．所以二次函数解析式为y＝13（x-3）2−1．【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式，用待定系数法求函数的解析式时要灵活地根据已知条件选择合适的二次函数模型．20. 如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD ．求该矩形草坪BC 边的长．【答案】12米【解析】【分析】【详解】解：设BC 边的长为x 米，根据题意得 321202x x -= 解得：121220x x ==，∵20＞16，∴220x =不合题意，舍去答：该矩形草坪BC 边的长为12米.21. 在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n100 150 200 500 800 1000摸到黑球的次数m73113 154 370 604 751 摸到黑球的频率m n 0.73 0.753 0.77 0.74 0.755 0.751（1）请估计；当n 很大时，摸到黑球的频率将会接近 （结果精确到0.01）；试估计口袋中白球有 只；（2）在（1）的结论下，请你用列表或树状图求出随机摸出两个球都是黑球的概率．【答案】（1）0.75；3；（2）116． 【解析】【分析】 （1）先根据统计表中第三行的数据求出频率的稳定值，用频率估计概率可得摸到白球的概率，利用概率公式即可求得；（2）先利用树状图列出随机摸出两个球的所有可能的结果，再找出摸出两个球都是黑球的结果，最后利用概率公式计算即可得．【详解】（1）统计表中第三行的数据分别为：0.73 0.753 0.77 0.74 0.755 0.751因此，当n 很大时，摸到白球的频率将会接近0.75，白球的概率为0.75，设口袋中白球个数为x 个，则0.754x =，解得3x =，即口袋中白球个数为3个， 故答案为：0.75；3；（2）由题意，将这4个球中3白1黑，两次摸球的所有可能的结果有16种，如下表所示：它们每一种结果出现的可能性相等，从表中看出，两次摸出的球都是黑的结果有1种，故两次摸出的球都是黑的概率为116P =． 【点睛】本题考查了用频率估计概率、和树状图求概率。
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第1页福建省厦门第一中学2020-2021学年度上学期12月阶段性考试高三年数学试卷一、单选题：本大题7小题，每小题5分，共35分。
1.如果集合{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}2,4,8A =，{}1,3,4,7B =，那么()U A B =A ．{4}B ．{1，3，4，5，6，7}C ．{1，3，7}D ．{2，8}2.已知复数z 满足(1)35z i i +=+，则z 的共轭复数z = A ．4i -B ．4i +C ．1i --D ．1i -+3.等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 的公差为 A ．1B ．2C ．3D ．44. 设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则αβ的一个充分条件是 A ．存在两条异面直线a ，b ，a α⊂，b β⊂，a β，b α B ．存在一条直线a ，a α，a β C ．存在一条直线a ，a α⊂，a βD ．存在两条平行直线a ，b ，a α⊂，b α⊂且a β，b β第2页5.学生甲、乙、丙报名参加校园文化活动，活动共有四个项目，每入限报其中一项， 则甲所报活动与乙、丙都不同的概率等于 A ．34B ．916C ．3281D ．386.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ︒，空气的温度是0C θ︒，t min 后物体的温度C θ︒可由公式0.24010()t e θθθθ-=+-求得．把温度是100C ︒的物体，放在10C ︒的空气中冷却 t min 后，物体的温度是40C ︒，那么t 的值约等于(参考数据：ln3≈1.099，ln2≈0.693)A ．6.61B ．4.58C ．2.89D ．1.697.已知O 为ABC ∆的外心，260OA OB OC ++=，则ACB ∠的正弦值为B.12C.38二、多选题：本大题4小题，全选对得5分，选对但不全得3分，选错或不答得0分。
8. 在61()x x-的展开式中，下列说法正确的有 A ．所有项的二项式系数和为64 B ．所有项的系数和为0C ．常数项为20D ．展开式中不含2x 项第3页9.已知函数()23sin 22cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变，得到函数()y g x =的图象，若()()124g x g x ⋅=-，则12x x -的值可能为A ．54π B ．34π C ．2π D ．4π10. 已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为3π的直线分别交y 轴与双曲线右支于点M ，P ，1||||PM MF =，下列判断正确的是A ．216PF F π∠=B ．211||||2MF PF =C ．E 的离心率等于23+D ．E 的渐近线方程为2y x =±11.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化代表之一，印信的形状 多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信 形状是“半正多面体”．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形 围成的多面体，古希腊著名数学家阿基米德研究过此类多面体的性质，故半正多面体又被称为“阿基米德多面体”．半正多面体体现了数学的对称美，如图，是一个 棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1． 则下列关于该多面体的说法中正确的是 A .多面体有12个顶点，14个面 B .多面体的表面积为3C .多面体的体积为56D .多面体没有外接球(即经过多面体所有顶点的球)第4页三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.12.某学校高三年段有三个班级，人数分别为1班40人、2班45人、3班50人，在一次考试中， 三个班级的平均分数分别为81分、86分、90分，则这次考试该年段学生的平均分数为 ▲ ．13.若,αβ为锐角，tan α，tan β是方程2670x x -+=的两个根，则αβ+= ▲ ．14.定义在R 的偶函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且()20f =，则不等式(1)0xf x -≤的解集是 ▲ .15.已知正项等比数列{}n a 中，42516, 15a a a a -=-=，则n a =_▲_，数列{}n b 满足1111, 21n nb b b +==-；若n S 为数列{}1n n a b +的前n 项和，那么3n S =_▲_.四、解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答过程填写在答题卡的相应位置。
16.(本小题15分)已知在ABC ∆中，C ∠为钝角，()3sin 5A B +=，()1sin 5A B -=．(1)求证：tan 2tan A B =； (2)设6AB =，求AB 边上的高．第5页17.(本小题12分)厦门市为创建全国文明城市，推出“行人闯红灯系统建设项目”，将针对闯红灯行为进行曝光． 交警部门根据某十字路口以往的监测数据，从穿越该路口的行人中随机抽查了200人，得到 如图示的列联表：闯红灯 不闯红灯 合计 年龄不超过45岁 6 74 80 年龄超过45岁24 96 120 合计30170200(1)能否有97.5%的把握认为闯红灯行为与年龄有关？(2)如图是某路口监控设备抓拍的5个月内市民闯红灯人数的统计图．请建立y 与x 的 回归方程ˆˆˆybx a =+，并估计该路口6月份闯红灯人数． 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，1221ˆni ii n i i x y nxyb x nx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =- 2()P K k 0.0500.025 0.0010 0.005 0.001k 3.8415.0246.6357.879 10.828参考数据：51685i i y ==∑，11966i i i x y ==∑.第6页18.(本小题12分)如图所示，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，3PC =，2ACB π∠=，,D E 分别为线段,AB BC 上的点，且2CD DE ==22CE EB ==.(1)证明：ED ⊥平面PCD ； (2)求二面角A PD C --的余弦值.19. (本小题12分)在①12n n S a n +=；②12n n n a a S +=；③()()22221231216n n n n a a a a ++++++=这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，满足 .第7页(1)求{}n a 的通项公式；(2)若n T 为数列{}2n a的前n 项和，记12n n n n Tb T T ++=⋅，求证：1212n b b b +++<.20. (本小题12分)已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>在右、上顶点分别为A 、B ，F 是椭圆Γ的左焦点，23,P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭是椭圆Γ上的点，且|OB|=|OF|(O 是坐标原点). (1)求椭圆Γ的方程；(2)设直线l 与椭圆Γ相切于点M(M 在第二象限)，过O 作直线l 的平行线与直线MF 相交于点N, 问：线段MN 的长是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.第8页21.已知函数()ln f x x ax =- (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()1212,x x x x <是()f x 的两个零点．证明：(i)122x x a+>；(ii)21x x ->．数学答案一、单项选择题： 1.C 2.A 3.B 4.A 5.B 6.B 7.D二、多项选择题： 8.AB 9.ABD 10. BC 11.AC 三、填空题：12. 8613.34π 14. (][],10,3-∞-15. 12n -，817n - 四、解答题：16.（1）证明：()3sin 5A B +=，3sin cos cos sin 5A B A B ∴+=，又sin cos cos sin A B A B -15=2sin cos 5A B ∴=，1cos sin 5A B =tan 2tan A B ∴= （2）解：由（1）知()4cos 5A B +=，()3tan 4A B ∴+= 即：tan tan 31tan tan 4A B A B +=-，将tan 2tan A B =代入上式并整理得：22tan 4tan 10B B +-=第9页又因为B 为锐角，tan 0B >，所以解得tan B =，tan 2tan 2A B ∴==-．设AB 上的高为CD，则26tan tan CD CD AB AD DB A B =+=+==，得)22CD =-，故AB边上的高为)22-．17.解： （1）设0:H 闯红灯的行为与年龄无关；由列联表计算22200(6967424) 5.882 5.0243017080120K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以假设不成立，在犯错误概率不超过0.025的前提下可认为闯红灯的行为与年龄有关 即有97.5%的把握认为闯红灯行为与年龄有关．（2）由题意得，1(12345)35x =⨯++++=，1(158143134130120)1375y =⨯++++=；所以5125215196653137ˆ8.955595ii i i ix yxybxx ==--⨯⨯===--⨯-∑∑，ˆˆ137(8.9)3163.7ay bx =-=--⨯=， 所以y 与x 的回归方程ˆ8.9163.7yx =-+， 6x =时，ˆ8.96163.7110.3y=-⨯+=；估计该路口6月份闯红灯人数为110（或111）． 18.解： （1）PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，PC DE ∴⊥．22CD DE CE EB ====，CDE ∴∆为等腰直角三角形，CD DE ∴⊥．PC CD C =，DE 垂直于平面PCD 内两条相交直线，DE ∴⊥平面PCD ．（2）由（1）知，CDE ∆为等腰直角三角形，4DCE π∠=．第10页如图，过D 作DF 垂直CE 于F ，则1DF FC FE ===，又已知1EB =，故2FB =． 由2ACB π∠=，得//DF AC ，23DF FB AC BC ==，故3322AC DF ==． 以C 为坐标原点，分别以,,CA CB CP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的 正方向建立空间直角坐标系，则(0C ，0，0)，(0P ，0，3)，3(2A ，0，0)，(0E ，2，0)，(1D ，1，0)，(1ED =，1-，0)，(1DP =-，1-，3)，1(2DA =，1-，0)．设平面PAD 的法向量为1(n x =，1y ，1)z ，由0n DP =，0n DA =，得1111130102x y z x y --+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，取12x =，得(2n =，1，1)．由（1）可知DE ⊥平面PCD ，故平面PCD 的法向量(1m BD ==，1-，0)， 3cos ,||||m n m n m n <>==，故所求二面角A PD C --3．19.解：① 在横线上填写12n n S a n +=.解：即12n n S na +=，（i ）1n =时，122S a =，即22a = （ii ）1n >时，12(1)n n S n a -=-，作差得12(1)n n n a na n a +=--，即1(1)n n n a na ++=即11n n a a n n +=+，即1211121n n a a a a n n +====+ 综上n a n =.解：（i ）1n =时，1212a a S =，即22a =（ii ）1n >时，112n n n a a S --=，作差得11()2n n n n a a a a +--=，又0n a >即112n n a a +--=即21212k k a a +--=，21{}k a -是以1位首项，2位公差的等差数列.则2121k a k -=- 同理2+222k k a a -=，2{}k a 是以2位首项，2位公差的等差数列.则22k a k = 综上n a n =.第11页（i ）1n =时，11a =， （ii ）1n >时，()()222212311216n n n n a a a a ---++++=，作差得()()()()2212112166n n n n n n n a n ++--=-=，又0n a >即n a n =.综上n a n =.（2）1212(12)2222212n nn n T +-=+++==--，11111111112211n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n T b T T T T b T T T T T T T T T T T T +++++++++++--======-⋅⋅⋅⋅⋅所以12n+2122311111111111111=+++==2222n n n n b b b T T T T T T T T +++++-----<- 20.解：（1）由题意可得2222231124b c a b c ab ⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪+=⎩，解得22a =，21b =，21c =，∴椭圆C 的方程为2212x y +=；（2）设0(M x ，0)y ，M 在第二象限，故切线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()00y k x x y =-+，即00y kx y kx =+-，与椭圆2221x y +=联立，整理得：2220000(12)4()2()20k x k y kx x y kx ++-+--= (*)因为直线与椭圆相切，所以△2222000016()8[()1](12)0k y kx y kx k =----+=整理得2220000(2)210xk kx y y -++-= ① 又因为点0(x ，0)y 在椭圆上，所以220012x y +=代入①得2222000002202x y k kx y k ++=+=，所以002xk y =-， 所以切线方程为0000()2x y y x x y -=--，即220000222x x y y yx +=+=；①(1,2M -，直线:1MF x =-，则(1,2N --,||MN =.第12页②直线00:(1)1y MF y x x =++，联立两直线方程可得22002200002222N y y x x y x x =-=-+++22222222000000022000(1)+(22)||[1()]()1(1)(2)N y x y y x x MN x x x x x +++=+-=⋅+++ 2202002200(211)(22)2(1)(2)x x x x x x +++-+=⋅++200202(44)=2(2)x x x ++=+，||MN =为定值. 21.解：（1）()f x 定义域()0,+∞，()11axf x a x x-'=-=则当0a ≤时，()'0f x > ，()f x 在()0,+∞为增函数；当0a >时，()10,,'0x f x a ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭，()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，()1,,'0x f x a ⎛⎫∈+∞< ⎪⎝⎭在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭为减函数 （2）证明：（ⅰ）原不等式等价于1212x x a+>， 因为11ln ax x =① 22ln ax x =② 由②-①得，()2121ln ln a x x x x -=-则2121ln ln x x a x x -=-，则1212x x a +>等价于1221212ln ln x x x x x x +->- 因为210x x >>所以21ln ln 0x x ->即证()2121122ln ln x x x x x x -->+ ③等价于21221121ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭->+，设21x t x =，()1t >设()()21ln 1t g t t t -=-+，()1t >③等价于()0g t >，()()()()222112011t g t t t t t -'=-=>++第13页()g t 在()1,+∞上为增函．21221121ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭->+，()()10g t g >=，即1212x x a +>（ⅱ）设()ln x h x x =，则()21ln xh x x-'= 所以()h x 在(]0,e 上递增，在(),e +∞上递减 因为()a h x =有两个不相等的实根，则10a e<<且121x e x <<< 易知ln 1x x <-对()()0,11,x ∈⋃+∞恒成立，则1ln1x x>-对()0,1x ∈恒成立 11111ln 1ln1x eax x e x -=-=>-，因为10x >，所以21120ax x e -+> 又因为0a >，440ae ∆=->，所以11x a <或11x a >+ 因为10x e <<且10a e <<，所以11x a <因为1212x x a +>，所以121112x x x a a ⎛+->- ⎝即21x x ->。