江西省赣州市宁师中学2020届高三数学12月月考试题文

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江西省2020高考数学12月月考考前强化与演练(八)理

江西省2020高考理科数学12月月考考前强化与演练（八）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在答卷的相应表格内） 1．已知集合2{1,1},{|20},A B x R x x =-=∈--=I 则A B = （）A ．{1}B ．φC ．{—1，1}D ．{—1} 2．函数(4)ln(2)()3x x f x x --=-的零点有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 3．函数2()log (31)xf x =-的定义域为（）A ．（0，+∞）B ．[0，+)∞C ．（1，+∞）D ．[1，+∞） 4．若0a b >>，则下列不等式中总成立的是（）A ．11a b a b +>+B ．11a b b a +>+C ．11b b a a +>+ D ．22a b aa b b->+5．50.6，0.65，log 0.55的大小顺序是（） A ．0.65 < log 0.65 < 50.6B ． 0.65 < 50.6< log 0.65C ．log 0.65 < 50.6 < 0.65D ．log 0.65 <0.65 < 50.66．设,1()(1),1x e x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则(ln 3)f =（）A ．3eB ．ln31-C ．eD ．3e 7．已知函数2cos3,xy a x y -'==则（）A ．222ln cos3sin 3xx y a a x a x --'=-⋅- B ．222ln cos33sin 3xx y a a x a x --'=-⋅- C ．222log cos33sin 3xx a y a e x a x --'=-⋅-D ．22ln cos33sin 3xx y aa x a x --'=-⋅+8．若曲线4()f x x x =-在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为（）A ．（—1，2）B ．（1，—3）C ．（1，0）D ．（1，5）9．已知,,(0,),320,ac a b c a b c b∈+∞-+=则的（）A ．最大值是3B ．最小值是3C ．最大值是33D ．最小值是3310．设2[1,2),{|10},A B x x ax B A =-=--≤⊆若，则实数a 的取值范围为（）A ．[1,1)-B ．[1,2)-C ．[0,3)D ．3[0,)211．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长9.5%，要增长到原来的x 倍，需经过y 年，则函数()y f x = 图象大致为（）12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为3，且3(,0)2x ∈-时，2()log (31)f x x =-+，则(2011)f =（）A ． 4B ．2C ．—2D ．log 27二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请将正确答案填写在横线上） 13. 如图所示的韦恩图中，A 、B 是非空集合，定义A*B 表示阴影部分的集合.若,,R y x ∈}0,3|{},2|{2>==-==x y y B x x y x A x .则A*B 为14．定义在R 上的函数⎩⎨⎧=≠=0,10,lg )(x x x x f ，关于x 的方程)()(为常数c c x f =恰有三个不同的实数根321,,x x x ，则=++321x x x15．若()()4141231---<+a a ,则a 的取值范围是 ______16．关于函数),0(1lg )(2R x x xx x f ∈≠+=，有下列命题：①函数)(x f y =的图像关于y 轴对称；②当0>x 时，)(x f 是增函数，当0<x 时，)(x f 是减函数； ③函数)(x f 的最小值是2lg ；④当01<<-x 或1>x 时，)(x f 为增函数； ⑤)(x f 无最大值，也无最小值。

江西省赣州市宁师中学2020届高三数学12月月考试题【含答案】

0,1, 2
D.
2.已知 a R ， i 是虚数单位，若 z 3 ai ， z z 4 ，则 a 为（）
A. 1或 1
B. 1
C. 1
1
3.已知 a 2 3 , b log2 3, c log4 7 ，则 a, b, c 的大小关系为（）
A. a b c
B. b a c
C. c a b
4
x 4m2
y
4m
，（ m 为参数）．
（1）求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程；
（2）设直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点，求 1 1 ． MA MB
23．已知 a，， b c R* ， a2 b2 c2 1 ．（1）求证： ab bc ac 1；
a4 b4 c4 1 （2）求证： c2 a2 b2 ．
PA 与 PB 的倾斜角分别为，，证明：．
(二）选考题：共 10 分.请考生在第 22,23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题计分.
22．以平面直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 M 的直角坐标为 (1, 0) ，若直线 l 的极坐标方程为 2 cos( ) 1 0 ，曲线 C 的参数方程是
[1500，3000]内（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示：
1750, 2000,2000, 2250
（1）按分层抽样的方法从质量落在
的蜜柚中随机抽取 5 个，
再从这 5 个蜜柚中随机抽 2 个，求这 2 个蜜柚质量均小于 2000 克的概率；
（2）以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有 5000 个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案： A.所有蜜柚均以 40 元/千克收购； B.低于 2250 克的蜜柚以 60 元/个收购，高于或等于 2250 的以 80 元/个收购. 请你通过计算为该村选择收益最好的方案.

2020届高三12月月考数学(理)试题+参考答案

2020届高三12月月考数学试卷(理科)说明：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第（1）页至第（3）页，第Ⅱ卷第（4）页至第（6）页。

2、本试卷共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、班级填涂在答题卡上，贴好条形码。

答题卡不要折叠2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目标号涂黑。

答在试卷上无效。

3、考试结束后，监考人员将试卷答题卡收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}{}2|0|2M x x x N x x =-=＜，＜，则 ( )A ．M N ⋂=∅B ．M N M ⋂=C ．M N M ⋃=D ．M N R =U2． “”是“方程表示双曲线”的（ )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．正项等差数列{}n a 中的11a ，4027a 是函数()3214433f x x x x =-+-的极值点，则20192log a =( ) A ．2B ．3C ．4D ．54．函数1sin cos (0)y x a x a =+>的图象是由函数25sin 5cos y x x =+的图像向左平移ϕ个单位得到的，则cos ϕ=（）A ．35B ．45C 32D 225．新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A 、B 、C 、D 、E 五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（）A ．获得A 等级的人数减少了B ．获得B 等级的人数增加了1.5倍C ．获得D 等级的人数减少了一半D ．获得E 等级的人数相同6．设()0sin cos a x x dx π=+⎰，且21nx ax ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是（） A ．1 B ．1256 C ．64 D ．1647．直线(1)(2)0()x y R λλλλ+-++=∈恒过定点A ，若点A 在直线20mx ny ++=上，其中0m >，0n >，则21m n+的最小值为（） A ．22B ．4C ．52D ．928．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=⨯（弦×矢+矢2），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为23π，矢为2的弧田，按照上述方法计算出其面积是 ( )A ．2+43B ．13+2C ．2+83D ．4+839．执行如图所示的程序框图，则输出n 的值是（）A ．3B ．5C ．7D ．910．已知函数()sin (0)f x x ωω=>，点A ，B 分别为()f x 图像在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O 为坐标原点，若OAB ∆为锐角三角形，则ω的取值范围为（）A ．30,2π⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．3,22ππ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11．设函数()f x 在R 上存在导函数'()f x ，x R ∀∈，有3()()f x f x x --=，在(0,)+∞上有22'()30f x x ->，若2(2)()364f m f m m m --≥-+-，则实数m 的取值范围为（）A ．[1,1]-B ．(,1]-∞C ．[1,)+∞D ．(,1][1,)-∞-+∞U12．已知函数22,0()(2),0x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，以下结论正确的是（）A ．(3)(2019)3f f -+=-B ．()f x 在区间[]4,5上是增函数C ．若方程() 1f x k x =+恰有3个实根，则11,24k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭D ．若函数()y f x b =-在(,4)-∞上有6个零点(1,2,3,4,5,6)i x i =，则()61i i i x f x =∑的取值范围是()0,6第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．已知34a b R a ib i i+=+∈，（，）其中i 为虚数单位，则a bi +=________； 14．已知数列{}n a的首项11a =，且满足11(2)n n n n a a a a n ---=≥，则122320142015a a a a a a +++=L ；15．如图，在矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，E 为AB 的中点．将ADE V 沿DE 翻折，得到四棱锥1A DEBC -．设1A C 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题：①总有BM ∥平面1A DE ； ②线段BM 的长为定值；③存在某个位置，使DE 与1A C 所成的角为90°．其中正确的命题是_______．（写出所有正确命题的序号）16．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，左顶点为A ，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的右支于M ，N 两点，且线段AM 的垂直平分线经过点N ，则C 的离心率为_________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知函数2()cos 2cos 2()3f x x x x R π⎛⎫=--∈⎪⎝⎭(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3()2B f =-，1b =，3c =，且a b >，试求角B 和角C .18．（本小题满分10分）如图，在PBE △中，AB PE ⊥，D 是AE 的中点，C 是线段BE 上的一点，且5AC =，122AB AP AE ===，将PBA ∆沿AB 折起使得二面角P AB E --是直二面角．（l ）求证：CD 平面PAB ；（2）求直线PE 与平面PCD 所成角的正切值．19．（本小题满分10分）2019年3月5日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2位同行专家（不同于前3位专家）进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为()01p p <<，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立．（1）若12p =，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率；（2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用1500元；若某次评审抽检论文总数为3000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应p 的值．20．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F1（﹣1，0），离心率2e=．（1）求椭圆G 的标准方程；（2）已知直线11l y kx m=+：与椭圆G交于A B，两点，直线2212l y kx m m m=+≠：（）与椭圆G交于C D，两点，且AB CD=，如图所示．①证明：120m m+=；②求四边形ABCD的面积S的最大值．21．（本小题满分10分）已知函数()22,02,0xx xf x xax ax xe⎧-<⎪=⎨+-≥⎪⎩在(),-∞+∞上是增函数．()1求实数a的值；()2若函数()()g x f x kx=-有三个零点，求实数k的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为3cos3xyαα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为2sin42πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点()1,0P-，直线l和曲线C交于,A B两点，求||||PA PB+的值．23．已知函数()()210f x x a x a=++->.（1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围.（数学理）1-5 BDCBB 6-10 DDADB 11.B 12 BCD13.5 14. 15. ①② 16. 4 317【解析】（1）233()cos2cos2sin2cos23sin23223f x x x x x xππ⎛⎫⎛⎫=--=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q，令222,232k x k k Zπππππ--+∈剟，解得5,1212k x k k Zππππ-+∈剟∴故函数()f x的递增区间为5,()1212k k kππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z.（2）313sin,sin2332Bf B Bππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-∴-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，20,,,333366B B B Bπππππππ<<∴-<-<∴-=-=Q即，由正弦定理得：13sin sinsin6aA Cπ==，3sin2C∴=，0Cπ<<Q，3Cπ∴=或23π.当3cπ=时，2Aπ=：当23Cπ=时，6Aπ=（不合题意，舍）所以,63B Cππ==.18．如图，在PBE△中，AB PE⊥，D是AE的中点，C是线段BE上的一点，且5AC=，122AB AP AE===，将PBAV沿AB折起使得二面角P AB E--是直二面角．（l）求证：CD平面PAB；（2）求直线PE与平面PCD所成角的正切值．【答案】（1）证明见解析.（2）13.【解析】分析：（1）推导出4,AE AC =是Rt ABE ∆的斜边上的中线，从而C 是BE 的中点，由此能证明//CD 平面PAB ；（2）三棱锥E PAC -的体积为E PAC P ACE V V --=，由此能求出结果．详解：（1）因为122AE =，所以4AE =，又2AB =，AB PE ⊥，所以22222425BE AB AE =+=+=，又因为152AC BE ==，所以AC 是Rt ABE n 的斜边BE 上的中线，所以C 是BE 的中点，又因为D 是AE 的中点．所以CD 是ABE n 的中位线，所以CD AB n ，又因为CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD n 平面PAB ．（2）据题设分析知，AB ，AE ，AP 两两互相垂直，以A 为原点，AB ，AE ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为122AB AP AE ===，且C ，D 分别是BE ，AE 的中点，所以4AE =，2AD =，所以()040E n n ，()120C n n ，()002P n n ，()020D n n ，所以()042PE =-u u n v n u ，()122PC =-u u n v n u ，()100CD =-u u n vn u ，设平面PCD 的一个法向量为()n x y z '''=n n ，则00n CD n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v u u u v ，即0220x x y z ''''-=⎧⎨+-=⎩，所以0x z y =⎧⎨='''⎩，令1y '=，则()011n =n n ，设直线PE 与平面PCD 所成角的大小为θ，则10sin 10PE n PE nθ⋅==⋅u u u v u u u v ．故直线PE 与平面PCD 所成角的正切值为13．19．2019年3月5日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2位同行专家（不同于前3位专家）进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为()01p p <<，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立．（1）若12p =，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率；（2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用1500元；若某次评审抽检论文总数为3000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应p 的值．【答案】(1) 2532 (2) 最高费用为350万元．对应13p =．（1）因为一篇学术论文初评被认定为“存在问题学术论文”的概率为()2233331C p p C p -+，一篇学术论文复评被认定为“存在问题学术论文”的概率为()()2213111C p p p ⎡⎤---⎣⎦，所以一篇学术论文被认定为“存在问题学术论文”的概率为()()()()22223313331111f p C p p C p C p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦()()()2223313111p p p p p p ⎡⎤=-++---⎣⎦5432312179p p p p =-+-+．∴12p =时，125232f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以抽检一篇的学术论文被认定为“存在问题学术论文”的概率为2532．（2）设每篇学术论文的评审费为X 元，则X 的可能取值为900，1500．()()21315001P X C p p ==-，()()21390011P X C p p ==--，所以()()()()2221133900111500190018001E X C p p C p p p p ⎡⎤=⨯--+⨯-=+-⎣⎦．令()()21g p p p =-，()0,1p ∈，()()()()()2121311g p p p p p p '=---=--．当10,3p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '>，()g p 在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；当1,13p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g p '<，()g p 在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．所以()g p 的最大值为14327g ⎛⎫= ⎪⎝⎭．所以评审最高费用为44300090018001035027-⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭（万元）．对应13p =．20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为F 1（﹣1，0），离心率22e =．（1）求椭圆G 的标准方程；（2）已知直线11l y kx m =+：与椭圆G 交于 A B ，两点，直线2212l y kx m m m =+≠：（）与椭圆G 交于C D ，两点，且AB CD = ，如图所示．①证明：120m m += ；②求四边形ABCD 的面积S 的最大值．（1）设椭圆G 的方程为（a ＞b ＞0）∵左焦点为F 1（﹣1，0），离心率e =．∴c =1，a =，b 2=a 2﹣c 2=1椭圆G 的标准方程为：．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）①证明：由消去y 得（1+2k 2）x 2+4km 1x +2m 12﹣2=0 ，x 1+x 2=，x 1x 2=；|AB |==2；同理|CD |=2，由|AB |=|CD |得2=2，∵m 1≠m 2，∴m 1+m 2=0②四边形ABCD 是平行四边形，设AB ，CD 间的距离d =∵m 1+m 2=0，∴∴s =|AB |×d =2×=.所以当2k 2+1=2m 12时，四边形ABCD 的面积S 的最大值为221．已知函数()22,02,0x x x f x x ax ax x e⎧-<⎪=⎨+-≥⎪⎩在(),-∞+∞上是增函数． ()1求实数a 的值；()2若函数()()g x f x kx =-有三个零点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）12a e =；（2）ln211,2e e ⎧⎫⎡⎫⋃-+∞⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭解：()1当0x <时，()2f x x =-是增函数，且()()00f x f <=，故当0x ≥时，()f x 为增函数，即()'0f x ≥恒成立，当0x ≥时，函数的导数()()()211'2221120()x x x xx e xe x f x ax a a x x a e e e --⎛⎫=+-=+-=--≥ ⎪⎝⎭恒成立，当1x ≥时，10x -≤，此时相应120x a e -≤恒成立，即12x a e ≥恒成立，即max 112()x a e e≥=恒成立，当01x ≤<时，10x ->，此时相应120x a e -≥恒成立，即12x a e ≤恒成立，即12a e ≤恒成立，则12a e =，即12a e=． ()2若0k ≤，则()g x 在R 上是增函数，此时()g x 最多有一个零点，不可能有三个零点，则不满足条件．故0k >，当0x <时，()2g x x kx =--有一个零点k -，当0x =时，()()0000g f =-=，故0也是故()g x 的一个零点，故当0x >时， ()g x 有且只有一个零点，即()0g x =有且只有一个解，即202x x x x kx e e e +--=，得22x x x xkx e e e+-=，(0)x >，则112x x k e e e=+-，在0x >时有且只有一个根，即y k =与函数()112x x h x e e e=+-，在0x >时有且只有一个交点，()11'2x h x e e=-+，由()'0h x >得1102x e e -+>，即112x e e <得2x e e >，得ln21ln2x e >=+，此时函数递增，由()'0h x <得1102x e e -+<，即112x e e>得2x e e <，得0ln21ln2x e <<=+，此时函数递减，即当1ln2x =+时，函数取得极小值，此时极小值为()1ln211ln211ln22h e e e+++=+- ln211ln2111ln21ln2222222e e e e e e e e e e=++-=++-=⋅， ()110101h e e=+-=-，作出()h x 的图象如图，要使y k =与函数()112x x h x e e e=+-，在0x >时有且只有一个交点，则ln22k e =或11k e≥-，即实数k 的取值范围是ln211,2e e ⎧⎫⎡⎫⋃-+∞⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为2sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点()1,0P - ，直线l 和曲线C 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值．【答案】（1）22193x y +=，10x y -+=；（266（1）因为曲线C 的参数方程为3cos 3x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），所以曲线C 的普通方程为22193x y +=.因为2sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin cos 1,10x y ρθρθ-=∴-+=. 所以直线l 的直角坐标方程为10x y -+=.（2）由题得点()1,0P -在直线l 上，直线l的参数方程为122x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入椭圆的方程得2280t -=，所以1212+402t t t t ==-<，所以12|PA|+|PB|=||t t -==. 23．已知函数()()210f x x a x a =++->. （1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()42f x x >-对任意的[]3,1x ∈--恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或；（2）()5,+∞（1）当1a =时，()121f x x x =++-，故()4f x >等价于1314x x ≤-⎧⎨-+>⎩或1134x x -<≤⎧⎨-+>⎩或1314x x >⎧⎨->⎩，解得1x <-或53x >.故不等式()4f x >的解集为5|13x x x >⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭或.（2）当[]3,1x ∈--时，由()42f x x >-得22240x a x x ++-+->，即2x a +>，即2a x >-或2a x <--对任意的[]3,1x ∈--恒成立. 又()max 25x -=，()min 21x --=-，故a 的取值范围为()(),15,-∞-+∞U . 又0a >，所以5a >，综上，a 的取值范围为()5,+∞.。

江西省赣州市宁都县宁师中学2020-2021学年高二上学期12月月考数学(理)试题

江西省赣州市宁都县宁师中学2020-2021学年高二上学期12月月考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．命题“0x ∃<，使2310x x -+≥”的否定是（） A ．0x ∃<，使2310x x -+< B ．0x ∃≥，使2310x x -+< C ．0x ∀<，使2310x x -+<D ．0x ∀≥，使2310x x -+<2．已知小张每次射击命中十环的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数： 321 421 292 925 274 632 802 478 598 663 531 297 396 021 406 318 235 113 507 965 据此估计，小张三次射击恰有两次命中十环的概率为（） A ．0.30B ．0.35C ．0.40D ．0.453．《算法统宗》是我国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的转变，对我国民间普及珠算起到了重要的作用.如果所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图，若输入的a 的值为0，则输出的m 的值为（）A ．-21B ．-45C ．-93D ．-1894．如图所示为底面积为2的某棱锥的三视图，则该棱锥的表面积为（）A ．2+B ．C ．4+D ．2++5．有两条不同的直线,m n 与两个不同的平面.αβ，下列结论中正确的是（） A ．,,m n m αβαβ⊥=⊥，则n β⊥B ．m ,n //αβ⊥，且//αβ，则m n ⊥C ．//,m n n α⊆，则//m αD ．//,//m n αβ且//αβ，则//m n6．在边长为2的菱形ABCD 中，120BAD ︒∠=，则DB 在DA 方向上的投影为（） A ．12B ．1C ．2D ．37．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2π,43BAC AP ∠==，AB AC ==则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（） A ．32πB ．48πC ．64πD ．72π8．已知定义在R 上的函数()f x ，若()f x 是奇函数，()1f x +是偶函数，当01x ≤≤时，2()f x x =，则(2019)f =（）A ．1-B ．1C ．0D ．220159．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，且1CC ⊥底面ABC ，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角为( )A．2π B ． C ． D ．3π 10．已知正项等比数列{}n a 满足9872a a a =+ ，若存在两项m a ，n a ，使得2116m n a a a =，则14m n +的最小值为（） A ． 95 B ． 73C ．32D ．311．将函数()sin(2),||2f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，则函数()f x 在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（） A ． B C ．12D ．12-12．已知函数20()2,0x f x x x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩若函数()()g x f x a =-有2个零点，则实数α的取值范围是（） A ．a =0 B ． 01a <<C ． 1a >D ． 1a >或a =0二、填空题13．有下列几个命题：①若a b >，则11a b>；②“若0a b +=，则,a b 互为相反数”的否命题“；③“若a b ≥则22ac bc ≥”的逆命题；④“若1ab =，则,a b 互为倒数”的逆否命题. 其中真命题的序号__________.14．已知平面区域0600y y y ⎧-≤+-≤≥⎪⎩恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为__________15．住在同一城市的甲、乙两位合伙人,约定在当天下午4：20-5：00间在某个咖啡馆相见商谈合作事宜，他们约好当其中一人先到后最多等对方10分钟,若等不到则可以离去,则这两人能相见的概率为__________．16．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的动点（点M 与1A C 、不重合），则下列结论正确的是__________①存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ②存在点M ，使得平面//DM 平面11B CD ；③1A DM ∆ ④若12,S S 分别是1A DM ∆在平面1111A B C D 与平面11BB C C 的正投影的面积，则存在点M ，使得12S S三、解答题17．设命题:p 实数x 满足302x x -≤-，命题:q 实数x 满足2243<0x ax a -+，其中0a >．（I ）若1a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（II ）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 18．已知数列{}n a ，11a =，n N +∀∈，121n n a a +=+. （1）求证：{1}n a +是等比数列；（2）设2nn n b a =（n N +∀∈），求数列{}n b 的前n 项和.19．越接近高考学生焦虑程度越强，四个高三学生中大约有一个有焦虑症，经有关机构调查，得出距离高考周数与焦虑程度对应的正常值变化情况如下表周数其中1221ˆni ii nii x y nxybxnx ==-=-∑∑，11452ni ii x y==∑，2191ni i x ==∑，ˆˆa y bx=- （1）作出散点图；（2）根据上表数据用最小二乘法求出y 关于x 的线性回方程ˆˆy bx a =+（精确到0.01）（3）根据经验观测值为正常值的0.85～1.06为正常，若1.06～1.12为轻度焦虑，1.12～1.20为中度焦虑，1.20及以上为重度焦虑．若为中度焦虑及以上，则要进行心理疏导．若一个学生在距高考第二周时观测值为103，则该学生是否需要进行心理疏导？ 20．将两块三角板按图甲方式拼好，其中90B D ∠=∠=︒，30ACD ∠=︒，45ACB ∠=︒，2AC =，现将三角板ACD 沿AC 折起，使D 在平面ABC 上的射影O 恰好在AB 上，如图乙．（1）求证：BC AD ⊥；（2）求证：O 为线段AB 中点；（3）求二面角D AC B --的大小的正弦值．21．某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[50,60),[60,70)...[90,100]，分成5组，制成如图所示频率分直方图.（1）求图中x 的值；（2）求这组数据的平均数和中位数；（3）已知满意度评分值在[50,60)内的男生数与女生数3:2，若在满意度评分值为[50,60)的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.22．已知向量(3sin ,cos())3m x x π=+，5(cos ,sin())6n x x π=+，记函数()f x m n =⋅．（1）求不等式1()4f x >的解集；（2）在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3()24A f =且sin A 、sin B 、sin C 成等差数列，1b =，求ABC ∆的面积S 的值．参考答案1．C 【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断. 【详解】命题“0x ∃<，使2310x x -+≥”的否定是“∀x 0<，x 2﹣3x +1<0”, 故选C. 【点睛】本题主要考查全称与特称命题的否定，属于基础题. 2．C 【分析】由小张20组随机数中三次射击恰有两次命中十环的共有8组，结合古典概型概率计算公式，即可求解. 【详解】由题意，小张三次射击恰有两次命中十环的421 292 274 632 802 478 663 406，共有8组，所以小张三次射击恰有两次命中十环的概率为80.4020P ==. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中认真审题，合理利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 3．C 【分析】执行给定的程序框图，逐次计算循环的结果，根据判断条件，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，执行给定的程序框图，可得0,3,1a m i ==-=，第1次循环：9m =-，满足条件，2i =；第2次循环：21m =-，满足条件，3i =；第3次循环：45m =-，满足条件，4i =；第4次循环：93m =-，不满足条件，输出结果93m =-.故选：C. 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与结果输出问题，其中解答中根据给定的程序框图，逐次准确计算，结合判断条件得出输出的结果是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4．A 【分析】根据给定的几何体的三视图可得，该几何体底面是一个边长为2的等腰直角三角形，且SA ⊥平面ABCD 的三棱锥，且2SA =，又由DB AB ⊥，由三垂线定理可得CB SB ⊥，同理CD SD ⊥，进而根据三角形的面积公式，即可求解.【详解】由题意，根据给定的几何体的三视图可得，该几何体底面是一个边长为2的等腰直角三角形，且SA ⊥平面ABCD 的三棱锥，且2SA =，又由DB AB ⊥，由三垂线定理可得CB SB ⊥，同理CD SD ⊥，所以,SCD SBC ∆∆均为直角三角形，由2,BC CD SB SD ====，所以122SBC SCD S S ∆∆==⨯⨯=又由BD SO ===，所以12SBD S ∆=⨯=因为底面是腰长为2的等腰直角三角形，所以底面面积12222BCD S ∆=⨯⨯=，所以该四棱锥的表面积为22S ==. 故选：A.【点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，其中还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑.求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解. 5．B 【分析】根据空间中的直线与直线，直线与平面，以及平面与平面之间的位置关系，即可判定，得到答案. 【详解】对于A 中，由,,m n m αβαβ⊥=⊥，只有再满足n ⊂α时，可得n β⊥，所以A 项不正确；对于B 中，由,//m βαα⊥，可得m β⊥，又由 //n β，所以可得m n ⊥，所以B 是正确的；对于C 中，由//,m n n α⊆，则//m α或m 在α内，所以不正确；对于D 中，由//,//m n αβ且//αβ，则,m n 相交、平行或异面，所以不正确. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了空间中线面位置关系的判定及应用，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 6．D 【分析】利用菱形的性质以及平面向量的投影的定义和计算公式，即可求解. 【详解】由题意，因为边长为2的菱形ABCD 中，120BAD ︒∠=，可得向量DB 和DA 的夹角为30BAD θ︒=∠=，所以DB 在DA 方向上的投影为cos 3DB θ==. 故选：D【点睛】本题主要考查了平面向量的几何意义，以及向量的投影的计算，其中解答中熟记向量的投影的概念和计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 7．C 【分析】先求出ABC 的外接圆的半径，然后取ABC 的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且122GO AP ==，由于PA ⊥平面ABC ，故点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，OA 为外接球半径，求解即可. 【详解】在ABC中，AB AC ==23BAC π∠=，可得6ACB π∠=，则ABC的外接圆的半径2sin 2sin 6AB r ACB ===取ABC 的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且122GO AP ==，因为PA ⊥平面ABC ，所以点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，则222OA OG AG =+，即外接球半径4R ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为24π4π1664πR =⨯=.故选C.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球表面积的求法，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.8．A 【分析】由()f x 是奇函数，且()1f x +是偶函数，推得()(4)f x f x =+，得出函数()f x 是以4为周期的周期函数，即可求解. 【详解】由题意，定义在R 上的函数()f x ，因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，又由()1f x +是偶函数，则函数()f x 关于1x =对称，即()(2)f x f x =-，所以()(2)f x f x -=--，即()(2)f x f x =-+，则()2(4)f x f x +=-+，所以()(4)f x f x =+，所以函数()f x 是以4为周期的周期函数，且当01x ≤≤时，2()f x x =，又由(2019)(50541)(1)(1)1f f f f =⨯-=-=-=-. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与函数的周期性的应用，其中解答中合理利用函数的奇偶性和对称性，求得函数()f x 是以4为周期的周期函数是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题. 9．A 【分析】由题意设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2，构造直角三角形A 2BM ，解直角三角形求出BM ，利用勾股定理求出A 2M ，从而求解．【详解】设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2（如图）．平移AB 1至A 2B ，连接A 2M ，∠MBA 2即为AB 1与BM 所成的角，在△A 2BM 中，22A B BM a ===，，22A M a ==，222222,2A B BM A M MBA π∴+=∴∠=，．故选A ．【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做． 10．C 【分析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，且0q >，由9872a a a =+，求得2q ，再由2116m n a a a =，求得6m n +=，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，且0q >，由9872a a a =+，可得77722q q a a a =+，即220q q --=，解得2q 或1q =-（舍去），因为2116m n a a a =，所以112111()()16m n a q a q a --=，可得216m n q+-=，即2216m n +-=，解得6m n +=，所以1411414113()()(5)(5966662n n m n m n m m n n +=⋅+=⨯++≥⨯+=⨯=+，当且仅当4n mm n =，即4,2n m ==时等成立，所以14m n +的最小值为32.故选：C. 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，以及利用“1”的代换和基本不等式求解最值问题，着重考查了推理与计算能力，同时注意等号成立的条件，属于基础题. 11．D 【分析】结合三角函数的图象变换，求得函数()sin(2)6f x x π=+，再利用三角函数的性质，即可求解. 【详解】由函数()sin(2),||2f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后，得到()sin(2)3f x x πϕ=++，所得的图象关于y 轴对称，则,32k k Z ππϕπ+=+∈，当0k =时，6π=ϕ，所以()sin(2)6f x x π=+，由,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当7266x ππ+=，即2x π=时，函数()f x 取得最小值，此时最小值为71()sin()262f ππ==-. 故答案为：D. 【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象变换求函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象变换，以及熟记三角函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 12．D 【分析】把函数()()g x f x a =-有2个零点，转化为函数()y f x =与y a =的图象有两个交点，作出函数()f x 的图象，结合图象，即可求解. 【详解】由题意，函数20()2,0x f x x x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩，作出函数()f x 的图象如图所示，当0x <时，()22f x x x =+，可得当1x =-时，()11f -=，要使得函数()()g x f x a =-有2个零点，即函数()y f x =与y a =的图象有两个交点，结合图象，可得1a >或0a =. 故选：D.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把函数()g x 有2个零点，转化为两个函数()y f x =与y a =的图象有两个交点，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 13．②④ 【分析】对于①中，根据不等式的性质，即可判定；对于②③④中，根据四种命题的等价关系，即可判定，得到答案. 【详解】由题意，对于①中，11b a a b ab--=，由a b >时，b a ab -的符号不能确定，所以不正确；对于②中，命题“若0a b +=，则,a b 互为相反数”的逆命题为“若,a b 互为相反数，则0a b +=”为真命题，所以原命题的否命题也为真命题，所以②为真命题；对于③中，命题“若a b ≥，则22ac bc ≥”的逆命题为“若22ac bc ≥，则a b ≥”，当2c =0时，不成立，所以③假命题；对于④中，命题“若1ab =，则,a b 互为倒数”是真命题，所以原命题的逆否命题也为真命题，所以④是真命题. 故答案为：②④. 【点睛】本题主要考查了真假命题的判定，其中解答中熟记四种命题的关系，以及不等式的性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 14．22((1)4x y +-= 【分析】作出不等式组表示的平面区域，求得(0,0),A O B ，设出圆的方程，列出方程组，求得为,,D E F 的值，即可得到圆的方程，得到答案. 【详解】作出不等式组0600y y y ⎧-≤+-≤≥⎪⎩表示的平面区域，如图所示，由060y y -=+-=，解得A，其中(0,0),O B ，设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，将点(0,0),O B A，代入圆的方程，可得01203120F F E F =⎧⎪++=⎨+++=，解得2,0D E F =-=-=，即圆的方程2220x y y +--=，即圆的标准方程为22((1)4x y -+-=.故答案为：22((1)4x y +-=.【点睛】本题主要考查了线性规划的应用，以及圆的方程的求解，其中解答中熟记圆的方程的解法，准确运算是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.15．716【分析】设甲乙两人第x 分钟和第y 分钟到达，得到:{(,)|040,040}x y x y Ω≤≤≤≤，再得到甲乙两人约好当其中一人先到后最多等对方10分钟，即10x y -≤，利用面积比的几何概型，即可求解. 【详解】因为乙两位合伙人,约定在当天下午4：20-5：00间在某个咖啡馆相见商谈合作事宜，设甲乙两人各在第x 分钟和第y 分钟到达，则样本空间为:{(,)|040,040}x y x y Ω≤≤≤≤，作出图象，如图所示，则正方形的面积为40401600S =⨯=，又由甲乙两人约好当其中一人先到后最多等对方10分钟，即10x y -≤，可得阴影部分的面积为114040230307002S =⨯-⨯⨯⨯=，所以由几何概型的概率计算公式，可得概率为17007160016S P S ===. 故答案为：716.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量()N A ”，再求出总的基本事件对应的“几何度量N ”，然后根据()N A PN求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 16．①②③④ 【分析】根据正方体的结构特征，利用线面位置关系的判定定理和性质定理，以及三角形的面积公式和投影的定义，即可求解，得到答案. 【详解】 ①如图所示，当M 是1AC 中点时，可知M 也是1A C 中点且11B C BC ⊥，111A B BC ⊥，1111A B B C B =，所以1BC ⊥平面11A B C ，所以11BC A M ⊥，同理可知1BD A M ⊥，且1BC BD B =，所以1A M ⊥平面1BC D ，又1A M ⊂平面1A DM ，所以平面1A DM ⊥平面1BC D ，故正确；②如图所示，取1AC 靠近A 的一个三等分点记为M ，记1111AC B D O =，1OCAC N =，因为11AC AC ，所以1112OC C N AC AN ==，所以N 为1AC 靠近1C 的一个三等分点，则N 为1MC 中点，又O 为11A C 中点，所以1A MNO ，且11A D B C ，111A M A D A =，1NOB C C =，所以平面1A DM 平面11B CD ，且DM ⊂平面1A DM ，所以//DM 平面11B CD ，故正确；③如图所示，作11A M AC ⊥，在11AA C 中根据等面积得：1A M ==，根据对称性可知：1A M DM ==，又AD =，所以1A DM 是等腰三角形，则1126A DMS==，故正确；④如图所示，设1AM aAC =，1A DM ∆在平面1111D C B A 内的正投影为111A D M ∆，1A DM ∆在平面11BB C C 内的正投影为12B CM ∆，所以1111122A D M aS S ∆===，12211222B CM a S S ∆-===，当12S S 时，解得：13a =，故正确.故答案为 ①②③④ 【点睛】本题主要考查了正方体的结构特征，以及线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟练应用正方体的结构特征，熟记线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题. 17．（I ）2 3.x << （II ）1 2.a <≤ 【分析】（I ）根据p q ∧的真假判断条件：一假即假，求得实数x 的取值范围；（II ）根据已知得p 的范围是q 的范围的一部分，可求得a 的取值范围. 【详解】（I ）若1a =时，命题:p 23,x <≤命题:q 13,x << 要使p q ∧为真，则23,13x x <≤⎧⎨<<⎩故实数x 的取值范围：2 3.x <<得解. （II ）命题:p 23,x <≤命题:q 3,a x a << 要使p 是q 的充分不必要条件，则2,33a a≤⎧⎨<⎩ 解得1 2.a <≤故实数a 的取值范围是1 2.a <≤ 【点睛】本题考查复合命题的真假判断和充分必要条件，属于基础题.18．（1）见解析（2）1142233n n ++-+【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义进行证明．（2）根据（1）以及2nn n b a =，在利用分组求和的方法即可求处数列的和．【详解】（1）依题意，n N +∀∈，()112221n n n a a a ++=+=+1120a +=≠所以，{}1n a +是首项为2、公比为2的等比数列.（2）由（1）得：12n n a +=，21nn a =-，242n n n n n b a ==-数列{}n b 的前n 项和为11114422422412133n n n n ++++---=-+--.【点睛】本题主要考查等比数列的定义的应用以及利用分组求和的方法求数列的前n 项和．考查学生的运算能力．19．(1)见解析;(2)8.83107.4y x =-+;(3)见解析【分析】(1)根据表格中的数据描点作图可得;(2)先计算出x 和y ,再代入公式求得ˆb ,和ˆa ,然后代入回归直线方程可得;(3)用观测值比正常值后,结合题目中数据作比较可得. 【详解】 (1) 散点图如下:(2)因为654321 3.56x +++++==,55637280909976.56y +++++==214526 3.576.5ˆ916 3.5b -⨯⨯=-⨯≈8.83- ,ˆˆ76.5(8.83) 3.5a y bx =-=--⨯107.4=, 所以所求回归方程为:8.83107.4y x =-+. (3)因为1031.14 1.1290≈>,为中度焦虑,所以该学生需要进行心理疏导. 【点睛】本题考查了散点图和回归直线方程,属中档题.20．（1）见解析（2）见解析（3）3【详解】试题分析：（2）由AD 在平面ABC 上的射影与BC 垂直，即可证明；（2）通过计算，求得AD=BD ，再由等腰三角形高线即中线的性质证得；（3）利用射影定理作出二面角D-AC-B 的平面角，再由正弦定义求得．试题解析：(1)证明：由已知D在平面ABC上的射影O恰好在AB上, ∴DO⊥平面ABC，∴AO是AD在平面ABC上的射影．又∵BC⊥AB，∴BC⊥AD．(2)解：由(1)得AD⊥BC，又AD⊥DC又BC∩DC=C，∴AD⊥平面BDC又∵BD⊂平面ADB，∴AD⊥BD，在RT⊿ABD中，由已知AC = 2，得，AD = 1，∴BD = 1, ∴BD = AD, ∴O是AB的中点.(3)解：过D作DE⊥AC于E，连结OE，∵DO⊥平面ABC，∴O E是DE在平面ABC上的射影．∴OE⊥AC∴∠DEO是二面角D－AC－B的平面角，且32AD DCDEAC⋅==即二面角D－AC－B的正弦值为．21．（1）0.02（2）平均数77，中位数5407（3）3()10P A=.【分析】（1）由频率分布直方图的性质列方程能求出x．（2）由频率分布直方图能求出这组数据的平均数和中位数．（3）满意度评分值在[50，60）内有5人，其中男生3人，女生2人，记“满意度评分值为[50，60）的人中随机抽取2人进行座谈，2人均为男生”为事件A，利用古典概型能求出2人均为男生的概率．【详解】（1）由(0.0050.010.0350.030)101x ++++⨯=，解得0.02x =.（2）这组数据的平均数为550.05650.2750.35850.3950.177⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.中位数设为m ，则0.050.2(70)0.0350.5m ++-⨯=，解得5407m =. （3）满意度评分值在[50,60)内有1000.005105⨯⨯=人，其中男生3人，女生2人.记为12312,,,,A A A B B记“满意度评分值为[50,60)的人中随机抽取2人进行座谈，2人均为男生”为事件A则总基本事件个数为25C = 10个，A 包含的基本事件个数为23C = 3个，利用古典概型概率公式可知3()10P A =. 【点睛】本题考查频率平均数、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．22．（1）2,,3k k k Z πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭（2 【解析】【分析】（1）由题可得11()sin(2)262f x m n x π=⋅=-+，所以不等式1()4f x >可化为：1sin(2)62x π->-，进而得出答案．（2））由（1）知：3()24Af =，解得3A π=，由正、余弦定理及1b =得：222222cos a c b b c a bc A+==⎧⎨+-=⎩，从而得出1a c ==，再求出ABC ∆的面积S 的值．【详解】（1）由(3sin ,cos())3m x x π=+，5(cos ,sin())6n x x π=+得：2()(3sin ,cos())(cos ,cos())cos cos ()333f x m n x x x xx x x πππ=⋅=+⋅+=++ 1cos2()1111322cos22sin(2)242262x x x x x x ππ++=+=--+=-+．∴不等式1()4f x >可化为：1sin(2)62x π->-，∴7222666k x k πππππ-<-<+，k Z ∈．即：2,3k x k k Z πππ<<+∈，∴不等式的解集为：2,,3k k k Z πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ （2）由（1）知：113()sin()22624Af A π=-+=，∴1sin()62A π-=，又∵02A π<<，∴663A πππ-<-<，∴66A ππ-=，∴3A π=因为sin A 、sin B 、sin C 成等差数列，所以2sin sin sin B A C =+再由正、余弦定理及1b =得：222222cos a c b b c a bc A +==⎧⎨+-=⎩，∴21()()a c c a c a c +=⎧⎨++-=⎩，∴1a c == 所以ABC ∆是正三角形，故S =【点睛】本题以向量为背景考查三角函数的基本公式以及解三角不等式，考查正、余弦定理和三角形的面积计算，属于一般题．。

2020-2021学年高三数学12月月考试题及答案解析

最新高三月考数学试题一、单选题1．已知集合A={x|x2-x-2<0}，集合B={B|B=lg(1−B2)，则下列结论正确的是A.A=BB.A⫋BC.B⫋AD.A∩B=B【答案】C【解析】本题考查集合的基本运算.因为B={B|B2−B−2<0}={B|−1<B<2},B={B|B=lg(1−B2)}={B|−1<B<1},所以B⫋A.选C.【备注】集合的基本运算为高考常考题型,要求熟练掌握.2．已知函数B(B)=(12)B，命题p：∀x∈[0,+∞)，f(x)≤1，则A.p是假命题，¬p：∃x0∈[0，+∞)，f(x0)>1B.p是假命题，¬p：∀x∈[0，+∞)，f(x)≥1C.p是真命题，¬p：∃x0∈[0，+∞)，f(x0)>1D.p是真命题，¬p：∀x∈[0，+∞)，f(x)≥1【答案】C【解析】本题考查命题及其关系，全称量词与特称量词.函数B(B)=(12)B，命题p：∀x ∈[0，+∞)，f(x)≤1，p是真命题,¬p：∃x0∈[0，+∞)，f(x0)>1.选C.【备注】全称命题的否定是特称命题.3．“函数B(B)=log B B在区间(0，＋∞)上为增函数”是“B=3”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】本题考查充分条件与必要条件的判定、对数函数的单调性，意在考查考生的分析理解能力.由函数B(B)=log B B在区间(0，＋∞)上为增函数，则B>1，故B>1是“B=3”的必要不充分条件.故本题正确答案为B.4．若抛物线B2=8B的焦点B与双曲线B23−B2B=1的一个焦点重合，则B的值为A.1B.－1C.2D.4【答案】A【解析】本题考查抛物线和双曲线的简单几何性质，意在考查考生的运算求解能力.由抛物线B2=8B的焦点B(2,0)，双曲线B23−B2B=1的右焦点为(√3+B,0)，得√3+B=2，B=1.故本题正确答案为A.5．已知函数B=B(B+1)定义域是[−2,3]，则y=f(2|x|-1)的定义域是A.[0，,52] B.[-1,4] C. [−52,52] D.[−32,72]【答案】C【解析】本题考查复合函数的定义域的求法，意在考查考生的运算求解能力. 函数B= B(B+1)定义域是[−2,3]，则−2≤B≤3，即−1≤B+1≤4，故函数B(B)定义域为[−1,4]，则−1≤2|B|−1≤4得−52≤B≤52.故本题正确答案为C.6．若函数B=sin(BB+B)(B>0)的部分图像如图，则B=A.5B.4C.3D.2 【答案】B【解析】本题考查三角函数的图像与性质.设函数的周期为B,由图知B=π2=2π|B|；因为B>0,所以B=4.选B.【备注】“知图求式”.7．如图,在边长为1的正三角形BBB中,B,B分别为边BB,BB上的动点,且满足BB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = BBB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BBB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中B,B∈(0,1),B+B=1,B,B分别是BB,BB的中点,则|BB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为A.√24B.√33C.√34D.53【答案】C【解析】本题主要考查向量的基本运算.BB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )−1 2(BB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(BB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )−12(BBB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BBB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(1−m)BB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(1−n)BB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∵B+B=1,∴BB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(1−m)BB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12m BB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .|BB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=BB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=[12(1−m)BB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +1 2m BB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]2=14(m2−m+1), ∵B∈(0,1),∴当B=12时|BB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2取得最小值316,所以|BB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为√34.故选C.【备注】平面向量基本定理是重点.8．已知双曲线B2B2−B2B2=1(B>0,B>0)的右焦点为B(B,0),直线B=B2B与一条渐近线交于点A,若△BBB的面积为B22 (O为原点),则抛物线B2=4BBB的准线方程为A.B=−1B.B=−2C.B=−1D.B=−2【答案】A【解析】本题主要考查双曲线和抛物线的基本性质.不妨设直线B=B2B 与渐近线y=BBB交于点A,则A(B2B ,BBB),所以△BBB的面积为12×B×BBB=B22,解得a=b,所以抛物线B2=4B B B的准线方程为x=-BB=-1,故选A.【备注】抛物线的考查重点是定义.9．某几何体的三视图(单位：cm)如图所示,其中侧视图是一个边长为2的正三角形,则这个几何体的体积是A.2cm3B.√3cm3C.3√3cm3D.3cm3【答案】B【解析】本题主要考查简单几何体的三视图.由三视图可知,该几何体是底面为直角梯形的直四棱锥,且底面直角梯形的上底为1,下底为2,高为2,棱锥的高为√3,所以该几何体的体积B=1×(1+2)×2×√3=√3.故选B.【备注】高考常考题,需熟练掌握.10．已知函数B(B)={sinπB,(0≤B≤1)log2014B,(B>1)若B、B、B互不相等，且B(B)=B(B)=B(B)，则B+B+B的取值范围是A.(1,2014)B.(1,2015)C.(2,2015)D.[2,2015]【答案】C【解析】本题考查分段函数的图像、函数的零点，意在考查考生的数形结合思想及分析理解能力.作出函数图像，设B(B)=B(B)=B(B)=B，故利用三角函数的对称性得B+ B=1，由log2014B<1得1<B<2014，故2<B+B+B<2015.故本题正确答案为C.11．下列命题中正确的是A.函数B=sin B,B∈[0,2π]是奇函数B.函数B=2sin(π6−2B)在区间[0,π3]上是单调递增的C.函数B=2sin(π3−B)−cos(π6+B)(B∈B)的最小值是−1D.函数B=sinπB⋅cosπB是最小正周期为2的奇函数【答案】C【解析】本题主要考查本题主考查三角函数的奇偶性、单调性、周期与最值，考查了分析问题与解决问题的能力.区间[0,2π]不关于原点对称，所以A错误；函数B=2sin(π6−2B)=−2sin(2B−π)在区间[0,π]上是单调递减，所以B错误；因为cos(π6+B)=cos[π2−(π3−B)=sin(π3−B),所以函数B=2sin(π3−B)−cos(π6+B)=sin(π3−B)的最小值是−1，则C正确；函数B=sinπB⋅cosπB=12sin2πB是最小正周期为1的奇函数，故D 错误.12．如图,设D是图中边长分别为1和2的矩形区域,E是D内位于函数B=1B(B>0)图象下方的区域(阴影部分),从D内随机取一个点M,则点M取自E内的概率为A.ln 22B.1−ln 22C.1+ln 22D.2−ln 22【答案】C【解析】本题主要考查利用积分求面积以及几何概型概率的求法，考查了分析问题与解决问题的能力.图中矩形的面积为2，利用积分求出阴影的面积为2×12+∫1B 112BB =1+ln B |121=1+ln 2,利用几何概率公式可得点M 取自E 内的概率为1+ln 22.二、填空题13．已知集合B ={B |B 2=2}，N ={B |BB =1}，若B ⊆B ，则B 的值是_______【答案】0或±√22【解析】本题考查集合的运算，意在考查考生的运算求解能力. 集合B ={B |B 2=2}={−√2,√2}，若B ⊆B ，得集合N 可能为∅,{−√2},{√2}，由N ={B |BB =1}，当B =0得B =∅，适合条件，若B ={−√2}，则−√2B =1得B =−√22，若B ={√2}，则√2B =1得B =√22，综上，a 的值为0或±√22.故本题正确答案为0或±√22.14．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ=−2√55，则y ＝________【答案】-8【解析】本题考查任意角的三角函数，意在考查考生的分析理解能力.依题意，sin θ=−2√55，且点P (4，y )，得cos B =√55，则4B=cos B sin B得B =−8.故本题正确答案为-8.15．若B (B )=ln (e 3B +1)+BB 是偶函数，则B =___________. 【答案】−32【解析】本题考查函数的性质，对数函数.因为B (B )是偶函数，所以B (−1)=B (1)，即ln (e −3+1)−B =ln (e 3+1)+B ，解得B =−32.【备注】特殊值代入，事半功倍.16．某程序框图如图所示,则输出的S 的值是______________．【答案】2512【解析】本题主要考查程序框图.第一次循环结束：S =1,k =2;第二次循环结束：S =32,k =3;第三次循环结束：S =116,k =4;第四次循环结束：S =2512,k =5;此时k <5不成立,循环结束,输出2512.【备注】高考常考题,需要熟练掌握. 三、解答题17．已知向量B =(cos B ,−12),B =(√3sin B ,cos 2B )，设函数B (B )=B ⋅B .(Ⅰ)求B (B )的单调递增区间；(Ⅱ)求B (B )在[0,π2]上的最大值和最小值.【答案】(Ⅰ)B (B )=B ⋅B =cos B ⋅√3sin B −12cos 2B =√32sin 2B −12cos 2B =sin (2B −π6).当2B π−π2≤2B −π6≤2B π+π2时，解得B π−π6≤B ≤B π+π3， ∴B (B )=sin (2B −π6)的单调递增区间为[B π−π6,B π+π3](B ∈B ).(Ⅱ)当B ∈[0,π2]时，(2B −π6)∈[−π6,5π6]，由标准函数B =sin B 在[−π6,5π6]上的图像知B (B )=sin (2B −π6)∈[B (−π6),B (π2)]=[−12,1].所以B (B )在[0,π2]上的最大值和最小值分别为1,−12.【解析】本题考查平面向量数量积、三角恒等变换、三角函数单调性、函数在区间上的最值，意在考查考生的运算求解能力.(Ⅰ)利用平面向量数量积公式结合三角恒等变换求得B (B )=sin (2B −π6)，从而求得单调区间.(Ⅱ)利用整体思想求得函数的最值.18．已知数列{B B }的前B 项和为B B , 满足B B =B 2B B −B 2(B −1), 且B 1=12.(1) 令B B =B +1BB B , 证明: B B −B B −1=B (B ≥2)；(2) 求{B B}的通项公式.【答案】(1)B B=B2(B B−B B−1)−B2(B−1),B B−1B B−1=B+1BB B−B,B B−B B−1=B(B≥2).(2)B1=1,B B−B B−1=B,B B−1−B B−2=B−1,⋯,B2−B1=2, 累加得B B=B2+B2,∴B B=B22,B B=B B−B B−1=2B−12(B≥2),经检验B1=12,符合B B=2B−12,∴B B=2B−12.【解析】本题主要考查数列的递推公式、B B=B B−B B−1(B≥2)、累加法，考查了分析问题与解决问题的能力.(1)由B B=B B−B B−1(B≥2)可得BB−1B B−1=B+1BB B−B,又因为B B=B+1BB B,则结论得证;(2)根据B1=1,B B−B B−1=B,利用累加法可得B B,则B B可以求得，利用B B=B B−B B−1(B≥2)即可求得{B B}的通项公式.19．函数B(B)=BB B−B−B(B>0且B≠1)是定义在实数集B上的奇函数.(1)若B(1)>0,试求不等式B(B2+2B)+B(B−4)>0的解集；(2)若B(1)=32且B(B)=B2B+B−2B−2BB(B)在[1，+∞)上的最小值为−2,求B的值.【答案】(1)∵B(B)是定义在R上的奇函数，∴B(0)=0, ∴B−1=0, ∴B=1∵B(1)>0,∴B−1B>0，又B>0且B≠1,∴B>1.易知f(x)在R上单调递增，原不等式化为：B(B2+2B)>B(4−B)∴B2+2B>4−B，即B2+3B−4>0,∴B>1或B<−4∴不等式的解集为{B|B>1或B<−4}.(2)∵B(1)=32,∴B−1B=32，即2B2−3B−2=0, ∴B=2或B=−12(舍去)B(B)=22B+2−2B−2B(2B−2−B)=(2B−2−B)2−2B(2B−2−B)+2∴令B=B(B)=2B−2−B∵x≥1,∴t≥f(1)=32,∴g(t)=B2-2mt+2=(B−B)2+2-B2当B≥32时，当B=B时，B(B)min=2−B2=−2,∴B=2当B<32时，当B=32时，B(B)min=174−3B=−2，解得B=2512>32，舍去.综上可知B=2.【解析】本题考查函数的奇偶性，函数的单调性，二次函数的最值，意在考查考生的分类讨论思想及分析问题与解决问题的能力及运算求解能力.(1)利用函数为奇函数及增函数将原不等式化为B2+2B>4−B，从而求得不等式的解集.(2)利用B(1)=32求得a的值，令B=B(B)=2B−2−B，得g(t)=B2-2mt+2=(B−B)2+2-B2，分类讨论求得其最小值，从而求得m的值.20．某批发市场对某种商品的日销售量(单位：吨)进行统计，最近50天的统计结果如下：(Ⅰ)求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率；(Ⅱ)已知每吨该商品的销售利润为2千元，B表示该种商品某两天销售利润的和(单位：千元)，求B的分布列和数学期望．【答案】解：(Ⅰ)B=2550=0.5，B=1550=0.3，依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率B=0.5，设5天中该种商品有B天的销售量为1.5吨，则B∼B(5, 0.5)，B(B=2)=B52×0.52×(1−0.5)3=0.3125．(Ⅱ)B的可能取值为4,5,6,7,8，则：B(B=4)=0.22=0.04，B(B=5)=2×0.2×0.5=0.2，B(B=6)=0.52+2×0.2×0.3=0.37,B(B=7)=2×0.3×0.5=0.3,B(B=8)=0.32=0.09，B的数学期望B(B)=4×0.04+5×0.2+6×0.37+7×0.3+8×0.09=6.2．【解析】本题考查二项分布、离散型随机变量的分布列和数学期望.(Ⅰ)先求得销售量为1.5吨的概率B=0.5，然后利用二项分布求得其概率.(Ⅱ)B的可能取值为4,5,6,7,8，分别求得其概率，写出分布列和数学期望.21．如图,已知BBBB的两条角平分线BB和BB相交于B，∠B=60∘,B在BB上,且BB=BB.(1)证明:B,B,B,B四点共圆:(2)证明:BB平分∠BBB.【答案】(1)在BBBB中,因为∠B=60∘,所以∠BBB+∠BBB=120∘,因为BB,BB是角平分线,所以∠BBB+∠BBB=60∘,故∠BBB=120∘,于是∠BBB=∠BBB=120∘,即∠BBB+∠BBB=180∘,所以B,B,B,B四点共圆.(2)连结BB,则BB为∠BBB的平分线,得∠BBB=30∘,由(1)知B,B,B,B四点共圆,所以∠BBB=∠BBB=30∘.又∠BBB=∠BBB=60∘,又由BB=BB,且BB平分∠BBB,可得BB⊥BB,可得∠BBB=30∘,所以BB平分∠BBB.【解析】本题考查四点共圆，圆周角定理.【备注】三角形相似，圆周角定理，弦切角定理，切割线定理等.22．已知B,B,B∈B+,求证：(1)(BB+B+B+1)(BB+BB+BB+B2)≥16BBB;(2)B+B−BB +B+B−BB+B+B−BB≥3.【答案】证明：(1)BB+B+B+1=(B+1)(B+1),BB+BB+BB+B2=(B+B)(B+B),∵B>0,B>0,B>0,∴B+1≥2√B>0,B+1≥2√B>0,B+B≥2√BB>0,B+B≥2√BB>0, ∴(B+1)(B+1)≥4√BB>0,(B+B)(B+B)≥4√BBB2,∴(BB+B+B+1)(BB+BB+BB+B2)≥16BBB.(2)∵B,B,B∈B+,∴BB +BB+BB≥3√BB∙BB∙BB3=3,B B +BB+BB≥3,∴BB+BB+BB+BB+BB+BB≥6,∴(BB +BB−1)+(BB+BB−1)+(BB+BB−1)≥3,∴B+B−BB +B+B−BB+B+B−BB≥3.【解析】本题考查基本不等式的应用,意在考查考生的推理论证能力.(1)BB+B+B+1= (B+1)(B+1),BB+BB+BB+B2=(B+B)(B+B),B+1≥2√B,B+1≥2√B,B+B≥2√BB,B+B≥2√BB,从而问题得证；(2)由B B+B B+B B≥3√B B∙B B∙B B3=3,得(BB +BB−1)+(BB+BB−1)+(BB+BB−1)≥3,从而问题得证.。

江西省赣州市宁师中学2020届高三数学12月月考试题理201912140390

江西省赣州市宁师中学2020届高三数学12月月考试题理第I 卷（选择题)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合要求的.1．已知集合{}234|0A x x x =--≤，{}2|2B x x =-<≤，则AB 等于（）A ．{}1|4x x -≤≤B ．{}|24x x -≤≤C ．{}2|1x x -≤≤D ．{}1|2x x -≤≤2．已知复数134z i=+，则下列说法正确的是（） A ．复数z 的实部为3B ．复数z 的共轭复数为：342525i + C ．复数z 部虚部为：425i -D ．复数z 的模为53．设0.32=a ，20.3b =，()2log 0.3m c m =+(1)>m ，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c <<B.b a c <<C.c b a <<D.b c a <<4．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若2389a a =，5163a =，则（） A ．23nn a =B ．13-=n naC ．312n n S -=D ．213n n S -=5．某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高．2018年全年总收入与2017年全年总收入相比增长了一倍，同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化．下图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法正确的是（）A ．该企业2018年设备支出金额是2017年设备支出金额的一半B ．该企业2018年支付工资金额与2017年支付工资金额相等C ．该企业2018年用于研发的费用是2017年用于研发的费用的五倍D ．该企业2018年原材料的费用是2017年原材料的费用的两倍 6．函数()()23ln 44(2)x x f x x -+=-的图象可能是下面的图象（）A ．B ．C ．D ．7．执行如图所示程序框图，若输入的4k =，则输出的s =（） A ．34B ．45C ．56 D ．678．已知函数()32log ,0,0x x f x x x >⎧=⎨≤⎩，若()()12f f a -=，则a 的值等于（）A 或2-B C ．2-D ．2±9．某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为56，45，35，12，只有通过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立．一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为（）A ．725B ．25C ．1225D ．142510．关于函数()sincos 22x xf x =+ 有下述三个结论： ①函数()f x 的图象既不关于原点对称，也不关于y 轴对称； ②函数()f x 的最小正周期为π； ③0x ∃∈R ，()01f x =．其中正确结论的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．311．设椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点分别为1F ，2F ，以1F 为圆心，12F F 为半径的圆与E 交于P ，Q 两点，若12PF F ∆为直角三角形，则E 的离心率为（） A．12B1C．2D112．已知函数()24,0,0x x x x f x e x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，方程()0f x ax -=有4个不同的实数根，则a 的取值范围是（）A ．2,44e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,44e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第II 卷（非选择题)二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数()sin (1cos )=+-f x x x x 的图象在点()π,(π)f 处的切线方程是 _________． 14．已知平面向量,a b 满足()3b a b ⋅+=，且1,2a b ==，则a b +=________． 15．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能（六艺）：礼、乐、射、御、书、数．某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，排课有如下要求：“射”不能排在第一，“数”不能排在最后，则“六艺”讲座不同的排课顺序共有_________种． 16．已知四面体ABCD 内接于球O ，且2AB BC AC ===，若四面体ABCD 的体积为，球心O 恰好在棱DA 上，则球O 的表面积是_________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．第17～21题为必答题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选做题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2a B c b =+．（1）求A ∠的大小；（2）若ABC ∆的外接圆的半径为ABC ∆的周长．18．（12分）某高铁站停车场针对小型机动车收费标准如下：2小时内（含2小时）每辆每次收费5元；超过2小时不超过5小时，每增加一小时收费增加3元，不足一小时的按一小时计费；超过5小时至24小时内（含24小时）收费15元封顶．超过24小时，按前述标准重新计费．为了调查该停车场一天的收费情况，现统计1000辆车的停留时间（假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次），得到下面的频数分布表：以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率．（1）X 表示某辆车在该停车场停车一次所交费用，求X 的概率分布列及期望()E X ；（2）现随机抽取该停车场内停放的3辆车，ξ表示3辆车中停车费用少于()E X 的车辆数，求(2)P ξ…的概率．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，PAB △为正三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD ，E 为线段AB 的中点，M 在线段PD 上．（1）当M 是线段PD 的中点时，求证：PB ∥平面ACM ；（2）是否存在点M ，使二面角M EC D --的大小为60︒，若存在，求出PMPD的值；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知点(A 是椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>上的一点，椭圆C 的离心率与双曲线221x y -=直线l 交椭圆C 于B ，D 两点，且A 、B 、D 三点互不重合．（1）求椭圆C 的方程；（2）若12,k k 分别为直线AB ，AD 的斜率，求证：12k k +为定值． 21．（12分）已知函数()()()22ln f x x a x a x a R =---∈．（1）求函数()y f x =的单调区间；（2）当1a =时，证明：对任意的0x >,2()2xf x e x x +>++．（二）选考题：共10分．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为(1,0)，若直线l cos()104πθ+-=，曲线C 的参数方程是244x m y m⎧=⎨=⎩，（m 为参数）．（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB+． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知R a b c +∈，，，2221a b c ++=．（1）求证：1ab bc ac ++≤；（2）求证：4442221a b c c a b++≥．数学（理科）参考答案一、单选题1．已知集合{}234|0A x x x =--≤，{}2|2B x x =-<≤，则AB 等于（）A ．{}1|4x x -≤≤B ．{}|24x x -≤≤C ．{}2|1x x -≤≤D ．{}1|2x x -≤≤1．【答案】D【解析】{}{}2||14340A x x x x x =--≤=-≤≤，则{}|12AB x x =-≤≤．所以本题答案为D ． 2．已知复数134z i=+，则下列说法正确的是（） A ．复数z 的实部为3B ．复数z 的共轭复数为：342525i + C ．复数z 部虚部为：425i - D ．复数z 的模为52．【答案】B 【解析】()()1343434343434252525i i z i i i i --====-++-，则实部为325，虚部为425，共轭复数为：342525i +，模为15．选B ．3．设0.32=a ，20.3b =，()2log 0.3m c m =+(1)>m ，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c <<B.b a c <<C.c b a <<D.b c a <<3．【答案】B【解析】B 根据指数函数的单调性可得：00.31222<<，即12a <<，2000.30.31<<= ，即，由于1m >，根据对数函数的单调性可得：()22log 0.3log 2m m m m +>=，即2>c ，所以，故答案选B.4．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若2389a a =，5163a =，则（） A ．23nn a =B ．13-=n n aC ．312n n S -=D ．213n n S -=4．【答案】D【解析】设公比为q，有231418,916,3a qa q⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得11,32,aq⎧=⎪⎨⎪=⎩则1(12)213123nnnS--==-．故选D．5．某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高．2018年全年总收入与2017年全年总收入相比增长了一倍．同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化．下图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法正确的是（）A．该企业2018年设备支出金额是2017年设备支出金额的一半B．该企业2018年支付工资金额与2017年支付工资金额相当C．该企业2018年用于研发的费用是2017年用于研发的费用的五倍D．该企业2018年原材料的费用是2017年原材料的费用的两倍5．【答案】C【解析】由折线图可知：不妨设2017年全年的收入为t，则2018年全年的收入为2t，对于选项A，该企业2018年设备支出金额为0．2×2t＝0．4t，2017年设备支出金额为0．4×t ＝0．4t，故A错误，对于选项B，该企业2018年支付工资金额为0．2×2t＝0．4t，2017年支付工资金额为0．2×t ＝0．2t，故B错误，对于选项C，该企业2018年用于研发的费用是0．25×2t＝0．5t，2017年用于研发的费用是0．1×t＝0．1t，故C正确，对于选项D，该企业2018年原材料的费用是0．3×2t＝0．6t，2017年原材料的费用是0．15×t ＝0．15t，故D错误，故选：C．6．函数()()23ln44(2)x xf xx -+=-的图象可能是下面的图象（）A ．B ．C ．D ．6．【答案】C 【解析】因为()()()()()2233ln 44ln 222x x x f x x x -+-==--，所以函数()f x 的图象关于点(2,0)对称，排除,A B ．当0x <时，()()23ln 20,20x x ->-<，所以()0f x <，排除D 。

2019-2020学年江西省赣州市宁都县宁师中学高一上学期12月月考数学试题(附解析)

2019-2020学年江西省赣州市宁都县宁师中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}24A x x =<，{}0,1,2,4B =，则A B ⋂=（）A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}1,2D ．{}0,1,2,4【答案】A【解析】利用一元二次不等式的解法求得集合A ，再利用交集的定义和不等式的性质求解. 【详解】Q 集合{}{}2|4|22A x x x x =<=-<<， {}0,1,2,4B ={}01A B ∴⋂=，.故选A. 【点睛】本题主要考查交集运算和一元二次不等式的解法，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用.2．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ð A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|12x x x x <-⋃ D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥【答案】B【解析】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或，所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果. 3．函数()1212f x x x =--的定义域为（） A ．[)0,2B ．()2,+∞C ．()1,22,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．()(),22,-∞+∞U【答案】C【解析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．【详解】由21020x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得x ≥12且x ≠2．∴函数()1212f x x x =--的定义域为()1,22,2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭．故选：C ．【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．4．已知幂函数()f x 的图象经过点1(2,)4-，求)f e =（） A ．e B e C ．1eD e【答案】C【解析】设幂函数()f x x α=，由()f x 过点1(2,)4-，知()124α-=，解出α，由此能求出fe ．【详解】设幂函数()f x x α=， ∵()f x 过点1(2,)4-， ∴()124α-=，2α=-，()2f x x -=， ∴1fe e=，故选：C ．【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意幂函数的性质和应用，属于基础题.5．函数241,[0,5]y x x x =-+∈的值域是（） A ．[]1,6 B ．[]31-， C ．[]36-，D ．[3)-+∞，【答案】C【解析】分析二次函数的开口方向和对称轴，结合函数的定义域求得函数的最大值和最小值，由此求得函数值域. 【详解】由于二次函数开口向上，对称轴为2x =，函数定义在区间[]0,5上，故当5x =时，函数取得最大值为()56f =，当2x =时，函数取得最小值为()23f =-.所以函数的值域为[]36-，. 故选C. 【点睛】本小题主要考查二次函数在给定区间上的值域的求法，属于基础题. 6．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2，则扇形的面积为（） A ．1 B ．2C ．4D ．5【答案】C【解析】128,22,442r l l r r r l S lr α+===∴==∴== ,选C. 7．已知函数()f x 的图象关于直线0x =对称，当210x x >≥时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是（） A ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】求得函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，又由函数()f x 的图象关于直线0x =对称，得到()f x 在(,0)-∞上单调递减，从而根据函数不等式列出相应的不等式，即可求解．【详解】当210x x >≥时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，所以()()210f x f x ->恒成立，即函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，又因为函数()f x 的图象关于直线0x =对称，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，若要满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即112133x -<-<，解得1233x <<，故选A ．【点睛】本题主要考查了函数的单调性，以及函数的对称性的应用，其中解答中得出函数的单调性和对称性，合理转化函数不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．8．设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减【答案】D【解析】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确； ∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C 正确；由于f 2π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误．故选D.9．已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b【答案】A【解析】【详解】试题分析：由幂函数图像特征知，1a >，01b <<，0c <，所以选A ．【考点】幂函数的图像特征．10．已知cos100a =︒，cos70b =︒，sin 40c =︒，这三个数的大小关系（） A ．a b c << B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】A【解析】利用诱导公式可得sin 40cos50=o o ，根据余弦弦函数的单调性进行判断. 【详解】sin 40cos50=o o ，因为cos y x =在0180x <<o o 是减函数，1007050>>o o o ，所以有cos100cos70cos50<<o o o ，即a b c <<，故本题选A. 【点睛】本题考查了利用余弦函数的单调性判断余弦值大小问题，考查了诱导公式.11．若2()lg(21)f x x ax a =-++在区间(,1]-∞上单调递减，则a 的取值范围为（）A ．[1,2)B ．[]12，C ．[1+)∞，D ．[2+)∞，【答案】A【解析】分析：由题意，在区间（﹣∞，1]上，a 的取值需令真数x 2﹣2ax+1+a ＞0，且函数u=x 2﹣2ax+1+a 在区间（﹣∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．详解：令u=x 2﹣2ax+1+a ，则f （u ）=lgu ，配方得u=x 2﹣2ax+1+a=（x ﹣a ）2 ﹣a 2+a+1，故对称轴为x=a ，如图所示：由图象可知，当对称轴a≥1时，u=x 2﹣2ax+1+a 在区间（﹣∞，1]上单调递减，又真数x 2﹣2ax+1+a ＞0，二次函数u=x 2﹣2ax+1+a 在（﹣∞，1]上单调递减，故只需当x=1时，若x 2﹣2ax+1+a ＞0，则x ∈（﹣∞，1]时，真数x 2﹣2ax+1+a ＞0，代入x=1解得a ＜2，所以a 的取值范围是[1，2）故选：A ．点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[],a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.12．已知函数2|log ,0(),21,0x x f x x x ⎧⎪=⎨+-≤⎪⎩若函数()1y f x m =-+有四个零点,零点从小到大依次为,,,,a b c d 则a b cd ++的值为( ) A ．2 B ．2-C ．3-D ．3【答案】C【解析】函数()1y f x m =-+有四个零点，即()y f x =与1y m =-的图象有4个不同交点，可设四个交点横坐标a b c d ,,,满足a b c d <<<，由图象，结合对数函数的性质，进一步求得1cd =，利用对称性得到4a b +=-，从而可得结果. 【详解】作出函数()2log ,021,0x x f x x x ⎧>⎪=⎨+-≤⎪⎩的图象如图,函数()1y f x m =-+有四个零点，即()y f x =与1y m =-的图象有4个不同交点，不妨设四个交点横坐标a b c d ,,,满足a b c d <<<，则，()()f a f b =，2121a b +-=+-, 可得31a b --=+, 4a b +=-由()()f c f d =，得22log log c d =，则22log log c d -=，可得2log 0cd =，即1cd =，413a b cd ++=-+=-，故选C. 【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-的零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴的交点⇔方程()()0f x g x -=的根⇔函数()y f x =与()y g x =的交点.二、填空题13．设集合M ＝{x|－1≤x ＜2}，N ＝{x |x －k ≤0}，若M ⊆N ，则k 的取值范围是______________．【答案】[2,)+∞【解析】由题意{|}N x x k =≤，因为M N ⊆，所以2k ≥. 14．已知锐角α终边上一点(3P ，则α的弧度数为________. 【答案】3π. 【解析】根据三角函数的定义求出tan α的值，于此可得出锐角α的弧度数。

江西省赣州市定南中学2020届高三数学理科12月月考试卷新课标人教版

江西省赣州市定南中学2020届高三数学理科12月月考试卷命题人：高三理科数学备课组 2020.12.7一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、设集合11{||1|2},{|}12M x x N x x =-≤=≤-，则M N =I A ．{|11}x x -<≤ B ．{|113}x x x -≤<=或 C ．{|11}x x -<< D ．{|13}x x -≤≤2、复数2(32)12i z i-=+在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3、]6,3[ππθ-∈，则直线01cos sin =++θθy x 的倾斜角的取值范围是 A ．]3,6[ππ B ．]65,32[ππ C ．),65[]3,0[πππY D ．),32[]6,0[πππY4、已知下列命题：①22|a = ②若点O 是正三角形ABC 的中心，则== ③222)(⋅=⋅； ④2222)(+⋅-=-；其中真命题的个数是 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个5、已知数列}{n a 的通项公式为)(21log 2+∈++=N n n n a n ，设其前n 项和为n s ，则使n s <-5成立的自然数n A ．有最小值63 B ．有最大值63 C ．有最小值31 D ．有最大值316、“神六飞天，举国欢庆”，据科学计算，运载“神州”六号飞船的“长征”二号系列火箭在点火1分钟通过的路程为2km ，以后每分钟通过的路程比前一分钟增加2km ，在达到离地面240km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是A ．10分钟B ．13分钟C ．15分钟D ．20分钟 7、若函数f （x ）＝－x 2＋2ax 与g （x ）＝（a ＋1）1－x 在区间[1, 2]上都是减函数，则a 的取值范围是 A ．（－1, 0） B ．（－1, 0）U (]1,0C ．（0, 1）D ．(]1,08、f (x )是定义在[－C ,C ]上的奇函数，其图象如下，令g (x )=af (x )+b ，则下列关于函数g (x )的叙述正确的是A ．若a <0,则函数g (x )的图象关于原点对称B ．若a =－1, －2<b <0，则方程g (x )=0有大于2的根C ．若a ≠0，b =2，则方程g (x )=0有两个实根D ．若a ≥1，b <2，则方程g (x )=0有三个实根9、设m ,n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m//α,n//α,则m//n ； ②若m ⊥α,n ∥α，则m ⊥n ； ③若α∥β, β∥γ,m ⊥α,则m ⊥γ； ④若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；其中真命题的序号是 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 10、将某城市分为四个区（如图），需要绘制一幅城市分区地图，现有5种不同颜色，图中①②③④，每区只涂一色，且相邻两区必涂不同的颜色（不相邻两区所涂颜色不限），则不同的涂色方式有 A ．240种 B ．180种 C ．120种 D ．60种 11、双曲线222006x y -=的左、右顶点分别为1A 、2A ，P 为其右支上一点，且21214A PA PA A ∠=∠，则21A PA ∠等于 A ．无法确定 B ．36πC ．18π D ．12π 12．有一位同学写了这样一个不等式：)(1122R x cc cx c x ∈+≥+++，他发现，当 c=1，2，3时，不等式对一切实数x 都成立，由此他作出如下猜测：①当c 为所有正整数时，不等式对一切实数x 都成立； ②只存在有限个自然数c ，对x ∈R 不等式都成立； ③当c≥1时，不等式对一切x ∈R 都成立； ④当c>0时，不等式对一切x ∈R 都成立. 则正确的是A ．①③B ．②C ．①③④D ．④二、填空题：（本大题共4小题，共16分）13、在8312⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中常数项是________14、已知函数f(x)=Acos 2(ωx+ϕ)+1（A>0，ω>0，02πϕ<<）的最大值为3，f(x)的图象在y 轴上的截距为2，其相邻两对称轴间的距离为2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=____________ 15、直三棱柱ABC – A 1B 1C 1的每一个顶点都在同一球面上，若AC =2，BC = CC 1 = 1，∠ACB =2π，则A 、C 两点之间的球面距离为___________．16、已知函数2()|2|().f x x ax b x R =-+∈给出下列四个命题：（1）()f x 必是偶函数；（2）当(0)(2)f f =时，()f x 的图象必关于直线x=1对称；（3）若20a b -≤，则()f x 在区间[,)a +∞上是增函数；（4）()f x 有最大值2||a b -．其中真命题的序号是_______________．三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17、（本小题满分12分）已知向量25(cos ,sin ),(cos ,sin ),||a b a b ααββ==-=r r r r（1）求cos()αβ-的值；（2）若0,022ππαβ<<-<<，且5sin 13β=-，求sin α的值．18、旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．（1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率；（2）求恰有2条线路没有被选择的概率；（3）求选择甲线路旅游团数的期望． 19、（本小题满分12分）已知四面体ABCD 沿AB ，AC ，AD 剪开展成的平面图形正好是下图所示的直角梯形A 1A 2A 3D （梯形中的三点A 1，A 2，A 3重合于四面体中的点A ）（Ⅰ）证明：AB ⊥CD ；（Ⅱ）当A 1D=10，A 1A 2=8时，求二面角A —CD —B 的平面角的大小；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求四面体ABCD 的体积．20、（本小题满分12分）已知函数f (x )=ln(x 2+a ),(a ∈R)（Ⅰ）求在函数f (x )图象上点A （t , ln(t 2+a )）处的切线l 的方程；（Ⅱ）若切线l 与y 轴上的纵截距记为g (t )，讨论g (t )的单调增区间．21、（本小题满分12分）如图所示，B （– c ，0），C （c ，0），AH ⊥BC ，垂足为H ，且HC BH 3=．（1）若AC AB ⋅= 0，求以B 、C 为焦点并且经过点A 的椭圆的离心率；（2）D 分有向线段AB 的比为λ，A 、D 同在以B 、C 为焦点的椭圆上，当 ―5≤λ≤27- 时，求椭圆的离心率e 的取值范围．22、数列{}n a 满足222311+==+n n a a a 且 n n n b a b +-=+)2(log 21 （1）求n a （2）若n b b 求,11= （3）设111132211+<+++-=++n nC C C C C C b C n n n n Λ求证[参考答案]一、选择题BCCBA CDBBA DA 二、填空题13、7 14、200 15、2π16、（3）三、解答题：17、（1）(cos ,sin ),(cos ,sin );a b ααββ==r rQ22(cos cos ,sin sin )254||,(cos cos )(sin sin )54322cos(),cos()55a b a b αβαβαβαβαβαβ∴-=---=∴-+-=∴--=∴-=r rr r Q（2）0,0,022ππαβαβπ<<-<<∴<-<Q34cos(),sin()55512sin ,cos 1313sin sin[()]sin()cos cos()sin 4125333()51313565αβαβββααββαββαββ-=-==-∴=∴=-+=-+-=⨯+-⨯=Q Q 18、（1）3个旅游团选择3个不同线路的概率为：3413348A p ==；（2）恰有两条线路没有被选择的概率为222432239416C C A p ==；（3）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3；123333233333332727(0);(1);464464391(2);(3).464464C p p C C p p ξξξξ======⋅====== ξ∴的分布列为：ξ 0 1 2 3p2764 2764 964 1640123646464644E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=19、（I ）依题意得，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，则AB ⊥平面ACD ，从而AB ⊥AC（II ）由条件可得，A 1D=A 3D=10，A 1B=A 2B=4，A 2C=A 3C=8；那么在直角梯形A 1A 2CD 中，求得CD=217，在△ACD 中由余弦定理求得：cos ∠ADC=17513，则sin ∠ADC=17516，作AH ⊥CD 于H ，则BH ⊥CD ，∠AHB 为二面角的平面角，因为sin ,171717(arctan );AH AD ADC AB AHB AH α=⋅∠=∠===所以tan（Ⅲ）3128)173217221(43131=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=∆ACD ABCD S AB V 20、（1）a t t t f a x x x f +='+='222)(,2)(则，切线l 的方程：)(2)ln(22a x at t a t y -+=+- （2）令x =0， 2222222222)()(2)(42)(),(2)ln()(a t a t t a t at a t t t g a t a t t a t t g +-=+-+='->+-+= ①当⎩⎨⎧<<->∈⎩⎨⎧>'->>0,0)(,02t a a t R t t g at a 或得由时得0<<->t a a t 或②0,0)(,02>⎩⎨⎧>'->=t t g at a 得由时③当a t t at a t t g a t a ->⎩⎨⎧>--<->⎩⎨⎧>'>+<有或得由时0,0)(0,02综合①②③当a >0时增区间为)0,(),(a a -+∞Y当a =0时，增区间为（0，+∞）；当a <0时，增区间为（a -，+∞）21、（1）因为3=，所以H ⎪⎭⎫⎝⎛0 2，c ，又因为AH ⊥BC ，所以设A ⎪⎭⎫ ⎝⎛02y c ，由0=⋅，得02200=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛---y c c y c c ，，，即22043c y = ，所以|AB| =c cc 3432322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛ ，|AC | =c cc =+⎪⎭⎫ ⎝⎛43222椭圆长轴2a = |AB| + |AC| = (3+ 1)c ，所以，e =13-=ac．（2）设D (x 1，y 1)，因为D 分有向线段的比为λ，所以x 1 =λλ+-12c c，y 1 =λ+10y设椭圆方程为2222by a x += 1 (a > b > 0)，将A 、D 点坐标代入椭圆方程得 2224b y e += 1 ① 1)1(1)1()21(42220222=+⋅++-⋅λλλb y e ②由①得220by = 1 –42e ，代入②，整理得113122+-=-+=λλλe因为 – 5≤λ≤27-，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21312，e又0 < e < 1，所以33≤e ≤22． 22、（1）111112212(2)22n n n n n n a a a a a a +++=+⇒=+⇒-=- 112111112()()2()222222n n n n n n n a a a a -+-∴=⇒-=-⋅=-⇒=--（2）122112()log (2)log ()22nnn n n n a b b a n +=-∴-=-==-Q同理有1(1)n n b b n --=--；12(2)n n b b n ---=--；……；211b b -=-，相加得11(1)(1)(1)(123(1))1222n n n n n n n nb b n b b ----=-++++-=-⇒=-+=-L （3）用数学归纳法证明证明：（i ）当n=1时，左边4112233==⨯⨯⨯，右边11112==+，命题成立；（ii ）假设n=k 时，命题成立，即122311k k kc c c c c c k ++++<+L (1)则n=k+1时，左边=1223112k k k k c c c c c c c c +++++++L ，右边12k k +=+，现比较12k k c c ++与1121(1)(2)k k k k k k +-=++++的大小。

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B. b a c
C. c a b
D. a c b
4. “ 1 1”是“关于 x 的方程 sin x m 有解”的（
）
m
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知具有线性相关的变量 x，y，设其样本点为 Ai ( xi ， yi )( i =1， 2..... ，6) ，回归直线方程
江西省赣州市宁师中学 2020 届高三数学 12 月月考试题文
一、选择题：本大题共 12 个小题 , 每小题 5 分, 共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .
1．设集合 M x R 0 x 2 ， N x N 1 x 3 ，则 M N （）．
A. x 0 x 2
13. 设向量 a , b 满足 a b 4 , a b 1 则 a b __________. 11, f (1)) 处的切线过点 (0, a) ，则 a __________ ．
-3-
15. 过点 3,1 的直线 l 被曲线 x2 y2 2 x 4 y 0 截得的弦长为 2，则直线 l 的方程为 _____.
ac
的值为 ( )
b
A． 2
B． 2
C． 2 2
D． 4
12. 设 A ， B ， C ， D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， △ABC 为等边三角形且其面积
为 9 3 ，则三棱锥 D ABC 体积的最大值为
A． 12 3
B． 18 3
C． 24 3
D． 54 3
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
1、考试前一天下午到所在的考点看考场： ①计算从居住地到考点骑车或步行所需要的时间（按一般速度），要把 ”红灯 “考虑进去； ②到考点后要看好考场位置、厕所位置、洗手池位置、交通工具存放处和学校集合地点； ③带少量钱以备急用，检查交通工具有无隐患。 2、考试前一天晚上： ①准备好第二天考试用的物品：铅笔盒（不要杂物、去掉有字的纸片等）、钢笔（要灌好蓝黑钢笔水）、圆珠笔（ 0.5mm 黑色笔芯）、铅笔（两头削好）、圆规、三角尺、手绢或纸巾、清凉油等。 ②准考证要放在铅笔盒中，不要放在衣服口袋里或夹在课本中（每场考完后都要放到铅笔盒中）。 ③晚饭后可将知识要点再温习一下。 3、考前生理准备：考试前一天晚上适当早点睡，考试当天不起特别早。早晨一定要吃丰盛的早饭，但不能过于油腻。饮食以清爽、可口、易消化吸收为原则。 4、考前心理准备：成绩优秀的考生应记住： ”没有常胜将军“ 、”不以一次成败论英雄 “；成绩不太好的考生要有 ”破釜沉舟 “的决心。 5、浏览笔记、公式、定理和知识结构：主要是浏览一下重要的概念、公式和定理，或记一些必须强记的数据。 6、自信地前往考点，要暗示自己有信心：如，全部科目我已做好复习；今天考试，我一定能正常发挥；对此我充满自信 … 7 、进考场前 10 分钟：在考室外最好是一人平静地度过，可就近找个地方坐一会儿，或看一下笔记，再次浏览知识结构。设法避开聊天。
为y
x 3 b ，若 OA1 OA2 ... OA6 =(9 ， 6)( O为坐标原点 ) ，则 b=（）
A.3
B. 4
1
C.
1
D.-
3
2
2
6. 若变量 x， y 满足约束条件
y, x
x y, 1 , 则 z x y 的最大值是 ( ) y… 1
A.2
B.3
C.4
D.5
7. 已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线方程为
y 2 x ，则该双曲线的
-2-
离心率是（）
A. 3 B.
5
C.
5 或 6 D. 3 或 6
2
2
8. 执行如图所示的程序框图，若输出的 S 57 ，则判断框内应填入的条件是（
）
A. k 4 B. k 5 C.
k6
x sin x
9．函数 y
1 x 2 的部分图象大致为（
D. ）
A.
B.
k7
C.
D.
10、为得到函数 y cos 2x
-1-
8 、入场前提醒自己作到 ”四心 “：一是保持” 静心“ ，二是增强 ”信心 “，三是做题”专心“，四是考试”细心 “。 9、不要一心想得满分：特别是对平时成绩中等上下的同学来说，一心想得满分是大忌。当然，应该得
的分一定要得，该放弃的敢于放弃。如果有时间再攻暂时放弃的题。
B. x 1 x 3
C. 1
D. 0,1,2
2. 已知 a R ， i 是虚数单位，若 z 3 ai ， z z 4 ，则 a 为（）
A. 1或 1
B. 1
C. 1
D. 不存在
1
3. 已知 a 2 3 , b log2 3, c log 4 7 ，则 a, b, c 的大小关系为（
）
A. a b c
( ) 16. 对于三次函数 f x ax3 bx2 cx d a,b, c, d R, a 0 有如下定义：设 f ￠x 是函 ( ) 数 f x 的导函数， f x 是函数 f ￠x 的导函数，若方程 f x 0 有实数解 m ，则称点
m, f m 为函数 y f x 的“拐点” . 若点 1, 3 是函数
的图象，只需将函数 y sin 2x
的图象（）
3
3
A. 向左平移个长度单位 6
B. 向右平移个长度单位。 6
C. 向左平移个长度单位 12
D. 向右平移个长度单位 12
11. 在 ABC 中， a,b, c 分别是角 A, B,C 的对边 , 若 b sin A 3a cos B 0 , 且 b2 ac ，则