高三数学上学期12月月考试题理
高三试卷数学-湖南省株洲市第二中学2023届高三上学期12月月考数学试卷及参考答案
湖南株洲第二中学2022-2023学年上学期教学质量检测高三数学试题（B）一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={0,1,2,3,4,5}，B={1,3,6,9},C={3,7,8}，则()=C B A A ．{1,2,6,5}B ．{3,7,8}C ．{1,3,7,8}D ．{1,3,6,7,8}2．与圆224240x y x y +-++=关于直线30x y -+=成轴对称的圆的方程是A ．22810400x y x y +-++=B ．22810200x y x y +-++=C ．22810400x y x y ++-+=D ．22810200x y x y ++-+=3．已知c 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的半焦距，则b c a +的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．)+∞C ．(D ．(4．已知实数a ，b ，0a >，0b >，则“2a b +<”是<（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()()()2|| 1.00125()e ,log 3,log 8,2x f x x a f b f c f ===-=-，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b>>B ．a b c>>C ．c b a>>D ．c a b>>6．已知A 、B 、C 是半径为3的球O 的球面上的三个点，且120ACB ∠= ，AB =2AC BC +=，则三棱锥O ABC -的体积为（）A ．12B ．6C ．3D 7．过点()22M p -，作抛物线2)20(x py p >＝的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 的中点的纵坐标为6，则p 的值是()A ．1B ．2C ．1或2D ．-1或28．已知奇函数()f x 在R 上是减函数.若()2log 4.6a f =，22log 9b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0.92c f =--，则a ､b ､c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c>>D ．c a b>>二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．下列说法正确的是（）A ．“1a >”是“21a >”的充分不必要条件B ．“423a <<”是“()()22123a a ---<-”的充要条件C ．命题“x R ∀∈，210x +<”的否定是“x R ∃∈，使得210x +≥”D ．已知函数()y f x =的定义域为R ，则“()00=f ”是“函数()y f x =为奇函数”的必要不充分条件10．对于函数()sin cos sin cos 2x x x xf x ++-=，下列结论正确的是（）A ．()f x 是以2π为周期的函数B ．()f x 的单调递减区间为()52,2Z 24k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．()f x 的最小值为-1D ．()f x ≥()32,2Z 44k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦11．在数列{}n a 中，已知1210,,,a a a ⋯是首项为1，公差为1的等差数列，10101101(),,,n n n a a a ++⋯是公差为n d 的等差数列，其中N*n ∈，则下列说法正确的是（）A ．当1d =时，2020a =B ．若3070a =，则2d =C ．若1220320a a a +++=L ，则3d =D ．当01d <<时，()101101n a d<-＋12．已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 为棱CC 1上的动点，AM ⊥平面α，下面说法正确的是（）A ．若N 为DD1中点，当AM +MN 最小时，CM=2B ．当点M 与点C 1重合时，若平面α截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大C ．若点M 为CC 1的中点，平面α过点B ，则平面α截正方体所得截面图形的面积为92D ．直线AB 与平面α所成角的余弦值的取值范围为32⎣⎦三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2n n a S n ++=∈N ，则{}n a 的通项公式为n a =______．14．下列四个命题中：①已知()()()sin cos 21,sin cos 2πααπαπα-+-=++则tan 1α=-；②()00tan 30tan 30-=-=-③若sin α=则1cos 2;2α=-④在锐角三角形ABC 中，已知73sin ,cos ,255A B ==则119sin .125C =其中真命题的编号有_______.15．已知定义在[2,2]-上的函数()g x 为奇函数,且在区间[0,2]上单调递增,则满足(1)()g m g m -<的m 的取值范围为______16．等腰三角形的底边长为6，腰长为12，其外接圆的半径为________.四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知{}n a 是递增的等差数列，12,a a 是方程2430x x -+=的两根．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．18．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()4f x x x =-.（1）求函数()f x 的解析式；并写出函数的单调区间；（2）函数()f x 在区间[3,]a -上的最小值为()g a ，求()g a 的值域.19．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221:21C x y -=．（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P ，Q 两点，若l 与圆221x y +=相切，求证：OP OQ ⊥；（3）设椭圆222:41C x y +=，若M ，N 分别是1C ，2C 上的动点，且OM ON ⊥，求证：O 到直线MN 的距离是定值．20．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知cos sin b a C A =+，点M 是BC 的中点.（Ⅰ）求A 的值；（Ⅱ）若a =AM 的最大值.21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>1F ，2F是椭圆的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求OAB （O 为坐标原点）的面积的最大值．22．已知函数()2ln bf x ax x x=-+.（1）若()f x 在1x =，12x =处取得极值.①求a 、b 的值；②若存在01[,2]4x ∈，使得不等式0()0f x c -≤成立，求c 的最小值；（2）当b a =时，若()f x 在(0,)+∞上是单调函数，求a 的取值范围.参考答案1．C2．C3．D4．C5．D 6．B因为AB =，120ACB ∠= ，所以，ABC的外接圆半径为1==r ，所以，三棱锥O ABC -的高为h ==，在ABC 中，由余弦定理可得()22222232cos120AB AC BC AC BC AC BC AC BC AC BC AC BC ==+-⋅=++⋅=+-⋅，所以，()231AC BC AC BC ⋅=+-=，所以，1sin1202ABC S AC BC =⋅ △，因为1133O ABC ABC V S h -=⋅=△.故选：B.7．C由题意得22x y p=，x y p '=，设切点分别为11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以切线方程为别为111()x y y x x p-=-，222()x y y x x p -=-，化简可得11x x y y p =-，22x x y y p =-由于两条切线都过M 点，所以1122x p y p -=-，2222xp y p-=-，所以点11(,)A x y ，22(,)B x y 都在直线220x y p p -+=上，所以过A ，B 两点的直线方程为220x y p p -+=，联立22+2=0=2x y p p x py-⎧⎪⎨⎪⎩，消去x 得2234840py p y y p --+=，方程2234840py p y y p --+=的判别式()2232484464640p p p p D =---×=+>由已知2124812p y y p++==，解得1p =或=2p ，故选：C.8．B解：因为奇函数()f x 在R 上是减函数.若()2log 4.6a f =，222229log log log 992b f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()0.90.922c f f =--=，∵0.9229log 4.6log 222>>>，∴()()0.9229log 4.6log 22f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即c b a >>.故选：B.9．ACD解：对于A ：21a >，解得1a >或1a <-，所以“1a >”是“21a >”的充分不必要条件，故A 正确；对于B ：()()22123a a ---<-，则12310230a a a a ⎧->-⎪-≠⎨⎪-≠⎩解得423a <<且32a ≠，故B 错误；对于C ：全称量词命题的否定为存在量词命题，故命题“x R ∀∈，210x +<”的否定是“x R ∃∈，使得210x +≥”正确；对于D ：因为函数()y f x =的定义域为R ，若函数()y f x =为奇函数，则()00f =，若()00f =得不到()y f x =为奇函数，若()2f x x =，故“()00f =”是“函数()y f x =为奇函数”的必要不充分条件，故D 正确；故选：ACD 10．AD依题意，()sin(2)cos(2)sin(2)cos(2)2()2x x x x f x f x πππππ+++++-++==，()f x 是以2π为周期的函数，A 正确；5sin ,2244()(Z)3cos ,2244x k x k f x k x k x k ππππππππ⎧+≤≤+⎪⎪=∈⎨⎪-<<+⎪⎩，函数sin y x =在5[2,2]24k k ππππ++()k ∈Z 上单调递减，函数cos y x =在[2,2]4k k πππ+()k ∈Z 上单调递减，B 不正确；函数cos y x =在3[2,2]4k k πππ-()k ∈Z 上单调递增，因此，324x k ππ=-()k ∈Z时，min ()2f x =-，C 不正确；由()f x ≥得522(Z)44sin 2k x k k x ππππ⎧+≤≤+∈⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或322(Z)44cos 2k x k k x ππππ⎧-<<+∈⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解522(Z)44sin 2k x k k x ππππ⎧+≤≤+∈⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩得322(Z)44k x k k ππππ+≤≤+∈，解322(Z)44cos k x k k x ππππ⎧-<<+∈⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩得22(Z)44k x k k ππππ-≤<+∈，综上得：322(Z)44k x k k ππππ-≤≤+∈，()2f x ≥的解集是3[2,2](Z)44k k k ππππ-+∈，D正确.故选：AD 11．ACD对于A ，当1d =时，1n d =，可知数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，所以201(201)120a =+-⨯=，故A 正确；对于B ，由已知1010a =，101120,,,a a a ⋯是公差为d 的等差数列，则201010a d =+，202130,,,a a a ⋯是公差为2d 的等差数列，则23010101070a d d =++=，即260d d +-=，解得：2d =或3d =-，故B 错误；对于C ，1220110101010101032022d d a a a ++++=⨯+⨯+=++L ，解得：3d =，故C 正确；对于D ，210(1)110101010101011n nn d a d d d d d+-=++++=<--L ，故D 正确；故选：ACD 12．AC对于A ，由展开图如下，当AM MN +最小时，2CM AC DN AD ==，得2CM =，故A正确对于B ，如图，取各边中点连接成六边形EFGHIJ ，由立体几何知1CC ⊥平面1A BD ，1CC ⊥平面EFGHIJ ，截面1A BD周长为3=84⨯=截面EFGHIJ6=62=对于C ，取1111,A D A B 中点分别为EF ，以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，(2,2,1)AM =-- ，(2,2,0)DB =，(1,0,2)DE =，由数量积可知,AM BD AM DE ⊥⊥，而BD DE D ⋂=，故AM ⊥平面BDEF ，截面BDEF 为等腰梯形，EF DB ED FB ====面积为1922⨯=，故C 正确对于D ，设(0,2,)M t (0,2,0)AB = ，平面α的一个法向量为(2,2,)AM t =-故直线AB 与平面α所成角的正弦值sin []32θ==则cos []23θ∈，故D 错误13．112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭当1n =时，112a S +=，得11a =，当2n ≥时，由()2n n a S n ++=∈N ，得112n n a S --+=，所以110n n n n a S a S --+--=，所以120n n a a --=，所以112n n a a -=，所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，所以112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故答案为：112n -⎛⎫⎪⎝⎭14．②③对于①：因为()()()sin -cos 21,sin cos 2πααπαπα+-=++所以sin cos 1,sin cos 2αααα+=-所以sin 11cos ,sin 21cos αααα+=-即tan 11,tan 12αα+=-解得tan 3α=-，故①不正确；对于②：因为()()()00sin 30sin 30tan 30tan 30;cos303cos 30---===-=--故②正确；对于③：因为sin α=所以221cos 212sin 122αα⎛=-=-⨯=- ⎝⎭，故③正确；对于④：因为在锐角三角形ABC 中，73sin ,cos ,255A B ==所以00,0222A B C πππ<<<<<<，所以244cos ,sin ,255A B ====所以()()sin sin +sin +C A B A B π⎡⎤=-=⎣⎦73244117sin cos +cos sin +255255125A B A B ==⨯⨯=，故④不正确，故答案为：②③．15．1(,2]2∵()g x 为奇函数，且在[0,2]上为增函数，∴()g x 在[2,2]-上为增函数．∵(1)()g m g m -<，∴1-212-22m mm m -<⎧⎪≤-≤⎨⎪≤≤⎩，解得122m <≤．故答案为1(,2]2．16．5解：设顶角为θ，由余弦定理可得：2236121221212cos θ=+-⨯⨯⨯，解得：7cos 8θ=，sin θ∴=再由正弦定理可得62sin R θ=，2R ∴=R ∴故答案为：5．17．（1）221,n n a n S n =-=；（2）21n nT n =+（1）∵{}n a 是递增的等差数列,∴12a a <，又12,a a 是方程2430x x -+=的两根，∴121,3a a ==，∴21312d a a =-=-=，∴1(1)221n a n n =+-⨯=-.（2）111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+,∴11111111(1...)(1)2335212122121n n S n n n n =-+-++-=-=-+++.18．（1）()224,04,0x x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩，单调递增区间为(],2-∞-，[)2,∞+；单调递减区间为[]22-,；（2）[]4,3-（1）当0x <时，0x ->()()()2244f x x x x x∴-=---=+()f x 为奇函数()()24f x f x x x∴=--=--()f x 为R 上的奇函数()00f ∴=，满足()24f x x x=--()224,04,0x x x f x x x x ⎧->∴=⎨--≤⎩()f x \的单调递增区间为(],2-∞-，[)2,∞+；单调递减区间为[]22-,（2）当31a -<<-时，()()min 39123f x f =-=-+=，即()3g a =当10a -≤≤时，()()2min 4f x f a a a ==--，即()24g a a a =--()[]0,3g a ∴∈当02a <<时，()()2min 4f x f a a a ==-，即()24g a a a=-()()4,0g a ∴∈-当2a ≥时，()()min 2484f x f ==-=-，即()4g a =-综上所述：()g a 的值域为[]4,3-19．（1）根据题意可得1C的左顶点为(，设直线方程为2y x =+，与另一条渐近线y =联立求得交点坐标为1()42-，所以对应三角形的面积为112228S =⨯=；（2）设直线PQ 的方程是y x b =+，因直线与已知圆相切，1=，即b =由2221y x b x y =+⎧⎨-=⎩得()22210x bx b --+=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122x x b +=，212(1)x x b ⋅=-+，则()()2222212121212221220OP OQ x x y y x x b x x b b b b b ⋅=+=+++=--++=-= ，故OP OQ ⊥；（3）当直线ON 垂直于x 轴时，1ON =，OM =MN =则O 到直线MN的距离为12d =．当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y kx =（显然2k >），则直线OM 的方程为1=-y x k.由y kx =与椭圆方程联立，得2214x k =+，2224k y k =+，所以22214k ON k+=+.同理222121k OM k +=-.设O 到直线MN 的距离为d ，则由12OM ON d ⋅=，得2221113d OMON=+=．综上，O 到直线MN .20．（Ⅰ）3A π=；（Ⅱ）32.（Ⅰ）由已知及正弦定理得sin sin cos sin 3B AC C A =+.又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，且sin 0C ≠，∴tan A A π=<<，即3A π=.（Ⅱ）方法一：在ABC ∆中，由余弦定理得223b c bc +-=，∵222b c bc +≤，当且仅当b c =时取等号，∴226b c +≤.∵AM 是BC 边上的中线，∴在ABM ∆和ACM ∆中，由余弦定理得，2232cos 4c AM AM AMB =+-∠，①2232cos 4b AM AM AMC =+-∠.②由①②，得22239244b c AM +=-≤，当且仅当b c ==AM 取最大值32.方法二：在ABC ∆中，由余弦定理得223b c bc +-=，∵222b c bc +≤，当且仅当b c =时取等号，∴226b c +≤.∵AM 是BC 边上的中线，∴2AB ACAM += ，两边平方得()22214AM b c bc =++，∴22239244b c AM +=-≤，当且仅当b c ==AM 取最大值32.21．(1)2214x y +=；(2)1.(1)椭圆C 的半焦距为c ，离心率c e a ==因过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的弦长为1，将x c =-代入椭圆C 方程得：2b y a =±，即221b a =，则有222221c e a b aa b c ⎧=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)由(1)知，2F ，依题意，直线l 的斜率不为0，则设直线l的方程为x my =()11,A x y ，()22,B x y ，由2244x y x my ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩消去x 并整理得：()22410m y ++-=，12y y +=，12214y y m =-+，OAB的面积2122121122S OF y OF y y y =+-，12y y -==，设)1t t =≥，221m t =-，122244343t y y m t t t-===+++，3t t+≥，当且仅当t =，22m =时取得“=”，于是得1243y y t t-=≤+121S y y =-≤，所以OAB 面积的最大值为1.22．（1）11,33--，7126n -+；（2）[(0)，-∞⋃+∞试题分析：（1）①先求()f x '，根据函数在11,2x x ==处取得极值，则()110,()02f f ''==，代入可求得,a b 的值；②转化为()min c f x ≥，从而求函数()f x 在区间1[,2]4上的最小值，从而求得c 的值；（2）当a b =时，()2ln af x ax x x=-+，①当0a =时，符合题意；②当0a ≠时，分0,0a a ><讨论()f x 在(0,)+∞上正负，以确定函数的单调性的条件，进而求出a 的取值范围．试题解析：（1）①∵()21bf x ax nx x=-+，∴()21'2b f x a x x =++，∵()f x 在1x =，12x =处取得极值，∴()10f '=，102f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝，即2102420a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得1313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴所求a 、b 的值分别为11,33--.②在1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦存在0x ，使得不等式()00f x c -≤成立，只需[]min c f x ≥（），由()()()2222211211231'3333x x x x f x x x x x x ---+=--+=--，∴当1142x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()0f x '<，故()f x 在1142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，是单调递减；当112x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()0f x '>，故()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调递增；当[]12x ∈，时，()0f x '<，故()f x 在[]12，是单调递减；∴12f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 在1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极小值，()1111711221223236f n n f n ⎛⎫=+=-=-+ ⎪⎝⎭，且()321321411422f f n ne n ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，又3160e -＞，∴321140ne n ＞-，∴[]2min f x f =（）（），∴()7126min c f x m ⎡⎤≥=-+⎣⎦，∴c 的取值范围为7126n ，⎡⎫-++∞⎪⎢⎣⎭，所以c 的最小值为7126n -+.（2）当a b =时，222ax x a f x x（）++='，①当0a =时，()1f x nx =，则()f x 在()0,+∞上单调递增；②当0a >时，∵0x >，∴220ax x a ++>，∴()0f x '>，则()f x 在()0,+∞上单调递增；③当0a <时，设()22g x ax x a =++，只需0≤ ，从而得4a ≤-，此时()f x 在()0,+∞上单调递减；综上得，a 的取值范围是][04⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，，点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中（1）①考查了函数取得极值的性质，若函数在0x 处取得极值，则0()0f x =，但0()0f x '=，0x 不一定是函数的极值点，即某点的导数为0是该点为极值的必要不充分条件；②注意是“存在14x ∈[,2]，使得0()c f x ≥成立，等价于()min c f x ≥”（2）结合极值考查了函数的额单调性，需要分类讨论思想在解题中的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力．。
2022-2023学年北京理工大学附属中学高三上学期12月月考数学试题含详解
2022—2023学年度第一学期高三年级数学学科12月练习一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}|0A x x =≥，{}0,1,2B =，则（）A.ABB.BAC.A B B⋃= D.A B ⋂=∅2.复数()()1i 1i z =+-在复平面内对应的点的坐标为A.()1,0 B.()2,0 C.()0,1 D.()0,23.下列函数中，在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.1y x =-+ B.()21y x =- C.ln y x= D.12y x=4.已知数列{}n a 是等差数列，n S 是它的前n 项和，若132,12a S ==，则4S =A.24B.20C.16D.105.已知平面向量()0,1,0a = ，130,,22b ⎛=- ⎝⎭ ，则a 与a b + 的夹角为（）A.π3B.2π3C.π6D.5π66.直线l ：10mx y m -+-=与圆C ：22(1)5x y +-=的位置关系是（）A .相交B.相切C.相离D.不确定7.定义在R 上的函数()f x 为奇函数，且()()5f x f x +=.若()21f >，()3f a =，则（）A .3a <- B.3a > C.1a <- D.1a >8.已知m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，那么使//m α成立的一个充分条件是（）A.//m β，αβ∥B.m β⊥，αβ⊥C.m n ⊥，n α⊥，m α⊄ D.m 上有不同的两个点到α的距离相等9.我国南北朝时期的科学家祖暅，提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是：如果两个等高的几何体，在等高处的截面积恒等，则这两个几何体的体积相等.利用此原理求以下几何体的体积：曲线2(0)y x y L =≤≤绕y 轴旋转一周得几何体Z ，将Z 放在与y 轴垂直的水平面α上，用平行于平面α，且与Z 的顶点O 距离为l 的平面截几何体Z，得截面圆的面积为2l ππ=.由此构造右边的几何体1Z ：其中AC ⊥平面α，AC L =，1AA α⊂，1AA π=，它与Z 在等高处的截面面积都相等，图中EFPQ 为矩形，且PQ π=，FP l =，则几何体Z 的体积为A.2L πB.3L π C.212L πD.312L π10.在一个正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形1111D C B A 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=的实数λ的值有A.0个B.1个C.2个D.3个二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.若0.31(2a =，20.3b -=，12log 2c =，则a ，b ，c 按从大到小的顺序排列依次为______．12.圆C ：222210x y x y +--+=的圆心坐标是__________；直线l ：0x y -=与圆C 相交于A ，B 两点，则||AB =__________．13.若抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，则p =_________．14.已知ABC ，6a =，给出下列结论：①若10b =，3A π=，则B 的值唯一；②若6A π=，则ABC S 有最大值；③若10b c +=，则cos A 的最小值为725.其中，所有正确的结论序号为___________.15.已知函数(2)(),1,()1, 1.x a a x x f x a x --≤=->（1）若0a =，[04],x ∈，则()f x 的值域是________；（2）若()f x 恰有三个零点，则实数a 的取值范围是_________．三､解答题共4小题，共55分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.16.已知函数()()sin f x x ωϕ=+()0,ωϕπ><的图像如图所示.（1）求,ωϕ的值；（2）设()()4g x f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，求函数()g x 的单调递增区间.17.如图1，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E 分别是AC，AB 上的点，且DE∥BC，DE＝2．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C⊥CD，如图2．(1)求证：A 1C⊥平面BCDE；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由．18.已知函数()1e ln xf x a x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中R a ∈.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线exy =-垂直，求a 的值；（2）当()0ln2a ∈，时，证明：()f x 存在极小值.19.已知椭圆C 的两个焦点分别为()1F ，)2F ，短轴长为2.（1）求椭圆C 的标准方程及离心率；（2）M ，D 分别为椭圆C 的左､右顶点，过M 点作两条互相垂直的直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，直线AB 是否过定点？并求出DAB 面积的最大值.2022—2023学年度第一学期高三年级数学学科12月练习一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}|0A x x =≥，{}0,1,2B =，则（）A.A BB.BAC.A B B⋃= D.A B ⋂=∅B【分析】判定出两集合的关系判断选项AB ；求得A B A ⋃=否定选项C ；求得A B ⋂≠∅否定选项D.【详解】由{}|0A x x =≥，{}0,1,2B =，可得B A故选项A 判断错误；选项B 判断正确；{}{}{}0||0,1,20A B x x x x B =⋃=≥≥≠⋃，则选项C 判断错误；{}{}{}00,1,20,1|,2A B x x ⋂=≥⋂=≠∅，则选项D 判断错误.故选：B2.复数()()1i 1i z =+-在复平面内对应的点的坐标为A.()1,0 B.()2,0 C.()0,1 D.()0,2B 【分析】【详解】试题分析：∵2(1i )(1i)1i 2z =+-=-=，∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为()2,0.考点：复数的乘法运算、复数与复平面的点的对应关系.3.下列函数中，在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.1y x =-+ B.()21y x =- C.ln y x= D.12y x=D【分析】利用一次函数单调性判断选项A ；利用二次函数单调性判断选项B ；化简ln y x =，则可得到单调区间，即可判断选项C ；利用幂函数单调性判断选项D.【详解】1y x =-+在区间()0,∞+上单调递减，则选项A 判断错误；()21y x =-在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增,则选项B 判断错误；ln ,1ln ln ,01x x y x x x ≥⎧==⎨-<<⎩在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增,则选项C 判断错误；12y x =在区间()0,∞+上单调递增，则选项D 判断正确故选：D4.已知数列{}n a 是等差数列，n S 是它的前n 项和，若132,12a S ==，则4S =A.24 B.20C.16D.10B【分析】根据等差数列的前n 项和公式化简312S =，将12a =代入求出公差d 的值，然后由首项1a 和公差d ，利用等差数列的前n 项和公式求出4S 即可．【详解】由132,12a S ==得3132363122S a d d ⨯=+=+=解得2d =所以41434812202S a d ⨯=+=+=故选B.【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，属于基础题．5.已知平面向量()0,1,0a =，10,,22b ⎛=- ⎝⎭，则a 与a b + 的夹角为（）A.π3B.2π3C.π6D.5π6A【分析】由题意可得1(0,,22a b += ，设a 与a b + 的夹角为θ，由()cos ||||a a b a a b θ⋅+=⋅+求解即可.【详解】解：因为()0,1,0a = ，130,,22b ⎛=- ⎝⎭，所以13(0,,22a b += ，设a 与a b +的夹角为θ，则1()12cos 112||||a a b a a b θ⋅+===⨯⋅+，又因为[0,π]θ∈，所以π3θ=.故选：A6.直线l ：10mx y m -+-=与圆C ：22(1)5x y +-=的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.不确定A 【分析】由直线方程可得直线过定点(11)，，又点(11)，在圆内，得到答案.【详解】直线l ：10mx y m -+-=过定点(11)，，因为221(11)5+-<，则点(11)，在圆22(1)5x y +-=的内部，∴直线l 与圆相交，故选：A.7.定义在R 上的函数()f x 为奇函数，且()()5f x f x +=.若()21f >，()3f a =，则（）A.3a <-B.3a > C.1a <- D.1a >C【分析】由()()5f x f x +=可知函数()f x 的周期为5，即()()23f f a -==，再结合函数()f x 为奇函数，所以()()221f f a =--=->，进而可得1a <-.【详解】因为()()5f x f x +=，所以函数()f x 的周期为5，所以()()23f f a -==，又因为函数()f x 为奇函数，所以()()221f f a =--=->，所以1a <-.故选：C.8.已知m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，那么使//m α成立的一个充分条件是（）A.//m β，αβ∥B.m β⊥，αβ⊥C.m n ⊥，n α⊥，m α⊄ D.m 上有不同的两个点到α的距离相等D【分析】根据直线与平面，平面与平面的关系可得.【详解】对于A 项，//m β，αβ∥则可能m α⊂，故A 不正确；对于B 项，m β⊥，αβ⊥则可能m α⊂，故B 不正确；对于C 项，m n ⊥，n α⊥，m α⊄，则//m α，故C 正确；对于D 项，m 上有不同的两个点到α的距离相等，则可能m 与α相交故选：D9.我国南北朝时期的科学家祖暅，提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是：如果两个等高的几何体，在等高处的截面积恒等，则这两个几何体的体积相等.利用此原理求以下几何体的体积：曲线2(0)y x y L =≤≤绕y 轴旋转一周得几何体Z ，将Z 放在与y 轴垂直的水平面α上，用平行于平面α，且与Z 的顶点O 距离为l 的平面截几何体Z ，得截面圆的面积为2l ππ=.由此构造右边的几何体1Z ：其中AC ⊥平面α，AC L =，1AA α⊂，1AA π=，它与Z 在等高处的截面面积都相等，图中EFPQ 为矩形，且PQ π=，FP l =，则几何体Z 的体积为A.2L πB.3L π C.212L π D.312L πC【分析】通过截面面积相等可求得BC 的长度，再利用三棱柱体积公式即可求解.【详解】由题意可知：在高为L 处，截面面积为L π，且截面面积相等11BB C C S L π∴=BC L ⇒=111212ABC A B C ABC V S L ππ-∆∴=⋅=本题正确选项：C 【点睛】本题考查空间几何体中柱体体积的求解，属于基础题.10.在一个正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形1111D C B A 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=的实数λ的值有A.0个B.1个C.2个D.3个C【详解】因为线段D 1Q 与OP 互相平分，所以四点O ，Q ，P ，D 1共面，且四边形OQPD 1为平行四边形．若P 在线段C 1D 1上时，Q 一定在线段ON 上运动，只有当P 为C 1D 1的中点时，Q 与点M 重合，此时λ＝1，符合题意．若P 在线段C 1B 1与线段B 1A 1上时，在平面ABCD 找不到符合条件Q ；在P 在线段D 1A 1上时，点Q 在直线OM 上运动，只有当P 为线段D 1A 1的中点时，点Q 与点M 重合，此时λ＝0符合题意，所以符合条件的λ值有两个故选C.二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.若0.31(2a =，20.3b -=，12log 2c =，则a ，b ，c 按从大到小的顺序排列依次为______．b ac >>【分析】可看出0.321210()1,031,log 202．-<<，从而比较出a ，b ，c 的大小．【详解】解：0.30110(()122<<=，200.30.31->=，1122log 2log 10<=；b ac ∴>>．故答案为b a c >>．【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，根据单调性比较数的大小的方法．12.圆C ：222210x y x y +--+=的圆心坐标是__________；直线l ：0x y -=与圆C 相交于A ，B 两点，则||AB =__________．①.(1,1)②.2【分析】由圆的一般式方程，利用配方法，整理得圆的标准方程，可得圆心坐标与半径，根据圆心与已知直线的位置关系，可得答案.【详解】圆22:2210C x y x y +--+=，即22(1)(1)1x y -+-=，所以圆心为(1,1),半径为1,圆心(1,1)在直线:0l x y -=上,所以AB 为直径，所以2AB =.故答案为：(1,1)；2.13.若抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，则p =_________．4【分析】根据双曲线顶点和抛物线焦点相关知识直接求解即可.【详解】双曲线2214x y -=右顶点坐标为()2,0，抛物线22y px =的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，所以22p=，即4p =.故答案为：414.已知ABC ，6a =，给出下列结论：①若10b =，3A π=，则B 的值唯一；②若6A π=，则ABC S 有最大值；③若10b c +=，则cos A 的最小值为725.其中，所有正确的结论序号为___________.②③【分析】利用正弦定理，余弦定理以及均值不等式逐项进行检验即可求解.【详解】对于①，因为10b =，3A π=，由正弦定理可得：sin sin a b A B =，所以5sin sin 1326b B A a ==⨯=>，所以ABC 无解，故①错误；对于②，由余项定理可得：2222cos a bc bc A =+-，也即2236(2b c bc =+≥-（当且仅当b c =时取等号）所以36(2bc ≤=+，则11sin 9(224ABC S bc A bc ==≤+ ，所以ABC S 有最大值，故②正确；对于③，由余弦定理可得：22222()232cos 122b c a b c bc a A bc bc bc+-+--===-，又因为2()252b c bc +≤=（当且仅当b c =时取等号），所以327cos 12525A ≥-=，故③正确，故答案为：②③.15.已知函数(2)(),1,()1, 1.x a a x x f x a x --≤=->（1）若0a =，[04],x ∈，则()f x 的值域是________；（2）若()f x 恰有三个零点，则实数a 的取值范围是_________．①.[1,1]-②.(,0)-∞【详解】（1）因为0a =时，2,1,()1, 1.x x f x x -≤=->，01x ≤<时，210,x -≤-<14x ≤≤时，011,≤-≤所以，[04],x ∈，则()f x 的值域是[]1,1-；（2）当1a >时，没有零点；当1a =时有一个零点1x =，当01a <<时，有一个或有两个零点，当0a =时只有一个零点，当a<0时，有三个零点()2,2,1x a x a x a ===-，所以()f x 恰有三个零点，则实数a 的取值范围是(),0-¥，故答案为[]1,1-，(),0-¥.【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式和性质、函数的零点与方程、分类讨论思想及方程的根与系数的关系.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.三､解答题共4小题，共55分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.16.已知函数()()sin f x x ωϕ=+()0,ωϕπ><的图像如图所示.（1）求,ωϕ的值；（2）设()()4g x f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求函数()g x 的单调递增区间.（1）2ω=，2πϕ=-；（2）[,]()2828k k k Z ππππ-+∈.【分析】（1）由图象可知44T π=，则T π=，可求出2ω=，再根据图象过点(,1)2π，求出ϕ的值；（2）利用第（1）题的结果，化简()f x ，再得出()g x 的解析式，利用正弦函数的单调性，求复合函数的单调区间.【详解】解：（1）由图可知44T π=，则T π=，22πωπ∴==，图象过点(,1)2π，则2222k ππϕπ⨯+=+，()k ∈Z 22k πϕπ∴=-又ϕπ<Q ，2πϕ∴=-，故2ω=，2πϕ=-；（2）由（1）可得()sin(2)cos 22f x x x π=-=-，则()()()4g x f x f x π=-cos 2[cos 2()]4x x π=---cos 2sin 2x x =1sin 42x =由24222k x k ππππ-≤≤+，解得2828k k x ππππ-≤≤+，故函数()g x 的单调递增区间为[,]()2828k k k Z ππππ-+∈.【点睛】本题考查了由三角函数的图象求解析式，余弦型复合函数的单调区间求解问题，属于中档题.17.如图1，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E 分别是AC，AB 上的点，且DE∥BC，DE＝2．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C⊥CD，如图2．(1)求证：A 1C⊥平面BCDE；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由．（1）略（2）4π(3)见解析【考点定位】此题第二问是对基本功的考查，对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解答．第三问的创新式问法，难度非常大【详解】试题分析：（1）证明A 1C ⊥平面BCDE ，因为A 1C ⊥CD ，只需证明A 1C ⊥DE ，即证明DE ⊥平面A 1CD ；（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面A 1BE 法向量，=（﹣1，0，），利用向量的夹角公式，即可求得CM 与平面A 1BE 所成角的大小；（3）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为（0，a ，0），则a ∈[0，3]，求出平面A 1DP 法向量为假设平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直，则，可求得0≤a≤3，从而可得结论．（1）证明：∵CD ⊥DE ，A 1D ⊥DE ，CD∩A 1D=D ，∴DE ⊥平面A 1CD ，又∵A 1C ⊂平面A 1CD ，∴A 1C ⊥DE又A 1C ⊥CD ，CD∩DE=D∴A 1C ⊥平面BCDE（2）解：如图建系，则C （0，0，0），D （﹣2，0，0），A 1（0，0，2），B （0，3，0），E （﹣2，2，0）∴，设平面A 1BE 法向量为则∴∴∴又∵M （﹣1，0，），∴=（﹣1，0，）∴∴CM 与平面A 1BE 所成角的大小45°（3）解：设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为（0，a ，0），则a ∈[0，3]∴，设平面A 1DP 法向量为则∴∴假设平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直，则，∴3a+12+3a=0，6a=﹣12，a=﹣2∵0≤a≤3∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直考点：向量语言表述面面的垂直、平行关系；直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角．18.已知函数()1e ln x f x a x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中R a ∈.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线e x y =-垂直，求a 的值；（2）当()0ln2a ∈，时，证明：()f x 存在极小值.（1）0a =（2）见解析【分析】（1）由题意，求得函数的导数()f x '，由()1e f '=，即可求得a 的值；（2）求得导数()f x '，得到()f x '与221ln a x x x +-+同号，构造()221ln g x a x x x =+-+，求得()g x '，求得函数()g x 在存在01(,1)2x ∈，使得()00g x =，进而得到()f x 在1(,1)2上的调性，即可作出证明.【小问1详解】()f x 的导函数为()2211121e ln e e ln x x xf x a x a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+++-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⋅⎝⋅⎭⎭⎭，依题意，有()()1e 1e f a +'==，解得0a =.【小问2详解】由()221e ln x f x a x x x ⎛⎫'=++- ⎪⋅⎝⎭及e 0x >知：()f x '与221ln a x x x++-同号.令()221ln g x a x x x =++-，则()2322x x g x x -+'==()2311x x-+.所以对任意()0,x ∈+∞，有()0g x '>，故()g x 在()0,x ∈+∞单调递增.因为0ln2a ∈（，），所以110g a =+>（），012ln 2g a ⎛⎫ ⎪-⎝=<⎭故存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =.()f x 与()f x '在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上的情况如下：x 01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭0x ()0,1x ()f x '-0+()f x ↘极小值↗所以()f x 在区间01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间()0,1x 上单调递增.所以()f x 存在极小值()0f x .【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及函数问题的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.19.已知椭圆C 的两个焦点分别为()1F ，)2F ，短轴长为2.（1）求椭圆C 的标准方程及离心率；（2）M ，D 分别为椭圆C 的左､右顶点，过M 点作两条互相垂直的直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，直线AB 是否过定点？并求出DAB 面积的最大值.（1）2214x y +=，32e =（2）直线过定点，DAB 面积的最大值6425【分析】（1）根据条件求出,,a b c 的值即可；（2）联立直线方程x ty m =+和椭圆方程后利用两直线垂直可算出m ，然后利用点到直线的距离算三角形面积，利用函数性质求最值即可.【小问1详解】解：由题意得：c =22b =故可知2224a b c =+=椭圆方程为：2214x y +=，离心率为：32c e a ==【小问2详解】M ，D 分别为椭圆C 的左､右顶点又由（1）可知：(2,0)M -设直线AB 的方程为：x ty m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y 联立方程可得：22222(4)24044x ty m t y mty m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩有韦达定理可知：12224mt y y t +=-+，212244m y y t -=+又2AMB π∠=()()12121212122202()40x x y y x x x x y y ∴+++=⇒++++=又1122x ty m x ty m=+⎧⎨=+⎩ 221212(1)(2)()(2)0t y y mt t y y m ∴++++++=2222222(1)(4)24(44)(4)0t m m t mt m m t +---++++=展开后整理得：2516120m m ++=，解得：65m =-或2m =-（舍去）65x ty ∴=-直线恒过定点6(,0)5-()()122122125464254t y y t y y t ⎧+=⎪+⎪∴⎨⎪=-⎪+⎩12216322564(2)25254DAB S y y t =+-==⋅+V 令(8)u u =≥则2232323236642536425DAB u u S u u u u =⋅==-+++△由对勾函数的单调性可知：363625882u u +≥+=所以6425DAB S ≤V ，当且仅当8u =，即0=t 时取等号此时DAB S 的最大值为：6425。
2023届福建省南安市柳城中学高三上学期12月月考数学试题(解析版)
2023届福建省南安市柳城中学高三上学期12月月考数学试题一、单选题 1．已知复数i2iz =+，i 为虚数单位，则z 的共轭复数为（ ） A ．12i 55+B ．12i 55-C ．21i 55+D ．21i 55-【答案】B【分析】根据复数的运算公式求复数z 的代数形式，再求其共轭复数即可. 【详解】()()()i 2i i 12i 12=i 2i 2i 2i 555z -+===+++-， 所以z 的共轭复数为12i 55-，故选：B.2．已知集合()(){}120A x x x =+-<，{}Z 1B x x =∈≥，则()A B =R （ ） A ．[]{}1,21⋃- B ．[]1,2C ．{}1,1,2-D ．{}1,2【答案】C【分析】解一元二次不等式求得集合A ，解绝对值不等式求得集合B ，由此求得()A B ⋂R . 【详解】由120x x，得1x <-或2x >，所以[]1,2R A =-；由1x ≥，得1x ≤-或1x ≥，所以{Z|1B x x =∈≤-或}1x ≥， 从而(){}1,1,2A B ⋂=-R ． 故选：C3．已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ，若()()12436P X P X >=⋅<，则()23P X <<=（ ） A ．13B ．14C ．16D ．19【答案】A【分析】利用对称性可得(2)(4)P X P X <=>结合条件可求()2P X <，再由 1(2)(4)(23)2P X P X P X -<-><<=求解.【详解】因为随机变量X 服从正态分布()23,N σ，又()()12436P X P X >=⋅<， 所以1(2)(4)6P X P X <=>=， 故1111(2)(4)166(23)223P X P X P X =---<-><<==. 故选：A.4．已知某圆锥的侧面展开图为半圆，该圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为（ ）A ．27πB ．C ．D ．16π【答案】A【分析】根据条件先算出母线长与底面半径的关系，再根据体积计算出底面半径即可.【详解】设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则r l 2π=π，所以2l r =，=，所以213r π⨯=，解得3r =，故其表面积291827S r rl πππππ=+=+=；故选：A ．5．将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（ ） A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】C【分析】先由平移求出曲线C 的解析式，再结合对称性得,232k k ωππππ+=+∈Z ，即可求出ω的最小值.【详解】由题意知：曲线C 为sin sin()2323y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又C 关于y 轴对称，则,232k k ωππππ+=+∈Z ，解得12,3k k ω=+∈Z ，又0ω>，故当0k =时，ω的最小值为13.故选：C.6．已知抛物线212,,y F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】C【分析】由已知可得出c 的值，求出点A 的坐标，分析可得112AF F F =，由此可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线245y x =的准线方程为5x =-，则5c =，则()15,0F -、()25,0F ，不妨设点A 为第二象限内的点，联立b y x a x c⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，可得x c bc y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即点,bc A c a ⎫⎛- ⎪⎝⎭，因为112AF F F ⊥且124F F A π∠=，则12F F A △为等腰直角三角形，且112AF F F =，即2=bc c a，可得2ba =，所以，22225ba c c ab ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得125a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，双曲线的标准方程为2214y x -=.故选：C.7．如图，在正三棱柱111ABC A B C 中，13AA =，2AB =，则异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值为（ ）A ．513B ．713C ．913D ．1213【答案】B【分析】在三棱锥内构造直线使其平行于1A B ，然后构造三角形，运用异面直线夹角的定义求解即可.【详解】取11A C 的中点D ，连接1BC 交1B C 于点E ，连接DE ， 则1//DE A B 且112DE A B =，则1DEB ∠为异面直线1A B 与1B C 所成的角或其补角． 易求1113A B BC =13B D ，则113DE B E ==， 所以222111113133744cos 21313132DE B E B D DEB DE B E +-+-∠===⋅⨯⨯. 故选：B ．8．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数()1f x +为奇函数，当[]0,1x ∈时，()2xf x k a =⋅+，若()()036f f +=，则()2log 96f =（ ）A ．2B ．0C ．-3D ．-6【答案】C【分析】根据条件，可以证明()f x 是周期为4的周期函数，计算出a 和k ，由周期性可得()()22log 961log 3f f =+ ，再利用函数的对称性即可求解.【详解】因为()1f x +为奇函数，所以()()11f x f x -+=-+，又()f x 为偶函数， 所以()()11f x f x -+=-，所以()()11f x f x -=-+，即()()2=-+f x f x ， 所以()()()42f x f x f x +=-+=，故()f x 是以4为周期的周期函数；由()()11f x f x -+=-+，易得()10f =，()()()3110f f f =-==，所以()06f =， 所以6k a +=，20k a +=，解得6k =-，12a =；所以()()()222log 965log 31log 3f f f =+=+()23log 2223log 31log 621232f f ⎛⎫⎛⎫=--=-=--⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 故选：C ．9．已知0a b >>，0c d <<，则（ ） A ．a b d c> B ．a b d c< C ．ac bd < D ．ac bd >【答案】BC【分析】利用不等式的基本性质判断不等关系． 【详解】因为0c d <<，所以0cd >，所以110d c <<，所以110d c->->，又0a b >>，所以a b d c ->-，所以a bd c<，故 A 错误，B 正确； 因为0a b >>，0c d ->->，所以ac bd ->-，所以.ac bd <故D 错误，C 正确． 故选：BC ．10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．若22n S n n =-，则{}n a 是等差数列 B ．若121n n S +=-，则{}n a 是等比数列 C ．若{}n a 是等差数列，则202310122023S a =D ．若{}n a 是等比数列，且10a >，0q >，则221212n n n S S S -+⋅> 【答案】AC【分析】利用n a 与n S 的关系，结合等差数列与等比数列的定义，可得A 、B 的正误；根据等差中项以及等差数列求和公式，可得C 的正误；取1n =时的特殊情况验证不等式，可得D 的正误.【详解】对于A ，若22n S n n =-，则11a =，当2n ≥时，143n n n a S S n -=-=-，显然1n =时也满足43n a n =-， 故43n a n =-，由14n n a a --=，则{}n a 为等差数列，故A 正确；对于B ，若121n n S +=-，则13a =，2214a S S =-=，3328a S S =-=，显然3212a a a a ≠，所以{}n a 不是等比数列，故B 错误； 对于C ，因为{}n a 为等差数列，则()12023101220231012202320232202322a a a S a +⨯===，故C 正确；对于D ，当1n =时，()()222222132111110S S S a q q a q a q ⋅-=++-+=-<，故当1n =时，不等式不成立，即221212n n n S S S -+⋅>不成立，故D 错误．11．关于函数()()π3sin 21R 3f x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+∈，下列说法正确的是（ ）A ．若()()121f x f x ==，则()12πZ x x k k -=∈B ．()y f x =的图像关于点2π,13⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．()y f x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()y f x =的图像向右平移π12个单位长度后所得图像关于y 轴对称【答案】BD【分析】对于A ，根据三角函数的对称中心性质即可判断； 对于B ，可根据对称中心对应的函数值特征即可判断； 对于C ，根据三角函数单调性判断即可；对于D ，求出平移后的解析式并根据偶函数的性质进行判断即可.【详解】对于A ，由()()121f x f x ==知()1,1x ，()2,1x 是()π3sin 213f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象的两个对称中心，则12x x -是函数()f x 的最小正周期的整数倍，即()12πZ 2k x x k -=∈，故A 不正确； 对于B ，因为2π3sin π113f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以2π,13⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心，故B 正确；对于C ，由()πππ2π22πZ 232k x k k -≤-≤+∈解得()π5πππZ 1212k x k k -≤≤+∈， 当0k =时，()f x 在π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()f x 在5π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 不正确；对于D ，()y f x =的图象向右平移π12个单位长度后所得图象对应的函数ππ3sin 213cos 21123y x x ⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R ()()3cos213cos21()f x x x f x ∴-=--+=-+=3cos 21y x =-+是偶函数，所以图象关于y 轴对称，故D 正确.故选：BD.12．将边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，下列结论正确的有（ ）A ．存在某个位置，使直线BD 与平面ABC 所成的角为45°B ．当二面角D AC B --为23π时，三棱锥D ABC - C ．当平面ACD ⊥平面ABC 时，异面直线AB 与CD 的夹角为60°D ．O 为AC 的中点，当二面角D AO B --为23π时，三棱锥A OBD -外接球的表面积为10π 【答案】ACD【分析】A.当当平面ACD ⊥平面ABC ，即可判断；B.根据锥体体积公式，即可求解； C.将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，即可求解； D.将三棱锥补体为三棱柱，即可求球心和半径.【详解】A.当平面ACD ⊥平面ABC 时，取AC 的中点O ，连接,BO DO ，DO AC ⊥，DO ∴⊥平面ABC ，DBO ∴∠为直线BD 与平面ABC 所成的角， DBO 是等腰直角三角形，45DBO ∴∠=，故A 正确；B.DO AC ⊥，BO AC ⊥，DO BO O ⋂=，AC ∴⊥平面DBO ，且23DOB π∠=， AC ⊂平面ABC ，∴平面DBO ⊥平面ABC ，且交于BO ，∴点D 在平面ABC 的射影落在BO 上，∴点D 到平面ABC 的距离6sin 602d DO =⋅=，三棱锥D ABC -的体积1166223223V =⨯⨯⨯⨯=，故B 错误；C.取,BC BD 的中点,M N ，连接,,OM ON MN ，则//OM AB ，/MN DC ，所以OMN ∠或其补角是异面直线AB 与CD 的夹角，根据A 的证明可知()()22222BD =+=，112ON BD ==，且1OM MN ==，所以OMN 是等边三角形，60OMN ∠=，故C 正确；D.由条件可知AO ⊥平面DOB ，23DOB π∠=，且DO OB =，所以可以将四棱锥A DOB -补成底面是菱形的直棱柱因为四边形OBCD 是菱形，且23BOD π∠=，所以点C 是底面OBD 外接圆的圆心，取侧棱1CC 的中点E ，则E 是四棱柱外接球的球心，连结OE ，()222221022OE OC CE ⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭所以四棱锥A OBD -外接球的半径10R =2410S R ππ==，故D 正确. 故选：ACD三、填空题13．已知向量()3,1a =-，(),2b m =，且()2a a b ⊥+，则+=a b ______． 85 【分析】由向量线性运算及垂直的数量积表示可得方程解出m ，即可由坐标计算向量模. 【详解】()()()23,12,223,5a b m m +=-+=-，由()2a a b ⊥+得()()()23,123,5a a b m ⋅+=-⋅-6950m =-++=，解得73m =． 则()723,1,2,333a b ⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2228533a b ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭85. 14．63x x ⎛⎝展开式的常数项为______.【答案】2160【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项公式，再求出常数项作答.【详解】6(3x展开式的通项公式为36662166C (3)(3(2)C ,N,6r r r r r r rr T x x r r ---+==⋅-∈≤， 令3602r -=，解得4r =，则244563(2)C 916152160T =⋅-=⨯⨯=， 所以展开式的常数项为2160. 故答案为：216015．已知函数()()()10 ln f x x x =+≥，将()f x 的图象绕原点逆时针旋转(]()0,ααθ∈角后得到曲线C ，若曲线C 仍是某个函数的图象，则θ的最大值为______．【答案】π4##1π4【分析】求得()f x 在点()0,0处的切线方程，从而求得正确答案. 【详解】依题意0x ≥， ()11f x x '=+，所以()01f '=，故函数()f x 的图象在()()0,0f 处的切线为y x =， 切线向上的方向与y 轴正方向的夹角为π4，函数()f x 的图象绕原点旋转不超过π4时，仍为某函数图象，若超过π4，y 轴与图象有两个公共点，与函数定义不符，故θ的最大值为π4．故答案为：π416．有一种投掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第10站，共10站，设棋子跳到第n 站的概率为n P ，若一枚棋子开始在第1站，棋手每次投掷骰子一次，棋子向前跳动一次．若骰子点数小于等于3，棋子向前跳一站；否则，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第9站（失败）或者第10站（获胜）时，游戏结束．则3P =_________；该棋手获胜的概率为__________． 【答案】34##0.75 85256【分析】根据题意找出(38)n P n ≤≤与21,n n P P --的关系即可求解. 【详解】由题311132224P =+⨯=，因为2111(38)22n n n P P P n --=+≤≤，故11112n n n n P P P P ----=--，由2112P P -=-，所以111,22n n n P P n --⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭，累加可得：2878108111118518521,1222128225612P P P ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+-+-+⋅⋅⋅+-==== ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭．故答案为：34；85256.四、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()22214cos a b B ab +-=-，且2cos c b B =．(1)求B ；(2)若ABC 的周长为423+，求BC 边上中线的长． 【答案】(1)π6B = (2)7．【分析】（1）已知条件结合余弦定理求得2π3C =，再由正弦定理求B . （2）由（1）求出角A ，利用三角形周长求出各边的长，再由余弦定理求BC 边上中线的长．【详解】（1）由()22214cos a b B ab +-=-，有22224cos a b b B ab +-=-，又2cos c b B =，所以2224cos c b B =，即222a b c ab +-=-， 由余弦定理，得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-． 又()0,πC ∈，所以2π3C =，由2cos c b B =及正弦定理，得sin 2sin cos C B B =，所以3sin 22B =， 由π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得2π20,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π23B =，解得π6B =.（2）由（1）可知π6B =，2π3C =，所以π2πππ636A =--=， 所以a b =，由2cos c b B =，得3c a =． 因为ABC 的周长为423+，所以3423a a a ++=+，解得2a =． 设BC 的中点为D ，则112CD BC ==，如图所示:AD==，所以BC．18．已知数列{}n a的前项和为n S，若()12n nnS n S+=+，且11a=.(1)求{}n a的通项公式;(2)设()2112nn nb na a-=≥，11b=，数列{}n b的前n项和为n T，求证32nT<.【答案】(1)n a n=(2)证明见解析【分析】（1）由已知等式可得12nnS nS n++=，采用累乘法可求得当2n≥时的nS，利用1n n na S S-=-可求得n a，检验首项后可得结论；（2）由（1）可得2n≥时nb的通项，由()()112122nbn n n n=<--，采用裂项相消法可求得11112nTn⎛⎫<+-⎪⎝⎭，由1n>可得结论.【详解】（1）由()12n nnS n S+=+得：12nnS nS n++=，则当2n≥时，()123211232111143123212n n n nn n nn nS S S S S S n n nS S S S S S n n n-----++-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=---，又111S a==，()12nn nS+∴=，()()11122n n nn n n na S S n-+-∴=-=-=，经检验：11a=满足na n=；()na n n*∴=∈N.（2）由（1）得：当2n≥时，()()11111212221nbn n n n n n⎛⎫=<=-⎪---⎝⎭；123111111111112223341n n nT b b b b bn n-⎛⎫∴=+++⋅⋅⋅++<+-+-+-+⋅⋅⋅+-⎪-⎝⎭11112n⎛⎫=+-⎪⎝⎭，1n>，111n∴-<，1113111222nTn⎛⎫∴<+-<+=⎪⎝⎭.19．2018年9月10日，全国教育大会在北京召开，习近平总书记在会上提出“培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”.某学校贯彻大会精神，为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明､小红打算报名参加大赛.(1)赛前，小明进行了一段时间的强化训练，加工完成一个模具的平均速度y (秒)与训练天数x (天)有关，经统计得到如下表数据：经研究发现，可用b y a x=+作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过50天训练后，加工完成一个模具的平均速度y 约为多少秒？(2)小明和小红拟先举行一次模拟赛，每局比赛各加工一个模具，先加工完成模具的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为35，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局.若每局不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率．参考数据：(其中1i t x =) 参考公式：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线ˆvu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221n i ii n i i u v nu v unu β==-⋅=-∑∑，v u αβ=-⋅. 【答案】(1)100013ˆ0=+yx；150； (2)513625． 【分析】(1)令1t x =，则可利用最小二乘法估计ˆˆˆy bt a =+，从而得到ˆˆˆb y a x=+，代入x =50即可预测小明经过50天训练后，加工完成一个模具的平均速度；(2)设比赛再继续进行X 局小明最终赢得比赛，最后一局一定是小明获胜，且最多再进行4局就结束比赛分出胜负，则小明赢得比赛得概率P =P (X =2)+P (X =3)+P (X =4)．【详解】（1）由题意，()19909904503203002402105007y =++++++=，令1t x =，设y 关于t 的线性回归方程为ˆˆˆy bt a =+， 则7172217184570.37500ˆ10000.557i ii i i t y t y b tt ==-⋅-⨯⨯===-∑∑， 则ˆ50010000.37130=-⨯=a， ∴100013ˆ0=+yt ， ∴y 关于x 的回归方程为100013ˆ0=+y x， 当50x =时，ˆ150=y， ∴预测小明经过50天训练后，加工完成一个模具的平均速度y 约为150秒；（2）设比赛再继续进行X 局小明最终赢得比赛，则最后一局一定是小明获胜，由题意知，最多再进行4局就有胜负，X 的可能取值为2、3、4．当2X =时，小明4∶1胜，∴()33925525P X ==⨯=； 当3X =时，小明4∶2胜，∴()12333363C 1555125P X ⎛⎫==⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭； 当4X =时，小明4∶3胜，∴()2133331084C 1555625P X ⎛⎫==⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭． ∴小明最终赢得比赛的概率为93610851325125625625++=． 20．如图，圆台下底面圆O 的直径为AB ， C 是圆O 上异于,A B 的点，且30BAC ∠=，MN 为上底面圆O '的一条直径，MAC △是边长为23的等边三角形，4MB =.(1)证明：BC ⊥平面MAC ；(2)求平面MAC 和平面NAB 夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析313【分析】(1)线线垂直从而证明线面垂直.(2)利用向量法，即可求二面角的余弦值.【详解】（1）∵AB 为圆台下底面圆O 的直径，C 是圆O 上异于,A B 的点，故=90ACB ︒∠又∵=30BAC ︒∠，23AC =，∴4AB MB ==∵AC MC =，BC BC =∴ABC MBC ≅，∴=90BCM ︒∠∴BC MC ⊥，又∵BC AC ⊥，AC MCC ，,AC MC ⊂平面MAC ∴BC ⊥平面MAC（2）取AC 的中点，连接,DM DO ，则MD AC ⊥，由(1)可知，BC DM ⊥∵AC BC C =，∴DM ⊥平面ABC ， 又∵OD AC ⊥∴以D 为原点，DA 为x 轴，DO 为y 轴，DM 为z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，由题意可得(3,0,0)A ，(3,2,0)B -，∵OO '⊥平面ABC ，∴//'DM OO ，四边形ODMO '为矩形，∴(0,2,3)N平面MAC 的一个法向量为1(0,1,0)n =.设平面NAB 的一条法向量为2(,,)n x y z =，(23,2,0)AB =-，(3,2,3)AN =-由2200n AB n AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得23203230x y x y z ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩ 令3x =3y =，1z =-平面NAB 的一个法向量为2(3,3,1)n =-则平面MAC 与平面NAB的夹角的余弦值为1212·3nn n n ==∴平面MAC 和平面NAB 21．已知抛物线2:2(0)C x py p =>在点()01,M y 处的切线斜率为12． (1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 上存在不同的两点关于直线:2l y x m =+对称，求实数m 的取值范围．【答案】(1)24x y =；(2)94m >.【分析】（1）根据给定条件，求出切线方程，再与抛物线C 的方程联立，借助判别式计算作答.（2）设出抛物线C 上关于l 对称的两点A ，B 的坐标，并设出直线AB 的方程，再与抛物线C 的方程联立，借助判别式及韦达定理计算作答.【详解】（1）点1(1,)2M p ，则切线方程为：11(1)22y x p -=-，由221(1)2py p x x py -=-⎧⎨=⎩消去y 并整理得： 210x px p -+-=，依题意，24(1)0p p ∆=--=，解得2p =，所以抛物线C 的方程是24x y =.（2）设抛物线C 上关于l 对称的两点为1122(,),(,)A x y B x y ，则设直线AB 方程为：12y x t =-+， 由2124y x t x y⎧=-+⎪⎨⎪=⎩消去y 并整理得：2240x x t +-=，则有4160t '∆=+>，解得14t >-， 122x x +=-，12121()2212y y x x t t +=-++=+，显然线段AB 的中点1(1,)2t -+在直线l 上， 于是得122t m +=-+，即有52t m =-，而14t >-，因此，5124m ->-，解得94m >， 所以实数m 的取值范围是94m >. 【点睛】结论点睛：抛物线22(0)x py p =≠在点200(,)2x x p 处的切线斜率0x k p =； 抛物线22(0)y px p =≠在点2000(,)(0)2y y y p ≠处的切线斜率0p k y =. 22．某品牌轿车经销商组织促销活动，给出两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种. 方案一：每满6万元，可减6千元；方案二：金额超过6万元（含6万元），可摇号三次，其规则是依次从装有2个幸运号、2个吉祥号的一号摇号机，装有2个幸运号、2个吉祥号的二号摇号机，装有1个幸运号、3个吉祥号的三号摇号机各摇号一次，每次摇出一个号. 其优惠情况为：若摇出3个幸运号打6折；若摇出2个幸运号打7折；若摇出1个幸运号打8折；若没摇出幸运号不打折.(1)若某型号的车正好6万元，两名顾客都选方案二，求至少有一名顾客比选方案一更优惠的概率；(2)若你朋友看中一款价格为10万元的轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种优惠方案.【答案】(1)247256(2)方案二【分析】（1）设顾客三次没摇出幸运号为事件A ，由独立事件概率乘法公式求得()P A ，则利用对立事件概率得所求概率为()21P A -； （2）方案二，设付款金额为X 万元，则{}6,7,8,10X ∈，求出X 的分布列，期望与方案一比较即可.【详解】（1）方案一相当于打9折，要使选择方案二比选择方案一更优惠，则需要至少摇出1个幸运号，设顾客不打折即三次没摇出幸运号为事件A ，则()223344416P A =⨯⨯=， 故所求的概率()2232471116256P P A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭. （2）若选择方案一，则需要付款100.69.4-=（万元）若选择方案二，设付款金额为X 万元，则{}6,7,8,10X ∈， ()322116416P X ⨯⨯===，()322322122157416P X ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===， ()322322322178416P X ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===，()31016P X ==， 故X 的分布列为所以()1573678107.93759.416161616E X =⨯+⨯+⨯+⨯=<（万元），所以选方案二划算.。
高三试卷数学-湖北省武昌实验中学2024届高三上学期12月月考数学试卷及参考答案
湖北省武昌实验中学高三年级12月月考数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合U =R ，，，则（）A.B.C.D. 2．已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则＝（）4．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为，则原圆锥的母线长为（）A ．BC ．D ．5．已知双曲线C ：，直线l 与C 相交于A，B 两点，若线段AB 的中点为，则直线l 的斜率为（）A ．B ．1C D ．26．ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 上靠近点B 的三等分点，连接DE 并延长到点F ，使得，则的值为（）A. B. C. D.7．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，{}1A y y x ==≥{}ln(2)B x y x ==-[2,)+∞[1,)+∞[1,2)[1,2]1z 42z i =-11z i-242221(0)y x b b-=>(1,2)N 1-2DE EF = AF BC ⋅23-112-11223()f x R ()21f x +()2f x +[]1,2x ∈．若，则的值是（）A. B. C. 2D. 12二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知事件A ，B 满足，，则（）A ．若，则B ．若A 与B 互斥，则C ．若，则A 与B 相互独立D ．若A 与B 相互独立，则10．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱BC ，C 1D 1的中点，则下列说法正确的是（）A ．M ，N ，A 1，B 四点共面B ．C ．过点A 1，B ，N 的平面被正方体所截得的截面是等腰梯形D ．过MN 作正方体外接球的截面，所得截面面积的最小值为11．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（）A. B. C. 是数列中的最大项D. 12．已知函数与的定义域均为，分别为的导函数，，，若为奇函数，则下列等式一定成立的是（ ）()2=⋅+x f x a b ()()036f f +=()2log 96f 12-2-()0.3P A =()0.6P B =A B ⊆()0.18P AB =()0.9P A B +=()0.1P A B =()0.12P AB =11A M AB ⊥52π{}n a q n n S n n T 11a >202320241a a >()()20232024110a a --<1q >202320241S S +>2023T {}n T 40471T >()f x ()g x R ()(),f x g x ''()(),f x g x ()()5f x g x '+=()()225f x g x '--+=()g xA ．B ．C ．D ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．展开式中的常数项为．14．在平面直角坐标系中，圆关于直线对称的圆为，则的方程为__________．15．已知曲线y ＝lnx 与y ＝ax 2（a ＞0）有公共切线，则实数a 的取值范围为_________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知向量，（），函数.（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）若是函数的任意两个相异零点，且的最小值为，求函数在上的值域．18．如图，四棱锥中，是等边三角形，，.（1）证明：；（2）若，，求点到平面的距离．()25f -=()()4g x g x +=()()8g x g x -'='()()8f x f x +'='6xOy 221:2C x y +=l 222:2430C x y x y ++-+=l sin ,sin 22x x a ωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭ cos ,sin 22x x b ωω⎛⎫= ⎪⎝⎭0ω>()2f x a b =⋅2ω=()f x 12,x x ()f x 12x x -π2()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭P ABCD -ABD △PA PB PD ==BC CD =BD PC ⊥BD =CD AP =A PCD DPCA19．已知数列中，，设为前n 项和，．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n 项和．20．为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格：序号12345678910成绩（分）38414451545658647480记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为．经计算，，．（1）求；（2）规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩 不合格的人数为，求的分布列；（3）经统计，高中生体测试成绩近似服从正态分布，用的值分别作为的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为，求的数学期望．附：若ξ～，则，，．21．已知函数)0()ln()(>-=m x mx x f ．（1）若0)(≤x f 恒成立，求的取值范围；（2）若)(x f 有两个不同的零点21,x x 且122x x >，求实数m 的取值范围.{}n a 21a =n S {}n a 2n n S na ={}n a ()()1sin1cos 1cos 1n n n b a a +=++{}n b n T i i x 2,x s 1021()1690i i x x =-=∑102133050i i x ==∑x X X 2(,)N μσ2,x s 2,μσ[30,82]Y Y ()E Y 2(,)N ξμσ ()0.6827P μσξμσ-+≈≤≤(22)0.9545P μσξμσ-+≈≤≤(33)0.9973P μσξμσ-+≈≤≤m22．已知是椭圆上关于原点对称的两点，且，是椭圆上异于的一点，直线和的斜率满足．（1）求椭圆的标准方程；（2）点是椭圆长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点Q 作斜率不为0的直线l ，l 与椭圆的两个交点分别为P 、N ，若的值为定值，则称此时的点为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有“稳定点”；若没有，请说明理由．,A B C O ()A M C ,AB MA MB 13MA MB k k ⋅=-C Q C 11PQ QN +Q高三年级12月月考数学参考答案一．单选题 1-8. ADCDB BBD 二．多选题 9. BD 10. BCD 11. BC 12.ACD三．填空题13. 【答案】-160 14．【答案】 15．【答案】 16. 【答案】3．四．解答题17.(1)由已知.---------3分当时，，令，解得：，∴函数的单调递增区间为；---------5分(2)由（1）知，令，得，所以，.当最小时，不妨取，，即，，则.因为，则，故.---------8分因为，所以，，所以函数在上的值域为---------10分2450x y -+=1[,)2e+∞()()22sincossin sin 1cos 222xxx f x x xωωωωω⎛⎫=⋅-=-- ⎪⎝⎭sin cos 114πx x x ωωω⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭2ω=()π214f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()πππ2π22π242k x k k -≤+≤+∈Z ()3ππππ88k x k k Z -≤≤+∈()f x ()3πππ,π88k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦()π14f x x ω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()0f x =πsin 4x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭1πsin 4x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭2πsin 4x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭12x x -1ππ44x ω+=2π3π44x ω+=10x =2π2x ω=12π2x x ω-=12minπ2x x -=ππ22ω=1ω=π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3π,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()(π114f x x ⎛⎫⎤=+-∈- ⎪⎦⎝⎭()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭(1⎤-⎦18.【解析】（1）如图，连接，交于点，连接， 由，，，可得，所以，又，所以，所以，即为中点，在等腰中，可得，在等腰中，，又，所以平面，又平面，所以．（2）方法一：（对角线交点建系法）由（1）可得，，又，所以，，由于为正三棱锥，点在底面的垂足一定在上，设垂足为，根据正三棱锥的性质可得，如图，以，所在直线为轴，轴建立空间直角坐标系．可得，，，，，（或）又，（或，）设平面的法向量，可得⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00DC n PC n，不妨令，所以345||||=⋅=nAC n d ，故点到平面方法二：（等体积转化法）设点到平面的距离为，可得，由（1）可得，，又，AC BD O PO AD AB=CD BC =AC AC =ABC ACD△△≌BAC DAC ∠=∠AO AO =AOB AOD △△≌BO OD =O BD PBD △BD OP ⊥BCD △BD OC ⊥OP OC O = BD ⊥POC PC ⊂POC BD PC ⊥AC BD ⊥CD =12OD BD ==2CO ==3AO ==P ABD -P ABD AO M 223AM AO ==PM ==OA OB x y (3,0,0)A (2,0,0)C -(0,D P (3,0,PC =- (DC =- DP =(5,0,0)AC =- (3,AD =- (AP =- PCD (,,)x y z =n 3002020x z x x ⎧--=+=⎪⇒⎨-+==⎪⎪⎩⎩x =3)=-n A PCD A PCD h P ACD A PCD V V --=AC BD ⊥CD =12OD BD ==所以，，由于为正三棱锥，点在底面的垂足一定在上，设垂足为，根据正三棱锥的性质可得，，作中点，连接，由于，所以，，所以，所以，所以 于是，代入可得所以点到平面19.(1)数列中，，为前n 项和，当时，，，当时，①，②，由②-①得：，，即，当时，，---------3分递推可得：，… ，，，由累乘法可得：，，又因为，所以，即，经检验，当时，符合上式，所以；---------6分(2)由（1）可知，，所以：2CO ==3AO ==P ABD -P ABD AO M 223AM AO ==PM ==1115()3322P ACD ACD V S PM AC OD PM -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△PC N DN PD CD =DN PC ⊥PC ==PN =2DN ==12PDC S PC DN =⨯⨯=△1532A PDC PDC V S h -=⨯⨯=△h =A PCD {}n a 21a =n S {}n a 1n =111122S a a a =⇒=10a ∴=2n ≥2n nS na =()1121n n S n a ++=+()11221n n n n S S n a na ++--+=()()1121n n n n S S n a na ++-=+-()11n n na n a +=-2n ≥11n n a na n +=-112n n a n a n --=-4332a a =3221a a =1341321321221n n n n a a a a n n a a a a n n +--⋅⋅=⨯⨯⨯⨯-- 12n a n a +=21a =1n a n +=1n a n =-1n =10a =1n a n =-1n a n =-1n a n+=，---9分所以nb ++ ；所以数列的前n 项和.---------12分20.【解析】（1）．（2）因为体质测试不合格的学生有3名，所以的可能取值为0，1，2，3．因为，，，．所以的分布列为（3）因为，，所以，．因为9545.0)22()8230(≈+≤≤-=≤≤σμσμx P x P ， 所以学生的体质测试成绩恰好落在区间得概率约为，因为100名学生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y ～，所以．【详解】（1）()f x 的定义域为{}0x x >. 令()0f x ≤，得e xm x≤，令()(0)xe g x x x=>，则2e (1)()xx g x x -'=，()()1sin1cos 1cos 1n n n b a a +=++()sin1cos cos 1n n =+()()sin 1cos cos 1n n n n +-⎡⎤⎣⎦=+()()()sin 1cos cos 1sin cos cos 1n n n n n n +-+=+()()()()sin 1cos cos 1sin cos cos 1cos cos 1n n n nn n n n ++=-++()tan 1tan n n =+-123n T b b b =+++L ()()()()tan 2tan1tan 3tan 2tan tan 1tan 1tan n n n n =-+-++--++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()tan 1tan1n =+-{}n b ()tan 1tan1n T n =+-1(38414451545658647480)5610x =⨯+++++++++=X 373107(0)24C P X C ===217331021(1)40C C P X C ===12733107(2)40C C P X C ===333101(3)120C P X C ===X 56x =222222222221(181512520281824)16910s =⨯+++++++++=56μ=13σ=[3082]，0.9545[3082]，(1000.9545)Y B ，1000.954595.45E Y =⨯=（）X 0123P72421407401120令()0g x '=，可得1x =，当(0,1)x ∈时，()0g x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>.所以()g x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增.所以min ()(1)e g x g ==， 所以(0,e]m ∈.（2）()()1122ln ,ln mx x mx x ==，两式相减，得2211ln x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.令212x t x =>，则1ln (1)t t x =-， 故12ln ln ,11t t t x x t t ==--，记ln (),21t h t t t =>-， 则211ln ()(1)t t h t t '--=-，构造函数()()11ln 2H t t t t =--≥，()'22111t H t t t t-=-=，所以()H t 在[)2,+∞上()()'0,H t H t <递减，由于()11121ln 2ln 20222H =--=-<-=，所以当2t >时，()0H t <， 所以211ln ()0(1)t t h t t '--=<-，所以函数()h t 在区间(2,)+∞上单调递减，故1()(2)ln 2x h t h =<=，即10ln 21x <<<，而e ()xm g x x==，()g x 在区间(0,1)上单调递减，故()12(ln 2)ln 2m g x g =>=，即2,ln 2m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭.22.解：（1）设(),M x y，易知)1B-，由13MA MB k k ⋅=-13=-，化简得22162x y +=，故椭圆的标准方程为22162x y +=. ……4′C(2) 点Q 是椭圆长轴上的不同于左右顶点的任意一点，设0(,0)Q x ，则00x ≠.设直线PN 的方程为01122,(,),(,)x my x P x y N x y =+，由022612x my x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22200(3)260m y mx y x +++-=，01212202226,,033mx y y y m x y m --∴+==∆>++恒成立. ……6′11PQ QN ∴+===== ……10′要使其值为定值，则20612x -=，故当204x =，即02x =±综上，存在这样的稳定点(2,0)Q ±,即椭圆的焦点为稳定点. ……12′C。
安徽省蚌埠市怀远县2013届高三数学12月月考试题 理(含解析)
2012-2013学年安徽省蚌埠市怀远县高三（上）12月月考数学试卷
（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．（5分）（2013•自贡一模）复数的虚部是（）
利用复数的代数形式的乘除运算，得到=i
=
+
的虚部是．
2．（5分）（2012•黄州区模拟）已知全集U=R，集合A={x|y=}，集合B={y|y=2x，
A={x|y=
A={x|y=
3．（5分）已知，则=（）
）（
∴f（﹣）（﹣））=
4．（5分）（2012•安徽模拟）设向量满足：，则等于（）
平方，再把条件代入即可求出
，∴
5．（5分）已知α为第二象限角，，则cos2α=（）
﹣
，
，
，①
，
=
）×
．
=
“x＞1”是“
：“x＞1”是“”，但是
7．（5分）（2012•安徽模拟）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为单调递减函数，且f（2）=0，则不等式的解集为（）
时，不等式
的解集为
8．（5分）下列函数图象是一个函数与其导函数在同一个坐标系中的图象，其中一定错误的
B C
9．（5分）（2012•湖北）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；
，
≠
|≠
10．（5分）等差数列{a n}的公差d∈（0，1），且，当n=10时，
n n1
．．。
辽宁省大连市第八中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题
（1）证明：直线 l 与椭圆 C 相切；
（2）已知直线 l 与椭圆 D ：
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
>b
>
0) 交于 A
， B 两点，且点W
为
AB
的中
点.
（i）证明：椭圆 D 的离心率为定值；
试卷第61 页，共33 页
( ) （ii）记VOAB
的面积为 S
，若 b2
=
4 3
+
1 4n
，证明：
Sn+1 - Sn = 2an+1 - 2an
an+1 = 2an+1 - 2an
an+1 = 2an
an+1 an
=
2
答案第11 页，共22 页
所以{an} 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，
an = 1× 2n-1 = 2n-1
Qa1 = 1 ，符合上式
所以{an} 是通项为 an = 2n-1 的等比数列，A 选项正确；
对于 B，已知 Sn = 2n +1 ，所以 Sn+1 = 2n+1 +1 ， a1 = S1 = 21 +1 = 3
Sn+1 - Sn = 2n+1 - 2n = 2n an+1 = 2n an = 2n-1
Q a1 = 3 ，不符合上式 所以，B 选项错误；
对于 C，已知 an+1 = 2an ，当首项为零时，不符合题意，C 选项错误；
的虚部为 sin1 > 0 ， 因此命题①②③都正确，即正确说法的个数为 3. 故选：A 3．A
【分析】用 Sn 与 an 的关系，求出{an} 通项公式，根据等比数列的判定，即可判断正误.
深圳市示范性高中(高三)12月月考数学试题理科
深圳市示范性高中（高三）12月月考数学试题理科一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1、复数z 为纯虚数，若i a z i +=-)2( (i 为虚数单位)，则实数a 的值为( D ) A ．21-B ．2C ．2-D ．21 2、在锐角△ABC 中，角A B C 、、所对应的边分别为,,a b c ，若2sin b a B =，则角A 等于( A )A . 30oB . 45oC . 60oD . 75o3、已知等差数列{}n a 中，20132,a a 是方程0222=--x x 的两根，则=2014S （ D ）A ．2014-B ．1007-C ．1007D ．2014 4、若某程序框图如右图所示,则该程序运行后输出的B 等于（ A ）A ．63B ．31C ．127D ．155、若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切， 则m ＝( C )A ．21B ．19C ．9D ．－116、已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( B )A.16B.36C.13D.337、已知函数()sin()f x A x x R ωϕ=+∈，（其中0022A ππωϕ>>-<<，，），其部分图像如下图所示，将()f x 的图像纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个单位得到()g x 的图像，则函数()g x 的解析式为（ B ）A.()sin(1)2g x x π=+ B.()sin(1)8g x x π=+C.()sin(1)2g x x π=+ D.()sin(1)8g x x π=+8、已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( C )A ．5B ．29C ．37D ．499、已知P 是以F 1，F 2若∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β，且cos αsin(α+β D ）A43 B 33 C 42 10．设函数2()21ln f x x x a x =-++有两个极值点12,x x ，且12x x <，则（ D ） A 212ln 2()4f x +<-B ．212ln 2()4f x -<C ．212ln 2()4f x +>D ．212ln 2()4f x -> 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分.11、已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ={}2,1,0,1-.12、已知=-+=αααααcos 3sin 2cos 4sin 3.2tan 则1013、已知向量a (2,1)=，向量)4,3(=，则a 在b 方向上的投影为__2___14、已知函数1214)(--=x x x f ，则=++++)20152014()20152013(...)20152()20151(f f f f _4028_. 15、已知下列五个命题：③直线01=++y x 与圆 ④“b a 1010≥”是“b a lg lg ≥”的充分不必要条件.⑤过M （2,0）的直线lP 1P 2两点，线段P 1P 2中点为P ，设直线l 的斜率为k 1（k 1≠0），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2其中真命题的序号是：1，3，5三、解答题：大题共6小题，共75分.解答应写出必要文字说明，证明过程或演算步骤.16、（本小题满分12分）已知函数21()cos cos 2222x x x f x =+-，ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .（I ）求()f x 的单调递增区间及对称轴的方程； （Ⅱ）若()1,f B C +=1a b ==，求角C 的大小.解：（I）因为21()cos cos 2222x x x f x =+-cos 122cos 121x x x x =+-=++ πsin()6x =+令πππ2π2π262k x k -<+<+ 解得2ππ2π2π 33k x k -<<+ 所以函数()f x 的单调增区间为2ππ(2π,2π) 33k k -+，()Z k ∈ 对称轴的方程)(3Z k k x ∈+=ππ(Ⅱ) 因为()1,f B C +=所以πsin()16B C ++=，又(0,π)B C +∈，ππ7π(,)666B C ++∈ 所以πππ,623B C B C ++=+=，所以2π3A =由正弦定理sin sin B Ab a=把1a b ==代入，得到1sin 2B =又,b a <B A <，所以π6B =，所以π6C =17、成都市海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．6件样品进行检测．(1)求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；（2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品中来自C 地区的样品数X 的分布列及数学期望。
河南省顶级名校2022-2023学年高三上学期12月摸底考试理科数学试卷含答案
2023届高三第一学期12月月考数学试卷（理科）考试时间：120分钟试卷满分：150分本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
考生作答时，将答案答在答题卷上，在本试题卷上答题无效。
考试结束后，只收答题卷.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={∣x 2x 2-x -15≤0}，B ={-3,-1,1,3,5}，则A B =（）A ．{1,3}B ．{-3,-1,1}C ．{-1,1}D ．{-1,1,3}2．南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第20项为（）A ．172B ．183C ．191D ．2113．已知sin π2123α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5πcos 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．79-B ．59C ．59-D ．794．已知平面向量a ，b 满足3a= ，()13b = ，，211a b -= ，则a 在b上的投影为（）A ．3B ．1C ．2D ．65．若函数()()()log 20,1a f x ax a a =->≠在区间()1,3内单调递增，则a 的取值范围是（）A ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭6．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，122AA AB AC ==，且,,AB AC D E ⊥分别是棱1,BC BB 的中点，则异面直线1A D 与1C E 所成角的余弦值是（）A ．269B ．66C ．579D ．3067．已知函数()e 2e ln e xf x x x -=-+，若e 2e 2021e 2022e 2023202320232023f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1011()a b =-+，其中0b >，则1||2||a a b+的最小值为（）A ．34B ．32C ．54D ．228．在平面直角坐标系中，已知点()20M ，，()10N -，，动点()Q x y ，满足2QM QN =，过点()31-，的直线与动点Q 的轨迹交于A ，B 两点，记点Q 的轨迹的对称中心为C ，则当ABC 面积取最大值时，直线AB 的方程是（）A ．4y x =+B ．4y x =-+C ．24y x =+D ．24y x =-+9．已知抛物线22x py =()0p >的焦点为F ，A ，B 是抛物线上两动点，且AF 的最小值为1，M 是线段AB 的中点，()2,3P 是平面内一定点，则下列选项不正确的是（）A ．2p =B ．若8AF BF +=，则M 到x 轴的距离为3C ．若2AF FB =，则3AB = D ．AP AF +的最小值为410．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右顶点分别是1A ，2A ，圆222x y a +=与C 的渐近线在第一象限的交点为M ，直线1A M 交C 的右支于点P ，若△2MPA 是等腰三角形，且2PA M ∠的内角平分线与y 轴平行，则C 的离心率为（）A ．2B ．2C ．3D ．511．已知0x 是函数()22e e x x f x -=-的图象与函数()1ln g x x x x=++的图象交点的横坐标，则020e ln xx =（）A ．2-B ．ln 2-C ．ln 2D ．212．已知函数()2221,0log ,0x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程2[()]()40f x mf x ++=有6个不同的实数根，则m 的取值范围是（）A ．13(,5),43⎡⎫-∞-⋃--⎪⎢⎣⎭B ．13,43⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．134,(5,)3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．134,3⎛⎤ ⎥⎝⎦第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的相应位置.13．()22204x x dx +-=⎰______________．14．在三棱锥P －ABC 中，23PA AB PB AC ====，AC ⊥平面PAB ，则三棱锥P －ABC 的外接球O 的体积为______．15．已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，当4x π=-时函数()f x 能取得最小值，当4x π=时函数()y f x =能取得最大值，且()f x 在区间5,1826ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则当ω取最大值时ϕ的值为__________.16．已知函数ln (),()e x xf xg x x x-==，若存在12(0,),∈+∞∈R x x ，使得()()12==f x g x k 成立，则下列命题正确的有___________．①当0k >时，121x x +>②当0k >时，212e 2exx <+<③当0k <时，121+<x x ④当0k <时，21e k x x ⋅的最小值为1e-三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23122n S n n =+，递增的等比数列{}n b 满足：1418b b +=，2332b b ⋅=．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，求n S ，n T ．18．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足2cos cos cos a A b C c B =+．(1)求A ；(2)若ABC 的面积为63，27a =，求ABC 的周长．19．春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅，候车人数与时间t 相关，时间t （单位：小时）满足024t <≤，t ∈N .经测算，当1624t ≤≤时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当016t <<时，候车人数会减少，减少人数与(16)t t -成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为()f t .(1)求()f t 的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；(2)若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为()3160320f t P t-=+，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少?20．如图，已知四棱锥S-ABCD 的底面ABCD 为正方形，二面角S-AB-D 为直二面角，∠SAB =∠SBA ，点M 为线段AD 的中点.(1)证明：SD ⊥MC ；(2)若SA =AB ，点N 是线段BD 上靠近点B 的三等分点，求直线SA 与平面SMN 所成角的正弦值.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，点()0,2G 与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线y kx m =+与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，直线OM ，ON 的斜率之积等于34-，试探求OMN 的面积是否为定值，并说明理由.22．已知函数()ln ln f x x a x =-，其中0a >且1a ≠．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()1e lnf x a a≥在()0,∞+上恒成立，求实数a 的取值范围．全科免费下载公众号《高中僧课堂》2023届高三第一学期12月月考数学试卷（理科）考试时间：120分钟试卷满分：150分本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
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2019届高三数学上学期12月月考试题理
本试卷分第1 卷（选择题）和第 2 卷（非选择题）两部分，满分150 分.考试时间120 分钟.
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
3.向量 a (m,1) , b1, m,则“m1”是“a/ /b ”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.非充分又非必要条件
8.设随机变量N (2, 2 ) ,若P(a) 0.3 ,则P( 4 a) 等于( )
A.0.4
B.0.5
C.0.6
D.0.7
10. 我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、…、《辑古算经》等
部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这部专著中有部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这部名著中选择部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为（）
第2 卷（非选择题）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13 题--第21 题为必考题，每个试题考生都必须回答.
第 22 题-第 23 题为选考题，考生根据要求做答.
二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
15.《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术. 得诀自诩无所阻,额上
坟起终不悟.” 在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
18.随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1 吨该商品可获利润0.5 万元，未售出的商品，每1 吨亏损 0.3 万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了
130 吨该商品．现以x（单位：吨，）表示下一个销售季度的市场需求量，T （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．
一、选择题：
1-12 CDABBCBDAACB 二、填空题
13. （2,1）14.
27
15.63 16.
4
三、解答题
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