高一数学上学期12月月考试题及答案 (2)
北京市2023-2024学年高一上学期12月月考试题 数学含解析
2023-2024学年度第一学期北京高一数学12月月考试卷（答案在最后）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合{}2,A x x k k ==∈Z ，{}33B x x =-<<，那么A B = （）A.{}1,1- B.{}2,0-C.{}2,0,2- D.{}2,1,0,1--2.方程组22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（）A.()(){}1,2,1,2--B.()(){}1,2,1,2--C.()(){}2,1,2,1-- D.()(){}2,1,2,1--3.命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是（）A.x ∃∈R ，2230x x -->B.x ∃∈R ，2230x x --≥C.x ∀∈R ，2230x x --< D.x ∀∈R ，2230x x --≥4.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A.ln y x =B.2x y =C.3y x = D.1y x=-5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.1206.设lg2a =，12log 3b =，0.22c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.<<b c a7.若122log log 2a b +=，则有A.2a b= B.2b a= C.4a b= D.4b a=8.若()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（）A.{}10x x -<<B.{0x x <或}12x <<C.{}02x x << D.{}12x x <<9.设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）A.6年B.7年C.8年D.9年二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.12.已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x +=______；12x x -=______.13.设函数()f x 同时满足以下条件：①定义域为R ；②()01f =；③1x ∀，2R x ∈，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-；试写出一个函数解析式()f x =______.14.设函数()3log ,x af x x x a ≤≤=>⎪⎩，其中0a >.①若5a =，则()81f f ⎡⎤⎣⎦______；②若函数()3y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是______.15.给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．三、解答题（本大题共6小题，共85分.）16.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．17.已知函数()211f x x =-.（1）证明：()f x 为偶函数；（2）用定义证明：()f x 是()1,+∞上的减函数；（3）直接写出()f x 在()1,+∞的值域.18.甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲4.944.904.954.824.80 4.79乙 4.86 4.904.864.844.744.72（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（3）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为x 万个()020x <≤，每年需投入的其它成本为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.（1）求年利润()f x （单位：万元）关于x 的函数关系式；（2）当年产量x 为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.20.已知函数()()12log 21xf x mx =+-，m ∈R .（1）求()0f ；（2）若函数()f x 是偶函数，求m 的值；（3）当1m =-时，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时，求x 的取值范围.21.设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．（1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．2023-2024学年度第一学期北京高一数学12月月考试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分1.已知集合{}2,A x x k k ==∈Z ，{}33B x x =-<<，那么A B = （）A.{}1,1- B.{}2,0-C.{}2,0,2- D.{}2,1,0,1--【答案】C 【解析】【分析】解不等式()323k k Z -<<∈，求得整数k 的取值，由此可求得A B ⋂.【详解】解不等式323k -<<，得3322k -<<，k Z ∈ ，所以，整数k 的可能取值有1-、0、1，因此，{}2,0,2A B =- .故选：C.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题.2.方程组22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（）A.()(){}1,2,1,2--B.()(){}1,2,1,2--C.()(){}2,1,2,1-- D.()(){}2,1,2,1--【答案】A 【解析】【分析】利用代入消元法，求解方程组的解集即可．【详解】因为22205x y x y +=⎧⎨+=⎩，所以2y x =-代入225x y +=，即()2225x x +-=，解得1x =±.当=1x -时，()212y =-⨯-=；当1x =时，212y =-⨯=-.故22205x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是()(){}1,2,1,2--.故选：A.3.命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是（）A.x ∃∈R ，2230x x -->B.x ∃∈R ，2230x x --≥C.x ∀∈R ，2230x x --<D.x ∀∈R ，2230x x --≥【答案】D 【解析】【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题来得答案.【详解】根据特称命题的否定是全称命题可得命题“x ∃∈R ，2230x x --<”的否定形式是x ∀∈R ，2230x x --≥.故选：D.4.下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（）A.ln y x =B.2x y =C.3y x =D.1y x=-【答案】C 【解析】【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，ln y x =的定义域为{}0x x >，不关于原点对称，所以ln y x =是非奇非偶函数，故A 不正确；对于B ，2x y =的定义域为R ，关于原点对称，而()()122xx f x f x --==≠-，所以2x y =不是奇函数，故B 不正确；对于C ，3y x =的定义域为R ，关于原点对称，而()()()33f x x x f x -=-=-=-，所以3y x =是奇函数且在R 上是增函数，故C 正确；对于D ，1y x=-定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，()()1f x f x x -==-，所以1y x=-是奇函数，1y x=-在(),0∞-和()0,∞+上单调递增，不能说成在定义域上单调递增，因为不满足增函数的定义，故D 不正确.故选：C .5.某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A.56B.60C.140D.120【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04) 2.50.7++⨯=，故自习时间不少于22.5小时的人数为0.7200140⨯=，故选C.考点：频率分布直方图及其应用．6.设lg2a =，12log 3b =，0.22c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.b a c<< D.<<b c a【答案】C 【解析】【分析】借助中间量0,1可确定大小.【详解】对于lg2a =，由lg2lg1=0,lg2lg10=1><得01a <<，对于12log 3b =，由1122log 3log 10<=得0b <，对于0.22c =，由0.20221>=得1c >，所以b a c <<.故选：C.7.若122log log 2a b +=，则有A.2a b = B.2b a= C.4a b= D.4b a=【答案】C 【解析】【分析】由对数的运算可得212log log a b +=2log 2ab=,再求解即可.【详解】解:因为212log log a b +=222log log log 2a b ab-==,所以224a b==，即4a b =，故选:C.【点睛】本题考查了对数的运算,属基础题.8.若()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，则()10f x -<的解集是（）A.{}10x x -<<B.{0x x <或}12x <<C.{}02x x << D.{}12x x <<【答案】C 【解析】【分析】根据()f x 是偶函数，先得到()0f x <的解集，再由()10f x -<，将1x -代入求解.【详解】因为[)0,x ∈+∞时，()1f x x =-，所以由()0f x <，解得01x ≤<，又因为()f x 是偶函数，所以()0f x <的解集是11x -<<，所以()10f x -<，得111x -<-<，解得02x <<所以()10f x -<的解集是{}02x x <<，故选：C9.设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由()f x 是R 上的增函数得()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之若对任意0a >，()()f x a f x +<，满足()()y f x a f x =+-无零点，但不满足()f x 是R 上的增函数，不满足必要性，即可判断.【详解】若()f x 是R 上的增函数，则对任意0a >，显然x a x +>，故()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之，若对任意0a >，()()f x a f x +<，即()()0f x a f x +<-，满足()()y f x a f x =+-无零点，但()f x 是R 上的减函数，不满足必要性，故“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的充分而不必要条件.故选：A.10.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）A.6年 B.7年 C.8年 D.9年【答案】B 【解析】【分析】依题求出经过x 年后，A 产品和B 产品的年产量分别为310(2x，640()5x，根据题意列出不等式，求出x 的范围即可得到答案.【详解】依题经过x 年后，A 产品的年产量为1310(110()22xx+=）B 产品的年产量为1640(140()55x x +=，依题意若A 产品的年产量会超过B 产品的年产量，则3610()40(25xx>化简得154x x +>，即lg 5(1)lg 4x x >+，所以2lg 213lg 2x >-，又20.3010lg =，则2lg 26.206213lg 2≈-所以至少经过7年A 产品的年产量会超过B 产品的年产量.故选：B【点睛】本题主要考查指数函数模型，解指数型不等式，属于基础题.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11.函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.【答案】()()1,22,⋃+∞【解析】【分析】根据函数的解析式，列出函数有意义时满足的不等式，求得答案.【详解】函数()()1lg 12f x x x =-+-需满足1020x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x >且2x ≠，故函数()()1lg 12f x x x =-+-的定义域为()()1,22,⋃+∞，故答案为：()()1,22,⋃+∞12.已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x +=______；12x x -=______.【答案】①.14②.【解析】【分析】利用韦达定理可得2212x x +、12x x -的值.【详解】因为方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，由韦达定理可得124x x +=，121=x x ，所以，()2221222121242114x x x x x x =+-=-=+⨯，12x x -===.故答案为：14；.13.设函数()f x 同时满足以下条件：①定义域为R ；②()01f =；③1x ∀，2R x ∈，当12x x ≠时，()()21210f x f x x x -<-；试写出一个函数解析式()f x =______.【答案】1x -+（答案不唯一）【解析】【分析】由题意首先由③得到函数的单调性，再结合函数定义域，特殊点的函数值，容易联想到一次函数，由此即可得解.【详解】由③，不妨设12x x ∀<，即210x x ->，都有()()21210f x f x x x -<-，即()()210f x f x -<，即()()21f x f x <，所以由题意可知()f x 是定义域为R 的减函数且满足()01f =，不妨设一次函数y x b =-+满足题意，则10b =-+，即1b =.故答案为：1x -+.14.设函数()3log ,x a f x x x a ≤≤=>⎪⎩，其中0a >.①若5a =，则()81f f ⎡⎤⎣⎦______；②若函数()3y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是______.【答案】①.2②.[)9,27【解析】【分析】①代值计算即可；②分别画出()y f x =与3y =的图象，函数有两个零点，结合图象可得答案．【详解】①当5a =时，()35log ,5x f x x x ≤≤=>⎪⎩因为815>，所以()43381log 81log 345f ===<，所以()()8142f f f ⎡⎤===⎣⎦.②因为函数()3y f x =-有两个零点，所以()3f x =，即()y f x =与3y =的图象有两个交点.3=得9x =，3log 3x =得27x =.结合图象可得927a ≤<，即[)9,27a ∈.所以a 的取值范围是[)9,27.故答案为：①2；②[)9,27.15.给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____．【答案】①③【解析】【分析】A 即为函数的定义域，B 即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．【详解】对①，A ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，B ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；对②，A ＝R ，B ＝(0，+∞)，当x ＞0时，不存在y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即不具有性质P ；对③，A ＝(0，+∞)，B ＝R ，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；故答案为：①③．【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共85分.）16.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．【答案】（Ⅰ）男生3人，女生2人；（Ⅱ）35【解析】【分析】(Ⅰ)利用分层抽样按比例计算出这5人中男生人数和女生人数．(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1，B 2，B 3，2名女生为G 1，G 2，利用列举法能求出抽取的2人中恰有1名女生的概率．【详解】(Ⅰ)这5人中男生人数为19253320⨯=，女生人数为12852320⨯=．(Ⅱ)记这5人中的3名男生为B 1，B 2，B 3，2名女生为G 1，G 2，则样本空间为：Ω＝{(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，B 3)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)，(G 1，G 2)}，样本空间中，共包含10个样本点．设事件A 为“抽取的2人中恰有1名女生”，则A ＝{(B 1，G 1)，(B 1，G 2)，(B 2，G 1)，(B 2，G 2)，(B 3，G 1)，(B 3，G 2)}，事件A 共包含6个样本点．从而()63105P A ==所以抽取的2人中恰有1名女生的概率为35．【点睛】本题考查古典概型概率，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.已知函数()211f x x =-.（1）证明：()f x 为偶函数；（2）用定义证明：()f x 是()1,+∞上的减函数；（3）直接写出()f x 在()1,+∞的值域.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）()0,∞+【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义证明即可；（2）利用单调性定义证明即可；（3）根据单调性直接求得即可.【小问1详解】由函数()211f x x =-可知210x -¹，即1x ≠±，所以函数()f x 的定义域为{}1D x x =≠±，所以x D ∀∈，()()()221111f x f x x x -===---，故()f x 为偶函数.【小问2详解】假设()12,1,x x ∀∈+∞且12x x <，则()()()()()()()()()()()222221212121122222222212121212111111111111x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x ----+--=-===--------，由()12,1,x x ∀∈+∞，12x x <知()()222121120,0,110x x x x x x ->+>++>，从而()()120f x f x ->，即()()12f x f x >.所以()f x 是()1,+∞上的减函数.【小问3详解】因为()f x 在()1,+∞上减函数，所以()f x 在()1,+∞的值域为()0,∞+.18.甲和乙分别记录了从初中一年级（2017年）到高中三年级（2022年）每年的视力值，如下表所示2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙4.864.904.864.844.744.72（1）计算乙从2017年到2022年这6年的视力平均值；（2）从2017年到2022年这6年中随机选取2年，求这两年甲的视力值都比乙高0.05以上的概率；（3）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）【答案】（1）4.82（2）25（3）甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.【解析】【分析】（1）利用平均数公式计算即可；（2）列表分析，利用古典概型概率公式计算即可（3）由表中数据分析波动性即可得结论.【小问1详解】乙从2017年到2022年这6年的视力平均值为：4.86 4.90 4.86 4.84 4.74 4.724.826+++++=.【小问2详解】列表：2017年2018年2019年2020年2021年2022年甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79乙 4.864.904.864.844.744.72甲与乙视力值的差0.0800.090.02-0.060.07由表格可知：2017年到2022年这6年中随机选取2年，这两年甲的视力值都比乙高0.05上的年份由有4年，故所求概率为：2426C 62C 155P ===【小问3详解】从表格数据分析可得：甲的视力平均值从2020开始连续三年的方差最小，乙的视力平均值从2017开始连续三年的方差最小.19.某厂将“冰墩墩”的运动造型徽章纪念品定价为50元一个，该厂租用生产这种纪念品的厂房，租金为每年20万元，该纪念品年产量为x 万个()020x <≤，每年需投入的其它成本为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩（单位：万元），且该纪念品每年都能买光.（1）求年利润()f x （单位：万元）关于x 的函数关系式；（2）当年产量x 为何值时，该厂的年利润最大？求出此时的年利润.【答案】（1）()214520,0102256010736,1020x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当年产量x 为16万个时，该厂的年利润最大，为416万元【解析】【分析】（1）根据利润等于销售总额减去总成本即可得出答案.（2）求出分段函数每一段的最大值，进行比较即可得出答案.【小问1详解】由题意得：()()5020f x x C x =--，()020x <≤.因为()215,0102256060756,1020x x x C x x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩所以()2150205,01022560502060756,1020x x x x f x x x x x ⎧⎛⎫--+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪--+-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，即()214520,0102256010736,1020x x x f x x x x ⎧-+-<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩.【小问2详解】当010x <≤时，函数()2145202f x x x =-+-在(]0,10单调递增，此时()()2max 110104510203802f x f ==-⨯+⨯-=.当1020x <≤时，函数()256010736f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在()10,16上单调递增，在()16,20上单调递减，此时()()max 256016101673641638016f x f ⎛⎫==-⨯++=> ⎪⎝⎭.综上可得：当年产量x 为16万个时，该厂的年利润最大，为416万元.20.已知函数()()12log 21x f x mx =+-，m ∈R .（1）求()0f ；（2）若函数()f x 是偶函数，求m 的值；（3）当1m =-时，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时，求x 的取值范围.【答案】（1）1-（2）12m =-（3）21log 3x >【解析】【分析】（1）直接将0x =代入计算；（2）通过计算()()0f x f x --=恒成立可得m 的值；（3）解不等式()12log 212xx ++>-即可.【小问1详解】由已知得()()12log 2110f =+=-；【小问2详解】函数()f x 是偶函数，()()()()11122221log 21log 21log 212x xxx mxf x f x mx mx --⎡⎤+∴--=+--++⎢+⎣-=⎥⎦()1222210log 2x mx x mx x m =-=--=-+=，又()210x m -+=要恒成立，故210m +=，解得12m =-；【小问3详解】当1m =-时，()()12log 21x f x x =++，当函数()y f x =的图象在直线=2y -的上方时有()12log 212xx ++>-，()2211222112422l 2og 212log 21x xxxx x x --+--⎛⎫⎛⎫⇒==⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝+>--=+<⎭21log 31321223xx⇒⨯>⇒>=解得21log 3x >.21.设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A =∈且}u v ≠为集合A 的生成集．（1）当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．【答案】（1）{}6,10,15B =（2）7（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明.【小问1详解】{}2,3,5A =Q ，{}6,10,15B ∴=【小问2详解】设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数等于7个，所以生成集B 中元素个数的最小值为7.【小问3详解】不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；也有3,10ac bd ==，其4个正实数的乘积30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。
2022-2023学年河北省高一上学期月考(12月)数学试卷含解析
2022-2023学年河北省高一上学期月考（12月）数学试卷考试时间：120分钟；满分：150分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单选题（本大题共10小题，共50.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 不等式x2>8的解集是( )A. (−2√2,2√2)B. (−∞,−2√2)∪(2√2,+∞)C. (−4√2,4√2)D. (−∞,−4√2)∪(4√2,+∞)2. 函数f(x)=e x+lnx，g(x)=e−x+lnx，g(x)=e−x−lnx的零点分别是a，b，c，则( )A. a<c<bB. c<b<aC. c<a<bD. b<a<c3. 考察函数：①y=|x|②y=|x|x ③y=−x2|x|④y=x+x|x|，其中(0,+∞)在上为增函数的有( )A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④4. 函数f(x)=log a(x2−4x−5)(a>1)的单调递增区间是( )A. (−∞,−2)B. (−∞,−1)C. (2,+∞)D. (5,+∞)5. 若命题“∀x∈R，kx2−kx−1<0”是真命题，则实数k的取值范围是( )A. (−4,0)B. (−4,0]C. (−∞,−4]∪(0，+∞)D. (−∞,−4)∪[0，+∞)6. 若函数f(x)在区间[−2,2]上的图象是连续不断的曲线，且f(x)在(−2,2)内有一个零点，则f(−2)⋅f(2)的值( )A. 大于0B. 小于0C. 等于0D. 不能确定7. 计算(log 32+log 23)2−log 32log 23−log 23log 32的值为( ) A. log 26B. log 36C. 2D. 18. 已知f(x)是定义域为(−1,1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m −2)+f(2m −3)>0，那么实数m 的取值范围是( )A. (1,53)B. (−∞,53)C. (1,3)D. (53,+∞)9. 已知某函数的图象如图所示，则下列解析式中与此图象最为符合的是( )A. f(x)=2xln|x|B. f(x)=2|x|ln|x|C. f(x)=1x 2−1D. f(x)=1|x|−1|x|10. 如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x 轴的直线l ：x =t(0≤t ≤a)经过原点O 向右平行移动，l 在移动过程中扫过平面图形的面积为y(图中阴影部分)，若函数y =f(t)的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是( )A. B. C.D.二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。
2022-2023学年北京市海淀区二十中学高一年级上册学期阶段性检测(12月月考)数学试题【含答案】
2022-2023学年北京市海淀区二十中学高一上学期阶段性检测（12月月考）数学试题一、单选题1．已知集合{|||2}A x x =<，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =（ ） A ．{}0,1 B ．{}1,0,1- C ．{}0,1,2 D ．{}1,0,1,2-【答案】B【分析】利用集合交集的定义求解.【详解】由||2x <结合绝对值的几何意义解得22x -<<， 所以{|22}A x x =-<<， 所以A B ={}1,0,1-， 故选:B.2．已知0.36a =，ln0.3b =，60.3c =，则（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．b a c >> D ．b c a >>【答案】A【分析】与“0”，“1”比较大小即可解决. 【详解】由题知, 300.616>==a ，ln0.3ln10=<=b ，60.3c =，因为060033.0.<<，所以01c <<所以01b c a <<<<， 故选：A3．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上单调递增的是（ ） A ．1y x=B ．e x y =C ．lg y x =D ．y x =【答案】D【分析】根据具体函数的性质对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，因为1y x =，当0x >时，1y x =，显然1y x=在()0,∞+上单调递减，故A 错误； 对于B ，因为()e xy f x ==，所以()11e1e f -==-，()1e f =，即存在x ∈R ，使得()()f x f x -≠，所以()f x 不是偶函数，故B 错误；对于C ，因为()lg y g x x ==，所以11lg 111010g ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()10lg101g ==，即()11010g g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()g x 在()0,∞+上并不单调递增，故C 错误； 对于D ，因为y h x x ，易得()h x 的定义域为R ，即()h x 的定义域关于原点对称，又hx x xh x ，所以()h x 是在R 上的偶函数，当0x >时，()h x x =，显然()h x 在()0,∞+上单调递增，故D 正确. 故选：D.4．已知0a b >>，则下列各选项正确的是（ ） A ．110->a bB ．11022a b⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．log 2log 20a b -<D ．ln ln 0a b +>【答案】B【分析】每个选项依次考查，判断一个命题是假命题只需举一个反例.. 【详解】0,a b >>A ：不妨取3,2a b ==，1111032a b ∴-=-<，A 错；B ：()12x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，()()11,022a bf a f b ⎛⎫⎛⎫∴<∴-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 对；C ：取12,2a b ==，212log 2log 2log 2log 220a b -=-=>，C 错；D ：取11,,ln ln 0,23a b a b ==∴+<D 错；故选：B5．已知函数()26log f x x x=-．在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A ．()1,2 B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,5【答案】C【分析】根据零点存在性定理解决即可. 【详解】由题知，函数在定义域内单调递减，且 2(1)6log 160f =-=>，2(2)3log 220f =-=>，2(3)2log 30f =->， 231(4)log 4022f =-=-<， 26(5)log 505=-<f ， 所以()f x 零点的区间是()3,4, 故选：C6．在同一坐标系内，函数(0)a y x a =≠和1y ax a=+的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据幂函数的图象与性质，分0a >和a<0讨论，利用排除法，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，若0a >时，函数a y x =在(0,)+∞递增，此时1y ax a=+递增，排除D ；纵轴上截距为正数，排除C ，即0a >时，不合题意；若a<0时，函数a y x =在(0,)+∞递减，又由1y ax a=+递减可排除A ，故选B.【点睛】本题主要考查了幂函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记幂函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足5lg L V =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）1010 1.259≈） A ．1.5 B ．1.2 C ．0.8 D ．0.6【答案】C【分析】根据,L V 关系，当 4.9L =时，求出lg V ，再用指数表示V ，即可求解. 【详解】由5lg L V =+，当 4.9L =时，lg 0.1V =-， 则10.11010110100.81.25910V --===≈≈. 故选：C.8．函数241xy x =+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误； 当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误. 故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．9．已知函数()()e e 0x xf x a b ab -=+≠，则“0a b +=”是“()f x 为奇函数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据0a b +=可得()f x ，由奇偶性定义可知充分性成立；由()f x 为奇函数可知()()f x f x -=-，由此可构造方程求得0a b +=，知必要性成立，由此可得结论.【详解】当0a b +=时，()e e x x f x a a -=-，()()e e x xf x a a f x -∴-=-=-，f x 为奇函数，充分性成立；当()f x 为奇函数时，由()()f x f x -=-得：e e e e x x x x a b a b --+=--，a b ∴=-，即0a b +=，必要性成立；∴“0a b +=”是“()f x 为奇函数”的充分必要条件.故选：C.10．已知函数()e 11e 2x xf x =-+．下列关于函数()f x 的说法错误的是（ ） A ．函数()f x 是奇函数 B ．函数()f x 在R 上是增函数 C ．函数()f x 的值域是11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．存在实数a ，使得关于x 的方程()0f x a -=有两个不相等的实数根 【答案】D【分析】根据奇函数的性质、指数函数的性质，结合函数的单调性进行求解判断即可. 【详解】解：对于A ，函数()e 11e 2x x f x =-+的定义域为R ， 00e 1(0)01e 2f =-=+，且()()e 111e 11e 11e 21e 21e 221e x x xx x x xf x f x ---=-=-=--=-=-++++， ∴函数()f x 是奇函数，A 选项正确；对于B ，函数()e 1111111e 21e 221e x x x xf x =-=--=-+++， 令12x x <，()()()()()()()1212121212121e 1e 1111e e 21e 21e 1e 1e 1e 1e x x x x x x x x x x f x f x ++--+==+-+=+-+-++，12x x <，12120e e e e x x x x ∴<⇒-<，而111e x +>，211e x +>，()()()()121212e e 01e 1e x x x x f x f x -∴++=<-，即()()12f x f x <， 因此函数()f x 在R 上是增函数，B 选项正确； 对于C ，函数()1121ex f x =-+，11e x +>， 1011e x∴<<+，则1101e x -<-<+，1111221e 2x ∴-<-<+，即()1122f x -<<， 所以函数()f x 的值域是11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，C 选项正确；对于D ，由B 可知函数()f x 在R 上是增函数，因此关于x 的方程()0f x a -=不可能有两个不相等的实数根，D 选项错误； 故选：D.二、填空题 11．函数()1ln 1f x x x =+-的定义域是___________． 【答案】()()0,11,+∞【分析】利用具体函数的定义域的求法求解即可. 【详解】因为()1ln 1f x x x =+-， 所以010x x >⎧⎨-≠⎩，则0x >且1x ≠，故()1ln 1f x x x =+-的定义域是()()0,11,+∞.故答案为：()()0,11,+∞.12．函数()121x f x -=-的零点为___________．【答案】1【分析】直接解方程即可.【详解】()112210,21,1log 10, 1.x x f x x x --=-=∴=∴-==∴=故答案为：113．函数()()log 231a f x x =-+（0a >且1a ≠）的图象过定点_________. 【答案】()2,1【分析】令真数为1，求出x 的值，再代入函数解析式，即可得出函数()y f x =的图象所过定点的坐标.【详解】令231x -=，得2x =，且()2log 111a f =+=. 因此，函数()y f x =的图象过定点()2,1.故答案为()2,1.【点睛】本题考查对数型函数图象过定点问题，一般利用真数为1求出自变量的值，考查运算求解能力，属于基础题.14．已知函数()3xf x =，()2(R)g x x a a =+-∈．若函数()()y g f x =存在两个零点，则a 的取值范围是___________． 【答案】(),2-∞-【分析】先分类讨论0a ≥时，不符合题意；当a<0时，写成分段函数的形式，判断其单调性，利用零点存在定理得出有两个零点的条件即可求解.【详解】因为()3xf x =，()2(R)g x x a a =+-∈， 所以()()()232xf x a ag f x =+-=+-，若0a ≥时，()()32xa g f x =+-在R 上为增函数，至多有一个零点，不符合题意；当a<0时，()()()()3332,log 3232,log x xx a x a g f x a a x a ⎧+-≥-⎪=+-=⎨---<-⎪⎩，则()()g f x 在()()3,log a -∞-单调递减，在()()3log ,a -+∞单调递增，易知()()()3mi lo n g 32220a a a a g f x -+-=-+-=-<=，当()3log x a ≥-时，因为3x y =可取得无穷大值，故不管a 的取值如何，在()()3log ,a -+∞必存在一点1x ，使得()()10g f x >，所以()()g f x 在()()()()133log ,log ,a x a -⊆-+∞上必存在唯一零点， 因为函数()()y g f x =存在两个零点，所以当()3log x a <-时，()()g f x 在()()3,log a -∞-上也必须存在一个零点，即在()()3,log a -∞-必存在一点2x ，使得()()20g f x >，即2320x a --->， 所以223x a -->在()()3,log a -∞-上能成立，因为指数函数30x y =>恒成立，且当x →-∞时，30x y =→， 所以只需20a -->即可，得2a <-，即a 的取值范围为(),2-∞-. 故答案为：(),2-∞-.15．已知函数()()()1,121,1x a x f x a x x ⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，其中0a >且1a ≠．给出下列四个结论：①若2a ≠，则函数()f x 的零点是0；②若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为()0,1；③若2a >，则()f x 在区间(),0∞-上单调递减，在区间()0,∞+上单调递增；④若关于x 的方程()2f x a =-恰有三个不相等的实数根123,,x x x ，则a 的取值范围为()2,3，且123x x x ++的取值范围为(),2-∞．其中，所有正确结论的序号是_____． 【答案】①④【分析】令()0f x =可确定①正确；由函数无最小值可知当1x >时，()f x 单调递减，得②错误；分别判断两段函数的单调性，根据严格单调递增的要求知③错误；讨论可知2a >时存在有三个不等实根的情况，采用数形结合的方式可得a 的范围，分别求得123,,x x x ，进而得到123x x x ++的范围，知④正确.【详解】对于①，令10xa -=，解得：0x =；令()()210a x --=，解得：1x =（舍）；∴若2a ≠，则函数()f x 的零点是0x =，①正确；对于②，当1x ≤时，()1xf x a =-，此时()()min 00f x f ==；若()f x 无最小值，则需当1x >时，()f x 单调递减，即20a -<，解得：2a <， 又0a >且1a ≠，a ∴的取值范围为()()0,11,2，②错误；对于③，当2a >时，()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,1，()1,+∞上分别单调递增； 若需()f x 在()0,∞+上单调递增，则10a -≤，解得：1a =（舍）， f x 在()0,∞+上并非严格单调递增，③错误；对于④，当2a =时，()0f x =在1x >时有无数解，不满足题意；当01a <<或12a <<时，20a -<，则当1x ≤时，方程()2f x a =-无解；当1x >时，()2f x a =-有唯一解2x =；不满足方程有三个不等实根； 当2a >时，()f x 大致图象如下图所示，若()2f x a =-有三个不等实根，则021a <-<，解得：23a <<； 设123x x x <<，令()()212a x a --=-，解得：2x =，即32x =；令12xa a -=-，解得：()1log 3a x a =-，()2log 1a x a =-，()()()212log 31log 43a a x x a a a a ∴+=--=-+-；23a <<，()2430,1a a ∴-+-∈，()12,0x x ∴+∈-∞，()123,2x x x ∴++∈-∞，④正确. 故答案为：①④【点睛】思路点睛：本题考查分段函数零点、最值、单调性和方程根的分布的问题；求解方程根的分布的基本思路是能够将问题转化为曲线与平行于x 轴的直线交点个数问题，通过数形结合的方式，利用函数图象来进行分析和讨论，由此确定根的分布情况.三、解答题16．计算下列各式的值．(1)123024318(15)(9)27-⎛⎫++- ⎪⎝⎭(2)2log 355151log 352lg 10log log 14250+++ 【答案】(1)5 (2)7【分析】根据指数、对数的运算规律化简求解即可.【详解】（1）解：原式()113333131341335⎛⎫-⨯--⎪-⎝⎭+=+=++-=.（2）解：原式()()()112555log 572lg10log 252log 273-=⨯+-⨯-⨯+()55551log 712log 2log 2log 73=++-----+11237=+++=.17．已知对数函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）． (1)若对数函数()f x 的图像经过点()8,3，求a 的值；(2)若对数函数()f x 在区间[],2a a 上的最大值比最小值大2，求a 的值． 【答案】(1)2a =(2)a =【分析】（1）已知对数函数()f x 的图像经过点()8,3，将此点代入函数即可求出a 的值；（2）对数函数()f x 在区间[],2a a 上的最大值比最小值大2，分类讨论1a >，01a <<时函数的单调性，并求出最大值与最小值，列出方程即可求出a 的值.【详解】（1）解：若对数函数()f x 的图像经过点()8,3，则()8log 83a f ==， 38a ∴=，即2a =.（2）解：当1a >时，()log a f x x =在[],2a a 上是增函数，()()max 2log 2log 21a a f x f a a ∴===+，min ()()log 1a f x f a a ===，因为最大值比最小值大2，所以log 211log 22a a +-==，解得a = 当01a <<时，()log a f x x =在[],2a a 上是减函数，()()max 1f x f a ∴==，()()min 2log 21a f x f a ==+，则()1log 21log 22a a -+=-=，212a a ∴=⇒，综上a =2. 18．已知函数()()()12f x ax x =--．(1)若1a =-，求不等式()0f x >的解集；(2)已知0a >，求不等式()0f x >的解集．【答案】(1){}12x x -<<(2)答案见解析【分析】（1）当1a =-时，直接由一元二次不等式的解法可得出所求的答案；（2）分类讨论: 102a <<，12a =和12a >，分别根据一元二次不等式的解法即可得出相应的解集. 【详解】（1）解：当1a =-时，()(1)(2)f x x x =---，所以不等式()0f x >可化为：(1)(2)0x x --->，解得12x -<<，即不等式()0f x >的解集为：{}12x x -<<.（2）解：因为(1)(2)0ax x -->， 当12a >，即102a <<时，解得2x <或1x a >； 当12a =，即12a =时，解得2x ≠； 当12a <，即12a >时，解得1x a<或2x >； 综上所述，当102a <<时，不等式()0f x >的解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭； 当12a =时，不等式()0f x >的解集为()(),22,-∞+∞； 当12a >时，不等式()0f x >的解集为()1,2,a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭. 19．已知函数()332x xf x --=． (1)判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；(2)判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性，并用单调性定义证明；(3)若120f ax f x 对任意(],2a ∈-∞恒成立，求x 的取值范围． 【答案】(1)奇函数，理由见解析；(2)单调递增，证明见解析；(3)(]1,0-.【分析】（1）根据证明函数的奇偶性步骤解决即可；（2）根据单调性定义法证明即可；（3）根据奇偶性，单调性转化解不等式即可.【详解】（1）()332x xf x --=为奇函数，理由如下 易知函数的定义域为(),-∞+∞，关于原点对称， 因为33()()2---==-x xf x f x ， 所以()f x 为奇函数.（2）()f x 在()0,∞+上的单调递增，证明如下因为()332x xf x --=，()0,x ∈+∞， 设任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，所以()()()()121211221233333333222----------==-x x x x x x x x f x f x ()()121212121233133331333322⎛⎫-⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==x x x x x x x x x x 因为12,(0,)x x ∈+∞，12x x <，所以1212330,330-<>x x x x ，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在()0,∞+上的单调递增.（3）由（1）知()f x 为奇函数，由（2）知()f x 在()0,∞+上的单调递增，所以()f x 在(),-∞+∞单调递增，因为120f ax f x 对任意(],2a ∈-∞恒成立， 所以(1)(2)(2)->--=-f ax f x f x ，所以12ax x 对任意(],2a ∈-∞恒成立，令()()10g a xa x =+->，(],2a ∈-∞则只需0(2)2(1)0x g x x ≤⎧⎨=+->⎩，解得10-<≤x ，所以x 的取值范围为(]1,0-.20．有一种放射性元素，最初的质量为500g ，按每年10%衰减(1)求两年后，这种放射性元素的质量；(2)求t 年后，这种放射性元素的质量w （单位为：g ）与时间t 的函数表达式；(3)由（2）中的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（剩留量为原来的一半所需的时间叫作半衰期）．（精确到0.1年，已知：lg20.3010≈，lg30.4771≈）【答案】(1)405g(2)5000.9t w =⨯(3)6.6年.【分析】(1)根据衰减率直接求解即可；(2)根据衰减规律归纳出函数表达式；(3)半衰期即为质量衰减为原来的一半，建立等式，利用换底公式求解.【详解】（1）经过一年后，这种放射性元素的质量为500(10.1)5000.9⨯-=⨯，经过两年后，这种放射性元素的质量为2500(10.1)(10.1)5000.9⨯-⨯-=⨯，即两年后，这种放射性元素的质量为405g（2）由于经过一年后，这种放射性元素的质量为1500(10.1)5000.9⨯-=⨯，经过两年后，这种放射性元素的质量为2500(10.1)(10.1)5000.9⨯-⨯-=⨯，……所以经过t 年后，这种放射性元素的质量5000.9t w =⨯.（3）由题可知5000.9250t ⨯=，即0.9lg 0.5lg 2log 0.5 6.6lg 0.92lg31t -===≈-年. 21．对于正整数集合A ，记{}{},A a x x A x a -=∈≠，记集合X 所有元素之和为()S X ，()0S ∅=．若x A ∃∈，存在非空集合1A 、2A ，满足：①12A A =∅；②{}12A A A x =-；③()()12S A S A =，则称A 存在“双拆”．若x A ∀∈，A 均存在“双拆”，称A 可以“任意双拆”．(1)判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）；(2){}12345,,,,A a a a a a =，证明：A 不能“任意双拆”；(3)若A 可以“任意双拆”，求A 中元素个数的最小值．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(3)7【分析】（1）根据题中定义判断可得出结论；（2）不妨设12345a a a a a <<<<，利用反证法，通过讨论集合A 中去掉的元素，结合“任意双拆”的定义得出等式，推出矛盾，即可证得原结论成立；（3）分析可知集合A 中每个元素均为奇数，且集合A 中所有元素都为奇数，分析可知7n ≥，当7n =时，{}1,3,5,7,9,11,13A =，根据“任意分拆”的定义可判断集合A 可“任意分拆”，即可得出结论.【详解】（1）解：对于集合{}1,2,3,4，{}{}{}1,2,3,441,2,3-=，且123+=，所以，集合{}1,2,3,4可双拆，若在集合中去掉元素1，因为234+≠，243+≠，342+≠，故集合{}1,2,3,4不可“任意分拆”； 若集合{}1,3,5,7,9,11可以“双拆”，则在集合{}1,3,5,7,9,11去除任意一个元素形成新集合B ， 若存在集合1B 、2B 使得12B B =∅，12B B B =，()()12S B S B =，则()()()()1212S B S B S B S B =+=， 即集合B 中所有元素之和为偶数，事实上，集合B 中的元素为5个奇数，这5个奇数的和为奇数，不合乎题意，故集合{}1,3,5,7,9,11不可“双拆”.（2）证明：不妨设12345a a a a a <<<<.反证法：如果集合A 可以“任意双拆”，若去掉的元素为1a ，将集合{}2345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有2534a a a a +=+，①，或5234a a a a =++，②，若去掉的元素为2a ，将集合{}1345,,,a a a a 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有1534a a a a +=+，③，或5134a a a a =++，④，由①-③可得12a a =，矛盾；由②-③可得12a a =-，矛盾；由①-④可得12a a =-，矛盾；由②-④可得12a a =，矛盾.因此，当5n =时，集合A 一定不能“任意双拆”.（3）解：设集合{}12,,,n A a a a =. 由题意可知()()1,2,,i S A a i n -=均为偶数，因此()1,2,,i a i n =均为奇数或偶数.如果()S A 为奇数，则()1,2,,i a i n =也均为奇数，由于()12n S A a a a =+++，则n 为奇数； 如果()S A 为偶数，则()1,2,,i a i n =也均为偶数. 此时设2i i a b =，则{}12,,,n b b b 也是可“任意分拆”的，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“任意分拆”集，此时各项之和也为奇数，则集合A 中元素个数n 为奇数，综上所述，集合A 中的元素个数为奇数，当3n =时，显然集合{}123,,A a a a =不可“任意分拆”；当5n =时，由（2）可知，{}12345,,,,A a a a a a =不可“任意分拆”，故7n ≥.当7n =时，取集合{}1,3,5,7,9,11,13A =，因为35791113+++=+，19135711++=++，1351171313711913+++=++++=+，， 19113513++=++，3791513++=++，1359711+++=+，则集合A 可“任意分拆”，所以，集合A 中元素个数n 的最小值为7.【点睛】方法点睛：处理集合有关的新定义问题时，关键在于审清题意，合理将所给定义转化为元素与集合、集合与集合之间的关系来处理，本题在证明（2）中的结论时，要充分利用题中定义，结合反证法推出矛盾，进而得出结论成立.。
2022-2023学年辽宁省大连市庄河市高级中学高一上学期12月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年辽宁省大连市庄河市高级中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合{14}P x x =∈<N ∣，集合{}260Q x x x =--∣，则P Q =（ ） A ．(1,3] B ．{2，3} C ．{1，2，3} D ．(1,4]【答案】B【分析】首先解一元二次不等式求出集合Q ，再用列举法表示集合P ，最后根据交集的定义计算可得；【详解】解：由260x x --，即()()320x x -+，解得23x -≤≤，所以{}{}223|60|Q x x x x x =---≤=≤，又{}{14}2,3,4P x x =∈<=N ∣，所以2,3P Q，故选：B2．已知α为第三象限角，且5cos 13α=-，则tan α的值为（ ） A ．1213-B ．125C ．125-D ．1213【答案】B【分析】由同角三角函数的平方关系可得sin α，再由同角三角函数的商数关系即可得解. 【详解】∵α为第三象限角，且5cos 13α=-，∴12sin 13α==-， 故12sin 1213tan 5cos 513ααα-===-. 故选：B. 3．“1x >”是“11x<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可．【详解】解：因为11x<，所以10x x -<，(1)0x x ∴-<，(1)0x x ∴->，0x ∴<或1x >，当1x >时，0x <或1x >一定成立，所以“1x >”是“11x<”的充分条件；当0x <或1x >时，1x >不一定成立，所以“1x >”是“11x<”的不必要条件． 所以“1x >”是“11x<”的充分不必要条件． 故选：A4．已知函数()y f x =对任意12,x x ∈R ，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦成立，若()20.8a f =，()()0.82log 0.8,2b f c f ==，则,,a b c 之间的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b<c<aD ．a c b <<【答案】A【分析】由题意可得()f x 是增函数，再根据20.82log 0.80.82<<，即可求出答案.【详解】由对任意12,x x ∈R ，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，可得()f x 是增函数， 再由20.820.8(0,1),log 0.80,21∈<>，所以20.82log 0.80.82<<，所以b a c <<. 故选：A.5．若{}210,,a a ∈，则a 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】本题首先可根据{}210,,a a ∈得出1a =或21a =，然后对1a =、21a =进行分类讨论，即可得出结果.【详解】因为{}210,,a a ∈，所以1a =或21a =，若1a =，则21a a ，不满足元素的互异性，排除；若21a =，则1a =-或1（舍去），1a =-，此时集合为{}0,1,1-， 故选：A.【点睛】本题考查根据元素与集合的关系求参数，集合中的元素需要满足确定性、互异性以及无序性，考查计算能力，是简单题.6．已知函数()log 11a y x =-+（0a >且1a ≠）恒过定点()00,A x y ，且满足001mx ny +=，其中m ，n 是正实数，则21m n+的最小值（ ） A ．4 B．C ．9D【答案】C【分析】由对数函数解析式易知(2,1)A ，则有21m n +=，应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值即可，注意等号成立条件.【详解】由log (1)1a y x =-+过定点(2,1)， ∴21m n +=， ∴22(21(521)2)m n m n m n m n n m +=++=++59≥+=，当且仅当22m n n m =，即13m n ==时取等号． 故选：C ．7．下列函数是其定义域上的奇函数且在定义域上是增函数的是（ ） A ．21xy x =+B ．21x xy x +=+C ．y x =D ．1y x x=-【答案】C【分析】利用奇函数的定义判断，结合分式型函数、复合函数的单调性判断各函数是否符合要求即可.【详解】A ：函数定义域为R ，且22()()1()1x xf x f x x x --==-=-+-+，故为奇函数，当0x >时1()1f x x x=+，而1y x x =+在(0,1)上递减，(1,)+∞上递增， 故()f x 在(0,1)上递增，(1,)+∞上递减，易知：定义域上不是增函数，不符合； B ：函数定义域为{|1}x x ≠-，显然不关于原点对称，不为奇函数，不符合； C ：函数定义域为R ，且()()f x x f x -=-=-，故为奇函数，函数单调递增，符合； D ：函数定义域为{|0}x x ≠，且11()()()f x x x f x x x-=--=--=--，故为奇函数，函数分别在(,0)-∞、(0,)+∞上递增，整个定义域不递增，不符合.故选：C8．已知圆锥的表面积等于227cm π，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面的半径为（ ） A ．1cm B ．2cmC ．3cmD ．3c m 2【答案】C【分析】设圆锥的底面圆的半径为r ，母线长为l ，利用侧面展开图是一个半圆，求得l 与r 之间的关系，代入表面积公式即可得解.【详解】设圆锥的底面圆的半径为r ，母线长为l ， 圆锥的侧面展开图是一个半圆，22l r l r ππ∴=⇒=， 圆锥的表面积为27π，22327r rl r ππππ∴+==， 3r ∴=， 故圆锥的底面半径为3cm ， 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥的表面积公式及圆锥的侧面展开图，解题的关键是利用侧面展开图时一个半圆，求得母线长与半径的关系，考查学生的计算能力，属于一般题.9．已知函数()10,0{?,0x x f x lgx x -≤=>，函数()()()()24g x f x f x m m R =-+∈,若函数()g x 有四个零点，则实数m 的取值范围是 A ．[)lg5,4 B ．[)34， C ．[){}34lg5⋃， D ．(],4-∞【答案】B【详解】画出函数()10,0,0x x f x lgx x -⎧≤=⎨>⎩的图象如图所示．设()t f x =，由()()()240g x f x f x m =-+=，得240t t m -+=，由题意得方程240t t m -+=在[1,)+∞上有两个不同的实数解，所以216401410m m ∆=->⎧⎨-⨯+≥⎩，解得34m ≤<．点睛：已知方程解的个数（或函数零点的个数）求参数的取值范围时，可通过分离参数的方法将问题转化为求函数的值域问题处理；也可构造两个函数，在同一坐标系内画出两个函数的图象，利用数形结合的方法进行求解．二、多选题10．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）A ．()f x =()g x =B ．()f x x =与()g x =C ．()xf x x =与()1,01,0x g x x >⎧=⎨-<⎩D ．()21f x x x =-+与()21g t t t =-+【答案】BCD【分析】分别判断每组函数的定义域和对应关系是否一致即可.【详解】解：对于A 选项，函数()f x =(][),11,-∞-⋃+∞，()g x =定义域为[)1,+∞，故错误；对于B 选项，()f x x =与()g x =R ，且()g x x =，满足，故正确； 对于C 选项，函数()xf x x =与()1,01,0xg x x >⎧=⎨-<⎩的定义域均为{}0x x ≠，且()1,01,0x x f x x x >⎧==⎨-<⎩，满足，故正确；对于D 选项，()21f x x x =-+与()21g t t t =-+的定义域与对应关系均相同，故正确.故选：BCD11．已知函数)123f x =，则（ ）A ．()17f =B ．()225f x x x =+C ．()f x 的最小值为258-D ．()f x 的图象与x 轴只有1个交点 【答案】AD【分析】利用换元法求出()f x 的解析式，然后逐一判断即可.故()225f x x x =+，[)1,x ∞∈-+，()17f =，A 正确，B 错误.()2252525248f x x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，所以()f x 在[)1,-+∞上单调递增，()()min 13f x f =-=-，()f x 的图象与x 轴只有1个交点，C 错误，D 正确.故选：AD12．已知函数1|ln(2),2()12,22x x x f x x -⎧-⎪=⎨+≤⎪⎩，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的单调递增区间是[1,2][3,)+∞B ．若函数()()g x f x m =-恰有三个零点，则实数m 的取值范围是35,22⎧⎫⎛⎫+∞⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭C ．若函数()()g x f x m =-有四个零点123,,x x x ，4x ，则3355222212346,6x x x x e e e e --⎛⎤+++∈++++ ⎥⎝⎦D ．若函数2()[()]2()g x f x af x =-有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是35,44⎧⎫⎛⎫⋃+∞⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭【答案】BCD【分析】根据函数图象变换作出函数图象即可判断选项A ，数形结合将问题转化为()f x 的图象与直线y m =有三个交点即可判断选项B ，根据题意，作出图象，确定有四个交点时122x x +=，43122x x =+-，利用双勾函数性质求出34x x +的取值范围，即可求解选项C ，根据一元二次方程的根结合()f x 的图象，数形结合可判断选项D. 【详解】利用函数图象变换，作图如下：由图可知，函数()f x 的单调递增区间是[1,2],[3,)+∞，故A 错误； 函数()()g x f x m =-恰有三个零点，即()f x 的图象与直线y m =有三个交点，所以3m =或5m >，故B 正确；函数()()g x f x m =-有四个零点，则3522m <≤， 不妨设123x x x <<<4x ， 令3|ln(2)|2x -=，解得32e 2x -=+或32e 2+， 令5|ln(2)|2x -=，解得52e 2x -=+或52e 2+， 所以由图可知， 53352222123401,12,e2e2,e 2e 2x x x x --≤<<≤+≤<++<≤+，则有12|1||1|112222x x --+=+，即1211112222x x -+-+=+， 所以1211x x -+=-，所以122x x +=，34|ln(2)||ln(2)|x x -=-，即34ln(2)ln(2)x x --=-， 则43122x x =+-，所以3433331122422x x x x x x +=++=-++--， 设532232e ,e t x --⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭，则对钩函数1()4f t t t =++在5322e ,e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减，所以555333222222max ()(e )e e4,()(e )e e4f t f f t f ----==++>=++，所以335522224()4,f e e t e e --⎛⎤++++ ⎝∈⎥⎦，即33552242234,4x e e x e e --⎥+⎛⎤+++∈+ ⎝⎦又因为122x x +=，所以3355222212346,6x x x x e e e e --⎛⎤+++∈++++ ⎥⎝⎦，故C 正确；令2[()]2()0f x af x -=，解得()0f x =或()2f x a =， 由()0f x =解得3x =，所以()2f x a =有三个不同的解，由B 选项分析过程可知322a =，或522a >，解得34a =，或54a >，所以实数a 的取值范围是35,44⎧⎫⎛⎫⋃+∞⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭，故D 正确；故选:BCD.有三个交点，选项C 中，根据()f x 的图象与直线y m =有四个交点，确定四个零点分布的位置，并根据解析式确定122x x +=和43122x x =+-，利用换元思想将34x x +变为单变量函数，利用双勾函数性质求范围,属于综合性较强的问题.三、填空题13．已知函数()()2f x g x =()()⋅f x g x __________.【答案】()()(()2,f x g x x x =∈-+∞【分析】相乘后得到新函数，定义域需要也需要求解.【详解】()()2f x gx x ⋅=10x x +>⎧⎪⎨⎪⎩，所以(()2,x ∈-+∞.【点睛】利用已有的函数求解新的函数解析式时，一定要注意函数的定义域，若定义域非实数集一定要记得将定义域写在末尾.14．已知函数2()x f x e ax =-，对任意12,(,0)x x ∈-∞且12x x ≠，都有()()()()21210x x f x f x --<，则实数a 的取值范围是_______． 【答案】(,]2e-∞【分析】确定函数为偶函数，再判断函数的单调性得到2xe a x≤在(0,)+∞上恒成立，令()x e g x x =，求导得到单调区间，计算最值得到答案.【详解】|()|2||2()()()x x f x e a x e ax f x --=--=-=，即()f x 为偶函数， 又对120,0x x <<且12x x ≠，都有2121()(()())0x x f x f x --<， 知()f x 在(,0)-∞上单调递减，故()f x 在(0,)+∞上单调递增， 则当0x >时，()20x f x e ax '=-≥，即2xe a x≤在(0,)+∞上恒成立， 令()x e g x x =，0x >，则2(1)()x e x g x x '-=，当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减， ∴当1x =时，()g x 取得极小值也是最小值(1)1e g e ==， ∴2a e ≤，即2e a ≤．故答案为：(,]2e-∞．15．已知集合sin 2,,123A y y x x ππ⎧⎫⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，{}cos ,0B y y x x π==<<，则A B =_______．【答案】112⎛⎫⎪⎝⎭， 【分析】分别求两个集合，再求交集.【详解】,123x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，22,63x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1sin 2,12y x ⎛⎤∴=∈ ⎥⎝⎦，()0,x π∈ ()cos 1,1y x ∴=∈-，所以1,12A ⎛⎤= ⎥⎝⎦，()1,1B =-，所以1,12A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为：1,12⎛⎫⎪⎝⎭16．函数()2()lg 2f x x x =+-定义域是___________．【答案】(1,]2π-【解析】利用余弦函数的性质、结合对数的定义进行求解即可.【详解】由题意可知：2cos 022()12220212x k x k k Z x x x x πππππ⎧≥-≤≤+∈⎧⎪⇒⇒-<≤⎨⎨+->⎩⎪-<<⎩. 故答案为：(1,]2π-四、解答题17．计算：（1）112416254-⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）3332log 2log32log 8-+；（3） （4）2345log 3log 4log 5log 2⨯⨯⨯． 【答案】（1）1；（2）0；（3）18；（4）1.【解析】利用指数与对数的运算性质以及换底公式即可求解. 【详解】（1）11224162522514-⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭.（2）3333333342log 2log 32log 8log log 32log 8log 8log 10324⎛⎫-+=+=⨯== ⎪⎝⎭-.（3）111362233 1.512⨯⨯⨯⨯111136623233342⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭22318=⨯=.（4）234513141512log 3log 4log 5log 2112131415g g g g g g g g ⨯⨯⨯=⋅⋅⋅= 【点睛】本题考查了指数、对数的运算性质、换底公式，掌握运算性质是解题的关键，属于基础题. 18．画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图： （1）cos 2y x =+； （2）4sin y x =； （3）1cos32y x =；（4）π3sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析. 【分析】（1）根据五点法列表描点作图即可； （2）根据五点法列表描点作图即可； （3）根据五点法列表描点作图即可； （4）根据五点法列表描点作图即可； 【详解】解：（1）列表描点，并用光滑的曲线连接即可cos 2y x =+在[]0,2π上的图象，（2）列表 x2π π32π2πsin y x =0 10 1-0 4sin y x =4 04-描点，并用光滑的曲线连接即可得4sin y x =在[]0,2π上的图象，（3）列表3x2π π32π2πx6π3π 2π23π1cos32y x =1212-12描点，并用光滑的曲线连接即可得1cos32y x =在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象，（4）列表π26x -2π π32π2πx12π3π712π56π1312ππ3sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 033-描点，并用光滑的曲线连接即可得π3sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在13,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象，19．已知函数()243f x ax x =++．(1)若关于x 的不等式2430ax x ++>的解集为{}1x b x <<，求,a b 的值． (2)求关于x 的不等式()1f x ax >--的解集． 【答案】(1)7a =-；37b =-(2)答案见解析【分析】（1）由一元二次不等式解的特点可得1x =与x b =是方程2430ax x ++=的两根，由此可代入1x =求得7a =-，再将7a =-代入不等式求得37b =-；（2）由题意得()()410ax x ++>，对0a =，a<0，04a <<，4a =与4a >五种情况分类讨论即可得到结果.【详解】（1）因为2430ax x ++>的解集为{}1x b x <<， 所以1x =与x b =是方程2430ax x ++=的两根，且a<0， 将1x =代入2430ax x ++=，得430a ++=，则7a =-，所以不等式2430ax x ++>为27430x x -++>，转化为()()1730x x -+<， 所以原不等式解集为317xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣，所以37b =-.（2）因为()243f x ax x =++，所以由()1f x ax >--得2431ax x ax ++>--，整理得()2440ax a x +++>，即()()410ax x ++>，当0a =时，不等式为440x +>，故不等式的解集为{}1x x >-； 当0a ≠时，令()()410ax x ++=，解得4x a=-或=1x -， 当a<0时，()4410a a a ----=>，即41a ->-，故不等式的解集为41x x a ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭∣； 当04a <<时，41a -<-，故不等式的解集为4x x a ⎧<-⎨⎩或}1x >-；当4a =时，41a-=-，不等式为()210x +>，故其解集为{}1x x ≠-； 当4a >时，41a->-，故不等式的解集为{1x x <-或4x a ⎫>-⎬⎭；综上：①当a<0时，原不等式解集为41xx a ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭∣； ②当0a =时，原不等式解集为{}1x x >-；③当04a <<时，原不等式解集为4x x a ⎧<-⎨⎩或}1x >-；④当4a =时，原不等式解集为{}1x x ≠-； ⑤当4a >时，原不等式解集为{1x x <-或4x a ⎫>-⎬⎭.20．在①()()()b a b a c b c +-=-；②4AB AC ⋅=；③2sin 22cos122A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求ABC 的面积．问题：已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin C B =，2b =，_________？【答案】条件选择见解析，【分析】选①：结合正弦求出边c ，利用余弦定理求出角A ，结合三角形的面积公式即可求出结果； 选②：合正弦求出边c ，利用平面向量数量积的定义求出角A ，结合三角形的面积公式即可求出结果；选③：合正弦求出边c ，利用二倍角公式以及降幂公式得到关于角A 的方程，进而解方程求出角A ，结合三角形的面积公式即可求出结果；【详解】解：因为sin 2sin C B =，2b =，所以24c b ==， 选①：因为()()()b a b a c b c +-=-，所以222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，又因为(0,)A π∈，所以3A π=，所以ABC 的面积11sin 2422S bc A ==⨯⨯=选②：若4AB AC ⋅=，故||||cos 4AB AC A ⋅⋅=， 则1cos 2A =，∵(0,)A π∈，故3A π=，所以ABC 的面积11sin 2422S bc A ==⨯⨯=选③：若2sin 22cos 122A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则cos2cos 0A A +=， 故22cos cos 10A A +-=，解得1cos 2A =（cos 1A =-舍去）， ∵(0,)A π∈，故3A π=．所以ABC 的面积11sin 2422S bc A ==⨯⨯=21．若{},0,1A a =-，1,,1B c b b a ⎧⎫=+⎨⎬+⎩⎭，且A B =，()2f x ax bx c =++. （1）求()f x 解析式；（2）若[]1,2x ∈-时，求()f x 的值域；（3）若[]1,x m ∈时，()[]1,f x m ∈，求实数m 的值.【答案】(1)()222f x x x =-+；(2)[] 1,5；(3)2. 【分析】（1）由集合相等，可求得,,a b c ，从而求得函数解析式； （2）简单二次函数的值域求解，配方即可；（3）由对称轴知，二次函数在该区间上单调递增，则该二次函数过点()1,1和(),m m ，解方即可. 【详解】（1）由A B =，可得：1a =，1b a +=-，0b c +=，解得：1,2,2a b c ==-=，故：()222f x x x =-+.（2）()222f x x x =-+=()211x -+故：当1x =时，取得最小值1； 当1x =-时，取得最大值5.故该函数的值域为[]1,5.（3）由解析式可得，对称轴为：1x =， 故该二次函数在[]1,m 上单调递增，故： ()()11f f m m ⎧=⎪⎨=⎪⎩整理得21122m m m =⎧⎨-+=⎩ 解得1m =或2m =，又1m >， 故2m =.【点睛】本题考查集合的相等、二次函数的值域、二次函数的基本性质，属基础题.22．某工厂第一季度某产品月生产量分别为100件､120件､130件.为了估测以后每个月的产量，以这3个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y （单位：件）与月份x 的关系.模拟函数可以选用二次函数或函数x y ab c =+（其中a ，b ，c 为常数）.已知4月份的产量为136件，问：用以上哪个函数作为模拟函数较好？为什么？【答案】135件比130件更接近于4月份的产量136件，选用指数型函数，()800.5140x g x =-⨯+作为模拟函数较好.【分析】利用待定系数法得到函数的表达式，即可作出判断.【详解】解：选二次函数作为模拟函数时，设2()(0)f x px qx r p =++≠，由已知1004212093130p q r p q r p q r ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得53570p q r =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，故2()53570f x x x =-++，2(4)5435470130f =-⨯+⨯+=件；选指数型函数()(0)x g x ab c a =+≠作为模拟函数时，由已知23100120130ab c ab c ab c +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得800.5140a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，故()800.5140x g x =-⨯+，4(4)800.5140135g =-⨯+=件，经比较可知，135件比130件更接近于4月份的产量136件，故选用指数型函数 ()800.5140x g x =-⨯+作为模拟函数较好.。
河北省唐山市第一中学2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题及答案
河北省唐山市第一中学2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若函数2x y m =+的图像不经过第二象限，则m 的取值范围是（ ） A ．m 1≥B ．1m <C ．1m >-D ．1m ≤-2．下列函数中，以π为最小正周期且在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减的是（ ）A ．sin 2y x =B ．cos y x =C ．tan y x =D ．cos 2xy =3．设()2ln 2ln 30x x --=的两根是α、β，则log log αββα+=（ ） A ．310-B ．310C ．103-D ．1034．设1234a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln1.5b =，3423c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小顺序是（ ）A ．c<a<bB ．c b a <<C ．a c b <<D ．b<c<a5．已知函数()f x 在区间()0,3上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，若()00f >，()()()1230f f f <，则下列命题不正确的是（ ） A ．函数()f x 的两个零点可以分别在区间()0,1和()1,2内 B ．函数()f x 的两个零点可以分别在区间()1,2和()2,3内 C ．函数()f x 的两个零点可以分别在区间()0,1和()2,3内 D ．函数()f x 的两个零点不可能同时在区间()1,2内6．函数6cos y x =与=y x 在()0,π上的图象相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，则MON △的面积为（ ）A ．2πB C D ．3π27．已知函数()cos()cos(2)f x x x αα=+++为奇函数，则α的值可能为（ ）． A ．0B ．6πC ．4π D ．3π 8．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()22f x f x +=-，当[]2,0x ∈-时，()1xf x =-⎝⎭，则在区间()0,2022内关于x 的方程2022()log (2)0f x x -+=解的个数为（ ） A ．1009B ．1010C ．1011D ．1012二、多选题 9．已知函数()f x =()()sin sin f f αα--的化简的结果可能是（ ） A ．2tan α-B ．2tan αC ．2cos αD ．2cos α-10．（多选）已知函数()12e ,023,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，则()f x 的单调区间有（ ）A ．(),1-∞-B ．()0,∞+C ．()1,1-D ．()1,+∞11．已知22sin(3)cos(5)()3cos sin 22f παπααππαα-+=⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列说法正确的是（ ） A ．()y f x =为奇函数 B ．6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值大于零C ．若tan 2α=，则2()5f α=D ．若12()25f α，()0,απ∈，则7sin cos 5αα-=12．（多选）已知函数()2()ln 1f x x bx b =--+，下列说法正确的有（ ）A ．当1b =时，函数()f x 的定义域为RB ．当1b =时，函数()f x 的值域为RC ．函数()f x 有最小值的充要条件为：2440b b +-<D ．()f x 是偶函数的充要条件是0b =三、填空题13．函数111242xx y -⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，[]2,1x ∈-的值域为______.14．已知函数()2()log 32a f x x ax a =-+-在区间()1,+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是______.15．如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若2AB =，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为______.四、解答题16．已知函数()22xf x x =+，则不等式()2cos 3f x <在[]0,2π上的解集为______.17．(1)3=，求33221122a a a a --++的值；(2)计算：2552lg4lg log 5log 48++⋅.18．已知函数()()33x f x k a b ⋅=++-(0a >，且1a ≠)是指数函数. (1)求k ，b 的值；(2)求解不等式()()2743f x f x ->-. 19．已知函数1()sin 223πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R .(1)求()f x 的最小正周期及单调递增区间；(2)当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值以及取得最小值时x 的值.20．自2020年1月以来，新冠肺炎疫情仍在世界许多国家肆虐，并且出现了传播能力强，传染速度更快的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戌”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．2022年8月，奥密克戎BA ．5．1．3变异毒株再次入侵海南，为了更清楚了解该变异毒株，某科研机构对该变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间T 进行一次记录，用x 表示经过单位时间的个数，用y 表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：若该变异毒株的数量y （单位：万个）与经过()*x x N ∈个单位时间T 的关系有两个函数模型()20y Ax B A =+≠与()0,1xy ka k a =>>可供选择．(1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；(2)求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于十亿个．（参考数据：2.449，lg 20.301,lg60.778≈≈）21．设函数()21x xa t f x a -+=(0a >且1a ≠)是定义在R 上的奇函数.（1）若()10f >，求使不等式()()2220f x x f x k -+->对x ∈R 恒成立的实数k 的取值范围；（2）设函数()f x 的图像过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，函数()()()log 1a g x f x =+.若对于任意的[]12,0,1x x ∈，都有()()12g x g x M -≤，求M 的最小值. 22．已知函数()log sin 4a f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（0a >，且1a ≠）满足1(4)(2)2f f =-.(1)求a 的值；(2)求证：()f x 在定义域内有且只有一个零点0x ，且02sin 40522x x π⎛⎫⎪⎝⎭+<.参考答案：1．D【分析】先根据指数函数性质得函数2x y m =+过点(0,1)m +,再根据题意列不等式，解得结果.【详解】指数函数2x y =过点(0,1),则函数2x y m =+过点(0,1)m +, 若图像不经过第二象限,则10m +≤, 即1m ≤-, 故选：D【点睛】本题考查指数函数图象及其应用，考查数形结合思想方法，属基础题. 2．B【分析】根据三角函数的最小正周期、单调性对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】A 选项，对于函数sin 2y x =，由π02x <<得02πx <<， 所以sin 2y x =不满足“区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减”，A 选项错误.B 选项，对于函数cos y x =，根据函数cos y x =的图象可知，函数的最小正周期为π， 且函数在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，符合题意，B 选项正确.C 选项，对于函数tan y x =，其在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，不符合题意，C 选项错误.D 选项，对于函数cos 2xy =，最小正周期2π4π12T ==，不符合题意，D 选项错误.故选：B 3．C【分析】求得,αβ，结合对数运算求得正确答案.【详解】由()()()2ln 2ln 3ln 3ln 10x x x x --=-+=得ln 3x =或ln 1x =-，解得3e x =或1e x -=，不妨设31e ,e αβ-==， 所以3113e e 110log log log e log e 333αββα--+=+=--=-. 故选：C 4．D【分析】利用幂函数与对数函数的单调性即可得解.【详解】因为1124390416a ⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3144280327c ⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0981627116>>>， 又因为14y x =在()0,∞+上单调递增，所以11144498111627162⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即12a c >>， 因为9 2.25e 4=<，所以123e 2<，又因为ln y x =在()0,∞+上单调递增，所以123ln ln e 2<，即1ln1.52b =<，综上：b<c<a . 故选：D. 5．C【分析】对于A ，令()10f <，()20f >，()30f >，即可判断； 对于B ，令()10f >，()20f <，()30f >，即可判断；对于C ，假设函数()f x 的两个零点分别在区间()0,1和()2,3内，得到与()()()1230f f f <矛盾的结论，即可判断；对于D ，假设函数()f x 的两个零点都在区间()1,2内，则会得与()()()1230f f f <矛盾的结论，即可判断.【详解】对于A ，由()00f >，()()()1230f f f <，令()10f <，()20f >，()30f >，则可得函数()f x 的两个零点可以分别在区间()0,1和()1,2内，故正确；对于B ，由()00f >，()()()1230f f f <，令()10f >，()20f <，()30f >，则可得函数()f x 的两个零点可以分别在区间()1,2和()2,3内，故正确；对于C ，由()00f >，且函数()f x 的两个零点分别在区间()0,1和()2,3内，则必有()10f <，()20f <，()30f >与()()()1230f f f <矛盾，故错误；对于D ，如果函数()f x 的两个零点都在区间()1,2内，又因为()00f >，则必有()10f >，()20f >，进而有()30f >，与()()()1230f f f <矛盾，所以函数()f x 的两个零点不可能同时在区间()1,2内，故正确. 故选：C. 6．D【分析】通过解三角方程求得,M N 的坐标，从而求得MON △的面积. 【详解】依题意，0πx <<，则sin 0x >由6cos x x =，得6cos x =26cos x x =，()261sin x x -.2sin 0x x +-=，()2sin 20x x +=，解得sin x =π3M x =或2π3N x =（不妨设M N x x <），所以π2π6cos3,6cos 333M N y y ====-， 所以π2π,3,,333M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，线段MN 中点坐标为π,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1π3π32222MON S ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 故选：D7．D【详解】取x =0，f (0)=cos α+cos2α， 对于选项A ，()0cos0cos00f =+≠， 对于选项B ，()0cos cos 063f ππ=+≠， 对于选项C ，()0cos cos 042f ππ=+≠，对于选项D ，()20coscos033f ππ=+=， 只有D 选项符合奇函数的性质． 故选：D. 8．B【分析】将在区间()0,2022内关于x 的方程2022()log (2)0f x x -+=解的个数，转化为2022()log (2)f x x =+的交点个数，根据已知条件可得函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且周期为4，画出在区间[]2,10-的函数图像，数形结合即可求出交点个数.【详解】解：已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当[]2,0x ∈-时，()1xf x =-⎝⎭，则2(2)11f --=-=⎝⎭，0(0)10f =-=⎝⎭， 又()()22f x f x +=-，则()()()()()()2222x f f x f x f x =++--=+=即()()4f x f x =+，可知函数()f x 的周期为4，值域为[]0,1，求在区间()0,2022内关于x 的方程2022()log (2)0f x x -+=解的个数，即为求2022()log (2)f x x =+的交点个数，令2022()log (2)g x x =+，有2022(1)log (12)0g -=-+=，2022(2020)log (20202)1g =+=，由以上分析，画出函数()f x 和()g x 在区间[]22-,的大致图像，如下图所示，可得在区间()0,2有一个交点，区间()2,4有一个交点，以此类推， 所以在区间(]0,2020有202010102=个交点， 在区间()2020,2022内，()1g x >，与函数()f x 无交点，所以在区间()0,2022内关于x 的方程2022()log (2)0f x x -+=解的个数为1010， 故选：B. 9．AB【分析】由题意可得sin [1,1)α∈-，根据同解的平方关系可得1sin (sin )|cos |f ααα+=，1sin (sin )|cos |f ααα--=，于是有()()sin sin f f αα--=2sin |cos |αα，再分cos 0α>，cos 0α<去绝对值即可得答案.【详解】解：因为()f x = 所以1<1x ≤-，即函数()f x 的定义域为：[1,1)-，所以1sin (sin )|cos |f ααα+==，1sin (sin )|cos |f ααα--，所以()()sin sin f f αα--=1sin |cos |αα+-1sin |cos |αα-=2tan ,cos 02sin 2tan ,cos 0cos αααααα>⎧=⎨-<⎩.故选：AB. 10．ACD【分析】化简()f x 的解析式，结合指数函数、二次函数的知识求得正确答案.【详解】()12e ,023,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩()112e ,1e ,0114,0x x x x x x --+⎧≥⎪⎪=<<⎨⎪-++≤⎪⎩， 所以()f x 在区间()1,+∞、(),1-∞-上单调递增； 在区间()()1,0,0,1-上单调递减. 由于01e e +=，()20143e -++=>， 所以()f x 在区间()1,1-上单调递减. 故选：ACD 11．AD【分析】利用诱导公式化简得()sin cos f ααα=-，可求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值，根据奇函数的定义即可判断()y f x =是否为奇函数，构造齐次式方程，代入tan 2α=，即可求出()f α的值，利用同角三角函数的平方关系，即可求出7sin cos 5αα-=±，再根据三角函数值的正负，即可求出结果. 【详解】解：()2222sin cos sin(3)cos(5)()sin cos 3sin cos cos sin 22f ααπαπααααππαααα⋅--+===-+⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()sin cos f x x x =-，()y f x =的定义域为R ，(0)sin 0cos00f =-=，且()()()sin()cos()sin cos sin cos f x x x x x x x f x -=---=--==-，()y f x ∴=为奇函数，A 选项正确；πππ1()sin cos 06662f =-=-=，B 选项错误；2222sin cos tan 22()sin cos sin cos tan 1215f ααααααααα---=-====-+++，C 选项错误；若12()sin cos 25f ααα=-=， 则()2221249sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos 122525αααααααα-=+-=-=+⨯=，即7sin cos 5αα-=±，()0,απ∈，sin 0α∴>，而12sin cos 025αα-=>，cos 0α∴<， 则7sin cos 5αα-=，D 选项正确； 故选：AD. 12．BCD【分析】结合对数函数的性质、充要条件、偶函数等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】当1b =时，()()2ln f x x x =-，由()210x x x x -=->解得0x <或1x >，所以()f x 的定义域为{|0x x <或}1x >，A 选项错误.由于2x x -的范围是()0,∞+，所以()()2ln f x x x =-的值域为R ，B 选项正确.由于2221124b b x bx b x b ⎛⎫--+=---+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 有最小值⇔2104b b --+>，整理得2440b b +-<，C 选项正确.由于偶函数的图象关于y 轴对称，若函数()f x 是偶函数，则0,02bb ==；若0b =，()()2ln 1f x x =+，定义域为R ，且()()()2ln 1f x x f x -=+=，即()f x 为偶函数，所以()f x 是偶函数的充要条件是0b =，D 选项正确. 故选：BCD 13．[]1,10【分析】利用换元法，结合指数函数、二次函数的知识求得正确答案.【详解】令12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由于21x -≤≤，所以11,422xt ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则()221221142y t t t t ⎛⎫=-+=-+≤≤ ⎪⎝⎭，根据二次函数的性质可知，当1t =时，min 1y =；当4t =时，max 10y =，所以函数111242x x y -⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，[]2,1x ∈-的值域为[]1,10.故答案为：[]1,10 14．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】利用复合函数的单调性，结合对数函数与二次函数的单调性即可得解.【详解】令()232g x x ax a =-+-，则()g x 开口向上，对称轴为2a x =， 因为()()2()log 32log a a f x x a g x x a =-+-=在()1,+∞上单调递减，所以()g x 在()1,+∞上只有一个单调区间，则()g x 在()1,+∞上单调递增， 故12a≤，即2a ≤， 又由对数函数的定义域可知()0g x >在()1,+∞上恒成立，则()()10g x g >≥， 即211320a a -⨯+-≥，故12a ≥， 又因为()()log a g x f x =在()1,+∞上单调递减，()g x 在()1,+∞上单调递增， 所以log a y x =在()0,∞+上单调递减，故01a <<， 综上：112a ≤<，即1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 故答案为：1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭.15．2π-【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积等于三块扇形的面积相 加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可. 【详解】解：过A 作AD BC ⊥于D ，ABC 是等边三角形， 2AB AC BC ∴===，60BAC ABC ACB ︒∠=∠=∠=，AD BC ⊥，1BD CD ∴==，AD =11222ABCSBC AD ∴=⋅=⨯= 扇形BAC 的面积260π22π3603S ⨯==，∴莱洛三角形的面积为：23223ππ⨯--故答案为：2π-. 16．π2π4π5π,,3333⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】根据函数的奇偶性和单调性，列出不等式，解之即可.【详解】因为2()2xf x x =+的定义域为R ，定义域关于原点对称，又22()2()2()x xf x x x f x --=+-=+=，所以函数()f x 为偶函数，当0x >时，函数2()2x f x x =+在(0,)+∞上单调递增，且(1)3f =， 所以函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增， 又因为不等式()2cos 3f x <，也即()2cos (1)f x f <， 所以2cos 1x <，则11cos 22x -<<，因为[0,2π]x ∈，所以π2π4π5π,,3333x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：π2π4π5π,,3333⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.17．(1)6 (2)3【分析】（1）根据指数与根式的互化，以及指数的运算法则，即可求值； （2）根据对数的运算和换底公式，即可求解.【详解】（13=，即11223a a -+=， 311322327a a -⎛⎫∴+== ⎪⎝⎭，即()2111111331111222222222223273a a a a a a a a a a a a ------⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎭⎛⎫++=+++⎝⎝⎝⎭+ ⎪⎭， 所以3311222227327918a aa a --⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭++，则332211221863a a a a--+==+. （2）解：原式22222log 455lg 4lg log 5lg 16log 48log 58⎛⎫⎛⎫=++⋅=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22lg10log 2123=+=+=. 18．(1)2k =-，3b = (2)答案见解析【分析】（1）根据指数函数的定义列出方程，即可得解；（2）分1a >和01a <<两种情况讨论，结合指数函数的单调性即可得解.【详解】（1）解：因为()()33xf x k a b =++-(0a >，且1a ≠)是指数函数，所以31k +=，30b -=， 所以2k =-，3b =；（2）解：由（1）得()xf x a =(0a >，且1a ≠)，①当1a >时，()xf x a =在R 上单调递增，则由()()2743f x f x ->-， 可得2743x x ->-，解得<2x -；①当01a <<时，()xf x a =在R 上单调递减，则由()()2743f x f x ->-， 可得2743x x -<-，解得2x >-，综上可知，当1a >时，原不等式的解集为(),2-∞-； 当01a <<时，原不等式的解集为()2,-+∞.19．(1)最小正周期为π，单调递增区间是π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈(2)最小值为12-，此时π12x =-.【分析】（1）利用三角函数最小正周期公式求得()f x 的最小正周期；利用整体代入法求得()f x 的单调递增区间.（2）根据三角函数最值的求法求得()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值以及此时对应的x 的值.【详解】（1）依题意，1()sin 223πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以最小正周期2ππ2T ==；由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，解得1212k x k π5ππ-≤≤π+，Z k ∈， 所以()f x 在区间π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈上单调递增.（2）ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，π5ππ2,366x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以π1sin 21,32x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以1π11sin 2,2324x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为12-，由ππ232x -=-可求得此时π12x =-.20．(1)函数()0,1xy ka k a =>>更合适，解析式为2xy =⋅(2)14【分析】（1）将2x =，10y =和4x =，50y =分别代入两种模型求解解析式，再根据6x =的值，即可判断；（2）设至少需要x个单位时间，则2100000x≥，再结合对数函数的公式，即可求解．【详解】（1）若选()20y px q p =+>，将2x =，10y =和4x =，50y =代入可得，4101650p q p q +=⎧⎨+=⎩，解得103103p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 故2101033y x =-， 将6x =代入2101033y x =-，250y ≠，不符合题意， 若选()0,1xy ka k a =>>，将2x =，10y =和4x =，50y =代入可得，241050ka ka ⎧=⎨=⎩，解得2k a =⎧⎪⎨=⎪⎩2xy =⋅，将6x =代入2xy =⋅可得250y =，符合题意，综上所述，选择函数()0,1xy ka k a =>>更合适，解析式为2xy =⋅.（2）设至少需要x 个单位时间，则2100000x≥，即50000x≥，两边同时取对数可得，lg 54x +，则()442213.4411lg51lg 222x ≥+=+≈-，①*x ∈N ，①x 的最小值为14，故至少经过14个单位时间该病毒的数量不少于十亿个． 21．（1）112k <-；（2）最小值为25log 2. 【解析】（1）根据()f x 是奇函数可求得2t =，由()10f >可得1a >，继而判断()f x 是增函数，将不等式化为()()222f x x f k x ->-，利用单调性可得230x x k -->对x ∈R 恒成立，即可求解；（2）由点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭求得2a =，可判断()g x 在[]0,1x ∈上单调递增，进而可得()()max min M g x g x ≥-，求出()g x 的最大最小值即可.【详解】解：（1）①()f x 是定义在R 上的奇函数， ①()00f =，①20-=t ，解得2t =，则()21x x a f x a -=，此时()()2211x x x xx xf a a a a x f a ax ------===--=，满足题意， 而()()2220f x x f x k -+->等价于()()()2222f x x f x k f k x ->--=-，若()10f >，则210a a->，结合0a >且1a ≠，解得1a >， 则()()2111x xx x a f x a a a a-==->为增函数，结合()()222f x x f k x ->-，可得222x x k x ->-，根据题意，230x x k -->对x ∈R 恒成立， 则1120k ∆=+<，解得112k <-； （2）①函数()f x 的图像过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，①()21312a f a -==， 解得1a =-(不符，舍去)或2a =， ①()21log 212x x g x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，1212x x y -=+在[]0,1x ∈上单调递增，∴()g x 在[]0,1x ∈上单调递增，①对于任意的[]12,0,1x x ∈，都有()()12g x g x M -≤，且()g x 在区间[]0,1上恒有()0g x >，①()()max min M g x g x ≥-， 则()()min 00g x g ==，()()2max 51log 2g x g ==， 则2255log 0log 22M ≥-=，即M 的最小值为25log 2. 【点睛】本题考查利用奇偶性解不等式，解题的关键是判断出函数的单调性，利用奇函数的性质将不等式化为()()222f x x f k x ->-，利用单调性求解.22．(1)4a =； (2)证明见解析.【分析】（1）由题可得1log 4log 22a a =+，即求； （2）分类讨论结合对数函数的性质、正弦函数的性质及零点存在定理可得函数()f x 在定义域内有且只有一个零点0x ，利用对数的运算可得02sin 400012x x x x π+=+，再利用对勾函数的性质即得.【详解】（1）因为1(4)(2)2f f =-， 所以1log 4sin log 2sin22a a ππ+=+-，即1log 4log 22a a =+， 解得4a =.（2）由题意可知函数4()log sin4f x x x π=+的图象在(0,)+∞上连续不断.①当2(]0,x ∈时，因为4log y x =与sin 4y x π=在(0,2]上单调递增，所以()f x 在(0,2]上单调递增.又因为4111log sin sin sin sin 0,(1)sin022882864f f πππππ⎛⎫=+=-=-<=> ⎪⎝⎭，所以1(1)02f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭.根据函数零点存在定理，存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x =，所以()f x 在(0,2]上有且只有一个零点0x . ①当(2,4]x ∈时，4log 0,sin 04x x π>≥，所以4()log sin04f x x x π=+>，所以()f x 在(2,4]上没有零点. ①当(4,)x ∈+∞时，4log 1,sin 14x x π>≥-，所以4()log sin04f x x x π=+>，所以()f x 在(4,)+∞上没有零点.综上所述，()f x 在定义域(0,)+∞上有且只有一个零点0x . 因为()0400log sin 04f x x x π=+=，即040sinlog 4x x π=-.所以0402sin log 4000001124,,12x x x x x x x π-⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭， 又因为1y x x =+在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 所以00115222x x +<+=，即02sin 40522x x π⎛⎫ ⎪⎝⎭+<. 【点睛】关键点点睛：对x 分类讨论时，①当2(]0,x ∈时，函数4log y x =与sin4y x π=在(0,2]上单调递增，结合零点存在定理可得函数有且只有一个零点；①当(2,4]x ∈时()0f x >，函数()f x 没有零点；①当(4,)x ∈+∞时()0f x >，函数()f x 没有零点.。
北京市东城区2023-2024学年高一上学期12月月考数学模拟试题(含答案)
北京市东城区2023-2024学年高一上学期12月月考数学模拟试题1．已知集合，，则（ ）{}51A x x =-<≤{}29B x x =≤A B ⋃=A ．B ．C ．D ．[)3,1-[]3,1-(]5,3-[]3,3-2．已知函数()3sin 2f x x =，将函数()f x 的图象沿x 轴向右平移8π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．()π3sin 28g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()π3sin 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．D ．()π3sin 28g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()π3sin 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3．设0m n <<，则下列不等关系中不能成立的是（ ）A ．m n>B ．33m n<C ．11m n >D ．11m n m>-4．已知函数26()(1)f x x x =+-，则下列区间中含有()f x 的零点的是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)5．已知0.50.65log 0.5,5,0.5a b c ===，则（ ）A ．a c b<<B ．a b c <<C ．c<a<b D ．b<c<a 6．下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）A ．2xy =B ．ln ||y x =C ．3y x =D ．tan y x=7．设x ∈R ，则“()10x x +>”是“01x <<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．设()f x 是奇函数，且在()0,∞+内是减函数，又()30f -=，则()0x f x ⋅<的解集是（ ）A ．{30xx -<<∣或3}x >B ．{3xx <-∣或03}x <<C ．{30x x -<<∣或03}x <<D ．或{3xx <-∣3}x >9．已知函数()()1104f x x x x =++>，则（ ）A ．当且仅当12x =，时，()f x 有最小值32B ．当且仅当12x =时，()f x 有最小值2C ．当且仅当1x =时，()f x 有最小值32D ．当且仅当1x =时，()f x 有最小值.210．已知函数()y f x =图象是连续不断的，并且是R 上的增函数，有如下的对应值表A ．()00f <B ．当2x >时，()0f x >C ．函数()f x 有且仅有一个零点D ．函数()()g x f x x=+可能无零点11．函数(01)||x xa y a x =<<的图像的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．12．分贝（dB ）、奈培（Np ）均可用来量化声音的响度，其定义式分别为01dB =10lgA A ，011Np =ln 2A A ，其中A 为待测值，0A 为基准值．如果1dB =Np(R)t t ∈，那么t ≈（ ）（参考数据：lg e 0.4343≈）A ．8.686B ．4.343C ．0.8686D ．0.115二、填空题（本大题共6小题）13．命题“0x ∀>，20x>”的否定是．14．已知函数()38log xf x x=+，则13f ⎛⎫=⎪⎝⎭.15．函数()()ln 31x f x x +=+的定义域为.16．若函数()sin y A x ωϕ=+(0,0π)ωϕ>≤<的部分图象如图所示，则此函数的解析式为．17．已知函数21,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨+≤⎩，那么((3))f f -= ；当方程()f x a =有且仅有3个不同的根时，实数a 的取值范围是.18．设函数()f x 的定义域为D ，若()f x 满足：“1x D ∀∈，都存在2x D ∈，使得()()120f x f x +=”则称函数()f x 具有性质τ，给出下列四个结论：①函数()f x x =具有性质τ；②所有奇函数都具有性质τ；③若函数()f x 和函数都具有性质，则函数也具有性质；()g x τ()()f x g x +τ④若函数，具有性质，则.2()f x x a =+[2,1]x ∈-τ2a =-其中所有正确结论的序号是 .三、解答题（本大题共6小题）19．已知全集U =R ，{2A x x a =≤-或}x a ≥，{}250B x x x =-<．(1)当1a =时，求()U A B A B A B ⋂⋃⋂,,ð；(2)若A B B = ，求实数a 的取值范围．20．已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边经过点()1,3P -.(1)求sin2cos2tan2ααα、、的值；(2)求πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭、πtan 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(3)求sin 2cos 2cos 3sin αααα+-的值.21．设函数()2cos cos (02)f x x x x ωωωω=⋅+<<，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知.(1)求函数()f x 的解析式；(2)求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎣⎦上的值域；(3)求函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间.条件①：函数()f x 的图象经过点5π1,122⎛⎫⎪⎝⎭；条件②：函数()f x 的图象的一条对称轴为π6x =；条件③：函数()f x 的图象的相邻两个对称中心之间的距离为π2.22．已知函数()24x f x x =+.(1)判断函数()f x 奇偶性，并证明你的结论；(2)判断函数()f x 在()0,2上的单调性，并证明你的结论；(3)若在区间[]2,0-上不等式()f x m >恒成立，求m 的取值范围.23．函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭部分图象如图所示,已知41πx x -=.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知.(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 的最小正周期和对称轴方程；(3)设0α>,若函数()()g x f x α=+为奇函数,求α的最小值.条件①：1π12x =；条件②：2π6x =；条件③.3π2x =注：如果选择多个条件组合分别解答,则按第一个解答计分.24．设A 是实数集的非空子集，称集合{|,B uv u v A=∈且}u v ≠为集合A 的生成集．(1)当{}2,3,5A =时，写出集合A 的生成集B ；(2)若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，并说明理由．答案1．【正确答案】C【分析】解29x ≤得出集合B ，然后根据并集的运算，即可得出答案.【详解】解29x ≤可得，33x-≤≤，所以{}3|3B x x =-≤≤.所以，{}{}{}51|3353A B x x x x x x ⋃=-<≤⋃-≤≤=-<≤.故选：C.2．【正确答案】B【分析】根据平移变换的性质即可求解.【详解】将函数()f x 的图象沿x 轴向右平移π8个单位长度，得到ππ33si 2πn 88sin(24f x x x ⎛⎫⎛-=⎫=- ⎪⎪- ⎝⎭⎝⎭，故()π3sin 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选：B3．【正确答案】D【分析】利用不等式的性质判断ABC ，举反例判断 D.【详解】对于A ：0m n << ，0m n ∴->->，即m n>，A 正确；对于B ：0m n << ，33m n ∴<，B 正确；对于C ：0m n << ，0mn ∴>，m n mn mn ∴<，即11m n >，C 正确；对于D ：取2,1m n =-=-，满足0m n <<，但11112m n m =-<=--，D 错误.故选：D.4．【正确答案】B 【分析】先判断26()(1)f x x x =+-在(0,)+∞上递增，再根据零点存在性定理求解即可.【详解】因为函数26(,1)y x x y +==-在(0,)+∞上都递增，所以26()(1)f x x x =+-在(0,)+∞上递增，又因为()260(1)(11)201f f <=+-=-<，()4(3)f f >>26(2)(21)602f =+-=>，所以()1(2)0f f <，所以区间(1,2)含有()f x 的零点，故选：B.5．【正确答案】A【分析】利用指对数函数性质判断大小关系即可.【详解】由0.600.5055log 0.5log 100.55150.5a c b <==<=<<===，即a c b <<.故选：A6．【正确答案】C【分析】利用指数函数的图象与性质、对数函数的图象与性质、幂函数的图象与性质、正切函数的图象与性质分析即可得解.【详解】解：对于选项A ，指数函数2xy =是非奇非偶函数，故A 错误；对于选项B ，函数ln ||y x =是偶函数，故B 错误；对于选项C ，幂函数3y x =既是奇函数，又是定义域R 上的增函数，故C 正确；对于选项D ，正切函数tan y x =在每个周期内是增函数，在定义域上不是增函数，故D 错误.故选：C.7．【正确答案】B【分析】根据题意解出不等式比较两范围大小即可得出结果.【详解】解不等式()10x x +>可得0x >或1x <-；显然{}1|0x x <<是{0xx 或}1x <-的真子集，所以可得“()10x x +>”是“01x <<”的必要不充分条件.故选：B8．【正确答案】D【分析】根据题意，得到函数()f x 在(0,)+∞为减函数，且()30f =，结合不等式()0x f x ⋅<，分类讨论，即可求解.【详解】由函数()f x 是奇函数，且在()0,∞+内是减函数，可得函数()f x 在(),0∞-为减函数，又由()30f -=，可得()()330f f =--=，因为不等式()0x f x ⋅<，当0x >时，则()0f x <，解得3x >；当0x <时，则()0f x >，解得3x <-，所以不等式()0x f x ⋅<的解集为{3xx <-∣或3}x >.故选：D.9．【正确答案】B【分析】根据题意，由基本不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为0x >，则()11124f x x x =++≥=，当且仅当14x x =时，即12x =时，等号成立，所以当且仅当12x =时，()f x 有最小值 2.故选：B10．【正确答案】D【分析】根据函数的单调性，结合表格中的数据判断AB ；利用零点存在性定理判断CD.【详解】对于A ，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以()()010.240f f <=-<，正确；对于B ，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以当2x >时，()()2 1.210f x f >=>，正确；对于C ，因为函数()y f x =是R 上的增函数，()10f <且()20f >，即()()120f f <，所以函数()f x 有且仅有一个在区间()1,2的零点，正确；对于D ，因为函数()()g x f x x=+连续，且()()()()()0010,1110g f f g f =<<=+>，即()()010g g <，所以函数()()g x f x x=+在区间()0,1上一定存在零点，错误，故选：D.11．【正确答案】D【分析】化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案.【详解】根据01a <<(01)||xxa y a x =<<,0,0x xa x y a x ⎧>∴=⎨-<⎩ 01a <<，∴xy a =是减函数，x y a =-是增函数.(01)||x xa y a x =<<在(0)+∞，上单调递减，在()0-∞，上单调递增故选：D.本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12．【正确答案】A【分析】结合题意得到00110lgln 2A A t A A =⨯，再利用换元法与换底公式即可得解.【详解】因为01dB =10lgA A ，011Np =ln 2A A ，1dB =Np(R)t t ∈，所以00110lgln 2A A t A A =⨯，令0A x A =，则110lg ln 2x t x=⨯，所以lg ln e lg e2020lg 20lg 20lg e 200.43438.686ln ln lg x t x x x x x =⋅=⋅=⋅=≈⨯=.故选：A.13．【正确答案】000,20x x ∃>≤【分析】直接根据全称命题的否定为特称命题解答即可；【详解】命题“0x ∀>，20x>”为全称命题，又全称命题的否定为特称命题，故其否定为“000,20x x ∃>≤”故000,20x x ∃>≤14．【正确答案】1【分析】结合指数与对数的运算法则，计算即可.【详解】结合题意.()113333118log 2121133f ⎛⎫=+=-=-= ⎪⎝⎭故答案为.115．【正确答案】()()3,11,---+∞ 【分析】根据对数的真数大于零，分母不等于零列不等式求解.【详解】由已知得3010x x +>⎧⎨+≠⎩，解得3x >-且1x ≠-，即函数定义域为()()3,11,---+∞ .故答案为.()()3,11,---+∞ 16．【正确答案】π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【分析】根据图象，可得()3332A --==，πT =，图象过点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，且在π3x =附近单调递减.进而可求出2ω=，π22ππ,3k k ϕ⨯+=+∈Z ，根据ϕ的范围即可解出ϕ，进而得到解析式.【详解】由已知可得，函数最大值为3，最小值为-3，所以()3332A --==.又由图象知，5πππ2632T =-=，所以πT =.因为0ω>，所以2ππT ω==，所以2ω=，所以()3sin 2y x ϕ=+.又由图象可推得，图象过点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，且在π3x =附近单调递减，所以有π22ππ,3k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得π2π,3k k ϕ=+∈Z .又0πϕ≤<，所以.π3ϕ=所以，函数的解析式为.π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故答案为.π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭17．【正确答案】2[)0,1【分析】入解析式即可求出((3))f f -；方程()f x a =有且仅有3个不同的根即()y f x =与y a =的图象有3个交点，结合()y f x =图象，即可得出答案.【详解】因为()21,02,0x x f x x x x ⎧->=⎨+≤⎩，所以()()23363f -=--=，所以()((3))32f f f -==；画出函数()fx 的图象，方程()f x a =有且仅有3个不同的根即()y f x =与y a =的图象有3个交点，由图可得.01a ≤<故2；[)0,1.18．【正确答案】①②④【分析】根据函数具有性质τ，知函数的值域关于原点对称，从而依次判断得结论.【详解】由题知，若()f x 满足性质τ即：“1x D ∀∈，都存在2x D ∈，使得()()120f x f x +=”则()f x 的值域关于原点对称.对于①，函数()f x x =，值域为R 关于原点对称，显然具有性质τ，故正确；对于②，因为所有的奇函数对应定义域内任意x 的都有()()f x f x -=-，则值域关于原点对称，显然具有性质τ，故正确；对于③，设2()1f x x =-，x ⎡∈⎣，值域为[]1,1-，具有性质τ，()1g x =+，x ⎡∈⎣，值域为[]1,1-，具有性质τ，2()()f x g x x +=，x ⎡∈⎣，值域为，不具有性质，故错误；1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦τ对于④，若函数，具有性质，则的值域关于原点对称.2()f x x a =+[2,1]x ∈-τ()f x 又 ，时，的值域为，2()f x x a =+[2,1]x ∈-()f x [,4]a a +则，解得，故正确.40a a ++=2a =-故答案为:①②④.19．【正确答案】(1){}15A B x x ⋂=≤<，{1A B x x ⋃=≤-或}0x >，(){}01UA B x x ⋂=<<ð(2)(][),07,-∞+∞ 【分析】（1）代入数据计算得到集合A 和B ，再根据的交并补运算计算得到答案.（2）确定B A ⊆，再根据集合的包含关系计算得到答案.【详解】（1）1a =时，{1A x x =≤-或}1x ≥，{}{}25005B x x x x x =-<=<<，{}15A B x x ⋂=≤<，{1A B x x ⋃=≤-或}0x >，{}11U A x x =-<<ð，故(){}01UA B x x ⋂=<<ð.（2）A B B = ，则B A ⊆，{2A x x a =≤-或}x a ≥，{}05B x x =<<，则25a -≥或0a ≤，解得0a ≤或7a ≥，即(][),07,a ∈-∞+∞ .20．【正确答案】(1)343sin 2,cos 2,tan 2554ααα=-=-=(2)π1πtan ,tan 2424αα⎛⎫⎛⎫+=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3)111-【分析】(1)已知角α的终边上一点(),P x y ,则sin αα==再结合二倍角公式代入运算即可;(2)已知角α的终边上一点(),P x y ,则tan ,y x α=再结合正切两角和差公式运算即可;(3)通过sin tan ,cos ααα=构造齐次式分式,再代入正切值运算即可.【详解】（1） 角α的终边经过点()1,3P -,sin αα∴====3sin 22sin cos 2,5ααα⎛∴==⨯=- ⎝224cos 22cos 121,5αα=-=⨯-=-sin 23tan 2.cos 24ααα==（2）由题得3tan 3,1α-==-()πtan 1311tan ,41tan 132ααα+-+⎛⎫∴+===- ⎪---⎝⎭()πtan 131tan 2.41tan 13ααα---⎛⎫-=== ⎪++-⎝⎭（3）由(2)知tan 3,α=-()sin 2cos tan 2321.2cos 3sin 23tan 23311αααααα++-+∴===----⨯-21．【正确答案】(1)()1sin 262πf x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭;(2)30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦;(3)π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦,2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据三角函数的恒等变换可得()π1sin 262f x x ω⎛⎫=++⎪⎝⎭，分别选择条件①，②，③都可得到1ω=，从而可得()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭；（2）通过换元法并结合正弦函数的图象与单调性，求解值域即可.（3）通过换元法并结合正弦函数的单调性即可求解()f x 在[]0,π上的单调递增区间.【详解】（1）结合题意可得：()211cos cos 2cos 2,22f x x x x x x ωωωωω=⋅+=++所以()π1sin 2,(02)62f x x ωω⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭，若选条件①：因为函数()f x 的图象经过点5π1,122⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π5ππ11sin 21212622f ω⎛⎫⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即5ππsin 0sin π66k ω⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以5πππ,Z 66k k ω+=∈，即6155k ω=-，Z k ∈,因为02ω<<，所以当1k =时，1ω=,满足题意,故函数()f x 的解析式为()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭.若选条件②：因为函数()f x 的图象的一条对称轴为π6x =；所以πππ2π662k ω⨯+=+，Z k ∈,即31k ω=+,Z k ∈，因为02ω<<，所以当1k =时，1ω=,满足题意,故函数()f x 的解析式为()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭.若选条件③：因为函数()f x 的图象的相邻两个对称中心之间的距离为π2，所以π,22T =即πT =，由周期公式可得2ππ2T ω==，解得,满足题意,1ω=故函数的解析式为.()f x ()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭（2）由（1）问可得，()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭令，因为，所以，π26t x =+π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ππ7π2,666t x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦由的图象可知：1sin 2y t =+在上单调递增，在单调递减；1sin 2y t =+ππ,62⎡⎤⎢⎣⎦π7π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦当，即时，；π2t =π6x =()max ππ13sin 26622f x ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭当，即时，.7π6t =π2x =()minππ1sin 20262f x ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭所以在上的值域为.()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）由（1）问可得，()π1sin 262f x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭令，因为，所以，π26t x =+[]0,πx ∈ππ13π2,666t x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦由的图象可知：1sin 2y t =+①在上单调递增， 1sin 2y t =+ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，解得：，所以在单调递增；πππ2662x ≤+≤π06x ≤≤()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦②在单调递增，1sin 2y t =+3π13π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，解得：，所以在单调递增；63ππ13π262x ≤+≤2ππ3x ££()f x 2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦函数在上的单调递增区间为,.()f x []0,ππ0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦22．【正确答案】(1)奇函数，证明见解析(2)单调递增，证明见解析(3)14m <-【分析】（1）通过判断()(),f x f x -的关系得奇偶性；（2）任取()12,0,2x x ∈，且12x x >，通过计算()()12f x f x -的正负来确定单调性；（3）将恒成立问题转化为最值问题，利用奇偶性和单调性求出()f x 在区间[]2,0-上的最小值即可.【详解】（1）函数()f x 为奇函数．证明：由已知函数()24xf x x =+的定义域为R ，又()()()2244xxf x f x x x --==-=-+-+，所以函数()f x 为奇函数；（2）函数()f x 在()0,2上单调递增.证明：任取()12,0,2x x ∈，且12x x >，则()()()()()()()()()()22122121121212222222121212444444444x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++，因为()12,0,2x x ∈，且12x x >，所以1212400,x x x x <--<，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()f x 在()0,2上单调递增；（3）在区间[]2,0-上不等式()f x m >恒成立，即()min f x m >，又由（1）（2）得函数()f x 在[]2,0-上单调递增，故()()min 212444f x f -=-==-+，所以14m <-.23．【正确答案】(1)选择条件①②或者①③或者②③均可求得()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)最小正周期π,T =对称轴方程为ππ,Ζ32k x k =+∈(3)π12【分析】（1）根据图像得函数()f x 的一个周期为π,从而求得ω=2,选择两个条件,根据五点法求函数解析式参数的方法代入求解即可.（2）根据函数解析式,代入2π,T ω=求得最小正周期；根据正弦函数的对称轴为ππ,Ζ,2k k +∈代入求得()f x 的对称轴方程.（3）根据()g x 的解析式,结合()11sin sin ,Ζx k x k π+=±∈,可得若()g x 为奇函数,则π2π,Ζ,6k k α'='-∈再进行计算即可.【详解】（1）根据图像和41πx x -=,2ππ,0,2,T ωωω∴==>∴= ()()sin 2.f x A x ϕ∴=+若选条件①②,则根据五点法得1ππ20,,66x ϕϕϕ+=+=∴=-则()2ππsin 21,2,66f x A A ⎛⎫=⨯-=∴= ⎪⎝⎭()π2sin 2.6f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭若选条件①③,则根据五点法得1ππ20,,66x ϕϕϕ+=+=∴=-则()3ππsin 21,2,26f x A A ⎛⎫=⨯-=∴= ⎪⎝⎭()π2sin 2.6f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭若选条件②③,则当23π23x x x +==时,()f x 取得最大值A ,∴根据五点法得πππ2,,326ϕϕ⨯+=∴=-()2ππsin 21,2,66f x A A ⎛⎫∴=⨯-=∴= ⎪⎝⎭()π2sin 2.6f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭（2）()π2sin 2,6f x x ⎛⎫=-∴ ⎪⎝⎭ 最小正周期2ππ.2T ==令ππ2π,Ζ,62x k k -=+∈解得ππ,Ζ,32k x k =+∈∴()f x 的对称轴方程为ππ,Ζ.32k x k =+∈（3）由题得()()()ππ2sin 22sin 22,66g x f x x x ααα⎡⎤⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()g x 为奇函数,π2π,Ζ,6k k α∴'='-∈解得ππ,Ζ.122k k α''=+∈0,α>∴ 当0k '=时,α取得最小值π.1224．【正确答案】(1){}6,10,15B =(2)7(3)不存在，理由见解析【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，且123450a a a a a <<<<<，利用生成集的定义即可求解；（3）不存在，理由反证法说明.【详解】（1）{}2,3,5A =Q ，{}6,10,15B ∴=（2）设{}12345,,,,A a a a a a =，不妨设123450a a a a a <<<<<，因为41213141525355a a a a a a a a a a a a a a <<<<<<，所以B 中元素个数大于等于7个，又{}254132,2,2,2,2A =，{}34689572,2,2,2,2,2,2B =，此时B 中元素个数等于7个，所以生成集B 中元素个数的最小值为7.（3）不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合{},,,A a b c d =，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =，不妨设0a b c d <<<<，则集合A 的生成集{},,,,,B ab ac ad bc bd cd =则必有2,16ab cd ==，其4个正实数的乘积32abcd =；也有3,10ac bd ==，其4个正实数的乘积30abcd =，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集{}2,3,5,6,10,16B =关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A 的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.。
2022-2023学年江苏省连云港外国语学校高一年级上册学期12月第二次月考数学试题【含答案】
2022-2023学年江苏省连云港外国语学校高一上学期12月第二次月考数学试题一、单选题1．集合，，则（ ）{}11M x x =-<<{}02N x x =≤<M N ⋂=A ．B ．C ．D ．{}12x x -<<{}01x x ≤<{}01x x <<{}10x x -<<【答案】B【分析】根据集合交集的定义进行运算即可.【详解】在数轴上分别标出集合所表示的范围如图所示，,M N 由图象可知， .{}|01M N x x =≤< 故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.2．命题“存在实数x,，使x > 1”的否定是（ ）A ．对任意实数x, 都有x > 1B ．不存在实数x ，使x 1≤C ．对任意实数x, 都有x 1D ．存在实数x ，使x 1≤≤【答案】C【详解】解：特称命题的否定是全称命题，否定结论的同时需要改变量词．∵命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”故选C ．3．已知角的终边经过点，且，则m 等于（ ）θ()4,P m 4cos 5θ=A ．－3B ．3C ．D ．1633±【答案】D【分析】由三角函数的定义求解即可【详解】因为角的终边经过点，且，θ()4,P m 4cos 5θ=，45=解得，3m =±故选：D4．已知，若，则的大小关系为（ ）01x <<22log ,2,x a x b c x ===,,a b c A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c<a<b D ．c b a <<【答案】B【分析】根据指数函数对数函数及幂函数的性质，分别求出的范围，即可判断的大小关,,a b c ,,a b c 系.【详解】当时，，01x <<22log 0,2,101x x x ><<<故，a c b <<故选：B.5．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，1CD =2AB =则图中的长度为（ ）ACBA ．BC ．D 2ππ【答案】B【分析】设圆的半径为，根据勾股定理可求得的值，求出，利用扇形的弧长公式可求得r r AOB ∠结果.【详解】设圆的半径为，则，，r )1OD r CD r =-=-112AD AB ==由勾股定理可得，即，解得222OD AD OA +=)2211r r ⎡⎤-+=⎣⎦r =所以，，所以，，故，OA OB ==2AB =222OA OB AB +=2AOB π∠=因此，.2ACB π==故选：B.6．在同一直角坐标系中，函数，（，且）的图像可能是（ ）1xy a =1log ()2a y x =+0a >1a ≠A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】分类讨论与，然后每种情况利用指数函数和对数函数求解即可.01a <<1a >【详解】当时，则，由指数函数的性质可知单调递增，由对数函数的性质可知01a <<11a >1xy a =单调递减，且当时，，A,B,C,D 中，选项D 满足；1log (2a y x =+1x =13log (1)log 022a a y =+=<当时，则，由指数函数的性质可知单调递减，由对数函数的性质可知1a >101a <<1x y a =单调递増，且当时，，在选项A,B,C,D ，均不满足.1log (2a y x =+1x =13log (1)log 022a a y =+=>故选：D7．若θA ．B ．C ．D ．2tan θ2tan θ2tan θ-2tan θ-【答案】D【解析】根据同角三角函数的关系化简可求出.【详解】为第二象限角，，θsin 0θ∴>==1cos 1+cos sin sin θθθθ-=-.1cos 1+cos 2cos 2sin sin sin tan θθθθθθθ-=-=-=-故选：D.8．若函数是定义在上的奇函数，且对任意()()2,2x x bf x a b a +=∈+R R ()()()210f mx f mx f +->成立，则m 的取值范围为（ ）x ∈RA ．B ．C ．D ．[)0,4()0,4(-()2-【答案】A【分析】利用奇函数的定义求出的值，并证明函数在上单调递增，即可解抽象不等式,a b R ，转化为一元二次不等式的恒成立问题求解.()()()210f mx f mx f +->【详解】因为函数是定义在上的奇函数，()()2,2x x bf x a b a +=∈+R R 所以解得，所以，()002002b f a +==+1b =-()212x xf x a -=+又因为，()()0f x f x -+=所以即对任意恒成立， 21210,22x x x x a a ----+=++(21)(1)0(21)(2)x x x a a a --=⋅++x ∈R 所以，1a =所以，()21212121x x xf x -==-++接下来证明在上单调递增，()f x R 任意1212,,,x x x x ∈<R 则，12121221222(22)()()(1)(1)2121(21)(21)x x x x x x f x f x --=---=++++因为所以，所以，12,x x <2122x x >21()()f x f x >所以在上单调递增，()f x R 由得，，()()()210f mx f mx f +->()()210f mx f mx +->即，即，()()21f mx f mx >--()()21f mx f mx >-因为在上单调递增，所以，()f x R 21mx mx >-即对任意恒成立，210mx mx -+>x ∈R 若则恒成立；0,m =10>若则，解得，0,m ≠20Δ40m m m >⎧⎨=-<⎩04m <<综上04m ≤<所以m 的取值范围为.[)0,4故选:A.二、多选题9．若，则下列不等式中正确的是（ ）0a b <<A ．B ．22a b>11a b >C ．D ．122a b<<a b ab+<【答案】ABD【分析】根据不等式的性质结合指数函数的单调性比较大小即可求解.【详解】对于A ，因为，所以，0a b <<0a b ->->所以，即，故A 正确；()()22a b ->->22a b >对于B ，，因为，所以，11b a a b ab --=0a b <<0ab >且，所以，即，故B 正确；0b a ->0b a ab ->11a b >对于C ，根据指数函数在上单调递增，且可知，2xy =R 0a b <<，即，故C 错误；0222a b <<221a b <<对于D ，因为，所以 ，故D 正确.0a b <<0a b ab +<<故选:ABD.10．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则下列结论正确的是（ ）()f x R (),0∞-A ．在上单调递减()f x ()0,∞+B ．最多一个零点()f x C ．()()0.52log 3log 5f f >D ．若实数a 满足，则()(2af f >12a <【答案】ACD【分析】A.由偶函数在对称区间上的单调性判断；B.举例判断；C.由偶函数得到 ，再利用单调性判断；D. 由偶函数得到，再利用单调性求)()(0.52log 3log 3f f=(f f=解判断；【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上单调递增，)(f x R )(,0∞-所以在上单调递减，故A 正确；)(f x )(0,∞+如，令，得或，函数有2个零点，故B 错误；)(12log f x x=)(12log 0f x x ==1x ==1x -由偶函数得到 ，)()(0.52log 3log 3f f =因为，所以，故C 正确；22log 3log 5<)()(22log 3log 5f f >若实数a满足，即，则，解得，故D 正确；)((2a f f >)(2af f >1222a<=12a <故选：ACD11．下列说法不正确的是（ ）A ．若，，则的最大值为,0x y >2x y +=22x y+4B ．若，则函数的最大值为12x <1221y x x =+-1-C ．若，，，则的最小值为0x >0y >3x y xy ++=xy1D ．函数的最小值为y =4【答案】AC【分析】利用基本不等式及其变形处理.【详解】对于选项A ，，，，则，当且仅当，即0x >0y >2x y +=224x y +≥=22x y =时取等号，即的最小值为，即A 错误；x y =22x y +4对于选项B ，当，则函数12x <，当且仅当即时1221y x x =+-11211112x x ⎛⎫=--++≤-=- ⎪-⎝⎭11212x x -=-0x =取等号，即B 正确；对于选项C ，若，，，则，即，即，则的0x >0y >3x y xy ++=3xy +≤01<≤1xy ≤xy 最大值为，即C 错误；1对于选项D ，函数，当且仅当4y ==+≥=D 正确，=x =故选：AC.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查和的最值及乘积的最值，难度一般,解答时，注意“一正二定三相等”.12．已知函数，下列结论正确的是（ ）()()3log 1,11,13xx x f x x ⎧->⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩A ．若，则()1f a =4a =B ．202320222022f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．若，则或()3f a ≥1a ≤-28a ≥D ．若方程有两个不同的实数根，则()f x k=13k ≥【答案】BCD【分析】对A ，分段讨论求解即可；对B ，根据解析式先求出，再求出；20232022f ⎛⎫ ⎪⎝⎭20232022f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对C ，分段讨论解不等式可判断；对D ，画出函数图象，观察图象可得.【详解】对A ，若，则，解得；1a >()()3log 11f a a =-=4a =若，则，解得，故A 错误；1a ≤()113af a ⎛⎫== ⎪⎝⎭0a =对B ，，33202320231log 1log 202220222022f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，故B 正确；331log 2022log 20223202311log 32022202220223f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭对C ，若，则，解得；1a >()()3log 13f a a =-≥28a ≥若，则，解得，故C 正确；1a ≤()133af a ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭1a ≤-对D ，画出的函数图象，()f x方程有两个不同的实数根等价于与有两个不同的交点，()f x k=()y f x =y k =，则观察图象可得，故D 正确.()113f =13k ≥故选：BCD三、填空题13．已知角的终边经过点，且，则实数的值是______．θ()8,3P m --4cos 5θ=-m 【答案】##0.512【分析】根据三角函数的定义直接求解.【详解】根据三角函数的定义可知，4cos 5θ==-解得或，12m =-12m =又因为，所以即，所以.4cos 05θ=-<80m -<0m >12m =故答案为：.1214．已知，则__________________ ．tan 2α=sin cos sin cos αααα-=+【答案】13【分析】利用同角三角函数基本关系化弦为切，再将代入即可求解.tan 2α=【详解】，sin cos tan 1211sin cos tan 1213αααααα---===+++故答案为：.1315．函数_____________________．y =【答案】()52,2Z 66k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎣⎦【分析】由，可得，结合正弦函数的性质，即可得到所求定义域．2sin 10x -≥1sin 2x ≥【详解】解：依题意可得，2sin 10x -≥可得，解得，，1sin 2x ≥52266k x k ππππ+≤≤+Z k ∈所以函数的定义域为.()52,2Z 66k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦故答案为：．()52,2Z 66k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦16．已知函数满足，当时，，若不等式的解()f x ()()2f x f x =-1x ≥()22f x x =-()22f x a ->-集是集合的子集，则a 的取值范围是______．{}13x x <<【答案】24a ≤≤【分析】先由已知条件判断出函数的单调性，再把不等式转化为整式不等式，()f x ()22f x a ->-再利用子集的要求即可求得a 的取值范围.【详解】由可知，关于对称，()()2f x f x =-()f x 1x =又，当时，单调递减，()22f =-1x ≥()22f x x =-故不等式等价于，即，()22f x a ->-211x a --<122a ax <<+因为不等式解集是集合的子集，{}13x x <<所以，解得．12132aa ⎧≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩24a ≤≤故答案为：24a ≤≤四、解答题17．已知集合，．{}212200,RM x x x x =-+<∈{}1,R N x x m x =-<∈(1)当时，求；2m =M N ⋂(2)在①充分条件，②必要条件这两个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的m 存在，求出m 的取值范围；若问题中的m 不存在，请说明理由．问题：是否存在正实数m ，使得“”是“”的______？x M ∈x ∈N 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1){}23M N x x ⋂=<<(2)答案见解析【分析】（1）先解不等式求出集合，再求出两集合的交集即可，,M N （2）若选择①，则，从而可求出的范围；若选择②，则或，，从而12110m m m >⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩m 0m ≤012110m m m >⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩可得结果【详解】（1）由，得，解得，212200x x -+<()()2100x x --<210x <<所以，{}{}212200,R 210M x x x x x x =-+<∈=<<当时，，2m ={}12N x x =-<由，得，解得，12x -<212x -<-<13x -<<所以，{}13N x x =-<<所以．{}23M N x x ⋂=<<（2）当时，，0m ≤N =∅当时，，0m >{}11N x m x m =-<<+选择①充分条件，则有，M N ⊆则，解得，012110m m m >⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩9m ≥所以存在正实数，使得“是“”的充分条件，且的取值范围为．m ”x M ∈x ∈N m [)9,+∞选择②必要条件，则有，N M ⊆则或，解得，0m ≤012110m m m >⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩0m ≤所以不存在正实数，使得“”是“”的必要条件．m x M ∈x ∈N 18．（1）计算：．230223482e lg 2lg 5log 4log 927---⎛⎫-+++⨯ ⎪⎝⎭（2）计算：．22π5πππcossin sin 3tan 3426⎛⎫-⋅-- ⎪⎝⎭（3）已知α【答案】（1）；（2）0；（3）.14cos sin αα-【分析】（1）利用分数指数幂和对数的运算化简计算；（2）利用诱导公式化简计算即可；（3）利用同角三角函数的关系化简即可.【详解】（1）230223482e lg 2lg 5log 4log 927---⎛⎫-+++⨯ ⎪⎝⎭()233222lg 4lg 92lg 253lg 3lg 4---⎡⎤⎛⎫=-+⨯+⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2222lg 32lg103lg 3--⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭92224=--+；14=（2）22π5πππcossin sin 3tan 3426⎛⎫-⋅-- ⎪⎝⎭()221πsin π1324⎛⎫=-+⋅--⨯ ⎪⎝⎭；11130223=+-⨯=（3====，sin cos αα=-因为是第四象限角，α所以，sin cos 0αα-<所以原式.cos sin αα=-19．已知函数，其中()1422x x f x a +=-⋅+[]0,3.x ∈(1)若的最小值为，求的值；()f x 1a (2)若存在，使成立，求的取值范围．[]0,3x ∈()33f x ≥a 【答案】(1)5a =(2)1a ≥【分析】（1）将函数解析式变形为，结合可求得实数的值；()()2224x f x a =-+-()min 1f x =a （2）令，，由可得出，求出函数在区间[]21,8x t =∈()2433g t t t =-++()0f x ≥()a g t ≥()g t 上的最小值，即可得出实数的取值范围.[]1,8a 【详解】（1）解：因为，，[]0,3x ∈()()()22242224x x x f x a a =-⋅+=-+-当时，即当时，函数取得最小值，即，解得.22x =1x =()f x ()()min 141f x f a ==-=5a =（2）解：令，则，由可得，[]21,8x t =∈()24f x t t a =-+()33f x ≥2433a t t ≥-++令，函数在上单调递增，在上单调递减，()2433g t t t =-++()g t [)1,2(]2,8因为，，所以，，.()136g =()81g =()()min 81g t g ==1a ∴≥20．已知函数．()()22log 3f x x ax a =-++(1)若的定义域为R ，求a 的取值范围；()f x (2)若对恒成立，求a 的取值范围．()1f x ≥[]2,3x ∈【答案】(1)()2,6-(2)(,2⎤-∞⎦【分析】（1）转化为，可得答案；Δ0<（2）转化为时，利用基本不等式对求最值可得答案．[]2,3x ∈211x a x +≤-2121211+=-++--x x x x 【详解】（1）由题意得恒成立，230x ax a -++>得，()2430a a ∆=-+<解得，故a 的取值范围为．26a -<<()2,6-（2）由，得，()()22log 31f x x ax a =-++≥210x ax a -++≥即，因为，所以，()211x a x +≥-[]2,3x ∈211x a x +≤-因为，所以10x ->，()()2112121222111x x x x x x x -+++==-++≥=---当且仅当，即时，等号成立．211x x-=-1x =故，a 的取值范围为．2a ≤(,2⎤-∞⎦21．中国“一带一路”倡议构思提出后,某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇,决定开发生产一款大型电子设备,生产这种设备的年固定成本为万元,每生产台,需另投入成本(万元),当年产500x ()C x 量不足台时, (万元); 当年产量不小于台时 (万元),80()21402C x x x =+80()81001012180C x x x =+-若每台设备售价为万元,通过市场分析,该企业生产的电子设备能全部售完.100（1）求年利润 (万元)关于年产量（台）的函数关系式；y x （2）年产量为多少台时,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？【答案】（1）（2）902160500,0802{81001680,80x x x y x x x -+-<<=⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭【详解】试题分析：（1）年利润，再根据产量分段求解析式：100()500y x C x =--2160500,0802{81001680,80x x x y x x x -+-<<=⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭（2）求分段函数最值，先分段求，再比较大小得最值，当时,根据二次函数对称轴与定义080x <<区间位置关系求得：当时,取得最大值；当时,利用基本不等式求最值：当60x =y 130080x ≥时,最大值为，比较大小得当产量为台时, 该企业在这一电子设备中所获利润最大,最90x =y 150090大值为万元.1500试题解析：（1）当时,;080x <<2211100405006050022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭当时,,80x ≥.2160500,0802{81001680,80x x x y x x x -+-<<∴=⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭（2）当时,, 此时, 当时,取得最大值, 最大值为080x <<()216013002y x =--+60x =y 1300(万元); 当时,, 当且仅当,即时,80x ≥8100168016801500y x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭8100x x =90x =最大值为(万元), 所以, 当产量为台时, 该企业在这一电子设备中所获利润最大,最大值为y 150090万元.1500【解析】分段函数求最值【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么. 分段函数最值可以先求各区间段上最值，再综合比较得函数最值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.22．已知函数（a 为常数，且，a ∈R ）.82()4x xx a f x a ⋅+=⋅0a ≠(1)求证：函数在上是增函数；1()h x x x =+[1,)+∞(2)当时，若对任意的，都有成立，求实数m 的取值范围；1a =-[1,2]x ∈(2)()f x mf x ≥(3)当为偶函数时，若关于x 的方程有实数解，求实数m 的取值范围.()f x (2)()f x mf x =【答案】(1)证明见解析(2)(5,]2-∞(3)1m ≥【分析】（1）利用单调性的定义进行作差进行证明；（2）先化简，并判定其单调性、求出值域，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，()f x 再利用换元思想和（1）问结论求最值即可确定的取值范围；m （3）先利用函数的奇偶性得到值，利用换元思想和基本不等式确定的范围，再根据方a 122x x t =+程在给定区间有解进行求解.【详解】（1）证明：任取，，且，1x 2[1,)x ∈+∞12x x <则，()()()()121212121212111x x x x h x h x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以，，，121x x ≤<120x x -<120x x >1210x x ->所以，即，()()120h x h x -<()()12h x h x <所以在上是增函数.1()h x x x =+[1,)+∞（2）解：当时，在上单调递增，1a =-1()22x x f x =-[1,2]所以当时，[]1,2x ∈，()13152,224x x f x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦所以对任意的，都有成立，[]1,2x ∈()()2f x mf x ≥转化为恒成立，22112222x x x x m ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭即对恒成立，122x x m ≤+[]1,2x ∈令，则恒成立，[]22,4x t =∈1m t t ≤+所以，min ()m h t ≤由（1）知在上单调递增，()1h t t t =+[]2,4所以，()min 5()22h t h ==所以的取值范围是.m (5,]2-∞（3）解：当为偶函数时，()f x 对∀x ∈R ，都有，()()0f x f x --=即恒成立，1122022x x x x a a --⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⋅⋅⎝⎭⎝⎭即恒成立，112102x x a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以，解得，110a -=1a =所以，()122x x f x =+所以方程，()()2f x mf x =即有实数解()221122*22x x x x m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭令（当时取“”），1222x x t =+≥=0x ==则222211222222x x x x t ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭所以方程，()2*2t mt ⇔-=即在上有实数解，2m t t =-[)2,t ∈+∞而在上单调递增，2m t t =-[)2,t ∈+∞所以.1m ≥。
2022-2023学年山东省威海乳山市第一中学高一上学期12月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年山东省威海乳山市第一中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}15A x N x =∈<<，那么下列关系正确的是（ ）A AB ．3A ∈C ．A ⊆D ．{}3A ∈【答案】B【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系进行判断即可. 【详解】集合{}{}152,3,4A x x =∈<<=N ，对选项A A ，故A 错误； 对选项B ，3A ∈，故B 正确；对选项C A ，故C 错误；对选项D ，{}3表示集合，{}3A ∈表示错误，故D 错误. 故选：B.2．设20.6a =，0.62b =，2log 0.6c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c a b >>【答案】C【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解. 【详解】解：∵200.61<<，∴01a <<， ∵0.60221>=，∴1b >， ∵22log 0.6log 10<=，∴0c <， ∴b a c >>， 故选：C.3．若正数a 、b 满足4a b +≤，则下列各式中恒正确的是（ ）A ．112ab ≥； B ．111a b+≥；C 2≥；D ．221162ab a b ≥-+．【答案】B【分析】由条件可得4ab ≤，可判断AC ，由11111()()14a b a b a b+≥++≥，可判断C ，由22162a a b b+≤-可判断D.【详解】∵0,0,4a b a b >>+≤，∴202a b ab +⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，当且仅当2a b ==时等号成立，∴2042a b ab +⎛⎫<≤≤ ⎪⎝⎭，∴114ab ≥，可取到14，故A 错误； ∵4a b +≤，∴1111111()()(2)(21444b a a b a b a b a b +≥++=++≥+=， 当且仅当2a b ==时取等号，故B 正确；2，故C 错误； 由222()2162a b ab ab a b =+-≤-+，∴2211612a b ab+≥-，取1a b ==，2211121426a b ab <-==+，221162ab a b ≥-+不成立，故D 错误.故选：B ．4．某市工业生产总值2018年和2019年连续两年持续增加，其中2018年的年增长率为p ，2019年的年增长率为q ，则该市这两年工业生产总值的年平均增长率为（ ）A ．2p q+； B ．()()1112p q ++-； C D 1．【答案】D【分析】设出平均增长率，并根据题意列出方程，进行求解【详解】设该市2018、2019这两年工业生产总值的年平均增长率为x ，则由题意得：()()()2111x p q +=++，解得11x =，21x =，因为20x <不合题意，舍去故选D ．5．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）A ．100，20B ．200，20C ．100，10D ．200，10【答案】B【详解】试题分析：由题意知，样本容量为()3500450020002%200++⨯=，其中高中生人数为20002%40⨯=，高中生的近视人数为4050%20⨯=，故选B.【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.6．下列函数中，函数图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上单调递增的是（ ） A ．2x y = B ．21y x =- C ．12y x = D ．12log y x =【答案】B【分析】根据题意函数为偶函数且在()0,∞+上单调递增，对选项进行逐一验证. 【详解】函数图象关于y 轴对称，则函数为偶函数， 选项A. 2x y =不是偶函数，故排除.选项B. 21y x =-是偶函数，且在()0,∞+上单调递增，满足条件. 选项C. 12y x =不是偶函数，故排除.选项D. 12log y x =是偶函数，当0x >时，12log y x=是减函数，不满足.故选：B7．已知函数()242,1,,1,x x ax x f x a x ⎧-+<=⎨⎩对于任意两个不相等实数12,x x ，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】由题可得函数为减函数，根据单调性可求解参数的范围. 【详解】由题可得，函数()f x 为单调递减函数， 当1x <时，若()f x 单减，则对称轴21x a =≥，得：12a ≥, 当1x ≥时，若()f x 单减，则01a <<， 在分界点处，应满足142a a -+≥，即35a ≤，综上：1325a ≤≤ 故选：B8．Logistic 模型是常用数学模型之一，可用于流行病学领域.有学者根据所公布的数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：()1241etK I t -=+，其中K 为最大确诊病例数.当()00.05I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则0t 约为()ln193≈（ ） A ．35 B ．36 C ．60 D ．40【答案】B【分析】根据题意列出等式，整理化简可得0ln19124t =-，解出0t 即可. 【详解】由题意知，0()0.05I t K =，得01240.051t K K e-=+，整理，得012419t e -=，即0ln19124t =-， 解得036t ≈. 故选：B二、多选题9．已知p ：[]2,3x ∃∈，220x a -+≤成立，则下列选项是p 的充分不必要条件的是（ ） A ．6a > B ．6a < C ．10a ≥ D ．10a ≤【答案】AC【分析】依题意由存在量词命题为真求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：由p ：[]2,3x ∃∈，220x a -+≤成立，得当[]2,3x ∈时，()2min26a x ≥+=，即6a ≥.对于A ，“6a >”是“6a ≥”的充分不必要条件； 对于B ，“6a <”是“6a ≥”的既不充分也不必要条件； 对于C ，“10a ≥”是“6a ≥”的充分不必要条件； 对于D ，“10a ≤”是“6a ≥”的既不充分也不必要条件. 故选：AC.10．下列对各事件发生的概率判断正确的是（）A ．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为427B ．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为25C ．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为12D ．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率是29【答案】AC【分析】根据每个选项由题意进行计算，从而进行判断即可【详解】对于A,该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯,第3个路口是红灯,所以概率为211413327⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭,故A正确；对于B,用A 、B 、C 分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码,则1()5P A =,1()3P B =,1()4P C =,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为42325345⨯⨯=,所以此密码被破译的概率为23155-=,故B 不正确；对于C,设“从甲袋中取到白球”为事件A,则82()123P A ==,设“从乙袋中取到白球”为事件B,则61()122P B ==,故取到同色球的概率为2111132322⨯+⨯=,故C 正确；对于D,易得()()P A B P BA =,即()()()()P A PB P B P A ⋅=,即()[1()]()[1()]P A P B P B P A -=-,∴()()P A P B =,又1()9P AB =,∴1()()3P A P B ==,∴2()3P A =,故D 错误故选AC【点睛】本题考查古典概型,考查事件的积,考查独立事件,熟练掌握概率的求解公式是解题关键 11．设()ln 26f x x x =+-，则下列区间中不存在零点的是（ ） A ．[1,2] B ．[2,3] C ．[3,4] D ．[4,5]【答案】ACD【分析】判断(2)f 、(3)f 的符号，根据零点存在定理即可判断函数零点所在区间. 【详解】(2)ln 220f =-<，(3)ln30f =>，(2)(3)0f f ∴<，函数()ln 26f x x x =+-的零点位于[2,3].故选：ACD12．已知函数()21xf x =-，实数a ，b 满足()()f a f b =()a b <，则（ ）A ．222a b +>B ．a ∃，b ∈R ，使得01a b <+<C ．222a b +=D ．0a b +<【答案】CD【分析】根据函数解析式，作函数的图象，根据图象的特征，可得选项A 、C 的正误，根据基本不等式，可得选项B 、D 的正误.【详解】画出函数()21xf x =-的图象，如图所示．由图知1221a b -=-，则222a b +=，故A 错，C 对．由基本不等式可得22222222a b a b a b +=+>⋅=，所以21a b +<，则0a b +<，故B 错，D 对．故选：CD ．三、填空题13．已知函数()2f x ax bx c =++，满足不等式()0f x <的解集为()(),2,t -∞-⋃+∞，且()1f x -为偶函数，则实数t =________. 【答案】0【分析】根据偶函数定义，可得20b a -=，然后根据二次不等式的解集得到二次函数的两个零点为2,t -，然后结合韦达定理，即可解出0=t【详解】根据解集易知：a<0 ，()1f x -为偶函数，可得：()()()()221112f x a x b x c ax b a x a b -=-+-+=+-+-则有：20b a -=易知20ax bx c ++=的两根为,2t -，则根据韦达定理可得：2bt a-=-解得：0=t 故答案为：0 14．若函数()221x x f x a -+=在()1,3上递减，则函数2log (2)a y x x =-增区间________.【答案】(),0∞- 【分析】函数()221xx f x a -+=在()1,3上递减，利用复合函数的单调性可得a 的取值范围，进而可判断函数2log (2)a y x x =-增区间．【详解】设t y a =，则221t x x =-+，在()1,3上递增， 函数()221xx f x a -+=在()1,3上递减，t y a ∴=在()1,3上递减，可得01a <<∴函数2log (2)a y x x =-增区间，即22u x x =-的单调递减区间令220x x ->，解得2x >或0x < ∴函数2log (2)a y x x =-增区间为,0故答案为：,0【点睛】本题考查复合函数的单调性，考查指对函数的性质，属于中档题．15．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a ，第二次朝上一面的点数为b ，则函数221y ax bx =-+在(],2∞-上为减函数的概率是_______.【答案】14【解析】由函数221y ax bx =-+在(],2∞-上为减函数，得到2a b ≤，再结合古典概型及其概率的计算方法，即可求解.【详解】由题意，将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，可得{}1,2,3,4,5,6a ∈，{}1,2,3,4,5,6b ∈ 又由函数221y ax bx =-+在(],2∞-上为减函数，则2ba≥，即2a b ≤， 当a 取1时，b 可取2，3，4，5，6； 当a 取2时，b 可取4，5，6； 当a 取3时，b 可取6，共9种， 又因为(),a b 的取值共36种情况， 所以所求概率为91364=. 故答案为：14.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式的应用，其中解答中认真审题，合理利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.16．已知函数131()31x x f x ++=+在20211[]202-,上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M m +=________.【答案】4【分析】构造()()2g x f x =-是奇函数，由奇函数的对称性求解． 【详解】设()()2g x f x =-，[2021,2021]x ∈-， 13131()()223131x x x x g x f x ++-=-=-=++，()()2g x f x -=--=131331322()311313x x xx x xg x -+-++--=-==-+++， 所以()g x 是奇函数，又max max ()()2g x f x M ==-，min min ()()22g x f x m =-=-， 所以max min ()()40g x g x M m +=+-=，4M m +=． 故答案为：4．四、解答题17．一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立的k 的取值集合为A ，函数()()2lg 56f x x x =-++的定义域为B ．(1)求集合A ，B ；(2)记C A B =，{}5D x m x m =<<+，x C ∈是x D ∈的充分不必要条件，求m 的取值范围． 【答案】(1)(3,0]A =-，()1,6B =-； (2)(5,1]--.【分析】（1）讨论0k =和0k ≠两种情况，结合判别式法求出A ，由真数大于0求出B ； （2）根据题意C 是D 的真子集，进而求得答案.【详解】（1）对A ，若0k =，则308-<，满足题意；若0k ≠，则230Δ30k k k k <⎧⇒-<<⎨=+<⎩. 综上：30k -<≤，即(3,0]A =-.对B ，()225605601,6x x x x x -++>⇒--<⇒∈-，即()1,6B =-.（2）由（1），(1,0]C A B =-⋂=，因为x C ∈是x D ∈的充分不必要条件，所以C 是D 的真子集，于是15150m m m ≤-⎧⇒-<≤-⎨+>⎩，即(5,1]m ∈--. 18．函数()()22log 25f x x ax a =--在(],2-∞-上单调递减，()1425x x g x a a +=--．(1)求a 的取值范围； (2)当2,2x时，求()g x 的最小值．【答案】(1)[)24-，(2)答案见解析 .【分析】(1)二次函数与对数函数复合的单调性讨论；(2)二次函数与指数函数复合的最小值，由x 的取值范围得到指数函数的取值范围，再求二次函数的最小值.【详解】（1）设()225t x x ax a =-- ，则()()()222log 25log f x x ax a t x =--=⎡⎤⎣⎦由题意可得，()202t a ->⎧⎪⎨-≤⎪⎩，所以24a -≤<， 所以，a 的取值范围为[)24-，. （2）因为[]22x ∈-， ，所以22122244x -⎡⎤⎡⎤∈=⎣⎦⎢⎥⎣⎦，， . 又因为()()21242525x x x g x a a a a a +=--=--- ，若 1424xa a ⎡⎫∈=⎪⎢⎣⎭，，时，()g x 有最小值25a a --； 若112244x a ⎡⎫∈-=⎪⎢⎣⎭，，时，()g x 有最小值18816a -， 19．某中学有学生500人，学校为了解学生课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，收集了他们2018年10月课外阅读时间（单位：小时）的数据，并将数据进行整理，分为5组：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）试估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（Ⅱ）已知这50名学生中恰有2名女生的课外阅读时间在[18，20]，现从课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生中随机抽取2人，求至少抽到1名女生的概率；（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数．【答案】（Ⅰ）150（Ⅱ）710（Ⅲ）14.68 【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图求出课外阅读时间不小于16小时的样本的频率为0.30，由此能估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（Ⅱ）阅读时间在[18，20]的样本的频率为0.10．从而课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生人数为5．这5名学生中有2名女生，3名男生，设女生为A ，B ，男生为C ，D ，E ，从中抽取2人，利用列举法能求出至少抽到1名女生的概率；（Ⅲ）由频率分布直方图能估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数．【详解】（Ⅰ）0.10×2+0.05×2=0.30，即课外阅读时间不小于16小时的样本的频率为0.30．因为500×0.30=150，所以估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数为150. （Ⅱ）阅读时间在[18，20]的样本的频率为0.05×2=0.10．因为50×0.10=5，即课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生人数为5．这5名学生中有2名女生，3名男生，设女生为A ，B ，男生为C ，D ，E ，从中抽取2人的所有可能结果是：（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，E ），（B ，C ），（B ，D ），（B ，E ），（C ，D ），（C ，E ），（D ，E ）．其中至少抽到1名女生的结果有7个，所以从课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生中随机抽取2人，至少抽到1名女生的概率为p =710（Ⅲ）根据题意，0.08×2×11+0.12×2×13+0.15×2×15+0.10×2×17+0.05×2×19=14.68（小时）． 由此估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数为14.68小时．【点睛】本题考查频数、概率、平均数的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．20．已知函数()2log 1a x f x x -=+为奇函数． (1)求实数a 的值；(2)若()()22log 430m x f x x -+++≤恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)1a =(2)[)2,+∞【分析】（1）利用奇函数定义求出实数a 的值；（2）先求解定义域，然后参变分离后求出()()22log 23g x x x =--+的取值范围，进而求出实数m 的取值范围.【详解】（1）由题意得：()()f x f x -=-，即22log log 11a x a x x x+-=--+，解得：1a =±， 当1a =-时，101a x x -=-<+，不合题意，舍去， 所以1a =,经检验符合题意；（2）由101x x->+，解得：11x -<<，由2430x x ++>得：1x >-或3x <-， 综上：不等式中()1,1x ∈-，()()22log 430m x f x x -+++≤变形为()()2log 13m x x ⎡⎤≥-+⎣⎦，即()()2log 13m x x ⎡⎤≥-+⎣⎦恒成立，令()()()2222log 23log 14g x x x x ⎡⎤=--+=-++⎣⎦，当()1,1x ∈-时，()(),2g x ∈-∞， 所以2m ≥，实数m 的取值范围为[)2,+∞.21．习近平总书记在十九大报告中指出，“要着力解决突出环境问题，持续实施大气污染防治行动”．为落实好这一精神，市环保局规定某工厂产生的废气必须过滤后才能排放．已知在过滤过程中，废气中的污染物含量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系式为：0()ktP t P e -=（e 为自然对数的底数，0P 为污染物的初始含量）．过滤1小时后检测，发现污染物的含量为原来的45． （1）求函数()P t 的关系式；（2）要使污染物的含量不超过初始值的11000，至少还需过滤几小时？（参考数据：lg 20.3≈） 【答案】（1）04()()5t P t P =（2）30【分析】（1）由题意代入点（1，45P 0），求得函数P （t ）的解析式； （2）根据函数P （t ）的解析式，列不等式求出t 的取值范围即可．【详解】解：（1）根据题设，得0045k P P e -=，45k e -∴= 所以，()045t P t P ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）由()004151000t P t P P ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，得4151000t ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭， 两边取以10为底的对数，并整理，得t （1﹣3lg2）≥3，∴t≥30因此，至少还需过滤30小时【点睛】本题考查了指数函数模型的应用问题，求指数型函数的解析式，指数型不等式的解法，是中档题．22．对于函数()f x ，若其定义域内存在实数x 满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“伪奇函数”． （1）已知函数()21x f x x -=+，试问()f x 是否为“伪奇函数”？说明理由； （2）若幂函数()()()31n g x n xn -=-∈R 使得()()2g x f x m =+为定义在[]1,1-上的“伪奇函数”，试求实数m 的取值范围；（3）是否存在实数m ，使得()12423x x f x m m +=-⋅+-是定义在R 上的“伪奇函数”，若存在，试求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）不是；（2）5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；（3）1⎡⎣． 【分析】（1）先假设()f x 为“伪奇函数”，然后推出矛盾即可说明；（2）先根据幂函数确定出()g x 的解析式，然后将问题转化为“()222x x m -=-+在[]1,1-上有解”，根据指数函数的值域以及对勾函数的单调性求解出m 的取值范围；（3）将问题转化为“()()22644222x x x x m m ---=-+++在R 上有解”，通过换元法结合二次函数的零点分布求解出m 的取值范围.【详解】（1）假设()f x 为“伪奇函数”，∴存在x 满足()()f x f x -=-，2211x x x x ---∴=--++有解，化为220x +=，无解， f x 不是“伪奇函数”；（2）()()()31n g x n x n -=-∈R 为幂函数，2n ∴=，()g x x ∴=，()2x f x m ∴=+，()2x f x m =+为定义在[]1,1-的“伪奇函数”，∴22x x m m -+=--在[]1,1-上有解，∴()222x x m -=-+在[]1,1-上有解， 令12,22x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，∴12m t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解， 又对勾函数1y t t =+在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,2上单调递增， 且12t =时，52y =，2t =时，52y =， min max 5112,2y y ∴=+==，1y t t ∴=+的值域为52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 52,22m ⎡⎤∴∈--⎢⎥⎣⎦，5,14m ⎡⎤∴∈--⎢⎥⎣⎦； （3）设存在m 满足，即()()f x f x -=-在R 上有解，()1212423423x x x x m m m m --++∴-⋅+-=--⋅+-在R 上有解，()()22644222x x x x m m --∴-=-+++在R 上有解，令[)222,x x t -+=∈+∞，取等号时0x =，()222622m t mt ∴-=--+在[)2,∞+上有解，222280t mt m ∴-+-=在[)2,∞+上有解（*）， ()2244280m m ∆=--≥，解得m ⎡∈-⎣，记()22228h t t mt m =-+-，且对称轴t m =，当m ⎡⎤∈-⎣⎦时，()h t 在[)2,∞+上递增，若（*）有解，则()22222280h mt m =-+-≤，12m ⎡⎤∴∈⎣⎦，当(m ∈时，()h t 在[)2,m 上递减，在(),m +∞上递增，若（*）有解，则()222222880h m m m m m =-+-=-≤，即280m -≤，此式恒成立，(2,m ∴∈，综上可知，1m ⎡∈⎣.【点睛】关键点点睛：解答本题（2）（3）问题的关键在于转化思想的运用，通过理解“伪奇函数”的定义，将问题转化为方程有解的问题，利用换元的思想简化运算并完成计算.。
2021-2022学年山西省太原市第四十八中学高一年级上册学期12月月考数学试题【含答案】
2021-2022学年山西省太原市第四十八中学校高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．与800°角终边相同的角可以表示为（ ），k ∈Z ． A ．36040k ⋅︒+︒ B ．36060k ⋅︒+︒ C ．36080k ⋅︒+︒ D ．360100k ⋅︒+︒【答案】C【分析】根据终边相同的角的定义可求出.【详解】与800°角终边相同的角可以表示为()11800360802360k k ︒+⋅︒=︒++⋅︒（1k ∈Z ），即36080k ⋅︒+︒（k ∈Z ）．故选：C.2．已知角θ的终边经过点12P ⎛- ⎝⎭，则角θ可以为（ ）A ．56πB ．23π C ．116πD ．53π 【答案】B【分析】求得sin θ，结合P 在第二象限求得θ的值，由此确定正确选项.【详解】依题意sin θ==P 在第二象限，所以22,3k k Z πθπ=+∈， 当0k =时23πθ=，所以B 选项正确，其它选项错误. 故选：B3．若点P 的坐标为()cos2020,sin 2020︒︒，则点P 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】利用终边相同的角相差360°的整数倍，把大角变小角，从而判定角2020︒的终边在第三象限，根据三角函数在各象限内的正负，确定点P 的位置.【详解】因为20205360220︒︒=⨯+︒，所以角2020︒的终边在第三象限，所以cos20200︒<，sin 20200︒<，所以点P 在第三象限．故选：C4．设函数()()211log 2,12,1x x x f x x -⎧+-<⎪=⎨≥⎪⎩，则2(2)(log 6)f f -⋅=（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C【分析】根据给定分段函数直接计算即可得解【详解】函数()()211log 2,12,1x x x f x x -⎧+-<⎪=⎨≥⎪⎩，则2(2)1log 43f -=+=，2log 62(log 6)223f =÷=，所以2(2)(log 6)9f f -⋅=. 故选：C5．已知2log 3a =，ln3b =，0.12c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）. A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．c<a<b【答案】C【分析】利用对数函数的性质比较,a b ，借助1比较c ． 【详解】易知0.121c -=<，ln31b =>，又31log b e =，31log 2a =，而330log 2log e <<，∴ ab >，∴c b a <<． 故选：C ．【点睛】本题考查幂、对数的比较大小，掌握对数函数与指数函数性质是解题关键．对不同类型的数的大小比较还需借助中间值如0，1等比较． 6．下列函数既是奇函数又是周期为π的函数是( ) A ．tan 2y x = B ．sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．sin y x =D ．3cos 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】先判断函数的奇偶性，再求函数的周期，然后确定选项．【详解】tan 2y x =是最小正周期为π2的奇函数，故A 错误；sin(2)cos 22y x x π=+=的最小正周期是π是偶函数，故B 错误；|sin |y x =是最小正周期是π是偶函数，故C 错误；3cos(2)sin 22y x x π=-=-最小正周期为π的奇函数，故D 正确﹒ 故选：D ．7．已知1cos 3θ=，则sin 22θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．79-B ．79C ．23D ．23-【答案】A【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式，计算求得结果．【详解】解：由题意可知，2217sin 2cos 22cos 121239πθθθ⎛⎫⎛⎫+==-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A.8．函数sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间是（ ）A ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎡⎤----∈⎢⎥⎣⎦ B ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．()2πππ,πZ 36k k k ⎡⎤----∈⎢⎥⎣⎦D ．πππ,πZ 63k k k【答案】B 【分析】先化简ππsin()sin()66x x -=--，再根据复合函数单调性列不等式解出单调区间. 【详解】因为ππsin()sin()66x x -=--，所以求πsin()6x -单调减区间等价求πsin()6x -单调增区间， 因为ππ3π2π2π,Z 262k x k k -+≤-≤+∈，所以π2π2π2π,Z 33k x k k -+≤≤+∈ 所以单调减区间为()π2π2π,2πZ 33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦故选：B 9．22511sin sin 1212ππ-=（ ）A B C D ．12【答案】B【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式计算可得； 【详解】解：22511sinsin 1212ππ-22()sin sin 12)212(ππππ=--- 22cos sin 1212ππ=-cos6π==故选：B.10．《九章算术》是我国古代数学的杰出代表作．其中“方田”章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=(弦×矢＋矢2)．弧田（如图7-1-5）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为23π，半径为4m 的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（ ）A ．6m 2B ．9m 2C ．12m 2D ．15m 2【答案】B【分析】根据题设条件计算出弦和矢，再代入弧田面积公式计算作答. 【详解】依题意，弦24sin433π=⨯=，矢44cos23π=-=(m)， 则弧田面积=21(4322)43292+=≈(m 2)，所以弧田面积约是9m 2. 故选：B11．已知3sin()35x π-=，则cos 6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）A ．35B ．45C ．35 D ．45-【答案】A【分析】利用换元法设3x πθ-=，则3x πθ=-，然后利用三角函数的诱导公式进行化简求解即可．【详解】设3x πθ-=，则3x πθ=-，则3sin 5θ=， 则3cos()cos()cos()sin 63625x ππππθθθ+=-+=-==，故选：A ．12．已知函数()()ln ,0e ,0x x xf x x -⎧-<=⎨≥⎩，若关于x 的方程()0m f x -=有两个不同的解，则实数m 的取值范围为（ ）A ．()0,∞+B ．(][),01,-∞+∞C ．(],0-∞D ．(]0,1【答案】D【分析】将问题转化为()f x 与y m =有两个不同的交点，采用数形结合的方式可求得结果. 【详解】()0m f x -=有两个不同解等价于()f x 与y m =有两个不同的交点， 作出()f x 图象如下图所示，由图象可知：当(]0,1m ∈时，()f x 与y m =有两个不同的交点， ∴实数m 的取值范围为(]0,1.故选：D.二、填空题13．25sin 6π⎛⎫= ⎪⎝⎭________________．【答案】12##0.5【分析】利用诱导公式计算即可.【详解】251sin sin 4sin 6662ππππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：12.14．已知2log 2.016m =，2log 1.016n =，则nm=________． 【答案】12##0.5.【分析】根据指对互化可表示出,m n ，由指数幂的运算性质可求得结果. 【详解】2log 2.016m =，2log 1.016n =， 2.0162m ∴=， 1.0162n =， 1.0162.0162122n m ∴==.故答案为：12.15．若43cos ,cos()55ααβ=+=，且,αβ均为锐角，则sin β=________．【答案】725##0.28 【分析】先求得()sin ,sin ααβ+的值，由()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦可求得sin β的值. 【详解】解：由于,αβ是锐角，所以0αβ<+<π，所以()34sin ,sin 55ααβ=+==，所以()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦44337555525=⨯-⨯=. 故答案为：725. 16．关于函数1()sin sin f x x x=+有如下四个命题： ①()f x 的图象关于原点对称． ②()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增的．③()f x 的图象关于直线2x π=对称．④()f x 的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】①③【分析】对于①：证明出()f x 为奇函数，即可得到结论；对于②：取0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内的特殊值：46ππ，否定结论；对于③：计算出()()22f x f x ππ-=+，即可证明()f x 的图象关于直线2x π=对称；对于④：取特殊情况当0x π-<<时， 1sin 02sin x x+<<，否定结论. 【详解】对于①：()f x 的定义域为{}|,x x k k Z π≠∈，关于原点对称. 因为11()sin()sin ()sin()sin f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭， 所以()f x 为奇函数，其图像关于原点对称.故①正确；对于②：取0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭内的特殊值：46ππ，.有64ππ<，而15()2622f π=+=，5()42f π<，所以()()64ππ>f f ，所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调递增．故②错误；对于③：因为11()sin()cos 22cos sin()2f x x x x x πππ-=-+=+-.而11()sin()cos 22cos sin()2f x x x x x πππ+=++=++.所以()()22f x f x ππ-=+，所以()f x 的图象关于直线2x π=对称．故③正确；对于④：当0x π-<<时，1sin 0,0sin x x <<，所以1sin 02sin x x+<<.故④错误. 真命题：①③ 故答案为：①③【点睛】（1）像这样四种说法互补关联的题目，需要对其一一验证；（2）要判断一个命题成立，需要严格的证明；要判断一个命题不成立，只需举出一个反例即可.三、解答题 17．求下列各式的值(1)2log 3232lg25lg8log 27log 223+-⨯+(2)3ln 282log 91e lg lg 20log 32+-- 【答案】(1)2 (2)233【分析】根据对数运算法则直接计算即可.【详解】（1）原式()232lg52lg23log 3log 232lg5lg2332=+-⨯+=+-+=. （2）原式()()2ln822log 322233e lg 22lg 2lg 58lg 2lg 581log 3333=++-+=+-+=+-=. 18．（1）已知tan 2θ=，求()()3sin cos 2sin sin 2πθπθπθπθ⎛⎫++- ⎪⎝⎭⎛⎫--- ⎪⎝⎭的值.（2）求()()()()3tan cos 2sin 2cos sin ππαπαααππα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭----的值. 【答案】（1）2；（2）1-【分析】（1）利用诱导公式化简，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；（2）利用诱导公式化简即可. 【详解】解：（1）因为tan 2θ=，所以()()3sin cos cos cos 2222cos sin tan 121sin sin 2πθπθθθπθθθθπθ⎛⎫++- ⎪--⎝⎭====---⎛⎫--- ⎪⎝⎭； （2）()()()()()3tan cos 2sin tan cos cos 21cos sin cos sin ππαπααααααππααα⎛⎫---+ ⎪-⋅⋅-⎝⎭==------⋅. 19．已知tan α，tan β是方程23570x x +-=的两根，求下列各式的值. (1)()tan αβ+(2)()()sin cos αβαβ+-【答案】(1)12-(2)54【分析】（1）利用韦达定理得到tan tan αβ+，tan tan αβ⋅，再根据两角和的正切公式计算可得； （2）利用同角三角函数的基本关系及和差角公式得到()5sin cos cos 3αβαβ+=-，()4cos cos cos 3αβαβ-=-，从而代入计算可得.【详解】（1）解：因为tan α，tan β是方程23570x x +-=的两根， 所以5tan tan 3αβ+=-，7tan tan 3αβ⋅=-，所以()5tan tan 13tan 71tan tan 213αβαβαβ-++===--+. （2）解：因为()sin sin sin sin cos cos sin 5tan tan cos cos cos cos cos cos 3αβαβαβαβαβαβαβαβ+++=+===-， 所以()3cos cos sin 5αβαβ=-+，即()5sin cos cos 3αβαβ+=-，又sin sin 7tan tan cos cos 3αβαβαβ⋅=⋅=-，所以7sin sin cos cos 3αβαβ=-， 所以()4cos cos cos sin sin cos cos 3αβαβαβαβ-=+=-，所以()()5cos cos sin 534cos 4cos cos 3αβαβαβαβ-+==--. 20．已知函数()1sin 262πf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭(1)求函数最小正周期(2)当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数最大值及相应的x 的值【答案】(1)π (2)最大值12，π3x =【分析】（1）直接根据周期公式计算即可. （2）计算得到ππ5π2666x -≤-≤，再根据三角形性质得到最值. 【详解】（1）()1sin 262πf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，最小正周期2ππ2T ==.（2）π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故ππ5π2666x -≤-≤， 所以当ππ262x -=，3x π=时，函数取得最大值11122-=.21．已知函数()f x =ln(ax 2 +2ax +1)定义域为R ， (1)求a 的取值范围；(2)若a ≠0，函数()f x 在[-2,1]上的最大值与最小值和为0，求实数a 的值. 【答案】(1)0≤a <1； (2)23a =.【分析】（1）由题设，问题转化为2210ax ax ++>在R 上恒成立，讨论参数a 求其范围.（2）令221t ax ax =++求[2,1]x ∈-上的值域，结合ln y t =的单调性确定()f x 的最值，根据已知列方程求参数a .【详解】（1）由题设，2210ax ax ++>在R 上恒成立， 当0a =时，易知不等号恒成立；当0a ≠时，有20{Δ440a a a >=-<，可得01a <<；综上，01a ≤<.（2）由0a ≠及（1）结论，令2221(1)1t ax ax a x a =++=++-，∴由已知及[2,1]x ∈-，有[1,31]t a a ∈-+，又ln y t =为增函数， ∴ln(1)ln(31)ln(1)(31)0a a a a -++=-+=，即(1)(31)1a a -+=， ∴0a =或23a =，由（1）知：01a <<， ∴23a =.。
2022-2023学年福建省莆田第一中学高一上学期12月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年福建省莆田第一中学高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，函数()ln 3y x =-的定义域为M ，集合{}230N xx x =->∣，则下列结论正确的是（ ） A ．M N N ⋂= B ．()U M N ⋂≠∅C ．M N N ⋃=D ．()U M N ⊆【答案】C【分析】求函数的定义域求得集合M ，解不等式求得集合N ，由此对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】由30x ->解得3x >，所以{}|3M x x =>；由()2330x x x x -=->解得0x <或3x >，所以{|0N x x =<或}3x >；所以{}{}|3,|03U U M x x N x x =≤=≤≤. 所以：M N M ⋂=，A 选项错误.()U M N ⋂=∅，B 选项错误. M N N ⋃=，C 选项正确.M 不是UN 的子集，D 选项错误.故选：C2．函数()322x f x x =+-的零点所在区间是( )A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,2【答案】C【分析】由函数的解析式求得f （0）f （1）＜0，再根据根据函数零点的判定定理可得函数f （x ）=2x +x 3﹣2的零点所在的区间．【详解】∵函数f （x ）=2x +x 3﹣2在R 上单调递增， ∴f （0）=1+0﹣2=﹣1＜0，f （1）=2+1﹣2=1＞0， ∴f （0）f （1）＜0．根据函数零点的判定定理可得函数f （x ）=2x +x 3﹣2的零点所在的区间是（0，1）， 故选C ．【点睛】本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理，属于基础题．3．已知32log 3a =，3214b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，134log 3c =则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】D【解析】将a 与c 化为同底的对数式，然后利用对数函数的单调性及利用“1”的关系进行比较即可. 【详解】31322log log 33a ==-，11334log log 334c ==-，因为2334<，所以0a c <<，32110144b ⎛⎫⎛⎫<== ⎪ ⎪⎭⎝⎭<⎝，故b c a >>,故选：D.【点睛】本题考查指数式与对数式比较大小的问题，解题关键是根据指指、对数的单调性进行比较，属于基础题. 4．函数()3820xy x -=-≥的值域是A ．[) 0,8B ．()0,8C ．[]0,8D ．(]0,8【答案】A【分析】根据指数函数单调性确定函数值域.【详解】0x ≥，0x ∴-≤，33x ∴-≤，330228x -∴<≤=，30828x -∴≤-<， ∴函数382x y -=-的值域为[0)8，.故选:A【点睛】本题考查指数函数单调性与值域，考查基本分析求解能力，属基础题.5．已知函数()21,23,21x x f x x x ⎧-<⎪=⎨>⎪-⎩若方程()f x k =有且仅有三个不等实根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．0k > B ．01k <<C ．03k <<D ．13k <<【答案】B【分析】画出()f x 的图象，根据图象求得k 的取值范围. 【详解】画出()f x 的图象如下图所示，由图可知，要使()y f x =的图象与直线y k =有三个不同的公共点，则需01k <<. 故选：B6．已知非零实数,,a b c 满足3624a b c ==，则,,a b c 之间的关系是（ ） A ．111b a c=+ B ．312b a c=+ C ．123b a c=+ D ．321b a c=+ 【答案】D 【分析】计算得到1log 3m a =，1log 6m b=，1log 24m c =，依次带入选项计算即可.【详解】3624a b c m ===，0m >且1m ≠，则3log a m =，6log b m =，24log c m =， 1log 3m a =，1log 6m b=，1log 24m c =，对选项A ：11log 3log 24log 72log 16m m m m b a c =≠+=+=，错误；对选项B ：23123log 3log 24log 1728log 6m m m m b a c +≠+===，错误；对选项C ：3231log 9log 24log 124416log 6m m m m ba c +≠+===，错误；对选项D ：3g 2213log 9log 24lo 16log 63log 6m m m m m ba c +=+====，正确.故选：D7．为了给地球减负，提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚，假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是（参考数据：lg1.20.079≈，lg 20.301≈）A ．2023年B ．2024年C ．2025年D ．2026年【答案】C【分析】根据指数型函数模型，求得投入资金的函数关系式，由此列不等式，解不等式求得经过的年份，进而求得开始超过1.28亿元的年份.【详解】由题意，可设经过n 年后，投入资金为y 万元，则()5000120%ny =+.由题意有()5000120%12800n+>，即1.2 2.56n >，则8lg1.2lg 2.56lg 22n >=-，所以80.30125.160.079n ⨯->≈，所以6n =，即2025年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元.故选C.【点睛】本小题主要考查指数函数模型在实际生活中的运用，考查指数不等式的解法，属于中档题.8．若对x ∈R ，函数()xf x a =始终满足()01f x <≤，则函数()1log ag x x=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】确定01a <<，()20g >，排除AD ；102g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，排除C ，得到答案.【详解】当x ∈R 时，函数()xf x a =始终满足()01f x <≤，0x ≥，故01a <<.()1log log 2202aa g =->=，排除AD ； 0log l 1og 222a a g ⎛⎫= ⎪⎝⎭<=，排除C. 故选：B二、多选题9．下列函数中，既是奇函数又在区间()0,1上单调递增的是（ ） A ．1y x x=-B ．3y x =- C ．e e x xy -=-D ．2x y x=【答案】AC【分析】根据函数的单调性和奇偶性依次判断即可. 【详解】对选项A ：()1f x x x=-在()0,1上单调递增，()()1f x x f x x -=-+=-，函数为奇函数，正确；对选项B ：3y x =-在()0,1上单调递减，排除；对选项C ：()e e x x f x -=-，()()e e x xx f x f --==--，函数为奇函数，在()0,1上单调递增，正确；对选项D ：()2x f x x =，则()()()2x f x f xx --==-，函数为偶函数，排除.故选：AC10．若正数,x y 满足4455x y x y ---<-，则下列关系正确的是是（ ）A ．x y <B ．33y x -->C D ．133yx -⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】AD【分析】构造函数()45x xf x -=-，根据函数单调性得到0x y <<，再依次判断每个选项即可. 【详解】4455x y x y ---<-，故4545x x y y ---<-，函数()45x xf x -=-单调递增，故()()f x f y <，x y <，故0x y <<. 对选项A ：x y <，正确；对选项B ：若33y x -->，则33x y >，即x y >，错误；对选项C >x y >，错误；对选项D ：若11333xy x -⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭，则y x >，正确.故选：AD11．已知函数()f x = ） A ．()f x 是偶函数B ．方程()3f x =有4个不同的解C ．()f x 在(1,0)-上单调递增D ．()f x 在(1,)+∞上单调递减 【答案】ABC【分析】A 选项，根据函数奇偶性判断；B 选项，换元法利用一元二次方程求出解，作出判断；CD 选项，利用对勾函数，函数奇偶性及复合函数单调性进行判断. 【详解】因为函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，关于原点对称，且()f x -=()f x ==，所以()f x 是偶函数，A 正确；3=，令t 13t t +=，即2310t t -+=，解得t =2352x ⎛⎫-=± ⎪ ⎪⎝⎭；当35||2x +=时，2352x ⎛⎫+=± ⎪ ⎪⎝⎭，所以方程()3f x =有4个不同的解，B 正确； 令||t x =，则1y t t =+在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，又知||t x =在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，根据复合函数的单调性性质可知，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，D 错误；由()f x 是偶函数，知()f x 在(1,0)-上单调递增，C 正确， 故选：ABC.12．已知函数()lg ,010225,10x x f x x x ⎧<≤=⎨->⎩若方程()0f x m -=有三个不同的解,,a b c ，且a b c <<，则下列说法正确的是（ ） A ．1110a << B ．110b <≤ C ．12.513abc <≤ D ．01m <<【答案】BC【分析】画出()f x 的图象，结合图象以及对数运算确定正确答案.【详解】由题意可知，()lg ,01lg ,110225,10x x f x x x x x -<<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩，作出()f x 的图象，如图所示：因为方程()0f x m -=有三个不同的解,,()a b c a b c <<，由图可知01m <≤，故D 错误； 且lg lg 225m a b c =-==-，lg lg lg 0,1a b ab ab +===， 所以(]110,1,101,1010mm a b -⎡⎫=∈=∈⎪⎢⎣⎭，故A 错误，B 正确； 所以(]2512.5,132m abc c +==∈，故C 正确； 故选：BC【点睛】关于形如log a y x =、log a y x =等函数图象的画法，可结合绝对值的意义、函数的奇偶性、函数的单调性进行作图，作图过程中要注意曲线“弯曲”的方向，也要注意函数定义域的影响.三、填空题13．函数()log (2)1a f x x =-+ (a >0且a ≠1)恒过定点____________ 【答案】(3,1)【分析】根据log 10a =求定点坐标.【详解】因为当21,3x x -==时，()log (2)11a f x x =-+=， 所以()log (2)1a f x x =-+恒过定点(3,1) 故答案为：(3,1)【点睛】本题考查对数型函数过定点问题，考查基本分析求解能力，属基础题.14．函数()e 22xf x m =-+有且仅有1个零点，则m 的取值范围为_______.【答案】1m ≤-或0m = 【分析】利用数形结合即得.【详解】∵函数()e 22xf x m =-+有且仅有1个零点，∴函数e 2xy =-的图象与直线2y m =-有一个交点，由图可得22m -≥或20m -=， ∴1m ≤-或0m =. 故答案为：1m ≤-或0m =.15．已知函数()()()51,(1),(0,1),1?xa x f x a a ax x ⎧-+<⎪=>≠⎨≥⎪⎩是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值范围为______. 【答案】[3,4)【分析】根据分段函数是在实数集R 上的增函数，得到51?0? 51a a a a ->⎧⎪>⎨⎪≥-+⎩，解得答案.【详解】函数()()()51,(1),(0,1),1? xa x f x a a ax x ⎧-+<⎪=>≠⎨≥⎪⎩是实数集R 上的增函数， 故51?0? 51a a a a ->⎧⎪>⎨⎪≥-+⎩，解得34a ≤<.故答案为：[3,4)四、双空题16．已知函数()()1e ,0? 12,02x x f x f x x +⎧≤⎪=⎨->⎪⎩.（1）()1f =______.（2）函数()y f x k =-在区间(),4-∞上有四个不同的零点，则实数k 的取值范围是______. 【答案】12##0.5 1e e ,1,242⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】直接计算得到()112f =，计算函数的解析式，画出函数图像，根据图像得到答案.【详解】函数()()1e ,012,02x x f x f x x +⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则()()1111111e222f f -+=-==. 当0x ≤时，()1ex f x +=；当0x >时，()()122f x f x =-； 当(]0,2x ∈时，(]()()21111122,0,2e e 222x x x f x f x -+--∈-=-==， 当()2,4x ∈时，()()()21311120,2,2e e 244x x x f x f x ----∈=-==， 函数()y f x k =-在区间(),4-∞上有四个不同的零点， 即()y f x =与y k =有四个交点，作出函数()y f x =的图象，如图所示：由图可知，实数k 的取值范围是1e e ,1,242⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：12； 1e e ,1,242⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭五、解答题17．（1）求值412log 9641lg 22lg 5494-⎛⎫++- ⎪⎝⎭；（2）已知2log 5a =，5log 7b =，试用a 、b 表示14log 56. 【答案】（1）158；（2）31ab ab ++. 【分析】（1）利用指数的运算律、对数的运算律、换底公式以及对数恒等式可得出结果； （2）由换底公式可得出51log 2a=，然后利用换底公式可得出5145log 56log 56log 14=，并利用对数5log 2和5log 7表示分子和分母，代入化简计算即可.【详解】（1）原式2222122log3log 318771542lg 2lg10032725888-⎡⎤⎛⎫=++=+-=+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（2）由换底公式得5211log 2log 5a==，又5log 7b =， 因此，()()355551455553log 72log 56log 73log 23log 561log 14log 72log 7log 21b ab a ab b a+⨯++=====⨯+++. 【点睛】本题考查指数、对数的运算，以及利用换底公式化简计算，考查计算能力，属于基础题.18．已知函数()212()log 23f x x ax =-+.(1)当1a =-时，求函数的值域；(2)是否存在a ∈R ，使()f x 在(,2)-∞上单调递增，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】(1)(,1]-∞-(2)不存在，理由见解析【分析】（1）设223t x x =++并配方，进而得到定义域，并算出t 的范围，进而得到函数的值域； （2）根据题意，只需223t x ax =-+在(,2)-∞上单调递减且2230x ax -+>在(,2)-∞上恒成立，进而列出不等式组求得答案.【详解】（1）当1a =-时，()212()log 23f x x x =++，设2223(1)22t x x x =++=++≥，则x ∈R ，所以()1f x ≤-， 所以()f x 的值域为(,1]-∞-.（2）要使()f x 在(,2)-∞上单调递增，只需223t x ax =-+在(,2)-∞上单调递减且2230x ax -+>在(,2)-∞上恒成立，所以227(2)7404a a h a a ≥⎧≥⎧⎪⇒⎨⎨=-≥≤⎩⎪⎩，此不等式组无解.故不存在a ∈R ，使()f x 在(,2)-∞上单调递增. 19．已知定义域为R 的函数()331x x a f x -=+是奇函数.(1)求a 的值；(2)判断()f x 的单调性，并证明；(3)若()()222210f m m f m -++≤，求实数m 的取值范围.【答案】(1)1(2)增函数，证明见解析 (3)3m ≤-或7m ≥【分析】（1）由(0)0f =求出1a =，再验证此时的()f x 为奇函数即可；（2）将()f x 的解析式分离常数后可判断出单调性,再利用增函数的定义可证结论成立； （3）利用奇函数性质化为2(2)(221)f m m f m -≤--，再利用增函数性质可求出结果. 【详解】（1）因为()331x x af x -=+是R 上的奇函数，所以11(0)0112a a f --===+，即1a =， 此时31()31x x f x -=+，3113()()3113x x xxf x f x -----===-++，所以()f x 为奇函数， 故1a =.（2）由（1）知，31()31x x f x -=+2131x =-+为R 上的增函数，证明：任取12,R x x ∈，且12x x <，则12()()f x f x -1222113131x x =--+++12123(33)(31)(31)x x x x -=++， 因为12x x <，所以1233x x <，即12330x x -<，又12(31)(31)0x x ++>，所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，根据增函数的定义可得()f x 为R 上的增函数.（3）由()()222210f m m f m -++≤得2(2)(221)f m m f m -≤-+，因为()f x 为奇函数，所以2(2)(221)f m m f m -≤--，因为()f x 为增函数，所以22221m m m -≤--，即24210m m --≥，所以3m ≤-或7m ≥.20．水葫芦原产于巴西，1901年作为观赏植物引入中国. 现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长. 某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月其覆盖面积为218m ，经过3个月其覆盖面积为227m . 现水葫芦覆盖面积y （单位2m ）与经过时间()x x N ∈个月的关系有两个函数模型(0,1)=>>x y ka k a 与12(0)=+>y px q p 可供选择.1.732,lg 20.3010,lg 30.4771≈≈≈ ）（Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；（Ⅱ）求原先投放的水葫芦的面积并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍.【答案】（1）38()()2x y x N =∈（2）原先投放的水葫芦的面积为8m2, 约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍.【分析】（Ⅰ）判断两个函数y=ka x （k ＞0，a ＞1），()120y px q p =+＞在（0，+∞）的单调性，说明函数模型y=ka x （k ＞0，a ＞1）适合要求．然后列出方程组，求解即可．（Ⅱ）利用 x=0时，8y =，若经过x 个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍则有 38810002x ⎛⎫⋅=⨯ ⎪⎝⎭，求解即可． 【详解】（Ⅰ）(0,1)x y ka k a =>>的增长速度越来越快，12(0)y px q p =+>的增长速度越来越慢. (0,1)x y ka k a ∴=>>依题意应选函数则有23=18=27ka ka ⎧⎨⎩， 解得3=2=8a k ⎧⎪⎨⎪⎩ ()382x y x N ⎛⎫∴=∈ ⎪⎝⎭， （Ⅱ）当0x =时，8y =该经过x 个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍. 有38810002x ⎛⎫⋅=⨯ ⎪⎝⎭32log 1000x ∴= lg10003lg 2= 3lg3lg2=- 17.03≈ 答：原先投放的水葫芦的面积为8m 2, 约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍.【点睛】本小题考查数学建模能力、运算求解能力、分析问题和解决问题的能力；考查数学应用意识.21．已知函数1()428x x f x m +=-⋅-（1）若1m =，求方程()0f x =的解；（2）若对于[0,2]x ∀∈，()2f x ≥-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2x =（2）52m ≤-【解析】（1）将1m =代入函数解析式，得到对应方程，结合题中条件求解即可；（2）先令2x t =，由题意得到[1,4]t ∈，化为262t m t ≤-对[1,4]t ∈恒成立，求出262t t -的最小值，即可求解.【详解】（1）1m =，则1()428x x f x +=--，由14280x x +--=，整理为()()24220x x -+=， 因为220x +>，所以240x -=，可得2x =.（2）令2,[1,4]x t t =∈，由2282t mt --≥-， 即262t m t≤-， [1,4]t ∀∈恒成立，只需2min62t m t ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭， 又26322t t y t t-==-在[1,4]t ∈上为增函数，当1t =时，min 15322y =-=-，所以52m ≤-.【点睛】关键点点睛：涉及指数型复合函数或不等式问题，换元后转化为其他基本初等函数问题是常用方法，注意换元后新元的取值范围要准确，恒成立问题一般要转化为求函数的最值问题来解决，本题转化为262t m t≤-后只需利用函数的单调性来求32t y t =-的最小值即可，属于中档题. 22．已知函数()ln g x x =和函数()()22114f x x a x a =-++-（其中a<0）. (1)求()2log 10lg2g ⋅的值.(2)用{}max ,m n 表示,m n 中的最大值，设函数()()(){}max ,(0)h x f x g x x =>，讨论函数()h x 零点的个数.【答案】(1)0(2)当12a <-时，()h x 有1个零点；当12a =-时，()h x 有2个零点；当102a -<<时，()h x 有3个零点.【分析】（1）利用对数的运算法则直接计算得到答案.（2）考虑1x =，1x >和01x <<三种情况，根据二次函数与x 轴的交点情况，分别计算零点个数得到答案.【详解】（1）()()21log 10lg2lg21ln10lg2g g g ⎛⎫⋅=⋅=== ⎪⎝⎭； （2）①()10g =，故1为()g x 的一个零点，()2114f a a =-，由于0a <，则()10f <，所以()()(){}()1max 1,110h fg g ===，即1为函数()h x 的零点；②当1x >时，()()()(){}()0,max ,0g x h x f x g x g x >=≥>，故()h x 在()1,+∞上无零点；③当01x <<时，()()0,g x g x <在()0,1上无零点，所以()h x 在()0,1上的零点个数就是()f x 在()0,1上的零点个数.因为()()22221100,10,Δ(1)2144f a f a a a a a =-<=-<=+-=+， 故当210a +<，即12a <-时，函数()f x 无零点，即()h x 在()0,1上无零点； 当210a +=，即12a =-时，函数()f x 的零点为14，即()h x 在()0,1上有零点14； 当210a +>，即102a -<<时，对称轴111,242a x +⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 在()0,1上有两个零点，即函数()h x在()0,1上有两个零点. 综上所述：当12a<-时，()h x有1个零点；当12a=-时，()h x有2个零点；当12a-<<时，()h x有3个零点.。
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绵阳南山中学届第一学期第三次月考数学试卷考试时间：100分钟试卷满分：100分一．选择题：（每题4分，共计40分）1.已知=2radα,则下列叙述正确的是（）A.α是锐角 B.cos0α> C.α是第一象限角 D.α是第二象限角2.某学生离家去学校，因怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（）A B C D3．函数12()2logxf x x=-的零点所在区间为（）A.1(0,)4B.11(,)42C.1(,1)2D. (1,2)4.幂函数ay x=，by x=，cy x=的图象如下图所示，则实数a，b，c的大小关系为( ) A．a b c>> B. c b a>>C．a c b>> D. b a c>>5已知3tan=α，23παπ<<，那么ααsincos-的值是（）A231+- B231-C231+-D231+6.如表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据,判断它最可能的函数模型是 ( ) dd0t0tOdd0t0tOdd0t0tOdd0t0tOA.一次函数模型B.二次函数模型C.指数函数模型D.对数函数模型7.设sin1,cos1,tan1a b c ===，下列关系正确的是 （ ） A ．c a b >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．a b c >>8.设函数若2log (1),2()11,22xx x f x x -≥⎧⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩,若()1f x >，则x 的取值范围 ( ) A ．(),0(2,)-∞⋃+∞ B ．()0,2 C ．(),1(3,)-∞-⋃+∞D ．()1,3-9.设函数()f x （x R ∈）奇函数1(1),(2)()(2)2f f x f x f =+=+则(5)f = ( ) A. 0 B. 1 C.52D. 5 10.奇函数()f x 在[]2,2-是增函数，且(2)1f -=-，若函数2()21f x t at ≤--对所有的[]2,2x ∈-，[]1,1a ∈-都成立，求实数t 的取值范围 （ ） A. 11t -≤≤ B. 22t -≤≤ C. 2t ≤-或2t ≥ D. 2t ≤-或0t =或2t ≥二．填空题（每题4分，共计20分）11. 已知扇形半径为r ，扇形的面积2s r =，则扇形圆心角为 弧度12. 化简：sin()sin()tan(3)23cos()sin()2παπαπαπαα+++=+-13. 已知角α的终边过点ααcos sin 2),3,4(+-则P 的值为14. 若定义域为R 的偶函数()f x 在［0，＋∞）上是增函数，且1()02f =，则不等式4(log )0f x >的解集是___________15.判断下列命题，其中正确的为 ①若sin 0α>，则α角的终边落在第一或第二象限； ②函数2(1)xy x =<的值域为{|2}y y <； ③函数2sin ()log 2sin a xf x x-=+（0a >且1a ≠）在定义域内是奇函数；④sin cos x x -=，则33sin cos x x -=三．解答题:(每题10分，共计40分)16. 已知集合A =()2{|log 37}x y x =-,B ={|x x 是不大于8的自然数},C ={|}x x a ≤ 求：（I ）A B ⋂；（II ）若A C ⋂≠∅,求a 的取值范围；（III ）若B C ⋂中恰有两个元素，求a 的取值范围.17. 现有A ，B 两个投资项目，投资两项目所获得利润分别是P 和Q （万元），它们与投入资金x (万元)的关系依次是：其中P 与x 平方根成正比，且当x 为4（万元）时P 为1（万元），又Q 与x 成正比，当x 为4（万元）时Q 也是1（万元）；某人甲有3万元资金投资.（I ）分别求出P ，Q 与x 的函数关系式；（ii ）请帮甲设计一个合理的投资方案，使其获利最大，并求出最大利润是多少？18. 已知函数2()1xf x x =+的定义域为()1,1-. 求：（I ）判断并证明()f x 在定义域内的单调性； （II ）解关于t 的不等式1()()02f t f t -+<.19.若函数()f x 同时满足下列两个性质，则称其为“规则函数” ①函数()f x 在其定义域上是单调函数；②在函数()f x 的定义域内存在闭区间[,]a b 使得()f x 在[,]a b 上的最小值是2a，且最大值是2b . 请解答以下问题：(I) 判断函数2()2,((0,))f x x x x =-∈+∞是否为“规则函数”？并说明理由； (II)判断函数3()g x x =-是否为“规则函数”?并说明理由.若是，请找出满足②的闭区间[,]a b ；(III)若函数()h x t =是“规则函数”,求实数t 的取值范围.参考答案一．选择题：二．填空题：11. 2 12 1 13 25- 14. 1{|20}2x x x ><<或 15. ③④ 16.解：由题意知7{|}3A x x =>................................................................................................2分 （I）{3,4,5,6,7}A B ⋂=.........................................................................................................2分 （II）因为A C ⋂≠∅,所以73a >............................................................................................3分 (III)因为B C⋂中恰有两个元素，又{|8}B x N x =∈≤可知{0,1}B C ⋂=..................1分所以12a ≤<.............................................................................................................................2分 17.解：（I ）设P ，Q 与x 的的比例系数分别是12,k k P k =，2Q k x=且都过（4，1）.......................................................................1分 所以：0)P x =≥.............................2分，(0)4xQ x =≥................................2分（II ）设甲投资到A,B 两项目的资金分别为x （万元），（3x -）（万元）(03)x ≤≤，获得利润为y 万元...........................................................................................................................1分绵阳南山中学2016届第三次月考数学试卷由题意知：324xy-=+ 211)14=-+....................................................................1分所以当=1，即x=1时，max1y=....................................................................... ...............2分答：甲在A,B两项上分别投入为1万元和2万元，此时利润最大，最大利润为1万元..1分18.解：（I）()f x在定义域内为增函数..................................................................................1分证明如下：设1x，2x∈()1,1-且12x x<........................................................................ ........1分2()f x-1()f x=()()2221221112222221121111x x x x x x x xx x x x+---=++++=()()21212212()(1)11x x x xx x--++因为1211x x-<≤<，所以21x x->，2110x x->所以有2()f x-1()f x0>即有()f x在定义域内为增函数............................................................................. ..............3分（II）因为()f x定义域为[]1,1-且关于原点对称，又()f x-=21xx-+=()f x-所以()f x在定义域内为奇函数............................................................................. .................2分由1()()02f t f t-+<有1()()()2f t f t f t-<-=-又()f x在()1,1-上单调递增即1112t t-<-<-<.............................................................. .................................................2分所以：11,24t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭..................................................................................................................1分19.解：（I ）22()2(1)1f x x x x =-=--（0x ≥）在(0,1)单调递减，[)1,+∞单调递增，所以()f x 不是“规则函数”.....................................................................................................2分（II ）3()g x x =-在R 上单调递减，假设()g x 是“规则函数”即存在[],a b 满足条件3max ()()2b g x g a a ==-=，3min ()()2ag x g b b ==-=，...............................................2分 且a b <可解得2a =-，2b =，所以闭区间为22⎡-⎢⎣⎦..............................................................2分（III ）因为()h x 是“规则函数”， ()h x t =(1)x ≥即存在区间[],a b满足()h x ∈,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（(1)b a >≥），又因为()h x 在[)1,+∞上单增，min ()()2a h x h a t ===max()()2bh x h b t === ...........................................................................................2分2xt =在[)1,+∞上有两个相异实根(0)m m =≥，即有22210m m t --+=在[)0,+∞上有两个相异实根。