3.5(二维随机变量函数的分布)

600z 60z 2 z 3 15000
z
例2-续3
10 z 20
10 x 10 z x f Z ( z) dx 50 50 z 10 10 1 (100 10z zx x 2 )dx 2500z 10
10
(20 z )3 15000
Z3 = min{X，Y} -1
0
1
-1
3.5.1
P (X，Y)
二维离散型随机变量函数的分布
0.2 (1,-1) 0.1 (1,0) 0.1 (1,1) 0.1 (2,-1) 0 (2,0) 0.1 0 0.3 (3,0) 0.1 (3,1) (2,1) (3,-1)
Z1 = X
Z2 = Y/X Z3 = min{X， Y}
n
3.5.2
二维连续型随机变量函数的分布
推广1
(X，Y)的概率密度为f(x，y)，Z=kX+Y的概率密度．
f Z ( z)
f X ( x ) fY ( y )， 和

f ( x, z kx)dx
特别地，当X和Y独立时, X，Y的概率密度分别为

f X fY

f X ( x) fY ( z kx)dx
计算卷积: 函数自变量为z,积分变量为x,当z取值范围确 定后,x由-∞积分至+ ∞(只需在非零区域内一段上积 分).

z
0 z 10
10 x 10 z x f Z ( z) dx 50 50 0 1 (100 10z zx x 2 )dx 2500 0
z 0或z 20 因为 所以
f X ( x) fY ( z x) 0, f Z ( z) 0.
例2-续4
综上可得:
600z 60z 2 z 3 , 0 z 10, 15000 (20 z )3 f Z ( z) , 10 z 20, 15000 0 其它.
P{( X ,Y ) DZ } f ( x , y )dxdy
其中 DZ {( x, y) g( x, y) z}.
(2)FZ(z)对z求导数，得Z的概率密度为
DZ
d f Z ( z ) FZ ' ( z ) f ( x, y )dxdy dz DZ
3.5.2
3.5.1
二维离散型随机变量函数的分布,
(1 2 )k ( 1 2 ) k k! 1 i 2 k i P{ Z k } e i!(k i )! ( ) ( ) k! i 0 1 2 1 2 (1 2 )k ( 1 2 ) 1 2 k e ( ) k! 1 2 1 2
3.5.2
二维连续型随机变量函数的分布
【 例 3.23】 （ 正 态 分 布 的 可 加 性 ） 设 X 和 Y 都 服 从 N(0,1)且相互独立，求Z = X + Y的概率密度．
解：由卷积公式 f Z ( z ) f X ( x ) fY ( z x )dx
1 ( x ) ( z x )dx 2
3.5.2
二维连续型随机变量函数的分布
推广2
(X，Y)的概率密度为f(x，y)，Z=X+kY的概率密度．
f Z ( z)
f X ( x ) fY ( y )， 和

f ( z ky, y)dy
特别地，当X和Y独立时, X，Y的概率密度分别为

f X fY

f X ( z ky) fY ( y)dy
1/3 0.1
1/2 0.1
1 0.1
3.5.1
二维离散型随机变量函数的分布,
【例3.21】设 X ~ P(1 ),Y ~ P(2 ) , 且 X与Y独立，证 明 Z X Y ~ P(1 2 ) ． 证：
Z X Y
取值为0，1，2，…，
i j k
{Z=k}={ X+Y=k}
2 x t z 42
z ( x )2x 2 2 2
e dx dx
即Z～N(0，2)．
3.5.2
二维连续型随机变量函数的分布
结论：X，Y相互独立，且 X ~ N ( 1 , 12 ) ， ~ N (2 , 2 2 ) Y 2 则 X Y ~ N ( 1 2 , 12 2 ) 推广
□
分布函数法： P{( X , Y ) G } f ( x , y)dxdy
由于参数 z 的取值范围 (， ) ，对 z 进行分段步骤如下 （1）将f (x , y)非零区域为边界线的所有交点求出，不妨设
G
（x1,y）,（x2 ,y2）, ,（xn ,yn） 1
（2）将上述坐标进行运算，例如 z=2X+Y
fZ ( z )

f X ( z y) fY ( y)dy 和 fZ ( z ) f X ( x ) fY ( z x )dx


这两个公式称为卷积公式，记为:
f X fY

f X ( z y ) fY ( y )dy

f X ( x ) fY ( z x )dx
Zi 2 X i Yi
将它们按从小到大的顺序进行排列
z1 z2 z3 z4
（3）对 z 分段
3.5.2
二维连续型随机变量函数的分布
【例3.26】设随机变量X与Y相互独立，且同服从
(0，1)上的均匀分布，试求Z = | X – Y |的概率密度．
解：因为 FZ ( z ) P{| X Y | z}
【例2】(典型题)
10 t , 0 t 10, f (t ) 50 0, 其它, 求Z=X+Y概率密度。
积公式计算:
设随机变量X,Y相互独立,且概率密度均为：
〖 解〗因为X,Y独立,所以和分布概率密度可由卷

f Z ( z) f X ( x) fY ( z x)dx
二维连续型随机变量函数的分布
设(X，Y)的概率密度为f(x，y)，Z=X+Y的概率密度．
f Z (z)

f ( z y, y )dy
f Z (z)


f ( x, z x )dx
特别地，当X和Y独立时, X，Y的概率密度分别为 和 f X ( x ) fY ( y )，则上述两式可分别写成
第3章 多维随机变量及其分布
3.5 二维随机变量函数的分布
3.5.1 二维离散型随机变量函数的分布
设(X,Y)为二维离散型随机变量，
则函数 Z g( X ,Y ) 是一维离散型随机变量．
若已知(X,Y)的分布律，
如何得到 Z g( X ,Y )的分布律?
3.5.1
二维离散型随机变量函数的分布
[


z y

对积分

z y
z y
f ( x, y )dx 作变量变换x = u – y得：
f ( x, y )dx
z
z


f (u y, y )du
z
于是 FZ ( z ) [ f ( u y, y)du]dy [ f ( u y, y)dy]du
k
{ X i, Y j}
i
{ X i, Y k i}, i 0,1, , k
P{Z k} P{ X i}P{Y k i}
(
i 0
i 0 k
1
i
i!
e 1 )(
2
k i
( k i )!
e 2 )
(1 2 )k ( 1 2 ) k k! 1 i 2 k i e i!(k i )! ( ) ( ) k! i 0 1 2 1 2
10 x , 0 x 10, f X ( x) 50 0, 其它,
故得:
10 x 10 ( z x) , 0 x 10, x z 10 x f X ( x) fY ( z x) 50 50 0, 其它,
例2-续2
X Y ~ B(n1 n2 , p)
X ~ P(1 ),Y ~ P(2 )
X Y ~ P(1 2 )
3.5.2
二维连续型随机变量函数的分布
设(X，Y)为二维连续型随机变量，其概率密度为 Z f(x，y)， g( X ,Y )为X，Y的函数，它也是连续型随机 变量． 求Z的概率密度的一般按下面两步进行: (1)求Z的分布函数 FZ ( z ) P{ Z z} P{ g( X ,Y ) z}
3.5.2
二维连续型随机变量函数的分布
z
由 FZ ( z ) [
f ( u y, y)dy]du 对z求导数得

f Z (z)

f ( z y, y )dy
由X，Y的对称性，又有:
f Z (z)

f ( x, z x )dx
3.5.2
1
-1 -1
1
0 0
1
1 1
2
-1/2 -1
2
0 0
2
1/2 1
3
-1/3 -1
3
0 0
3
1/3 1
易得到下列随机变量的分布律(取相同值的概率给以合并)：
Z1 pi Z2 pj -1 0.2 1 0.4 2 0.2 3 0.4 Z3 -1 0 1
pk
0.3
0.4
0.3