无锡市天一中学2009届高三上学期期中测试(数学)
江苏省无锡市天一中学2018--2019学年高三11月月考 数学试题 Word版含解析
2018-2019学年江苏省无锡市天一中学高三11月月考 数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、填空题1．设集合，则_______．A ={1,2,3,5},B ={2,3,6}A ∪B =2．命题：“ 使得”的否定为__________.∃x >0,x +1>03．函数的定义域为_________.y =1‒xx 4．曲线在处的切线的斜率为_________.y =x ‒sinx x =π25．若函数是偶函数，则实数______．f (x )=2x +a2x a=6．已知，函数和存在相同的极值点，则a >0f (x )=x (x ‒a )2g (x )=‒x 2+(a ‒)1x +a ________．a =7．已知函数.若，则实数的最小值为______.f (x )=2sin (ωx +φ)(ω>0)f(π3)=0,f (π2)=2ω8．已知函数与函数的图象交于三点，则的面积为f (x )=sinx (x ∈[0,π])g (x )=13tanxA,B,C ΔABC ________.9．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（−，0）上单调递增.若实数a 满足f （2|a-1|）∞＞f （），则a 的取值范围是______.‒210．已知，且， ，则______．0y x π<<<tan tan 2x y =1sin sin 3x y =x y -=11．在平行四边形中，，则线段的长为．ABCD AC AD AC BD ⋅=⋅3=AC 12．已知，，且，则的最大值为π4<α<π2π4<β<π2sin 2αsin 2β=sin (α+β)cosαcosβtan (α+β)______．13．设是自然对数的底数，函数有零点，且所有零点的和不大于a ≠0,e f(x)={ae x ‒x,x ≤0x 2‒ax +a,x >06，则的取值范围为______．a 14．设函数（）．若存在，使，f(x)=(x ‒a)|x ‒a |‒x |x |+2a +1a <0x 0∈[‒1 ， 1]f(x 0)≤0则的取值范围是____．a 二、解答题15．已知，．sinθ+cosθ=3‒12θ∈(‒π4 ， π4)（1）求的值；θ（2）设函数，，求函数的单调增区间．f(x)=sin 2x ‒sin 2(x +θ)x ∈R f(x)16．如图，在中，已知是边上的一点，△ABC AC =7，∠B =45∘，D AB ，，求：AD =3∠ADC =120∘（1）的长；CD （2）的面积.△ABC 17．在平面直角坐标系中，已知向量,设向量xOy a =(1,0),b =(0,2)，其中.x =a +(1‒cosθ)b,y =‒ka +1sinθb0<θ<π（1）若，，求的值；k =4θ=π6x ⋅y （2）若，求实数的最大值，并求取最大值时的值.x//y k θ18．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．f(x)x f(‒x)=‒f(x)f(x)（Ⅰ）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；f(x)=ax 2+2x ‒4a(a ∈R)f(x)（Ⅱ）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；f(x)=2x+m [‒1,1]m （Ⅲ）若为定义域上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．f(x)=4x ‒m 2x +1+m 2‒3R m 此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号19．如图，、是海岸线、上的两个码头，为海中一小岛，在水上旅游线上．测得A B OM ON Q AB ，，到海岸线、的距离分别为，．tan∠MON =‒3OA =6km Q OM ON 2km 7105km（1）求水上旅游线的长；AB （2）海中 ，且处的某试验产生的强水波圆，生成小时时的半径为P (PQ =6km PQ ⊥OM)P t ．若与此同时，一艘游轮以小时的速度自码头开往码头，试研究强水波是否r =66t 32km 182km/A B 波及游轮的航行？20．已知函数，.f (x )=(4x +2)lnxg (x )=x 2+4x ‒5（1）求曲线在点处的切线方程；y =f (x )(1,f (1))（2）证明：当时，曲线恒在曲线的下方；x ≠1y =f (x )y =g (x )（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.x ∈(0,k ](2k +1)⋅f (x )≤(2x +1)⋅g (x )k2018-2019学年江苏省无锡市天一中学高三11月月考数学试题数学答案参考答案1．{1,2,3,5,6}【解析】【分析】直接利用集合并集的定义求解即可.【详解】因为集合,A={1,2,3,5},B={2,3,6}所以，故答案为.A∪B={1,2,3,5,6}{1,2,3,5,6}【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.A B2．∀x>0,x+1≤0【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题，既要改写量词，又要否定结论，可得原命题的否定形式.【详解】因为特称命题的否定是全称命题,既要改写量词，又要否定结论，故命题“ ”∃x>0, x+1>0的否定是，故答案为.∀x>0,x+1≤0∀x>0,x+1≤0【点睛】本题主要考查特称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.3．(0,1]【解析】【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0 ，分式的分母不等于0 ,列不等式求解即可得结果.【详解】要使函数有意义，y=1‒xx则解得，{1‒x x≥0x≠0⇒{(1‒x)x≥0x≠00<x≤1函数的定义域为，故答案为.∴y=1‒xx(0,1](0,1]【点睛】本题主要考查具体函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不f(x)[a,b]f(g(x))等式求出.a≤g(x)≤b4．1【解析】【分析】求出原函数的导函数，可得到曲线在处的导数值,根据导数的几何意义可得结果.y=x‒sinx x=π2【详解】因为曲线在处的切线的斜率就是曲线在处的导数值，y=x‒sinx x=π2y=x‒sinxx=π2由得 ,y=x‒sinx y'=1‒cosx，∴y'|x=π2=1‒cosπ2=1即曲线在处的切线的斜率为1，故答案为1.y=x‒sinx x=π2【点睛】本题考查了利角导数研究曲线上某点处的切线斜率,曲线在某点处的导数值,即为曲线上以该点为切点的切线的斜率，是中档题.5．1【解析】【分析】由函数是偶函数，利用求得，再验证即可得结果.f (x )=2x +a 2xf (‒1)=f (1)a =1【详解】是偶函数，∵f (x )=2x+a2x ，即，解得，∴f (‒1)=f (1)2+a2=12+2aa =1当时，是偶函数，合题意，故答案为1.a =1f (‒x )=2‒x +12‒x=2x +12x 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；f (x )+f (‒x )=0f (x )‒f (‒x )=0二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解f (0)=0f (1)‒f (‒1)=0参数后，一定要注意验证奇偶性.6．3【解析】【分析】(1)求出函数的导数，可得极值点,通过与有相同的极值点，列方程求的值.y =f (x )y =g (x )a 【详解】，f (x )=x (x ‒a )2=x 3‒2ax 2+a 2x 则，f'(x )=3x 2‒4ax +a 2=(3x ‒a )(x ‒a )令，得或，f'(x )=0x =a a 3可得在上递增；f (x )(‒∞,a3),(a,+∞)可得在递减，极大值点为，极小值点为，f (x )(a 3,a)a3a 因为函数和存在相同的极值点，f (x )=x (x ‒a )2g (x )=‒x 2+(a ‒)1x +a 而在处有极大值，g (x )x =a ‒12所以，所以 ，故答案为3.a ‒12=a3a =3【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于中档题.求函数极值的步骤：f (x )(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表f '(x )f '(x )=0,检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大f '(x )f '(x )=0x 0f (x )x 0值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即f (x )x 0是极值也是最值.7．3【解析】试题分析：由题意得,实数的最小值为T4≤π2‒π3⇒T ≤2π3⇒ω=2πT≥3ω3考点：三角函数周期8．2π3【解析】联立方程与可得，解之得，所以f(x)=sinx g(x)=13tanx13tanx =sinxx =0,π,cosx =13⇒sinx =223，因到轴的距离为，所以的面积为A(0,0),B(π,0),C(x,sinx)AB =π,C(x,sinx)x sinx =223ΔABC ，应填答案。
江苏省无锡市天一高级中学高三数学理上学期期末试卷含解析
江苏省无锡市天一高级中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知一组样本数据点，用最小二乘法得到其线性回归方程为，若数据的平均数为1，则等于A.10B.12C.13D.14参考答案：B2. 下列函数与相等的是A．B．C．D．参考答案：A3. 设α，β∈(0，)且tanα－tanβ=，则（）A．3α+β=B．2α+β=C．3α－β=D．2α－β=参考答案：D【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由题意和三角函数公式变形可得cosα=cos[﹣（α﹣β）]，由角的范围和余弦函数的单调性可得．【解答】解：∵，∴﹣=，∴=+=，∴sinαcosβ=cosα（1+sinβ）=cosα+cosαsinβ，∴cosα=sinαcosβ﹣cosαsinβ=sin（α﹣β）由诱导公式可得cosα=sin（α﹣β）=cos[﹣（α﹣β）]，∵，∴[﹣（α﹣β）]∈（0，π），∴α=﹣（α﹣β），变形可得2α﹣β=，故选：D．【点评】本题考查三角函数恒等变换，熟练应用三角函数公式是解决问题的关键，属中档题．4. 已知是双曲线的两个焦点，以为直径的圆与双曲线一个交点是P，且的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是A. B.C.2D.5参考答案：D5. 函数f（x）=2x﹣x﹣的一个零点所在区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）参考答案：B【考点】函数零点的判定定理．【分析】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通可采用代入排除的方法求解．【解答】解：由 f（1）=1﹣＜0，f（2）=2﹣＞0及零点定理知f（x）的零点在区间（1，2）上，故选B．6. 已知A，B是单位圆上的动点，且|AB|=，单位圆的圆心是O，则·=A．B．C．D．参考答案：C7. 若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是A．B． C．D．参考答案：答案：A8. 试在抛物线y2=﹣4x上求一点P，使其到焦点F的距离与到A（﹣2，1）的距离之和最小，则该点坐标为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，再由抛物线的性质知：当P，A和焦点三点共线且点P在中间的时候距离之和最小，进而先求出纵坐标的值，代入到抛物线中可求得横坐标的值从而得到答案．【解答】解：∵y2=﹣4x∴p=2，焦点坐标为（﹣1，0）依题意可知当A、P及P到准线的垂足Q三点共线时，距离之和最小如图，故P的纵坐标为1，然后代入抛物线方程求得x=﹣，则该点坐标为：（﹣，1）．故选A．9. 下列集合运算正确的是（）A．B．C．D．参考答案：D逐一考查所给的选项：A. ，该选项错误；B. ，该选项错误；C. ，该选项错误；D. ，该选项正确本题选择D选项.10. 集合A={x|x≤a}，B={1，2}，A∩B=?，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】由已知可得a＜1，且a＜2，进而得到a的取值范围．【解答】解：∵集合A={x|x≤a}，B={1，2}，若A∩B=?，则a＜1，且a＜2，综上可得：a∈（﹣∞，1），故选：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，其中n∈N*，当n=1，2，3，…时，f n（x）的零点依次记作x1，x2，x3，…，则= ．参考答案：﹣3考点：极限及其运算．专题：导数的综合应用．分析：利用等比数列的前n项和公式可得：函数f n（x）=+，令f n（x）=0，解得x n=﹣1．再利用极限的运算法则即可得出．解答：解：函数=+=+，令f n（x）=0，解得x n=﹣1．∴=﹣2×1﹣1=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查了等比数列的前n项和公式、数列极限的运算法则，属于基础题．12. 若函数在上可导，，则______；参考答案：因为，所以，所以，所以。
江苏省天一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(物理方向强化班)
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成立，求实数
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的最小
值．
试卷第51 页，共33 页
1．C
参考答案：
【分析】先求出集合 A ，再根据交集的定义求解即可.
【详解】由 4 - x2 ³ 0 ，解得 -2 £ x £ 2 ，所以 A = {x -2 £ x £ 2} ，
又 B = {x 0 < x < 3} ，
又因为 x -1 > 0 ，即 x > 1 ，
所以函数 g(x) = f (x) 的定义域为 (1, 6) ， x -1
故选：A. 3．D 【分析】根据函数的解析式确定图象. 【详解】由题可得， -x2 +1 ¹ 0 ，解得 x ¹ ±1 ，
所以函数 f (x) 的定义域为 (-¥, -1) È (-1,1) È (1, +¥) ，
B．存在 x1 ¹ 1, x2 ¹ 1 ，且 x1 < x2 ，有 f ( x1 ) < f ( x2 )
C．若函数 g(x) 满足 g(2 - x) + g(x) = 8 ，函数 f (x) 与 g(x) 的图像相交于点
A( x1, y1 )、B ( x2 , y2 ) ，则 x1 + y1 + x2 + y2 = 10
x2
-
f(
x1
x1 )
<
0
，且
f
(3)
=
0
，则不等式 (2x
-1)
f
(x)
>
0
的解集是（
）
A．
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-3,
江苏省无锡市高三上学期期中考试数学试题 Word版含答案
无锡市2014年秋学期高三期中考试试卷数 学命题单位：宜兴市教研室 制卷单位：无锡市教育科学研究院注意事项及说明: 本卷考试时间为120分钟， 全卷满分为160分．一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．） 1．已知复数i(1i)(i z =-为虚数单位），则复数z 在复平面上对应的点位于第 ▲ 象限． 2．已知全集{}1,3,5,7,9U =，{}{}1,5,9,3,5,9A B ==，则()U A B ð的子集个数为▲ ．3．若()f x 是定义在R 上的函数，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的 ▲ 条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个）．4．某班要选1名学生做代表，每个学生当选是等可能的，若“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率的23，则这个班的女生人数占全班人数的百分比为 ▲ ． 5．执行如图所示的程序框图,若输出s 的值为11,则输入自然数n 的值是 ▲ ．6． 直线x a =和函数21y x x =+-的图象公共点的个数为▲ ．7．已知向量12,e e 是两个不共线的向量，若122a e e =-与12b e e λ=+共线，则λ= ▲ ．8．若一直角三角形的三边长构成公差为2的等差数列，则该直角三角形的周长为 ▲ ．9．将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位，可得到函数sin(2)4y x π=+的图象，则ϕ的最小值为 ▲ ．10．已知函数2()1f x x ax a =-+-在区间(0,1)上有两个零点，则实数a 的取值范围为 ▲ ．11． 已知函数2,0,1()3,0,4x x x x x f x e x ⎧>⎪⎪++=⎨⎪-⎪⎩≤ 则函数()f x 的值域为 ▲ ．12．若点(,)P x y 满足约束条件0,2,2,x x y a x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≤ 且点(,)P x y 所形成区域的面积为12，则实数a 的值为 ▲ ．13．若函数1()sin()4f x x π=与函数3()g x x bx c =++的定义域为[0,2]，它们在同一点有相同的最小值，则b c += ▲ ．14．已知实数0y x >>，若以x y x λ+为三边长能构成一个三角形，则实数λ的范围为 ▲ ．二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15．已知2,1a b ==，a 与b 的夹角为135．（1）求()(2)a b a b +⋅-的值； （2）若k 为实数，求a kb +的最小值．16．在正四面体ABCD 中，点F 在CD 上，点E 在AD 上，且DF ∶FC =DE ∶EA =2∶3． 证明：（1）EF ∥平面ABC ；（2）直线BD ⊥直线EF ．17．已知函数22()sin cos sin cos f x x x a x a x b =+-+，(,)a b ∈R ．（1）若0a >，求函数()f x 的单调增区间；（2）若[,]44x ππ∈-时，函数()f x 的最大值为3，最小值为1,a b 的值．18．在等差数列{}n a 中，13a =，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11b =，其前n 项和为n T ，且223311,29b S S b +==． （1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项；（2）问是否存在正整数,,m n r ，使得n m n T a r b =+⋅成立？如果存在，请求出,,m n r 的关系式；如果不存在，请说明理由．19．如图，ABC 为一直角三角形草坪，其中90,2C BC ∠==米，4AB =米，为了重建草坪，设计师准备了两套方案：方案一：扩大为一个直角三角形，其中斜边DE 过点B ，且与AC 平行，DF 过点A ，EF 过点C ；方案二：扩大为一个等边三角形，其中DE 过点B ，DF 过点A ，EF 过点C ． （1）求方案一中三角形DEF 面积1S 的最小值； （2）求方案二中三角形DEF 面积2S 的最大值．20．已知函数312()ln ,()23f x x x g x ax x e=⋅=--． （1）求()f x 的单调增区间和最小值；（2）若函数()y f x =与函数()y g x =在交点处存在公共切线，求实数a 的值； （3）若2(0,]x e ∈时，函数()y f x =的图象恰好位于两条平行直线1:l y kx =；2:l y kx m =+之间，当1l 与2l 间的距离最小时，求实数m 的值．方案二无锡市2014年秋学期高三期中考试数学答案一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．一 2．2 3．必要不充分 4．60% 5．4 6．17．12-8．24 9．8π10．2,1) 11．31(,]43-12．16a =- 13．14- 14．12λ<<二、解答题：（本大题共6小题,共90分．）15．解：因为22()(2)2a b a b a b a b +⋅-=-+⋅…………………………………………3分411(22=-+⨯-=． ………………………………………………6分 （2）22222a kb a k b ka b +=++⋅ ……………………………………………………8分2222(1)1k k k =-+=-+．…………………………………………………………10分 当1k =时，2a kb +的最小值为1，………………………………………………………12分 即a kb +的最小值为1． …………………………………………………………14分 16．证：（1）因为点F 在CD 上，点E 在AD 上，且DF ∶FC =DH ∶HA =2∶3， ……1分 所以EF ∥AC ， ………………………………………………………………………………3分 又EF ⊄平面ABC ， AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ．…………………………………………………………………………6分 （2）取BD 的中点M ，连AM ，CM ，因为ABCD 为正四面体，所以AM ⊥BD ，CM ⊥BD ， ……………………………………8分 又AM CM =M ，所以BD ⊥平面AMC ， ………………………………………………10分 又AC ⊂平面AMC ，所以BD ⊥AC ， ……………………………………………………12分 又HF ∥AC ，所以直线BD ⊥直线HF ．……………………………………………………………………14分17．解：（1）因为22()sin cos sin cos f x x x a x a x b =+-+sin 2cos 2x a x b =-+ …………………………………………2分 2sin(2)6a xb π=-+． …………………………………………………… 4分且0a >，所以函数()f x 的单调增区间为[,],63k k k ππππ-++∈Z ． ………………6分（2）当[,]44x ππ∈-时，22[,]633x πππ-∈-，2sin(2)[4x π-∈-， ……8分则当0a >时，函数()f xb +，最小值为2a b -+．所以3,21b a b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得1,3a b == …………………………………10分当0a <时，函数()f x 的最大值为2a b -+b +．所以123,b a b +=--+=⎪⎩ 解得1,1a b =-=． ……………………………………12分综上，1,3a b ==1,1a b =-=．……………………………………………14分 18．解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则23311,2(3332)9,q d d d q +++=⎧⎨++++=⎩ ………………………………………………………2分 解得3,2d q ==． …………………………………………………………………4分所以13,2n n n a n b -==． …………………………………………………………6分（2）因为112221n n n T -=+++=-， ………………………………………7分所以有12132nn m r --=+⋅．………（*）若2r ≥，则1221n nr -⋅>-，（*）不成立，所以1r =，1213n m --=．………9分 若n 为奇数，①当1n =时，0m =，不成立， …………………………………10分②当1n ≥时，设*21,n t t =+∈N ，则12212141333n t t m ----===∈Z ……12分 若n 为偶数，设*2,n t t =∈N ，则121112121241411233333n t t t m ------⋅--====⋅+， 因为1413t --∈Z ，所以m ∉Z ．……………………………………………………14分 综上所述，只有当n 为大于1的奇数时，1211,3n r m --==．当n 为偶数时，不存在． …………………………………………………………16分 19．解：（1）在方案一：在三角形AFC 中，设,(0,90)ACF αα∠=∈，则,AF FC αα==， …………………………………………2分 因为DE ∥AC ，所以E α∠=，2sin EC α=， 且FA FCAD CE=，即2sin AD ααα=， …………………………………4分 解得2cos AD α=， ………………………………………………………………6分所以11224)3(sin 2)2cos sin 3sin 2S αααααα=++=++所以当sin 21α=，即45α=时，1S有最小值7+． …………………………8分 （2）在方案二：在三角形DBA 中，设,(0,120)DBA ββ∠=∈，则si n (120)s i n 60D B A Bβ=-，解得)DB β=-， ……………………………………………………10分 三角形CBE 中，有sin sin 60EB CB β=，解得EB β=， ……………………12分))ββββ-=，…14分，所以面积2S的最大值为243=．……16分 20．解（1）因为()ln 1f x x '=+，由()0f x '>，得1x e>， 所以()f x 的单调增区间为1(,)e+∞，……………………………………………………2分 又当1(0,)x e ∈时，()0f x '<，则()f x 在1(0,)e上单调减， 当1(,)x e ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 在1(,)e+∞上单调增，所以()f x 的最小值为11()f e e=-． …………………………………………………5分 （2）因为()ln 1f x x '=+，21()32g x ax '=-， 设公切点处的横坐标为x ，则与()f x 相切的直线方程为：(ln 1)y x x x =+-，与()g x 相切的直线方程为：2312(3)223y ax x ax e=---， 所以231ln 13,222,3x ax x ax e ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=--⎪⎩…………………………………………………………8分解之得1ln x x e =-，由（1）知1x e=，所以26e a =． …………………………10分（3）若直线1l 过22(,2)e e ，则2k =，此时有ln 12x +=（x 为切点处的横坐标）， 所以x e =，m e =-， ………………………………………………………………11分 当2k >时，有2:l (ln 1)y x xx =+-，1:l (ln 1)y xx =+，且2x >， 所以两平行线间的距离d =，………………………………………12分令()ln (ln 1)h x x x x x x =-+-，因为()ln 1ln 1ln ln h x x x x x '=+--=-， 所以当x x <时，()0h x '<，则()h x 在(0,)x 上单调减；当x x >时，()0h x '>，则()h x 在2(,)x e 上单调增，所以()h x 有最小值()0h x =，即函数()f x 的图象均在2l 的上方，………………13分令22()ln 2ln 2x t x x x =++，则2222222ln 4ln 42ln 22ln 2ln 2()0(ln 2ln 2)(ln 2ln 2)x x x x x x x x x x x x x t x x x x x ++--++'==>++++，所以当x x >时，()()t x t x>，………………………………………………………15分 所以当d 最小时，x e =，m e =-．…………………………………………………16分。
江苏省无锡市天一中学2021-2022学年高三上学期10月测试数学试题
传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，
可以用指数模型：I(t)= ert 描述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位：天)的变化规律，指数增长
率 r 与 R0，T 近似满足 R0=1+rT．有学者基于已有数据估计出 R0=3.28，T=6．据此，在新冠
肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 3 倍需要的时间约为(ln2=0.69)（ ）
得
1 2
x
3
，其解集为
(
1 2
, 3)
，于是得“2
x2
-5x-3<0”的一个必
要不充分条件对应集合必真包含 ( 1 , 3) ， 2
对于 A，A 选项所对集合等于 ( 1 , 3) ，A 不是； 2
对于 B，B 选项所对集合 (3, 1 ) 与 ( 1 , 3) 互不包含，B 不是；
2
2
5
对于 C，C 选项所对集合 (1,6) ( 1 , 3) ，C 是； 2
传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，
可以用指数模型：I(t)= ert 描述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位：天)的变化规律，指数增长
率 r 与 R0，T 近似满足 R0=1+rT．有学者基于已有数据估计出 R0=3.28，T=6．据此，在新冠 肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 3 倍需要的时间约为(ln2=0.69)（ ）
1
A. 2.1 天
B. 2.4 天
C. 2.8 天
D. 3.6 天
7. 在等腰梯形 ABCD 中， AB//CD ， AB 2CD 4 ， AD BC 5 ， E 为 CD 的中
江苏省无锡市天一中学2018--2019学年高三11月月考 数学试题 含答案解析
������������������ ‒ ������,������ ≤ 0 ������2 ‒ ������������ + ������,������ > 0 有零点，且所有零点的和不大于 6，则
������的取值范围为______．
14．设函数������(������) = (������ ‒ ������)|������ ‒ ������| ‒ ������|������| + 2������ + 1（������ < 0）．若存在������0 ∈ [ ‒ 1 ， 1]，使������(������0) ≤ 0，
2018-2019 学年江苏省无锡市天一中学
高三 11 月月考 数学试题
注意事项：
数学
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
( ) ( ) 7．已知函数������(������)
=
2sin(������������
+
������)(������
>
0).若������
������ 3
= 0,������ ������
2
= 2，则实数������的最小值为______.
8．已知函数������(������) = ������������������������(������ ∈ [0,������])与函数������(������) = 13������������������������的图象交于������,������,������三点，则Δ������������������的面积为________.
最新届江苏省无锡市天一中学高三11月月考数学试题(解析版)
2019届江苏省无锡市天一中学高三11月月考数学试题一、填空题1．设集合，则_______．【答案】【解析】直接利用集合并集的定义求解即可.【详解】因为集合,所以，故答案为.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.2．命题：“ 使得”的否定为__________.【答案】【解析】根据特称命题的否定是全称命题，既要改写量词，又要否定结论，可得原命题的否定形式.【详解】因为特称命题的否定是全称命题,既要改写量词，又要否定结论，故命题“”的否定是，故答案为.【点睛】本题主要考查特称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.3．函数的定义域为_________.【答案】【解析】直接由根式内部的代数式大于等于0 ，分式的分母不等于0 ,列不等式求解即可得结果.【详解】要使函数有意义，则，解得，函数的定义域为，故答案为.【点睛】本题主要考查具体函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.4．曲线在处的切线的斜率为_________.【答案】1【解析】求出原函数的导函数，可得到曲线在处的导数值,根据导数的几何意义可得结果.【详解】因为曲线在处的切线的斜率就是曲线在处的导数值，由得,，即曲线在处的切线的斜率为1，故答案为1.【点睛】本题考查了利角导数研究曲线上某点处的切线斜率,曲线在某点处的导数值,即为曲线上以该点为切点的切线的斜率，是中档题.5．若函数是偶函数，则实数______．【答案】1【解析】由函数是偶函数，利用求得，再验证即可得结果.【详解】是偶函数，，即，解得，当时，是偶函数，合题意，故答案为1.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由恒成立求解，（2）偶函数由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.6．已知，函数和存在相同的极值点，则________．【答案】3【解析】(1)求出函数的导数，可得极值点,通过与有相同的极值点，列方程求的值.【详解】，则，令，得或，可得在上递增；可得在递减，极大值点为，极小值点为，因为函数和存在相同的极值点，而在处有极大值，所以，所以 ，故答案为3.【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于中档题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.7．已知函数.若，则实数的最小值为______.【答案】【解析】试题分析：由题意得,实数的最小值为【考点】三角函数周期8．已知函数()[]()sin 0,f x x x π=∈和函数()1tan 3g x x =的图像相交于,,A B C 三点，则ABC ∆的面积为__________． 2π 【解析】联立方程()sin f x x =与()1tan 3g x x =可得1tan sin 3x x =，解之得10,,cos sin 33x x x π==⇒=，所以()()()0,0,,0,,sin A B C x x π，因(),,sin AB C x x π=到x 轴的距离为sin x =，所以ABC ∆的面积为12S π=⨯= 9．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（−∞，0）上单调递增.若实数a 满足f （2|a-1|）＞f （），则a 的取值范围是______. 【答案】13,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】试题分析：由题意()f x 在()0,+∞上单调递减，又()f x 是偶函数，则不等式()(12a f f ->可化为()12a f f ->，则12a -< 112a -<，解得1322a <<． 【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】利用数形结合解决不等式问题时，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：（1）借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效．（2）借助函数图象的性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需要注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现由“数”向“形”的转化． 10．已知0y x π<<<，且tan tan 2x y =， 1sin sin 3x y =，则x y -=______． 【答案】3π 【解析】试题分析：由tan tan 2x y =可得sin sin 2cos cos x y x y =.又因为1sin sin 3x y =所以1cos cos 6x y =.又因为()1cos cos cos sin sin 2x y x y x y -=+=.又因为0y x π<<<所以0x y π<-<.所以3x y π-=.本小题关键是角的和差的余弦公式的正逆方向的应用.【考点】1.余弦和差公式的应用.2.解三角方程.11．在平行四边形ABCD 中，AC AD AC BD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r3=，则线段AC 的长为 ．【解析】试题分析：由AC AD AC BD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 得()0AC AD BD ⋅-=u u u r u u u r u u u r ，即0AC AB ⋅=u u u r u u u r，所以AC AB ⊥，于是AC CD ⊥，又22()AC AD AC AC CD AC AC CD AC ⋅=⋅+=+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即23AC =u u u r ，所以3AC =；【考点】1.向量的数量积；12．已知，，且，则的最大值为______． 【答案】 【解析】利用同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式化简可得，由此得，利用基本不等式可得结果.【详解】，，，可得，，，，，故答案为-4.【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式、两角和的正切公式以及利用基本不等式求最值，属于难题.求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，，利用基本不等式求最值，注意应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”.13．设是自然对数的底数，函数有零点，且所有零点的和不大于6，则的取值范围为______．【答案】【解析】对分四种情况讨论，分别判断函数的单调性与最值，根据单调性、最值，判断函数是否有零点，若函数有零点，判断所有零点的和是否不大于6，综合各种讨论结果，即可得结论.【详解】①，时，在单调递减，且在有一个小于0的零点；时，在单调递增，，在有一个小于1的零点，因此满足条件.②（1）时，在单调递减，在上没有零点.又,故在上也没有零点，因此不满足题意.(2)时，在上单调递减，在上单调递增，在上没有零点.又，故在上也没有零点，因此不满足题意.(3)时，在上没有零点，在上只有零点2，满足条件.(4)时，在上没有零点，在上有两个不相等的零点，且和为,故满足题意的范围是.综上所述，的取值范围为，故答案为.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与零点以及分类讨论思想的应用.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中. 14．设函数,若存在，使，则的取值范围是____．【答案】【解析】存在, 使，等价于，化简的解析式，判断的单调性，讨论的单调区间与区间的关系，求出在上的最小值，令最小值小于或等于零解出即可.【详解】存在, 使，，当时,,在上单调递减；当时,，在上单调递减，在上单调递增；当时，，在上单调递增，(1) 若，即时，在上单调递增,,解得；(2)若，即时，在上单调递减，在上单调递增，，解得，综上，的取值范围是，故答案为.【点睛】本题主要考查不等式有解问题以及利用导数研究函数的单调性、求函数最值，考查了分类讨论思想的应用，属于难题.不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题，还可以转化为有解（即可）或转化为有解（即可）.二、解答题15．已知，．（1）求的值；（2）设函数，，求函数的单调增区间．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，两边平方可得，结合，可得，即；（2）由（1）知，，利用二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间.【详解】（1）由，得，即，所以．因为，所以，所以，即．（2）由（1）知，，所以．令，得，所以函数的单调增区间是，．【点睛】本题主要考查三角函数的单调性、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及正弦函数的单调性，属于中档题.函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，求得增区间；②若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.16．如图，在中，已知是边上的一点，,,求：（1）的长；（2）的面积.【答案】（1）5；（2）.【解析】（1）在中，,,由余弦定理得，解得；（2）在中，由正弦定理得，解得，利用三角形面积公式可得结果.【详解】（1）在中，由余弦定理得，解得.（2）在中，由正弦定理得，，解得，所以.【点睛】本题主要考查正弦定理、三角形面积公式以及余弦定理的应用，属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.17．在平面直角坐标系中，已知向量,设向量，其中.（1）若，，求的值；（2）若，求实数的最大值，并求取最大值时的值.【答案】（1）；（2）；【解析】试题分析：（1）向量数量积问题可以先求向量的坐标，再利用坐标运算；或者先符号运算进行化简，再代入坐标；（2）由向量共线得到与的关系式，用表示出，再利用导数求该函数的最大值，为了便于运算，可以求的最小值；试题解析：（1）（方法1）当，时，，()，则．（方法2）依题意，，则．（2）依题意，，，因为x y，所以，整理得，，令，则.令，得或，又，故. 列表：↘极小值↗故当时，，此时实数取最大值.【考点】1.向量数量积的坐标公式；2.向量共线的坐标公式；3利用导数求函数的最值；18．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．（1）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；（3）若为定义域上的“局部奇函数”，求实数的取值范围.【答案】（1）是；（2）；（3）.【解析】(1)由“局部奇函数”的定义，为“局部奇函数”等价于关于x的方程有解，结合函数，解方程即可得结论；(2)若是定义在上的“局部奇函数”，则在有解，分离参数，利用导数求函数的最值，进而可得实数的取值范围；(3)若是定义域上的“局部奇函数”，则有解，根据分类讨论思想，结合一元二次方程根的分布，列不等式求出满足条件的的取值范围可得结果.【详解】为“局部奇函数”等价于关于x的方程有解．（1）当时，方程即有解，所以为“局部奇函数”．（2）当时，可化为，因为的定义域为，所以方程在上有解．令，则．设，则，当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数．所以时，．所以，即．（3）当时，可化为．，则，从而在有解即可保证为“局部奇函数”．令，1°当，在有解，由，即，解得；2°当时，在有解等价于解得．综上，所求实数m的取值范围为．【点睛】本题考查指数函数的性质、二次函数的性质、新定义问题及分类讨论思想函数与方程思想的应用，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.19．如图，、是海岸线、上的两个码头，为海中一小岛，在水上旅游线上．测得，，到海岸线、的距离分别为，．（1）求水上旅游线的长；（2）海中，且处的某试验产生的强水波圆，生成小时时的半径为．若与此同时，一艘游轮以小时的速度自码头开往码头，试研究强水波是否波及游轮的航行？【答案】（1）；（2）强水波不会波及游轮的航行．【解析】(1)以点为坐标原点，直线为轴，建立直角坐标系，直线的方程为，，由点到直线距离公式得求得直线的方程为，可得交点，结合由两点间距离公式可得的长；(2)设试验产生的强水波圆，生成小时，游轮在线段上的点处，令，求得，，利用导数证明，即恒成立，从而可得结果.【详解】（1）以点为坐标原点，直线为轴，建立直角坐标系如图所示．则由题设得：，直线的方程为，，由，及得，直线的方程为，即，由得即，，即水上旅游线的长为．（2）设试验产生的强水波圆，生成小时，游轮在线段上的点处，则，，，令，则，，，，，，由得或（舍去）+-，时，，即恒成立，亦即强水波不会波及游轮的航行．【点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及直线方程、点到直线距离公式以及利用导数研究函数的单调性求函数的最值，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.20．已知函数，.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，曲线恒在曲线的下方；（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）求出,求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；(2)要使得当时，曲线恒在曲线的下方，即需证，不妨设，则，利用导数证明取得最大值即可得结果；(3)由题意可知，可得不等式可转化为，构造函数，分类讨论，利用导数研究函数的单调性，可证明的最大值小于零，从而可得结论.【详解】（1），，故切线方程是.(2)要使得当时，曲线恒在曲线的下方，即需证，不妨设，则，，令，恒成立，^在单调递减，v又时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减，即当时，取得最大值，当时，，即，当时，曲线恒在曲线的下方，(3)由题意可知，不等式可转化为，构造函数，，在二次函数中，开口向下，对称轴，且过定点，解得，得(舍去），.①当时，即(舍去）或，此时当时，；时,；当时，取得最大值，记为，由得，，而，当时，，即在上递减，当时，，即在上递增，在处取得最小值，只有符合条件，此时解得，不合条件，舍去;②当时，解得，当时，在时取得最大值，即当时，恒成立，原不等式恒成立；③当时，解得，当时，，在时取得最大值，记为，由（2)可知的图象与的图象相同，当时，，原不等式恒成立；综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.。
江苏省无锡市天一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题
D．若 a - b Î[0] ，则整数 a ， b 属同一类
四、多选题
12．已知函数 f ( x), g ( x) 是定义在 R 上的函数，其中 f（x）是奇函数，g（x）是偶函
数，且
f（x）+g（x）＝ax2﹣x，若对于任意
x1
>
x2
>
1，都有
g
( x1 )
x1
-
g ( x2
x2
)
>
4
，则实
数 a 可以为（ ） A．3
数不是同一函数，故 A 错误；
B.两个函数的定义域为 R ,且 y = x2 = x ，所以两个函数是同一函数，故 B 正确；
C. y =
x
5 +
3
x2 -2
的定义域为
ìï5 - x2
í ïî
x
+
3
³0 -2¹
0
，解得：
-
5£x£
5 ，且 x ¹ -1 ，与 y =
5- x2 x +1
的定义域相同，并且在定义域下去绝对值得
试卷第51 页，共33 页
1．C 【分析】利用交集的定义即可求解.
参考答案：
【详解】由题意可知， A Ç B = {x -1 £ x < 3} Ç{0,1, 2,3} = {0,1, 2} .
故选：C. 2．A 【分析】写出该命题的否定即可.
【详解】“ "x Î Z ， x2 + 2x + m £ 0 ”的否定是“ $x Î Z ， x2 + 2x + m > 0 ”. 故选：A 3．B 【解析】利用函数奇偶性的定义和单调性的性质分别对各个选项分析判断即可.
无锡市第一中学2009-2010学年第二学期期中试卷高二数学(理科班)
无锡市第一中学2009－2010学年第二学期期中试卷高二数学(理科班)命题：倪乾峰 审核：冯一成请将本试卷的答案写在答卷纸上.一. 填空题(每题5分共70分)1. 函数x x e x f x sin )(2++=的导函数=')(x f ▲2. 在平面内圆具有性质“经过切点且垂直于切线的直线必过圆心”，将这一性质类比到空间中球的性质为“经过切点且 ▲ ”3．“,14710563==则边长分别为7,5,3和14,10,6的两个三角形相似” 这个推理的大前提是 ▲4. 在(1+x )5－(1+x )6的展开式中，含x 3的项的系数是 ▲5．已知函数2)(x x f =，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 ▲ .6．关于x 的不等式200252≥⋅C C x(2≥x )成立的最小正整数为 ▲7．从3名男生和2名女生中选出3名代表去参加辩论比赛，则所选出的3名代表中至少 有1名女生的选法共有 ▲ 种 (用数字作答)8．若z 为复数，且（3＋z ）i ＝1（i 为虚数单位），则z ＝ ▲9. 若函数xa x x f 3)(3-=在1x =处取极值，则实数a = ▲10．若()4234012341+=++++x a a x a x a x a x ，则31a a +的值为 ▲11．设a 、b 、c 、d ∈R ，则复数))((di c bi a ++为实数的充要条件是 ▲12．用数学归纳法证明3)12(12)1()1(2122222222+=+++-++-+++n n n n n 时，由k n =的假设到证明1+=k n 时，等式左边．．应添加的式子．．是 ▲13. 设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令lg n n a x =，则1299a a a +++ 的值为 ▲14. 观察下列等式：n n i ni 212121+=∑=, n n n i n i 6121312312++=∑=, 23413412141n n n i n i ++=∑=, n n n n i n i 30131215134514-++=∑=, ……………………………… 012211111a n a n a n a n a n a ik k k k k k k k n i k ++++++=----++=∑ 可以推测，当k ≥2（k ∈N*）时，1111,,12k k k a a a k +-===+ ▲ ,2-k a = ▲二. 解答题(共90分)15.(本题满分14分)已知z 、w 、x 为复数,且=x z i ⋅+)31(, w ＝iz +2且 |w |＝52． （1）若w 为大于0的实数,求复数x. （2）若x 为纯虚数，求复数w ．16.(本题满分14分)在二项式n x x )21(33-的展开式中，前三项系数．．的绝对值．．．成等差数列 （1）求展开式的常数项； （2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中各项的系数和。
无锡市天一实验学校2009—2010学年度下学期 八年级数学期中试卷
无锡市天一实验学校2009—2010学年度下学期八年级数学期中试卷命题人：韩 江 审核人：王冬梅一、细心填一填：（本大题共有12小题，16空，每空2分，共32分）1、若代数式xx 1+有意义，则x 的取值范围是 ； 若x x -=-1)1(2，则x 的取值范围是 .2、当x = 时，分式112+-x x 的值为0；分式1x ，422-x x ，xy -23的最简公分母是 ． 3、化简=+-+3932a a a ；化简=-+2323 . 4、若函数2)1(--=k x k y 是反比例函数，则k = .5、在一张比例尺为1：20000的地图上，某村的面积为12cm 2，则该村的实际面积为 m 2．(用科学记数法表示)6、若方程8228-+=-x m x x 有增根，则m = ． 7、如图，□ABCD 中，AB =36，P 、Q 三等分AC ，DP 交AB 于M ，MQ 交CD 于N ，则CN ＝ ．8、如图，在△ABC 中，D 是BA 的延长线上的一点，AB ＝6，AC ＝4，AD ＝3，若CA 的延长线上存在点E ，使△ADE 与△ABC 相似，则AE ＝ ．9、已知直线1+-=x y 与双曲线x y 2-=的交点为A (-1，2)、B (2，-1)，则方程xx 21-=+-的解为 ；不等式x x 21->+-的解集为 . 10、如图，在平面直角坐标系中，点A 是x 轴正半轴上的一个定点，点B 是函数3y x=（0x >）图象上的一个动点，当点B 的横坐标逐渐增大时，OAB △的面积将会越来越小，这是因为 .(填写函数的某条性质)11、如图，已知点A 是一次函数y =x 的图象与反比例函数y =x2的图象在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OA =OB ，那么△AOB 的面积为 .第7题 第8题 第10题 第11题12、如图，矩形OABC 的两边OC ，OA 分别位于x 轴，y 轴上，点B 的坐标为B (320-，5)，D 是AB 边上的一点，将△ADO 沿直线OD 翻折，使A 点恰好落在对角线OB 上的点E 处，若点E 在反比例函数x k y =的图象上，那么k = ．二、精心选一选（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）13、函数x m y =与m mx y -= )0(≠m 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）14、如果把下列各分式中的a 和b 都扩大10倍，那么分式的值不变的是（ ）A 、b a ab +B 、222a b a + C 、b a b a ++2 D 、b a +2 15、某煤厂原计划x 天生产120吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产3吨，因此提前2天完成任务，列出方程为（ ）A 、31202120-=-x xB 、32120120-+=x xC 、31202120-=+x xD 、32120120--=x x 16、若M ),21(1y -、N ),41(2y -、P ),21(3y 三点都在函数xm y 12--=（m 为常数）的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系为（ ）A 、2y ＞3y ＞1yB 、2y ＞1y ＞3yC 、3y ＞1y ＞2yD 、3y ＞2y ＞1y17、如图，小正方形的边长均为1，则下图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的为（ ）18、根据下表，对函数y =3-xx 1- (x >0)作了三个推测： x 1 10 100 1000 10000 …3-xx 1-3 2.1 2. 0l2.001 2.0001 …①y 的值随着x 的增大越来越小；②随着x 的增大，该函数的图象可能在第四象限； ③y 的值随着x 的增大越来越接近于2，但不可能等于2.则推测正确的有( )A 、0个B 、 1个C 、2个D 、 3个B ． A ． AC B C ．D ．三、认真答一答（本大题有6小题，共50分）19、(本题共12分，每小题各3分)(1)化简并求值： 24)44122(22+-÷++--+-y y y y y y y y ，其中y 满足y 2+2y -1=0. (2)已知32-=a ，化简求值：a aa a a a a a 112121222--+---+-. (3)计算：2)32()21528(50-++- (4)解分式方程：22113(1)(3)x x x x x x --+----=1 20、(本题共6分)已知：如图，△PQR 是等边三角形，∠APB ＝120°求证：(1)△PQA ∽△BRP ；(2) 2QR RB AQ =∙.21、(本题共8分)如图所示的网格中有A 、B 、C 三点．(1)请你以网格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，使A 、B 两点的坐标分别为A (2，-4)、B (4，-2)，则C 点的坐标是 ；(2)连结AB 、BC 、CA ，先以坐标原点O 为位似中心，按比例尺2：1在y 轴的左侧画出△ABC 缩小后的△A B C '''，再写出点C 对应点C '的坐标 ，若P （x ，y ）是△ABC 内部任意一点，则点P 的对应点'P 的坐标是 .22、（本题共6分）我们知道，分式和分数有着很多的相似点.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数.类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式.对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如 112122111111x x x x x x x x +-+-==+=+----- . (1)下列分式中，属于真分式的是（ ）A 、122-+x xB 、11-+a aC 、12-y y D 、1122-+b b (2)将假分式112++t t ，化成整式和真分式的和的形式.23、(本题共8分)如图，(),P m n 是反比例函数)0(8<-=x xy 上的一动点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M 、N .(1)当点P 在曲线上运动时，四边形PMON 的面积是否变化？若不变，请求出它的面积，并写出简要过程；若改变，请说明理由；(2)若点P 的坐标是（-4,2），试求四边形PMON 对角线的交点1P 的坐标；(3)随着点P 在曲线上运动，点()111,P m n 也跟着运动，试写出1n 与1m 之间函数的关系式，并说出它的图象的形状.24、(本题共10分)阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度” 活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高度．在同一时刻的阳光下．．．．．．．．．，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）．小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米．小明：测得丁树落在水平地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如图4）．身高是1.6m 的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小明测得他的影长为2米．(1)在横线上直接填写甲树的高度为 米．(2)求出乙树的高度（画出示意图）．(3)请选择丙树的高度为 （ ）A 、6.5米B 、5.75米C 、6.05米D 、7.25米(4)你能计算出丁树的高度吗？试试看．图1 图2 图3 图4无锡市天一实验学校2009—2010学年度下学期八年级数学期中试卷参考答案及评分标准一、细心填一填：（本大题共有12小题，16空，每空2分，共32分）1、01≠-≥x x 且； 1≤x .2、 1 ； )2)(2(-+x x x3、 3-a ； 625+4、 -1.5、 5108.4⨯.6、 4.7、 9.8、 2或4.5.9、 x =-1或2；201<<-<x x 或.10、 的增大而减小随在每个象限内时，反比例函数当x y xk y k =>0.11、2. 12、-12. 二、精心选一选（本大题共有6小题，每小题3分，共18分） 题号 13 1415 16 17 18 答案 CC D B B C 三、认真答一答（本大题有6小题，共50分）19、(本题共12分，每小题各3分)(1)原式=yy 212+ ………………2分 由y 2+2y -1=0得y 2+2y =1.∴原式=1 ………………1分 (2)原式=a – 1………………2分 当32-=a 时，原式=31-………………1分(3)原式=3259+………………3分 (4)32-=x ………………2分 检验………………1分20、(本题共6分)(1)∵等边△PQR ∴∠A +∠1=60°，∠2=∠3=120°又∵∠APB ＝120° ∴∠A +∠B =60°∴∠1=∠B在△PQA 与△BRP 中，∠2=∠3且∠1=∠B ∴△PQA ∽△BRP ………………3分 (2) ∵等边△PQR ∴PQ =QR =RP ∵△PQA ∽△BRP ∴RB PQ RP AQ = ∴RBQR QR AQ =即2QR RB AQ =∙………………3分 注：只要合理，其它方法也可以21、(本题共8分)(1)(6，-4) ………………1分(2)(-3，2) ………………2分 (x 21-，y 21-)………………2分 说明：坐标系建对得1分；位似△A B C '''画对得2分22、（本题共6分）(1)A ………………2分(2)方法一：1211211122++-=++-=++t t t t t t ………………4分 方法二：12112121122+-+=+-++=++t t t t t t t t t ………………2分 12112221++-=+-+-+=t t t t t ………………2分 23、(本题共8分)(1) 四边形PMON 的面积不变………………1分由(),P m n 是反比例函数)0(8<-=x x y 上 得mn =-8，PM = n ，PN =-m∵PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴 ∴四边形PMON 是矩形∴四边形PMON 的面积= PM • PN =- mn =8 ∴四边形PMON 的面积不变………………2分(2) 由于正方形PMON 的对角线互相平分 又∵P （-4,2） ∴1P 的坐标是（-2，1）…2分 (3))0(2111<-=m m n （写出关系式即可）………………2分 该函数的图象是位于第二象限的双曲线的一支. ………………1分24、(本题共10分)(1) 5.1 ………………2分 (3) C ………………2分(2)AB 表示乙树，CD 表示落在教学楼墙壁上的影子，BD 表示地面，AC 表示光线由题意得BD =2.4米，CD =1.2米连结AC 并延长与BD 交于点E由于“在平行光线照射下，不同物体的物高与影长成比例”∴DE =1.2×0.8=0.96米 ∴BE =2.4+0.96=3.36米∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ∴AB ∥CD ∴∆ECD ∽∆EAB ∴BEDE AB CD =即36.396.02.1=AB ∴AB =4.2米 ∴乙树的高度是4.2米. ………………3分(其中示意图1分)注：①本人认为题中核心相似三角形应给出较为详细的过程，次要的可以简略一些故求DE 直接用书上结论，而另一组相似应用过程较为详细.不知是否恰当.②本小题还有很多其它方法，只要合理，均可.(4) AB 表示丁树，CD 表示站在斜坡上的小明，AE 、CF 表示光线由题意得BG =2.4米，GE =3.2米，CD =1.6米，DF =2米过点G 作GH ⊥BG 与AE 交于点H ，过点H 作HM ⊥AB 于M则MH =BG =2.4米，BM =GH ∴AM =8.04.2=3米 ∵AE ∥CF ，GH ∥CD ∴∠HEG =∠CFD ，∠HGE =∠CDF∴∆HGE ∽∆CDF ∴DF GE CD GH =即22.36.1=GH ∴BM =GH =2.56米 ∴AB =AM +BM =3+2.56=5.56米 ∴丁树的高度是5.56米. ………………3分。
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归海木心 QQ：634102564 归海木心 QQ：634102564 无锡市天一中学2009届高三上学期期中测试 （数学） 注意事项： 1. 答卷前考生务必将自己的姓名、考号、考试科目填写在答题纸上，其中考号的涂写务必从左面第1列开始. 2. 交卷时，只交答题纸. 一、填空题：（每小题5分,14小题，共70分，把答案填在答题纸指定的横线上） 1．集合{3,2},{,},{2},aABabABAB若则 ． 2．“1x”是“2xx”的 条件． 3．复数2(2)(1)12iii的值是 ． 4．若向量,0,(),abababcabacaa
与不共线且则向量
的夹角为 ．
5．为了了解高三学生的身体状况．抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1︰2︰3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是 ．
6．设x、y满足条件310xyyxy≤≤≥，则 22(1)zxy的最小值 ．
7．奇函数()[3,7]fx在区间上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为-1，则2(6)(3)ff= ．
8．在ABC中,60A,3AC,面积为332,那么BC的长度为 ． 9．设等差数列112{}0,9,nkkadadaaa的公差不为若是与的等比中项，则k等于 ． 10．以下伪代码： Read x 1f x≤2 Then
体重 50 55 60 65 70 75 频率组距
0．0375 0．0125 归海木心 QQ：634102564
归海木心 QQ：634102564 y←2x－3 Else y←log2x End 1f Pr1nt y 表示的函数表达式是 ．
2．四棱锥PABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图：则四棱锥PABCD的表面积为 ． 12．如下图，在一个边长为3 cm的正方形内部画一个边长为2 cm的正方形，向大正方形内
随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是____________ 3cm2cm 13．设直线1l的方程为022yx，将直线1l绕原点按逆时针方向旋转90得到直线2l，
则2l的方程是 14．已知,ab是不相等的两个正数，在,ab之间插入两组数：12,,,nxxx和12,,,nyyy，（ nN，且2)n≥，使得,a12,,,,nxxxb成等差数列，12,,,,nayyyb,成等比数
列．老师给出下列四个式子：①1()2nkknabx；②211()2nkkabxabn； ③12nnyyyab；④12nnyyyab；⑤12nnyyyab．其中一定成立的是 ．（只需填序号）
二、解答题：（本大题6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并将解答过程写在指定的方框内） 15．（14分） 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a－c）cosB=bcosC. （1）求角B的大小； （2）设2411msinA,cosA,nk,k,mn且的最大值是5，求k的值.
俯视图
左视图
主视图
aa
aDC
BA归海木心 QQ：634102564
归海木心 QQ：634102564 16．（15分） 已知等腰梯形PDCB中（如图1），PB=3，DC=1，PB=BC=2，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD（如图2）. （1）证明：平面PAD⊥PCD； （2）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC 把几何体分成的两部分1:2:MACBPDCMAVV； （3）在M满足（2）的情况下，判断直线PD 是否平行面AMC.
17．（14分） 已知过点A（0，1），且方向向量为22(1,):(2)(3)1aklCxy
的直线与，
相交于M、N两点. （1）求实数k的取值范围；
（2）求证：AMAN定值； （3）若O为坐标原点，且12,OMONk求的值. 归海木心 QQ：634102564
归海木心 QQ：634102564 18．（16分）设常数0a≥，函数2()ln2ln1fxxxax((0,))x. （1）令()()gxxfx(0)x，求()gx的最小值，并比较()gx的最小值与零的大小； （2）求证：()fx在(0,)上是增函数； （3）求证：当1x时，恒有2ln2ln1xxax．
19．（本小题满分15分） 设函数,223,2)1(,)(2bcaafcbxaxxf且求证： （1）4330aba且； （2）函数)(xf在区间（0，2）内至少有一个零点；
（3）设21,xx是函数)(xf的两个零点，则125724|xx|.≤
20．（本题满分16分） 设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是i、j，坐标平面上点nA、*nBnN分别
满足下列两个条件：①1OAj且1nnAAij；②13OBi且1233nnnBBi. （1）求nOA及nOB的坐标； （2）若四边形11nnnnABBA的面积是na，求*nanN的表达式； （3）对于（2）中的na，是否存在最小的自然数M，对一切*nN都有naM若存在，求M；若不存在，说明理由． 归海木心 QQ：634102564
归海木心 QQ：634102564 第Ⅱ部分 加试内容 （满分40分，答卷时间30分钟） 一、解答题：本大题共2小题，每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 1．求曲线xxxy223与x轴所围成的图形的面积． 2．某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数的分布列为 1 2 3 4 5
P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润． （1）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()PA； （2）求的分布列及期望E． 二、解答题：本大题共4小题，请从这4题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记分．每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 3．（几何证明选讲） 如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF·EC （1）求证：P=EDF； （2）求证：CE·EB=EF·EP；
（3）若CE BE=3 2，DE=6，EF= 4，求PA的长
4．（矩阵与变换） 已知曲线C：1xy
（1）将曲线C绕坐标原点逆时针旋转045后，求得到的曲线'C的方程； （2）求曲线C的焦点坐标和渐近线方程.
5．（坐标系与参数方程）
· P E O D C B A F 归海木心 QQ：634102564
归海木心 QQ：634102564 已知直线l经过点(1,1)P,倾斜角6， （1）写出直线l的参数方程; （2）设l与圆422yx相交与两点,AB，求点P到,AB两点的距离之积.
6．（不等式选讲） 设a、b、c均为实数，求证：a21+b21+c21≥cb1+ac1+ba1. 归海木心 QQ：634102564
归海木心 QQ：634102564 数学答案 一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. {1，2，3} 2. 充分而不必要条件 3. 2 4. 2 5. 48 6. 4 7．15
8．7 9．4 10．2232log2xxyxx≤ 2．2222Saa 12．94 13．022yx 14．①② 二．．解答题：本大题共6小题，共90分．解答题应写出必要的计算步骤或推理过程． 15．解：（1）∵（2a－c）cosB=bcosC， ∴（2s1nA－s1nC）cosB=s1nBcosC.„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 即2s1nAcosB=s1nBcosC+s1nCcosB =s1n（B+C） ∵A+B+C=π，∴2s1nAcosB=s1nA.„„„„„„„„„„„„„„„„4分 ∵0∴cosB=21.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 ∵0 （2）mn=4ks1nA+cos2A.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分 =－2s1n2A+4ks1nA+1，A∈（0，322）„„„„„„„„„„„„„„10分 设s1nA=t，则t∈]1,0(. 则mn=－2t2+4kt+1=－2（t－k）2+1+2k2,t∈]1,0(.„„„„„„„„„„12分 ∵k>1，∴t=1时，mn取最大值. 依题意得，－2+4k+1=5，∴k=23.„„„„„„„„„„„14分 16．（1）证明：依题意知：ABCDPADADCD面面又. .PADDC平面 „„„„2分
.PCDPADPCDDC平面平面面又„4分