高三数学12月月考试题理扫描版1
2021年高三上学期12月月考数学(理)试卷 含答案
2021年高三上学期12月月考数学（理）试卷含答案一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．集合A={﹣1，3，5}，若f：x→2x﹣1是集合A到B的映射，则集合B可以是（）A．{0，2，3} B．{1，2，3} C．{﹣3，5} D．{﹣3，5，9}2．若的值等于（）A． B．C． D．3．二面角为，、是棱上的两点，、分别在半平面、内，，且，，则的长为A．1 B． C． D．4．已知为内一点，满足, ,且,则的面积为（）A． B． C． D．5．设是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a1a2a3…a30=，则a3a6a9…a30=（）A．210 B．215 C．216 D．2206．若不等式在区间上有解，则a的取值范围为（）A．（,）B．C．D．7．在直角中，，，为中点（左图）．将沿折起，使得（如图），则二面角的余弦值为A． B． C． D．8．过点作圆的两切线，设两切点为、，圆心为，则过、、的圆方程是A． B．C． D．9．如果，那么的值等于（）A．－1 B．－2C．0 D．210．执行下面的程序框图，输出的S＝（）A．25 B．9 C．17 D．20第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）11．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是__________．12．的所有正约数之和可按如下方法得到：因为，所以的所有正约数之和为22222222++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=，参照上(133)(22323)(22323)(122)(133)91述方法，可求得的所有正约数之和为．13．矩阵A＝（k≠0）的一个特征向量为α＝，A的逆矩阵A－1对应的变换将点（3，1）变为点（1，1）．则a+k = ．14．如图，在中，，，点D在线段AC上，且，，则．15．长、宽、高分别为的长方体，沿相邻面对角线截取一个三棱锥（如图），剩下几何体的体积为．三、解答题（本大题共6小题,满分75分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．如图4，四棱锥中，底面是菱形，其对角线的交点为，且．（1）求证：平面；（2）设，，是侧棱上的一点，且平面，求三棱锥的体积．17．已知定义域为R的函数f（x）＝是奇函数．（1）求a，b的值；（2）若对任意的t∈R，不等式f（t2－2t）＋f（2t2－k）＜0恒成立，求k的取值范围．18．已知数列{a n}的前三项与数列{b n}的前三项相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝8n对任意n∈N*都成立，数列{b n＋1－b n}是等差数列．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）是否存在k∈N*，使得（b k－a k）∈（0,1）？请说明理由．19．选修42：矩阵与变换已知矩阵M＝有特征值λ1＝4及对应的一个特征向量e1＝．（1）求矩阵M；（2）求曲线5x2＋8xy＋4y2＝1在M的作用下的新曲线的方程．20．某校200位学生期末考试物理成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：、、、、．（1）求图中的值;（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生物理成绩的平均值和中位数．21．已知向量，，函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）已知、、分别为内角、、的对边，其中为锐角，，,且，求，和的面积．参考答案1-5：DDCBD 6-10:AAABC11．12．．13．314．15．16．（1）略（2）17．（1）2，1；（2）18．（1）a n＝24－n（n∈N*）， b n＝n2－7n＋14（n∈N*）．（2）不存在k∈N*，使得（b k－a k）∈（0,1）19．（1）（2）x2＋y2＝2．20．（1）（2）73,21．（Ⅰ）；（Ⅱ），，．umV27052 69AC 榬x n-V35089 8911 褑30540 774C 睌30093 758D 疍n26159 662F 是22672 5890 墐。
高三数学12月月考试卷理科试题
中学2021届高三数学12月月考试卷理科制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。
本试题分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部.一共150分，用时120分钟. 参考公式：假如事件A 、B 互斥，那么 球的外表积公式P(A+B)=P(A)+P(B) S=4πR 2假如事件A 、B 互相HY ，那么 其中R 表示球的半径P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式 假如事件A 在一次试验中发生的概率是 334R V π=球P ，那么n 次HY 重复试验中恰好发生k 其中R 表示球的半径次的概率kn k k n n P P C k P --=)1()(第一卷〔选择题，一共50分〕一、择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项最符合题目要求的。
〕1．向量a =),36(2λλ+ ，i =(1,0)和j =(0,1)，假设a ·j =－3，那么向量a 与i 的夹角<a ，i >=〔 〕A ．3π B ．－6π C ．56π D ．6π 2．设全集U=R ，非空集合P={x||x －1<a}与集合M={x|x 2－4>0}之间满足P ∩C U M=P ， 那么实数a 的取值范围是〔 〕A ．0<a<3B ．0<a<1C ．0<a ≤3D ．0<a ≤13．角α的终边经过点P 〔tan β，sin β〕，且cos β=－21，那么α的一个值是 〔 〕A ．32π B ．65π C ．π－arctan21D ．π－arctan2 4．“一个几何体在三个两两垂直的平面上的射影是三个全等的圆〞是“这个几何体是球〞的〔 〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．a 、b 、c 是互不相等的三个实数，且c b a 1,1,1成等差数列，那么bc ab --=〔 〕A ．ac B ．ba C ．ca D ．cb 6．P 1〔x 1，y 1〕是直线l ：f(x ，y)=0上的一点，P 2〔x 2，y 2〕是直线l 外的一点，那么由方程f 〔x ，y 〕+f 〔x 1，y 1〕+f 〔x 2，y 2〕=0表示的直线与直线l 的位置关系是 〔 〕A ．互相重合B ．互相平行C ．互相垂直D ．互相斜交7．一正四棱锥的高为22，侧棱与底面所成的角为45°，那么这一正四棱锥的斜高等于〔 〕A ．26B ．23C ．43D ．228．从一块短轴长为2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b 2，4b 2]，那么这一椭圆离心率e 的取值范围是〔 〕A ．]23,35[B ．]22,33[C ．]22,35[D ．]23,33[9．设函数)()0(1)6sin()(x f x x f '>-+=的导数ωπω的最大值为3，那么f (x )的图象的一条对 称轴的方程是〔 〕A ．9π=xB ．6π=xC ．3π=xD ．2π=x10．设表示复数z=x +y i (x 、y ∈R)的点Z 〔x ，y 〕位于不等式组⎩⎨⎧<+-<--010122y x x x 确定的平面区域，对于任意实数a ，那么表示复数2)(11az z a z w ++--=的点W 一定位于〔 〕 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限第二卷〔非选择题，一共100分〕二、填空题：本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分.把答案填在答题卡的相应位置上.11．以曲线y 2=8x 上的任意一点为圆心作圆与直线x+2=0相切，这些圆必过一定点，那么这一定点的坐标是 .12．曲线C 与曲线y=2x－3的图象关于直线l ：y=x 对称，那么曲线C 与l 有一个交点位于区间〔写出一个长度为1的开区间即可〕。
高三数学12月月考试卷 理含解析 试题
八中东校12月份月考高三试题理科数学制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日第一卷〔60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．1.在复平面上满足条件的复数z所对应的点的轨迹是( )A. 椭圆B. 直线C. 线段D. 圆【答案】C【解析】设〔〕，由，得，所以，即点到两点和的间隔和为，所以复数在复平面上对应点的轨迹为线段，应选C.2.假设集合( )A. B. C. D.【答案】C【解析】应选C分析：由集合A和B的取值范围，找出它们的公一共局部，就得到集合A∩B．解答：解：∵A={x|-1≤x≤1}，B=∴A∩B═{x|-1≤x≤1}∩="{x|0≤x≤1" }．故答案为：C点评：此题考察交集的运算，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．3.某同学用搜集到的6组数据对(其中)制作成如下图的散点图(点旁的数据为该点坐标)，并由最小二乘法计算得到回归直线l的方程为，相关系数为r．现给出以下3个结论：( )①r>0；②直线l恰好过点D．③>1；其中正确结论是A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】A【解析】由图可知这些点分布在一条斜率大于零的直线附近，所以为正相关，即相关系数因为所以回归直线的方程必过点，即直线恰好过点；因为直线斜率接近于AD斜率，而，所以③错误，综上正确结论是①②，选A.4.数列的前n项之和为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过题干条件得到数列是由一个等差和一个等比数列构成的，故按照各自的求和公式进展分组求和即可.【详解】数列的通项为：，求和可以分为一个等差数列，首项为2，公差为1，和一个等比数列，首项为，公比为，将两个数列分别求和，=化简得到.故答案为：C.【点睛】这个题目考察了等差数列和等比数列的求和公式的应用，也考察了分组求和的方法，较根底. 数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。
山东省济宁市第一中学2024届高三上学期12月月考数学试题(解析版)
济宁一中高三12月份定时检测数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项．）1. 已知1i22i z -=+，则z z -=（ ）A. i -B. iC. 0D. 1【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算求出z ，再由共轭复数的概念得到z ，从而解出．【详解】因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----====-++-，所以1i 2z =，即i z z -=-．故选：A ．2. 若集合{}2230A x x x =--≤，(){}lg 10B x x =+≤，则A B ⋃=（ ）A. {}10x x -≤≤ B. {}10x x -<≤C. {}13x x -≤≤ D. {}13x x -<≤【答案】C 【解析】【分析】由一元二次不等式的解法求A ，再根据对数函数的定义域及单调性求B ，最后求并集即可.【详解】由()()[]2231301,3x x x x x --=+-≤⇒∈-，即{}13A x x =-≤≤，由()(](]lg 10lg110,11,0x x x +≤=⇒+∈⇒∈-，即{}10B x x =-<≤，故A B ⋃={}13x x -≤≤.故选：C3. 已知()2,3AB = ，()3,AC t = ，1BC = ，则AB BC ⋅=（ ）A 8B. 5C. 2D. 7【答案】C 【解析】.【分析】由()1,3BC AC AB t =-=-及1BC = ，可得3t =，从而根据向量数量积的坐标表示即可求解.【详解】解：因为()2,3AB = ，()3,AC t = ，所以()1,3BC AC AB t =-=-，因为1BC = ，所以()22131t +-=，解得3t =，所以()1,0BC =u u u r，所以21302AB BC ⋅=⨯+⨯=，故选：C.4. 函数()3e e x xf x x-+=的图像可能是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】先判断函数奇偶性，以图像的对称性排除错误选项CD ；再以图像的切线情况去排除错误选项A ，即可得到函数()3e e x xf x x -+=的正确图像.【详解】()3e e x xf x x -+=的定义域为{}0x x ≠()()()()33e e e e x x x xf x f x x x ----++-===---，则()f x 为奇函数，其图像关于原点中心对称，排除选项CD ；()()()()()3264e e 3e e e 3e e xx x x xx x x x x e x f x x x ------+--+'==的则()()()1010101010104410e e 3e e 7e 13e 1001010f -----+-'==>即函数()f x 在点()()10,10f 的切线斜率为正值，选项A 的图像在第一象限内每一点的切线斜率均为负值，故排除选项A.选项B 的图像在第一象限内存在切线斜率为正值的点.故选：B 5. 已知1sin ,123πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭则sin 23πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 29-B.29C. 79-D.79【答案】D 【解析】【分析】设12παθ=-，则1,sin 123πθαα=+=，则sin 2sin 3223[1πππθα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简，由余弦的二倍角公式可得答案.【详解】设12παθ=-，则1,sin 123πθαα=+=，从而2[7sin 2sin 2sin 2cos 212sin 3329πππθαααα⎛⎫⎛⎛⎫+=+=+==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝⎭.故选：D【点睛】关键点睛：本题考查三角函数中知值求值的问题，解答本题的关键是设12παθ=-，然后可得sin 2sin 32]23[1πππθα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，属于中档题.6. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，2532a a a =，47245a a +=，则5S =（ ）A. 29 B. 31C. 33D. 36【答案】B 【解析】【分析】根据2532a a a =，47245a a +=可求出首项1a ，公比q ，然后利用等比数列求和公式即可求解.【详解】因为数列{}n a 是等比数列，2532a a a =，所以3252222a a a a q a q =⨯=，即222a q =，则42a =.又因为47245a a +=，故有714a =.所以37418a q a ==，则12q =，所有41316a a q ==，所有551161231112S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-，故B 项正确.故选：B.7. 已知抛物线()220x py p =>上一点(),1M m 到焦点的距离为32，则其焦点坐标为（ ）A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,02⎛⎫⎪⎝⎭C. 1,04⎛⎫⎪⎝⎭D. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】由抛物线的定义可求p 的值，进而可求焦点坐标.【详解】解： 抛物线()220x py p =>上一点(),1M m 到焦点的距离为32，∴由抛物线的定义知322M p y +=，即3122p +=，所以1p =，所以122p =，∴抛物线的焦点坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：A .8. 如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid ），亦称为阿基米德多面体，如图2，设1AB =，则平面BCG 与平面EMQ 之间的距离是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】不妨记正方体为22221111A B C D A B C D -，设对角线21A C 分别交平面EMQ 和平面BCG 于点1M ，1N ，可推出11M N 即为平面EMQ 与平面BCG 的距离，结合等体积法求得21A M ，结合对称性求得11M N 即可．【详解】如图，不妨记正方体为22221111A B C D A B C D -，1122//A D B C ，1122A D B C =，故四边形1122A D C B 是平行四边形，所以1221//A B C D ，又E ，Q 分别为12A A ，22A B 的中点，所以12//EQ A B ，同理21//BG C D ，所以//EQ BG ，又EQ ⊄平面BCG ，BG ⊂平面BCG ，所以//EQ 平面BCG ，同理//EM 平面BCG ，又EM EQ E ⋂=，EM ，EQ ⊂平面EMQ ，所以平面//EMQ 平面BCG ，设对角线21A C 分别交平面EMQ 和平面BCG 于点1M ，1N ，因为12C C ⊥平面2222A B C D ，MQ Ì平面2222A B C D ，所以12C C MQ ⊥，连接2211,A C A C ，因为,M Q 分别为2222,D A B A 的中点，故22A C MQ ⊥，又12C C ，22A C ⊂平面1221A A C C ，12222C C A C C = ，所以MQ ⊥平面1221A A C C ，又21A C ⊂平面1221A A C C ，所以21A C MQ ⊥，同理21A C EQ ⊥，又MQ EQ Q ⋂=，MQ ，EQ ⊂平面EMQ ，所以21A C ⊥平面EMQ ，又平面//EMQ 平面BCG ，所以21A C ⊥平面BCG ，11M N 即为平面EMQ 与平面BCG 的距离，则11212111M N A C A M N C =--，得21A C ==，由题意得222EA MA QA ===EMQ 为等边三角形，故21EMQ S ==，根据22E A MQ A EMQ V V --=，得1111323M ⨯=，解得21A M =根据对称性知2111A M N C =，所以112121112M N A C A M N C =--=-=，则平面EMQ 与平面BCG ．故选：D【点睛】方法点睛：求点到平面的距离方法，一是建立空间直角坐标系，利用空间向量求解；二是利用等体积法求解；三是作出辅助线，在三角形中结合余弦定理等方法进行求解.二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9. 下列表述正确的是（ ）．A. 如果0a b >>，c d >，那么ac bd >B. 如果0a b >>>C. 如果0a b >>，0c d >>，那么11ac bd<D. 如果0a b ≥>，那么2a bb a +≤≤【答案】BCD 【解析】【分析】根据函数的单调性、不等式的性质等知识逐个验证选项即可．【详解】A ．如果0a b >>，c d >，取2a =，1b =，1c =-，2d =-，则2ac bd =-=，故A 错误；B ．由于12y x ==在[0,)+∞为单调增函数，从而若0a b >>>B 正确；C ．如果0a b >>，0c d >>，则0ac bc bd >>>，而1()f x x =在(0,)+∞上单调递减，从而11ac bd<，故C 正确；D ．如果0a b ≥>，则22a a b b ≥+≥，故2a bb a +≤≤，故D 正确．故选：BCD ．10. 已知直线:210l x my ++=，圆22:3E x y +=，则下列说法正确的是（ ）A. 直线l 必过点(1,0)B. 直线l 与圆E 必相交C. 圆心E 到直线l 的距离的最大值为1D. 当12m =时，直线l 被圆E 【答案】BC 【解析】【分析】利用直线和圆的相关性质求解即可.【详解】易知直线l 必过点(1,0)-，故A 错误；点(1,0)-在圆E 内，所以直线l 与圆E 必相交，故B 正确；圆心(0,0)E 到直线l 的距离d =，当0m =时距离取最大值1，故C 正确；当12m =时，直线:10l x y ++=，则直线l 被圆E 截得的弦长为=，故D 错误．故选：BC11. 把函数sin y x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移π6个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则（ ）A. ()g x 在π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B. ()g x 在[]0,π上有2个零点C. ()y g x =的图象关于直线π12x =对称D. ()g x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎢⎣【答案】BC 【解析】【分析】由题意，由函数sin(+)y A x ωϕ=的图象变换规律，求得()y g x =的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，逐一判断各选项得出结论.【详解】把函数sin y x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得到sin 2y x =的图象；再把所得曲线向左平移π6个单位长度，得到函数()πsin(2)3y g x x ==+的图象，π5π(,36x ∈时，π2(π,2π)3x +∈，则()g x 在π7π(,)312单调递减，在7π5π(,)126单调递增，故A 错误；令()0g x =，得π2π(Z)3x k k +=∈，即ππ26k x =-，因为[0,π]x ∈，所以ππ0π26k ≤-≤，解得1733k ≤≤，因为Z k ∈，所以1k =或2k =，所以()g x 在[]0,π上有2个零点，故B 正确；因为ππππ()sin(2)sin 1121232g =⨯+==，为()g x 的最大值，所以直线π12x =是()y g x =的图象的一条对称轴，故C 正确；当π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2ππ2,333x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，()g x ⎡∈-⎢⎣，故D 错误.故选：BC12. 如图，1P 是一块半径为1的圆形纸板，在1P 的左下端前去一个半径为12的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个前掉半圆的半径）得图形3P ，4,,,n P P ，记纸板n P 的周长为n L ，面积为n S ，则下列说法正确的是（ ）A. 37142L π=+ B. 31132S π=C. 1111222n n n L π-+⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ D. 1212n n n S S π++=-【答案】ABD 【解析】【分析】观察图形，分析剪掉的半圆的变化，纸板n P 相较于纸板1n P -()2n ≥剪掉了半径为112n -的半圆，再分别写出n L 和n S 的递推公式，从而累加得到通项公式再逐个判断即可【详解】根据题意可得纸板n P 相较于纸板1n P -()2n ≥剪掉了半径为112n -的半圆，故1111122222n n n n L L π---=-⨯+⨯，即112122n n n n L L π----=-，故12L π=+，2110122L L π-=-，3221122L L π-=-，4332122L L π-=- (1121)22n n n n L L π----=-，累加可得1210121112......222222n n n L ππππ--⎛⎫⎛⎫=+++++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111112222111122n n ππ--⎛⎫-- ⎪⎝⎭=++---1211222n n π--⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以132171421222L ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭=+，故A 正确，C 错误；又1211122n n n S S π--⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故1212n n n S S π---=-，即1212n n n S S π++=-，故D 正确；又12S π=，2132S S π-=-，3252S S π-=- (121)2n n n S S π---=-，累加可得3521...2222n n S ππππ-=----111841214n ππ-⎛⎫- ⎪⎝⎭=--211132n π-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故31132S π=正确，故B 正确；故选：ABD三、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1≠0，a 1＋a 5＝3a 2，则1020S a =_____．【答案】114##2.75【解析】【分析】由1523a a a +=，得到1a 与d 的关系，再利用等差数列的前n 项和公式和通项公式求解.【详解】解：1523a a a += ，∴112433a d a d +=+，∴1a d =，1012011045551119204S a d d a a d d +===+．故答案为：11414. 已知双曲线2222:1x y M a b-=的左焦点为F 1，A ，B 为双曲线M 上的两点，O 为坐标原点若四边形1F ABO 为菱形，则双曲线M 的离心率为___________.1+【解析】【分析】利用双曲线的对称性，连结1BF ，2BF ，根据图形分析可得12BF F △是直角三角形，且260BF O ∠= ，在结合双曲线的定义，即可得到双曲线的离心率.【详解】如图，设双曲线的右焦点2F ，连结1BF ，2BF ，四边形1F ABO 是菱形，1212BO F F ∴=，12BF BF ∴⊥，并且根据对称性可知2OBF △是等边三角形，260BF O ∴∠=，1BF ∴=，根据双曲线定义可知，122B F B F a -=，2c a -=，即1c a ==1题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式ce a=求解；2.公式法：c e a ===，3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.15. 如图，已知正四棱台的两底面均为正方形，且边长分别为20cm 和10cm ，侧面积为2780cm ，则其体积为________．【答案】32800cm 【解析】【分析】利用四棱台的结构特征，作出辅助线，根据侧面积列出方程，求出正四棱台的高，结合棱台的体积公式计算得结论【详解】如图，取11A B 的中点1E 、AB 的中点E ，上、下底面的中心1O 、O ，则1E E 为斜高，四边形11EOO E 为直角梯形．正四棱台的侧面积1114(1020)7802S EE =⨯⨯+⨯=，113cm EE ∴=，在直角梯形11EOO E 中，过点1E 作1M ⊥OE 于点M ，则115cm O E OM ==，11O O E M =，因为111115cm 2O E A B ==，110cm 2OE AB ==，所以5EM OE OM =-=cm ，1112O O E M ∴====cm ，∴该四棱台的体积为()()223112102010202800cm 3V =⨯⨯++⨯=故答案为：32800cm 16. 已知函数()()1f x x sinx cosx =++，若对于任意的()1212,0,2x x x x π⎡⎤∈≠⎢⎥⎣⎦，均有()()1212|x x f x f x a e e --成立，则实数a 的取值范围为______．【答案】[)1,+∞【解析】【分析】求导可知函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，进而原问题等价于对于任意的()1212,0,2x x x x π⎡⎤∈≠⎢⎥⎣⎦，均有()()1212x x f x ae f x ae ->-，构造函数()()x h x f x ae =-，则函数()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，求导后转化为最值问题求解即可．【详解】解：()()()sin 1cos sin 1cos f x x x x x x x =++-=+'，任意的()1212,0,2x x x x π⎡⎤∈≠⎢⎥⎣⎦，()0f x '>恒成立，所以()f x 单调递增，不妨设12x x <，则()()12f x f x <，又12x x e e <，故()()1212|xxf x f x a e e --等价于()()2121x xf x f x ae ae -<-，即()()1212xxf x ae f x ae ->-，设()()()1,0,2x xh x f x ae x sinx cosx ae x π⎡⎤=-=++-∈⎢⎥⎣⎦，易知函数()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故()()'10xh x x cosx ae =+-≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即()1xx cosx a e +≥在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，设()()1,0,2xx cosx g x x eπ+⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则()()()211'0()x xx xcosx x sinx e x cosx e xsinx sinx xcosx g x e e ⎡⎤-+-+⋅---⎣⎦==≤，故函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，则()()01max g x g ==，故1a ≥．故答案为：[)1,+∞．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值及不等式的恒成立问题，考查转化思想，属于中档题．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知函数()sin()14f x x x π=+-．（1）求()4f π的值及()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在区间[0,2π上的最大值和最小值．【答案】（1）(14f π=；单调递增区间为3[,]88k k ππ-+π+π，Z k ∈（2；最小值1-【解析】【分析】（1）由()sin()14f x x x π=+-，直接求()4f π；将函数转化为())4f x x π=+，利用正弦函数的性质求解；（2）根据函数())4f x x π=+，利用正弦函数的性质求解.【小问1详解】解：()sin 1442f πππ=-，11=-，1=；()sin(14f x x x π=+-，)1x x x =⋅-， 22sin cos 2cos 1x x x =+-，sin 2cos 2x x =+，4x π=+，令222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，322244k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈，388k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈， 所以()f x 的单调递增区间为3[,]88k k ππ-+π+π，Z k ∈；【小问2详解】因02x π≤≤，所以52444x πππ≤+≤，所以sin 214x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， 故124x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，当2,42x ππ+=即8x π=时，()f x；当2,44x π5π+=即2x π=时，()f x 有最小值1-.18. 已知等差数列{}n a 满足1235n n a a n ++=+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()22nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）1n a n =+ （2）()1422n n T n +=-++【解析】【分析】（1）利用赋值法可得数列的首项及公差；（2）利用错位相减法求数列的前n 项和.【小问1详解】当1n =时，1228a a +=①，当2n =时，23211a a +=②，②-①得，33d =，解得1d =，所以12112228a a a a +=++=，12a =，所以()2111n a n n =+-⨯=+；【小问2详解】由（1）得1n a n =+，为则()()2232nn n nn b a =++=，()()12314252622232n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+++++ ，()()234124252622232n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+++++ ，()12314222232n n n T n +∴-=⨯++++-+ ()()21121283212n n n -+-=+-+-()1422n n +=-+，()1422n n T n +∴=-++.19. 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，E 是BC 的中点.（1）求证：1//BD 平面1C DE ；（2）已知120ABC ∠=︒，1AA =，求直线1A D 与平面1C DE 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析. （2【解析】【分析】（1）连接1CD 交1DC 于O ，连接OE ，易得1//OE BD ，再根据线面平行的判定即可证结论.（2）F 为AB 中点，结合已知可构建以D 为原点，,DF DC ，1DD为x 、y 、z 轴正方向的空间直角坐标系，设1AA ==，写出对应点坐标，并求出直线1A D 的方向向量和平面1C DE 的法向量，由空间向量夹角的坐标表示求直线1A D 与平面1C DE 所成角的正弦值.【小问1详解】由题设，连接1CD 交1DC 于O ，易知：O 是1CD 的中点，连接OE ，∵E 是BC 的中点，∴1//OE BD ，又OE ⊂面1C DE ，1BD ⊄面1C DE ，∴1//BD 面1C DE .【小问2详解】底面ABCD 是菱形，120ABC ∠=︒，即60DAB ∠=︒，若F 为AB 中点，则DF AB ⊥，∴30ADF ∠=︒，故在直四棱柱1111ABCD A B C D -中有DF DC ⊥、1DD DC ⊥、1DD DF ⊥，∴可构建以D 为原点，,DF DC ，1DD为x 、y 、z轴正方向的空间直角坐标系，设1AA ==，∴1131(0,0,0),,0),42D E C A -，则1131,0),42DE DC DA ===- ，若(,,)m x y z = 是面1C DE的一个法向量，则13040DE m x y DC m y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，令x =m=-，∴111|cos,|||||||m DAm DAm DA⋅<>===，故直线1A D与平面1C DE.20. 已知等比数列{}n a的前n项和为n S，且11a=，6328SS=，数列{}nb满足()33log1n nb a=+．（1）求数列{}n a和{}n b的通项公式；（2）若对任意的*n∈N，3n nb aλ<恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】（1）13nna-=，*n∈N；32nb n=-，*n∈N（2）9,4⎛⎫-∞⎪⎝⎭．【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a的公比为q，由6328SS=求得公比，再由11a=求解；进而由()33log1n nb a=+求解.（2）由332nnλ<-对于任意的*n∈N恒成立，令()332nf nn=-，*n∈N，求得其最小值即可.【小问1详解】解：设等比数列{}n a的公比为q，由6328SS=，显然1q≠，所以631281qq-=-，解得3q=，由于11a=，所以{}n a的通项公式为13nna-=，*n∈N；所以()1333log13log3132nn nb a n-=+=+=-，*n∈N，所以{}n b的通项公式为32nb n=-，*n∈N．【小问2详解】因为3n nb aλ<恒成立，即332nnλ<-对于任意*n∈N恒成立．的令()332nf n n =-，*n ∈N ，则()()()()()136733131323132n n nn f n f n n n n n +⋅-+-=-=+-+-，当1n >时()()1f n f n +>，，所以()()()()1234f f f f ><<<⋅⋅⋅，即()f n 的最小值为()924f =，所以实数λ的取值范围为9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.21. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点⎛ ⎝，且C（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0P 的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求PA PB ⋅的取值范围．【答案】（121y +=；（2）3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、、c 的方程组，解出a 、b 的值，进而可求得椭圆C 的方程；（2）对直线l 分两种情况讨论，直线l 与x 轴重合时，直接求出PA PB ⋅的值，在直线l 不与x 轴重合，设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可得出PA PB ⋅关于m 的代数式，综合可得出PA PB ⋅的取值范围．【详解】（1）由题意得222221314c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩.所以椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）分以下两种情况讨论：①若直线l 与x 轴重合，则()()21113PA PB a a a ⋅=-⋅+=-=；②若直线l 不与x 轴重合，设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 可得()224230m y my ++-=，则()()22241241630m m m ∆=++=+>恒成立，由韦达定理可得12224m y y m +=-+，12234y y m =-+，由弦长公式可得()()221223114m PA PB m y y m +⋅=+⋅=+()2223499344m m m +-==-++，244m +≥ ，则299044m <≤+，所以，2393344m ≤-<+.综上所述，PA PB ⋅的取值范围是3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.22. 已知函数()21)xf x e ax a =-->（，（1）证明：函数()y f x =在(),0∞-内存在唯一零点；（2）若函数()y f x =有两个不同零点12,x x 且12x x >，当12x x -最小时，求此时a 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）2.【解析】【分析】（1）求出导数，可判断()f x 在(,0)-∞单调递减，再根据零点存在性定理即可判断；（2）令120t x x =->，则由题可得()22212x t x e e ea tx --==，利用导数可得1()(0)t e g t t t -=>在(0,)+∞单调递增，判断出要求t 的最小值即求()g t 最小值，构造函数()22222x x e v x x e -=，利用导数判断单调性求出其最小值即可.【详解】（1）()x f x e a '=-， 0x <，1x e ∴<，又1a >，∴()0f x '<，∴()f x 在(,0)-∞单调递减，(0)10f =-<，220a f e a -⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，存在唯一02,0x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭使得0()0f x =，所以函数()y f x =在(),0∞-内存在唯一零点；（2）由条件知12122020x x e ax e ax ⎧--=⎨--=⎩，1212121222x x x x e e e e a x x x x ---∴===-，令()22122120,x t x e e e t x x a t x --=->∴==，则有22212x t x e e t x e --=，令1()(0)t e g t t t -=>，2(1)1()t t e g t t -+='，令()(1)1t h t t e =-+，()0th t te =>'，()h t ∴(0,)+∞单调递增，()(0)0h t h ∴>=，()g t ∴在(0,)+∞单调递增，要求t 的最小值即求()g t 最小值，令()22222x x e v x x e -=，()()()22222222222222,12220x x x x x x e x e x e v x x x e x e'-+-+-==<，在令()22222x m x x e =+-，()2220x m x e =->'，()2m x ∴在(,0)-∞单调递增，又1(0)10,(1)0m m e -=>-=-<，∴存在唯一0(1,0)x ∈-使得()00m x =.此时0022x e x =+，2x ()0,x -∞0x ()0,x +∞()2v x '-0+()2v x 极小 当02x x =时，()2v x 有最小值故12x x -取最小值时000022222x x e a x x +--===.【点睛】关键点睛：解决本题得关键是得出()22212x t x e e e a t x --==，利用导数判断出要求t 的最小值即求()g t 最小值，构造函数()22222x x e v x x e -=，利用导数判断单调性求出其最小值.。
2021年高三12月月考 理科数学
2021年高三12月月考理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号码、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其他答案标号。
3．考试结束后，考生将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设非空集合A，B满足AB，则∈B B．A,有x∈BA．∈A，使得xoA D．B,有x∈AC．∈B，使得xo【答案】B【解析】根据集合关系的定义可知选B.2．集合，中的角所表示的范围（阴影部分）是【答案】C【解析】当时，，此时的终边和的终边一样。
当时，，此时的终边和的终边一样。
所以选C. 3．已知、、是共起点的向量，、不共线，且存在m ，n ∈R 使成立，若、、的终点共线，则必有A ．m+n=0B ．m －n= 1C ．m+n =1D ．m+ n =－1【答案】C【解析】设，因为、、的终点共线，所以设，即，所以，即，又，所以，所以，选C. 4．“”是”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，则有。
若，则有。
所以“”是”的必要不充分条件，选B. 5．函数的值域是A ．RB ．（1,2）C ．[2,+∞）D ．（－,l ）（2,+） 【答案】A【解析】由，得或。
所以函数的值域为R,选A. 6． 若向量相互垂直，则的最小值为A ．6B ．2C ．3D ．12【答案】A【解析】因为，所以，即，所以。
则2222933323323236x y x y x y x y ++=+≥⨯==，当且仅当取等号，所以最小值为6，选A. 7．已知f （x ）＝sin （x+），，则的图象 （ ）A ．与g （x ）的图象相同B ．与g （x ）的图象关于y 轴对称C ．向左平移个单位，得到g （x ）的图象D．向右平移个单位，得到g（x）的图象【答案】D【解析】因为，所以向右平移个单位，可得到的图象，选D.8．设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数（a>0,a≠1）的图象过区域M的的取值范围是A．[1,3] B．[，9] C．[2,9] D．[2,5]【答案】D【解析】由图象可知不等式组对应的平面区域为三角形，若，显然指数函数不过区域M.,所以必有，当指数函数经过点C时，最小，当指数函数经过点D时，最大。
2021年高三12月月考数学理试卷 含答案
2021年高三12月月考数学理试卷含答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.）1.已知集合，则（）A． B． C． D．2.若复数满足，则的共轭复数的虚部是（）A． B． C. D．3.已知，且是的必要不充分条件，则的取值范围是（）A． B． C． D．4.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是( )A.或B.或C.或D.或5.设变量满足约束条件则的最大值为（）A．6 B．4 C．2 D．06.曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（）.A. B. C. D.7.世博会期间，某班有四名学生参加了志愿工作.将这四名学生分配到三个不同的展馆服务，每个展馆至少分配一人.若甲要求不到馆，则不同的分配方案有( )种A.36B.30C.24D.208.为得到函数的图像，只需将函数的图像（）A．向右平移个长度单位 B．向左平移个长度单位C．向右平移个长度单位 D．向左平移个长度单位9.设四边形为平行四边形，．若点满足，则=（）.A. 6 B. 9 C. 15 D. 2010.一个正三棱柱的主（正）视图是长为,宽为2的矩形,则它的外接球的表面积等于( )A.B. C. D.11.已知是双曲线的左顶点，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上一点，是的重心，若，则双曲线的离心率为( )A． B． C． D．与的取值有关12.定义在上的函数的图像关于对称，且当时，（其中是的导函数），若，，，则的大小关系是（）.A. B. C. D.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸上.）13.若,则=___________.14.从抛物线上一点引抛物线准线的垂线，垂足为，且，设抛物线的焦点为，则= .15.已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围为.三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设数列的前项和为，，，.⑴求数列的通项公式；⑵求数列的前项和. 18．(本小题满分12分）由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从某中学随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检査得到每个学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”.⑴求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“好视力”的概率；⑵以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多）任选3人，记表示抽到“好视力”学生的人数，求的分布列及数学期望.19.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，分别是的中点．⑴证明：；⑵若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值20.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．⑴求椭圆的方程；⑵若过点的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足(为坐标原点)，当时，求实数取值范围21．（本小题满分12分）已知函数⑴讨论函数的单调性；⑵证明：若，则对任意，，有．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时在答题纸上注明所选题目的题号.22.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲．已知为半圆的直径，为半圆上一点，过点作半圆的切线，过点作于，交圆于点. ⑴求证：平分；⑵求的长．23.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为.若以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为.⑴求曲线的直角坐标方程；⑵求直线被曲线所截得的弦长.24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．已知，且，若恒成立，⑴求的最小值；⑵若对任意的恒成立，求实数的取值范围.唐山市开滦二中xx年高三年级12月月考理科数学参考答案一、二.选择题、填空题：CABDB ACDBC BA （13），（14），（15），（16）或三、解答题：17. 解⑴,，………2分，，，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，………4分.………………6分⑵，①132212232232121+-+-+++=∴n n n n n T ，② 由①－②得1113221221121412212122222222121+++--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=--+++=n n n n n n n T ，………………10分是的中点，,,,平面,平面,,,平面,. ………………5分⑵解：由⑴平面于点，平面，是在平面的射影，是与平面所成的角，且当最短即时，,此时，,…………7分以点为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，令，则()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21,23,0,1,3,0,0,3,0,0,0F C E A ,,设平面的法向量为，则，，令，解得，平面的一个法向量为，同理平面的一个法向量为，…………9分，…………11分二面角的余弦值为……………………12分.20解:(1)由题意知：所以又故所求椭圆的方程为 ……………………………… 4分(2) 由题意知直线的斜率存在.设其方程为：，由得.，设，，，∴，. (6分)∵，∴，，.∵点在椭圆上，∴，∴( 8分)∵＜，∴，∴即∴ 得： ∴ ………10分又∴或 ,故实数的取值范围是…12分21⑴解：函数的定义域为，，①当时，，由，解得，由，解得或；②当时，，在恒成立；③当时，，由，解得，由，解得或.……… 4分综上可得，当时，函数在上单调递减，在，单调递增；当时，函数在单调递增；当时，函数在上单调递减，在，单调递增……………………… 5分⑵证明：令()()()()()+∞∈-+--=+=,0,ln 11212x x a x a x x x f x F ， 则()()()()()+∞∈-+--=-+--=,0,11112'x xa x a x x a a x x F ， ()()()()051141,512<--=---=∆∴<<a a a a a ， 在恒成立，在上单调递增，………………… 9分①当时，，即，；②当时，，即，； 综上可得，若，则对任意，，有.… 12分22⑴证明：连结， 2分为半圆的切线，，又，，，，平分．……………………5分⑵解：由⑴知，………………………………………… 6分连结，四点共圆，，，……… 8分，所以．…………………… 10分.23解：解：(1) 由得：两边同乘以得： -------------3分。
2021年高三(上)12月月考数学试卷(理科) Word版含解析
2021年高三（上）12月月考数学试卷（理科） Word版含解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）若复数）是纯虚数，则实数a的值为﹣1 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：将化为再判断即可．解答：解：∵==是纯虚数，∴a+1=0且1﹣a≠0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，将复数的分母实数化是关键，属于基础题．2．（5分）（xx•松江区一模）集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为4．考点：并集及其运算．专题：计算题．分根据题意，由并集的计算方法，结合a与a2的关系，易得，即可得答案．析：解答：解：∵A={0，2，a}，B={1，a2}，A∪B={0，1，2，4，16} ∴∴a=4，故答案为：4．点评：本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相对应的元素，从而求得答案，本题属于容易题．3．（5分）经过点（2，﹣1），且与直线2x﹣3y﹣1=0垂直的直线方程是3x+2y﹣4=0．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由题意易得直线2x﹣3y﹣1=0的斜率为，进而可得所求直线的斜率，又该直线过定点，由点斜式可得方程，化为一般式即可．解答：解：根据题意，易得直线2x﹣3y﹣1=0的斜率为，根据互相垂直的直线的斜率的关系，可得l的斜率为，又由直线经过点（2，﹣1），则所求的直线方程为y+1=﹣（x﹣2），即3x+2y﹣4=0，故答案为：3x+2y﹣4=0．点评：本题为直线方程的求解，由垂直关系找出直线的斜率是解决问题的关键，注意最后要化为直线方程的一般式，属基础题．4．（5分）平面直接坐标系xoy中，角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=﹣x 上，则sinα=±．考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：因为知道了角α的终边，可以在角的终边上任取一点，求出该点到原点的距离，直接运用三角函数的定义求解．解答：解：在直线y=﹣x上任意取一点（a，﹣a），且a≠0 则，r==2|a|，再由sinα===±，故答案为±．点评：本题考查了任意角的三角函数定义，解答此题的关键是熟记定义，是基础题．5．（5分）某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：计算题．分析：由于学校有两个食堂，不妨令他们分别为食堂A、食堂B，则甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，代入相互独立事件的概率乘法公式，即可求出他们同在食堂A用餐的概率，同理，可求出他们同在食堂B用餐的概率，然后结合互斥事件概率加法公式，即可得到答案．解答：解：甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为，则他们同时选中A食堂的概率为：=；他们同时选中B食堂的概率也为：=；故们在同一个食堂用餐的概率P=+=故答案为：点评：本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．6．（5分）右图是一个算法流程图，则执行该算法后输出的s=81．考点：循环结构．专题：计算题．分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．解答：解：当i=1时，不满足退出循环的条件，S=3，i=2；当i=2时，不满足退出循环的条件，S=9，i=3；当i=3时，不满足退出循环的条件，S=27，i=4；当i=4时，不满足退出循环的条件，S=81，i=5；当i=5时，满足退出循环的条件，故答案为：81点本题主要考查了循环结构，在解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环评：的结果，找规律，属于基础题．7．（5分）（xx•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，cosC=，则sinB=．考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，再由a与b的值，利用余弦定理列出关于c的方程，求出方程的解得到c的值，再由sinC，c及b的值，利用正弦定理即可求出sinB的值．解答：解：∵C为三角形的内角，cosC=，∴sinC==，又a=1，b=2，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：c2=1+4﹣1=4，解得：c=2，又sinC=，c=2，b=2，∴由正弦定理=得：sinB===．故答案为：点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及基本关系是解本题的关键．8．（5分）设向量，，，的夹角为120°，则实数k=3．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由向量夹角公式可得，cos120°==＜0可知，k＞0，解方程即可求解k解答：解：由向量夹角公式可得，cos120°===﹣∴k＞0整理可得，k2=9∴k=3故答案为：3点评：本题主要考查了向量夹角公式的坐标表示，解题中不要漏掉对k的范围的判断，本题容易漏掉判断k而产生两解k=±39．（5分）（xx•东城区一模）过点的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2=4交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为2x﹣4y+3=0．考直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程．点：专题：计算题．分析：研究知点在圆内，过它的直线与圆交于两点A，B，当∠ACB最小时，直线l与CM 垂直，故先求直线CM的斜率，再根据充要条件求出直线l的斜率，由点斜式写出其方程．解答：解：验证知点在圆内，当∠ACB最小时，直线l与CM垂直，由圆的方程，圆心C（1，0）∵k CM==﹣2，∴k l=∴l：y﹣1=（x﹣），整理得2x﹣4y+3=0 故应填2x﹣4y+3=0点评：本题考点是直线与圆的位置关系，考查到了线线垂直时斜率之积为﹣1，以及用点斜式写出直线的方程．10．（5分）已知函数f（x）=，若f（3﹣2a2）＞f（a），则实数a的取值范围是a＜﹣或a＞1．考点：函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：当x≥0时，是减函数，所以y=log2（）也是减函数．此时的最大值是f（0）=log2（）=log21=0．当x＜0时，y=（）2x﹣1是减函数．此时的最小值（）0﹣1=0．所以函数在R上是减函数．因为f（3﹣2a2）＞f（a），所以3﹣2a2＜a，2a2+a﹣3＞0，解得a＞1或a＜﹣．解答：解：当x≥0时，是减函数，所以y=log2（）也是减函数．此时的最大值是f（0）=log2（）=log21=0．当x＜0时，y=（）2x﹣1是减函数．此时的最小值（）0﹣1=0．所以函数在R上是减函数．因为f（3﹣2a2）＞f（a），所以3﹣2a2＜a，2a2+a﹣3＞0，解得a＞1或a＜﹣．故答案为：a＞1或a＜﹣．点评：本题考查函数解析式的求解和常用方法，解题时要认真审题，注意分段函数的性质和应用．11．（5分）设函数f（x）=（x＞0），观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，…，根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n（x）=．考点：归纳推理．专题：归纳法．分析：由已知所给的前几函数的特点：分子都是x，分母是关于x的一次式，其常数项为2n，一次项的系数比常数项小1，据此即可得出答案．解答：解：观察：f1（x）=f（x）=，f2（x）=f（f1（x））=，f3（x）=f（f2（x））=，…，可知：分子都是x，分母是关于x的一次式，其常数项为2n，一次项的系数比常数项小1，故f n（x）=．故答案为点评：善于分析、猜想、归纳所给的式子的规律特点是解题的关键．12．（5分）（xx•江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：解法一：可先直线A2B2的方程为，直线B1F的方程为，联立两直线的方程，解出点T的坐标，进而表示出中点M的坐标，代入椭圆的方程即可解出离心率的值；解法二：对椭圆进行压缩变换，，，椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．根据题设条件求出直线B1T方程，直线直线B1T与x轴交点的横坐标就是该椭圆的离心率．解答：解法一：由题意，可得直线A2B2的方程为，直线B1F的方程为两直线联立得T（），由于此点在椭圆上，故有，整理得3a2﹣10ac﹣c2=0即e2+10e﹣3=0，解得故答案为解法二：对椭圆进行压缩变换，，，椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．延长TO交圆O于N易知直线A1B1斜率为1，TM=MO=ON=1，，设T（x′，y′），则，y′=x′+1，由割线定理：TB2×TA1=TM×TN，（负值舍去）易知：B1（0，﹣1）直线B1T方程：令y′=0，即F横坐标即原椭圆的离心率e=．故答案：．点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．13．（5分）已知函数f（x）=，若关于的方程满足f（x）=m（m∈R）有且仅有三个不同的实数根，且α，β分别是三个根中最小根和最大根，则的值为．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用；三角函数的求值．分析：同一坐标系内作出函数y=f（x）的图象和直线y=m，因为两图象有且仅有三个公共点，所以m=1．再解方程f（x）=1，得最小根β=，最大根α=，将它们代入再化简，即可得到要求值式子的值．解答：解：函数f（x）=的图象如下图所示：可得函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣）和（，π）；单调增区间为（﹣，）和（π，+∞），f（x）的极大值为f（）=1，极小值为f（﹣）=﹣和f（π）=0将直线y=m进行平移，可得当m=1时，两图象有且仅有三个不同的公共点，相应地方程f（x）=m（m∈R）有且仅有三个不同的实数根．令f（x）=1，得x1=，x2=，x3=，所以β=，α=，∴β•sin（+α）=•sin=•（﹣）=故答案为：点评：本题以分段函数为例，求方程的最大根和最小根，并且用这个根来求值，着重考查了函数与方程的关系，以及三角函数求值等知识，属于中档题．14．（5分）（2011•盐城二模）已知f（x）=cosx，g（x）=sinx，记S n=2﹣，T m=S1+S2+…+S m，若T m＜11，则m的最大值为5．考点：数列与不等式的综合；数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：先将数列通项化简，再求和，利用T m＜11，即可求得m的最大值．解答：解：由题意，a n=2﹣=∴S n==∴T m=S1+S2+…+S m=2m+1﹣＜11 ∴m的最大值为5．故答案为：5点评：本题考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明步骤．15．（14分）（xx•湖北模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．考点：余弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦定理．专题：计算题．分析：（Ⅰ）通过求出，利用二倍角以及三角形的内角和化简，即可求出它的值；（Ⅱ）利用，结合余弦定理，求出a，c的关系，通过基本不等式求出a，c，然后求出三角形的面积最大值．解答：（本小题满分13分）解：（I）因为，所以．…（1分）又==+=．…（6分）（II）由已知得，…（7分）又因为，所以．…（8分）又因为，所以ac≤6，当且仅当时，ac取得最大值．…（11分）此时．所以△ABC的面积的最大值为．…（13分）点评：本题考查二倍角公式，余弦定理，基本不等式的应用，考查计算能力．16．（14分）已知⊙C过点P（1，1），且与⊙M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．（1）求⊙C的方程；（2）设Q为⊙C上的一个动点，求的最小值．考点：关于点、直线对称的圆的方程；平面向量数量积的运算．专题：综合题．分析：（1）设圆心的坐标，利用对称的特征，建立方程组，从而求出圆心坐标，又⊙C过点P（1，1），可得半径，故可写出⊙C方程．（2）设Q的坐标，用坐标表示两个向量的数量积，化简后再进行三角代换，可得其最小值．解答：解：（1）设圆心C（a，b），则，解得a=0，b=0则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标（1，1）代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2；（2）设Q（x，y），则x2+y2=2，=（x﹣1，y﹣1）•（x+2，y+2）=x2+y2+x+y﹣4=x+y﹣2，令x=cosθ，y=sinθ，∴=cosθ+sinθ﹣2=2sin（θ+ ）﹣2，∴θ+=2kπ﹣时，sin（θ+）的最小值为﹣1，所以的最小值为﹣2﹣2=﹣4．点评：本题考查圆的对称性，考查圆的标准方程，考查两个向量的数量积公式的应用，直线与圆的位置关系的应用，属于中档题．17．（14分）如图，xx年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离按米处理）（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．考点：平面向量数量积坐标表示的应用．专题：平面向量及应用．分析：（1）摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，则有∠CSB=30°，∠ASB=60°．SA=，在Rt△SAB中，由三角函数的定义可求AB；再由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO 中由三角函数的定义可求OC，进而可求OB（2）以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosα，sinα），α∈[0，2π），则N（﹣cosα，﹣sinα），由（Ⅰ）知S（3，﹣），利用向量的数量积的坐标表示可求cos∠MSN=∈[，1]，结合余弦函数的性质可求答案．解答：解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，依题意∠CSB=30°，∠ASB=60°．又SA=，故在Rt△SAB中，可求得BA==3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．…（3分）由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中OC=SC•tan30°=，又BC=SA=，故OB=2，即立柱的高度为2米．…（6分）（2）如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosα，sinα），α∈[0，2π），则N（﹣cosα，﹣sinα），由（Ⅰ）知S（3，﹣）．…（8分）故=（cosα﹣3，sinα+），=（﹣cosα﹣3，﹣sinα+），∴•=（cosα﹣3）（﹣cosα﹣3）+（sinα﹣）（﹣sinα﹣）=11（10分）||•||=×=×==由α∈[0，2π）知||•||∈[11，13]…（12分）所以cos∠MSN=∈[，1]，∴∠MSN＜60°恒成立故在彩杆转动的任意时刻，摄影者都可以将彩杆全部摄入画面点评：本题考查的是解三角形的应用，解题的关键是准确理解基本概念：仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义及正弦、余弦定理．18．（16分）如图，椭圆C：+=1的右顶点是A，上下两个顶点分别为B，D，四边形DAMB 是矩形（O为坐标原点），点E，P分别是线段OA，MA的中点．（1）求证：直线DE与直线BP的交点在椭圆C上．（2）过点B的直线l1，l2与椭圆C分别交于R，S（不同于B点），且它们的斜率k1，k2满足k1•k2=﹣求证：直线SR过定点，并求出此定点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）确定直线DE与BP的直线方程，可得交点坐标，满足椭圆方程，可得结论；（2）设出直线方程，求得R，S的坐标，利用R，S关于原点O对称，即可得到结论．解答：证明：（1）由题意，A（4，0），B（0，2），D（0，﹣2），E（2，0），P（4，1），则直线DE的方程为y=x﹣2，直线BP的方程为联立方程，可得直线DE与BP的交点坐标为（）∵椭圆C：+=1，∴（）满足方程，∴直线DE与直线BP的交点在椭圆C上．（2）直线BR的方程为y=k1x+2解方程组，可得或∴R的坐标为（，）∵k1•k2=﹣，∴直线BS的斜率k2=﹣，∴直线BS的方程为y=﹣x+2 解方程组得或∴S的坐标为（，）∴R，S关于原点O对称∴R，O，S三点共线∴直线SR过定点，定点的坐标为O（0，0）．点评：本题考查直线的交点，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．19．（16分）（xx•昌平区二模）设数列{a n}，对任意n∈N*都有（kn+b）（a1+a n）+p=2（a1+a2…+a n），（其中k、b、p是常数）．（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，若a3=3，a9=15，求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{a n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．当k=1，b=0，p=0时，设S n是数列{a n}的前n项和，a2﹣a1=2，试问：是否存在这样的“封闭数列”{a n}，使得对任意n∈N*，都有S n≠0，且．若存在，求数列{a n}的首项a1的所有取值；若不存在，说明理由．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：综合题；压轴题；等差数列与等比数列．分析：（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a1+a n）﹣4=2（a1+a2…+a n），再写一式，两式相减，可得数列{a n}是以首项为1，公比为3的等比数列，从而可求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n），再写一式，两式相减，可得数列{a n}是等差数列，从而可求数列{a n}的通项公式；（3）确定数列{a n}的通项，利用{a n}是“封闭数列”，得a1是偶数，从而可得，再利用，验证，可求数列{a n}的首项a1的所有取值．解答：解：（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a1+a n）﹣4=2（a1+a2…+a n），①用n+1去代n得，3（a1+a n+1）﹣4=2（a1+a2…+a n+a n+1），②②﹣①得，3（a n+1﹣a n）=2a n+1，a n+1=3a n，（2分）在①中令n=1得，a1=1，则a n≠0，∴，∴数列{a n}是以首项为1，公比为3的等比数列，∴a1+a2+a3+…+a n=．（4分）（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n），③用n+1去代n得，（n+1）（a1+a n+1）=2（a1+a2…+a n+a n+1），④④﹣③得，（n﹣1）a n+1﹣na n+a1=0，⑤（6分）用n+1去代n得，na n+2﹣（n+1）a n+1+a1=0，⑥⑥﹣⑤得，na n+2﹣2na n+1+na n=0，即a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n，（8分）∴数列{a n}是等差数列．∵a3=3，a9=15，∴公差，∴a n=2n﹣3．（10分）（3）由（2）知数列{a n}是等差数列，∵a2﹣a1=2，∴a n=a1+2（n﹣1）．又{a n}是“封闭数列”，得：对任意m，n∈N*，必存在p∈N*使a1+2（n﹣1）+a1+2（m ﹣1）=a1+2（p﹣1），得a1=2（p﹣m﹣n+1），故a1是偶数，（12分）又由已知，，故．一方面，当时，S n=n（n+a1﹣1）＞0，对任意n∈N*，都有．另一方面，当a1=2时，S n=n（n+1），，则，取n=2，则，不合题意．（14分）当a1=4时，S n=n（n+3），，则，当a1≥6时，S n=n（n+a1﹣1）＞n（n+3），，，又，∴a1=4或a1=6或a1=8或a1=10．（16分）点评：本题考查数列的通项与求和，考查等差数列、等比数列的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．20．（16分）已知函数（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点，如果在曲线C上存在点M（x0，y0），使得：①；②曲线C在M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：证明题；新定义．分析：（I）根据对数函数的定义求得函数的定义域，再根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，然后分别令导函数大于0和小于0得到关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的x的范围即分别为函数的递增和递减区间；（II）假设函数f（x）的图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值相依切线”，根据斜率公式求出直线AB的斜率，利用导数的几何意义求出直线AB的斜率，它们相等，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论．解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞）．…（1分）解答：由已知得，．…（2分）（1）当a＞0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．所以函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．…（3分）（2）当a＜0时，①当时，即a＜﹣1时，令f'（x）＞0，解得或x＞1；令f'（x）＜0，解得．所以，函数f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；…（4分）②当时，即a=﹣1时，显然，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；…（5分）③当时，即﹣1＜a＜0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1或；令f'（x）＜0，解得．所以，函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减．…（6分）综上所述，（1）当a＞0时，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；（2）当a＜﹣1时，函数f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减；（3）当a=﹣1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（4）当﹣1＜a＜0时，函数f（x）在（0，1）和上单调递增，在上单调递减．…（7分）（Ⅱ）假设函数f（x）存在“中值相依切线”．设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线y=f（x）上的不同两点，且0＜x1＜x2，则，．==…（8分）曲线在点M（x0，y0）处的切线斜率k=f'（x0）==，…（9分）依题意得：=．化简可得：=，即==．…（11分）设（t＞1），上式化为：，即．…（12分）令，=．因为t＞1，显然g'（t）＞0，所以g（t）在（1，+∞）上递增，显然有g（t）＞2恒成立．所以在（1，+∞）内不存在t，使得成立．综上所述，假设不成立．所以，函数f（x）不存在“中值相依切线”．…（14分）点此题考查学生会利用导函数的正负求出函数的单调区间，灵活运用中点坐标公式化评：简求值，掌握反证法进行命题证明的方法，是一道综合题，属难题．34187 858B 薋23556 5C04 射22578 5832 堲38930 9812 頒38483 9653 陓234549 86F5 蛵37228 916C 酬39823 9B8F 鮏?28745 7049 灉35973 8C85 貅24280 5ED8 廘u。
高三数学理科12月月考试卷
湖北省武汉中学高三12月月考数学试题（理）一、选择题：（每题5分，共50分） 1．复数的虚部是 （ ）A ．-iB ．1C ．-1D ．i 2．下列四个命题中，不正确．．．的是（ ）A ．若函数处连续，则B ．C ．函数的不连续点是D ．若函数3．正四棱锥P —ABCD 的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为4，侧棱长为为 （ ）A ．B ．C ．D ．4．将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的倍，然后再将图象向左平移1个单位，所得图象的函数表达式为（ ）A ．B ．C ．D ． 5．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则p 的值为 （ ）A ．B ．C ．D ．46．函数的反函数是 （ ）A ．B ．C ．D ．7．在等比数列的取值范围是（ ）1i-0()f x xx =在0lim ()lim ()x x x x f x f x +-→→=112x →=23()9x f x x +=-3x =和x=-3(),()lim[()()]0,lim ()lim ()x x x f x g x f x g x f x g x →∞→∞→∞-==满足则18π36π72π9π()1x f x x =+12121()23x f x x +=+44()23x f x x +=+22()21x f x x -=-1()1x f x x -=+212y x p =22162x y +=116184-21(10)3x x y --≤<=1)3y x =≥1(1)3y x =<≤1(1)3y x =<≤1)3y x =≥123123{},0,0,n a a a a m q a a ++=><中公比则aA ．B ．C ．D ． 8．设的最小值是（ ）A ．2B ．C ．D ．9．某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告，两个不同的奥运宣传广告，一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且奥运宣传广告与公益广告不能连续播放，两个奥运宣传广告也不能连续播放，则不同的播放方式的种数是（ ）A ．48B ．98C ．108D ．12010．线段AB 上的一点C ，直线AB 外一点P ，满足，I 为PC 上一点，且 的值为（ ）A ．1B ．2C ．D ．二、填空题（每题5分，共25分）11．已知= 。