高三12月月考(数学理)(试题及答案)

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数学理卷·2014届浙江省东阳中学高三12月月考(2013.12)

一.选择题
{ } { } 1.设全集Ｕ=Ｒ，集合 M = x y = 3 − 2x , N = y y = 3 − 2x ，则 (CR M ) ∩ N = ( )
Ａ.
x
3 2
<
x
≤
3
Ｂ.
x
3 2
<
x
<
3
C.
x
3 2
≤
x
<
2
D.
x
3 2
<
x
<
2
2.已知 a = 1, b = 6, a ⋅ (b − a) = 2, 则向量 a 与 b 的夹角是
4.某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于
()
A．1
B． 2 C． 3 D． 4
5.在 (1 + x)5 + (1 + x)6 + (1 + x)7 的展开式中, x4 的系数等于
(
)
A．22
B．25
C．52
D．55
6.等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn , a5 = 11, S12 = 186,则a8 =
+
a3 4b3
+L+
an (n + 1)bn
.
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20. 如图，在斜三棱柱 ABC − A1B1C1 中，侧面 AA1B1B ⊥底面 ABC ，侧棱 AA1 与底面 ABC
成 600 的角， AA1 = 2 ．底面 ABC 是边长为 2 的正三角形，其重心为 G 点， E 是线段 BC1
上一点，且
第9页共9页
0
+
f (x)

重庆市沙坪坝区2024届高三上学期12月月考数学试题含答案

2023年重庆高2024届12月月考数学试题卷（答案在最后）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上．2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合2101x A x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，集合(){}2ln 22B y y x x ==++，则A B = （）A.[]0,1 B.[)0,1 C.1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】解分式不等式求集合A ，求对数复合函数的值域求集合B ，应用集合交运算求结果.【详解】由(21)(1)0211011012x x x x x x +-≤⎧+≤⇒⇒-≤<⎨-≠-⎩，即1[,1)2A =-，由()2222111x x x ++=++≥，故[0,)B =+∞，所以[0,1)A B = .故选：B2.已知p ：双曲线C 的方程为22194x y -=，q ：双曲线C 的渐近线方程为23y x =±，则（）A.p 是q 的充要条件B.p 是q 的充分不必要条件C.p 是q 的必要不充分条件D.p 是q 的既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线的性质，判断充分必要条件，即可判断选项.【详解】若双曲线C 的方程为22194x y -=，则渐近线方程为23y x =±，若双曲线C 的渐近线方程为23y x =±，则双曲线的方程为()22094x y λλ-=≠，所以p q ⇒，但q p ⇒/，所以p 是q 的充分不必要条件.故选：B3.()1:sin3010l a x y +︒++=，)2:20l x y +︒+=，若12l l ⊥，则实数a 的值为（）A.72-B.56-C.52D.16【答案】C 【解析】【分析】由直线垂直的充要条件列出方程结合特殊三角函数值运算即可.【详解】由题意12l l ⊥，则当且仅当()sin 3011tan1200a +⨯+=，即1302a +-=，解得52a =.故选：C.4.设22tan22.51tan 22.5a ︒=-︒，sin861cos86b ︒=+︒，c =，则有（）A.b a c <<B.a c b <<C.c b a <<D.b c a<<【答案】C 【解析】【分析】由倍角公式化简为正切函数，再结合正切函数的单调性可得出答案.【详解】22tan22.5=tan 451tan 22.5a ︒=︒-︒，22sin862sin43cos432sin43cos43=tan 431cos8612cos 4312cos 43b ︒︒︒︒︒===︒+︒+︒-︒，cos 47.5sin 42.5=sin 47.5cos 42.5c ︒︒=︒︒因为tan y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以tan 42.5tan 43tan 45︒<︒<︒，即c b a <<，故选：C .5.已知在四面体-P ABC 中，底面ABC，D 为PA 的中点，则直线BP 与直线CD 所成角的余弦值为（）A.24-B.24C.14-D.14【答案】B 【解析】【分析】利用中位线将异面直线所成角转化为相交直线DE 与DC 所成角，再利用余弦定理解三角形即可.【详解】取AB 中点E ，连接DE ，由D 为PA 中点，则//DE PB，且122DE PB ==；则EDC ∠（或其补角）即为直线BP 与直线CD 所成角.又底面三角形ABC是边长为的等边三角形，则中线长31522CE ==；在PAC △中，设中线长DC m =，则cos cos 0ADC PDC ∠+∠=，由余弦定理得,222222022DA DC AC DP DC PC DA DC DP DC +-+-+=⋅⋅，所以222222202m ⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭，化简得23m =，解得m =，则有DC =，在DEC 中，由余弦定理得,222115324cos 224DE DC EC EDC DE DC +-+-∠==-⋅,直线BP 与直线CD 所成角为锐角，则余弦值为24.故选：B .6.教务处准备给高三某班的学生排周六的课表，上午五节课，下午三节课．若准备英语、物理、化学、地理各排一节课，数学、语文各排两节课连堂，且数学不排上午的第一节课，则不同的排课方式有（）A.216种B.384种C.408种D.432种【答案】D 【解析】【分析】由数学、语文不能同时安排在下午，分为数学（连堂）或语文（连堂）安排在下午、数学、语文都安排在上午，再应用分步计数及排列组合求不同的排课方式.【详解】由题意，数学、语文不能同时安排在下午，若数学（连堂）安排在下午，在英语、物理、化学、地理中选一种安排在下午有1242C A 8=种，再把余下的三科与语文（连堂）安排在上午，把上午看作四节课，则有44A 24=种，此时共有824192´=种；若语文（连堂）安排在下午，在英语、物理、化学、地理中选一种安排在下午有1242C A 8=种，再把余下的三科与数学（连堂）安排在上午，且数学不排上午的第一节课，把上午看作四节课，数学只能安排在后三节有13C 3=种，其余三科全排有33A 6=种，此时共有836144⨯⨯=种；若数学、语文都安排在上午，在英语、物理、化学、地理中选一种安排在上午有14C 4=种，将上午看作三节课，且数学不排上午的第一节课，有1222C A 4=种，再把余下的三科安排在下午作全排有33A 6=种，此时共有44696⨯⨯=种；综上，共有19214496432++=种.故选：D7.已知{}n a 为正项等比数列，且10121a =，若函数()212ln 1x f x x x -=-+，则()()()122023f a f a f a ++⋅⋅⋅+=（）A.2023B.2024C.20232D.1012【答案】A 【解析】【分析】由等比数列的性质可得222311202322012020211a a a a a a a ⋅=⋅=⋅===L ，再由题意可得出()12f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由倒序相加法可求出答案.【详解】因为{}n a 为正项等比数列，且10121a =，所以222311202322012020211a a a a a a a ⋅=⋅=⋅===L ，由()212ln 1x f x x x -=-+可得22111112ln 12ln 11x x f x x x x x⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭=-+=++ ⎪⎝⎭，所以()12f x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以设()()()122023S f a f a f a =++⋅⋅⋅+，则()()()202320221S f a f a f a =++⋅⋅⋅+，所以两式相加可得：222023S =⨯，故2023S =，故选：A .8.已知a = ，1= b ，0a b ⋅= ，4c a c a ++-= ，2430d b d -⋅+= ，则c d - 的最大值为（）A.22113+ B.4C.23+ D.313【答案】A 【解析】【分析】由题意首先得出c d -为两外切的圆和椭圆上的两点间的距离，再由三角形三边关系将问题转换为椭圆上点到另一个圆的圆心的最大值即可.【详解】如图所示：不妨设)()()()()13,0,0,1,,,,,3,0a OA b OB OC m n OD p q A ======-，满足3a = ，1= b ，0a b ⋅= ，又4c a c a ++-=()()22221334223m n m n a c A A ++-+=>=，由椭圆的定义可知点C 在以1,A A 为焦点，长轴长为4的椭圆上运动，222,3,431a c b a c ===--，所以该椭圆方程为2214x y +=，而2430d b d -⋅+= ，即22430p q q +-+=，即()2221p q +-=，这表明了点D 在圆()2221x y +-=上面运动，其中点()0,2E为圆心，1r =为半径，又1c d OC OD CD CE ED CE -=-=≤+=+，等号成立当且仅当,,C D E 三点共线，故只需求CE 的最大值即可，因为点C 2214x y +=在椭圆上面运动，所以不妨设()2cos ,sin C θθ，所以()()222224cos sin 241sin sin 4sin 43sin 4sin 8CE θθθθθθθ=+--+-+--+，所以当()42sin 233θ-=-=-⨯-且,,C D E 三点共线时，c d - 有最大值max113CE +==+.故选：A.【点睛】关键点睛：解题的关键是将向量问题转换为圆锥曲线中的最值问题来做，通过数学结合的方法巧妙的将几何问题融入代数方法，从而顺利得解.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知左、右焦点分别为1F ，2F 的椭圆222:13x y C a +=的长轴长为4，过1F 的直线交椭圆于P ，Q 两点，则（）A.离心率2e =B.若线段PQ 垂直于x 轴，则3PQ =C.2PQF 的周长为8D.2PQF 的内切圆半径为1【答案】BC 【解析】【分析】首先由题意把参数a 求出来，根据平方关系、离心率公式运算即可判断A ；由题意将=1x -代入椭圆方程求出弦长即可判断B ；由椭圆定义即可判断C ；由2PQF 的周长是定值，但面积会随着直线的倾斜程度而变化，由此即可判断D.【详解】对于A ，由题意椭圆222:13x y C a +=的长轴长为4，所以124a =，解得22112,43a a b ==>=，所以12,1a a c =====，离心率为12c e a ==，故A 错误；对于B ，由A 可知椭圆方程为22143x y +=，由题意若直线PQ 的方程为=1x -，将其代入椭圆方程可得32y =±，即33322PQ ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ，2PQF 的周长为()()2212122248PQ QF F P PF PF QF QF a a a ++=+++=+==，故C 正确；对于D ，由题意直线PQ 斜率不为0且经过点()1,0-，不妨设直线()()1122:1,,,,PQ x my P x y Q x y =-，将其与椭圆方程22143x y +=联立消去x 得()2234690m y my +--=，()()2221212226936363414410,,3434m m m m y y y y m m -∆=++=+>+==++，一方面()()()()222221212121222222363413612142343434PQF m m m S F F y y y y y y m m m ++=-=+-++++ ，另一方面，由C 选项分析可知228PQ QF F P ++=，不妨设2PQF 的内切圆的半径为r ，所以()222142PQF S PQ QF F P r r =++= ，对比两式可知223134m r m +=+，即r 与m 有关，故D 错误.故选：BC.10.与二项式定理()0C nnk n k k n k a b a b -=+=∑类似，有莱布尼兹公式：()()()()()()()()()()()()0112200120C C C C C nn n n n n n k kn k nnnnn n uv u vuv uv u vuv ---==+++⋅⋅⋅+=∑，其中()k u （0,1k =，2，…，n ）为u 的k 阶导数，()0u u =，()0v v =，则（）A.1C2nknnk ==∑ B.1351C C C 2n n n n -+++⋅⋅⋅=C.()()()()nnuv vu = D.()6e x f x x =，则()()606!f =【答案】BCD 【解析】【分析】由二项式定理，分别赋值,a b ，即可判断AB ；再根据莱布尼兹公式，结合组合数公式和性质，即可判断CD .【详解】A.由二项式定理可知，当1a b ==时，()0C 1111C 2nnnnk n k k k nn k k -==+===∑∑，1C221nkn n k n n C ==-=-∑，故A 错误；B.由二项式定理可知，当1,1a b ==-时，()012345.1C C C C C C .1.nn n n n n n =-+-+-+-()()024135C C C ...C C C ...0n n n n n n =+++-+++=，所以024135C C C ...C C C ...n n n n n n +++=+++又由A 可知，012345C C C C C C ...2nn n n n n n ++++++=，所以1351C C C 2n n n n -+++⋅⋅⋅=，故B 正确；C.()()()()()()()()()()011220012C C C ...C nn n n n n n n n n uv u v u v u v u v--=++++()()()()()()()()()()011220012C C C ...C nn n n n n n n n n vu v u v u v u v u--=++++，由组合数的性质可知，0C C n n n =，11C C n n n -=，22C C n n n -=，……，可知，()()()()n nuv vu =，故C 正确；D.()()()()()()()()()()()()()()()()()()6605142066061626666666e C e C e C e ...C e x xx xx x x x x x =++++，因为()()e e n xx =，()()066x x =，()()1656x x =，()()26465x x =⋅⋅，()()363654x x =⋅⋅⋅，()()4626543x x =⋅⋅⋅⋅，()()5665432x x =⋅⋅⋅⋅⋅，()()666543216!x =⋅⋅⋅⋅⋅=，所以()()606!f =，故D 正确.故选：BCD11.全球有0.5%的人是高智商，他们当中有95%的人是游戏高手．在非高智商人群中，95%的人不是游戏高手．下列说法正确的有（）A.全球游戏高手占比不超过10%B.某人既是游戏高手，也是高智商的概率低于0.1%C.如果某人是游戏高手，那么他也是高智商的概率高于8%D.如果某人是游戏高手，那么他也是高智商的概率低于8.5%【答案】AC 【解析】【分析】利用全概率公式和条件概率定义进行计算.【详解】A 项，高智商中有的人是游戏高手概率为0.0050.950.00475⨯=，非高智商人群中是游戏高手的概率为0.9950.050.04975⨯=，所以全球游戏高手占比为0.004750.049750.05450.1+=<，所以A 项正确；B 项，既是游戏高手，也是高智商的概率为0.0050.950.004750.001⨯=>，所以B 项错误；C 项，设事件A 为某人是游戏高手，事件B 为某人是高智商，则()0.0545P A =，则()()()0.0050.9519|0.0870.080.0545218P AB P B A P A ⨯===≈>，所以C 项正确；D 项，由C 项知，()19|0.0870.085218P B A =≈>，所以D 项错误.故选：AC.12.已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()2ln ln 2xf x f x x x +'+=，()11f =，且实数()a f x <对任意0x >都成立（ln20.693≈，ln3 1.098≈），则（）A.()18f ''= B.()f x 有极小值，无极大值C.()f x 既有极小值，也有极大值D.23<a 【答案】ABD 【解析】【分析】将题设条件化为()222[][ln ]x f x x x ''=，进而有()222ln x f x x x C =+，其中C 为常数，()0,x ∈+∞，根据已知求得()221ln f x x x =+，对函数求导判断A 、B 、C ；问题化为()0,x ∈+∞上()min a f x <，结合()f x 的极值()2200222000111ln (f x x x x x =+=+且0(1,2)x ∈求参数范围判断D.【详解】由题设()()222(ln ln )f x xf x x x =+'+，则()()2222(ln ln )xf x x f x x x x x +'+=，所以()222[][ln ]x f x x x ''=，故()222ln x f x x x C =+，其中C 为常数，()0,x ∈+∞，又()11f =，则()11f C ==，所以()222ln 1x f x x x =+，即()221ln f x x x=+，所以()32ln 2x f x x x '=-，故()242(1ln )6x f x x x-''=+，则()18f ''=，A 对；由()232(ln 1)x x f x x -'=且()0,x ∈+∞，令21ln ()x x x g =-在()0,x ∈+∞上递增，(1)10g =-<，1ln 20.4430)4(2g -=≈>，故0(1,2)x ∃∈使0()0g x =，即0201ln x x =，0(0,)x 上()0g x <，即()0f x '<，()f x 递减；0(,)x +∞上()0g x >，即()0f x ¢>，()f x 递增；所以()f x 有极小值，无极大值，B 对，C 错；由题设，()0,x ∈+∞上()min a f x <，即()2200222000111ln ()f x x a x x x =+=+>，令2011(,1)4t x =∈，则()20f x y t t ==+在1(,1)4t ∈上递增，故()05(,2)16f x y =∈，所以52163a ≤<，D 对.故选：ABD【点睛】关键点睛：根据题设条件得到()222[][ln ]x f x x x ''=，进而求得()221ln f x x x =+为关键.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知数列{}n a 满足211n n n a a a +-+=，且113a =，则9a =______．【答案】13【解析】【分析】先求得数列的周期性，再应用周期性求值即可.【详解】由211n n n a a a +-+=，得2421111211211nn n nn n n n n a a a a a a a a a +++---+====-+++，则95113a a a ===.故答案为：13.14.已知()220x x m m -+=∈R 的两共轭虚根为1x ，2x，且12x x +=，则m =______．【答案】3【解析】【分析】由根与系数关系有12122x x mx x =⎧⎨+=⎩，设11i x a =+，21i x a =-且R a ∈，结合题设和复数模长、乘法运算求参数.【详解】由题设12122x x mx x =⎧⎨+=⎩，可令11i x a =+，21i x a =-且R a ∈，所以2122x x a +==⇒=，所以21213x x a m =+==.故答案为：315.已知圆()()22:344C x y -+-=，过直线:4310l x y ++=上一动点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA PB +的最小值为______．【答案】425【解析】【分析】首先利用图形，解决向量的运算，再利用PC 的最小值，即可求解.【详解】如图，连结,CA CB ，CA PA ⊥，CB PB ⊥，AB 和CP 交于点D ，2PA PB PD += ，因为2PA PD PC =，所以2244PAPC PD PC PCPCPC-===-,设4y x x=-，易知其在()0,∞+为增函数，则PC 的最小值为圆心()3,4C 到直线:4310l x y ++=的距离5d ==，所以PD 的最小值为421555-=，那么PA PB + 的最小值为425.故答案为：42516.正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，E ，F 分别是棱CD ，1DD 的中点，M 是正方体的表面上一动点，当四面体BEFM 的体积最大时，四面体BEFM 的外接球的表面积为______．【答案】11π【解析】【分析】根据题意只需M 点离平面1BEFA 最远即可，构建空间直角坐标系，应用向量法求各点到面1BEFA 距离得到M 与1C 重合，再将1EFC △置于如下直角坐标系中求1EFC △外接圆圆心，进而确定空间坐标系中外接球球心O 坐标，即可求球的表面积.【详解】如下图，11////EF CD BA ，即1,,,B E F A 四点共面，要使四面体BEFM 的体积最大，只需M 点离平面1BEFA 最远即可，显然点D 、线段1CD 上点到平面1BEFA 距离都相等，构建下图空间直角坐标系D xyz -，则(0,1,0),(0,0,1),(2,2,0)E F B ，所以(0,1,1),(2,1,0)EF EB =-= ，若面1BEFA 的一个法向量为(,,)m x y z =，则020EF m y z EB m x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令2y =，则(1,2,2)m =- ，而11(0,2,0),(0,2,2),(2,0,0),(2,2,2)C C A B ，则(0,2,0)AB = ，(0,1,0)EC =，1(0,1,2)EC = ，1(0,0,2)BB =，所以A 到面1BEFA 距离为||43||m AB m ⋅= ，C 到面1BEFA 距离为||23||m EC m ⋅= ，1C 到面1BEFA 距离为1||2||m EC m ⋅= ，1B 到面1BEFA 距离为1||43||m BB m ⋅=，综上，正方体的表面上1C 到面1BEFA 距离最远，故四面体BEFM 的体积最大，M 与1C重合，首先确定1EFC △外接圆圆心1O 坐标，将1EFC △置于如下直角坐标系中，则1(2,2),(0,1),(1,0)C F E ，则1O 是直线1:DC y x =与1FC 的垂直平分线l 的交点，由112FC k =，则2l k =-，且1FC 中点为3(1,)2，故3:2(1)2l y x -=--，即:4270l x y +-=，联立76427076x y x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨+-=⎩⎪=⎪⎩，即177(,)66O 对应到空间直角坐标系的坐标为177(0,,66O ，由四面体BEFM 的外接球球心O 在过1O 垂直于面1EFC 的直线上，设77(,,66O n ，由||||OB OE ==76n =，=24π11π⨯=.故答案为：11π【点睛】关键点点睛：利用向量法求出正方体的表面上到面1BEFA 距离最远的点为关键.四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.疫情结束之后，演唱会异常火爆．为了调查“喜欢看演唱会和学科是否有关”，对本年级的100名老师进行了调查．附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．()20P k χ≥0.0500.0100.0010k 3.8416.63510.828（1）完成下列22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为本年级老师“喜欢看演唱会”与“学科”有关；喜欢看演唱会不喜欢看演唱会合计文科老师30理科老师40合计50（2）三楼大办公室中有11名老师，有4名老师喜欢看演唱会，现从这11名老师中随机抽取3人，求抽到的3人中恰有1人喜欢看演唱会的概率．【答案】（1）列联表见解析，有95%的把握认为本年级老师“喜欢看演唱会”与“学科”有关（2）2855【解析】【分析】（1）根据表格进行运算即可得到完整的列联表，再根据卡方计算公式运算对比临界值即可求解.（2）根据超几何分布的概率计算公式进行运算即可求解.【小问1详解】由表可知喜欢看演唱会的理科老师有503020-=人，理科老师共有204060+=人，文科老师共有1006040-=人，不喜欢看演唱会的文科老师有403010-=人，不喜欢看演唱会的人有104050+=人，完成22⨯列联表如下表所示：喜欢看演唱会不喜欢看演唱会合计文科老师301040理科老师204060合计5050100()()()()()()22210012002005016.667 3.841406050503n ad bc a b c d a c b d χ-⨯-===≈>++++⨯⨯⨯，故有95%的把握认为本年级老师“喜欢看演唱会”与“学科”有关.【小问2详解】由题意11名老师中，有4名老师喜欢看演唱会，有7名老师不喜欢看演唱会，若从这11名老师中随机抽取3人，求抽到的3人中恰有1人喜欢看演唱会，则只能从4名喜欢看演唱会的老师中抽取1人，从7名不喜欢看演唱会的老师中抽取2人，即所求的概率为1247311C C 42128C 16555p ⨯===.18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，18AA =，6AB =，E ，F 为1CC 上分别靠近C 和1C 的四等分点，若多面体11AA B BEF 的体积为40．（1）求EF 到平面11AA B B 的距离；（2）求二面角1E AB B --的大小．【答案】（1）2；（2）π4.【解析】【分析】（1）由直三棱柱结构特征有11//CC AA ，应用线面平行判定证1//CC 面11AA B B ，问题化为求C 到面11AA B B 的距离，再结合面ABC ⊥面11AA B B ，进一步化为求ABC 中AB 上的高h ，根据多面体体积列方程求结果；（2）过C 作CD AB ⊥于D ，过E 作EH ⊥面11AA B B 于H ，连接,DH DE ，证AB ⊥面CEHD ，进而有EDH ∠为二面角1E AB B --的平面角，即可求大小.【小问1详解】直三棱柱111ABC A B C -中11//CC AA ，1CC ⊄面11AA B B ，1AA ⊂面11AA B B ，所以1//CC 面11AA B B ，即//EF 面11AA B B ，只需求C 到面11AA B B 的距离，又面ABC⊥面11AA B B ，面ABC ⋂面11AA B B AB =，则C 在面11AA B B 上的射影在直线AB 上，即C 到面11AA B B 距离为ABC 中AB 上的高h ，又E ，F 为1CC 上分别靠近C 和1C 的四等分点，且多面体11AA B BEF 的体积为40，所以111118622640232AA B BEF V h h =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，可得2h =，即EF 到平面11AA B B 的距离为2.【小问2详解】过C 作CD AB ⊥于D ，过E 作EH ⊥面11AA B B 于H ，连接,DH DE ，由（1）分析易知：,//CD EH CD EH =，即四边形CEHD 为平行四边形，由1CC ⊥面ABC ，AB ⊂面ABC ，则1CC AB ⊥，由1CD CC C = ，1,CD CC ⊂面CEHD ，则AB ⊥面CEHD ，而,DE DH ⊂面CEHD ，则AB DH ⊥，AB DE ⊥，故EDH ∠为二面角1E AB B --的平面角，由（1）知：2EH CD h ===，2CE DH ==，所以tan 1EH EDH DH ∠==，故锐二面角1E AB B --为π4.19.已知数列{}n a 满足12a =，23a =，且()*2123n n n a a a n +++=∈N．（1）求证：数列{}1n n a a +-为等比数列；（2）若()1111nn n n b a a +⎛⎫=-+⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项的和n S ．【答案】（1）证明见解析（2）1(1)221n n--++【解析】【分析】（1）根据已知等式变形得()2112n n n n a a a a +++-=-，利用等比数列的定义证明即可；（2）对项数n 分奇偶讨论，由裂项相消法求和可得.【小问1详解】()*2123n n n a a a n +++=∈N ，且12a =，23a =，()()*2112n n n n a a a a n +++∴=-∈-N ，且2110a a -=≠，()*2112n n n na a n a a +++=--∈∴N ，故数列{}1n n a a +-是以1为首项，2为公比的等比数列.【小问2详解】由（1）知，112n n n a a -+-=，则有211a a -=，322a a -=，21,2n n n a a ---= ，各式相加得122111212222112n n n n a a ----=++++==--- ，又12a =，则121n n a -=+.()1111n n n n b a a +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则当n 为奇数时，122334111111111111n n n n n a a a S a a a a a a a -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111221n n a a +=--=--+；当n 为偶数时，122334111111111111n n n n n a a a S a a a a a a a -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++-++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111111221n n a a +=-+=-++；综上所述，1(1)221n n n S -=-++.20.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，a c +成等比数列．（1）若π5A =，求角C ；（2）若ABC 的面积为S ，求2Sa 的取值范围．【答案】（1）2π5C =；（2）13(,22.【解析】【分析】（1）由题设可得22b a ac -=，结合余弦定理可得2cos c a a B =+，应用正弦边角关系、三角恒等变换可得sin()sin B A A -=，进而有B A A -=，即可求角C ；（2）由（1）有2B A =，结合锐角三角形得ππ64A <<，应用三角形面积公式、三角恒等变换可得2222tan (3tan )(1tan )S A A a A -=+，令tan 3t A =∈，利用导数求等式右侧单调性，再求值域即得范围.【小问1详解】由题设2()b a a c =+，即22b a ac -=，且π()C A B =-+，由2222cos 2cos b a c ac B a c a B =+-⇒=-，即2cos c a a B =+，所以sin sin 2sin cos C A A B =+，即sin()sin 2sin cos A B A A B +=+，所以cos sin sin sin cos A B A A B =+，故sin()sin B A A -=，所以B A A -=或πB A A -=-（舍），可得2π25B A ==，故2π5C =.【小问2详解】由（1）知2B A =，ABC 为锐角三角形，则π02π022π0π32A A A ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，可得ππ64A <<，又1sin 2S ac B =，则2sin sin sin sin(3)sin(2)22sin 2sin S c B C B A A a a A A===，所以221sin(3)cos sin cos cos 2cos sin 2sin 2(cos 2)2S A A A A A A A A A a ==+=+，又22tan sin 21tan A A A =+，221tan cos 21tan A A A -=+，故22222tan 1tan 1()1tan 1tan 2S A A a A A -=⨯+++，整理得2222tan (3tan )(1tan )S A A a A -=+，令3tan 3t A =∈，则32223()(1)S t t f t a t -==+，所以2423312()(1)t t f t t -+'=+，令42()123g t t t =-+，则2()4(6)0g t t t '=-<，故()g t在,1)3t ∈上递减，8()()039g t g <=-<，即()0f t '<，所以()f t在(,1)3t ∈上递减，故322231()(,)(1)22S t t f t a t -==∈+.21.已知抛物线2:4y x Γ=的准线l 交x 轴于M ，过()1,1P -作斜率为1k 的直线1l 交Γ于,C D ，过()1,1Q --作斜率为2k 的直线2l 交Γ于,E G ．（1）若抛物线的焦点2F l ∈，判断直线l 与以EG 为直径的圆的位置关系，并证明；（2）若,,C E M 三点共线，①证明：21k k -为定值；②求直线1l 与2l 夹角θ的余弦值的最小值．【答案】（1）相切，证明见解析（2）①1；②35【解析】【分析】（1）将直线EG 和抛物线联立，利用韦达定理，求出线段EG 的中点和长度，即可得以EG 为直径的圆的方程，通过判断圆心与直线l 的距离与半径的大小关系来去顶直线与圆的位置关系；（2）①设221212,,,44y y C y E y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，通过,,C E M 三点共线即斜率相等可得124y y =，再将其代入21212221111144y y k k y y +--=-++计算即可；②设直线12,l l 的倾斜角分别为,αβ，()2121tan tan tan tan 1tan tan 1k k k k βαθβαβα--=-==++，通过21,k k 的关系代入消2k ，通过直线和抛物型线相交，利用判别式求出1k 的范围，进而可得最值.【小问1详解】若抛物线的焦点2F l ∈，则直线EG 即为直线QF ，又()1,0F 故()10:111EG l y x --=---，整理得:210EG l x y --=联立22104x y y x--=⎧⎨=⎩，消去x 得2840y y --=，6416800D =+=>则8E G y y +=，124y y =-，所以()2218E G E G x x y y +=++=，且20EG =，故以EG 为直径的圆的圆的方程为()()2294100x y -+-=，其圆心为()9,4，半径为10，所以以EG 为直径的圆的圆心到直线l 的距离为9110+=，故直线l 与以EG 为直径的圆相切；【小问2详解】①设221212,,,44y y C y E y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()()()1,0,1,1,1,1M P Q ----，因为,,C E M 三点共线，所以CE CM k k =，即1212221211444y y y y y y -=-+，整理得124y y =，所以()()2212212121222221211111441111114444y y y y y y k k y y y y ⎛⎫⎛⎫++--+ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭-=-=⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()222212112212122122222211221112444444121441644y y y y y y y y y y y y y y y y y y ⎛⎫+++-+-- ⎪++⎝⎭===+++++,即21k k -为定值1；②设直线12,l l 的倾斜角分别为,αβ，则()()21221111tan tan 11tan tan 1tan tan 1111324k k k k k k k βαθβαβα--=-====++++⎛⎫++ ⎪⎝⎭由已知可得()11:11l y k x =++，联立()12114y k x y x⎧=++⎨=⎩，消去x 得2114440y y k k -++=，所以21144440k k ⎛⎫⎛⎫∆=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得11122k ---+<<，当112k =-时，()max 14tan 334θ==，此时θ最大，cos θ最小，此时由22sin 4cos 3sin cos 1θθθθ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得3cos 5θ=.即直线1l 与2l 夹角θ的余弦值的最小值为35.【点睛】关键点睛：本题关键是在解答第（2）①中设出点的坐标，将条件和目标式都坐标化，从而可以真正的通过计算得出结论.22.已知()()()2341e 3x f x x kx kx k =--+∈R （1）当0k =时，求()f x 过点()()1,1f 的切线方程；（2）若对[]1,2k ∀∈，[]0,x k ∈，不等式()f x a ≤恒成立，求实数a 的取值范围．[参考不等式：()21e 102x x x x ≥++≥]【答案】（1）22e e 0x y --=；（2）452e 3a ≥-.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程；（2）构造()2()1e x g x x =-、343()kx kx h x =-并应用导数研究单调性，进而判断[]0,x k ∈上()()()f x g x h x =-最大值所在区间，利用导数研究()f x 在1(,]2x k ∈的最值，得到242max 4()(1)e 3k f x k k k =--+，利用导数求右侧最大值，即可得参数范围.【小问1详解】由题设()()21e x f x x =-，则()()221e xf x x '=-，所以()10f =，()21e f '=，故过点()()1,1f 的切线方程为2(e 1)y x =-，即为22e e 0x y --=.【小问2详解】下述过程均在[]1,2k ∈且[]0,x k ∈条件下，令()2()1e x g x x =-，则()2()21e xg x x '=-，令1()02g x x '=⇒=，故1[0,)2x ∈上()0g x '<，()g x 递减，1(,]2x k ∈上()0g x '>，()g x 递增，且21e (0)1,(,()(1)e 22k g g g k k =-=-=-，令343()kx kx h x =-，则2)()(41x h x k '-=，令1()02h x x '=⇒=，故1[0,)2x ∈上()0h x '<，()h x 递减，1(,]2x k ∈上()0h x '>，()h x 递增，且2214(0)0,(),()(1)233k h h h k k k ==-=-，由()()()f x g x h x =-，而11(0)((0)()22h h g g >>>，故1[0,2x ∈上()0f x <，32k =时33e 39()()()()2222g k g h k h ==>==，故1(,]2x k ∈上可能存在()0f x >（特殊值法判断最大值可能区间），要使不等式()f x a ≤恒成立，即max ()a f x ≥，只需找到1(,]2x k ∈上max ()f x ，在1(,]2x k ∈上2(21)(e 2)()x f x kx k x =-'--，显然210x ->，且()010f =-<，令22()e x kx k x ϕ=--且1(,]2x k ∈，则2e )0()2(x x k ϕ=->'且为增函数，若e [1,]2k ∈时01()()22e k x ϕϕ>=≥-，即()0f x '≥，()f x 递增，则max ()()f x f k =；若e (,2]2k ∈时e 01()22k ϕ=<-，22112(220))12(k k k k k k ϕ≥++⋅--=+>，所以01(,]2x k ∃∈使0200e 20()x x k x k ϕ--==，即020e 2x kx k =+，此时01(,)2x x ∈上()0f x '<，()f x 递减，0(,]x x k ∈上()0f x '>，()f x 递增，1e 0232k f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故01(,)2x x ∈上()0f x <，只需()0f k >则必为最大值，此时max ()f x 在0(,]x x k ∈上右侧端点上取得；综上，在[]1,2k ∈上确定2424()(1)e 3kf k k k k =--+的最大值即可，令2424()(1)e 3k k k k k φ=--+，[]1,2k ∈，则2316()(21)e 23k k k k k φ'=--+，令()()k k ηφ'=，则2()4(e 4)2k k k k η'=-+，对于2e 4k y k =-有22e 40k y '=->，即2e 4k y k =-在[]1,2k ∈上递增，所以22e 4e 40k y k =->->，即()0k η'>，则()()k k ηφ'=递增，所以216()(1)e 203k φφ''>=+->，即()k φ递增，则4max 52()(2)e 3k φφ==-，故4max 52()e 3f x =-，即452e 3a ≥-.【点睛】关键点睛：第二问，构造中间函数研究()f x 最大值位置，进而得到max ()f x 关于参数k 的表达式为关键.。

陕西省宝鸡中学2015届高三上学期第二次(12月)月考数学(理)试题(A卷) Word版含答案

数学（理）试题（A 卷）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1、已知集合A 满足{}1 {}123A ⊆、、，则集合A 的个数为（） A 、5 B 、4 C 、3 D 、22、“0a =”是“复数(,)a bi a b R +∈为纯虚数”的（）条件A 、必要不充分B 、充分不必要C 、充要D 、既不充分也不必要3、在等差数列{}n a 中，21a =，515S =，则4a 等于（）A 、3B 、5C 、6D 、84、某算法语句如图，则结果为（）A 、ln 2-B 、2ln 2C 、2ln 2-D 、ln 25、下列有四个命题中，①若//a b ，//b c ，则//a c ; ②已知O,A.B.C 四点不共线，(,),OA mOB nOC m n R =+∈且A 、B 、C 三点共线，则m+n=1; ③命题“x R ∀∈有1sin cos 3x x +=”的否定为“x R ∃∈1sin cos 3x x +≠”; ④若α为第二象限角，则2α为第一象限的角；正确的为（）A 、①③B 、②④C 、 ①④D 、②③ 6、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A 、26 B、42+、62 D、42-7、若1sin()64x π+=，则5sin()cos()63x x ππ-+-值为（） A、、12 D 、12- 8、如果函数()f x 是奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，且(2)0f =，那么()()0f x f x x --<解集为（）A 、(,2)(0,2)-∞- B 、(2,0)(0,2)- C 、(,2)(2,)-∞-+∞ D 、(2,0)(2,)-+∞ 9、二项式7(3x -展开式中，含3x -项的系数是（）俯视图主视图A 、12-B 、18C 、20-D 、2110、若双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的离心率e ∈，则双曲线C 的两条渐近线夹角的取值范围为（）A 、,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B 、,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C 、,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 、2,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11、已知()cos sin 2f x x x =⋅，下列命题错误的为（）A 、()y f x =为奇函数B 、()y f x =的图像关于2x π=对称C 、()y f x =D 、()y f x =为周期函数 12、若非零向量a ，b 满足a b b +=，则成立的是（）A 、22a a b >+B 、22b a b >+C 、22a a b <+D 、22b a b <+第Ⅱ卷（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空: (本大题共4小题，每小题5分)13、11(x dx -+=⎰___________．14、已知函数2sin 2y x =图像向右平移12π个单位得到()y f x =图像，则()f x 单调递增区间为________． 15、数列{}n a 的通项公式为sin 2n n a n π=⋅，其前n 项和为n S ，则100S =________． 16、设[]x 是不大于x 的最大整数．若函数[]()f x x x a =-+存在最大值，则正实数a 的取值范围是________．三、解答题：(解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤)17、在ABC ∆中，内角A 、B 、C 分别对应边长为a 、b 、c 且a b ≠，(cos cos m A B =+，(cos cos ,sin cos sin cos )n A B B B A A =--且m n ⊥ （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）若24a b +=，求ABC ∆面积的最大值．18、如图：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形， PA ⊥平面ABCD ，E 为PA 中点．（Ⅰ）求证：//PC 平面BDE ；（Ⅱ）已知22PA AB ==，求二面角D BE A --的余弦值．19、用0,1,2,3,5这五个数组成没有重复数字的三位数，假设每个三位数的取法都是等可能的。

2022-2023学年重庆市长寿中学高三上学期12月月考数学试题(解析版)

重庆市长寿中学校高三上期·12月月考数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．已知集合，集合，则( )A. B. C. D.2．复数在复平面内对应点的点是，则复数是虚数单位的虚部为( )A. B. C. D.3．若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为( )A. 或B.C. 或D.4．如图所示，等腰梯形中，，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则( )A. B.C. D.5．某地高考规定每一考场安排名考生，编成六行四列就坐若来自同一学校的甲、乙两名学生同时排在“考点考场”，那么他们两人前后左右均不相邻的概率是( )A. B. C. D.6．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则当取最大值时，外接圆的面积( )A. B. C. D.7．如图所示，在直角梯形中，，、分别是、上的点，，且如图将四边形沿折起，连结、、如图在折起的过程中，下列说法中错误的个数是( ) 平面；、、、四点不可能共面；若，则平面平面；平面与平面可能垂直．A. 1B. 2C. 3D. 48．已知函数，若关于的函数有个不同的零点，则实数的取值范围是( )A. 或B. 或C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题有多项符合题目要求）9．已知函数，下列叙述正确的有( )A. 函数是偶函数B. 函数的周期为C. 函数在区间上单调递减D. ，，10．已知为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于，点，轴，垂足为，与椭圆的另一个交点为，则( )A. 的最小值为B. 面积的最大值为C. 直线的斜率为D. 直线与直线的斜率之积为定值11．已知二项式的展开式中各项系数的和为，则下列结论正确的是( )A. B. 展开式中二项式系数和为C.展开式中项的系数为D.展开式中有项有理项12．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本元与月处理量吨之间的函数关系可近似表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元．以下判断正确的是( )A. 该单位每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低B. 该单位每月最低可获利元C. 该单位每月不获利也不亏损D. 每月需要国家至少补贴元才能使该单位不亏损三、填空题（本大题共4小题，共20分）13．已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是．14．已知函数为奇函数，设，则．15．若，，，且，，共面，则．16．已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为．四、解答题（本大题共6小题，共70分。

四川省成都外国语学校2014届高三上学期12月月考试题数学(理) Word版含答案

成都外国语学校高2014届12月月考理科数学命题人：刘丹审题人：李斌满分150分，考试时间120 分钟。

注意事项：1．答题前，考试务必先认真核对条形码上的姓名，准考证号和座位号，无误后将本人姓名、准考证号和座位号填写在相应位置，2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3．答题时，必须使用黑色签字笔，将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上； 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效； 5．考试结束后将答题卡交回，不得折叠、损毁答题卡。

第Ⅰ卷（单项选择题共50分）一、选择题（本大题10个小题，每题5分，共50分,请将答案涂在答题卷上)1、若集合{|2,}xM y y x R ==∈，集合{|lg(1)}S x y x ==-，则下列各式中正确的是（）A 、M S M =B 、M S S =C 、M S =D 、M S =∅ 2、设i 是虚数单位，则2(1)i i--等于（） A 、0 B 、4 C 、2 D3、设等差数列{}n a 的前项和为n S ，若94=a ，116=a ，则9S 等于（） A 、180 B 、90 C 、72 D 、1004、要得到一个奇函数，只需将x x x f cos 3sin )(-=的图象（）A 、向右平移6π个单位B 、向右平移3π个单位C 、向左平移3π个单位D 、向左平移6π个单位 5、已知正方体1111ABCD ABC D -的棱长为a ，112AM MC =，点N 为1B B 的中点，则MN =（）A B C D 6、执行如图的程序框图，如果输入p=8,则输出的S=（）A 、6364B 、 12764C 、127128D 、2551287、已知0,a >且1a ≠，函数log ,,xa y x y a y x a ===+在同一坐标系中的图象可能是（）A ＢＣＤ 8、某校周四下午第五、六两节是选修课时间,现有甲、乙、丙、丁四位教师可开课。

2024届天津市南开中学高三上学期12月月考数学试题及答案

2024南开中学高三数学第二次月考一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合{}ln A x y x ==，{}21B y y x ==+，则()R A B ⋂=ð（）A. ()0,1 B. (]0,1 C. [)0,1 D. []0,12. 设数列{}n a 的公比为q ，则“10a >且01q <<”是“{}n a 是递减数列”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数()2cos e ex x x x f x -+=-的大致图像为（）A. B.C. D.4. 设5log 2a =，ln 2b =，0.20.5c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（）A. a c b <<B. a b c <<C. b<c<aD. c a b <<5. 设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，5a ，33a ，4a 成等差数列，则84S S 的值为（）A. 116 B. 117 C. 16D. 176. 已知35a b =且211a b +=，则a 的值为（）A. 3log 15 B. 5log 15 C. 3log 45 D. 5log 457. 我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何?”这里的“羡除”，是指由三个等腰梯形和两个全等的三角形围成的五面体．在图1所示羡除中，////AB CD EF ，10AB =，8CD =，6EF =，等腰梯形ABCD 和等腰梯形ABFE 的高分别为7和3，且这两个等腰梯形所在的平面互相垂直．按如图2的分割方式进行体积计算，得该“羡除”的体积为（）A. 84B. 66C. 126D. 1058. 记()n a τ表示区间[],n n a 上的偶数的个数．在等比数列{}n a n -中，14a =，211a =，则()4a τ=（）A. 39B. 40C. 41D. 429. 将函数πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点向右平移π4个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则（）A. ()g x 为奇函数 B. ()3πcos 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. ()g x 最小正周期为2πD. ()g x 的单调递增区间为5πππ,π88k k ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，Zk ∈二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 设i 是虚数单位，()12a i i bi +=+（,a b ∈R ），则b a -=_____．11. 在5223x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数是______．12. 已知直线():20l y kx k =->与圆221x y +=相切，且被圆()()2240x y a a ++=>截得的弦长为k =______；=a ______．13. 锐角α，β满足2π23αβ+=，tan tan 22αβ=-α和β中的较小角等于______．14. D 为ABC 的边AB 一点，满足2AD DB = ．记CA a = ，CB b = ，用a ，b 表示CD = ______；若的的1CD = ，且ABC 的面积为98，则ACB ∠的最小值为______．15. 若二次函数()()2121f x ax b x a =+---在区间[]2,3上存在零点，则22a b +的最小值为______．三．解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16. 在ABC 中，,,A B C 对应的边为,,a b c .已知1cos 2a C cb +=.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若4,6b c ==，求cos B 和()cos 2A B +的值.17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BC BB ===，D 为棱AB 中点．M 为线段1BC 的中点．（1）求证：1//BC 平面1ACD ；（2）求平面1ACD 与平面1C DC 的夹角的余弦值；（3）求点M 到平面1ACD 的距离．18. 椭圆22221x y a b+=的左、右顶点分别为A ，B ，上顶点为()0,2C ，左、右焦点分别为1F ，2F ，且1AF ，12F F ，1F B 成等比数列．（1）求椭圆的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，直线CM ，CN 分别与x 轴交于P ，Q 两点．若CMN CPQ S S =△△，求直线l 的斜率．19. 已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，数列{}n b 是公比不为1的等比数列，满足122a a b +=，233a a b +=，454a a b +=．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；的（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n S ；（3）若数列{}n d 满足11d =，1n n n d d b ++=，记12nk n i k d T b ==∑．是否存在整数m ，使得对任意*n ∈N 都有212n n nd mT b ≤-<成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．20. 已知函数()2e xf x a x =-，0a >且1a ≠．（1）当e a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若1a >，且()f x 存在三个零点1x ，2x ，3x ．（i ）求实数a 的取值范围；（ii ）设123x x x <<，求证：1233x x x ++>．的2024南开中学高三数学第二次月考一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】B二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．【10题答案】【答案】3．【11题答案】【答案】720【12题答案】【答案】①. ②. 4【13题答案】【答案】π6##30︒【14题答案】【答案】 ① 1233a b + ②. π2【15题答案】【答案】125三．解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【16题答案】【答案】（Ⅰ）π3A =（Ⅱ）1114-【17题答案】【答案】（1）证明见解析；（2；（3.【18题答案】【答案】（1）22154x y += （2）12-或0【19题答案】【答案】（1）21n a n =-，2n n b =（2）()12326n n S n +=-⋅+（3）存在5m =，理由见解析【20题答案】【答案】（1）e e 0x y -+=（2）（i）1a <<，（ii ）证明见解析.。

2023届福建省南安市柳城中学高三上学期12月月考数学试题(解析版)

2023届福建省南安市柳城中学高三上学期12月月考数学试题一、单选题 1．已知复数i2iz =+，i 为虚数单位，则z 的共轭复数为（） A ．12i 55+B ．12i 55-C ．21i 55+D ．21i 55-【答案】B【分析】根据复数的运算公式求复数z 的代数形式，再求其共轭复数即可. 【详解】()()()i 2i i 12i 12=i 2i 2i 2i 555z -+===+++-，所以z 的共轭复数为12i 55-，故选：B.2．已知集合()(){}120A x x x =+-<，{}Z 1B x x =∈≥，则()A B =R （） A ．[]{}1,21⋃- B ．[]1,2C ．{}1,1,2-D ．{}1,2【答案】C【分析】解一元二次不等式求得集合A ，解绝对值不等式求得集合B ，由此求得()A B ⋂R . 【详解】由120x x，得1x <-或2x >，所以[]1,2R A =-；由1x ≥，得1x ≤-或1x ≥，所以{Z|1B x x =∈≤-或}1x ≥，从而(){}1,1,2A B ⋂=-R ．故选：C3．已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ，若()()12436P X P X >=⋅<，则()23P X <<=（） A ．13B ．14C ．16D ．19【答案】A【分析】利用对称性可得(2)(4)P X P X <=>结合条件可求()2P X <，再由 1(2)(4)(23)2P X P X P X -<-><<=求解.【详解】因为随机变量X 服从正态分布()23,N σ，又()()12436P X P X >=⋅<，所以1(2)(4)6P X P X <=>=，故1111(2)(4)166(23)223P X P X P X =---<-><<==. 故选：A.4．已知某圆锥的侧面展开图为半圆，该圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为（）A ．27πB ．C ．D ．16π【答案】A【分析】根据条件先算出母线长与底面半径的关系，再根据体积计算出底面半径即可.【详解】设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则r l 2π=π，所以2l r =，=，所以213r π⨯=，解得3r =，故其表面积291827S r rl πππππ=+=+=；故选：A ．5．将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（） A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】C【分析】先由平移求出曲线C 的解析式，再结合对称性得,232k k ωππππ+=+∈Z ，即可求出ω的最小值.【详解】由题意知：曲线C 为sin sin()2323y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又C 关于y 轴对称，则,232k k ωππππ+=+∈Z ，解得12,3k k ω=+∈Z ，又0ω>，故当0k =时，ω的最小值为13.故选：C.6．已知抛物线212,,y F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】C【分析】由已知可得出c 的值，求出点A 的坐标，分析可得112AF F F =，由此可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线245y x =的准线方程为5x =-，则5c =，则()15,0F -、()25,0F ，不妨设点A 为第二象限内的点，联立b y x a x c⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，可得x c bc y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即点,bc A c a ⎫⎛- ⎪⎝⎭，因为112AF F F ⊥且124F F A π∠=，则12F F A △为等腰直角三角形，且112AF F F =，即2=bc c a，可得2ba =，所以，22225ba c c ab ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得125a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，双曲线的标准方程为2214y x -=.故选：C.7．如图，在正三棱柱111ABC A B C 中，13AA =，2AB =，则异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值为（）A ．513B ．713C ．913D ．1213【答案】B【分析】在三棱锥内构造直线使其平行于1A B ，然后构造三角形，运用异面直线夹角的定义求解即可.【详解】取11A C 的中点D ，连接1BC 交1B C 于点E ，连接DE ，则1//DE A B 且112DE A B =，则1DEB ∠为异面直线1A B 与1B C 所成的角或其补角．易求1113A B BC =13B D ，则113DE B E ==，所以222111113133744cos 21313132DE B E B D DEB DE B E +-+-∠===⋅⨯⨯. 故选：B ．8．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数()1f x +为奇函数，当[]0,1x ∈时，()2xf x k a =⋅+，若()()036f f +=，则()2log 96f =（）A ．2B ．0C ．-3D ．-6【答案】C【分析】根据条件，可以证明()f x 是周期为4的周期函数，计算出a 和k ，由周期性可得()()22log 961log 3f f =+ ，再利用函数的对称性即可求解.【详解】因为()1f x +为奇函数，所以()()11f x f x -+=-+，又()f x 为偶函数，所以()()11f x f x -+=-，所以()()11f x f x -=-+，即()()2=-+f x f x ，所以()()()42f x f x f x +=-+=，故()f x 是以4为周期的周期函数；由()()11f x f x -+=-+，易得()10f =，()()()3110f f f =-==，所以()06f =，所以6k a +=，20k a +=，解得6k =-，12a =；所以()()()222log 965log 31log 3f f f =+=+()23log 2223log 31log 621232f f ⎛⎫⎛⎫=--=-=--⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故选：C ．9．已知0a b >>，0c d <<，则（） A ．a b d c> B ．a b d c< C ．ac bd < D ．ac bd >【答案】BC【分析】利用不等式的基本性质判断不等关系．【详解】因为0c d <<，所以0cd >，所以110d c <<，所以110d c->->，又0a b >>，所以a b d c ->-，所以a bd c<，故 A 错误，B 正确；因为0a b >>，0c d ->->，所以ac bd ->-，所以.ac bd <故D 错误，C 正确．故选：BC ．10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（） A ．若22n S n n =-，则{}n a 是等差数列 B ．若121n n S +=-，则{}n a 是等比数列 C ．若{}n a 是等差数列，则202310122023S a =D ．若{}n a 是等比数列，且10a >，0q >，则221212n n n S S S -+⋅> 【答案】AC【分析】利用n a 与n S 的关系，结合等差数列与等比数列的定义，可得A 、B 的正误；根据等差中项以及等差数列求和公式，可得C 的正误；取1n =时的特殊情况验证不等式，可得D 的正误.【详解】对于A ，若22n S n n =-，则11a =，当2n ≥时，143n n n a S S n -=-=-，显然1n =时也满足43n a n =-，故43n a n =-，由14n n a a --=，则{}n a 为等差数列，故A 正确；对于B ，若121n n S +=-，则13a =，2214a S S =-=，3328a S S =-=，显然3212a a a a ≠，所以{}n a 不是等比数列，故B 错误；对于C ，因为{}n a 为等差数列，则()12023101220231012202320232202322a a a S a +⨯===，故C 正确；对于D ，当1n =时，()()222222132111110S S S a q q a q a q ⋅-=++-+=-<，故当1n =时，不等式不成立，即221212n n n S S S -+⋅>不成立，故D 错误．11．关于函数()()π3sin 21R 3f x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+∈，下列说法正确的是（）A ．若()()121f x f x ==，则()12πZ x x k k -=∈B ．()y f x =的图像关于点2π,13⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．()y f x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()y f x =的图像向右平移π12个单位长度后所得图像关于y 轴对称【答案】BD【分析】对于A ，根据三角函数的对称中心性质即可判断；对于B ，可根据对称中心对应的函数值特征即可判断；对于C ，根据三角函数单调性判断即可；对于D ，求出平移后的解析式并根据偶函数的性质进行判断即可.【详解】对于A ，由()()121f x f x ==知()1,1x ，()2,1x 是()π3sin 213f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象的两个对称中心，则12x x -是函数()f x 的最小正周期的整数倍，即()12πZ 2k x x k -=∈，故A 不正确；对于B ，因为2π3sin π113f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以2π,13⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心，故B 正确；对于C ，由()πππ2π22πZ 232k x k k -≤-≤+∈解得()π5πππZ 1212k x k k -≤≤+∈，当0k =时，()f x 在π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()f x 在5π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 不正确；对于D ，()y f x =的图象向右平移π12个单位长度后所得图象对应的函数ππ3sin 213cos 21123y x x ⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R ()()3cos213cos21()f x x x f x ∴-=--+=-+=3cos 21y x =-+是偶函数，所以图象关于y 轴对称，故D 正确.故选：BD.12．将边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，下列结论正确的有（）A ．存在某个位置，使直线BD 与平面ABC 所成的角为45°B ．当二面角D AC B --为23π时，三棱锥D ABC - C ．当平面ACD ⊥平面ABC 时，异面直线AB 与CD 的夹角为60°D ．O 为AC 的中点，当二面角D AO B --为23π时，三棱锥A OBD -外接球的表面积为10π 【答案】ACD【分析】A.当当平面ACD ⊥平面ABC ，即可判断；B.根据锥体体积公式，即可求解； C.将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，即可求解； D.将三棱锥补体为三棱柱，即可求球心和半径.【详解】A.当平面ACD ⊥平面ABC 时，取AC 的中点O ，连接,BO DO ，DO AC ⊥，DO ∴⊥平面ABC ，DBO ∴∠为直线BD 与平面ABC 所成的角， DBO 是等腰直角三角形，45DBO ∴∠=，故A 正确；B.DO AC ⊥，BO AC ⊥，DO BO O ⋂=，AC ∴⊥平面DBO ，且23DOB π∠=， AC ⊂平面ABC ，∴平面DBO ⊥平面ABC ，且交于BO ，∴点D 在平面ABC 的射影落在BO 上，∴点D 到平面ABC 的距离6sin 602d DO =⋅=，三棱锥D ABC -的体积1166223223V =⨯⨯⨯⨯=，故B 错误；C.取,BC BD 的中点,M N ，连接,,OM ON MN ，则//OM AB ，/MN DC ，所以OMN ∠或其补角是异面直线AB 与CD 的夹角，根据A 的证明可知()()22222BD =+=，112ON BD ==，且1OM MN ==，所以OMN 是等边三角形，60OMN ∠=，故C 正确；D.由条件可知AO ⊥平面DOB ，23DOB π∠=，且DO OB =，所以可以将四棱锥A DOB -补成底面是菱形的直棱柱因为四边形OBCD 是菱形，且23BOD π∠=，所以点C 是底面OBD 外接圆的圆心，取侧棱1CC 的中点E ，则E 是四棱柱外接球的球心，连结OE ，()222221022OE OC CE ⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭所以四棱锥A OBD -外接球的半径10R =2410S R ππ==，故D 正确. 故选：ACD三、填空题13．已知向量()3,1a =-，(),2b m =，且()2a a b ⊥+，则+=a b ______． 85 【分析】由向量线性运算及垂直的数量积表示可得方程解出m ，即可由坐标计算向量模. 【详解】()()()23,12,223,5a b m m +=-+=-，由()2a a b ⊥+得()()()23,123,5a a b m ⋅+=-⋅-6950m =-++=，解得73m =．则()723,1,2,333a b ⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2228533a b ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭85. 14．63x x ⎛⎝展开式的常数项为______.【答案】2160【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项公式，再求出常数项作答.【详解】6(3x展开式的通项公式为36662166C (3)(3(2)C ,N,6r r r r r r rr T x x r r ---+==⋅-∈≤，令3602r -=，解得4r =，则244563(2)C 916152160T =⋅-=⨯⨯=，所以展开式的常数项为2160. 故答案为：216015．已知函数()()()10 ln f x x x =+≥，将()f x 的图象绕原点逆时针旋转(]()0,ααθ∈角后得到曲线C ，若曲线C 仍是某个函数的图象，则θ的最大值为______．【答案】π4##1π4【分析】求得()f x 在点()0,0处的切线方程，从而求得正确答案. 【详解】依题意0x ≥， ()11f x x '=+，所以()01f '=，故函数()f x 的图象在()()0,0f 处的切线为y x =，切线向上的方向与y 轴正方向的夹角为π4，函数()f x 的图象绕原点旋转不超过π4时，仍为某函数图象，若超过π4，y 轴与图象有两个公共点，与函数定义不符，故θ的最大值为π4．故答案为：π416．有一种投掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第10站，共10站，设棋子跳到第n 站的概率为n P ，若一枚棋子开始在第1站，棋手每次投掷骰子一次，棋子向前跳动一次．若骰子点数小于等于3，棋子向前跳一站；否则，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第9站（失败）或者第10站（获胜）时，游戏结束．则3P =_________；该棋手获胜的概率为__________．【答案】34##0.75 85256【分析】根据题意找出(38)n P n ≤≤与21,n n P P --的关系即可求解. 【详解】由题311132224P =+⨯=，因为2111(38)22n n n P P P n --=+≤≤，故11112n n n n P P P P ----=--，由2112P P -=-，所以111,22n n n P P n --⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭，累加可得：2878108111118518521,1222128225612P P P ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+-+-+⋅⋅⋅+-==== ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭．故答案为：34；85256.四、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()22214cos a b B ab +-=-，且2cos c b B =．(1)求B ；(2)若ABC 的周长为423+，求BC 边上中线的长．【答案】(1)π6B = (2)7．【分析】（1）已知条件结合余弦定理求得2π3C =，再由正弦定理求B . （2）由（1）求出角A ，利用三角形周长求出各边的长，再由余弦定理求BC 边上中线的长．【详解】（1）由()22214cos a b B ab +-=-，有22224cos a b b B ab +-=-，又2cos c b B =，所以2224cos c b B =，即222a b c ab +-=-，由余弦定理，得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-．又()0,πC ∈，所以2π3C =，由2cos c b B =及正弦定理，得sin 2sin cos C B B =，所以3sin 22B =，由π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得2π20,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π23B =，解得π6B =.（2）由（1）可知π6B =，2π3C =，所以π2πππ636A =--=，所以a b =，由2cos c b B =，得3c a =．因为ABC 的周长为423+，所以3423a a a ++=+，解得2a =．设BC 的中点为D ，则112CD BC ==，如图所示:AD==，所以BC．18．已知数列{}n a的前项和为n S，若()12n nnS n S+=+，且11a=.(1)求{}n a的通项公式;(2)设()2112nn nb na a-=≥，11b=，数列{}n b的前n项和为n T，求证32nT<.【答案】(1)n a n=(2)证明见解析【分析】（1）由已知等式可得12nnS nS n++=，采用累乘法可求得当2n≥时的nS，利用1n n na S S-=-可求得n a，检验首项后可得结论；（2）由（1）可得2n≥时nb的通项，由()()112122nbn n n n=<--，采用裂项相消法可求得11112nTn⎛⎫<+-⎪⎝⎭，由1n>可得结论.【详解】（1）由()12n nnS n S+=+得：12nnS nS n++=，则当2n≥时，()123211232111143123212n n n nn n nn nS S S S S S n n nS S S S S S n n n-----++-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=---，又111S a==，()12nn nS+∴=，()()11122n n nn n n na S S n-+-∴=-=-=，经检验：11a=满足na n=；()na n n*∴=∈N.（2）由（1）得：当2n≥时，()()11111212221nbn n n n n n⎛⎫=<=-⎪---⎝⎭；123111111111112223341n n nT b b b b bn n-⎛⎫∴=+++⋅⋅⋅++<+-+-+-+⋅⋅⋅+-⎪-⎝⎭11112n⎛⎫=+-⎪⎝⎭，1n>，111n∴-<，1113111222nTn⎛⎫∴<+-<+=⎪⎝⎭.19．2018年9月10日，全国教育大会在北京召开，习近平总书记在会上提出“培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”.某学校贯彻大会精神，为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明､小红打算报名参加大赛.(1)赛前，小明进行了一段时间的强化训练，加工完成一个模具的平均速度y (秒)与训练天数x (天)有关，经统计得到如下表数据：经研究发现，可用b y a x=+作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过50天训练后，加工完成一个模具的平均速度y 约为多少秒？(2)小明和小红拟先举行一次模拟赛，每局比赛各加工一个模具，先加工完成模具的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为35，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局.若每局不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率．参考数据：(其中1i t x =) 参考公式：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线ˆvu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221n i ii n i i u v nu v unu β==-⋅=-∑∑，v u αβ=-⋅. 【答案】(1)100013ˆ0=+yx；150； (2)513625．【分析】(1)令1t x =，则可利用最小二乘法估计ˆˆˆy bt a =+，从而得到ˆˆˆb y a x=+，代入x =50即可预测小明经过50天训练后，加工完成一个模具的平均速度；(2)设比赛再继续进行X 局小明最终赢得比赛，最后一局一定是小明获胜，且最多再进行4局就结束比赛分出胜负，则小明赢得比赛得概率P =P (X =2)+P (X =3)+P (X =4)．【详解】（1）由题意，()19909904503203002402105007y =++++++=，令1t x =，设y 关于t 的线性回归方程为ˆˆˆy bt a =+，则7172217184570.37500ˆ10000.557i ii i i t y t y b tt ==-⋅-⨯⨯===-∑∑，则ˆ50010000.37130=-⨯=a， ∴100013ˆ0=+yt ， ∴y 关于x 的回归方程为100013ˆ0=+y x，当50x =时，ˆ150=y， ∴预测小明经过50天训练后，加工完成一个模具的平均速度y 约为150秒；（2）设比赛再继续进行X 局小明最终赢得比赛，则最后一局一定是小明获胜，由题意知，最多再进行4局就有胜负，X 的可能取值为2、3、4．当2X =时，小明4∶1胜，∴()33925525P X ==⨯=；当3X =时，小明4∶2胜，∴()12333363C 1555125P X ⎛⎫==⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭；当4X =时，小明4∶3胜，∴()2133331084C 1555625P X ⎛⎫==⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭． ∴小明最终赢得比赛的概率为93610851325125625625++=． 20．如图，圆台下底面圆O 的直径为AB ， C 是圆O 上异于,A B 的点，且30BAC ∠=，MN 为上底面圆O '的一条直径，MAC △是边长为23的等边三角形，4MB =.(1)证明：BC ⊥平面MAC ；(2)求平面MAC 和平面NAB 夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析313【分析】(1)线线垂直从而证明线面垂直.(2)利用向量法，即可求二面角的余弦值.【详解】（1）∵AB 为圆台下底面圆O 的直径，C 是圆O 上异于,A B 的点，故=90ACB ︒∠又∵=30BAC ︒∠，23AC =，∴4AB MB ==∵AC MC =，BC BC =∴ABC MBC ≅，∴=90BCM ︒∠∴BC MC ⊥，又∵BC AC ⊥，AC MCC ，,AC MC ⊂平面MAC ∴BC ⊥平面MAC（2）取AC 的中点，连接,DM DO ，则MD AC ⊥，由(1)可知，BC DM ⊥∵AC BC C =，∴DM ⊥平面ABC ，又∵OD AC ⊥∴以D 为原点，DA 为x 轴，DO 为y 轴，DM 为z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，由题意可得(3,0,0)A ，(3,2,0)B -，∵OO '⊥平面ABC ，∴//'DM OO ，四边形ODMO '为矩形，∴(0,2,3)N平面MAC 的一个法向量为1(0,1,0)n =.设平面NAB 的一条法向量为2(,,)n x y z =，(23,2,0)AB =-，(3,2,3)AN =-由2200n AB n AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得23203230x y x y z ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩ 令3x =3y =，1z =-平面NAB 的一个法向量为2(3,3,1)n =-则平面MAC 与平面NAB的夹角的余弦值为1212·3nn n n ==∴平面MAC 和平面NAB 21．已知抛物线2:2(0)C x py p =>在点()01,M y 处的切线斜率为12． (1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 上存在不同的两点关于直线:2l y x m =+对称，求实数m 的取值范围．【答案】(1)24x y =；(2)94m >.【分析】（1）根据给定条件，求出切线方程，再与抛物线C 的方程联立，借助判别式计算作答.（2）设出抛物线C 上关于l 对称的两点A ，B 的坐标，并设出直线AB 的方程，再与抛物线C 的方程联立，借助判别式及韦达定理计算作答.【详解】（1）点1(1,)2M p ，则切线方程为：11(1)22y x p -=-，由221(1)2py p x x py -=-⎧⎨=⎩消去y 并整理得： 210x px p -+-=，依题意，24(1)0p p ∆=--=，解得2p =，所以抛物线C 的方程是24x y =.（2）设抛物线C 上关于l 对称的两点为1122(,),(,)A x y B x y ，则设直线AB 方程为：12y x t =-+，由2124y x t x y⎧=-+⎪⎨⎪=⎩消去y 并整理得：2240x x t +-=，则有4160t '∆=+>，解得14t >-， 122x x +=-，12121()2212y y x x t t +=-++=+，显然线段AB 的中点1(1,)2t -+在直线l 上，于是得122t m +=-+，即有52t m =-，而14t >-，因此，5124m ->-，解得94m >，所以实数m 的取值范围是94m >. 【点睛】结论点睛：抛物线22(0)x py p =≠在点200(,)2x x p 处的切线斜率0x k p =；抛物线22(0)y px p =≠在点2000(,)(0)2y y y p ≠处的切线斜率0p k y =. 22．某品牌轿车经销商组织促销活动，给出两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种. 方案一：每满6万元，可减6千元；方案二：金额超过6万元（含6万元），可摇号三次，其规则是依次从装有2个幸运号、2个吉祥号的一号摇号机，装有2个幸运号、2个吉祥号的二号摇号机，装有1个幸运号、3个吉祥号的三号摇号机各摇号一次，每次摇出一个号. 其优惠情况为：若摇出3个幸运号打6折；若摇出2个幸运号打7折；若摇出1个幸运号打8折；若没摇出幸运号不打折.(1)若某型号的车正好6万元，两名顾客都选方案二，求至少有一名顾客比选方案一更优惠的概率；(2)若你朋友看中一款价格为10万元的轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种优惠方案.【答案】(1)247256(2)方案二【分析】（1）设顾客三次没摇出幸运号为事件A ，由独立事件概率乘法公式求得()P A ，则利用对立事件概率得所求概率为()21P A -；（2）方案二，设付款金额为X 万元，则{}6,7,8,10X ∈，求出X 的分布列，期望与方案一比较即可.【详解】（1）方案一相当于打9折，要使选择方案二比选择方案一更优惠，则需要至少摇出1个幸运号，设顾客不打折即三次没摇出幸运号为事件A ，则()223344416P A =⨯⨯=，故所求的概率()2232471116256P P A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭. （2）若选择方案一，则需要付款100.69.4-=（万元）若选择方案二，设付款金额为X 万元，则{}6,7,8,10X ∈， ()322116416P X ⨯⨯===，()322322122157416P X ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===， ()322322322178416P X ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===，()31016P X ==，故X 的分布列为所以()1573678107.93759.416161616E X =⨯+⨯+⨯+⨯=<（万元），所以选方案二划算.。

重庆市南开中学2015届高三12月月考数学(理)试题Word版含答案

重庆南开中学高2015级高三12月月考数学试题(理科)考试说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．(1)答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；(2)选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；(3)请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；(4)保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷(选择题共50分)一．选择题：本大题共l0小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．关于x 的不等式ax +b >0的解集不可能．．．是( ) (A)R (B)φ (C) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-a b x x ＞ (D)⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠a b x x 2．抛物线x y 42=的焦点到准线的距离为( ) (A)41 (B)21(C)2 (D)4 3．已知⎪⎭⎫⎝⎛∈ππ，2a ，5102cos 2sin =-a a ，则=a cos ( ) (A)54-(B)53- (C)54 (D)534．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4a ，2a 2，a 3成等差数列，若a 1=1。

则S 4=( ) (A)7 (B)8 (C)15 (D)165．已知单位向量a ，b 夹角为3π，则b a -2=( )(A)2 (B)3 (C)2 (D)56．已知直线()00022＞，＞b a by ax =+-平分圆014222=+-++y x y x C ：的圆周长，则ba 21+的最小值为( ) (A) 24 (B) 223+ (C)4 (D)67．已知定义在R 上的偶函数()x f 满足：当x ≥0时，()83-=x x f ，则关于x 的不等式：()122＞-x f 的解集为( )(A){}20＞或＜x x x (B) {}40＞或＜x x x (C) {}42＞或＜x x x - (D) {}22＞或＜x x x - 8．下列说法正确的个数是( )①命题“0123≤+-∈∀x x R x ，”的否定是“0120300＞，+-∈∃x x R x ”； ②“ac b =”是“三个数a ，b ，c 成等比数列”的充要条件；⑨“1-=m ”是“直线01)12(=+-+y m mx 和直线023=++my x 垂直”的充要条件： ④“复数()R b a bi a Z ∈+=，是纯虚数的充要条件是0=a ”是真命题．(A)1 (B)2 (C)3 (D)49．设21F F ，为双曲线C ：()0012222＞，＞b a by a x =-的左、右焦点，过坐标原点O 的直线与双曲线C 在第一象限内交于点P ，若a PF PF 621=+，且21F PF ∆为锐角三角形，则直线OP 斜率的取值范围是( )(A)⎪⎪⎭⎫⎝⎛34332， (B)⎪⎭⎫ ⎝⎛334， (C)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3321， (D) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2332， 10．存在实数a ，使得对函数()x g y =定义域内的任意x ，都有()x g a ＜成立，则称a 为 g(x)的下界，若a 为所有下界中最大的数，则称a 为函数()x g 的下确界．已知+∈R z y x ，，且以z y x ，，为边长可以构成三角形，则()()2z y x zxyz xy z y x f ++++=，，的下确界为( )(A)61 (B)41 (C) 31 (D) 21第Ⅱ卷(非选择置共100分)二、填空置：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上。

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17、已知定义在R上的函数满足：对任意实数，有，给出下列四个结论：
（1）；（2）是奇函数；（3）是周期函数；
（4）在上是单调函数；
其中，正确结论的序号是；
三、解答题
18、在中，内角A、B、C所对边长为．
已知 ,求
19、为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的、、 .现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求：
15、_______________ 16、_________
17、_______________
三、解答题：
18、
19、
20、
21、
22、
选择答案：ABABB DDDAB
22、设函数．
（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；
（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围．
第一学期高三数学12月考答卷
填空题
18题
19题
20题
21题
22题
总分
得分
二Hale Waihona Puke 填空题：11、____________ 12、_______
13、______________ 14、___________
A． B．
C． D．
8、函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（）
A． B．
C． D．
9、一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是（）
10、如图，在直角坐标系中,AB是半圆的直径，M是半圆O上任一点，延长AM到P，使 ,当M从B运动到A时，动点P的轨迹长度为（）
（I）他们选择的项目所属类别互不相同的概率；
（II）至少有1人选择的项目属于民生工程的概率.
20、如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，AB AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE= AD
(I)求异面直线BF与DE所成的角的大小；
(II)证明平面AMD 平面CDE；
第一学期高三数学（理）12月月考试卷
一、选择题
1、设集合，，，则
（A）（B）（C）（D）
2、函数 ,若 ,则的值为（）
A.3B.0C.-1D.-2
3、设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为（）
A． B． C． D．
4、若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为（）
A．1B． C． D．2
5、若实数满足则的最小值是（）
A．0B．1C． D．9
6、已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若；②若；
③若；④若m、n是异面直线，
其中真命题是（）
A．①和②B．①和③C．③和④D．①和④
7、在△OAB中，O为坐标原点，，则△OAB的面积达到最大值时，（）
A． B．
C． D．
二、填空题
11、已知 ( )，则
12、已知则的最小值为.
13、在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为
14、已知向量若则与的夹角为
15、.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是.
16、方程的根称为函数的不动点，若函数有唯一的不动点，且，则；
（III）求二面角A-CD-E的余弦值。
20、等比数列的前n项和为，已知对任意，点均在函数均为常数）的图像上。
（1）求的值；
(2)当时，记，求数列的前n项和。
21、设椭圆中心在原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点。
（1）若 ,求的值；
（2）求四边形AEBF面积的最大值；