基础工程(同济大学第二版)2-2

一、普朗特尔地基极限承载力公式
1. 普朗特尔基本解 1920年，普朗特尔根据极限平衡理论，推导出当不 考虑土的重力 (γ = 0)，假定基底面光滑无摩擦力时，置 于地基表面的条形基础的极限荷载公式如下：
π ϕ pu = c e πtgϕ ⋅ tg 2 + − 1 ⋅ ctgϕ = c ⋅ N c 4 2 πtgϕ ϕ 2π
pcr = N qγD + N c ⋅ c
ctgϕ + ϕ + ctgϕ + ϕ −
π π
2
式中：N q =
Nc =
π ⋅ ctgϕ
ctgϕ + ϕ −
π
2
2
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若地基中允许塑性区开展的深度 zmax = B / 4(B为基础 宽度)，则可得相应的临界荷载 p 1 的计算公式：
p 1 = γBN γ + γDN q + cN c
4
式中： N γ =
π
4
π 4 ctgϕ + ϕ − 2
；其它符号意义同前。
ϕ 有关，
可由表查得。
Nγ 、 Nq Nc 、 称为承载力系数，它只与土的内摩擦角
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第三节 极限承载力计算
地基极限承载力除可从载荷试验求得外，还可用 半理论半经验公式计算，这些公式都是在刚塑体极限 刚塑体极限 平衡理论基础上解得的。 平衡理论
土质学与土力学
ห้องสมุดไป่ตู้第九章 地基承载力
基础工程设计原理----第二章（2 基础工程设计原理----第二章（2）
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第九章 地基承载力
第一节 概述 第二节 临界荷载的确定 第三节 极限承载力计算 第四节 按规范方法确定地基容许承载力 第五节 关于地基承载力的讨论
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第一节 概 述
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地基的剪切破坏形式，除了与地基土的性质有关外， 还同基础埋置深度、加荷速度等因素有关。如在密砂地 基中，一般会出现整体剪切破坏，但当基础埋置很深时， 密砂在很大荷载作用下也会产生压缩变形，而出现刺入 剪切破坏；在软粘土中，当加荷速度较慢时会产生压缩 变形而出现刺入剪切破坏，但当加荷很快时，由于土体 不能产生压缩变形，就可能发生整体剪切破坏。
地基承载力概念
建筑物荷载通过基础作用于地基，对地基提出两个方 面的要求。 1.变形要求 1.变形要求 建筑物基础在荷载作用下产生最大沉降量或沉降差， 应该在该建筑物允许的范围内。 2.强度和稳定性要求 2.强度和稳定性要求 建筑物的基底压力应在地基允许的承载能力之内。
地基承载力： 地基承载力：地基土单位面积上所能承受荷载的能力。 地基极限承载力(p 地基极限承载力 u): 地基不致失稳时单位面积能承受的最大 荷载。 地基容许承载力(p 地基容许承载力 a): 考虑一定安全储备后的地基承载力。
一、地基破坏的性状
1.整体剪切破坏 1.整体剪切破坏
整体剪切破坏p-s曲线 上有两个明显的转折点， 区分地基变形三个阶段： (1)当基础上荷载较小时，基础下形成一个三角形压密 区I，随同基础压入土中，p－s曲线呈直线关系。 (2)随着荷载增加，压密区I向两侧挤压，土中产生塑性区， 塑性区先在基础边缘产生，然后逐步扩大形成II、III塑性区。 基础的沉降增长率较前一阶段增大，故 p－s曲线呈曲线状。 5 2010-11-19
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σ 1 p − γD (2α ± sin 2α ) + γ (D + z ) = σ3 π
若M点位于塑性区的边界上，它就处于极限平衡状 态。根据土体强度理论中的公式，知道土中某点处于极 限平衡状态时，其主应力间满足下述条件：
sin ϕ = 1 p − γD (σ 1 + σ 3 ) + c ⋅ ctgϕ ⋅ 2α + γ (D + z ) + c ⋅ ctgϕ 2 π c ⋅ ctgϕ p − γD sin 2α z= −D sin ϕ − 2α − γ γπ 1 (σ 1 − σ 3 ) 2
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还可得到如下相应的基底均布荷载的表达式
p =
π
ctg ϕ + ϕ −
π
2
γ z max +
ctg ϕ + ϕ + ctg ϕ + ϕ −
π
π
2 γD +
π ⋅ ctg ϕ
ctg ϕ + ϕ −
π
2
⋅c
2
上式是计算临塑荷载及临界荷载的基本公式。 如令 z max = 0 ，代入上式，此时的基底压力即为临 塑荷载 pcr ，其计算公式为
一、塑性区边界方程的推导
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在地基表面作用条形均布荷载p0，计算土中任意点M 由p引起的最大与最小主应力 σ 1 及 σ 3 时，可按前面有关 均布条形荷载作用下的附加应力公式计算：
σ 1 p0 = (2α ± sin 2α ) σ3 π
若条形基础的埋置深度为D时，计算基底下深度处 M点的主应力时，可将作用在基底水平面上的荷载(包 括作用在基底的均布荷载p，以及基础两侧埋置深度D 范围内土的自重压力γ D)，分解为图c所示两部分，即无 限均布荷载 γ 以及基底范围内的均布荷载(p- Dγ D )。这时， 假定土的侧压力系数 K，即土的重力产生的压应力 0 =1 γ 如同静水压力一样，在各个方向是相等的均为 (D＋z)。 当基础有埋置深度D时，土中任意点的主应力为：
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3.刺入剪切破坏(冲剪破坏) 3.刺入剪切破坏(冲剪破坏) 刺入剪切破坏
p-s曲线没有明显的转折点，其破坏的特征是： 随着荷载的增加，基础下土层发生压缩变形，基础随之 下沉，当荷载继续增加，基础周围附近土体发生竖向剪切 破坏，使基础刺入土中。基础两边的土体没有移动，如图。 刺入剪切破坏的p-s曲线如图中曲线c，沉降随着荷载的增 大而不断增加，但p-s曲线上没有明显的转折点，没有明显 的比例界限及极限荷载。 刺入剪切破坏常发生在松砂及软土中。 刺入剪切破坏常发生在松砂及软土中。
局部剪切破坏p-s曲线转折点不明显，没有明显的直线 段，其破坏的特征为： 随着荷载的增加，基础下也产生压密区I及塑性区II，但 塑性区仅仅发展到地基某一范围内，土中滑动面并不延伸 到地面，基础两侧地面微微隆起，没有出现明显的裂缝。 其p-s曲线如图中曲线b所示。 p-s曲线在转折点后， 其沉降量增长率虽较前一 阶段为大，但不象整体剪 切破坏那样急剧增加，在 转折点之后，p-s曲线还是 呈线性关系。 局部剪切破坏常发生 于中等密实砂土中。 于中等密实砂土中。
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3. 泰勒对普朗特尔公式的补充 普朗特尔-雷斯诺公式是假定土的重度γ =0时，按极限 平衡理论解得的极限荷载公式。若考虑土体的重力时， 目前尚无法得到其解析解，但许多学者在普朗特尔公式 的基础上作了一些近似计算。 泰勒1948年提出，若考虑土体重力时，假定其滑动 面与普朗特尔公式相同，那么图中的滑动土体 ABGECDF 的重力，将使滑动面 GECDF 上土的抗剪强度 增加。泰勒假定其增加值可用一个换算粘聚力 c' = γt ⋅ tgϕ ϕ 来表示，其中γ 、 为土的重度及内摩擦角，t为滑动土体 的换算高度，假定
pu = qe
πtgϕ
承载力系数: N q = eπtgϕ
π φ ⋅ tg + = q ⋅ N q 4 2 φ 2π ⋅ tg + 4 2
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将其与上式合并，得到当不考虑土重力时，埋置深度 为D的条形基础的极限荷载公式：
pu = q ⋅ N q + c ⋅ N c
塑性变 pcr＜p＜pu ＜ 形区 p＜pcr ＜
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连续滑动面
p≥pu ≥
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地基开始出现剪切破坏（即弹性变形阶段转变为弹塑性 变形阶段）时，地基所承受的基地压力称为临塑荷载 cr 临塑荷载p 临塑荷载 地基濒临破坏（即弹塑性变形阶段转变为破坏阶段）时， 地基所承受的基地压力称为极限荷载 u 极限荷载p 极限荷载
dα
γπ
sin ϕ

由此解得 cos 2 α = sin ϕ 或
2α =
π
2
− ϕ
将 2 α值代入公式，即得地基中塑性区开展最大深度 的表达式为
p − γD π c ⋅ ctgϕ z max = −D ctgϕ − 2 − ϕ − γ γπ
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p − γD
sin ϕ =
π
sin 2α
上式就是土中塑性区边界线的表达式。若已知条形基 ϕ 础的尺寸B和D、荷载p，以及土的指标 γ 、c、 时，假定不 同的视角 2α值代入上式，求出相应的深度z值。 12 2010-11-19
把一系列由对应的 2α 与z值决定其位置的点连起来， 就得到条形均布荷载p作用下土中塑性区的边界线，也即 绘得土中塑性区的发展范围。 例题9-1一 条形基础 ，如 图 所 示 基 础 宽 度 B=3m， 埋 置 深 度 D=2m， 作 用 在 基底的均布荷载 p = 190kPa 。 土的内摩擦角 ϕ = 15o ，粘 聚力 c = 15kPa ,重度 18kN/m3 。 求此时地基中的塑性区范 围。 解：塑性区边界线表达式
(3)当荷载达到最大 值后，土中形成连续 滑动面，并延伸到地 面，土从基础两侧挤 出并隆起，基础沉降 急剧增加，整个地基 失稳破坏。p－s曲线 上出现明显的转折点， 其相应的荷载称为极 限荷载pu。 整体剪切破坏常发 生在浅埋基础下的密 砂或硬粘土等坚实地 基中。 基中。