【新教材】高中数学 新人教B版必修第二册 第六章 6.2.1 向量基本定理 课件
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二 平面向量基本定理
<1>基底的判断 例4 如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是 .
①λe1+μe2（λ，μ∈R）可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1+μe2的实数对（λ，μ）有无穷多个； ③若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1+μ1e2＝ λ（λ2e1+μ2e2）； ④若存在实数λ，μ使得λe1+μe2＝0，则λ＝μ＝0.
4
常考题型
一 共线向量基本定理 <1>判定向量共线
例1
【解题提示】 关键看向量a，b是否存在倍数关系.
5
6
判定向量共线的方法 分别将要判断的向量表示出来，并观察能否找到实数λ，使b＝λa，若能 找到，则a，b共线，若不能找到，则a，b不共线.
7
1. ［2019·山东日照高一检测］下列各组向量：
①a＝2e1，b＝-2e1； ②a＝e1-e2，b＝-2e1+2e2； ③a＝4e1- e2，b＝e1- e2； ④a＝e1+e2，b＝2e1-2e2. 若e1，e2不共线，则其中a，b共线的有
①②③（填序号）.
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2.［2019·江苏宿迁高一检测］下列命题中正确的是 ①②③ （填序号）. ①-5（6a）＝-30a； ②7（a+b）+6b＝7a+13b； ③若a＝m-n，b＝3（m-n），则a，b共线； ④若（a-5b）+（a+5b）＝2a，则a，b共线.
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【解析】 由平面向量基本定理可知，①④是正确的； 对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意 一个向量在此基底下的实数对是唯一的； 对于③，当λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个. 【答案】 ②③
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【注意】 1.基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量a，b组成的集合{a，b} 都可以作为基底. 2.基底给定时，分解形式唯一，即x，y是被c，a，b唯一确定的数值. 3.平面内的任意向量c都可在给出的基底下进行分解，同一非零向量在不同基 底下的分解式不同. 4.若{a，b}是同一平面内所有向量的一组基底，则当c与a共线时，y＝0；当c 与b共线时，x＝0；当c＝0时， x＝y＝0.
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平面向量基本定理
特别地，当a与b不共线时，因为0＝0a+0b，所以对于xa+yb来说，当x≠0或 y≠0时，必定有xa+yb≠0.也就是说，当a与b不共线时，xa+yb≠0的充要条件 是x与y中至少有一个不为0. 平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}，常称为该平面上向量的 一组基底，此时如果c＝xa+yb，则称xa+yb为c在基底{a，b}下的分解式.
第六章 平面向量初步6.2向量基本定理与向量的坐标6.2.1 向量基本定理
1
学习目标
1.理解共线向量基本定理及其应用. 2.了解平面向量基本定理及其含义. 重点：1.共线向量基本定理；2.平面向量基本定理. 难点：平面向量基本定理的应用.
2
知识梳理
一、共线向量基本定理
如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得 b＝λa .
25
④
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<2>用基底表示向量 例5
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用基底表示向量的方法 平面内任何一个向量都可以用一组基底进行表示，转化时一定要看清转化的 目标，要充分利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，同时结合数乘 向量的定义，牢记转化方向，把未知向量逐步往基底方向进行组合或分解. 具体表示方法有两种： 1.利用向量的线性运算法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止； 2.列向量方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.
9
<2>利用基本定理求参数
例2 ［2019·湖北省黄梅一中高一检测］已知向量a，b是两个不共线的向量，且
向量ma-3b与a+（2-m）b共线，则实数m的值为
.
【解题提示】 利用共线向量的性质列出方程（组），由此求出m的值.
【答案】 -1或3
10
利用基本定理求参数的方法 若向量a，b（a≠0）共线，则由基本定理可得，存在一个实数λ，使得 向量b能用非零向量a来表示，即若b与a（a≠0）是共线向量，那么有且 只有一个实数λ，使b＝λa，再利用对应系数相等这一条件，列出方程组 ，从而求解.
数对（x，y），使得 c＝xa+yb .
如果c＝xa+yb＝ua+vb， 那么x＝u且y＝v.
当a与b不共线时，xa+yb≠0的充要条件是x与y中至少有一个不为0. 平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}，常称为该平面上向量的一组基 底，此时如果c＝xa+yb，则称xa+yb为c在基底{a，b}下的分解式.
在共线向量基本定理中：
由λa＝μa可知（λ-μ）a＝0，如果λ-μ≠0，则
（1）b＝λa时，通常称为b能用a表示.
a＝0，与已知矛盾，所以λ-μ＝0，即λ＝μ.
（2）其中的“唯一”指的是，如果还有b＝μa，则有 λ＝μ .
3
二、平面向量基本定理
如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实
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11
1. 已知e1，e2是两个不共线的向量，且a＝e1+me2与b＝-3e1-e2共线，则m
＝
.
（2）已知e1和e2不共线，a＝λe1+e2，b＝4e1+2e2，并且a，b共线，则 λ的值是 2 .
12
2.
13
<3>利用共线向量基本定理解决几何问题 例3
14
15
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18
1. 3
2.
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1. ［2019·安徽滁州高一期末］已知向量a，b不共线，设向量m＝2a-3b，n＝4a-2b，
p＝3a+2b，若用基底{m，n}表示p，则p＝
.
29
2. a+b
2a+c
30
<3>利用平面向量基本定理求参数 例6
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小结
共线向量基本定理
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平面向量基本定理
如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一 的实数对（x，y），使得c＝xa+yb. 平面向量基本定理中，当a与b不共线时，“唯一的实数对”指的是c用a，b 表示时，表达式唯一，即如果c＝xa+yb＝ua+vb，那么x＝u且y＝v.
2020年高中数学新教材同步必修第二册 第6章 6.2.1 向量的加法运算
6.2平面向量的运算6.2.1向量的加法运算学习目标1.理解并掌握向量加法的概念.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性.知识点一向量加法的定义及其运算法则1.向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法.2.向量求和的法则向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型.思考 |a ＋b |与|a |，|b |有什么关系？答案 (1)当向量a 与b 不共线时，a ＋b 的方向与a ，b 不同，且|a ＋b |<|a |＋|b |.(2)当a 与b 同向时，a ＋b ，a ，b 同向，且|a ＋b |＝|a |＋|b |.(3)当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a ＋b 的方向与a 相同，且|a ＋b |＝|a |－|b |；若|a |<|b |，则a ＋b 的方向与b 相同，且|a ＋b |＝|b |－|a |. 知识点二 向量加法的运算律 向量加法的运算律交换律 a ＋b ＝b ＋a 结合律(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )1.0＋a ＝a ＋0＝a .( √ )2.AB →＋BC →＝AC →.( √ ) 3.AB →＋BA →＝0.( √ ) 4.AB →＋BC →>AC →.( × ) 5.|AB →|＋|BC →|＝|AC →|.( × )一、向量加法法则例1(1)如图①所示，求作向量a＋b.(2)如图②所示，求作向量a＋b＋c.→＝a，然后作向量AB→＝b，则向量OB→＝a＋b.如图③所示. 解(1)首先作向量OA(2)方法一(三角形法则)如图④所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA→＝a，再作向量AB→＝b，则得向量OB→＝a＋b，然后作向量BC→＝c，则向量OC→＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求.方法二(平行四边形法则)如图⑤所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则OD→＝OA→＋OB→＝a＋b.再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则OE→＝OD→＋OC→＝a＋b＋c即为所求.反思感悟向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系跟踪训练1如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量.(1)OA →＋OC →＝________；(2)BC →＋FE →＝________；(3)OA →＋FE →＝________. 答案 (1)OB → (2)AD →(3)0解析 (1)因为四边形OABC 是以OA ，OC 为邻边的平行四边形，OB 是其对角线，故OA →＋OC →＝OB →.(2)因为BC →＝FE →，故BC →＋FE →与BC →方向相同，长度为BC →的长度的2倍，故BC →＋FE →＝AD →. (3)因为OD →＝FE →，故OA →＋FE →＝OA →＋OD →＝0. 二、向量加法运算律的应用 例2 化简：(1)BC →＋AB →；(2)DB →＋CD →＋BC →；(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →. 解 (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →. (2)DB →＋CD →＋BC →＝BC →＋CD →＋DB → ＝(BC →＋CD →)＋DB →＝BD →＋DB →＝0. (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A → ＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0.反思感悟 向量加法运算律的意义和应用原则(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.(2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.跟踪训练2 已知正方形ABCD 的边长等于1，则|AB →＋AD →＋BC →＋DC →|＝________. 答案 2 2解析 |AB →＋AD →＋BC →＋DC →|＝|AB →＋BC →＋AD →＋DC →|＝|AC →＋AC →|＝2|AC →|＝2 2. 三、向量加法的实际应用例3 河水自西向东流动的速度为10 km/h ，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为10 3 km/h ，求小船的实际航行速度.解 设a ，b 分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O 作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA →，OB →为邻边作矩形OACB ，连接OC →，如图，则OC →＝a ＋b ，并且OC →即为小船的实际航行速度.∴|OC →|＝|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＝20(km/h)，tan ∠AOC ＝10310＝3，∴∠AOC ＝60°，∴小船的实际航行速度为20 km/h ，沿北偏东30°的方向航行. 反思感悟 应用向量解决实际问题的基本步骤(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题.(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题.(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题.跟踪训练3 如图，用两根绳子把重10 N 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠ACW ＝150°，∠BCW ＝120°，求A 和B 处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计)解 如图所示，设CE →，CF →分别表示A ，B 所受的力，10 N 的重力用CG →表示，则CE →＋CF →＝CG →.由题意可得∠ECG ＝180°－150°＝30°，∠FCG ＝180°－120°＝60°. ∴|CE →|＝|CG →|cos 30° ＝10×32＝53(N)， |CF →|＝|CG →|cos 60° ＝10×12＝5(N).∴A 处所受的力为5 3 N ，B 处所受的力为5 N.1.化简CB →＋AD →＋BA →等于( ) A.DB → B.CA → C.CD → D.DC → 答案 C解析 根据平面向量的加法运算，得CB →＋AD →＋BA →＝(CB →＋BA →)＋AD →＝CA →＋AD →＝CD →. 2.下列等式不正确的是( ) ①a ＋(b ＋c )＝(a ＋c )＋b ； ②AB →＋BA →＝0； ③AC →＝DC →＋AB →＋BD →. A.②③ B.② C.① D.③ 答案 B解析 ②错误，AB →＋BA →＝0，①③正确. 3.在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则( ) A.四边形ABCD 一定是矩形 B.四边形ABCD 一定是菱形 C.四边形ABCD 一定是正方形 D.四边形ABCD 一定是平行四边形 答案 D解析 由AC →＝AB →＋AD →知，A ，B ，C ，D 构成的四边形一定是平行四边形.4.如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，则OA →＋BC →＋AB →＋DO →等于( )A.CD →B.DC →C.DA →D.DO → 答案 B→＋BC→＋AB→＋DO→＝DO→＋OA→＋AB→＋BC→＝DA→＋AB→＋BC→＝DB→＋BC→＝DC→.解析OA5.已知向量a表示“向东航行3 km”，b表示“向南航行3 km”，则a＋b表示_________. 答案向东南航行3 2 km解析根据题意由于向量a表示“向东航行3 km”，向量b表示“向南航行3 km”，那么可知a＋b表示向东南航行3 2 km.1.知识清单：(1)向量加法的三角形法则.(2)向量加法的平行四边形法则.(3)向量加法的运算律.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点.1.化简AE →＋EB →＋BC →等于( ) A.AB → B.BA → C.0 D.AC → 答案 D解析 AE →＋EB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →.2.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →等于( )A.0B.BE →C.AD →D.CF →答案 D解析 BA →＋CD →＋EF →＝DE →＋CD →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF →. 3.若正方形ABCD 的边长为1，则|AB →＋AD →|等于( )A.1B. 2C.3D.2 2答案 B解析 在正方形ABCD 中，AB ＝1，可知AC ＝2， 所以|AB →＋AD →|＝|AC →|＝AC ＝ 2.4.已知四边形ABCD 为菱形，则下列等式中成立的是( ) A.AB →＋BC →＝CA → B.AB →＋AC →＝BC →C.AC →＋BA →＝AD →D.AC →＋AD →＝DC →答案 C5.(多选)下列说法错误的有( )A.如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a 或b 的方向相同B.在△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0C.若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 一定为一个三角形的三个顶点 D.若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |＝|a |＋|b | 答案 ACD解析 A 错，若a ＋b ＝0，则a ＋b 的方向是任意的；B 正确；C 错，当A ，B ，C 三点共线时，也满足AB →＋BC →＋CA →＝0；D 错，|a ＋b |≤|a |＋|b |. 6.已知AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DE →＝d ，AE →＝e ，则a ＋b ＋c ＋d ＝________. 答案 e解析 a ＋b ＋c ＋d ＝AB →＋BC →＋CD →＋DE →＝AE →＝e .7.在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，|AB →|＝1，则|BC →＋CD →|＝________. 答案 1解析 如图，由题意知△ABD 为等边三角形，所以|BC →＋CD →|＝|BD →|＝|AB →|＝1.8.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 和BD 的交点.(1)AB →＋AD →＋CD →＝________； (2)AC →＋BA →＋DA →＝________. 答案 (1)AD →(2)09.如图，已知在▱ABCD 中，O 是两条对角线的交点，E 是CD 的一个三等分点(靠近D 点)，求作：(1)AO →＋AC →；(2)DE →＋BA →.解 (1)延长AC ，在延长线上截取CF ＝AO ，则向量AF →即为所求.(2)在AB 上取点G ，使AG ＝13AB ，则向量BG →即为所求.10.在静水中船的速度为20 m /min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向. 解 作出图形，如图所示.设船速v 船与岸的方向成α角， 由图可知v 水＋v 船＝v 实际，结合已知条件，四边形ABCD 为平行四边形， 在Rt △ACD 中，|CD →|＝|AB →|＝|v 水|＝10 m/min ， |AD →|＝|v 船|＝20 m/min ， ∴cos α＝|CD →||AD →|＝1020＝12，∴α＝60°，从而船行进的方向与水流方向成120°角. ∴船是沿与水流方向成120°角的方向行进.11.在矩形ABCD 中，|AB →|＝4，|BC →|＝2，则向量AB →＋AD →＋AC →的长度为( ) A.2 5 B.4 5 C.12 D.6 答案 B解析 因为AB →＋AD →＝AC →，所以AB →＋AD →＋AC →的长度为AC →的模的2倍. 又|AC →|＝42＋22＝25，所以向量AB →＋AD →＋AC →的长度为4 5.12.若在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，|AB →＋AC →|＝2，则△ABC 的形状是( ) A.正三角形 B.锐角三角形 C.斜三角形 D.等腰直角三角形答案 D解析 以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，∵AB ＝AC ＝1，AD ＝2，∴∠ABD 为直角，该四边形为正方形，∴∠BAC ＝90°，△ABC 为等腰直角三角形. 13.已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝______. 答案 0解析 如图所示，连接AG 并延长交BC 于点E ，点E 为BC 的中点，延长AE 到点D ，使GE ＝ED ，则GB →＋GC →＝GD →，GD →＋GA →＝0，∴GA →＋GB →＋GC →＝0.14.如图所示，已知电线AO 与天花板的夹角为60°，电线AO 所受拉力|F 1|＝24 N ，绳BO 与墙壁垂直，所受拉力|F 2|＝12 N.则F 1和F 2的合力为________ N.答案 12 3解析 如图，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力F ＝F 1＋F 2＝OC →.在△OCA 中，|OA →|＝24， |AC →|＝12，∠OAC ＝60°， ∴∠OCA ＝90°，∴|OC →|＝12 3.∴F 1与F 2的合力大小为12 3 N ，方向为与F 2成90°角，竖直向上.15.如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC .求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.证明 AB →＝AP →＋PB →，AC →＝AQ →＋QC →，∴AB →＋AC →＝AP →＋PB →＋AQ →＋QC →.∵PB →与QC →大小相等，方向相反，∴PB →＋QC →＝0，故AB →＋AC →＝AP →＋AQ →＋0＝AP →＋AQ →.16.如图，已知D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，AC ，AB 的中点，求证：AD →＋BE →＋CF →＝0.证明 由题意知，AD →＝AC →＋CD →，BE →＝BC →＋CE →，CF →＝CB →＋BF →.由平面几何知识可知，EF→＝CD→，BF→＝F A→，所以AD→＋BE→＋CF→＝(AC→＋CD→)＋(BC→＋CE→)＋(CB→＋BF→) ＝(AC→＋CD→＋CE→＋BF→)＋(BC→＋CB→)＝(AE→＋EC→＋CD→＋CE→＋BF→)＋0＝AE→＋CD→＋BF→＝AE→＋EF→＋F A→＝0.。
第6章 6.2 6.2.3 平面向量的坐标及其运算-(新教材)人教B版(2019)高中数学必修第二册
(1)A [以向量 a，b 公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系， 因为 e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，
所以 2a＝(2,1)，b＝(1,3)， 所以 2a＋b＝(2,1)＋(1,3)＝(3,4)，即 2a＋b 在平面直角坐标系中 的坐标为(3,4)，故选 A.
]
(2)[解] ①作 AM⊥x 轴于点 M(图略)，
3，即
b＝－32，3
2
3.
②由①知B→A＝－A→B＝－b＝32，－3
2
3.
③O→B＝O→A＋A→B＝(2
2，2
2)＋－32，3
2
3
＝2
2－32，2
2＋3
2
3，
所以点 B 的坐标为2
2－32，2
2＋3
2
3.
求向量坐标的三个步骤
[跟进训练] 1．在直角坐标系 xOy 中，向量 a，b，c 的方 向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算 出它们的坐标． [解] 设 a＝(x1，y1)， 则 x1＝2·cos 45°＝ 2，y1＝2·sin 45°＝ 2， ∴a＝( 2， 2)．
[解] (1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3) ＝(－7，－1)． (3)21a－13b＝12(－1,2)－13(2,1) ＝－12，1－23，13＝－76，23.
向量坐标运算的综合应用 [探究问题] 1．已知点 O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及O→P＝O→A＋tA→B.当 t 为何值 时，点 P 在 x 轴上？点 P 在 y 轴上？点 P 在第二象限？ [提示] ∵O→P＝O→A＋tA→B＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)． 若点 P 在 x 轴上，则 2＋3t＝0，
04-6.2 向量基本定理与向量的坐标-6.2.1 向量基本定理高中数学必修第二册人教B版
1
2
1
2
− =
+ =
1
2
1
2
− ,
+ .
∵ //,与共线，
1
2
∴ 存在实数 ， ，使得 = = − ,
= =
1
2
+ =
∵ = + =
1
4
+
2
1
2
+
.
2
− =
1
( − )
1
2
1
4
1
2
1
4
1
2
= ,所以 = + ,又 = , = ，所以 = + .
例9 (2024·河北省石家庄一中月考)如图6.2.1-6，在△中，点是的中点，过
点的直线分别交直线,于不同的两点,.若 = , = , ∈ ，
2
则 + 的值为___.
图6.2.1-6
【解析】
连接,∵ 是的中点，∴ =
由于 = , = ,则 =
1
2
1
(
2
+ ) =
1
2
1
+ .
2
令 = ∈ ,则
= + = + = + ( − ) = (1 − ) + .
【解析】假设 = ∈ ,则1 − 2 = 31 + 32 ，
∴ 1 − 3 1 + −1 − 3 2 = .
1 − 3 = 0,
∵ 1 ,2 不共线，∴ ቊ
2019(新课标)高中数学人教B版目录(全)新版
2.1.1 等式的性质与方程的解集
4.6 函数的应用 (二)
2.1.2 一元二次方程的解集及其根与 系数的关系
4.7
数学建模活动：生长规律的描述
2.1.3 方程组的解集
第五章 统计与概率
2.2 不等式
5.1 统计
2.2.1 不等式及其性质
2.2.2 不等式的解集 2.2.3 一元二次不等式的解法 2.2.4 均值不等式及其应用 第三章 函数 3.1 函数的概念与性质
6.2.3 平面向量的坐标及其运算 6.3 平面向量线性运算的应用 本书拓展阅读目录 对数发明起源的简介 素数个数与对数 指数运算与生活哲学 我国古代统计工作简介 用样本估计总体的失败案例 “黄金７２小时”中的概率 向量的推广与应用
人教B版 （2019）必修三 第七章 三角函数 7.1 任意角的概念与弧度制
6.1.1 向量的概念
自主招生中的充分条件与必要条件
6.1.2 向量的加法
《九章算术》中的代数成就简介
6.1.3 向量的减法
函数定义的演变过程简介
6.1.4数乘向量
物理中的变化率
6.1.5 向量的线性运算
付出与收获的关系
6.2 向量基本定理与向量的坐标
二分法在搜索中的应用
6.2.1 向量基本定理
6.2.2 直线上向量的坐标及其运算
10.2 复数的运算
1.2.5 空间中的距离
10.2.1 复数的加法与减法
第二章 平面解析几何
10.2.2 复数的乘法与除法
2.1坐标法
10.3 复数的三角形式及其运算
2.2 直线及其方程
第十一章 立体几何初步
2.2.1直线的倾斜角 与斜率
11.1 空间几何体
【公开课课件】人B版(2019)数学-必修第二册-第六章向量-§2
1.数乘向量的定义
一般地，给定一个实数λ与任意一个向量 a，规定它们的乘积是一 个向量，记作λa，其中：
（1）当λ≠0 且 a≠0 时，λa 的模为|λ‖a|，而且λa 的方向如下： ①当λ>0 时，λa 与 a 方向相同； ②当λ<0 时，λa 与 a 方向相反.
(2)当λ=0 或 a=0 时λa=0. 上述实数λ与向量 a 相乘的运算简称为数乘向量.
【解题关键】先用平面向量基本定理设出 O→M＝ma＋nb，分别表示出A→M, A→D, C→M, C→B后，再利用共线向量的条件列出方程组， 从而确定 m，n 的值．
【解析】设O→M＝ma＋nb(m，n∈R)，则A→M＝O→M－O→A＝ (m－1)a＋nb，A→D＝O→D－O→A＝12b－a＝－a＋12b，
解 因为 b 与 a 的方向相同，而且 lbl=2lal，所以 b=2a;
因为
c
与
a
的方向相同，而且
lcl=
1 2
a
，所以
c=
1 2
a
；
因为
d
与
a
的方向相反，而且
d
3 2
a
，所以 d
3 2
a
；
因为 e 与 a 不平行，所以 e 不能写成数与向量 a 相乘.
共线向量基本定理 (1)定义 如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa. (2)几点说明 ①b＝λa时，通常称为b能用a表示． ②其中的“唯一”指的是，如果还有b＝μa，则有λ＝μ.
c=xa+yb.
上述实数对(x,y)。可以用如下方式找到:如图所示，将向量 a 与 b 的 始点平移到一起，假设OA a, OB b, 将向量 c 的始点也平移到 O 点,以 OA,OB 所在的直线为相邻的边,以 OC 为对角线作平行四边形 ODEC.
第6章 6.2 6.2.1 向量的加法运算-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册课件
业
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情
课
境
堂
导
小
学
2．设 A1，A2，A3，…，An(n∈N，且 n≥3)是平面内的点，则一 结
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探
提
新 知
般情况下，A→1A2＋A→2A3＋A→3A4＋…＋An－1An 的运算结果是什么？
素 养
合
作 探 究
课
[提示]
将三角形法则进行推广可知A→1A2＋A→2A3＋A→3A4＋…＋An
层 作
疑
业
难
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情
课
境 导 学
3．如图，在平行四边形 ABCD 中，D→A＋D→C＝________.
堂 小 结
·
探
提
新
素
知Leabharlann 养合作课
探
时
究 释
D→B [由平行四边形法则可知D→A＋D→C＝D→B.]
分 层 作
疑
业
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情
课
境
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小
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探
4．小船以 10 3 km/h 的速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河 提
情
课
境 导
重力用C→G表示，则C→E＋C→F＝C→G.
堂 小
学
结
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探
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
提
新
素
知
∠FCG＝180°－120°＝60°.
养
合
作 探 究
∴|C→E|＝|C→G|·cos 30°＝10× 23＝5 3，
最新高中数学教材新课标人教B版目录完整版
高中数学（B版）必修一第一章集合1．1 集合与集合的表示方法1．2 集合之间的关系与运算第二章函数2．1 函数2．2 一次函数和二次函数2．3 函数的应用（Ⅰ）2．4 函数与方程第三章基本初等函数（Ⅰ）3．1 指数与指数函数3．2 对数与对数函数3．3 幂函数 3．4 函数的应用（Ⅱ）高中数学（B版）必修二第一章立体几何初步1．1 空间几何体1．2 点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步2．1 平面真角坐标系中的基本公式2．2 直线方程2．3 圆的方程 2．4 空间直角坐标系高中数学（B版）必修三第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1 随机抽样2．2 用样本估计总体2．3 变量的相关性第三章概率3．1 随机现象3．2 古典概型3．3 随机数的含义与应用3．4 概率的应用高中数学（B版）必修四第一章基本初等函(Ⅱ)1．1 任意角的概念与弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的图象与性质第二章平面向量2．1 向量的线性运算 2．2 向量的分解与向量的坐标运算2．3 平面向量的数量积2．4 向量的应用第三章三角恒等变换3．1 和角公式3．2 倍角公式和半角公式3．3 三角函数的积化和差与和差化积高中数学（B版）必修五第一章解直角三角形1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例第二章数列2．1 数列2．2 等差数列2．3 等比数列第三章不等式3．1 不等关系与不等式 3．2 均值不等式3．3 一元二次不等式及其解法3．4 不等式的实际应用3．5 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题高中数学（B版）选修1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题与量词1．2 基本逻辑联结词1．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆2．2 双曲线第三章导数及其应用3．1 导数3．2 导数的运算3．3 导数的应用高中数学（B版）选修1－2第一章统计案例第二章推理与证明第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图高中数学（B版）选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题与量词 1.2 基本逻辑联结词1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程 2.2 椭圆 2.3 双曲线2.4 抛物线 2.5 直线与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算 3.2 空间向量在立体几何中的应用高中数学（B版）选修2-2第一章导数及其应用1.1 导数 1.2 导数的运算1.3 导数的应用 1.4 定积分与微积分基本定理第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理 2.2 直接证明与间接证明 2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数3.1 数系的扩充与复数的概念 3.2 复数的运算高中数学（B版）选修2-3第一章计数原理1.1基本计数原理 1.2排列与组合1.3二项式定理第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列 2.2条件概率与事件的独立性2.3随机变量的数字特征 2.4正态分布第三章统计案例3.1独立性检验 3.2回归分析高中数学（B版）选修4－4第一章坐标系1.1直角坐标系平面上的压缩变换 2极坐标系1.3曲线的极坐标方程 1.4圆的极坐标方程1.5柱坐标系和球坐标系第二章参数方程2.1曲线的参数方程 2.2直线和圆的参数方程2.3圆锥曲线的参数方程高中数学（B版）选修4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法 1．2 基本不等式1．3 绝对值不等式的解法 1．4 绝对值的三角不等式1．5 不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式 2．2 排序不等式 2．3 平均值不等式(选学)2．4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1数学归纳法原理 3.2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式文科学必修1-5，选修1-1，1-2，4-4就够了理科学必修1-5，先修2-1，2-2，2-3，4-4内容上文比理少，知识相对简单，但是对于文科生来说，数学是较难的。
新教材高中数学第6章平面向量初步6.2.1向量基本定理课时30共线向量基本定理练习(含解析)新人教B版必修第
新教材高中数学第6章平面向量初步6.2.1向量基本定理课时30共线向量基本定理练习（含解析）新人教B 版必修第二册知识点一 共线向量基本定理1.已知向量a ，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a ，b 共线的是( ) ①2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2e ；②存在相异实数λ，μ，使λa －μb ＝0； ③x a ＋y b ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)； ④已知梯形ABCD ，其中AB →＝a ，CD →＝b . A ．①② B ．①③ C ．② D ．③④ 答案 A解析 由2a －3b ＝－2(a ＋2b )得到b ＝－4a ，故①可以；∵λa －μb ＝0，∴λa ＝μb ，故②可以；当x ＝y ＝0时，有x a ＋y b ＝0，但b 与a 不一定共线，故③不可以；梯形ABCD 中，没有说明哪组对边平行，故④不可以．2．已知e 1，e 2不共线，若a ＝3e 1－4e 2，b ＝6e 1＋k e 2，且a ∥b ，则k 的值为( ) A ．8 B ．－8 C ．3 D ．－3 答案 B解析 ∵a ∥b ，∴存在实数m ，使得a ＝m b ，即3e 1－4e 2＝6m e 1＋mk e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝6m ，－4＝mk ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，k ＝－8.3. 如图所示，已知OA ′ →＝3OA →，A ′B ′ →＝3AB →，则向量OB →与OB ′ →的关系为( )A ．共线B ．同向C ．共线且同向D ．共线、同向，且OB ′ →的长度是O B →的3倍 答案 D解析 由题意，知OB →＝OA →＋AB →，OB ′→＝OA ′→＋A ′B ′→＝3OA →＋3AB →＝3OB →，故选D.知识点二 共线向量基本定理的应用4.已知点P 是△ABC 所在平面内的一点，且3PA →＋5PB →＋2PC →＝0，设△ABC 的面积为S ，则△PAC 的面积为( )A.34SB.23SC.12SD.25S 答案 C解析 如图，由于3PA →＋5PB →＋2PC →＝0，则3(PA →＋PB →)＝－2(PB →＋PC →)， 3(PA →＋PB →)2＝－2(PB →＋PC →)2. 设AB ，BC 的中点分别为M ，N ，则PM →＝12(PA →＋PB →)，PN →＝12(PB →＋PC →)，即3PM →＝－2PN →，则点P 在中位线MN 上，则△PAC 的面积是△ABC 的面积的一半．5．设AB →＝22(a ＋5b )，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，则共线的三点是________．答案 A ，B ，D解析 BD →＝BC →＋CD →＝a ＋5b ，AB →＝22BD →，即A ，B ，D 三点共线．6．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，a ＝k 2e 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52k e 2与b ＝2e 1＋3e 2是两个平行的向量，则k ＝________.答案 13或－2解析 ∵a ∥b ，∴存在实数m ，使得a ＝m b ，∴k 2e 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52k e 2＝m (2e 1＋3e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝2m ，1－52k ＝3m ，即3k 2＋5k －2＝0，∴k ＝13或－2.7．设O 为△ABC 内任一点，且满足OA →＋2OB →＋3OC →＝0，且D ，E 分别是BC ，CA 的中点，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________．答案 3∶1解析 如图，OB →＋OC →＝2OD →，OA →＋OC →＝2OE →，∴OA →＋2OB →＋3OC →＝(OA →＋OC →)＋2(OB →＋OC →)＝2(2OD →＋OE →)＝0，即2OD →＋OE →＝0， ∴DO →与OE →共线，即D ，E ，O 共线， ∴2|OD →|＝|OE →|，∴S △AOC ＝2S △COE ＝2×23S △CDE ＝2×23×14S △ABC ＝13S △ABC ，即S △ABCS △AOC＝3.8．已知梯形ABCD ，AB ∥DC ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．用向量法证明：EF ∥AB ，EF ＝12(AB ＋DC )．证明 如图，延长EF 到点M ，使FM ＝EF ，连接CM ，BM ，EC ，EB ，得平行四边形ECMB ，由平行四边形法则得EF →＝12E M →＝12( EB →＋EC →)．由于AB ∥DC ，所以AB →， DC →共线且同向，根据向量共线定理，存在正实数λ，使AB →＝λDC →.由三角形法则得EB →＝EA →＋AB →， EC →＝ED →＋DC →且ED →＋EA →＝0，∴EF →＝12(E B →＋EC →)＝12(E A →＋AB →＋ED →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＝1＋λ2D C →， ∴EF →∥DC →.由于E ，D 不共点，∴EF ∥DC ∥AB ，又|EF →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12( AB →＋DC →)＝12(|AB →|＋|D C →|)，∴EF ＝12(AB ＋DC )，所以结论得证.易错点 对共线向量基本定理理解不透致误9.如果向量a ＝(－k ，－1)与b ＝(4，k )共线且方向相反，则k ＝________.易错分析 出错的根本原因是对共线向量基本定理b ＝λa 理解不透，误认为向量反向时，参数k 的值应该为负值，实质应是λ的值为负值．答案 2正解 因为向量a ＝(－k ，－1)与b ＝(4，k )共线， 所以k 2－4＝0，解得k ＝±2，当k ＝－2时，b ＝2a ，此时a 与b 方向相同，不符合题意，应舍去，因此k ＝2.一、选择题1．已知向量a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1－e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1＋2e 2的关系是( )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不确定 答案 B解析 a ＋b ＝3e 1＋e 2，∴c ＝6e 1＋2e 2＝2(a ＋b )． ∴c 与a ＋b 共线．2．下面向量a ，b 共线的有( ) ①a ＝2e 1，b ＝－2e 2；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2(e 1，e 2不共线)． A ．②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②③④答案 A解析 对于①，e 1与e 2不一定共线，故a 与b 不一定共线；对于②，a ＝－12b ，∴a ，b 共线；对于③，a ＝4b ，∴a ，b 共线；对于④，若a ，b 共线，则存在一实数λ，使得b ＝λa ，即2e 1－2e 2＝λ(e 1＋e 2)，得(2－λ)e 1＝(λ＋2)e 2，当λ＝2时，得e 2＝0，e 1，e 2共线，矛盾，当λ≠2时，e 1＝λ＋22－λe 2，则e 1，e 2共线，矛盾．故a 与b 不共线．综上，选A. 3．若M 是△ABC 的重心，则下列各向量中与AB →共线的是( ) A ．AB →＋BC →＋AC →B ． AM →＋MB →＋BC → C ． AM →＋BM →＋CM →D ．3A M →＋AC →答案 C解析 设D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 的中点，根据点M 是△ABC 的重心， AM →＋BM →＋CM →＝23( AD →＋BE →＋CF →)＝23(AB →＋B D →＋BC →＋CE →＋CA →＋AF →)＝0，而零向量与任何向量共线，所以与AB →共线．4．点P 是△ABC 所在平面内一点，若CB →＝λPA →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( )A ．△ABC 内部B ．AC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上D ．BC 边所在的直线上答案 B解析 ∵CB →＝λPA →＋PB →，∴CB →－PB →＝λPA →，即CP →＝λPA →.∴点P ，A ，C 共线．∴点P 一定在AC 边所在的直线上． 二、填空题5．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 同向，则实数λ的值为________．答案 1解析 由于c 与d 同向，所以可设c ＝k d (k >0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]， 整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－12.又k >0，所以λ>0，故λ＝1.6．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝4DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为________． 答案 85解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，CD →＝4DB →，∴CD →＝45CB →，即CD →＝45AB →－45AC →，∴r ＝45，s ＝－45，∴3r ＋s ＝85.7．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足PA →＋PB →＋P C →＝A B →，则点P 在边AC 的________等分点处．答案 三解析 由PA →＋PB →＋PC →＝AB →，得PA →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，所以PC →＝2AP →，从而点P 在边AC 的三等分点处．三、解答题8．已知非零向量e 1，e 2不共线，(1)如果AB →＝e 1＋e 2， BC →＝2e 1＋8e 2， CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．解 (1)证明：∵AB →＝e 1＋e 2，B D →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →. ∴AB →与BD →共线，且AB 与BD 有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，且此两向量均为非零向量， ∴存在λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线， 只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.9．如图，平行四边形OACB 中，BD ＝13BC ，OD 与BA 相交于E .求证：BE ＝14BA .证明 如图，设E ′是线段BA 上的一点，且BE ′＝14BA ，只要证E ，E ′重合即可．设OA →＝a ， OB →＝b ，则BD →＝13a ， OD →＝b ＋13a .∵BE ′ →＝OE ′ →－b ，E ′A →＝a －OE ′ →，3BE ′ →＝E ′A →， ∴3(OE ′ →－b )＝a －OE ′ →， ∴OE ′ →＝14(a ＋3b )＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋13a ，即OE ′ →＝34O D →，∴O ，E ′，D 三点共线，∴E 与E ′重合．∴BE ＝14BA .10．已知OA →，OB →是不共线的两个向量，设OM →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1，λ，μ∈R .求证：M ，A ，B 三点共线． 证明 ∵λ＋μ＝1，∴μ＝1－λ. ∴OM →＝λOA →＋(1－λ)OB →＝λOA →＋OB →－λOB →. ∴OM →－OB →＝λ(OA →－OB →)，即BM →＝λBA →(λ∈R )，∴BM →，BA →共线． 又∵BM ，BA 有公共点B ， ∴M ，B ，A 三点共线．11．如图所示，点P 在直线AB 上，O 为直线外任意一点，且OP →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求证：λ＋μ＝1.证明 OP →＝λOA →＋μOB →＝λ(OP →＋PA →)＋μ(OP →＋PB →) ＝(λ＋μ)OP →＋λPA →＋μPB →， 又点P 在直线AB 上，不妨设PA →＝kPB →， 则(λ＋μ－1)OP →＋(λk ＋μ)PB →＝0又OP →与PB →不共线，故⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ－1＝0，λk ＋μ＝0，得λ＋μ＝1.12．如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，且AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .(1)用a ，b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线． 解 (1)AD →＝AB →＋BD →＝a ＋12BC →＝a ＋12AC →－12AB →＝12b ＋12a ，AE →＝23AD →＝13b ＋13a ， AF →＝12AC →＝12b ，BE →＝AE →－AB →＝13b ＋13a －a＝13b －23a . (2)证明：BF →＝AF →－AB →＝12AC →－AB →＝12b －a ，BE →＝13b －23a ，∴23BF →＝BE →，故BF →∥BE →， 又BF 与BE 有公共点B ，∴B ，E ，F 三点共线．。
人教高中数学必修二B版《向量基本定理与向量的坐标》平面向量初步说课复习(向量基本定理)
)
2
A.9
答案:C
1
B.3
4
C.9
4
D.3
课堂篇探究学习
探究一
探究二
思维辨析
当堂检测
解析:由题意知:G 是△ABC 的重心,延长 AG 与边 BC 交于点 D.∴
2
1
1
= 3 = 3 + 3 ,
又因为点 E 为 AB 边的中点,点 F 为 AC 边的中点,故
因为 = + ,
1
1
2
2
所以 n(a+b)= b+m - ,
-1
即(n-m)a+ +
2
b=0.
因为向量 a,b 不共线,于是有
1
1
- = 0,
+
-1
2
解得 m=n=3,所以 = 3 .
2
同理 = 3 .
所以 = = ,故 AR=RT=TC.
课前篇自主预习
一
二
二、平面上向量的运算与坐标的关系
1.填空.
(1)向量加法与减法运算
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
①ua+vb=(ux1+vx2,uy1+vy2);②ua-vb=(ux1-vx2,uy1-vy2).
(2)模长公式:设 a=(x,y),则|a|= 2 + 2
(3)平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式
共线,则 λ=(
)
A.-1
B.-2
C.-2 或 1 D.-1 或 2
答案:D
解析:∵A,B,C 三点共线,
最新版本高中数学目录(2019年人教B版)
最新版本高中数学目录(2019年人教B版)最新版高中数学目录（2019年人教B版）包括必修一、必修二、必修三三个部分。
每个部分都包含多个章节，下面将分别介绍它们。
必修一第一章集合与常用逻辑用语，包括1.1集合和1.2常用逻辑用语。
其中，1.1集合介绍了集合的基本概念和符号表示法，以及集合的运算和特殊集合的定义。
1.2常用逻辑用语介绍了命题、联结词、逆否命题、充分必要条件等基本概念，并通过实例详细解释了它们的用法。
本章小结对本章内容进行了简要总结。
第二章等式与不等式，包括2.1等式和2.2不等式。
其中，2.1等式介绍了等式的基本概念和性质，以及解方程的基本方法。
2.2不等式介绍了不等式的基本概念和性质，以及解不等式的基本方法。
本章小结对本章内容进行了简要总结。
第三章函数，包括3.1函数的概念与性质、3.2函数与方程、不等式之间的关系、3.3函数的应用(一)和3.4数学建模活动:决定XXX的最佳出售时间点。
其中，3.1函数的概念与性质介绍了函数的定义、定义域、值域、单调性、奇偶性等基本概念和性质。
3.2函数与方程、不等式之间的关系介绍了函数与方程、不等式之间的联系，以及解函数方程、不等式的基本方法。
3.3函数的应用(一)介绍了函数在实际问题中的应用，如函数的图像、最值、平移、反比例函数等。
3.4数学建模活动:决定XXX的最佳出售时间点通过实例介绍了数学建模的基本思路和方法。
本章小结对本章内容进行了简要总结。
必修二第四章指数函数、对数函数与幂函数，包括4.1指数与指数函数、4.2对数与对数函数、4.3指数函数与对数函数的关系、4.4幂函数、4.5增长速度的比较、4.6函数的应用(二)和4.7数学建模活动:生长规律的描述。
其中，4.1指数与指数函数介绍了指数的基本概念和性质，以及指数函数的定义、性质和图像。
4.2对数与对数函数介绍了对数的基本概念和性质，以及对数函数的定义、性质和图像。
4.3指数函数与对数函数的关系介绍了指数函数和对数函数之间的互逆关系和性质。