第12章 20世纪数学的发展
第12章20世纪数学概观课时：4课时教学目标：理解20世纪纯粹数学（核心数学）、应用数学、数学与计算机等发展的重要特征及其主要成果。
教学方式：阅读史料、讨论思考、感悟总结主题：20世纪数学的发展概述：在16世纪之前形成了以代数和几何的初等数学体系，主要对象是现实世界的静态描述，表现为解释性和工具性功能。
17世纪伴随解析几何和微积分的创立和18世纪分析的开拓，数学的发展进入近代数学，其处理对象进入变量，形成了以函数概念为主体的分析领域，数学表现为科学的工具。
19世纪，传统领域的崛起和开拓，极大突破了分析一统天下的局面，形成了现代数学经典三大学科：代数、几何和分析。
这一世纪，人才辈出，经过众多数学家的努力极大拓展了数学的疆域和数学信念，数学本位特征加强。
20世纪，数学急剧膨胀，纯粹数学的扩张、应用数学的发展和计算机的应用为数学点缀了一个绚丽的天空，让人应接不暇。
我们不仅惊异于数学的伟大成就，而且也受益于数学创造带来的力量。
Ⅰ20世纪纯粹数学的发展线索问题：1 20世纪纯粹数学发展的主要特征或趋势是什么？2希尔伯特23个问题的重要意义是什么？3公理化方法和集合论在20世纪数学发展中的意义是什么？4 20世纪有哪些重要的学科的发展及其基本思想是什么？5 20世纪数学统一化的主要数学成果有哪些？6 三大学派的代表人物及其主要思想有哪些？主要内容：19世纪数学的变革与积累使数学建立了分支众多、知识庞大的体系，已经初步体现出了参天大树的雏形，20世纪的数学在此基础上急剧扩展，并广泛应用，为数学的发展展现了广阔的前景和提供了强大的动力。
20世纪的数学发展表现出了如下主要特征和趋势：（1）更高的抽象性；（2）更强的统一性（同时，数学也表现出了更大的分化性，呈现多元化发展）；（3）更深入的基础探讨。
一、新世纪数学序幕1900年8月，在巴黎举行的第二届国际数学家大会（1897年在瑞士举行第一次大会）上，德国数学家希尔伯特在大会上发表了题为《数学问题》的演说，高瞻远瞩地提出了著名的23个问题。
这些问题涉及到现代数学的许多重要领域，这些问题成了新世纪科学前进的杠杠，激发着数学家的激情。
一个世纪以来，伴随希尔伯特问题的解决与研究，大大推动了数理逻辑、几何基础、李群论、数学物理、概率论、数论、函数论、代数几何、微分方程、黎曼曲面论、变分法等一系列学科的发展，有些问题的研究还促进了现代计算理论的成长。
当然，20世纪的数学发展远远超出了希尔伯特问题的范围。
二、更高的抽象1 抽象方法的建立高度抽象化是20世纪纯粹数学的主要趋势与特征之一，这种趋势与特征主要在两大因素的推动下形成的，即集合论的观点和公理化的观点。
集合论由康托尔创立，主要对象是超限数理论。
这一理论发展成了20世纪数学的基础。
集合概念本身被抽象化，建立了公理化集合论。
同时，集合论作为一种普遍的语言深入到数学的每一个角落，初等数学的一些基本概念也集合化了。
公理化方法：现代公理化方法的奠基人是希尔伯特。
他发展了欧氏几何的公理体系，形成了现代公理化方法。
现代公理方法有两个本质的飞跃。
现代公理化方法重在公理结构而不是对象概念。
这样现代公理系统就表现了更大的一般性。
当赋予公理关系中以具体对象时，那么公理系统就形成了各种各种特殊的理论。
希尔伯特建立了现代公理方法的基本逻辑要求，即相容性；独立性和完备性。
这样的体系就为公理系统结构建立严密的逻辑基础。
因此，公理化方法成了现代科学组织理论知识的工具。
集合论和公理化方法在20世纪组建成为数学抽象和科学抽象的范式，它们的相互结合把数学甚至科学引向了高度抽象的道路。
数学高度抽象的发展，形成了20世纪上半叶实变函数论、泛函分析、拓扑学和抽象代数这四大标志性的学科的形成。
这些学科所创造了抽象语言，结构和方法，又渗透到数论、微分方程论、微分几何、代数几何、复变函数及概率论等经典学科，推动它们在更抽象的基础上革新演化。
2 抽象学科的形成：（1）实变函数论积分学变革是从“病态函数”的积分问题研究开始，创立了勒贝格积分，在此基础上，推广了导数等微积分等基本概念，重建了微积分的基本定理等，逐步形成了实变函数论。
实变函数论是普通微积分的推广，它使微积分使用的范围大大扩展，引起数学分析的深刻变化。
勒贝格积分看成是现代分析的开端，人们把柯西和黎曼积分称作是经典分析，而前者称为现代分析。
（2）泛函分析在变分法求积分问题一解涉及到“泛函”，即关于函数的函数。
泛函的抽象理论在19世纪末20世纪初首先由意大利数学家伏尔泰拉（称“线函数”）和法国数学家阿达马（“泛函”名称即由此得来）在变分法研究中开创。
积分方程也是泛函的一个来源。
19世纪末瑞典数学家弗雷德霍姆将积分方程看成是线性代数方程组的极限情形。
其后，希尔伯特通过严密的极限过程将有限线性代数方程组的结果有效地类比推广到积分方程。
这一过程，他创立了希尔伯特空间，是第一个具体的无穷维空间。
其后，他的学生施密特和冯.诺伊曼等进一步研究无穷数组集合，并经过几何类比，由内积概念建立了高维空间。
后来，匈牙利数学家里斯和德国数学家费舍尔建立了这些空间平方勒贝格可积函数与平方可积数组的等价关系，于是一个平方可积函数就可以看成无穷维空间[L2(a,b)]上的一个点。
简单地说，泛函分析就是这种抽象函数空间上的微积分。
从观念上看，空间和函数两个基本概念有了变革：“空间”被理解为某类元素的集合，这些元素的关系被称作空间结构；“函数”概念则被推广为两个空间之间的元素的映射关系。
其中，将函数映为实数（或复数）的映射称为泛函。
对此明确阐述的是法国数学家弗雷歇，他是抽象泛函分析的奠基人。
抽象空间理论与泛函分析在20世纪上半叶就有了巨大发展。
1922年，波兰数学家巴拿赫提出了更一般的赋范空间概念，极大拓广了泛函分析的疆域。
巴拿赫也是现代泛函分析的奠基人。
广义函数论也是20世纪泛函分析发展中的重大事件。
法国数学家施瓦茨、原苏联数学家索伯列夫和盖尔范德等对此作了贡献。
泛函分析有力推动了其他分析分支的发展，使整个分析领域的面貌发生了巨大变化，其观点和方法还渗透到其他科学与工程技术领域。
（3）抽象代数在20世纪公理化方向向各个领域渗透的过程中，抽象代数的形成与发展占有特殊的地位。
19世纪，关于群的概念的确立，代数学的对象突破了数的范畴，在群的概念对象发展中，人们构造了各种各样的群，发展了与相关的各种代数系统。
后来人们注意到这些代数系统中的具体对象并不重要，重要的是这些元素的运算和所服从的规律。
数学家们开始舍弃对象的具体性质，开始从具体的代数系统向抽象代数系统的过渡。
凯莱首先（1849－1854）引进了（有限）抽象群概念；弗罗贝尼乌斯（1849－1917）发展（1895）了群表示论，韦伯（1842－1913）提出（1893）域的抽象理论。
20世纪初，享廷顿域狄克森给出了抽象群的公理系统（1902，1905）；斯坦尼兹对抽象域的综合研究（1911），韦德波恩发展了线性结合代数（1907）。
20年代后，在希尔伯特直接影响下的诺特（1882－1935）及其学派最终确立了公理化方法在代数领域的统治地位。
1921年诺特发表《环中的理想论》揭开了现代抽象代数的开端。
她用公理化泛函发展了一般理想论，奠定了抽象交换环理论的基础。
其后逐步建立非交换代数及其表示理论，1932年与人合作证明的“代数主定理”称为代数发展史上的重大转折。
由于她的工作，吸引了世界各地的学者，形成了哥廷根抽象代数学派。
因此，哥廷根大学成了20世纪20年代和30年代前期世界抽象代数中心。
抽象代数使代数结构成为代数学研究的中心，代数结构由集合以及集合元素之间的二元运算组成。
代数结构对现代数学的发展产生了深远影响，在此基础上，法国布尔巴基学派提出了一般的数学结构观点，明确了另外两类结构——“拓扑结构”和“序结构”，并将它们结合代数结构称为“母结构”。
结构观点可以说是公理化方法更上一层楼，引起了对数学中更一般的抽象结构的研究。
（4）拓扑学拓扑学是研究几何图形的连续性质，即在连续变形下保持不变的性质。
早期的哥尼斯堡七桥问题、地图四色问题都与拓扑学有关，高斯耶研究过与拓扑学有关的问题。
“拓扑学”名称则是高斯学生尼斯廷首先引用的。
但是，拓扑学本质上是20世纪抽象学科。
庞加莱在1895－1905年间发表了一组论文，开创了现代拓扑学研究，他将几何图形剖分成有限个相互连接的基本片，并用代数组合的方法研究其性质，即形成了组合拓扑学。
1926年，诺特注意到群论在组合拓扑学中的重要意义。
此后，一系列数学家将组合拓扑学发展成代数拓扑学。
从点集概念出发，则建立起的是“点集拓扑学”或“一般拓扑学”。
（5）公理化概率论概率论的公理化，是20世纪数学抽象的又一大成果。
概率论起源于15－16世纪关于赌博问题的讨论。
到19世纪，在一系列数学家的努力下，概率论积累了大量的概念和定理并系统化，开始从组合技巧向分析方法过渡。
19世纪后期，极限理论的发展成了概率论研究的中心课题。
19世纪末，人们开始追求概率论的基础。
20世纪，在人们对概率论公理化的过程中，揭示了概率论的基本概念于测度论及度量函数基本概念之间的深刻相似性，使数学家们看到了一条建立概率论逻辑基础的正确道路。
20年代开始，前苏联数学家科尔莫戈罗夫通过概率论和数学分析之间概念的类比，建立了公理化概率论。
从而赋予了概率论以演绎数学的特征。
在公理化基础上，现代概率论取得了一系列理论突破。
三、数学统一化数学统一化的趋势是20世纪数学的又一大特征。
数学不同领域和分支的方法和思想不断交叉融合，形成了一系列的综合性交叉学科。
1 微分突破和代数拓扑以微分流行为基本对象的拓扑学就是微分拓扑学。
2 整体微分几何整体微分几何以研究微分几何性质于整体性质的联系为目标。
陈省身作了奠基性的贡献。
整体微分几何表现了与现代分析学更深刻的联系。
3 代数几何用抽象的代数方法在抽象域中建立代数几何理论。
4 多复变函数论多复变函数论是单复变函数论的自然推广。
20世纪下半叶，综合运用了拓扑学、微分几何、偏微分方程以及抽象代数领域的概念与方法，多复变函数论取得了长足的进步和突破。
以华罗庚为首的中国数学家在此方向作出了自己的特色。
5 动力系统动力系统的研究由于拓扑方法和分析方法的结合取得了重大进步，借助于计算机又拓展了混沌、分岔、分形理论的研究。
6 偏微分方程与泛函分析偏微分方程以往主要以幂级数为主要工具。
20世纪，借助了泛函分析的观点和方法打开了全新的局面。
现代偏微分方程论与拓扑学、微分几何、多复变函数论都有密切的联系。
7 随机分析概率论与分析、几何等结合。
数学是统一的。
数学理论越向前发展，就越显示出数学结构的一致性。
数学的这种统一性是数学发展的源泉，也是数学与其他学科广泛联系的生命力。
第十二章 数理经济学派
“最后效用程度”——“表示现有商品量中极小的 或无限小的最后增量或次一可能增量的效用程度”
商品的最后效用程度是主观价值的衡量标准
• “最后效用程度递减原理”和“最后效用程度相 等规律”
12. 4 瓦尔拉斯一般均衡理论
12.4.1 关于经济学的研究对象和实质
• Lionel Robbins, A History of Economic Thought, 258-276， 295-302.
• 晏智杰著，《经济学中的边际主义》, 第150-174、第 261-323页。
• 晏智杰主编《西方经济学说史教程》，296-312页, 351355页。
Problem Sets:
12.1.2 学说特点
• 最主要特征——试图构建以一般均衡分析为基础 的纯经济理论体系，说明完全自由竟争条件下商 品价格的决定
• 以边际效用学说为理论基础，运用数学方法研究、 论证和表述经济现象，是边际效用学说与数学方 法相结合的产物
• 把交换作为应用数学方法的出发点，把生产、分 配、消费都归结为交换的某种特定形式
12. 2 数理学派的代表人物
12.2.1 威廉 ·斯坦利 ·杰文斯
William Stanley Jevons, 1835-1882， “边际革 命”的发起者之一, 边际效用学派的创立者之 一，因逻辑学教科书和应用经济学研究享有盛 名 论文与著作： • “政治经济学的一般数学理论的注解”（1866 年） • “商业危机和太阳的爆发”（1878年） • “商业循环”（1882年） • “国家与劳动的关系”（1882年） • 《通货和金融研究》（1863-1884年） • 《煤炭问题》（1865年）
12.2.3 帕累托
华中师大《数学史》练习题库及答案
《数学史》练习题库及答案一、填空1、数学史的研究对象是（）；2、数学史分期的依据主要有两大类，其一是根据（）来分期，其一是根据（）来分期；3、17世纪产生了影响深远的数学分支学科，它们分别是（）、（）、（）、（）、（）；4、18世纪数学的发展以（）为主线；5、整数458 用古埃及记数法可以表示为（）。
6、研究巴比伦数学的主要历史资料是（），而莱因特纸草书和莫斯科纸草书是研究古代（）的主要历史资料；7、古希腊数学发展历经1200多年，可以分为（）时期和（）时期；8、17世纪创立的几门影响深远的数学分支学科，分别是笛卡儿和（）创立了解析几何，牛顿和（）创立了微积分，（）和帕斯卡创立了射影几何，（）和费马创立了概率论，费马创立了数论；9、19世纪数学发展的特征是（）精神和（）精神都高度发扬；10、整数458 用巴比伦的记数法可以表示为（）。
11、数学史的研究内容，从宏观上可以分为两部分，其一是内史，即（），其一是外史，即（）；12、19世纪数学发展的特征，可以用以下三方面的典型成就加以说明：（1）分析基础严密化和（），（2）（）和射影几何的完善，（3）群论和（）；13、20世纪数学发展“日新月异，突飞猛进”，其显著趋势是：数学基础公理化，数学发展整体化，（）的挑战，应用数学异军突起，数学传播与（）的社会化协作，（）的导向；14、《九章算术》的内容分九章，全书共（）问，魏晋时期的数学家（）曾为它作注；15、整数458 用玛雅记数法可以表示为（）。
16、数学史的研究对象是数学这门学科产生、发展的历史，既要研究其（历史进程），还要研究其（）；17、古希腊数学学派有泰勒斯学派、（毕达哥拉斯学派）、（厄利亚学派）、巧辩学派、柏拉图学派、欧多克索学派和（）；18、阿拉伯数学家（）在他的著作（）中，系统地研究了当时对一元一次和一元二次方程的求解方法；19、19世纪数学发展的特点，可以用以下三方面的典型成就加以说明：（1）（）和复变函数论的创立；（2）非欧几里得几何学问世和（）；（3）在代数学领域（）与非交换代数的诞生。
第12章20世纪数学的发展
第12章20世纪数学的发展20世纪是数学发展的重要时期，不仅涌现出了许多重要的数学理论和概念，还推动了数学应用的广泛发展。
本文将主要介绍20世纪数学的几个重要方向及其发展。
一、集合论和数理逻辑20世纪初，集合论和数理逻辑成为数学的两个重要分支。
集合论是处理集合和其中元素关系的数学分支，而数理逻辑研究符号逻辑和形式系统。
集合论和数理逻辑的发展推动了数学的严谨化，成为了数学基础的理论框架。
其中，哥德尔的不完全性定理和康托尔的连续统假设等重要结果对后来数学研究产生了深远影响。
二、拓扑学20世纪数学的另一个重要发展方向是拓扑学。
拓扑学研究的是空间的性质和结构，以及它们的变形。
除了发展了一般的拓扑学理论，还形成了各种各样的拓扑空间，如流形、纤维丛等。
此外，拓扑学研究还涉及不动点定理、同伦论和奇点论等重要概念和结果。
它在物理学、计算机科学和生物学等领域的应用广泛。
三、代数学代数学在20世纪得到了极大的发展。
其中，抽象代数和代数几何的发展尤为显著。
抽象代数研究的是代数结构的性质和关系，如群论、环论、域论等。
代数几何则研究几何对象的代数特征和性质。
这两个分支不仅使数学理论更加深入，还在数学应用和其他学科中产生了重要影响。
另外，20世纪代数学的一个重大突破是数论领域的著名费马大定理的证明。
四、概率论和数理统计概率论和数理统计是20世纪数学的另外两个重要分支。
概率论研究的是随机现象的规律和性质，数理统计则用于收集、分析和解释数据。
概率论和数理统计的应用非常广泛，不仅在自然科学中得到广泛应用，而且在金融、经济、医学和社会科学等领域也起着重要作用。
此外，20世纪概率论还形成了一些重要的随机过程理论，如布朗运动和马尔可夫过程等。
五、数学物理和控制论20世纪数学的另一个重要发展方向是数学物理和控制论。
数学物理研究的是物理学中的数学问题和方程，如偏微分方程和数值分析等。
控制论则研究的是控制系统的稳定性和性能，这对自动控制和工程问题的解决起到了重要作用。
数学史概论
《数学史概论》教学大纲课程编号：024ZX002课程名称(中文)：数学史概论课程名称(英文)：学分：3 总学时:54 实验学时：适应专业：数学与应用数学（选修）先修课程：数学分析，高等代数，概率统计一、课程的性质和任务数学史是师范本科数学专业必修的重要基础课程之一。
任何一门科学都有它自己的产生和发展的历史，数学史就是研究数学的发生、发展过程及其规律的一门学科。
它主要讨论的是数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会政治、经济和一般文化的联系。
数学是非常古老而又有着巨大发展潜力的科学，其历史的足迹也就更漫长而艰辛。
数学的每一阶段性成果都有着它的产生背景：为何提出，如何解决，如何进一步改进。
这其中体现的思想方法或思维过程对数学专业的学生，甚至是对教师来说，无论是知识的丰富，还是其创造能力的发挥都是重要的。
讲授本课程要贯彻“夯实基础，拓宽视野，培养能力，提高素质”的教育方针，依据“有用、有效、先进”的教改指导原则，对原教材要进行彻底清理，重点放在培养学生的实践能力和创新能力上，同时深刻理解本课程与初等数学的内在联系以指导中学数学的教学。
二、课程基本要求数学史研究的主要对象是历史上的数学成果和影响数学发展的各种因素，如“数学年代”；数学各分支内部发展规律；数学家列传；数学思想方法的历史考察；数学论文杂志和数学经典著作的述评。
该课程要培养学生辩证唯物主义观点，使学生了解数学思想的形成过程，并指导当前的工作，要培养学生学习兴趣，要充分发挥数学史的教育功能。
通过本课程的学习要求学生掌握数学史的分期阶段，对数学的发展各时期有一个大致的了解；了解数学的起源与早期发展；了解古希腊数学对世界数学发展产生的积极影响；要求学生基本掌握中国数学史的分期及各时期的主要数学家与成果，特别是西方数学传入后，中西数学合流产生的影响，较为详细地了解中国现代数学发展概要。
基本掌握外国数学史的分期及各时期的主要成果；要详细了解数学史上的三次危机，掌握代数学、分析学、几何学的主要发展历程以及在这些发展过程中近代哪些数学家起了决定性的作用；了解数学与社会发展、经济发展、文化发展的关系。
苏科版数学八年级下册第12章《二次根式小结与思考》教学设计
苏科版数学八年级下册第12章《二次根式小结与思考》教学设计一. 教材分析苏科版数学八年级下册第12章《二次根式小结与思考》主要内容有：二次根式的性质，二次根式的乘除运算，二次根式的混合运算，以及二次根式在实际问题中的应用。
这一章是对前面学习的二次根式的巩固和拓展，通过对本章的学习，使学生能够更好地理解和运用二次根式。
二. 学情分析学生在学习本章之前，已经学习了二次根式的定义、性质和运算，对二次根式有了初步的认识。
但学生在实际运用二次根式解决问题时，往往会遇到困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生将二次根式与实际问题相结合，提高学生解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解二次根式的性质，掌握二次根式的乘除运算方法。
2.能够运用二次根式解决实际问题，提高学生的应用能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
四. 教学重难点1.二次根式的性质和运算方法。
2.二次根式在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索和解决问题。
2.运用多媒体辅助教学，直观展示二次根式的运算过程和实际应用。
3.分组讨论，培养学生的团队合作能力和逻辑思维能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教学素材。
2.设计好针对学生的提问和练习题目。
3.准备黑板和粉笔，用于板书。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次根式的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的性质和运算方法，引导学生主动参与，提问学生对二次根式的理解。
3.操练（10分钟）让学生分组进行二次根式的运算练习，教师巡回指导，及时纠正学生的错误。
4.巩固（5分钟）挑选几道具有代表性的题目，让学生独立完成，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）引导学生运用二次根式解决实际问题，培养学生的应用能力。
6.小结（5分钟）对本章内容进行总结，强调二次根式的性质和运算方法，以及实际应用。
7.家庭作业（5分钟）布置适量的作业，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思第12章12.2 三角形全等的判定(第4课时)
第十二章全等三角形12.2.三角形全等的判定第4课时直角三角形全等的判定一、教学目标【知识与技能】掌握直角三角形全等的条件:“斜边、直角边”.能运用全等三角形的条件,解决简单的推理证明问题.【过程与方法】经历探究直角三角形全等条件的过程,体会一般与特殊的辩证关系.【情感、态度与价值观】通过画图、探究、归纳、交流,发展学生的实践能力和创新精神.二、课型新授课三、课时第4课时，共4课时。
四、教学重难点【教学重点】掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法——HL.【教学难点】熟练选择判定方法，判定两个直角三角形全等.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺、圆规等。
学生：三角尺、直尺、圆规。
六、教学过程（一）导入新课小明去公园玩,在公园看到了如下两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF相等,小明说只要测量出左边滑梯AB的长度就可以知道右边滑梯有多高了,小明的说法正确吗?（出示课件2-4）（二）探索新知1.师生互动，探究直角三角形全等的判定方法教师问1：判定两个三角形全等的条件有哪些？（出示课件6）学生回答：SSS、SAS、AAS、ASA教师提出问题：前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？（出示课件7）教师问2：两个直角三角形，除了直角相等外，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？（出示课件8）(让学生观察课件中的两个直角三角形并思考回答：分析：1.再满足一边一锐角对应相等，就可用“AAS”或“ASA”证全等了.2.再满足两直角边对应相等，就可用“SAS”证全等了.教师问3：那么，如果满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？学生不能作肯定回答，经过小组讨论，只能作出猜测：可能全等.教师讲解：现在不要求马上给出结论.看看通过动手探究，你是否能得出结论.直角三角形我们用Rt△表示.教师问4：如图，已知AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，△ABC≌△DEF 吗？（出示课件9）学生讨论并回答：证明三角形全等不存在SSA定理.所以一般的三角形不一定全等.教师问5：如果这两个三角形都是直角三角形，即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，现在能判定△ABC≌△DEF吗？（出示课件10）我们完成下边的问题：思考：任意画出一个Rt△ABC，使∠C＝90°，再画一个Rt△A′B′C′，使B′C′＝BC，A′B′＝AB，把画好的Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC 上，看看它们是否全等.(课件出示11-14，师生一起看题)(学生独立探究，动手作图)分析：画法直接由教师给出，而不安排学生画出，是考虑学生画图有一定的难度，况且作图不是本节课的重点.教师问6：Rt△ABC就是所求作的三角形吗？学生回答：是要求作的三角形.教师问7：画好后，把Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC上，看它们全等吗？学生动手做后回答：全等.教师问8：这样你发现了什么结论？学生回答：有一条斜边和直角边相等的两个直角三角形全等》教师板书：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边，直角边”或“HL”).总结点拨：（出示课件15）“斜边、直角边”判定方法文字语言：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.几何语言：在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，AB=A′B′，BC=B′C′,∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).警示注意：（1）一是“HL”是仅适用于Rt△的特殊方法；二是应用“HL”时，虽只有两个条件，但必须先有两个三角形是Rt△的条件.（2）“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.例1：如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC﹦BD.求证：BC﹦AD.（出示课件17）师生共同解答如下：证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C与∠D 都是直角.在Rt△ABC 和Rt△BAD 中，AC=BD .∴Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).∴ BC﹦AD.例2：如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE.（出示课件22）师生共同解答如下：证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC ＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF. 即BC＝BE.总结点拨：（出示课件23）证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．例3：如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？师生共同解答如下：解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,BC=EF,AC=DF .∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).∴∠B=∠DEF(全等三角形对应角相等).∵∠DEF+∠F=90°,∴∠B+∠F=90°.（三）课堂练习（出示课件29-34）1. 判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）A.两条直角边对应相等B.斜边和一锐角对应相等C.斜边和一条直角边对应相等D.两个锐角对应相等2. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E ，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长为（）A．1 B．2 C．3 D．43.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC________（填“全等”或“不全等”），根据_______________（用简写法）.4. 如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.求证：△EBC≌△DCB.5. 如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC, AE=CF.求证：BF=DE.6. 如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P,Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？参考答案：1.D2.A3. 全等HL4. 证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BEC=∠BDC=90 °.在Rt△EBC 和Rt△DCB 中，CE=BD,BC=CB .∴Rt△EBC≌Rt△DCB (HL).5. 证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC,∴∠BFA=∠DEC=90 °.∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF.即AF=CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中，AB=CD,AF=CE.∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).∴BF=DE.6. 解：(1)当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°.在Rt△ABC与Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝BC，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，∴AP＝BC＝5cm；(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC.在Rt△ABC与Rt△QPA中，∵PQ＝AB，AP＝AC，∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，∴AP＝AC＝10cm，∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:1.直角三角形“HL”判定方法2.灵活选择三角形全等的判定方法来解决问题（五）课前预习预习下节课（12.3）教材48页到49页的相关内容。
马可福章12章逐节解释
马可福章12章逐节解释篇一：马可福章是当代日本著名的金融学家,他在其著作中提出了一系列的理论和模型,被称为“福章模型”。
12章逐节解释马可福章的《福章模型》是一本较为全面的介绍马可福章理论和模型的书籍,以下是对每一章的解释和拓展。
第一章:介绍福章模型的背景和意义本章主要介绍了福章模型的背景、起源以及在金融领域的重要性。
福章模型最初是由日本财务学家马可福章提出的,他在20世纪60年代提出了这一模型,用于解释股票市场的波动。
这一模型的重要性在于,它为投资者提供了一种有效的风险管理和投资决策工具。
第二章:福章模型的基本假设本章主要介绍了福章模型的基本假设,包括市场的有效性、价格粘性和波动性等。
市场的有效性是指市场可以自动调整价格,价格粘性是指股票价格不会无限制地上涨,波动性是指股票价格会出现周期性波动。
这些假设对于理解福章模型的理论基础至关重要。
第三章:福章模型的数学模型本章主要介绍了福章模型的数学模型,包括市场指数、加权平均资本成本(WACC)和风险平价模型等。
这些模型都是基于数学公式推导得出的,能够准确地描述福章模型的基本特征和运行过程。
第四章:福章模型的应用本章主要介绍了福章模型的应用,包括股票市场、债券市场和外汇市场等。
这些应用能够帮助投资者更好地了解市场的运作规律,并制定更有效的投资策略。
第五章:福章模型的局限性本章主要介绍了福章模型的局限性,包括市场风险、信息不对称和外部性等。
市场风险是指市场价格波动所带来的风险,信息不对称是指投资者和公司之间信息的不平衡,外部性是指政府政策对经济环境的影响。
这些局限性对于福章模型的实际应用具有一定的挑战性。
第六章:福章模型的改进本章主要介绍了福章模型的改进,包括风险管理和信息经济学等。
风险管理是指通过技术手段来降低市场风险和信息不对称的风险,信息经济学是指通过信息技术手段来优化市场资源配置。
这些改进能够进一步完善福章模型,使其更好地适应市场经济的发展。
第七章:福章模型的扩展本章主要介绍了福章模型的扩展,包括资产定价模型、投资组合理论等。
数学史教学大纲
《数学史》教学大纲第一部分课程性质与目的要求一、课程性质：《数学史教程》是我系数学与应用数学专业的一门选修课。
二、课程目的要求目的要求：本课程主要讲述数学思想是怎样经过漫长的历史岁月，经过多个朝代、多个地区、多个民族发展而成，要揭示人民和数学家们用怎样卓越的思想方法攻克数学难题，以无畏的胆略和远见卓识的精神推动数学史发展的。
从教育工作者的角度掌握数学教育的根本方法，开阔眼界，激发兴趣，提高文化素养。
第二部分教学时数本课程学分为2学分。
教学时间具体分配见下表：教学内容教学时数第0章数学史─人类文明史的重要篇章第1章数学的起源与早期发展2第2章古代希腊数学4第3章中世纪的中国数学4第4章印度与阿拉伯的数学2第5章近代数学的兴起2第6章微积分的创立4第7章分析时代2第8章代数的新生2第9章几何学的变革2第10章分析的严格化2第11章20世纪数学概观(1)纯粹数学的主要趋势2第12章20世纪数学概观(2)空前发展的应用数学2第13章20世纪数学概观(3)现代数学成果10例2第14章数学与社会2合计36第三部分教学内容与要求一、教学内容：第0章数学史--人类文明史的重要篇章数学史的意义、什么是数学--历史的理解、关于数学史的分期第1章数学的起源与早期发展数与形概念的产生、河谷文明与早期数学第2章古代希腊数学论证数学的发端、黄金时代--亚历山大学派、亚历山大后期和希腊数学的衰落第3章中世纪的中国数学《周髀算经》与《九章算术》、从刘徽到祖冲之、宋元数学第4章印度与阿拉伯的数学印度数学、阿拉伯数学第5章近代数学的兴起中世纪的欧洲、向近代数学的过渡、解析几何的诞生第6章微积分的创立半个世纪的酝酿、牛顿的"流数术"、莱布尼茨的微积分、牛顿与莱布尼茨第7章分析时代微积分的发展、微积分的应用与新分支的形成、18世纪的几何与代数第8章代数的新生代数方程的可解性与群的发现、从四元数到超复数、布尔代数、代数数论第9章几何学的变革欧几里德平行公设、非欧几何的诞生、射影几何的繁荣、几何学的统一第10章分析的严格化柯西与分析基础、分析的算术化、分析的扩展第11章20世纪数学概观(Ⅰ)纯粹数学的主要趋势新世纪的序幕、更高的抽象、数学的统一化、对基础的深入探讨第12章20世纪数学概观(Ⅱ)空前发展的应用数学应用数学的新时代、数学向其他科学的渗透、独立的应用学科、计算机与现代数学第13章20世纪数学概观(Ⅲ)现代数学成果10例哥德尔不完全性定理、高斯-博内公式的推广、米尔诺怪球、阿蒂亚-辛格指标定理、孤立子与非线性偏微分方程、四色问题、分形与混沌、有限单群分类、费马大定理的证明、若干著名未决猜想的进展第14章数学与社会数学与社会进步、数学发展中心的迁移、数学的社会化二、教学要求：了解教材中所介绍的数学概念、数学方法的起源与发展，掌握数学思想的起源与发展。
教师资格证考试《数学史(二)》
现代数学的深度和广度不断拓展，对数学本身和相关领域产生了深 远的影响。
现代数学的应用价值
现代数学在解决实际问题中具有很高的应用价值，推动了科学技术 的发展和创新。
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科学方法的兴起
文艺复兴时期的数学家开始采用实证 和推理的方法进行研究，推动了科学 方法的兴起和发展。
对后世的影响
文艺复兴时期的数学为后来的数学发 展奠定了基础，许多数学概念和方法 至今仍在使用。
04
近代数学的兴起
解析几何的创立与发展
解析几何的创立
解析几何是由笛卡尔创立的，通过引 入坐标系，将几何问题转化为代数问 题，为数学的发展开辟了新的道路。
数学史的发展阶段
古代数学
古埃及、古巴比伦、古印度和 古希腊等文明古国的数学发展 ，代表人物有毕达哥拉斯、欧
几里得等。
中世纪数学
阿拉伯和欧洲中世纪的数学发 展，代表人物有斐波那契、牛 顿等。
近代数学
17世纪至19世纪的数学发展， 代表人物有莱布尼茨、欧拉等 。
现代数学
20世纪的数学发展，包括抽象 代数、拓扑学、实分析等领域
教师资格证考试《数学史 (二)》
• 数学史概述 • 中世纪数学的发展 • 文艺复兴时期的数学 • 近代数学的兴起 • 现代数学的发展
01
数学史概述
数学史的定义与意义
数学史的定义
数学史是研究数学概念、方法和数学 思想的起源、演变及其影响的历史学 科。
数学史的意义
通过研究数学史，可以深入理解数学 的本质和发展规律，促进数学教育的 发展，提高数学素养和数学思维能力。
的突破。
数学史的研究方法
文献研究法
通过查阅和分析历史文献，了解数学概念、 方法和思想的起源和演变。
数学史概论1
❖ 又经历了数万年的发展,这些办法用得 多了，就逐渐形成数的概念和记数的符 号,直到距今五千多年前,终于出现了书写 记数系统. 书写记数的出现使数与数之间 的书写运算成为可能.
❖ 数的概念最初不论在哪个地区都是从 1、2、3、4……这样的自然数开始的， 但是记数的符号却大不相同。
❖ 从古埃及紙草书象形文字记载中知道:
数学史概论
李文林 著
目录
❖ 第 0 章. 绪论
❖ 第 1 章. 河谷晨曦—数学的起源与早期发展
❖ 第 2 章. 喷薄出海—古希腊数学
❖ 第 3,4 章. 日照东方—古代与中世纪的东方数学
❖ 第 5 章. 冲破黑暗—文艺复兴与近代数学的兴起
❖ 第 6 章. 走向无穷—微积分的创立
❖ 第 7 章. 分析时代—18世纪数学略影
❖ 阿拉伯数字容易通过改变小数点位置而 产生变化。所以在特殊场合（如银行） 不能完全替代大写的汉字。
几何知识
古埃及陶罐
半坡遗址陶器残片
半坡遗址房屋基础
西汉彩帛女娲伏羲图案(新疆出土)
❖ 古埃及几何学产生于尼罗河泛滥后土地的重 新丈量；
❖ 古代印度几何学的起源与宗教实践密切相关；
❖ 古代中国，几何学起源更多地与天文观测相 联系。
二、河谷文明与早期数学
河谷文明：历史学家常把兴起于埃及、美索不 达米亚、中国和印度等地域的古代文明称为河谷文 明。早期数学就是在尼罗河、底格里斯河与幼发拉 底河、黄河与长江、印度河与恒河等河谷地带首先 发展起来的。
1、埃及数学
罗赛塔石碑 (1799 发现)
• 莱茵德纸草书：84个问题 • 莫斯科纸草书：25个问题
❖ 基本思路是10倍的80加4倍的80，恰好 是1120，即1120中含有14个80．