第二章晶体衍射和倒格子案例
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倒格空间晶体的X射线衍射演示文稿
设A为任一格点，格矢
S0
A
Rl l1 a1l2 a2l3 a3
S
Rl
波程差
CO D
C O O D R lS 0R lSR lSS0
衍射加强条件为：
R lS S 0 (为)整劳数 厄衍射方程
波矢 k02πS0,k2πS
λ
λ
R lk k 0 2 π μ
R lk k 0 2 π μ
*(2)3a2a3(a3a 1a 1a2)
A B C (A C ) B (A B ) C
a 3 a 1 a 1 a 2
a 3 a 1 a 2 a 1 a 3 a 1 a 1 a 2 Ω a 1
Ω * 2π 3a2a3Ω a1(2)3
Ω
正点阵中晶面族与倒易位矢的关系
倒格空间晶体的X射线衍射演示文稿
晶体结构是怎么测定的？
晶体结构与衍射图样的对应关系？
晶体的X光衍射
按照衍射理论，当辐射的波长与晶格中原子的间距 相同或更小时，即可发生显著的衍射现象。
晶体衍射的基本方法
1、X射线衍射
X射线是由被高电压V
加速了的电子，打击在
hmaxeU
h
c
min
eU
“靶极”物质上而产生
(1)证明 Khh1b1h2b2h3b3 与晶面族(h1h2h3)正交。
设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，
ABC在基矢
a1,a2,a3上的 截距分别为
a1 , a2 , a3 。
h1 h2 h3
a3
由图可知： CAOAOCa1 a3
C Kh
h1 h3 CBOBOCa2 a3
h2 h3
h12 h22 h32
23布里渊区
将任一布里渊 区的各部分平移适 当的位矢就可合并 成第一布里渊区
D
O A
C
B
由于倒格子的周期性，很多时候我们 只需关心第一布里渊区
2
固体物理导论
第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.3 布里渊区
2. 衍射条件的布里渊区诠释
2k G G 2
D
GD
k1
1 1 2 k G G 2 2
体心立方
x
a3
Ω a1 (a2 a3 ) 1 3 a 2
Ω b1 (b2 b3 )
*
4π a
2( 2 π ) 3 / a 3
5
固体物理导论
第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.3 布里渊区
倒格矢可以表示为
G v1b1 v2b2 v3b3 4π 2π [(v2 v3 )i (v3 v1 ) j (v1 v2 )k ] a a
最短的倒格矢是以下12个矢量
2π 2π 2π ( j k ); ( k i ); (i j ) a a a
第一布里渊区由上述12个矢量的 垂直平分面围成，是一个正十二面体
6
固体物理导论
第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.3 布里渊区
体心立方晶格的布里渊区中一些 具有较高对称性的点或轴的坐标
其中
2π X: (1,0,0) a 2π 1 1 1 L: ( , , ) a 2 2 2 2π 3 3 K: ( , ,0 ) a 4 4 1 3 0 1, 0 , 0 2 4
10
k2
O
GC
C
任何从原点到 G 的垂直平分面的矢量都满足衍射 条件，这些平面正是布里渊区的边界。布里渊区包含 了所有能在晶体上发生布拉格反射的波的波矢 k
第二部分 倒易点阵和晶体衍射-总结与习题指导
ϕG = ∑ f j ( G ) exp ( −iG ⋅ r j )
j
(2.11)
其中 rj 是基元中第 j 原子的坐标，
r j = x j a1 + y j a2 + z j a3 , ( 0 ≤ x j , y j , z j < 1) f j 是第 j 原子的形状因子，
4
f j = ∫ dVn j ( r ) exp ( −iG ⋅ r )
j
(2.13)
当基元的几何结构因子为零时，空间点阵所允许的反射消失，而根据消失了 的反射(即消光规则)又可以帮助我们确定晶体结构．
5
例题
2．1 体心立方和面心立方点阵的倒易点阵 证明体心立方点阵的倒易点阵
是面心立方点阵．反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵．
[证明]
选体心立方点阵的初基矢量如图 1．8 所示，
2
2
{
}
这里引用了公式： ( A × B ) × ( C × D ) = ⎡ ⎣( A × B ) ⋅ D ⎤ ⎦C − ⎡ ⎣( A × B ) ⋅ C ⎤ ⎦D。 由于 ( a3 × a1 ) ⋅ a1 = 0 ，故有
⎛ 2π ⎞ b2 × b3 = ⎜ ⎟ ⎡ ⎣( a3 × a1 ) ⋅ a2 ⎤ ⎦ a1 ⎝ Vc ⎠
2k ⋅ G + G 2 = 0
或
(2.9a)
2k ⋅ G = G 2
(2.9b)
可以证明，布喇格定律和劳厄条件完全是等价的。
相应于倒易点阵矢量 G 所给出的波矢改变 Δk = G ，有劳厄衍射的峰值，这 个劳厄衍射峰正好相当于来自和 G 相垂直的晶面族的布喇格反射，而出现在布 喇格定律中的反射级 n 正是倒易点阵矢量 G 除以和它平行的最短倒易点阵矢量 而得的倍数。
固体01-04倒格子
a 1 ⋅ b1 = 2π a1 ⋅ b2 = 0
a i ⋅ b j = 2πδ ij =
2π ( i = j )
0 (i ≠ j )
a 2 ⋅ b1 = 0 a 2 ⋅ b2 = 2π
2π b1 = i a 2π b2 = j a
2π a
2π a
G h = h1 b1 + h2 b 2
2π 的正方形格子。 倒格是边长为 的正方形格子。 a
b1 =
2
2π
2
3
1 = a1 ⋅ a2 ×a3 = a3 2
(
)
3
1
3
1
2
a2 ×a3 =
i a 2 a 2
j a − 2 a 2
a k − a =i 2 a 2 a 2 − 2
a a 2 + j 2 a a − − 2 2
一、倒格子点阵
一个具有晶格点阵周期的函数 n(r) = n(r + R) 展开成傅里 叶级数后，其傅里叶级数中的波矢在傅里叶空间中表现为 叶级数后， 一系列规则排列的点， 一系列规则排列的点，这些点排列的规律性只决定于函数 n(r)的周期性而与函数的具体形式无关。 n(r)的周期性而与函数的具体形式无关。 的周期性而与函数的具体形式无关 我们把在傅里叶空间中规则排列着的点的列阵称为倒格子 我们把在傅里叶空间中规则排列着的点的列阵称为倒格子 点阵（或倒易点阵） 点阵（或倒易点阵）。倒格子点阵是晶体结构周期性在傅 里叶空间中的数学抽象。 里叶空间中的数学抽象。如果把晶体点阵本身看作一个周 期函数，我们可以说， 期函数，我们可以说，倒格子点阵就是晶体点阵的傅里叶 变换。反之，晶体点阵就是倒格子点阵的傅里叶逆变换。 变换。反之，晶体点阵就是倒格子点阵的傅里叶逆变换。
a i ⋅ b j = 2πδ ij =
2π ( i = j )
0 (i ≠ j )
a 2 ⋅ b1 = 0 a 2 ⋅ b2 = 2π
2π b1 = i a 2π b2 = j a
2π a
2π a
G h = h1 b1 + h2 b 2
2π 的正方形格子。 倒格是边长为 的正方形格子。 a
b1 =
2
2π
2
3
1 = a1 ⋅ a2 ×a3 = a3 2
(
)
3
1
3
1
2
a2 ×a3 =
i a 2 a 2
j a − 2 a 2
a k − a =i 2 a 2 a 2 − 2
a a 2 + j 2 a a − − 2 2
一、倒格子点阵
一个具有晶格点阵周期的函数 n(r) = n(r + R) 展开成傅里 叶级数后，其傅里叶级数中的波矢在傅里叶空间中表现为 叶级数后， 一系列规则排列的点， 一系列规则排列的点，这些点排列的规律性只决定于函数 n(r)的周期性而与函数的具体形式无关。 n(r)的周期性而与函数的具体形式无关。 的周期性而与函数的具体形式无关 我们把在傅里叶空间中规则排列着的点的列阵称为倒格子 我们把在傅里叶空间中规则排列着的点的列阵称为倒格子 点阵（或倒易点阵） 点阵（或倒易点阵）。倒格子点阵是晶体结构周期性在傅 里叶空间中的数学抽象。 里叶空间中的数学抽象。如果把晶体点阵本身看作一个周 期函数，我们可以说， 期函数，我们可以说，倒格子点阵就是晶体点阵的傅里叶 变换。反之，晶体点阵就是倒格子点阵的傅里叶逆变换。 变换。反之，晶体点阵就是倒格子点阵的傅里叶逆变换。
晶体的周期性结构(2)(倒格矢)
波恩-卡曼边界条件
• 电荷密度、势能等物理量满足迭加原理，如
V (r )
V
l
原子
r R l
• 理想的无限大晶体具有平移周期性，这样的物 理量满足
F (r R l ) F (r )
• 实际的晶体都是有限大小的， 并不满足严格的 平移对称性
F (r R l ) F (r )
2
N 3是 原 胞 的 总 数 ，
k 是 满 足 波 恩 -卡 曼 周 期 性 边 界 条 件 的 波 矢 量
k
l1 N1
b1
+
l2 N
2
b2+
l3 N
3
b3
• 对于布里渊区中许可波矢 k 的求和可化为对
k 的连续积分
kBZ
(.....)
V ( 2 )
3
( . . . . )d
3
k
正、倒对应关系
• 互为正格子、倒格子
b 1 2 b 2 2 b 3 2 a2 a3 a 1 (a 2 a 3 ) a 3 a1 a 1 (a 2 a 3 ) a1 a 2 a 1 (a 2 a 3 )
a 1 2 a 2 2 a 3 2 b2 b3 b 1 (b 2 b 3 ) b 3 b1 b 1 (b 2 b 3 ) b1 b 2 b 1 (b 2 b 3 )
j
bi a
2
ij
• 那确实可以满足上述关系，确实可以满足Kh所 有的段点为格点（即有可用基矢和整数表示的 平移周期性）
• bi就是倒格子基矢
• 如果确定了正格子基矢，倒格子基矢就不是任 意的。利用矢量关系
-倒格子
C
a3/h3
a3
G
B a2
O
a2/h2
a1/h1
A
a1
(2)晶面族（h1h2h3)的面间距d为
d
2
Gh
证明：由前面的证明
可知，原点到面ABC 的距离即为所求面间 距(设为d)。
d OA cos
又OAGh OA Gh cos
a3
Gh
C
a3/h3
d
B a2
O
a2/h2
倒格子空间
又称状态空间或
简称为k空间
描述微观粒子运动状态的波矢k具有和倒格子空间
同样的量纲。
—— 倒格子与正格子间的关系 1) 正格子原胞体积反比于倒格子原胞体积
* (2 )3
2）正格子中一簇晶面
和
正交
—— 可以证明
Gh1h2h3 CA 0 Gh1h2h3 CB 0
与晶面族正交
a1 cos a1, n h1d a2 cos a2 , n h2d a3 cos a3 , n h3d
cos a1 , n
h1 d a1
cos a 2 , n h2 d a2
cos a 3 , n h3 d a3
对于立方晶系：
2π
a
h1 i h2 j h3 k
2π K a h1h2h3
h12 h22 h32
d K2π h1h2h3
h1h2h3
a
h12 h22 h32
法二： 设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，
ABC在基矢
a1 , a2 ,上a的3 截距分别为
第二章++X射线衍射和倒格子
第⼆章++X射线衍射和倒格⼦第⼆章 X 射线衍射和倒格⼦⼤多数探测晶体中原⼦结构的⽅法都是以辐射的散射概念为基础的。
早在1895年伦琴发现X 射线不久，劳厄在1912年就意识到X 射线的波长量级与晶体中原⼦的间距相同，⼤约是0.1nm 量级，晶体必然可以成为X 射线的衍射光栅。
随后布拉格⽤X 射线衍射证明了NaCl 等晶体具有⾯⼼⽴⽅结构，从⽽奠定了⽤X 射线衍射测定晶体中的原⼦周期性长程有序结构的地位。
随着科学技术的不断发展，电⼦、中⼦衍射有为⼈类认识晶体提供了有效的探测⽅法。
但到⽬前为⽌，X 射线衍射仍然是确定晶体结构、甚⾄是只具有短程有序的⽆定形材料结构的重要⼯具。
本章以X 射线衍射为例介绍晶体的衍射理论，引⼊倒格⼦的概念，在此基础上介绍原⼦形状因⼦和⼏何结构因⼦，并介绍⼏种确定晶格结构的实验⽅法。
§2.1 晶体衍射理论⼀、布拉格定律（Bragg ’s Law ）X 射线是⼀种可以⽤来探测晶体结构的辐射，其波长可以⽤下式来估算012.4()()hcE h A E KeV νλλ==?= （2.1.1）能量为2~10KeV 的X 射线适⽤于晶体结构的研究。
在固体中，X 射线与原⼦的电⼦壳层相互作⽤，电⼦吸收并重新发射X 射线，重新发射的X 射线可以探测得到，⽽原⼦核的质量相对较⼤，对这个过程没有响应。
X 射线的反射率⼤约是10-3~10-5量级，在固体中穿透⽐较深，所以X 射线可以作为固体探针。
1912年劳厄（/doc/eb1ccaba1a37f111f1855b71.html ul ）等发现了X 射线通过晶体的衍射现象之后，布拉格（W.L.Bragg ）⽗⼦测定了NaCl 、KCl 的晶体结构，⾸次给出了晶体中原⼦规则排列的实验数据，发现了晶态固体反射X 射线特征图像，推导出了⽤X 射线与晶体结构关系的第⼀个公式，著名的布拉格定律（Bragg ’s Law ）。
布拉格对于来⾃晶体的衍射提出了⼀个简单的解释。
第二章——晶体衍射和倒格子
插播知识点1
傅里叶分析
For a set of R and a plane wave eikr , the set of all wave
vectors G that yield plane waves with the periodicity of a given
Bravais lattice － reciprocal lattice
a2 h2
a3 h3
0
所以 K h h1b1 h2 b2 h3 b3 与晶面族(h1h2h3)正交。
b）
证明 K h h1b1 h2 b2 h3 b3 的长度等于
2π 。 d h1h2h3
由平面方程： X n d 得：
dh h h 123
a1 h1
Kh Kh
a1 h1 b1 h2 b2 h3 b3
d h1h2h3
a） 证明 K h h1 b1 h2 b2 h3 b3 与晶面族(h1h2h3)正交。
b） 证明
K h h1b1 h2 b2 h3 b3
的长度等于 2π d h1h2h3
。
a）
设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，
ABC在基矢 a1,a2 ,a3 上的 截距分别为
其中 a1 , a 2 , a 3 是正格基矢，
Ω a1 a 2 a 3
是固体物理学原胞体积
与 K n h1b1 h2b2 h3b3 (h1, h2, h3为整数)所联系的各点
的列阵即为倒格。
倒格基矢的方向和长度如何呢？
b1 2π a2 a3 Ω
b2 2π a3 a1 Ω
eiGr
R
eiGr
eiGR
1
G belongs to the reciprocal lattice of a Bravais lattice of points R
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一格点A的格矢则为
0
R ll1 a 1l2 a 2l3 a 3
劳厄衍射方程
从图中看出，光程差为CO+OD
Rl •(SS0)
当光程差为波长整数倍时则衍射加强，即
R l•(SS0)n
考 则虑劳到厄衍射方k程0 也和可2表S示0 为
，k
2
S
S0
CO Rl • S0 A OD Rl • S
R l•(kk0)2n
[110]方向记作Σ： [111]方向记作Λ：
H 2 a
N 2 2 2a
P 3 2 2a
4）面心立方正格子的布里渊区 晶格的基矢和倒格子的基矢为
可见其倒格子为体心立 方结构
a1
a2
a jk
2
a k + i
2
b1
2
a
-i
b2
2
a
i
+ -
j k j+k
a3
a 2
i
j
b3
2
a
i
j
的垂直平分线
同第I布里渊区边界线围成的区域 称为第II布里渊区，其大小为
( 2 )2 a
(4 )
(1 )
b2 b1
(2 )
(3 )
第三布里渊区 由4个倒格点
2b1, 2b2
(2 )
2b1, 2b2
的垂直平分线
同第Ｉ区的边界线和第二II区的边 界线围成第III区，其大小为
( 2 )2 a
(3 )
§2.2.1 倒格子的定义
假设晶格的原胞基矢为 、、，
原胞体积 a 1 a 2 a 3
a1(a2a3)
构建一新的空间，其基 矢为
由这组基矢构成的格子称为对应于以 、 、 为基矢的正格子的倒易格子(简称倒格子)
a1
b1
2
a2 a3
b2
2
a3 a1
b3
2
a1 a2
a2 a3
b
、
1
b、2
b称为倒格子基矢 3
X-射线是由被高电压V加速了的电子，打击在“靶级”物质上而产生的一种电磁波，这 样为产生的X-射线，最大的光子能量h最大等于电子的能量eV，因此，X-射线的最短波长
m ine cV h12 V 00 (V:V , m in:nm )
实验上多采用40千伏，所产生的最短波长为0.03nm
V104V,m in~0.1nm
推论
2(l1h 1l2h2l3h3) 2
(0,1,2...)
如 其果 中两 一个 个矢 为量 正满 格足 矢关 ，系则式另一个必为倒格矢Rl Kh2
§2.3 布里渊区
在倒格子中，以某一倒格点为原点，作所有倒格矢G的垂直平分面，这些平面把倒易空间 分割成许多包围原点的多面体，其中离原点最近的多面体称为第一布里渊区，离原点次近 的多面体与第一布里渊区的表面所围成的区域称为第二布里渊区，以此类推，可得到第三、 第四等各布里渊区。
从数学上讲，倒易点阵和布喇菲点阵是互相对应的傅里叶空间
倒易空间中每个格点的位置由倒格子矢量（又称倒 格矢）给出
K h h 1 b 1 h 2 b 2 h 3 b 3
§2.2.2 倒格子与正格子间的关系
1、正、倒格子基矢间的关系
ai bj 2ij20
(ij) (ij)
i, j 1,2,3
作为习题验证该关系
由前面证明可知，倒格矢
K 是晶面族
的法线方向
h1 h2 h3
（ h1h2h3）
dh1h2h3
a1 h1
Kh1h2h3 Kh1h2h3
a1 (h1b1h2b2 h3b3)
h1
Kh1h2h3
2 K h1h2h3
aibj 2ij
d h1h2h3
K h1h2h3
R 5、正格矢 与倒格矢 l
的关系 K h
2、倒格子原胞体积反比于正格子原胞体积倒数
正格子原胞体积 倒格子原胞体积
a1(a2a3)
*b1(b2b3)
* (2 )3
作为习题验证该关系
3、正格子中晶面指数为
的晶面（和h1倒h2格h3）矢 正交
Kh
意味着
倒格矢 是K晶h 面指数为
其 中 K h h 1 b 1 h 2 b 2 h 3 b 3
1）一维晶格
晶格基矢
a ai
倒格子基矢
b 2 i a
2）二维 正方格子
正方格子基矢
倒格子原胞基矢
可见倒格子的结构也是正方格子，晶格 常数为：
2 a
其倒格矢可以表示为：
Kh h1b1h2b2 2a(h1i h2j)
(h1和h2为整数)
a 1a i 2
b1 a i
a 2a j 2
b2 a j
b2 b1
Rl
C
S
OD
§2.1.3 衍射波的波幅与强度
由上面分析可知，在k方向上，两个原子产生的散射波的相位差为
2 光 程 差 R l•(kk0)
因此，k方向上散射波的幅度应当为来自两个原子散射波的幅度之和，即
A (k)0A e i(k k 0)• R l
其中 为第i个原子散射波幅度 i
若计及所有原子对散射波的贡献，则k方向散
基本判据：辐射的波长同晶格常数相当或小于晶格常数 晶体中的原子间距在0.1nm左右
图中给出了X-射线光子、电子和中子的波长与 能量的关系，可以看到，这三种粒子束的波长 都满足同晶格常数相当或小于晶格常数的判据
X-射线
1895年伦琴发现X-射线， 1912年劳厄意识到其波长在0.1nm量级，与晶体中的原子间距相 当，因此，晶体必可成为X射线的衍射光栅，随后布拉格用X射线证实NaCl等晶体具有 面心立方结构。
MnO具有NaCl结构，其中Mn2+可看成由(111) 密排面叠成的面心立方结构
同一(111）面内各离子的磁矩是平行的，而相 邻（111）面上的离子的磁矩是反平行的 。
§2.1.2 衍射方程
假设射线源与晶体距离以及观测点与晶体的距离都比晶体的线度大得多，因此，将入射波和
衍射波均可看成平面波，其传播方向分别用单位矢量S 和S表示，取格点O为原点，晶格中任
射波的幅度为
N
A(k)
ei(kk0)•Rj
j
j1
由此可得k方向的衍射强度为 2
I(k ) A(k )
k0
A
ei(k k0 )•(Rj Rj ' ) j j' j, j ' j
Rl
k
§2.2 倒格子
由于晶格周期性，一些物理量具有周期性，若Γ代表晶 体的某一物理性质（如电场强度、电子云密度、势能 等），由于晶格的周期性，则有
R ll1 a 1l2 a 2l3 a 3
K h h 1 b 1 h 2 b 2 h 3 b 3
R lK h 2 ( 0 , 1 , 2 . . . )
证明
R lK h ( l 1 a 1 l 2 a 2 l 3 a 3 ) ( h 1 b 1 h 2 b 2 h 3 b 3 )
l 1 a 1 h 1 b 1 l 2 a 2 h 2 b 2 l 3 a 3 h 3 b 3
表明：一个重复单元中任一r 处的物理性质同另一个重复单
元相应处的物理性质相同
( r ) ( r l 1 a 1 l 2 a 2 l 3 a 3 )
例如图中A和A’处的物理性质相同
或者说，物理性质为是周以期的三维周期函a数1、a2、a3
引入倒格子，可以将三维周期函数展开为傅里叶级数，
例如
V(r) V(Km)eiKmr m
中子 中子质量约为电子质量的2000倍，如果能量和电子束一样，则中子波长约为电子波长的 1/2000，因此，对中子束，只需0.1eV能量的中子就可产生0.1nm的波。
中子没有电荷但有磁矩，与晶体中电子自旋的相互作用，使得中子衍射成为探测晶体磁有序 结构的独特的手段
图 是 根 据 中 子 衍 射 推 断 出 MnO 晶 体 的 晶 体 结 构及其Mn2+离子的磁矩的有序排列
b2
(1 )
b1
(4 )
第一、第二和第三布里渊区
正方格子其它布里渊区的形成
正方格子其它布里渊区的形状
—— 每个布里渊区经 过适当的平移之后和 第一布里渊区重合
2）二维斜格子 第一布里渊区
其它布里渊区的形成
其它布里渊区的形状
—— 每个布里渊区经 过适当的平移之后和 第一布里渊区重合
3）体心立方格子的第一布里渊区
第二章 晶体衍射和倒格子
§2.1 晶体衍射 §2.2 倒格子 §2.3 布里渊区 §2.4 布拉格反射 §2.5 原子散射因子 §2.6 几何结构因子
如何确定晶体结构
§2.1 晶体衍射
晶体的特点是其内部原子的周期性排列，形成不同方向等间 隔的晶面族
每组晶面族可以作为波的衍射光栅，因此，选择适当波长的 波入射到晶体上就有可能观察到衍射现象
直到今天，X射线衍射（XRD）仍为确定晶体结构的重要工具，但由于X射线穿透能力 太强，在某些方面，例如在研究晶体表面结构中，难以发挥作用。
电子
电子波动性的发现给人类确定晶体结构增添了另外一种手段
电子衍射是以电子束直接打在晶体上而形成的，电子束的德布罗意波的波长=h/p，利用 p2/2m=eV，V是电子的加速电压，因此有
同理可证
h1b1
ah11 h3b3
a3 h3
0
Kh1h2h3 CB0
所以晶面族
（与h和1h2倒h3格）矢
正交
K h1h2h3
K h1h2h3
4、倒格矢
K的长度正比于晶面族 h1 h2 h3
面间距 （的倒h1h数2h3）