求极值的若干方法

1 序言

一般来说函数的极值可以分为无条件极值和条件极值两类．无条件极值问题即是函数中的自变

量只受定义域约束的极值问题；而条件极值问题即是函数中的自变量除受定义域约束外还受其它条件限制的极值问题．下面我们给出极值的定义

定义1)

136](1[P 设函数f 在点0P 的某邻域0()U P 内有定义，若对于任何点

0()P U P ∈，成立不等式

0()()f P f P ≤（或0()()f P f P ≥），

则称函数f 在点0P 取得极大（或极小)值，点0P 称为f 的极大（或极小）值点．极大值、极小值统称为极值．极大值点、极小值点统称为极值点．

2 求解一元函数无条件极值的常用方法

2.1 导数法定理１

)

142](2[P

设f 在点0x 连续，在某邻域0(;)o

U x δ内可导．

(i)若当00(,)x x x δ∈-时()0f x '≤，当00(,)x x x δ∈+时()0f x '≥，则f 在点0x 取得极小值．

(ii)若当00(,)x x x δ∈-时()0f x '≥，当00(,)x x x δ∈+时()0f x '≤，则f 在点0x 取得极大值．

由此我们可以推出当0(;)o

x U x δ∈时，若()f x '的符号保持不变，则()f x 在0x 不取极值．

定理２

)

142](2[P 设f 在0x 的某邻域0(;)U x δ内一阶可导，

在0x x =处二阶可导，且()0f x '=，()0f x ''≠．

(i)若0()0f x ''<，则f 在0x 取得极大值． (ii)若0()0f x ''>，则f 在0x 取得极小值．

对于一般的函数我们既可以利用定理１，也可以利用定理２，但对于有不可导点的函数只能用定理１．

例1 求函数2

()(1)f x x x =-的极值．

解显然f 在01x =±，处不可导，

23()(31)sgn()f x x x x '=-- 其中01x ≠±（，）

令()0f x '=，得3

=x ，且f 在01x =±，处导数不存在．

当(,1)x ∈-∞-时()0f x '<，()f x 单调减小；当(1,3

x ∈--

时()0f x '≥，()f x 单调增加；

当[,0)3x ∈-

时()0f x '≤，()f x 单调减小；当3

x ∈时()0f x '≥，()f x 单调增加；

当x ∈时()0f x '≤，()f x 单调减小；当(1,)x ∈+∞时()0f x '>，()f x 单调增加，所以由定理１可以得到

()f x 在33±

=x 处取得极大值9

32，在01x =±，处取得极小值0．若用定理２则有3

()6sgn()f x x x x ''=- 其中01x ≠±（，）

，

当x =()0f x ''=-<；当x =，()0f x ''=-<，

由此只能判断出f 在3

=x 处取得极大值，而无法判断在不可导点01x =±，处是否取得极值．定理２表明若函数()f x 在稳定点0x 处的二阶导数()0f x ''≠，则稳定点0x 一定是函数()f x 的极值点，但如果遇到()0f x ''=时应用定理２无法判别，这时需借助更高阶的导数来判别．

定理３

)

143](2[P 设f 在0x 某邻域内存在直到1n -阶导函数，在0x 处n 阶可导，且

()0()0(1,2,1)k f x k n ==-L ，()0()0n f x ≠，则

(i)当n 为偶数时，f 在0x 取得极值，且当()0()0n f x <时取极大值，()0()0n f x >时取极小值． (ii)当n 为奇数时，f 在0x 处不取极值．

例2 求函数43

()(1)f x x x =+的极值．

解由于32

()(1)(74)f x x x x '=++，因此4

0,1,7

x =--是函数()f x 的三个稳定点． f 的二阶导数为

22()6(1)(782)f x x x x x ''=+++，

由此得，(0)(1)0f f ''''=-=及4()07f ''-<．所以()f x 在4

x =-处取得极大值．求f 的三阶导数

32()6(3560304)f x x x x x '''=+++，

有(0)0f '''=，(1)0f '''->．由于3n =为奇数，由定理３知函数f 在1x =-处不取极值，再求f 的四阶导数

(4)32()24(3545151)f x x x x =+++，

有(4)

(0)0f >．因为4n =为偶数，故f 在0x =处取得极小值．

综上所述，(0)0f =为极小值， 4

4436912

()()()77

823543

f -==

为极大值．

2.2 对某些复杂函数求极值的特殊方法

对某些比较复杂（比如含根号）的函数，求导数、稳定点比较困难，计算容易出错，这时我们可以利用()f x 与()n

f x 有相同的极值点（极值的类型可能不同）这一特点，把复杂的函数转化为一般函数再求解．

推论1

[3](36)

P 设0x 为()f x 的极大（小）值点，则有：

１）如果()0f x ≥，则()f x 与()n

f x 有相同的极值点和极值．２）如果()0f x ≤，则()f x 与21

()n f x +仍有相同的极值点，但()f x 与2()n f x 的极值的类型

恰恰相反，即0x 为2()n

x 的极小（大）值点．

例 3 求函数(8)

y x =-

解因为 5104

(8)(1)y x x =-+，

所以

59410393()10(8)(1)4(8)(1)2(8)(1)(711)y x x x x x x x '=-++-+=-+-．

令0)(5

='y ,得11-=x ，82=x ，7

113=

x ，故当11(,1)(

,8)7x ∈-∞-? 时，5()0y '<，5y 单调减，当11

(1,)(8,)7

x ∈-?+∞时，5()0y '>，5y

单调增，所以5y 在1x =-，8x =处取得极小值0，在11

x =

处取得极大值1044518()()77．

根据推论1得y 在1x =-和8x =处取得极小值0，在11

x =处取得极大值4

254518()()77．

若直接用对函数求导的方法可得

542(8)(1)(8)(1)5

y x x x x -'=-++-+

2(8)(1)(8)5(1)x x x x -++-=+ 显然导数较复杂，求稳定点比较困难，且有不可导点，直接求导数容易出错．

由上述方法可知稳定点，导数不存在的点是连续函数可能的极值点，此外函数可能的极值点还能是第一类间断点．我们假设()f x 在0x 的某邻域00(,)x x δδ-+内有定义，0x 是()f x 的第一类间断点，根据极值的定义可得到()f x 在0x 处求极值的两个推论

[4](11)

P ．

推论２如果000

()lim ()x x f x f x →->且000

()lim ()x x f x f x →+> 则()f x 在点0x 处取得极大值

)(0x f ．

推论３如果当00(,)x x x δ∈-时，()f x 单调增加，当00(,)x x x δ∈+时，()f x 单调减少，且000

()lim ()x x f x f x →-≥、000

()lim x x f x →+≥则在点0x 处取得极大值0()f x ．

类似地可以推出极小值．

例4 求函数3,

()3,

x x f x x ?=?+? .0,0≤>x x 的极值．

解当0x >时，33()()3(1)x

f x x x Inx ''==+，令()0f x '=得稳定点1

x e

=，当1

0x e

时，()0f x '<；当1x e >时，()0f x '>，

故()f x 在1

x e

=处取极小值311()()e f e e =．

又当0x <时()10f x '=>，()f x 单调增加；当10x e

时3()3(1)0x

f x x Inx '=+<，()f x 单调减少，且

0lim ()3(0)x f x f -

→==，

002

13lim

3lim

11300

lim ()lim 1(0)x x Inx x xInx x

x x x f x e e e

e f ++→→++

→→=====<．

所以()f x 在0x =有极大值(0)3f =．

3 求解二元函数无条件极值常用的方法

3.1 利用判别式求极值

定理４

)

138137](1[P P - 设二元函数f 在点000(,)P x y 的某邻域0()U P 内具有二阶连续偏导数，且

0P 是f 的稳定点，则有如下判别式：

（i ）当0()0xx f P >，2

0()()0xx yy xy f f f P ->时，f 在点0P 取得极小值； (ii)当0()0xx f P <，2

0()()0xx yy xy f f f P ->时，f 在点0P 取得极大值；

(iii)当2

0()()0xx yy xy f f f P -<时，

f 在点0P 不能取得极值；（iv ）当2

0()()0xx yy xy f f f P -=时，不能肯定f 在点0P 是否取得极值．

这是对二元函数求极值比较实用的方法，但在用这个方法时需要注意一些问题．

1）2

0()()0xx yy xy f f f P -=时，可能有极值也可能没有极值，需要另作讨论．

例如函数4

(,)f x y x y =+与4

(,)g x y x y =-，容易验证这两个函数都以点(0,0)为稳定点，

且在点(0,0)处都满足2

()(0,0)0xx yy xy f f f -=，但(,)f x y 在点(0,0)处取极小值，而(,)g x y 在点

(0,0)处不取极值．

2）如果函数在个别点的偏导数不存在，这些点显然不是稳定点，但也可能是极值点，因此我们

在讨论函数的极值问题时，对这些点也应当考虑．例如函数z =

(0,0)的偏导

数不存在，但是该函数在点(0,0)点却具有极小值．一般在高等数学教材中，对像这样的二元函数并没有明确给出在偏导数不存在处求极值的方法，他们只是根据初等数学中函数图像的性质推断出在该点能否取极值．对此我参考对特殊一元函数求极值的方法推导出了对特殊二元函数求极值的一般解法．

3.2 二元函数在偏导数不存在处求极值的特殊方法命题1 设00(,)x y 为(,)f x y 的极大（小）值点，则有：

1）21

(,)n f x y +与(,)f x y 有相同的极值点和极值类型，即00(,)x y 也为21(,)n f x y +的极大（小）

值点；

2）当(,)0f x y ≥时，2(,)n

x y 与(,)f x y 有相同的极值点和极值类型，即00(,)x y 为2(,)

f x y 的极大（小）值点；当(,)0f x y <时，2(,)n

f x y 与(,)f x y 仍有相同的极值点，但它们的极值类型恰恰相反，即00(,)x y 为2(,)n

f x y 的极小（大）值点．

下证结论1）, 2），

1）证由极值的定义知，若00(,)x y 是(,)f x y 的极大（小）值点，则对于00(,)x y 的某一邻域内的任一点(,)x y 都有00(,)(,)f x y f x y ≤（或00(,)(,)f x y f x y ≥），故有

212100(,)(,)n n f x y f x y ++≤（或212100(,)(,)n n f x y f x y ++≥）．

反之，若21

00(,)(,)n n f

x y f x y ++≤（或212100(,)(,)n n f x y f x y ++≥），则有

00(,)(,)f x y f x y ≤（或00(,)(,)f x y f x y ≥），

即21

(,)n f

x y +与(,)f x y 有相同的极值点和极值类型．２）当(,)0f x y ≥时，结论很明显，证略．下证当(,)0f x y <时，

证不妨设00(,)x y 是(,)f x y 的极大值点，则对00(,)x y 的某邻域内有00(,)(,)f x y f x y ≤，所以有

212100(,)(,)n n f x y f x y --≤，

由于(,)0f x y <，故

21210000(,)(,)(,)(,)n n f x y f x y f x y f x y --≥，

即2200(,)(,)n n

f x y f x y ≥．所以00(,)x y 是(,)f x y 的极小值点．

例5 求函数1

222

222()(1)x y z x y a b

=+-- (0)a b <<的极值．

分析：直接对z 求偏导，

则有22222211[1()]x x x y z --+=

，2

2222112[1()]

y y y x z -+-=，

显然计算相当麻烦，且(0,0)点为函数z 的不可导点，但也可能是函数的极值点，故直接求导不可取，这时可利用命题１来求解．

解令22

22()(1)x y f z x y a b

==+-- (0)a b <<，

需先对函数f 求偏导，令

222222

22222112[1()]0,1122[1()]0.x y x f x y a a b

y f y x a b b ?=--+=????=-+-=??

解得稳定点(0,0)

，(0,

，(，又

2222121122()xx x A f y a a b ==--+，2211

4()xy B f xy a b

==-+，

2222111222()xy y C f x a b b

==-+-，

因为在点(0,0)有2

0AC B ->，且有0A >，故点(0,0)为函数f 的极小值点；

在点(0,有20AC B ->，且有0A <

，故点(0,为函数f 的极大值点；

而在点(有20AC B -<，故函数f

在点(不取极值．又因为0z ≥，从而由命题１可得函数z 在点(0,0)取得极小值0

，在点(0,取得极大值2b

．

4 求解隐函数无条件极值的常用方法

4.1 利用显函数极值问题的相应结论定理５

[5](26)

P 设函数12(,,,,)n f x x x y L 具有一阶、二阶连续偏导数，且

12(,,,,)0y n f x x x y ≠L ，则由方程12(,,,,)0n f x x x y =L 所确定的n 元函数12(,,,)n y y x x x =L 在

点000012(,,,)n P x x x L 取得极值的必要条件是：0000

12(,,,)0i x n f x x x y =L (1,2,,)i n =L 其中

000

012(,,,)0n f x x x y =L ．若记000

0120

000

12(,,,)

(,,,)i j x x n ij y n

f x x x y h f x x x y =-

L L (,1,2,,)i j n =L ，0()()ij n n H P h ?=．

那么，当0()H P 为正定矩阵时，12(,,,)n y y x x x =L 在0P 处取得极小值；当0()H P 为负定矩阵时，12(,,,)n y y x x x =L 在0P 处取得极大值；当0()H P 为不定矩阵时，

12(,,,)n y y x x x =L 在0P 处不取得极值．

例6 求由方程2

2222440x y z xy x y z +++---+=所确定的函数(,)z z x y =的极值．解令2

(,)222244f x y x y z xy x y z =+++---+，解方程组

222

4220,

2220,2222440.x y f x y f y x f x y z xy x y z ?=+-=?

=+-=??=+++---+=?

解得稳定点为1(0,1,1)P ，2(0,1,3)P ，进而可得

4xx f =，2xy f =，2yy f =，1()2z f P =-，2()2z f P =，

所以

121()11H P ??= ??? ，221()11H P --??

= ?--??，

显然1()H P 为正定矩阵，2()H P 为负定矩阵．

由定理５可知函数(,)z z x y =在点1(0,1)P 处取得极小值1，在点2(0,1)P 处取得极大值3． 4.2 利用拉格朗日乘数法

[6](167)

这种方法是把原方程中的隐函数设为目标函数，把原方程设为约束条件，将隐函数极值问题转化为求条件极值的问题．

例7 求由方程2

22880x y z xz z +++-+=所确定的隐函数(,)z z x y =的极值．解取目标函数(,,)f x y z z =，约束条件为原方程，作辅助函数

222(,,,)(2288)L x y z z x y z xz z λλ=++++-+，

令

222480,40,1820,

22880.x y

z L x z L y L x z L x y z xz z λ

λλλλλλ=+=??==??

=++-=??=+++-+=? 解得

1115λ=-

，2115λ=，稳定点1168(,0,)77

P -，2(2,0,1)P -，又

4xx L λ=，0xy L =，4yy L λ=，

由于

2160xx yy xy f f f λ-=>(0)λ≠，

故所求之点1168

(

,0,)77

P -，2(2,0,1)P -均为极值点，且当0λ<时为极大值点，当0λ>时为极小值点．由此得所求函数(,)z z x y =的极大值为8

-，极小值为1．

同样例1也可以用这种方法求解．

5 求解条件极值的常用方法

5.1 代入法化为无条件极值问题

这种方法一般是从条件方程（以二元条件极值为例）(,)0x y ?=中解出显函数()y y x =代入

(,())z x y x =中化为无条件极值问题，从而使问题简化．

例8 求函数22

(,)f x y x y =+在条件10x y +-=下的极值．

解由10x y +-=，得1y x =-， ⑴ 将⑴代入(,)f x y ，得

222(1)221f x x x x =+-=-+，

由二次函数的顶点式可知当12x =

时，f 取得极小值12．

显然用这种方法比拉格朗日乘数法更简洁，但在求解过程中要注意几个问题：

1）这种方法适合用于比较简单的、含自变量较少函数，一般不超过三个；

2）对有些约束条件较复杂、不易从约束条件中解出显函数的函数，这时不适合用代入法求解； 3）在求解过程中如果不注意代入的条件则可能导致不完整甚至错误的答案

[7](42)

P ．

例如求解原点到曲面22()1x y z -+=的最短距离．用代入法求解时，如果将22

1()z x y =--代

入222u x y z =++得222

1()12u x y x y xy =++--=+，由20,

20.

x y u y u x ==???

==??得可能的极值点为

1(0,0,1)P 与2(0,0,1)P -，此时1P ，2P 到原点的距离均为1，而曲面

22()1x y z -+=存在到原点的距离比1小的点，比如1

(,,0)2

P -

就是这样的点，

因此用代入法求解时，这样的最短距离不存在．而用拉格朗日乘数法求解时，则可得到二个可能的极值点分别是311(,,0)22P -与411

(,,0)22

P -，且从

几何图形不难看出3P ，4P

正是两个最值点，最短距离为

．原因是求222

u x y z =++在约束条件22()1x y z -+=的最值时，x 与y 的取值范围必须满足1x y -≤，而将22

1()z x y =--代入

222u x y z =++后得12u xy =+，x 与y 的取值范围都已是),(+∞-∞．

5.2 利用拉格朗日乘数法

用拉格朗日乘数法可求解含更多自变量的条件极值且无需解出显函数，其方法简捷．但其不足之处是所求的点只是可能的极值点，在解题过程中通常是根据问题的实际情况来推测．若想要确定该点是否是极值点及在该点的极值类型则需要根据拉格朗日函数L 的二阶微分符号来判断．

定理６

[8](257258)

P P - 设0P 是拉格朗日函数L 的稳定点，则

1）若2

0()0d L P >，则函数f 在0P 取条件极小； 2）若2

0()0d L P <，则函数f 在0P 取条件极大．

例9 求函数222212341234

(,,,)f x x x x x x x x =+++在条件4

1(0,1,2,3,4)k k

k k a x

a k ==>=∑下的

极值．

解设拉格朗日函数为4

222212341234

(,,,)(1)k k

k L x x x x x x x x a x

λ==++++-∑，

对L 求偏导并令它们都等于0，则有

33411

223444

120,

20,20,20,10.x x x x k k k L x a L x a L x a L x a a x λλλλ=?

?=+=??=+=??

=+=??

=+=???-=??∑

解得

(1,2,3,4)i

i k

k a x i a

=∑，4

k a

λ==-

∑，

又当4

k a

λ==-

∑时，

222142()0d L d x d x =++>L ，

所以当4

(1,2,3,4)i

i k

k a x i a

=∑时，f 取得极小值，极小值为

k a

=∑．

5.3 运用梯度法求条件极值

将梯度法用于求条件极值问题，方程组1

12121

(,,,)(,,,),

(,,,)0,(1,2,,1).

n n i i n i i n gradf x x x grad x x x x x x i n λ??-=?

=???==-?∑L L L L 的解就是所求极值问题的可能极值点

[9](35)

P ．

例10

[9](35)

P 试求n 个正数，其和为定值l 的条件下，什么时候乘积最大，并证明

121

()n x x x n

≤+++L ．

证本题的实质是求1212(,,,)n n y f x x x x x x ==L L 在条件12n x x x l +++=L 下的最大值问题．根据本文定理，列出下列方程组，求解可能的极值点

121212

()(),

.n n n grad x x x grad x x x l x x x l λ=+++-??

+++=?L L L 进一步求解得

{}{}231312112

,,,1,1,,1,

.n n n n x x x x x x x x x x x x l λ-=???

+++=??L L L L L L L 容易得到

12n l

x x x n ====

L ，

根据题意，则,

,,l l l

n n n

L （）

是唯一的极大值点,也是最大值点．所以 12(,,,)n

n l f x x x n ??

≤ ???

L ，

即

121

()n x x x n

≤

+++L ． 5.4 利用球面坐标求条件极值

利用空间坐标点M 的直角坐标(,,)x y z 与球面坐标(,,)γ?θ之间的关系，应用这一变换可求解含平方和（或可化为含平方和）运算的条件极值问题

[10](96)

P ．

例11[10](96)P 求函数222u x y z =++在条件22

()1x y z --=下的极值．

解利用球面坐标法，由目标函数222

u x y z =++，

可设cos ,sin ,x y z ?θ?θ?===，代入约束条件可得

sin (2sin 2)12u

?θ=--≤ (当13,24?πθπ=

=时取等号)，于是12u ≥，故所求极小值为1

u =．利用球面坐标求解条件极值问题其解法优于代入法、乘数法，且解法简洁，省去了对极值充分性的考虑，比一般的方法省事许多，同时所获得极大（小）值就是最大（小）值．

6 极值与最值的联系与区别及最值应用

在日常生活、工程技术与生产实践中，我们常会遇到这样的问题：在一定的条件下，怎样才能使产品最多而用料最省，成本最低而利润最大等，这些问题通常都归结为数学中的最值问题．下面我们给出最值的定义

[12](80)

P ．

定义2 设函数f 在区域D 上连续，如果存在D 中的点0P ，1P 使得

0()f P M =，1()f P m =，且对于任意的点P D ∈都有()m f P M ≤≤，则称M 为f 在D 上的最大值，m 为f 在D 上的最小

值，0P 称为最大值点，1P 称为最小值点．最大值与最小值统称为最值，最大值点与最小值点统称为最值点．

最值和极值在某种程度上有相似点，也有不同点，了解了极值与最值的关系有助于求解函数的最值．

极值与最值的区别和联系：

1）极值是函数在某点的局部性质，而最值是函数在区域的整体性质； 2）在给定的区域上极值可能有多个，而最大（小）值最多各有一个； 3）在区间内部最值一定是函数在某个区域的极值，极值未必是最值； 4）极值点不能是边界点，最值点可以为边界点；

5）如果函数的最值在某个区域内取得，该点一定是极值点；

6）在整个区域上极小值可能大于极大值，而最小值一定不大于最大值．

所以要求函数在区域上的最大（小）值，只要比较函数在所有稳定点、不可导点和区域的边界点上的函数值，就能从中找出函数在该区域上的最大值与最小值．通常在求闭区域上的多元函数的最值时，都按下列步骤进行．第一步：在区域内部求出函数的所有稳定点和偏导数不存在的点；第二步：计算在这些点处的函数值及函数在区域边界上的函数值；第三步：比较上述所求值的大小，最大（小）者为最大（小）值．

在实际问题中，根据对问题的分析知函数的最值存在，而函数在区域内部只有一个稳定点，则函数在该点的值就是所求的最大（小）值．

例12

)

176](7[P 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求价格分别

是11182P Q =-，2212P Q =-（单位：万元／吨），1Q ，2Q 分别表示该产品在两个市场的销售量（单位：吨），则该企业生产这种产品的总成本是25C Q =+，其中12Q Q Q =+．

（１）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润．

（２）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化，并比较两种价格策略下的总利润的大小．

解（１）根据题意，总利润函数为

1122

(25)L PQ P Q Q =+-+22

1212216105Q Q Q Q =--++-，令

12124160,2100.Q Q L Q L Q =-+=???=-+=??

解得14Q =，25Q =，则有110P =(万元/t)，27P =(万元/t) ．

因稳定点(4,5)唯一，且该实际问题一定存在最大值，故最大值必在稳定点处达到，最大利润为

22245164105552L =-?-+?+?-=（万元）

．（２）若实行价格无差别策略，则12P P =，于是有

1226Q Q -=，构造拉格朗日函数

121212216105(26)F Q Q Q Q Q Q λ=--++-+--，

令

12121241620,

2100,260.Q Q F Q F Q F Q Q λλλ=-++=??

=-+-=??

=--=?

解得15Q =，24Q =，2λ=，则得128P P ==，最大利润为

22254165104549L =-?-+?+?-=（万元）

．由上述结果知，企业实行差别定价所得总利润要大于统一价格的总利润．

参考文献：

[1] 华东师范大学数学系编．数学分析下册[M]．高等教育出版社，2002

[2] 华东师范大学数学系编．数学分析上册[M]．高等教育出版社，2002 [3] 孟赵玲，许燕．函数极值的两个简单求法[J]．北京印刷学院学报，2005，09 [4] 王金金，任春丽．函数在间断点处的极值问题[J]．高等数学研究，2006，03 [5] 单国莉．矩阵的正定性和隐函数的极值[J]．高等数学研究，2004，12 [6] 李心灿，宋瑞霞，旭辉．高等数学专题十二讲[M]．化学工业出版社，2001 [7] 莫国良．关于用代人法求条件极值的一点注记[J]．高等数学研究，2004，06 [8] 邓东皋，尹小玲．数学分析简明教程[M]．高等教育出版社，1999

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