第三讲 《三角形等积变形》复习指导1
三角形等积变形
三角形的等积变形是指保持三角形面积不变的情况下，通过改变其形状而产生的变化。
以下是一些常见的三角形等积变形：1.直角三角形的等积变形：可以通过改变直角三角形的两条直角边的长度来实现等积变形。
例如，将直角三角形的两条直角边同时缩放，或保持一个直角边不变，将另一条直角边拉长或缩短，以使面积保持不变。
2.等边三角形的等积变形：等边三角形的边长相等，可以通过改变等边三角形的边长来实现等积变形。
可以将等边三角形的边长同时拉长或缩短，使得面积保持不变。
3.锐角三角形的等积变形：对于锐角三角形，可以通过改变其两条边长和夹角的关系来实现等积变形。
可以保持其中一条边不变，改变另一条边的长度和夹角的大小，以使面积保持不变。
4.钝角三角形的等积变形：钝角三角形也可以通过改变边长和夹角的关系来进行等积变形。
可以保持其中一条边不变，改变另一条边的长度和夹角的大小，使面积保持不变。
这些是一些常见的三角形等积变形的示例。
以下是一些额外的例子：1.等腰三角形的等积变形：等腰三角形的两条边相等，可以通过改变等腰三角形的边长和顶角的大小来实现等积变形。
可以保持其中一条边不变，改变另一条边的长度和顶角的大小，使面积保持不变。
2.不等边三角形的等积变形：对于不等边三角形，可以通过同时改变三条边的长度来实现等积变形。
保持三条边的比例关系不变，但同时拉长或缩短三条边的长度，使面积保持不变。
3.相似三角形的等积变形：相似三角形具有相似的形状但尺寸不同，可以通过改变相似三角形的比例尺寸来实现等积变形。
保持两个相似三角形的比例关系不变，但同时缩放整个三角形的尺寸，使面积保持不变。
三角形等积变形
三角形（1）三角形有( )条边、( )个角和( )个顶点1．垂线：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
2．画三角形高的方法口诀：三角尺，直角边，这边找到底，那边过顶点。
作垂直线段，标直角符号，四步画完。
3．你能在右图中找出几条高?标在图中。
4．标出下面各三角形的底和高。
5.我会判断对与错。
下面每个三角形的高画得对吗？6．画出每个三角形底边上的高。
1、如图1-a，将BC四等分，连AD、AE、AF，则△ABD、△ADE、△AEF和△AFC的面积有什么关系？.2、如图，三角形ABC和BCD的面积是否相等？3、如图，在梯形ABCD中，共有几个三角形？其中面积相等的三角形共有哪几对？4.1-aBA5、如图，AD 垂直于BC ，AD=12cm ，DE=3cm ，求三角形ABC 的面积是三角形EBC 面积的多少倍？6、如图，ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，平行四边形ABCD 的面积比三角形ABE 的面积多多少倍？7、如图，三角形ABC 的面积为1，其中AE=3AB,BD=2BC,三角形BDE 的面积是多少？8、把图中三角形ABC 的底边平均分成4份，D 是BC 的中点。
已知三角形EFD 的面积是1平方分米。
求三角形ABC 的面积。
ABCD9、如下各图，长方形ABCD的长均为20，宽均为12，分别求阴影部分的面积。
10、如图，平行四边形ABCD的面积是50，EF∥AD，求阴影部分的面积。
三角形的等积变形前言我们都已经知道三角形的面积计算公式：三角形的面积=底×高÷2从这个公式我们可以发现三角形的面积大小取决于三年级的底和高的乘积．所以一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数个不同的形状．成功秘诀1．如果三角形的底（高）不变，高（底）越大则面积越大，高（底）越小则面积越小；2．等底等高的三角形面积一定相等，形状不一定相等；3．如果两个三角形的底（高）相等，高（底）成倍数关系，面积也成相同的倍数关系．王牌例题【例1】难度★★★如图，BD长18厘米，DC长9厘米，（1）求三角形ABC的面积是三角形ADC面积的多少倍？（2）求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？cm，BD=2CD，求三角形ACD的面积．【练习】如图，三角形ABC面积为182【例2】难度★★★如图，在三角形ABC中，D是BC的中点，图中面积相等的三角形共有几对？【练习】如图，△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，那么与△ABE 等积的三角形一共有几个?【例3】难度★★★★如图，已知在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ，若△ADE 的面积为1平方厘米．求△ABC 的面积．【练习】如图，△ABC 面积为272cm ，E,F 分别是AC 、BC 的三等分点，求BEF S ∆．【例4】难度★★★★如图，△ABC 中，D 为BC 中点 AD 垂直于DE ，AE=4CE ，AD=8cm ，DE=5cm ． 求△ABC 面积．【练习】如图D 、E 、F 分别是BC 、AD 、BE 的三等分点，227ABC s cm ∆=，求DEF S ∆．【例5】难度★★★★如图，△ABC中，D、E、、F分别是BC、AD、BE的二、三、四等分点，△cm，求△ABC的面积．DEF面积为302【练习】如图，将△ABC的AB、BC、CA分别延长1倍到D、E、F．已知△ABC 面积为2，求△DEF的面积．课后作业1、如图，用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．cm，M是AD的中点，求△MBC的面积．2、如图，△ABC的面积为4023、如图，△ABC的面积为1个面积单位，其中AE=3AB，BD=2BC．求△BDE的面积．4、如图，将一个任意三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为1：2：3．5、如图，△ABC 中，BD=2AD ，AG=2CG ，BE=EF=FC ，218ABC S cm ∆=．求图中阴影部分面积．6、如图，在平行四边形ABCD 中，直线CF 交AB 于E 、交DA 延长线于F ．若1AdC S ∆=，求∆BEF 的面积．7、如图；长方形ABCD 中，BC=9cm ，AB=6cm ，ABE ADF AECF S S S ∆∆==平行四边形，求AEF S ∆．。
六年级奥数第3讲等积变形
六年级奥数第3讲等积变形
引言
本文档将介绍六年级奥数第3讲的等积变形。
通过本讲的研究，学生将能够更深入地理解等积变形的概念和方法，并能够应用于相
关问题的解决。
等积变形的定义
等积变形是指在保持图形面积不变的前提下，通过改变形状、
角度或尺寸等方式进行变换的过程。
在等积变形中，图形的比例关
系和形状特征保持不变。
例题解析
以下是一些关于等积变形的例题解析，以帮助学生更好地理解
和掌握相关知识。
例题1
已知一个长方形的长为12cm，宽为8cm，将其等比例缩小为
原来的一半，请计算缩小后长方形的长和宽分别是多少？
解析：由于题目要求等比例缩小为原来的一半，可以将长和宽都除以2来计算。
因此，缩小后的长方形的长为6cm，宽为4cm。
例题2
一个三角形的底边长为10cm，高为8cm。
将该三角形的底边长保持不变，将高等比例放大为原来的2倍，请计算放大后三角形的高和面积分别是多少？
解析：根据等积变形的性质，底边长不变，高放大为原来的2倍意味着面积放大为原来的2倍。
因此，放大后三角形的高为
16cm，面积为80平方厘米。
总结
通过学习本讲的等积变形概念和例题解析，我们了解到等积变形是指在保持图形面积不变的前提下进行变换的过程。
在计算等积变形时，可以利用比例关系和形状特征来解决相关问题。
希望同学们通过本讲的学习，能够更熟练地运用等积变形的方法解决各类数学问题。
三角形中的重要模型-等积模型(解析版)
三角形中的重要模型-等积模型三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。
本专题就三角形中的等积模型(蝴蝶(风筝)模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1. 等积变换基础模型1)等底等高的两个三角形面积相等；如图1，当AB ⎳CD ，则S △ACD =S △BCD ；反之，如果S △ACD =S △BCD ，则可知直线AB ⎳CD 。
图1图2图32)两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如图2，当点D 是BC 边上的动点时，则S △ABD ∶S △ADC =BD ∶DC 。
如图3，当点D 是BC 边上的动点，BE ⊥AD ，CF ⊥AD 时，则S △ABD ∶S △ADC =BE ∶CF 。
1(山东省临沂市2023-2024学年八年级月考)如图，BD 是△ABC 边AC 的中线，点E 在BC 上，BE =12EC ，△ABD 的面积是3，则△BED 的面积是()A.4B.3C.2D.1【答案】D【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，由此利用已知条件可以分别求出S △BDC 、S △BED ．【详解】解：∵BD 是△ABC 边AC 的中线，△ABD 的面积是3，∴S △BDC =S △ABD =3，∵BE =12EC ，∴S △BED =13S △DBC =1，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．2(河北省石家庄市2023-2024学年八年级月考)如图，BD 是△ABC 的边AC 上的中线，AE 是△ABD 的边BD 上的中线，BF 是△ABE 的边AE 上的中线，若△ABC 的面积是32，则阴影部分的面积是()A.9B.12C.18D.20【答案】B【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可．【详解】解：∵BD 是△ABC 的边AC 上的中线，∴S △ABD =S △BCD =12S △ABC =12×32=16，∵AE 是△ABD 的边BD 上的中线，∴S △ABE =S △ADE =12S △ABD =12×16=8，又∵BF 是△ABE 的边AE 上的中线，则CF 是△ACE 的边AE 上的中线，∴S △BEF =S △ABF =12S △ABE =12×8=4，S △CEF =S △ACF =S △ADE =S △CED =12S △ACE =8，则S 阴影=S △BEF +S △CEF =4+8=12，故选：B ．【点睛】本题考查了中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键．3(湖北十堰五校联考2023-2024学年八年级月考)如图，点G 为△ABC 的重心，D ，E ，F 分别为BC ，CA ，AB 的中点，具有性质：AG :GD =BG :GE =CG :GF =2:1．已知△AFG 的面积为2，则ΔABC 的面积为．【答案】12【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案．【详解】解：∵CG :GF =2:1，△AFG 的面积为2，∴△ACG 的面积为4，∴△ACF 的面积为2+4=6，∵点F 为AB 的中点，∴△ACF 的面积=△BCF 的面积，∴△ABC 的面积为6+6=12，故答案为：12．【点睛】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积等知识，熟练掌握高相等的两个三角形的面积之比等于底之比是解题的关键．4(浙江省杭州市2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题)如图，CD 是△ABC 的一条中线，E 为BC 边上一点且BE =2CE ，AE 、CD 相交于F ，四边形BDFE 的面积为6，则△ABC 的面积是．【答案】14.4【分析】连接BF , 设S △BDF =a ,则S △BEF =6-a ,根据CD 为AB 边上中线，可得S △ADF =S △BDF =a ,S △BDC=12S △ABC ；根据BE =2CE ，可得S △CEF =12S △BEF =126-a , S △ABE =23S △ABC .进而，S △ABC 的面积可表示为2S △BDC 和32S △ABE ,由此建立方程18-a =32a +9,解出a 的值即可得到△ABC 的面积.【详解】解：连接BF ，如图所示：设S △BDF =a ,则S △BEF =6-a ,∵CD 为AB 边上中线，∴S △ADF =S △BDF =a , S △BDC =12S △ABC.∵BE =2CE ，∴S △CEF =12S △BEF =126-a ，S △ABE =23S △ABC .∴S △ABC =2S △BDC =2a +6-a a +126-a =18-a ，S △ABC =32S △ABE =322a +6-a =32a +9，即18-a =32a +9.解得:a =3.6. ∴S △ABC =18-a =18-3.6=14.4，故答案为:14.4.【点睛】本题考查了三角形面积的计算，关键是利用同底等高的三角形面积相等、等高不同底的三角形面积比为底之比来表示出三角形面积，进而使用方程思想解决问题.5(2023春·江西萍乡·八年级统考期中)基本性质：三角形中线等分三角形的面积．如图1，AD 是△ABC 边BC 上的中线，则S △ABD =S △ACD =12S △ABC ．理由：因为AD 是△ABC 边BC 上的中线，所以BD =CD ．又因为S △ABD =12BD ×AH ，S △ACD =12CD ×AH ，所以S △ABD =S △ACD =12S △ABC ．所以三角形中线等分三角形的面积．基本应用：在如图2至图4中，△ABC 的面积为a ．(1)如图2，延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，连接DA ．若△ACD 的面积为S 1，则S 1=(用含a 的代数式表示)；(2)如图3，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，连接DE ．若△DEC 的面积为S 2，则S 2=(用含a 的代数式表示)；(3)在图3的基础上延长AB 到点F ，使BF =AB ，连接FD ，FE ，得到△DEF (如图4)．若阴影部分的面积为S 3，则S 3=(用含a 的代数式表示)；拓展应用：(4)如图5，点D 是△ABC 的边BC 上任意一点，点E ，F 分别是线段AD ，CE 的中点，且△ABC 的面积为8a ，则△BEF 的面积为(用含a 的代数式表示)，并写出理由．【答案】(1)a (2)2a (3)6a (4)2a ，见解析【分析】(1)直接根据“等底同高的三角形面积相等”即可得出答案；(2)连接AD ，运用“等底同高的三角形面积相等”得出S ΔECD =2S ΔABC ，即可得解；(3)由(2)结论即可得出S 3=S ΔECD +S ΔEFA +S ΔBFD ，从而得解；(4)点E 是线段AD 的中点，可得S △ABE =S △BDE ，S △ACE =S △DCE ．S △BCE =12S △ABC．点F 是线段CE 的中点，可得S △BEF =S △BCF =12S △BCE．从而可得答案．【详解】(1)解：如图2，∵延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，∴AC 为△ABD 的中线，∴S △ACD =S △ABC 即S 1=a ；(2)如图3，连接AD ，∵延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，∴S ΔACD =S ΔAED =12S ΔECD ，S ΔACD =S ΔABC ，∴S ΔECD =2S ΔABC =2a ，即S 2=2a ；(3)由(2)得S ΔECD =2S ΔABC =2a ，同理：SΔEFA =2S ΔABC =2a ，S ΔECD =S ΔBFD =2a ，∴S 3=S ΔECD +S ΔEFA +S ΔBFD =6a ；(4)S△BEF=2a，理由如下：理由：∵点E是线段AD的中点，∴S△ABE=S△BDE，S△ACE=S△DCE．∴S△BCE=12S△ABC．∵点F是线段CE的中点，∴S△BEF=S△BCF=12S△BCE．∴S△BEF=14S△ABC=2a．【点睛】此题考查了阅读与理解：三角形中线的性质，等底同高的三角形面积相等，灵活运用这个结论并适当添加辅助线是解答此题的关键．6(2023春·上海·九年级期中)解答下列各题(1)如图1，已知直线m∥n，点A、B在直线n上，点C、P在直线m上，当点P在直线m上移动时，总有与△ABC的面积相等．(2)解答下题．①如图2，在△ABC中，已知BC=6，且BC边上的高为5，若过C作CE∥AB，连接AE、BE，则△BAE的面积为．②如图3，A、B、E三点在同一直线上，BH⊥AC，垂足为H．若AC=4，BH=21，∠ABC=∠ACB =60°，∠G=∠GBF=60°，求△ACF的面积．(3)如图4，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S△ABC<S△ACD，过点A画一条直线平分四边形ABCD的面积(简单说明理由)．【答案】(1)△ABP(2)①15；②221(3)图见解析，理由见解析【分析】(1)根据m⎳n，可得△ABC和△ABP同底等高，即可求解；(2)①先求出SΔABC=15，再由CE∥AB，可得△ABC和△BAE是同底等高的两个三角形，即可求解；②先求出SΔABC=221，再由∠ABC=∠ACB=60°，∠G=∠GBF=60°，可得AC∥BF，从而得到SΔACF =SΔABC，即可求解；(3)过点B作BE∥AC交DC延长线于点E，连接AE，取DE的中点F，作直线AF，则直线AF即为所求，可得SΔABC=SΔAEC，从而得到S四边形ABCD=SΔACD+SΔABC=SΔACD+SΔAEC=SΔAED，即可求解．【详解】(1)解：∵m⎳n，∴△ABC和△ABP同底等高，则△ABC与△ABP的面积相等；(2)解：①∵BC=6，且BC边上的高为5，∴SΔABC=12×6×5=15，∵CE∥AB，∴△ABC和△BAE是同底等高的两个三角形，∴SΔBAE=SΔABC=15；②∵BH⊥AC，AC=4，BH=21，∴SΔABC=12×4×21=221，∵∠ABC=∠ACB=60°，∠G=∠GBF=60°，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，∠G=∠GBF=∠BFG=60°，∴∠EBG=120°，∴∠EBF=60°，∴∠EBF=∠BAC，∴AC∥BF，∴SΔACF=SΔABC=221；(3)解：如图，过点B作BE∥AC交DC延长线于点E，连接AE，取DE的中点F，作直线AF，则直线AF 即为所求，理由如下：∵BE∥AC，∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，∴SΔABC=SΔAEC，∴S四边形ABCD=SΔACD+SΔABC=SΔACD+SΔAEC=SΔAED，∴S四边形ABCF =SΔADF=12SΔAED=12S四边形ABCD，∵SΔACD>SΔABC，∴所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线．【点睛】本题主要考查了平行的性质，熟练掌握两平行线间的距离处处相等，并利用类比思想解答是解题的关键．模型2.蝴蝶(风筝)模型蝴蝶模型(定理)提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。
第三讲三角形的等面积变形
例 3，正方形 ABCD 和正方形 CEFG，且正方形 ABCD 边长为 10 厘米，则图中三角形 BDF 面积为多少平方厘米？
A
DG FHBEC分析:连接 CF.则 CF∥BD。则三角形 BCD 与三角形 BDF 就是这两条平行线之间的等积模型。 因为他们有一条公共的底边 BD，而他们的高的长度正好是这两条平行线之间的距离，两条
E
D
F
G
O
C
连接 FD、OD,则三角形 OFD 与三角形 OFE 是等积三角形，所以面积相等，所以凹四边形 CFDO 的面积等于三角形 CEF 的面积，都是 32 平方厘米，而 CDF 的面积为长方形面积的 一半模型，所以等于长方形面积的一半，即 12×8÷2=48（平方厘米），所以三角形 CDF 的 面积=48-32=16（平方厘米），所以 OG=16×2÷8=4（厘米）。 学案 4 如下图所示，已知三角形 BEC 的面积等于 20 平方厘米，E 是 AB 边上靠近 B 点的四等 分点。三角形 AED 的面积是多少平方厘米？平行四边形 DECF 的面积是多少平方厘米？
请同学们自己试一试吧。 学案 2，
F
A B
D
C
E
如上图，已知三角形 ABC 的面积为 1，延长 AB 至 D,使 BD=AB,延长 BC 至 E,使 CE=2BC, 延长 CA 至 F,使 AF=3AC,求三角形 DEF 的面积。 分析：连接 CD,AE.因为 AB:BD=1:1,所以三角形 DBC 的面积：三角形 ABC 的面积=1：1， 所以也是 1 个单位，因为 BC:CE=1:2,所以三角形 DCE 的面积为 2 个单位，同理三角形 ACE 的面积也是 2 个单位，因为 AC:AF=1:3,所以三角形 AEF 的面积为 6 个单位，因为三角形 ADC 的面积为 2 个单位，而 AC:AF=1:3,所以三角形 ADF 的面积为 6 个单位，这样 DEF 的 面积为 6+6+2+2+1+1=18 个平方单位。
三角形等积变形
例5 如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE 的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．
解法1：连结BD，在△ABD 中 ∵ BE=3AE， ∴ S△ABD=4S△ADE=4 （平方厘米）． 在△ABC中，∵CD=2AD， ∴ S△ABC=3S△ABD=3×4=12 （平方厘米）．
上述结论，是我们研究三角形等积变形的 重要依据．
方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD， 得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等 积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以 而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、 △DCE、△ADE等积．
例2 用三种不同的方法将任意一个三角形分成 三个小三角形，使它们的面积比为及 1∶3∶4．
三角形等积变形
我们已经掌握了三角形面积的计算公式： 三角形面积=底×高÷2
这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决 于三角形底和高的乘积．
①等底等高的两个三角形面积相等．
例如在右图中，若△ABD与 △AEC的底边相等 （BD=DE=EC=BC） ，它们所对的顶点同为A点， （也就是它们的高相等） 那么这两个三角形的面积 相等． 同时也可以知道△ABC 的面积是△ABD或 △AEC面积的3倍．
证明：∵△ABC与△DBC等 底等高， ∴S△ABC=S△DBC 又∵ S△AOB=S△ABC—S△BOC S△DOC=S△DBC— S△BOC ∴S△AOB=S△COD．
例4 如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形
分析 本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二 是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角 形等积变形的方法，如右图， 把顶点A移到CB的延长线上的A′处， △A′BD与△ABD面积相等，从而 △A′DC面积与原四边形ABCD面积也 相等．这样就把四边形ABCD等积地 改成了三角形△A′DC．问题是A′位 置的选择是依据三角形等积变形原 则．过A作一条和DB平行的直线与 CB的延长线交于A′点． 解：①连结BD； ②过A作BD的平行线，与CB的 延长线交于A′． ③连结A′D，则△A′CD与四边形 ABCD等积．
三角形等积变形
三角形等积变形
三角形是几何学中的一个基本形状，具有三条边和三个角。
在数学中，我们学习过三角形的性质和各种定理，但在生活中，三角形的形状也经常出现在我们的眼前。
而在艺术中，三角形等积变形是一种常见的设计元素，可以为作品增添美感和动感。
在建筑设计中，三角形等积变形常常被用来设计建筑的外观和结构。
例如，许多现代建筑采用了三角形的形状，不仅可以增加建筑的美感，还可以提高建筑的稳定性和结构强度。
这种设计不仅具有美学上的价值，还具有实用性，体现了建筑师对结构和功能的兼顾。
在艺术作品中，三角形等积变形也经常被运用。
艺术家们通过将三角形等积变形组合在一起，创造出各种美丽的图案和设计。
这些作品不仅具有装饰性，还可以传达出艺术家的情感和思想。
三角形等积变形的组合可以产生无穷无尽的可能性，让人们在欣赏作品的同时，感受到艺术家的创意和灵感。
在日常生活中，三角形的形状也随处可见。
比如，许多家具和装饰品都采用了三角形的设计，为家居空间增添动感和现代感。
此外，一些日常用品如餐具、文具等也常常采用三角形的形状，方便使用的同时也美观大方。
总的来说，三角形等积变形在各个领域都有着重要的作用。
无论是在建筑设计、艺术创作还是日常生活中，三角形的形状都能给人带
来美的享受和视觉上的愉悦。
通过运用三角形等积变形，人们可以创造出无限的可能性，展现出自己的创意和想象力。
让我们一起欣赏和探索三角形等积变形的魅力，感受美的力量和无限的可能性。
小学六年级数学第3讲：等积变形(学生版).docx
第三讲普彩变形大脑体操作业兒成情况知识械理1.等积模型2.鸟头定理3.蝶形定理4.相似模型5.共边定理（燕尾模型和风筝模型）教学重•堆点1.了解三角形的底、高与面积的关系，会通过分析以上关系解题。
2.能在解题中发现题目中所涉及的儿何模型。
趁味引入特色讲舞例1：如图，正方形加肋的边长为6, AE=1.5, CF=2・长方形加H的面积为例2：长方形ABCD的面积为36cm2, E、F、G为各边中点,H为AD边上任意一点, 问阴影部分面积是多少？A ___________ H D例3：如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70, AB = S f AD = 15,四边形EFGO 的面积为 _____________ .B F C例4：已知ABC为等边三角形，面积为400, D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143,求阴影五边形的面积.（丙是三角形HBC）例5：如图，已知CD = 5, DE = 1 , EF = \5f FG = 6,线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形ADG的面积是・例6：如图在ZSABC 中，DE 分别是A5AC 上的点，且AD:AB = 2:59 AE:4C = 4:7, s △他=16平方厘米，求△ ABC 的面积・例& 如图，平行四边形 ABCD, BE = AB, CF = 2CB , GD = 3DC , HA = 4AD 9 平行四 边形ABCD 的面积是2 ,求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比・例7：如图在△ABC 中，D 在BA 的延长线上, E 在 AC 上，且 AB:AD = 5:2,C_D E AGAE:EC = 3:2 求△ABC 的面积.例9：如图所示的四边形的面积等于多少?13例10：如图所示，\ABC中，ZABC = 90°, AB = 3, 正方形ACDE ,中心为O,求\OBC的面积•BC = 5,以AC为一边向SABC外作当童练习1•如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米, 宽为几厘米？长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的12E2•在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P,将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接，求阴影部分面积.3.如图，长方形ABCD的面积是36, E是AD的三等分点，AE = 2ED ,则阴影部分的面积4.如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1,那么三角形ABC的面积是多少？5.如图，三角形力化被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD = DC = 4, BE = 3, 4E = 6,乙部分面积是甲部分面积的几倍？B6.如图，以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形ABE, ZAEB = 90°, AC. BD 交于0・已知AE > BE的长分别为3cm、5cm ,求三角形OBE的面积.C BD A7.如下图，六边形ABCDEF中，AB = ED , AF = CD, BC = EF ,且有AB平行于ED , AF 平行于CD, BC平行于EF,对角线FD垂直于BD,已知FD = 24厘米，BD = 1S厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？&如图，三角形ABC的面积是1, E是AC的中点，点D在BC上,且BD:DC = 1:2, AD 与BE交于点F・则四边形DFEC的面积等于________________ ・9 .如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC = 2DE , F是DG的中点.阴影部分的面积是多少平方厘米？10.四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O（如图所示）•如果三角形ABD的面积等于三角形心的面积时且A。
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感谢各位朋友，对我们四年级几位老师所作的前两讲知识总结的认可和支持，接下来为大家总结第三讲《三角形等积变形》的复习指导，同时提供检测小卷。
三角形等积变形是今后五、六年级平面图学习的基础，对于我们后面几何面积的学习尤为重要。
第三讲《三角形等积变形》复习指导
三角形等积变形这一讲学生应该掌握以下几个知识点：
（1）三角形的面积公式：三角形的面积公式=底×高÷2；
提示：让孩子多加练习，尤其是钝角三角形底与高的对应关系。
（2）同底等高的两个三角形面积相等。
提示：由面积公式让孩子理解这句话，通过等分三角形让孩子体验这句话。
（3）两个三角形高相等时，面积的倍数=底的倍数
（4）两个三角形底一样时，面积的倍数=高的倍数
提示：这两句话是六年级学习比例后正比例关系的两种情况
孩子要能灵活运用上面几个知识点解决数学问题，（以提高班讲义为例）例4、例5和练习4是知道总面积求部分面积的题目；例6、例7和练习5是知道部分面积求总面积的题目，例7和练习5还需要添加辅助线找到题目中各部分面积的关系，而且这两个题都有两种不同的连接辅助线的方法。
例3和经典精讲则为等分三角形的练习，建议先让孩子两等分三角形，有三种分法，再三等分三角形时可以把他转化为两等分三角形的情况来考虑，四等分三角形、六等分三角形都可以借助两等分三角形、三等分三角形的方法，帮助孩子拓展等分三角形的不同分法。
提示：四等分三角形一定要让孩子掌握取三边中点的分法，这样分出的四
个三角形不光面积相等而且形状也相同，它们是完全一样的三角形。
这在以后等分图形当中经常遇到。
例8、例9两题包含内容较丰富，是平面图形的重要知识点。