2019年高二数学苏教版选修2-2学业分层测评：第二章 推理与证明 13

学业分层测评(十三)
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1．“所有金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电”这种推理方法属于________．
【答案】　演绎推理
2．“若∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°”若将其恢复成完整的三段论后，大前提是________________.
【导学号：01580037】
【答案】　两直线平行，同旁内角互补
3．已知函数f (x )＝a －，若f (x )为奇函数，则a ＝______________.
1
2x ＋1【解析】　∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0，即f (0)＝a －＝0，∴a ＝1
20＋1.
12【答案】　1
2
4．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：
甲说：“我们四人都没考好．”乙说：“我们四人中有人考得好．”丙说：“乙和丁至少有一人没考好．”丁说：“我没考好．”
结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的________两人说对了．
【解析】　甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如
果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确，故答案为乙，丙．
【答案】　乙，丙
5．若不等式ax2＋2ax＋2<0的解集为空集，则实数a的取值范围为
________．
【解析】　①a＝0时，有2<0，显然此不等式解集为∅.②a≠0时需有Error!⇒Error!⇒Error!
所以0<a≤2.
综上可知实数a的取值范围是0,2]．
【答案】　0,2]
6．(2016·聊城高二检测)已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N*(m，n∈N*)，且对任意m，n∈N*都有：
①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，②f(m＋1,1)＝2f(m,1)．
给出以下三个结论：
(1)f(1,5)＝9.(2)f(5,1)＝16.(3)f(5,6)＝26
其中正确结论为________．
【解析】　由条件可知，
因为f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，
且f(1,1)＝1，
所以f(1,5)＝f(1,4)＋2＝f(1,3)＋4＝f(1,2)＋6
＝f(1,1)＋8＝9.
又因为f(m＋1,1)＝2f(m,1)，
所以f(5,1)＝2f(4,1)＝22f(3,1)
＝23f(2,1)＝24f(1,1)＝16，
所以f(5,6)＝f(5,1)＋10＝24f(1,1)＋10＝26.
故(1)(2)(3)均正确．【答案】　(1)(2)(3)
7．(2016·“江南十校”联考)已知两定点M (－1,0)，N (1,0)，若直线上存在点P ，使|PM |＋|PN |＝4，则该直线为“A 型直线”，给出下列直线，其中是“A 型直线”的是________(填序号)．
①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝－x ＋3；④y ＝－2x ＋3.
【解析】　由题意知点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，其方程是＋x 2
4＝1.①直线与坐标轴的交点(0,1)，(－1,0)都在椭圆内，易知直线与椭圆相交，y 2
3交点即为P ，故为“A 型直线”；同理④也为“A 型直线”；②直线显然与椭圆没
有交点(2>)，所以不是“A 型直线”；③把y ＝－x ＋3代入＋＝1并整理3x 24y 2
3得7x 2－24x ＋24＝0.Δ＝(－24)2－4×7×24<0，所以y ＝－x ＋3不是“A 型直线”．
【答案】　①④
8．“
如图2­1­14，在△ABC 中，AC >BC ，CD 是AB 边上的高，求证：∠ACD >∠BCD ”．
图2­1­14
证明：在△ABC 中，因为CD ⊥AB ，AC >BC ，①所以AD >BD ，②于是∠ACD >∠BCD .③
则在上面证明的过程中错误的是________(填序号)．
【解析】　由AD >BD ，得到∠ACD >∠BCD 的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD >BD ”，而AD 与BD 不在同一三角形中，
故③错误．
【答案】　③二、解答题
9．用三段论证明通项公式为a n ＝cq n (c ，q 为常数，且cq ≠0)的数列{a n }是等比数列．
【证明】　设a n ＋1，a n 是数列中任意相邻两项，则从第二项起，后项与前项的比是同一个常数的数列叫等比数列(大前提)，
因为＝＝q (常数)(小前提)，an ＋1
an cqn ＋1
cqn 所以{a n }是等比数列．(结论)
10．已知a >0且函数f (x )＝＋是R 上的偶函数，求a 的值．
2x
a a
2x 【解】　由于f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )对x ∈R 恒成立，即＋2－x
a ＝＋，所以＋a ·2x ＝＋，整理得
(2x
－2
－x )＝0，必有
a 2－x 2x
a a
2x 1
a ·2x 2x
a a
2x (a －
1
a )a －＝0.又因为a >0，所以a ＝1.
1
a 能力提升]
1．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 都成立，则a 的取值范围是________．
【解析】　由定义，得(x －a )(1－x －a )<1，∴x 2－x ＋a －a 2＋1>0对x ∈R 恒成立，故Δ＝1－4(a －a 2＋1)<0，
∴－<a <.1
23
2【答案】　(－12，
32)
2．若f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，且f (1)＝2，则＋＋…＋＝________.
f (2)f (1)f (4)
f (3)f (2 016)
f (2 015)【导学号：01580038】
【解析】　∵f (a ＋b )＝f (a )f (b )，a ，b ∈N *
令b ＝1，则＝f (1)＝2.f (a ＋1)
f (a )∴＝＝…＝＝2，f (2)f (1)f (4)
f (3)f (2 016)
f (2 015)∴原式＝2＋2＋…＋＝2 016.2
1 008个2【答案】
2 016
3．在平面直角坐标系中，若点P (x ，y )的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L .例如图2­1­15中△ABC 是格点三角形，对应的S ＝1，N ＝0，L ＝
4.
图2­1­15
(1)图中格点四边形DEFG 对应的S ，N ，L 分别是_______________________________________________；
(2)已知格点多边形的面积可表示为S ＝aN ＋bL ＋c ，其中a ，b ，c 为常数．若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则 S ＝________(用数值作答)．
【解析】　(1)由图可知四边形DEFG 是直角梯形，高为，下底为2，
22，所以梯形面积S ＝
＝3.由图知N ＝1，L ＝6.
2(2＋22)×
2
2
(2)取相邻四个小正方形组成一个正方形，其面积S ＝4，N ＝1，L ＝8，结合△ABC ，四边形DEFG 可列方程组：
Error!解得Error!S ＝1×71＋×18－1＝79.1
2【答案】　(1)3,1,6　(2)79
4．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *.(1)证明：数列{a n －n }是等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n ；
(3)证明：不等式S n ＋1≤4S n ，对任意n ∈N *皆成立．【解】　(1)证明：因为a n ＋1＝4a n －3n ＋1，所以a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，n ∈N *.
又a 1－1＝1，所以数列{a n －n }是首项为1，且公比为4的等比数列．(2)由(1)可知a n －n ＝4n －1，于是数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1＋n .
所以数列{a n }的前n 项和S n ＝＋.
4n －1
3n (n ＋1)2
(3)证明：对任意的n ∈N *，
S n ＋1－4S n ＝
＋
－4n ＋1－1
3
(n ＋1)(n ＋2)
2
4
＝－(3n 2＋n －4)≤0.
[
4n －13
＋
n (n ＋1)2]
1
2所以不等式S n ＋1≤4S n ，对任意n ∈N *皆成立.。