2015-2016年山东省烟台市栖霞市高三(上)期末数学试卷(理科)及参考答案
2015年高考山东理科数学试题及答案解析
2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． （1）【2015年山东，理1】已知集合2{|430}x x x -+<,{|24}B x x =<<，则A B =（ ）（A ）()1,3 （B ）()1,4 （C ）()2,3 （D ）()2,4 【答案】C【解析】2{|430}{|13}A x x x x x =-+<=<<，(2,3)A B =，故选C ．（2）【2015年山东，理2】若复数z 满足i 1iz=-，其中i 是虚数单位,则z =（ ） （A)1i - (B ）1i + （C ）1i -- (D)1i -+ 【答案】A【解析】2(1i)i i i 1i z =-=-+=+，1i z =-,故选A ．（3）【2015年山东，理3】要得到函数sin(4)3y x π=-的图象，只需将函数sin 4y x =的图像（ ）（A)向左平移12π个单位（B ）向右平移12π个单位(C ）向左平移3π个单位（D)向右平移3π个单位 【答案】B【解析】sin 4()12y x π=-，只需将函数sin 4y x =的图像向右平移12π个单位,故选B ．(4)【2015年山东,理4】已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=,则BD CD ⋅=（ ）（A ）232a - (B ）234a - （C)234a （D ）232a【答案】D【解析】由菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=可知18060120BAD ∠=-=，2223()()cos1202BD CD AD AB AB AB AD AB a a a a ⋅=-⋅-=-⋅+=-⋅+=，故选D ．（5）【2015年山东,理5】不等式|1||5|2x x ---<的解集是（ ）（A ）(,4)-∞ (B)(,1)-∞ （C ）(1,4) （D ）(1,5)【答案】A【解析】当1x <时，1(5)42x x ---=-<成立；当15x ≤<时，1(5)262x x x ---=-<，解得4x <，则14x ≤<；当5x ≥时,1(5)42x x ---=<不成立．综上4x <，故选A ． （6）【2015年山东,理6】已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ax y =+的最大值为4,则a =（ ）（A)3 （B)2 （C ）—2 （D ）-3 【答案】B 【解析】由z ax y =+得y ax z =-+，借助图形可知：当1a -≥,即1a ≤-时在0x y ==时有最大值0，不符合题意；当01a ≤-<,即10a -<≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==,不满足10a -<≤;当10a -<-≤，即01a <≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==,不满足01a <≤；当1a -<-，即1a >时在2,0x y ==时有最大值24,2a a ==，满足1a >,故选B ． （7）【2015年山东，理7】在梯形ABCD 中，2ABC π∠=,//AD BC ,222BC AD AB ===．将梯形ABCD绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）（A ）23π （B)43π （C)53π (D ）2π 【答案】C【解析】2215121133V πππ=⋅⋅-⋅⋅=，故选C ．(8)【2015年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2(0,3)N ，从中随机取一件,其长度误差落在区间()3,6内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，(22)95.44%P μσξμσ-<<+=)（A)4.56% （B ）13.59% （C ）27.18% （D)31.74% 【答案】D【解析】1(36)(95.44%68.26%)13.59%2P ξ<<=-=，故选D ．(9）【2015年山东，理9】一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射与圆22(3)(2)1x y ++-=相切,则反射光线所在的直线的斜率为（ ）（A ）53-或35- （B ）32-或23- （C ）54-或45- （D ）43-或34-【答案】D【解析】(2,3)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3)-，设反射光线所在直线为3(2),y k x +=-即230kx y k ---=,则22|3223|1,|55|11k k d k k k ----==+=++,解得43k =-或34-,故选D ． （10）【2015年山东，理10】设函数31,1,()2,1.x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()(())2f a f f a =的取值范围是（ ）（A ）2[,1]3 （B)[0,1] （C ）2[,)3+∞ （D ）[1,)+∞【答案】C【解析】由()(())2f a f f a =可知()1f a ≥，则121a a ≥⎧⎨≥⎩或1311a a <⎧⎨-≥⎩，解得23a ≥，故选C ．第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分（11）【2015年山东，理11】观察下列各式：010113301225550123377774;4;4;4;C C C C C C C C C C =+=++=+++=照此规律，当*n ∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++= ．【答案】14n -【解析】0121012121212121212121211(2222)2n n n n n n n n n n C C C C C C C C ----------++++=++++ 021122223121212121212121210121212112121212121211[()()()()]211()2422n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C C C C ----------------------=++++++++=+++++++=⋅= (12）【2015年山东，理12】若“[0,],tan 4x x m π∀∈≤"是真命题，则实数m 的最小值为 ．【答案】1【解析】“[0,],tan 4x x m π∀∈≤”是真命题，则tan 14m π≥=,于是实数m 的最小值为1．（13）【2015年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的T 的值为 ．【答案】116【解析】11200111111236T xdx x dx =++=++=⎰⎰．（14）【2015年山东,理14】已知函数()x f x a b =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[1,0]-,则a b += ．【答案】32-【解析】当1a >时1010a b a b -⎧+=-⎨+=⎩，无解；当01a <<时1001a b a b -⎧+=⎨+=-⎩，解得12,2b a =-=，则13222a b +=-=-．（15)【2015年山东,理15】平面直角坐标系xOy 中，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点,则1C 的离心率为 ． 【答案】32【解析】22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线为by x a =±，则22222222(,),(,)pb pb pb pb A B a a a a-22:2(0)C x py p =>的焦点(0,)2pF ，则22222AFpb pa a k pb b a-==,即2254b a =，2222294c a b a a +==，32c e a ==． 三、解答题:本大题共6题，共75分．（16）【2015年山东，理16】（本小题满分12分）设2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()0,12Af a ==,求ABC ∆面积．解：（Ⅰ）由111111()sin 2[1cos(2)]sin 2sin 2sin 22222222f x x x x x x π=-++=-+=-,由222,22k x k k Z ππππ-≤≤+∈得,44k x k k Z ππππ-≤≤+∈,则()f x 的递增区间为[,],44k k k Z ππππ-+∈；由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈,则()f x 的递增区间为3[,],44k k k Z ππππ++∈．(Ⅱ）在锐角ABC ∆中，11()sin 0,sin 222A f A A =-==，6A π=，而1a =，由余弦定理可得2212cos 23(23)6b c bc bc bc bc π=+-≥-=-,当且仅当b c =时等号成立,即12323bc ≤=+-,11123sin sin 22644ABC S bc A bc bc π∆+===≤故ABC ∆面积的最大值为234+． （17）【2015年山东，理17】（本小题满分12分)如图,在三棱台DEF ABC -中，2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点． （Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ;(Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ，,,45AB BC CF DE BAC ⊥=∠=,求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角)的大小．解：（Ⅰ）证明：连接DG ,DC ，设DC 与GF 交于点T ，在三棱台DEF ABC -中,2AB DE =，则2AC DF =， 而G 是AC 的中点,DF AC ，则//DF GC ，所以四边形DGCF 是平行四边形，T 是DC 的中点，DG FC ． 又在BDC ∆，是BC 的中点，则TH DB ，又BD ⊄平面FGH ,TH ⊂平面FGH ，故//BD 平面FGH ．（Ⅱ）由CF ⊥平面ABC ，可得DG ⊥平面ABC 而，AB BC ⊥，45BAC ∠=，则GB AC ⊥，于是,,GB GA GC 两两垂直,以点G 为坐标原点，,,GA GB GC 所在的直线，分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,设2AB =,则1,22,2DE CF AC AG ====,22(0,2,0),(2,0,0),(2,0,1),(,,0)22B C F H ---, 则平面ACFD 的一个法向量为1(0,1,0)n =，设平面FGH 的法向量为 2222(,,)n x y z =，则2200n GH n GF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22222202220x y x z ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩， 取21x =，则221,2y z ==,2(1,1,2)n =，1211cos ,2112n n <>==++，故平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小为60．（18）【2015年山东，理18】（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知233nn S =+．(Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．解：（Ⅰ）由233n n S =+可得111(33)32a S ==+=，11111(33)(33)3(2)22n n n n n n a S S n ---=-=+-+=≥，而11133a -=≠，则13,13,1n n n a n -=⎧=⎨>⎩．（Ⅱ)由3log n n n a b a =及13,13,1n n n a n -=⎧=⎨>⎩,可得3111log 3113n n n n n a b n a n -⎧=⎪⎪==⎨-⎪>⎪⎩ 2311123133333n n n T --=+++++,2234111123213333333n n n n n T ---=++++++，22312231211111111111111()3333333333333331121213113213319392233182313n n n n n n n n n nn n T n n n ----=+-++++-=-+++++----+=+-=+--=-⋅⋅- 113211243n n n T -+=-⋅ （19）【2015年山东，理19】（本小题满分12分）若n 是一个三位正整数,且n 的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次,得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除，但不能被10整除，得—1分;若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(Ⅱ）若甲参加活动,求甲得分X 的分布列和数学期望EX ．解：（Ⅰ）125,135，145，235，245,345；（Ⅱ)X 的所有取值为-1,0，1．32112844443339992111(0),(1),(1)31442C C C C C P X P X P X C C C ⋅+====-=====0(1)13144221EX =⨯+⨯-+⨯=．（20）【2015年山东，理20】（本小题满分13分)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离,左、右焦点分别是12,F F ，以1F 为圆心,以3为半径的圆与以2F 为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C 上． （Ⅰ）求椭圆C 的方程;(Ⅱ）设椭圆2222:144x y E a b+=，P 为椭圆C 上的任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,AB 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．（i ）求||||OQ OP 的值；(ii）求ABQ ∆面积最大值．解：（Ⅰ）由椭圆2222:1(0)x y Ca b a b+=>>可知c e a ==,而222a b c =+则2,a b c ==， 左、右焦点分别是12(,0),,0)FF ，圆1F ：22()9,x y +=圆2F ：22()1,x y +=由两圆相交可得24<<，即12<，交点在椭圆C 上,则224134b b +=⋅，整理得424510b b -+=,解得21b =，214b =(舍去）， 故21b =，24a =,椭圆C 的方程为2214x y +=．（Ⅱ）(i ）椭圆E 的方程为221164x y +=，设点00(,)P x y ，满足220014x y +=，射线000:(0)y PO y x xx x =<， 代入221164x y +=可得点00(2,2)Q x y --，于是||2||OQ OP ==． （ii ）点00(2,2)Q x y --到直线AB 距离等于原点O 到直线AB 距离的3倍：d ==221164y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得224()16x kx m ++=,整理得222(14)84160k x kmx m +++-=．2222226416(41)(4)16(164)0k m k m k m ∆=-+-=+->,||AB = 211||||32214m S AB d k ∆==⋅⋅⋅=+ 22221646122(41)m k m k ++-≤⋅=+,当且仅当22||82m m k ==+等号成立．而直线y kx m =+与椭圆22:14x C y +=有交点P ，则2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩有解, 即222224()4,(14)8440x kx m k x kmx m ++=+++-=有解，其判别式22222216416(14)(1)16(14)0k m k m k m ∆=-+-=+-≥，即2214k m +≥， 则上述2282m k =+不成立，等号不成立，设(0,1]t =，则S ∆==(0,1]为增函数，于是当2214k m +=时max S ∆==ABQ ∆面积最大值为12．（21）【2015年山东，理21】(本题满分14分）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-,其中a R ∈．（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）2()ln(1)()f x x a x x =++-，定义域为(1,)-+∞，21(21)(1)121()(21)111a x x ax ax af x a x x x x -++++-'=+-==+++，设2()21g x ax ax a =++-， 当0a =时，1()1,()01g x f x x '==>+,函数()f x 在(1,)-+∞为增函数,无极值点．当0a >时，228(1)98a a a a a ∆=--=-,若809a <≤时0∆≤，()0,()0g x f x '≥≥,函数()f x 在(1,)-+∞为增函数,无极值点．若89a >时0∆>，设()0g x =的两个不相等的实数根12,x x ，且12x x <,且1212x x +=-，而(1)10g -=>,则12114x x -<<-<,所以当1(1,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈->>单调递增；当12(,),()0,()0,()x x x g x f x f x '∈<<单调递减；当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞>>单调递增． 因此此时函数()f x 有两个极值点；当0a <时0∆>，但(1)10g -=>,121x x <-<，所以当2(1,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈->>单调递増；当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞<<单调递减,所以函数只有一个极值点．综上可知当809a ≤≤时()f x 的无极值点；当0a <时()f x 有一个极值点;当89a >时,()f x 的有两个极值点．（Ⅱ)由(Ⅰ）可知当809a ≤≤时()f x 在(0,)+∞单调递增，而(0)0f =，则当(0,)x ∈+∞时，()0f x >,符合题意； 当819a <≤时，2(0)0,0g x ≥≤，()f x 在(0,)+∞单调递增，而(0)0f =, 则当(0,)x ∈+∞时,()0f x >，符合题意;当1a >时,2(0)0,0g x <>,所以函数()f x 在2(0,)x 单调递减，而(0)0f =,则当2(0,)x x ∈时，()0f x <,不符合题意；当0a <时，设()ln(1)h x x x =-+，当(0,)x ∈+∞时1()1011x h x x x'=-=>++， ()h x 在(0,)+∞单调递增，因此当(0,)x ∈+∞时()(0)0,ln(1)0h x h x >=+<，于是22()()(1)f x x a x x ax a x <+-=+-，当11x a>-时2(1)0ax a x +-<，此时()0f x <，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是01a ≤≤．另解：（Ⅰ)2()ln(1)()f x x a x x =++-,定义域为(1,)-+∞21(21)(1)121()(21)111a x x ax ax af x a x x x x -++++-'=+-==+++, 当0a =时,1()01f x x '=>+，函数()f x 在(1,)-+∞为增函数，无极值点．设222()21,(1)1,8(1)98g x ax ax a g a a a a a =++--=∆=--=-,当0a ≠时，根据二次函数的图像和性质可知()0g x =的根的个数就是函数()f x 极值点的个数．若(98)0a a ∆=-≤，即809a <≤时，()0g x ≥,()0f x '≥函数在(1,)-+∞为增函数，无极值点．若(98)0a a ∆=->，即89a >或0a <，而当0a <时(1)0g -≥此时方程()0g x =在(1,)-+∞只有一个实数根,此时函数()f x 只有一个极值点;当89a >时方程()0g x =在(1,)-+∞都有两个不相等的实数根,此时函数()f x 有两个极值点；综上可知当809a ≤≤时()f x 的极值点个数为0；当0a <时()f x 的极值点个数为1;当89a >时，()f x 的极值点个数为2．（Ⅱ）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-,0x ∀>,都有()0f x ≥成立，即2ln(1)()0x a x x ++-≥当1x =时，ln 20≥恒成立；当1x >时，20x x ->,2ln(1)0x a x x++≥-；当01x <<时，20x x -<，2ln(1)0x a x x++≤-；由0x ∀>均有ln(1)x x +<成立．故当1x >时，，2ln(1)11x x x x +<--(0,)∈+∞,则只需0a ≥； 当01x <<时,2ln(1)1(,1)1x x x x +>∈-∞---，则需10a -+≤，即1a ≤．综上可知对于0x ∀>,都有()0f x ≥成立，只需01a ≤≤即可,故所求a 的取值范围是01a ≤≤． 另解：（Ⅱ）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，(0)0f =，要使0x ∀>，都有()0f x ≥成立，只需函数函数()f x 在(0,)+∞上单调递增即可,于是只需0x ∀>，1()(21)01f x a x x '=+-≥+成立，当12x >时1(1)(21)a x x ≥-+-，令210x t -=>，2()(,0)(3)g t t t =-∈-∞+， 则0a ≥；当12x =时12()023f '=>；当102x <<，1(1)(21)a x x ≤-+-,令21(1,0)x t -=∈-，2()(3)g t t t =-+关于(1,0)t ∈-单调递增，则2()(1)11(13)g t g >-=-=--+，则1a ≤，于是01a ≤≤． 又当1a >时，2(0)0,0g x <>，所以函数()f x 在2(0,)x 单调递减，而(0)0f =， 则当2(0,)x x ∈时，()0f x <,不符合题意；当0a <时，设()ln(1)h x x x =-+,当(0,)x ∈+∞时1()1011x h x x x'=-=>++, ()h x 在(0,)+∞单调递增,因此当(0,)x ∈+∞时()(0)0,ln(1)0h x h x >=+<，于是22()()(1)f x x a x x ax a x <+-=+-，当11x a>-时2(1)0ax a x +-<，此时()0f x <，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是01a ≤≤．【评析】求解此类问题往往从三个角度求解:一是直接求解，通过对参数a的讨论来研究函数的单调性，进一步确定参数的取值范围；二是分离参数法,求相应函数的最值或取值范围以达到解决问题的目的；三是凭借函数单调性确定参数的取值范围，然后对参数取值范围以外的部分进行分析验证其不符合题意，即可确定所求．。
山东省烟台市2016届高三上学期期中数学试卷(理科) 含解析
2015—2016学年山东省烟台市高三(上)期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题；每小题5分,共50分.每小题给出四个选项,只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上.1．已知集合A=｛x|x2﹣x﹣2＜0｝，B=｛x|y=ln（1﹣|x｜）},则A∩（∁R B）=(）A．（1,2）B．[1，2）C．（﹣1，1）D．(1，2]2．已知a＞b＞0，则下列不等关系式中正确的是(）A．sina＞sinb B．log2a＜log2b C．a＜b D．（）a＜（）b3．将函数的图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是（）A．B．C．D．4．已知，均为单位向量,它们的夹角为，则｜+｜=(）A．1 B．C．D．25．下列四个命题中，为真命题的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＞d则a﹣c＞b﹣dC．若a＞｜b｜，则a2＞b2 D．若a＞b，则＜6．符合下列条件的三角形有且只有一个的是(）A．a=1，b=2，c=3 B．b=c=1，∠B=45°C．a=1,b=2，∠A=100°D．a=1,b=7．设（+）+（+）=，而是一非零向量，则下列个结论：（1）与共线；(2）+=；（3)+=；（4）｜+|＜||+||中正确的是（)A．(1）（2）B．(3）（4）C．(2）（4）D．(1)（3）8．已知点M(a，b）在由不等式组确定的平面区域内，则点N(a+b，a﹣b）所在平面区域的面积是()A．1 B．2 C．4 D．89．函数f（x)=sin2x+e ln|x｜的图象的大致形状是()A．B．C．D．10．在（1，+∞)上的函数f（x)满足：①f（2x）=cf（x）（c为正常数）;②当2≤x≤4时，f （x)=1﹣（x﹣3）2．若f（x）图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上．则c=（）A．1或B．C．1或3 D．1或2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分,共25分。
山东省烟台市2015届高三上学期期中考试 数学试题(理)试题 Word版试卷及答案
2014—2015学年度第一学段自主检测高三数学（科学）注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B 铅笔，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效。
3.答卷前将密封线内的项目填写清楚.一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.函数y =的定义域是A.[]1,2B.[)1,2C.1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦D.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦2.下列函数中在区间()1,1-上既是奇函数又是增函数的为A.1y x =+B.sin y x =C.22x x y -=+D.ln y x = 3.22log sinlog cos 1212ππ+的值为 A.2- B.1- C.12 D.1 4.已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为3π，则a b +等于 A.1D.2 5.若1210sin ,cos a xdx b xdx a b π==⎰⎰，则与的关系是 A.a b < B.a b > C.a b = D.0a b +=6.若变量,x y 满足1020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，实数z 是2x 和4y -的等差中项，则z 的最大值等于A.1B.2C.3D.47.函数()sin x x y e e x -=-⋅的图象大致是8. 已知集合{}{}(]21561,M x x x N x a x M N b =++-≤=<<⋂=-，，且则b a -=A.3-B.3C.1-D.7 9.已知P 为三角形ABC 内部任一点（不包括边界），满足()()20PB PA PB PA PC -⋅+-=uu r uu r uu r uu r uu u r ，则△ABC 必定是A.直角三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形10.已知方程()sin 0x k x=+∞在，有两个不同的解()αβαβ<，，则下面结论正确的是 A.1tan 41πααα+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭ B.1tan 41πααα-⎛⎫+= ⎪+⎝⎭ C.1tan 41πβββ+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭ D.1tan 41πβββ-⎛⎫+= ⎪+⎝⎭ 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11.函数()1,02,0x x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，则()()0f f 的值为12.已知幂函数()y f x =的图像经过点1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则()()1215gf gf += 13.不等式4x x>的解集为 14.公差不为零的等差数列{}n a 中，237110a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且7712b a b b =g ，则…13b 等于15.对于下列命题：①若关于x 的不等式2210ax ax ++>恒成立，则()0,1a ∈ ②已知函数()2log 1a x f x x-=+为奇函数，则实数a 的值为1； ③设201420142014sin ,cos ,tan 333a b c a b c πππ===<<，则；④△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，若2,5,6a b A π===，则ABC ∆有两组解；其中正确命题的序号是（请将所有正确命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知向量)()22,cos ,1,2cos m x x n x =+=，设函数(),.f x m n x R =⋅∈ （1）求()f x 的最小正周期与最大值；（2）在△ABC 中，,,a b c 分别是角A ，B ，C 的对边，若()4,1,f A b ABC ==∆的面积为a 求的值.17.（本小题满分12分）已知函数()()sin 0,04f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的振幅为2，其图象的相邻两个对称中心之间的距离为3π. （1）若260sin 3125f πααπα⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，，求； （2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位得到()y g x =的图象，若函数()11036y g x k π⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦在，上有零点，求实数k 的取值范围.18.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为112,22n n n S a a S +==+，且.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的各项均为正数，且n b 是2n n n n a a +与的等比中项，求n b 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）设函数()()f x x a x b =-+.（1）当2,3a b ==，求函数()y f x =的零点；（2）设2b =-，且对任意[]()1,1,0x f x ∈-<恒成立，求实数a 的取值范围.20.（本小题满分13分）某种树苗栽种时高度为A （A 为常数）米，栽种n 年后的高度记为()f n .经研究发现()f n 近似地满足()2392n A f n t a bt-==+，其中，,a b 为常数，(),0.n N f A ∈=已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍.（1）栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍；（2）该树木在栽种后哪一年的增长高度最大.21.（本小题满分14分）已知函数()()21,x axf x e xg x x e =--=. （1）求()f x 的最小值；（2）求()g x 的单调区间；（3）当1a =时，对于在()0,1中的任一个常数m ，是否存在正数0x 使得()()002m f x g x >成立？如果存在，求出符合条件的一个0x ；否则说明理由.。
山东省烟台市高三数学上学期期末自主练习试题 理
2015—2016学年度高三期末自主练习数学试题(理)注意事项：1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．2．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B 铅笔．要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效． 3．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．1.若集合{}{}31,,4,1,0,2,5A x x n n N B ==-∈=--，则集合A B ⋂= A. {}2,5B. {}4,1,2,5--C. {}1,2,5-D. {}1,0,2,5-2.若0a b >>，则下列不等式正确的是 A. sin sin a b > B. 22log log a b <C. 1122a b <D. 1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.已知()0,απ∈，若1tan sin 243παα⎛⎫-== ⎪⎝⎭，则 A. 45-B.45C. 54-D.544.已知函数()()1221,1log 3,1x x f x x x -⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，若()()11f a f a =-=，则A.2B. 2-C.1D. 1-5.已知函数()2xf x x e =，当[]1,1x ∈-时，不等式()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为 A. 1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. [),e +∞D. (),e +∞6.已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++=uuu r uuu r uuu r ，若AB AC AM λ+=uu u r uuu r uuu r成立，则实数λ的值为 A.2B.3C.4D.57.若中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为2y x =±，则该双曲线的离心率为 A.63或B.63或 C. 3D.38.已知变量,x y 满足线性约束条件32020,10x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩则目标函数12z x y =-的最小值为A. 54-B.0C. 2-D.1349.已知函数()cos f x x x =，有下列4个结论： ①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②存在常数0T >，对任意的实数x ，恒有()()f x T f x +=成立； ③对于任意给定的正数M ，都存在实数0x ，使得()0f x M ≥；④函数()f x 的图象上存在无数个点，使得该函数在这些点处的切线与x 轴平行. 其中，所有正确结论的序号为A.①③B.①④C.②④D.③④10.设函数的定义域为D ，若()f x 满足条件：存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域是,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则称()f x 为“倍缩函数”.若函数()()2log 2xf x t =+为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是 A. 1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把正确答案填在答题卡的相应位置.11.函数()()ln 21f x x =--的定义域为 12.定积分113x dx -⎰的值为13.一个几何体的三视图如右图所示，若其正视图、侧视图都是面积为32，且一个角为60°的菱形，俯视图为正方形，则该几何体的体积为14.已知抛物线28y x =的焦点为F ，P 是抛物线的准线上的一点，Q 是直线PF 与抛物线的一个交点，若2PQ QF =u u u r u u u r，则直线PF 的方程为15.已知点()0,1A ，直线:l y kx m =+与圆22:1O x y +=交于B,C 两点，ABC ∆和OBC ∆的面积分别为12,S S ，若1260,2BAC S S ∠==o 且，则实数k 的值为三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数()()22cos cos 3f x x x x R π⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭. （I ）求()f x 最小正周期和单调递增区间； （II ）求()f x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.17. （本小题满分12分） “城市呼唤绿化”，发展园林绿化事业是促进国家经济发展和城市建设事业的重要组成部分，某城市响应城市绿化的号召，计划建一如图所示的三角形ABC 形状的主题公园，其中一边利用现成的围墙BC ，长度为1003米，另外两边AB,AC 使用某种新型材料围成，已知120,,BAC ab x AC y ∠===o（,x y 单位均为米）. （1）求,x y 满足的关系式（指出,x y 的取值范围）； （2）在保证围成的是三角形公园的情况下，如何设计能使所用的新型材料总长度最短？最短长度是多少？18. （本小题满分12分）如图，几何体EF ABCD -中，CDEF 为边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，//,,2,4,90AB CD AD DC AD AB ADF ⊥==∠=o.（1）求证：AC FB ⊥；（2）求二面角E FB C --的大小.19. （本小题满分12分）在数列{}{},n n a b 中，已知1111,2,,n n n a b a b a +==-，且成等差数列，1,,n n n b a b +-也成等差数列.（1）求证：{}n n a b +是等比数列； （2）若()()323log21n nn n n c a a ⎡⎤=---⎣⎦，求数列{}n c 的前n 项和n T .20. （本小题满分13分）如图，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率是32，过点()1,0P 的动直线l 与椭圆相交于A,B 两点，当直线l 平行于y 轴时，直线l 被椭圆C 截得的线段长为22. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知D 为椭圆的左端点，问：是否存在直线l 使得ABD ∆的面积为1023?若不存在说明理由，若存在，求出直线l 的方程.21. （本小题满分14分）已知函数()xf x e =（e 为自然对数的底数，e=2.71828…），()(),2ag x x b a b R =+∈. （1）若()()(),12ah x f x g x b ==-，求()[]01h x 在，上的最大值()a ϕ的表达式； （2）若4a =时，方程()()[]02f x g x =在，上恰有两个相异实根，求实数b 的取值范围； （3）若15,2b a N *=-∈，求使()f x 的图象恒在()g x 图象上方的最大正整数a .。
2015年高考理科数学山东卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共42页）数学试卷 第2页（共42页）数学试卷 第3页（共42页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟. 参考公式：如果事件A ,B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合2430{|}A x x x =-+<，24{|}B x x =<<，则AB = （ ）A ．1,3（）B ．1,4（）C ．2,3（）D ．2,4（）2．若复数z 满足z1i-=i ，其中i 为虚数单位，则z=（ ）A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+3．要得到函数πsin(4)3y x =-的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ）A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位4．已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则BD CD =（ ）A ．232a -B ．234a -C ．234aD ．232a5．不等式|||52|1x x ---<的解集是 （ ）A ．(,4)-∞B ．(,1)-∞C ．(1,4)D ．(1,5)6．已知x ，y 满足约束条件0,2,0.x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）A ．3B ．2C ．2-D ．3-7．在梯形ABCD 中，π2ABC ∠=，AD ∥BC ，BC =2AD =2AB =2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）A ．2π3B ．4π3C ．5π3D ．2π8．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N (0，23)，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为 （ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则(P μσ-<ξ)68.26%μσ<+=，(2P μσ-<ξ2)95.44%μσ<+=）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%9．一条光线从点（2-，3-）射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）A ．53-或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或34-10．设函数31,1,()2, 1,x x x f x x -⎧=⎨⎩＜≥则满足()(())2f a f f a =的a 取值范围是（ ）A ．2[,1]3B ．[0,1]C ．2[,)3+∞D ．[1,)+∞第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上.11．观察下列各式：001011330122555012337777C =4C +C =4C +C +C =4C +C +C +C =4；；；；……照此规律，当n ∈*N 时，012n-12n-12n-12n-12n-1C + C + C ++ C ⋯=_______. 12．若“∀x ∈[0，4π]，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为_______. 13．执行如图所示的程序框图，输出的T 的值为_______.14．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[1,0]-，则a b +=_______.15．平面直角坐标系xOy 中，双曲线222211 0,0x C a b y a b>->=：（）的渐近线与抛物线222C x py =：0p >（）交于点O ，A ，B .若OAB △的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为_______.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________?数学试卷 第4页（共42页）数学试卷 第5页（共42页） 数学试卷 第6页（共42页）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）设2π()sin cos cos ()4f x x x x =-+.（Ⅰ）求f x （）的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC △中，角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c .若2f A（）=0，a =1，求ABC △面积的最大值.17．（本小题满分12分）如图，在三棱台DEF ABC -中，AB =2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点. （Ⅰ）求证：BD ∥平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF =DE ，∠BAC =45︒，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小.18．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233n n S =+. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .19．（本小题满分12分）若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137，359，567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1-分；若能被10整除，得1分.（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX .20．（本小题满分13分）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，左、右焦点分别是1F ，2F ，以点1F 为圆心，以3为半径的圆与以点2F 为圆心，以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222144 x y E a b +=：，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .（i ）求||||OQ OP 的值；（ii ）求ABQ △面积的最大值.21．（本小题满分14分）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a ∈R . （Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围.3 / 14数学试卷 第10页（共42页） 数学试卷 第11页（共42页）数学试卷 第12页（共42页）最大值24a =，2a =，满足1a >，答案选B ．5 / 141012121212121211++C (2C +2C +2C ++2C )2n n n n n n n -------=121)++(C +C n n --1212112121211++C +C ++C )242n n n n n n n n -------== 【提示】仔细观察已知条件，找出规律，即可得到结果．利用OAB的垂心为数学试卷第16页（共42页）数学试卷第17页（共42页）数学试卷第18页（共42页）∥平面．故BD FGH7 / 14数学试卷 第22页（共42页） 数学试卷 第23页（共42页）数学试卷 第24页（共42页）21+1+29 / 14数学试卷第28页（共42页）数学试卷第29页（共42页）数学试卷第30页（共42页）11 / 14数学试卷第34页（共42页）数学试卷第35页（共42页）数学试卷第36页（共42页）13 / 14数学试卷第40页（共42页）数学试卷第41页（共42页）数学试卷第42页（共42页）。
山东省烟台市栖霞市2015-2016年第二学期高三化学试卷(解析版)
山东省烟台市栖霞市2015-2016年第二学期高三化学试卷（解析版）一、选择题：本题共7小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．化学与人类生产、生活、社会可持续发展密切相关，下列说法不正确的是（ ）A ．在羽毛球、网球等体育项目中做球拍的碳纤维材料是一种新型无机非金属材料B ．从海水中提取溴和镁都必须通过化学反应才能实现C ．聚乙烯塑料的老化是由于发生了加成反应D ．用饱和NH 4Cl 溶液可除去铁表面的锈斑2．设N A 为阿伏加德罗常数的值．下列叙述正确的是（ ）A ．常温时56g 铁片投入足量浓硫酸中生成N A 个SO 2分子B ．12g 石墨和C 60的混合物中质子总数一定为6N A 个C ．25℃，pH=12的Na 2CO 3溶液中含有CO 32﹣的数目为0.01N AD ．氢氧燃料电池正极消耗22.4L （标准状况）气体时，电路中通过的电子数目为2N A3．X 、Y 、Z 、W 均为短周期主族元素，原子序数依次增加，且最外层电子数分别为5、6、6、7，若Y 原子的最外层电子数是内层电子数的3倍，下列说法中正确的是（ ）A ．阴离子的还原性：Z ＞YB ．最高价氧化物对应水化物的酸性W 比Z 弱C ．Z 的单质与氢气反应较Y 剧烈D ．X 、Y 形成的化合物都易溶于水5．分子式为C 9H 18O 2的有机物L ，在稀硫酸中经加热转化为相对分子质量相等的两种有机物，则L 的同分异构体共有（不考虑立体异构，且和L 属于同类）（ ）A ．3种B ．8种C ．16种D ．24种6．含乙酸钠和对氯酚（）的废水可以利用微生物电池除去，其原理如图所示，下列说法错误的是（ ）A．该装置能将化学能转化为电能B．A极为正极C．B极上发生氧化反应D．每有1 mol CH3COO﹣被氧化，就有8 mol电子通过整个电路7．水体中二价汞离子可以与多种阴离子结合成不同的存在形态．水溶液中二价汞主要存在形态与Cl﹣、OH﹣的浓度关系如图所示[注：粒子浓度很小时常用负对数表示，如pH=﹣lgc （H+），pCl=﹣lgc（Cl﹣）]，下列说法错误的是（）A．正常海水（Cl﹣的浓度大于0.1mol•L﹣1）中汞元素的主要存在形态是HgCl42﹣B．少量Hg（NO3）2溶于0.001mol•L﹣1的盐酸后，汞元素的主要存在形态是HgCl2C．将Hg（NO3）2固体直接溶于水中配制溶液D．可用废铜屑处理含Hg2+的废水，其离子方程式为Cu+Hg2+═Cu2++Hg二、非选择题：包括必考题和选考题两部分．第8题～第10题为必考题，每个试题考生都必须作答．第11题～第13题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题（3题，共43分）8．（13分）实验室中用苯甲醛制备苯甲醇和苯甲酸，已知反应原理为在锥形瓶中，加13.5g KOH、13.5mL H2O，在不断振荡下分批加入新制的苯甲醛，共加入15mL新制的苯甲醛，塞紧瓶口，用力振摇得到白色糊状物，放置24h以上．向锥形瓶中加入大约45mL水，使反应混合物中的苯甲酸盐溶解，转移至分液漏斗中，用45mL乙醚分三次萃取苯甲醇，合并乙醚萃取液．保存水溶液留用．依次用15mL 25%的亚硫酸氢钠溶液及8mL水洗涤乙醚萃取液，再加入少量无水硫酸镁静置片刻，过滤除去MgSO4固体．把乙醚萃取液倒入圆底烧瓶，加入2小片碎瓷片，先水浴蒸馏，再用酒精灯加热蒸馏，收集产品可得苯甲醇（装置如图1所示）．制取纯净苯甲酸的过程略．试完成下列问题：（1）仪器b的名称为．（2）混合苯甲醛、氢氧化钾和水应选用的锥形瓶要用胶塞塞住，其原因是．（3）若将苯甲醛一次性倒入锥形瓶，可能导致．A．反应太剧烈B．液体太多无法振荡C．反应变缓慢D．产率降低（4）分液漏斗使用前须并洗净备用．（5）制取苯甲醇时，用25%亚硫酸氢钠溶液洗涤是为了除去未反应的苯甲醛．实验中加入少量无水MgSO4的目的是．（6）在使用图2所示仪器的操作中，温度计水银球的上沿X的放置位置为（填图示“A”“B”“C”或“D”）．（7）蒸馏过程中水浴加热蒸出的主要为，然后加热收集沸点204～206℃的馏分得到苯甲醇．某同学一次实验中发现温度在178～180℃时有少量液体蒸出，则该馏分可能为．9．（15分）镁及其化合物有着广泛用途．工业上以菱镁矿（主要成分为MgCO3，含SiO2以及少量FeCO3等杂质）为原料制备纳米氧化镁的实验流程如图1：（1）滤渣1为．（2）加入H2O2氧化时，发生反应的离子方程式为．（3）在实验室煅烧滤渣2制得的金属氧化物为（填化学式），需要的仪器除酒精灯、三脚架、泥三角以外，还需要（填名称）．（4）在一定条件下CO（NH2）2可与H2O反应生成CO2和一种弱碱，该反应中反应物的质量之比为．（5）25℃时，加入CO（NH2）2至开始产生沉淀，当Mg2+全部沉淀时溶液的c（OH﹣）=（已知25℃，K sp[Mg（OH）2]=1.96×10﹣11）．（6）工业上还可用氯化镁和碳酸铵为原料，采用直接沉淀法制备纳米MgO．取少量制得的该物质溶于某种液体溶剂中（两者不反应），能说明是纳米MgO存在的简单方法是．如图2为反应温度对纳米MgO产率和粒径的影响，据图分析反应的最佳温度为．10．（15分）CO的应用和治理问题属于当今社会的热点问题．（1）氢氰酸是很弱的一种酸，在浓度均为0.1mol•L﹣1HCN和NaCN混合溶液中，各种离子浓度由大到小的顺序为．（2）为防止镍系催化剂中毒，工业上常用SO2除去原料气中少量CO，生成物为固体S和CO2．该反应的热化学方程式为．（已知：硫的燃烧热为296kJ•mol﹣1；一氧化碳的燃烧热为283kJ•mol﹣1）（3）光气（COCl2）是一种重要的化工原料，用于农药、医药、聚酯类材料的生产，工业上通过Cl2（g）+CO（g）⇌COCl2（g）制备．图1为此反应的反应速率随温度变化的曲线，图2为某次模拟实验研究过程中容器内各物质的浓度随时间变化的曲线．回答下列问题：①0～10min内，反应的平均速率v（Cl2）=．②若保持温度不变，容器体积为2L，在第8min加入体系中的三种物质各1mol，则平衡移动（填“向正反应方向”“向逆反应方向”或“不”）．③随压强的增大，该反应平衡常数变化的趋势是（填“增大”“减小”或“不变”）；还可以通过改变条件的方法达到一样的效果．④第10min时改变的反应条件是．（二）选考题[化学--选修2：化学与技术]11．（15分）二氧化钛（TiO2）又称钛白，工业上利用钛铁矿（主要成分FeTiO3，其中铁为正二价）为原料，采用硫酸法制得，其工艺流程如图所示：请回答：（1）钛铁矿加入硫酸反应可制得硫酸氧钛，其反应的化学方程式为FeTiO3+2H2SO4═TiOSO4+ + ．（2）为了提高二氧化钛的纯度，需要除去浸出液中的Fe3+，则加入的试剂A为，需过量的原因是．（3）操作1是．（4）进行操作1时需将滤液1在70～75℃，8 000Pa条件下的真空蒸发器中进行，其原因是，滤液2加水稀释使硫酸氧钛（TiOSO4）水解生成偏钛酸（TiO2•nH2O），请写出该水解反应的化学方程式．（5）研究发现，可以用石墨作阳极、钛网作阴极、熔融CaF2﹣CaO作电解质，利用如图所示装置获得金属钙，并以钙为还原剂，还原二氧化钛制备金属钛．①写出阳极所发生反应的电极反应式：．②在制备金属钛前后，CaO的总量不变，其原因是（请结合化学用语解释）．[化学--选修3：物质结构与性质]12．硼（B）及其化合物在化学中有重要的地位．请回答下列问题：（1）BCl3和NCl3中心原子的杂化方式分别为和．第一电离能介于B、N之间的第2周期元素有种．（2）硼酸（H3BO3）是一种片层状结构的白色晶体，层内的H3BO3分子间通过氢键相连（如图1）．则1mol H3BO3的晶体中有mol氢键．（3）B3N3H6可用来制造具有耐油、耐高温性能的特殊材料．写出它的一种等电子体物质的分子式．（4）金刚石的晶胞如图2．立方氮化硼的结构与金刚石相似，已知晶胞边长为361.5pm，则立方氮化硼的密度是g•cm﹣3（只要求列算式，不必计算出数值，阿伏加德罗常数用N A 表示）．[化学--选修5：有机化学基础]13．化合物M是一种具有特殊香味的物质，A能与Na2CO3溶液及溴水反应且1mol A最多可与2mol Br2反应，B的苯环上有四种化学环境的氢原子，E、F均是芳香烃，工业上以A、E为基本原料合成M的一种路线如图所示：已知以下信息：（1）F的名称是，A的结构简式为．（2）C中含氧官能团的名称为．（3）D的分子式为．（4）E→F的反应类型为．（5）D+G→M的化学方程式：．（6）C有许多同分异构体，符合下列条件的同分异构体共有种；其中核磁共振氢谱有五个峰的物质的结构简式为．①遇FeCl3溶液发生显色反应；②能发生水解反应．2016年山东省烟台市栖霞市高考化学模拟试卷（3）参考答案与试题解析一、选择题：本题共7小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．化学与人类生产、生活、社会可持续发展密切相关，下列说法不正确的是（）A．在羽毛球、网球等体育项目中做球拍的碳纤维材料是一种新型无机非金属材料B．从海水中提取溴和镁都必须通过化学反应才能实现C．聚乙烯塑料的老化是由于发生了加成反应D．用饱和NH4Cl溶液可除去铁表面的锈斑【考点】物质的组成、结构和性质的关系；化学的发展趋势．【分析】A．碳纤维是一种含碳量在95%以上的高强度的新型纤维材料；B．海水中的溴和镁均以化合态存在，提取溴和镁均需经过化学反应；C．聚乙烯已经不存在双键；D．饱和NH4Cl溶液中水解使溶液呈酸性．【解答】解：A．碳纤维是一种含碳量在95%以上的高强度的新型纤维材料，是一种新型的无机非金属材料，故A正确；B．海水中的溴和镁均以化合态存在，提取溴和镁均需经过化学反应，故B正确；C．聚乙烯已经不存在双键，不能发生加成反应，故C错误；D．饱和NH4Cl溶液中水解使溶液呈酸性，铁表面锈斑的主要成分为铁的氧化物，可与其反应而除去，故D正确．故选C．【点评】本题考查了无机非金属材料、海水的综合利用、聚乙烯的性质、盐的水解原理的应用，题目难度不大，注意基础知识的积累，侧重于考查学生的分析能力和对基础知识的应用能力．2．设N A为阿伏加德罗常数的值．下列叙述正确的是（）A．常温时56g铁片投入足量浓硫酸中生成N A个SO2分子B．12g石墨和C60的混合物中质子总数一定为6N A个C．25℃，pH=12的Na2CO3溶液中含有CO32﹣的数目为0.01N AD．氢氧燃料电池正极消耗22.4L（标准状况）气体时，电路中通过的电子数目为2N A【考点】阿伏加德罗常数．【分析】A．铁与浓硫酸常温下发生钝化；B.12g石墨和C60的混合物中含有12gC原子，12个C原子的物质的量为1mol，含有6mol 质子；C．溶液体积未知；D.1个氧气分子得到4个电子生成二价氧．【解答】解：A．铁与浓硫酸常温下发生钝化，故A错误；B.12g石墨和C60的混合物中含有12个碳原子，含有1mol碳原子，1mol碳原子含有6mol 质子，所以混合物中含有的质子总数一定为6N A个，故B正确；C．溶液体积未知，无法计算微粒个数，故C错误；D．氢氧燃料电池正极消耗22.4L（标准状况）气体时，电路中通过的电子数目为4N A，故D错误；故选：B．【点评】本题考查阿伏加德罗常数的应用和相关计算，明确标况下的气体摩尔体积的使用条件，掌握好以物质的量为中心的各化学量与阿伏加德罗常数的关系，注意铁与浓硫酸常温下发生钝化，题目难度不大．3．X、Y、Z、W均为短周期主族元素，原子序数依次增加，且最外层电子数分别为5、6、6、7，若Y原子的最外层电子数是内层电子数的3倍，下列说法中正确的是（）A．阴离子的还原性：Z＞YB．最高价氧化物对应水化物的酸性W比Z弱C．Z的单质与氢气反应较Y剧烈D．X、Y形成的化合物都易溶于水【考点】原子结构与元素周期律的关系．【分析】X、Y、Z、W均为短周期主族元素，原子序数依次增加，且最外层电子数分别为5、6、6、7；若Y原子的最外层电子数是内层电子数的3倍，最外层最多容纳8个电子，则Y 含有2个电子层，最外层含有6个电子，为O元素；Z的原子序数大于O，最外层含有6个电子，只能为S元素；W为短周期元素，原子序数大于S，为Cl元素；X最外层含有5个电子，原子序数小于O，为N元素，据此结合元素周期律知识解答．【解答】解：X、Y、Z、W均为短周期主族元素，原子序数依次增加，且最外层电子数分别为5、6、6、7；若Y原子的最外层电子数是内层电子数的3倍，最外层最多容纳8个电子，则Y含有2个电子层，最外层含有6个电子，为O元素；Z的原子序数大于O，最外层含有6个电子，只能为S元素；W为短周期元素，原子序数大于S，为Cl元素；X最外层含有5个电子，原子序数小于O，为N元素，A．Y为O、Z为S元素，硫元素的非金属性比氧元素弱，所以简单阴离子的还原性Z＞Y，故A正确；B．W的最高价氧化物对应水化物为HClO4，Z的最高价氧化物对应水化物为H2SO4，HClO4酸性比H2SO4强，故B错误；C．非金属性：O＞S，则O2与氢气反应比S剧烈，故C错误；D．X、Y可以形成不溶于水的化合物，如NO，故D错误；故选A．【点评】本题考查了原子结构与元素周期律的应用，题目难度中等，正确推断元素为解答关键，注意熟练掌握元素周期表结构、元素周期律内容，试题培养了学生的分析能力及灵活应用能力．【考点】化学实验方案的评价．【分析】A．Cu和稀硝酸反应生成NO，NO不稳定，易被氧气氧化生成二氧化氮，二氧化氮和水反应生成硝酸和NO；B．浓硫酸将木材中的H、O元素以2：1水的形式脱去而体现脱水性；C．强酸性条件下，生铁发生析氢腐蚀；D．Fe和稀盐酸反应生成无色气体氢气，氯化亚铁和双氧水发生氧化反应生成氯化铁．【解答】解：A．稀硝酸与铜反应生成的一氧化氮是无色气体，故A错误；B．木条变黑说明浓硫酸有脱水性，但不能证明有酸性，故B错误；C．醋酸溶液呈酸性，发生析氢腐蚀，故C正确；D．铁与盐酸反应生成氯化亚铁，氯化亚铁与双氧水反应生成氯化铁，催化剂为氯化铁，故D错误；故选C．【点评】本题考查化学实验方案评价，为高频考点，涉及物质性质、金属的腐蚀与防护等知识点，明确实验原理、物质性质是解本题关键，侧重考查学生分析判断能力，注意浓硫酸吸水性和脱水性区别，知道钢铁发生吸氧腐蚀和析氢腐蚀条件，题目难度不大．5．分子式为C9H18O2的有机物L，在稀硫酸中经加热转化为相对分子质量相等的两种有机物，则L的同分异构体共有（不考虑立体异构，且和L属于同类）（）A．3种B．8种C．16种D．24种【考点】有机化合物的异构现象．【分析】分子式为C9H18O2的有机物A，它能在酸性条件下水解生成B和C，B和C的相对分子质量相等，因此酸比醇少一个C原子，说明水解后得到的羧酸含有4个C原子，而得到的醇含有5个C原子，判断5个碳原子醇属于醇以及4个碳原子酸属于酸的同分异构体，从而判断有机物的同分异构体数目．【解答】解：分子式为C9H18O2的有机物A，它能在酸性条件下水解生成B和C，B和C 的相对分子质量相等，因此酸比醇少一个C原子，说明水解后得到的羧酸含有4个C原子，而得到的醇含有5个C原子，含有4个C原子的羧酸有2种同分异构体：CH3CH2CH2COOH，CH3CH（CH3）COOH；含有5个C原子的醇的有8种同分异构体：CH3CH2CH2CH2CH2OH，CH3CH2CH2CH（OH）CH3，CH3CH2CH（OH）CH2CH3；CH3CH2CH（CH3）CH2OH，CH3CH2C（OH）（CH3）CH3，CH3CH（OH）CH（CH3）CH3，CH2（OH）CH2CH（CH3）CH3；CH3C（CH3）2CH2OH，所以有机物的同分异构体数目有2×8=16，故选C．【点评】本题考查同分异构体数目的判断，清楚饱和一元醇与少一个C原子的饱和一元羧酸的相对分子质量相同以及醇氧化的条件是解题关键，同时掌握组合法的使用．6．含乙酸钠和对氯酚（）的废水可以利用微生物电池除去，其原理如图所示，下列说法错误的是（）A．该装置能将化学能转化为电能B．A极为正极C．B极上发生氧化反应D．每有1 mol CH3COO﹣被氧化，就有8 mol电子通过整个电路【考点】原电池和电解池的工作原理．【分析】原电池工作时，阳离子向正极移动，则X是正极，正极上发生得电子的还原反应：+2e﹣+H+═﹣OH+Cl﹣，Y为负极，反应：CH3COO﹣﹣8e﹣+2H2O=2CO2+7H+，以此解答该题．【解答】解：A、该装置是原电池，将化学能转化为电能，故A正确；B、原电池中氢离子的移动方向是从负极流向正极，所以A是正极、B是负极，负极上发生氧化反应，故B正确；C、B极上发生：CH3COO﹣﹣8e﹣+2H2O=2CO2+7H+，每有1 mol CH3COO﹣被氧化，就有8 mol 电子转移，但是电解质溶液不会有电子通过，是通过H+导电的，故C错误；D、A是正极，正极上发生得电子的还原反应： +2e﹣+H+═﹣OH+Cl﹣，故D正确．故选C．【点评】本题考查新型电池，为高频考点，题目难度不大，注意把握原电池的工作原理以及电极反应式的书写，根据电子转移情况作计算，解答本题的关键是根据物质的性质判断原电池的正负极．7．水体中二价汞离子可以与多种阴离子结合成不同的存在形态．水溶液中二价汞主要存在形态与Cl﹣、OH﹣的浓度关系如图所示[注：粒子浓度很小时常用负对数表示，如pH=﹣lgc （H+），pCl=﹣lgc（Cl﹣）]，下列说法错误的是（）A．正常海水（Cl﹣的浓度大于0.1mol•L﹣1）中汞元素的主要存在形态是HgCl42﹣B．少量Hg（NO3）2溶于0.001mol•L﹣1的盐酸后，汞元素的主要存在形态是HgCl2C．将Hg（NO3）2固体直接溶于水中配制溶液D．可用废铜屑处理含Hg2+的废水，其离子方程式为Cu+Hg2+═Cu2++Hg【考点】pH的简单计算．【分析】A．据二价汞主要存在形态与Cl﹣、OH﹣的浓度关系图分析，在pCl=1时二价汞的主要存在形式；B．据二价汞主要存在形态与Cl﹣、OH﹣的浓度关系图分析，在pCl=3时二价汞的主要存在形式；C．Hg（NO3）2是强酸弱碱盐，在水溶液中能够水解，加酸可以抑制其水解；D．铜比汞活泼，能够从汞的盐溶液中将汞置换出来．【解答】解：A．据二价汞主要存在形态与Cl﹣、OH﹣的浓度关系图分析，在pCl=1时二价汞的主要存在形式为：HgC142﹣、故A正确；B．据二价汞主要存在形态与Cl﹣、OH﹣的浓度关系图分析，在pCl=1时二价汞的主要存在形式为HgC12，故B正确；C．Hg（NO3）2是强酸弱碱盐，在水溶液中能够水解，水解的离子方程式为：Hg2++2H2O⇌Hg（OH）2+2H+，增大氢离子浓度，可以抑制其水解，所以配制硝酸汞溶液时，将硝酸汞溶液稀硝酸中，再加水稀释到所需浓度，故C错误；D．铜比汞活泼，能够从汞的盐溶液中将汞置换出来，反应的离子方程式为：Cu+Hg2+⇌Cu2++Hg，故D正确；故选C．【点评】本题考查了图象分析、盐类水解及水解平衡的移动、关于沉淀溶度积的计算，题目难度中等．二、非选择题：包括必考题和选考题两部分．第8题～第10题为必考题，每个试题考生都必须作答．第11题～第13题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题（3题，共43分）8．（13分）（2016•栖霞市模拟）实验室中用苯甲醛制备苯甲醇和苯甲酸，已知反应原理为在锥形瓶中，加13.5g KOH、13.5mL H2O，在不断振荡下分批加入新制的苯甲醛，共加入15mL新制的苯甲醛，塞紧瓶口，用力振摇得到白色糊状物，放置24h以上．向锥形瓶中加入大约45mL水，使反应混合物中的苯甲酸盐溶解，转移至分液漏斗中，用45mL乙醚分三次萃取苯甲醇，合并乙醚萃取液．保存水溶液留用．依次用15mL 25%的亚硫酸氢钠溶液及8mL水洗涤乙醚萃取液，再加入少量无水硫酸镁静置片刻，过滤除去MgSO4固体．把乙醚萃取液倒入圆底烧瓶，加入2小片碎瓷片，先水浴蒸馏，再用酒精灯加热蒸馏，收集产品可得苯甲醇（装置如图1所示）．制取纯净苯甲酸的过程略．试完成下列问题：（1）仪器b的名称为冷凝管．（2）混合苯甲醛、氢氧化钾和水应选用的锥形瓶要用胶塞塞住，其原因是防止苯甲醛被空气中的氧气氧化．（3）若将苯甲醛一次性倒入锥形瓶，可能导致A、D．A．反应太剧烈B．液体太多无法振荡C．反应变缓慢D．产率降低（4）分液漏斗使用前须检查是否漏水（或检漏）并洗净备用．（5）制取苯甲醇时，用25%亚硫酸氢钠溶液洗涤是为了除去未反应的苯甲醛．实验中加入少量无水MgSO4的目的是干燥乙醚萃取液．（6）在使用图2所示仪器的操作中，温度计水银球的上沿X的放置位置为B（填图示“A”“B”“C”或“D”）．（7）蒸馏过程中水浴加热蒸出的主要为乙醚，然后加热收集沸点204～206℃的馏分得到苯甲醇．某同学一次实验中发现温度在178～180℃时有少量液体蒸出，则该馏分可能为苯甲醛．【考点】制备实验方案的设计．【分析】苯甲醛与KOH反应生成白色糊状物为苯甲醇、苯甲酸钾的混合物，然后加水、乙醚萃取苯甲醇，则乙醚溶液中含苯甲醇，蒸馏、萃取得到产品甲为苯甲醇；依据蒸馏、萃取及物质的相关性质来解答．（1）蒸馏装置中的仪器名称；（2）苯甲醛容易被空气中的氧气氧化；（3）若将苯甲醛一次性倒入锥形瓶，则反应太剧烈，混合液温度升高，导致苯甲醛、苯甲醇挥发，同时副产物增多，产率降低；（4）分液漏斗使用前首先应检查是否漏液；（5）无水硫酸镁起到干燥作用；（6）蒸馏过程中，温度计的水银球上沿应与蒸馏支管下沿相平；（7）蒸馏的混合液主要是乙醚和苯甲醇，根据它们的沸点，首先水浴蒸馏蒸出的是乙醚．根据沸点在178～180℃，该馏分应为苯甲醛．【解答】解：（1）蒸馏装置中的冷凝管，故答案为：冷凝管；（2）苯甲醛容易被空气中的氧气氧化，因此锥形瓶要用胶塞塞住，故答案为：防止苯甲醛被空气中的氧气氧化；（3）若将苯甲醛一次性倒入锥形瓶，则反应太剧烈，混合液温度升高，导致苯甲醛、苯甲醇挥发，同时副产物增多，产率降低，故答案为：A、D；（4）分液漏斗使用前首先应检查是否漏液，故答案为：检查是否漏水（或检漏）；（5）无水硫酸镁起到干燥作用，故答案为：干燥乙醚萃取液；（6）蒸馏过程中，温度计的水银球上沿应与蒸馏支管下沿相平，故答案为：B；（7）蒸馏的混合液主要是乙醚和苯甲醇，根据它们的沸点，首先水浴蒸馏蒸出的是乙醚．根据沸点在178～180℃，该馏分应为苯甲醛，故答案为：乙醚，苯甲醛．【点评】本题考查制备方案的设计，为高频考点，题目难度中等，把握有机物的性质及分离流程中的反应、混合物分离方法为解答的关键，侧重分析与实验能力的考查．9．（15分）（2016•栖霞市模拟）镁及其化合物有着广泛用途．工业上以菱镁矿（主要成分为MgCO3，含SiO2以及少量FeCO3等杂质）为原料制备纳米氧化镁的实验流程如图1：（1）滤渣1为SiO2．（2）加入H2O2氧化时，发生反应的离子方程式为2Fe2++H2O2+2H+=2Fe3++2H2O．（3）在实验室煅烧滤渣2制得的金属氧化物为Fe2O3（填化学式），需要的仪器除酒精灯、三脚架、泥三角以外，还需要坩埚（填名称）．（4）在一定条件下CO（NH2）2可与H2O反应生成CO2和一种弱碱，该反应中反应物的质量之比为10：9．（5）25℃时，加入CO（NH2）2至开始产生沉淀，当Mg2+全部沉淀时溶液的c（OH﹣）= 1.4×10﹣3 mol•L﹣1（已知25℃，K sp[Mg（OH）2]=1.96×10﹣11）．（6）工业上还可用氯化镁和碳酸铵为原料，采用直接沉淀法制备纳米MgO．取少量制得的该物质溶于某种液体溶剂中（两者不反应），能说明是纳米MgO存在的简单方法是用一束光照射，在侧面会看到一条光亮的通路．如图2为反应温度对纳米MgO产率和粒径的影响，据图分析反应的最佳温度为50℃．【考点】制备实验方案的设计．【分析】菱铁矿（主要成分为MgCO3，含少量FeCO3、SiO2）加入稀硫酸酸溶，二氧化硅不反应，过滤分离，滤渣1为SiO2，过滤得到滤液中含有硫酸镁、硫酸亚铁、未反应的硫酸，滤液中加入过氧化氢，将Fe2+氧化为Fe3+，则加入一水合氨调节溶液pH，使Fe3+转化为Fe（OH）3沉淀，过滤除去，滤液中含有硫酸镁、硫酸铵等，加入CO（NH2）2始产生沉淀，加入PV A进行分散，过滤干燥得到氢氧化镁沉淀，高温煅烧制备纳米氧化镁，（1）二氧化硅不与硫酸反应；（2）酸性条件下，H2O2将Fe2+氧化为Fe3+；（3）滤渣2为氢氧化铁，氢氧化铁煅烧分解生成的氧化铁，灼烧固体需要在坩埚中进行；（4）在一定条件下CO（NH2）2可与H2O反应生成CO2和一种弱碱，根据原子守恒可知弱碱为一水合氨；（5）K sp[Mg（OH）2]=c（Mg2+）×c2（OH﹣）=1.96×10﹣11计算；（6）利用丁达尔现象可鉴别胶体，根据图，选择产率高、粒径小的温度．【解答】解：（1）二氧化硅不与硫酸反应，滤渣1为SiO2，故答案为：SiO2；。
山东省栖霞市高三上学期期末自主练习试题(9科10份,PDF版)(山东省栖霞市高三上学期期末自主练习数
2015-2016学年度高三期末理科数学参考答案及评分标准一、选择C D B B D B A C D B二、填空题11. 12. 13.14. 2020x y x y --=+-=或 15.三、解答题16. 解：(1) 由已知，有21cos 21cos 21113()cos 2cos 22122222x x f x x x x π⎛⎫++ ⎪⎛⎫+⎝⎭=+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭11cos 221cos 21423x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭. …………………5分 所以的最小正周期， …………………6分 当2223k x k ππππ-≤+≤时，单调递增， 解得：2[,]()36x k k k ππππ∈--∈Z ， 所以()f x 的单调递增区间为2[,]()36k k k ππππ--∈Z . …………………8分 (2)由（1）可知，在区间上是减函数，在区间上是增函数， 而533(),(),()346264f f f πππ-=-==， …………………11分 所以在区间上的最大值为，最小值为.………………12分17. 解：（1）在ABC ∆中，由余弦定理，得2222cos AB AC AB AC A BC +-⋅=，所以222cos12030000x y xy +-=o ,即， …………………4分又因为0,0x y >>，所以0x y <<<<………………6分（2）要使所用的新型材料总长度最短只需的最小，由（1）知，，所以， 因为2()2x y xy +≤，所以22()30000()2x y x y ++-≤，…………………9分 则，即，当且仅当时，上式不等式成立. ………………11分故当边长均为米时，所用材料长度最短为米. ……………12分18. 解：（1）,AD DC AD DF ⊥⊥Q ,,AD CDEF AD FC ∴⊥∴⊥平面.四边形为正方形，所以，而，, …………………3分，又ABCD 为直角梯形， //,,2,2AB CD AD DC AD CD ⊥==，可得，45AC CAB =∠=o，而由余弦定理可得：，则有，所以， …………………5分又，平面，平面，所以. …………………6分（2）由（1）知，所在直线两两垂直，故以为原点，以所在的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，可得, (2,4,0),(0,0,2),(0,2,0),(2,0,0B E C A ），得，设平面的一个法向量为， 则有0000EF y x y z FB ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨+-=⎩=⎪⎩n n uu u r g uu r g ， 令，可得,……9分由（1）知平面的一个法向量为，所以1cos ,2||||AC AC AC <>===-n n n uuu r uuu r g uuu r ， 因为2,[0,],,3AC AC ππ<>∈∴<>=n n uuu r uuu r ，………………………………11分 由图可得二面角的大小为. ………………………………12分19. 解：（1）由，，成等差数列可得，，①由，，成等差数列可得，， ②①②得，，所以是以3为首项、为公比的等比数列． …………………4分（2）由（1）知，， ③①②得，，所以是以为首项、为公比的等比数列即1(1)(1)(1)n n n n a b --=--=- ④③④得，， …………………8分33(23)log [2(1)](1)log [(1)3(1)](1)n n n n n n n n n n c a a n =---=--+--=-，所以231(1)2(1)3(1)(1)n n T n =⨯-+⨯-+⨯-++⨯-L ，2341(1)1(1)2(1)3(1)(1)(1)(1)n n n T n n +-=⨯-+⨯-+⨯-++-⨯-+-L ，两式相减可得：231(21)(1)12(1)(1)(1)(1)(1)2n n n n n T n ++--=-+-+-++---=L ， 所以 ………………………12分20. 解：（1）由已知，点在椭圆上.因此，22222121,,a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩ 解得. …………………4分所以椭圆的方程为. …………………5分（2）当直线与轴平行时，不存在， …………………6分所以可设直线的方程为，并设两点， 联立2241,991x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(4)280m y my ++-=， 其判别式222432(4)361280m m m ∆=++=+>， …………………8分 所以，12122228,44m y y y y m m +=-=-++，因此121||||2ABD S DP y y ∆=-===10分= 解得，负解删除，所以， …………………12分故存在直线方程为，使得. ……………13分21.解：（1）时， ()e (1)()22x a a h x x a =+-∈R ，∴，①当时，在上为增函数，则此时；②当时，在上为增函数，故在上为增函数，此时； …………………2分③当时，，在上为增函数，在上为减函数，若即时，故在上为增函数，在上为减函数， 此时222()()e (1)e 2a a a a hb a ϕ--=-=-+=-⋅， …………………5分 若即时，在上为增函数，则此时； ∴综上所述：2e ,2,()2e, 2.a a a a a ϕ-⎧-<-⎪=⎨⎪≥-⎩； …………………6分（2）()()()e 2,x F x f x g x x b =-=--∴在上单调递减；在上单调递增；…………………7分∴在上恰有两个相异实根，2(0)10(ln 2)22ln 2022ln 21(2)e 40F b F b b F b ⎧=-≥⎪⇔=--<⇔-<≤⎨⎪=--≥⎩，∴实数的取值范围是； …………………10分（3）由题设：15,()()()e 022x a x p x f x g x x ∀∈=-=-+>R ， （） ∵,故在上单调递减；在上单调递增， ∴（）min 151()(ln )ln (ln 15)02222222a a a a a p x p a a ⇔==-+=-+>， 设()ln 15(ln ln 2)152x q x x x x x x =-+=--+，则()1ln 1ln 22x x q x '=--=-， ∴在上单调递增；在上单调递减， ……………12分而22222(2e )2e 2e lne 15152e 0q =-+=->， 且215515(15)1515ln 1515(2ln )15(ln e ln )0222q =-+=-=-<， 故存在使，且时时又∵，∴时使的图象恒在图象的上方的最大正整数．…………14分。
2015年山东卷理科数学
2015年山卷卷 理科数学一、选择题：每小题5分，共50分。
1.已知集合{}243|0A x x x =-+<，{}24|B x x =<<，则A B =（ ）A ．（1，3）B ．（1，4）C ．（2，3）D ．（2，4） 2.若复数Z 满足1Zi i=-，其中i 为虚数单位，则Z=（ ） A ．1-iB ．1+iC ．-1-iD ．-1+i3.要得到函数sin(4)3y x π=-的图像，只需要将函数y =sin4x 的图像（ ） A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位 4.已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=（ ）A ．232a -B ．234a - C ．234aD ．232a 5.不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是（ ）A ．(,4)-∞B ．(,1)-∞C ．（1，4）D ．（1，5）6.已知x ，y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z =ax +y 的最大值为4，则a =（ ） A ．3 B ．2C ．-2D ．-37.在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，AD //BC ，BC =2AD=2AB =2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A ．23π B ．43π C ．53π D ．2π8.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N （0，32），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（ ）（附：若随机变量服从正态分布2(,)N μσ， 则(P μσ-<)68.26%μσ<+=，(2P μσ-<2)95.44%μσ<+=。
）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74% 9.一条光线从点（-2，-3）射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）A ．53-或35- B ．32-或23- C ．54-或45-D ．43-或34-10.设函数31,1()2,1x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则满足()(())2f a f f a =的a 取值范围是（ ）A ．2[,1]3B ．[0，1]C ．2[,)3+∞ D ．[1,)+∞二、填空题：每小题5分，共25分。
山东省烟台市栖霞大柳家中学高三数学理上学期期末试题含解析
山东省烟台市栖霞大柳家中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 要得到函数的图象,可把函数的图象（▲ ）。
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度参考答案：D略2. 下列说法正确的是（）A．命题“?x0∈R+，x02﹣x0＜0”的否定是“?x∈R﹣，x2﹣x≥0”B．命题“若a≠b，则a2≠b2”的否命题是“若a≠b，则a2=b2”C．x1＞1且x2＞1的充要条件是x1+x2＞2．D．p，q为两个命题，若p∨q为真且p∧q为假，则p，q两个命题中必有一个为真，一个为假．参考答案：D【分析】A．命题“?x0∈R+，x02﹣x0＜0”的否定是“?x∈R，x2﹣x≥0”；B，命题“若a≠b，则a2≠b2”的否命题是“若a=b，则a2=b2”；C，当x1+x2＞2时．不能得到x1＞1且x2＞1；D，根据p∨q、p∧q的真值表可以判断．【解答】解：对于A．命题“?x0∈R+，x02﹣x0＜0”的否定是“?x∈R+，x2﹣x≥0”，故错；对于B，命题“若a≠b，则a2≠b2”的否命题是“若a=b，则a2=b2”，故错；对于C，当x1+x2＞2时．不能得到x1＞1且x2＞1，故错；对于D，根据p∨q、p∧q的真值表可以判断，D正确．故选：D．【点评】本题考查了命题真假的判定，涉及到命题的否定，命题的四种形式、充要条件的基础知识，属于中档题．3. 函数的值域为A. B. C.D.参考答案：A4. 已知圆C：（x﹣）2+（y﹣1）2=1和两点A（﹣t，0），B（t，0）（t＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则t的取值范围是（）A．（0，2] B．[1，2] C．[2，3] D．[1，3]参考答案：D【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据圆心C到O（0，0）的距离为2，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为3，最小值为1，再由∠APB=90°，可得PO=AB=t，从而得到答案．【解答】解：圆C：（x﹣）2+（y﹣1）2=1的圆心C（，1），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为2，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为3，最小值为1，再由∠APB=90°，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=t，故有1≤t≤3，故选：D．5. 设全集则下图中阴影部分表示的集合为A． B．C．D．参考答案：C略6. 若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积等于（）A. B.C. D.参考答案：B【分析】先判断几何体的形状，再利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．【详解】由几何体的三视图可知，该几何体是由直三棱柱截去一个三棱锥得到的，如图：ABC-DEF, 其中底面是直角边分别为3，4的直角三角形，原三棱柱的高为5，图中AD=2，所以BC=EF=DE==5，DF==，∴的底边DF上的高为，∴，又梯形ADEB的面积为，梯形ADFC的面积为，△ABC的的面积为，矩形BCFE的面积为=25，所以此几何体的表面积S+＝．故选：B．【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．7. 已知点,若点在函数的图象上，则使得的面积为2的点的个数为( )A. 4B. 3C. 2D. 1参考答案：A8. 将函数y=2sin (2x+)的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为（A）y=2sin(2x+) （B）y=2sin(2x+) （C）y=2sin(2x–) （D）y=2sin(2x–)参考答案：D试题分析：函数y=2sin (2x+)的周期为π，将函数y=2sin (2x+)的图像向右平移个周期即个单位，所得图像对应的函数为y=2sin [2(x-)+]=2sin(2x–).9. 二项式的展开式中（）A．不含x9项B．含x4项C．含x2项D．不含x项参考答案：D【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：T r+1==（﹣1）r x12﹣3r，故x的次数分别为：12，9，6，3，0，﹣3，﹣6，因此不含x项．故选：D．10. 已知，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 (A)(B)(C)(D)参考答案：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知某程序框图如图，若分别输入的的值为，执行该程序后，输出的的值分别为，则．参考答案：6略12. 执行下面的程序框图3，若p ＝0.8，则输出的n ＝ .参考答案：413. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为．在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的方程为则与的交点个数为 ；参考答案：2 略14. 若向量(a 、(b 满足|(a |＝1，|(b |＝2，且(a 与(b 的夹角为，则|(a +2(b |＝ 参考答案：15. 已知曲线在点处的切线平行于直线，则___▲___.参考答案：16. 已知函数，若，则的取值范围为 ____．参考答案：17. 函数在处取得极小值.参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2016届山东省烟台市栖霞市高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年山东省烟台市栖霞市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|x=3n﹣1，n∈N}，B={﹣4，﹣1，0，2，5}，则集合A∩B=（）A．{2，5} B．{﹣4，﹣1，2，5} C．{﹣1，2，5} D．{﹣1，0，2，5} 2．若a＞b＞0，则下列不等式正确的是（）A．sina＞sinb B．log2a＜log2b C．a＜b D．（）a＜（）b3．已知α∈（0，π），若tan（﹣α）=，则sin2α=（）A．﹣B．C．﹣D．4．已知函数f（x）=，若f（a）=1，则f（1﹣a）=（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣15．已知函数f（x）=x2e x，当x∈[﹣1，1]时，不等式f（x）＜m恒成立，则实数m的取值范围为（）A．[，+∞）B．（，+∞）C．[e，+∞）D．（e，+∞）6．已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得成立，则m=（）A．2 B．3 C．4 D．57．若中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为y=±x，则该双曲线的离心率为（）A．或B．或3 C．D．38．已知变量x，y满足线性约束条件，则目标函数z=x﹣y的最小值为（）A．﹣B．2 C．﹣2 D．9．已知函数f（x）=xcosx，有下列4个结论：①函数f（x）的图象关于y轴对称；②存在常数T＞0，对任意的实数x，恒有f（x+T）=f（x）成立；③对于任意给定的正数M，都存在实数x0，使得|f（x0）|≥M；④函数f（x）的图象上存在无数个点，使得该函数在这些点处的切线与x轴平行；其中，所有正确结论的序号为（）A．①③ B．①④ C．②④ D．③④10．设函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，则成f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，则t的范围是（）A．（0，）B．（0，1）C．（0，]D．（，+∞]二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．函数f（x）=ln（2﹣|x﹣1|）的定义域为．12．定积分x dx的值为．13．一个几何体的三视图如图所示，若其正视图、侧视图都是面积为，且一个角为60°的菱形，俯视图为正方形，则该几何体的体积为．14．已知抛物线y2=8x的焦点为F，P是抛物线准线上一点，Q是直线PF与抛物线的一个交点，若=，则直线PF的方程为．15．已知点A（0，1），直线l：y=kx﹣m与圆O：x2+y2=1交于B，C两点，△ABC和△OBC的面积分别为S1，S2，若∠BAC=60°，且S1=2S2，则实数k 的值为．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=cos2x+cos2（x+）（x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．17．“城市呼唤绿化”，发展园林绿化事业是促进国家经济法阵和城市建设事业的重要组成部分，某城市响应城市绿化的号召，计划建一如图所示的三角形ABC形状的主题公园，其中一边利用现成的围墙BC，长度为100米，另外两边AB，AC使用某种新型材料围成，已知∠BAC=120°，AB=x，AC=y （x，y单位均为米）．（1）求x，y满足的关系式（指出x，y的取值范围）；（2）在保证围成的是三角形公园的情况下，如何设计能使所用的新型材料总长度最短？最短长度是多少？18．如图，几何体EF﹣ABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4，∠ADF=90°．（1）求证：AC⊥FB（2）求二面角E﹣FB﹣C的大小．19．在数列{a n}，{b n}中，已知a1=1，b1=2，且﹣a n，b n，a n+1成等差数列，﹣b n，a n，b n+1也成等差数列．（1）求证：{a n+b n}是等比数列；（2）若c n=（2a n﹣3n）log3[2a n﹣（﹣1）n]，求数列{c n}的前n项和T n．20．如图，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率是，过点P（1，0）的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行于y轴时，直线l被椭圆C截得的线段长为2．（1）求椭圆C的方程；（2）已知D为椭圆的左端点，问：是否存在直线l使得△ABD的面积为？若不存在，说明理由，若存在，求出直线l的方程．21．已知函数f（x）=e x（e为自然对数的底数，e=2.71828…），g（x）=x+b （a，b∈R）．（1）若h（x）=f（x）g（x），b=1﹣．求h（x）在[0，1]上的最大值φ（a）的表达式；（2）若a=4时，方程f（x）=g（x）在[0，2]上恰有两个相异实根，求实根b 的取值范围；（3）若b=﹣，a∈N*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数a．2015-2016学年山东省烟台市栖霞市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|x=3n﹣1，n∈N}，B={﹣4，﹣1，0，2，5}，则集合A∩B=（）A．{2，5} B．{﹣4，﹣1，2，5} C．{﹣1，2，5} D．{﹣1，0，2，5}【考点】交集及其运算．【分析】列举出A中的元素，确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：∵A={x|x=3n﹣1，n∈N}={﹣1，2，5，8，…}，B={﹣4，﹣1，0，2，5}，∴A∩B={﹣1，2，5}，故选：C．2．若a＞b＞0，则下列不等式正确的是（）A．sina＞sinb B．log2a＜log2b C．a＜b D．（）a＜（）b【考点】函数单调性的性质．【分析】根据不等式的性质结合函数单调性进行判断即可．【解答】解：当a=2π，b=π时，满足a＞b＞0，但sina=sinb，则sina＞sinb不成立，当a＞b＞0时，log2a＞log2b，则B不成立，当a＞b＞0时，a＞b，则C不成立，当a＞b＞0时，（）a＜（）b，则D成立，故选：D3．已知α∈（0，π），若tan（﹣α）=，则sin2α=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】两角和与差的正切函数；二倍角的正弦．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，两角差的正切公式，求得tanα的值，可得sin2α=的值．【解答】解：∵α∈（0，π），tan（﹣α）==，∴tanα=，∴sin2α====，故选：B．4．已知函数f（x）=，若f（a）=1，则f（1﹣a）=（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【考点】函数的值．【分析】利用分段函数的性质求解．【解答】解：∵函数f（x）=，f（a）=1，∴当a≥1时，f（a）=2a﹣1﹣1=1，解得a=2，f（1﹣a）=f（﹣1）=﹣log24=﹣2；当a＜1时，f（a）=﹣log2（3﹣a）=1，解得a=，不成立．∴a=﹣2．故选：B．5．已知函数f（x）=x2e x，当x∈[﹣1，1]时，不等式f（x）＜m恒成立，则实数m的取值范围为（）A．[，+∞）B．（，+∞）C．[e，+∞）D．（e，+∞）【考点】函数恒成立问题．【分析】先求出函数的导数，通过解关于导函数的不等式，先求出f（x）在[﹣1，1]上的单调性，从而求出函数的最大值和最小值．【解答】解：（1）f′（x）=x（x+2）e x，令f′（x）＞0，解得：x＜﹣2或x＞0，令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜0，∵x∈[﹣1，1]，∴当﹣1≤x≤0时，函数f（x）为减函数，当0≤x≤1时，函数f（x）为增函数，则当x=0时，函数取得极小值f（0）=0，∵f（1）=e，f（﹣1）=，∴函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值为e，∵当x∈[﹣1，1]时，不等式f（x）＜m恒成立，∴m＞e，故选：D．6．已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得成立，则m=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】解题时应注意到，则M为△ABC的重心．【解答】解：由知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC 的中点，则==，所以有，故m=3，故选：B．7．若中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为y=±x，则该双曲线的离心率为（）A．或B．或3 C．D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】讨论双曲线的焦点在x或y轴上，求得渐近线方程，可得b=a或a=b，由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：当双曲线的焦点在x轴上，由双曲线的方程﹣=1（a，b＞0），可得渐近线方程为y=±x，即有b=a，c==a，则e==；当双曲线的焦点在y轴上，由双曲线的方程﹣=1（a，b＞0），可得渐近线方程为y=±x，即有b=a，c==a，则e==．综上可得e=或．故选：A．8．已知变量x，y满足线性约束条件，则目标函数z=x﹣y的最小值为（）A．﹣B．2 C．﹣2 D．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，由目标函数z=x﹣y变形为y=x﹣z，通过图象读出即可．【解答】解：画出满足线性约束条件的平面区域，如图示：，由目标函数z=x﹣y得：y=x﹣z，显然直线过（0，2）时，z最小，z的最小值是：﹣2，故选：C．9．已知函数f（x）=xcosx，有下列4个结论：①函数f（x）的图象关于y轴对称；②存在常数T＞0，对任意的实数x，恒有f（x+T）=f（x）成立；③对于任意给定的正数M，都存在实数x0，使得|f（x0）|≥M；④函数f（x）的图象上存在无数个点，使得该函数在这些点处的切线与x轴平行；其中，所有正确结论的序号为（）A．①③ B．①④ C．②④ D．③④【考点】函数的图象．【分析】分析：①研究函数的奇偶性，可用偶函数的定义来证明之；②研究的是函数的周期性，采用举对立面的形式说明其不成立；③找出一个常数M，都存在实数x0，使得|f（x0）|≥M成立即可；④根据切线的几何意义，先求导，在找到特殊点，问题得以解决．【解答】解：对于①，∵f（﹣x）=﹣xcos（﹣x）=﹣xcosx=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，∴f（x）的图象关于原点对称，故①错；对于②∵当x=2kπ时，f（x）=x，随着x的增大函数值也在增大，所以不会是周期函数，故②错；对于③取M=1，当x0=π时，|f（2π）|=2π≥1；故③正确；对于④∵f′（x）=cosx﹣xsinx，令f′（x）=cosx﹣xsinx=0，即xtanx=1，此时方程由无数个解，∴使k=0的解有无数个，故函数f（x）的图象上存在无数个点，使得该函数在这些点处的切线与x轴平行，故④正确．故选：D．10．设函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，则成f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，则t的范围是（）A．（0，）B．（0，1）C．（0，]D．（，+∞]【考点】函数的值域．【分析】由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程组的解都大于0，求出t的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=为“倍缩函数”，且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，∴f（x）在[a，b]上是增函数；∴，即，∴方程+t=0有两个不等的实根，且两根都大于0；∴，解得：0＜t＜，∴满足条件t的范围是（0，），故答案选：A．二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．函数f（x）=ln（2﹣|x﹣1|）的定义域为（﹣1，3）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】对数函数的真数大于0，列出不等式2﹣|x﹣1|＞0，求出解集即可．【解答】解：∵函数f（x）=ln（2﹣|x﹣1|），∴2﹣|x﹣1|＞0|x﹣1|＜2﹣2＜x﹣1＜21＜x＜3∴f（x）的定义域为（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．12．定积分x dx的值为．【考点】定积分．【分析】利用定积分的计算公式解答．【解答】解：x dx==；故答案为：．13．一个几何体的三视图如图所示，若其正视图、侧视图都是面积为，且一个角为60°的菱形，俯视图为正方形，则该几何体的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为两个大小相同的四棱锥的组合体．根据正视图的面积求出棱锥的底面边长和高，代入体积公式计算即可．【解答】解：几何体为两个大小相同的四棱锥的组合体．∵正视图、侧视图都是面积为，且一个角为60°的菱形，∴棱锥的底面边长为1，棱锥的高为．∴V==．故答案为14．已知抛物线y2=8x的焦点为F，P是抛物线准线上一点，Q是直线PF与抛物线的一个交点，若=，则直线PF的方程为x+y﹣2=0或x﹣y﹣2=0．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义，结合=，求出直线的斜率，即可求出直线PF的方程．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），设Q到准线l的距离为d，则|QF|=d∵=，∴||=||=d，∴直线的倾斜角为45°或135°，∴直线的斜率为±1，∴直线的方程为x+y﹣2=0或x﹣y﹣2=0．故答案为：x+y﹣2=0或x﹣y﹣2=0．15．已知点A（0，1），直线l：y=kx﹣m与圆O：x2+y2=1交于B，C两点，△ABC和△OBC的面积分别为S1，S2，若∠BAC=60°，且S1=2S2，则实数k的值为±．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心、点A到直线的距离分别为d，d′，利用∠BAC=60°，且S1=2S2，建立方程，即得所求．【解答】解：设圆心O、点A到直线的距离分别为d，d′，则d=，d′=，根据∠BAC=60°，可得BC对的圆心角∠BOC=120°，且BC=．∴S△OB C=•OB•OC•sin∠BOC=×1×1×sin120°=，∴S1=②．∴=，=∴k=±，m=1故答案为：±．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=cos2x+cos2（x+）（x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用三角函数的倍角公式，结合三角函数的辅助角公式进行化简进行求解即可．（2）根据三角函数的最值的性质进行求解即可．【解答】解：（1）由已知，有=．…所以f（x）的最小正周期，…当时，f（x）单调递增，解得：，所以f（x）的单调递增区间为．…（2）由（1）可知，f（x）在区间上是减函数，在区间上是增函数，而，…所以f（x）在区间上的最大值为，最小值为．…17．“城市呼唤绿化”，发展园林绿化事业是促进国家经济法阵和城市建设事业的重要组成部分，某城市响应城市绿化的号召，计划建一如图所示的三角形ABC形状的主题公园，其中一边利用现成的围墙BC，长度为100米，另外两边AB，AC使用某种新型材料围成，已知∠BAC=120°，AB=x，AC=y （x，y单位均为米）．（1）求x，y满足的关系式（指出x，y的取值范围）；（2）在保证围成的是三角形公园的情况下，如何设计能使所用的新型材料总长度最短？最短长度是多少？【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法；余弦定理．【分析】（1）根据题意，由余弦定理可得x2+y2﹣2xycos120°=30000，变形可得x2+y2+xy=30000，分析x、y的取值范围即可得答案；（2）由（1）可得x2+y2+xy=30000，对其变形可得（x+y）2﹣30000=xy，结合基本不等式可得，解可得x+y≤200，分析可得答案．【解答】解：（1）在△ABC中，由余弦定理，得AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=BC2，所以x2+y2﹣2xycos120°=30000，即x2+y2+xy=30000，…又因为x＞0，y＞0，所以．…（2）要使所用的新型材料总长度最短只需x+y的最小，由（1）知，x2+y2+xy=30000，所以（x+y）2﹣30000=xy，因为，所以，…则（x+y）2≤40000，即x+y≤200，当且仅当x=y=100时，上式不等式成立．…故当AB，AC边长均为100米时，所用材料长度最短为200米．…18．如图，几何体EF﹣ABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4，∠ADF=90°．（1）求证：AC⊥FB（2）求二面角E﹣FB﹣C的大小．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由题意得，AD⊥DC，AD⊥DF，从而AD⊥FC，DC⊥FC，由此能证明AC⊥FB．（2）以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣FB﹣C的大小．【解答】解：（1）证明：由题意得，AD⊥DC，AD⊥DF，且DC∩DF=D，∴AD⊥平面CDEF，∴AD⊥FC，…∵四边形CDEF为正方形．∴DC⊥FC由DC∩AD=D∴FC⊥平面ABCD，∴FC⊥AC…又∵四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4∴，，则有AC2+BC2=AB2∴AC⊥BC由BC∩FC=C，∴AC⊥平面FCB，∴AC⊥FB．…（2）解：由（1）知AD，DC，DE所在直线相互垂直，故以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，…可得D（0，0，0），F（0，2，2），B（2，4，0），E（0，0，2），C（0，2，0），A（2，0，0），由（1）知平面FCB的法向量为，∴，…设平面EFB的法向量为，则有：令z=1则，…设二面角E﹣FB﹣C的大小为θ，，∵，∴．…19．在数列{a n}，{b n}中，已知a1=1，b1=2，且﹣a n，b n，a n+1成等差数列，﹣b n，a n，b n+1也成等差数列．（1）求证：{a n+b n}是等比数列；（2）若c n=（2a n﹣3n）log3[2a n﹣（﹣1）n]，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）通过等差中项可知b n=、a n=，两式相加整理即得结论；（2）通过（1）可知b n=、a n=，两式相减可知b n﹣a n=（﹣1）n+1，并与b n+a n=3n作差整理得2a n=3n﹣（﹣1）n+1，从而c n=（﹣1）n•n，进而利用错位相减法计算即得结论．【解答】（1）证明：∵﹣a n，b n，a n+1成等差数列，﹣b n，a n，b n+1也成等差数列，∴b n=，a n=，∴a n+b n=[（a n+1+b n+1）﹣（a n+b n）]，即a n+1+b n+1=3（a n+b n），又∵a1+b1=1+2=3，∴数列{a n+b n}是首项、公比均为3的等比数列；（2）解：由（1）可知：b n=、a n=，两式相减得：﹣a n+b n=[（a n+1﹣b n+1）+（﹣a n+b n）]，即a n+1﹣b n+1=﹣（a n﹣b n），又∵﹣a1+b1=﹣1+2=1，∴数列{b n﹣a n}是首项为1、公比均为﹣1的等比数列，∴b n﹣a n=（﹣1）n+1，又∵b n+a n=3n，∴a n==[3n﹣（﹣1）n+1]，又∵c n=（2a n﹣3n）log3[2a n﹣（﹣1）n]=[3n﹣（﹣1）n+1﹣3n]log3[3n﹣（﹣1）n+1﹣（﹣1）n]=（﹣1）n•n，∴T n=﹣1+2﹣3+4﹣…+（﹣1）n•n，﹣T n=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）n•（n﹣1）+（﹣1）n+1•n，两式相减得：2T n=﹣1+1﹣1+1﹣…﹣1﹣（﹣1）n+1•n，∴T n={+（﹣1）n•n}={﹣[1﹣（﹣1）n]+（﹣1）n•n}=（﹣1）n•﹣．20．如图，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率是，过点P（1，0）的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行于y轴时，直线l被椭圆C截得的线段长为2．（1）求椭圆C的方程；（2）已知D为椭圆的左端点，问：是否存在直线l使得△ABD的面积为？若不存在，说明理由，若存在，求出直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知得点在椭圆C上，再由离心率性质列出方程组，求出a，b，从而求出椭圆的方程．（2）设直线l的方程为x=my+1，与椭圆联立，得（m2+4）y2+2my﹣8=0，由此利用根的判别式、韦达定理、椭圆弦长公式能求出直线方程．【解答】解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率是，过点P（1，0）的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行于y轴时，直线l被椭圆C截得的线段长为2．∴点在椭圆C上．∴，解得．…∴椭圆的方程为．…（2）当直线l与x轴平行时，△ABD不存在，…∴设直线l的方程为x=my+1，并设两点A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（m2+4）y2+2my﹣8=0，其判别式△=4m2+32（m2+4）=36m2+128＞0，…∴，∴=…假设存在直线l，则有，，解得m2=2，负解删除，∴，…故存在直线l方程为，使得．…21．已知函数f（x）=e x（e为自然对数的底数，e=2.71828…），g（x）=x+b（a，b∈R）．（1）若h（x）=f（x）g（x），b=1﹣．求h（x）在[0，1]上的最大值φ（a）的表达式；（2）若a=4时，方程f（x）=g（x）在[0，2]上恰有两个相异实根，求实根b 的取值范围；（3）若b=﹣，a∈N*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数a．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出h（x）导数，通过讨论a的范围，求导导函数的符号，从而求出函数的单调区间，得到h（x）的最大值；（2）令F（x）=f（x）﹣g（x），求出F（x）的导数，根据函数的单调性，得到关于b的不等式组，求出b的范围即可；（3）令p（x）=f（x）﹣g（x），求出p（x）的导数，根据函数的单调性求出a的最大正整数即可．【解答】解：（1）时，，∴，①当a=0时，h′（x）=e x＞0，h（x）在[0，1]上为增函数，则此时φ（a）=h（1）=e；②当a＞0时，，h（x）在上为增函数，故h（x）在[0，1]上为增函数，此时φ（a）=h（1）=e；…③当a＜0时，，h（x）在上为增函数，在上为减函数，若，即a＜﹣2时，故h（x）在上为增函数，在上为减函数，此时，…若，即﹣2≤a＜0时，h（x）在[0，1]上为增函数，则此时φ（a）=h（1）=e；∴综上所述：φ（a）=；…（2）F（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣2x﹣b，F′（x）=e x﹣2，∴F（x）在（0，ln2）上单调递减；在（ln2，+∞）上单调递增；…∴F（x）=e x﹣2x﹣b在[0，2]上恰有两个相异实根，∴实数b的取值范围是b∈（2﹣2ln2，1]；…（3）由题设：，（*）∵，故p（x）在上单调递减；在上单调递增，∴（*），设，则，∴q（x）在（0，2）上单调递增；在（2，+∞）上单调递减，…而q（2e2）=2e2﹣2e2lne2+15=15﹣2e2＞0，且，故存在使q（x0）=0，且x∈[2，x0）时h（x）＞0，x∈（x0，+∞）时h（x）＜0，又∵，，∴a∈N*时使f（x）的图象恒在g（x）图象的上方的最大正整数a=14．…2016年7月6日。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2015-2016学年山东省烟台市栖霞市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x |x=3n ﹣1，n ∈N }，B={﹣4，﹣1，0，2，5}，则集合A ∩B=（ ） A ．{2，5}B ．{﹣4，﹣1，2，5}C ．{﹣1，2，5}D ．{﹣1，0，2，5}2．（5分）若a ＞b ＞0，则下列不等式正确的是（ ）A ．sina ＞sinbB ．log 2a ＜log 2bC ．a ＜bD ．（）a ＜（）b3．（5分）已知α∈（0，π），若tan （﹣α）=，则sin2α=（ ） A ．﹣B ．C ．﹣D ．4．（5分）已知函数f （x ）=，若f （a ）=1，则f （1﹣a ）=（ ） A ．2B ．﹣2C ．1D ．﹣15．（5分）已知函数f （x ）=x 2e x ，当x ∈[﹣1，1]时，不等式f （x ）＜m 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[，+∞）B ．（，+∞）C ．[e ，+∞）D ．（e ，+∞）6．（5分）已知△ABC 和点M 满足．若存在实数m 使得成立，则m=（ ） A ．2B ．3C ．4D ．57．（5分）若中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为y=±x ，则该双曲线的离心率为（ ）A．或B．或3C．D．38．（5分）已知变量x，y满足线性约束条件，则目标函数z=x﹣y的最小值为（）A．﹣B．2C．﹣2D．9．（5分）已知函数f（x）=xcosx，有下列4个结论：①函数f（x）的图象关于y轴对称；②存在常数T＞0，对任意的实数x，恒有f（x+T）=f（x）成立；③对于任意给定的正数M，都存在实数x0，使得|f（x0）|≥M；④函数f（x）的图象上存在无数个点，使得该函数在这些点处的切线与x轴平行；其中，所有正确结论的序号为（）A．①③B．①④C．②④D．③④10．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，则成f（x）为“倍缩函数”，若函数f （x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，则t的范围是（）A．（0，）B．（0，1）C．（0，]D．（，+∞）二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）函数f（x）=ln（2﹣|x﹣1|）的定义域为．12．（5分）定积分x dx的值为．13．（5分）一个几何体的三视图如图所示，若其正视图、侧视图都是面积为，且一个角为60°的菱形，俯视图为正方形，则该几何体的体积为．14．（5分）已知抛物线y2=8x的焦点为F，P是抛物线准线上一点，Q是直线PF与抛物线的一个交点，若=，则直线PF的方程为．15．（5分）已知点A（0，1），直线l：y=kx﹣m与圆O：x2+y2=1交于B，C两点，△ABC和△OBC的面积分别为S1，S2，若∠BAC=60°，且S1=2S2，则实数k的值为．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）已知函数f（x）=cos2x+cos2（x+）（x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．17．（12分）“城市呼唤绿化”，发展园林绿化事业是促进国家经济法阵和城市建设事业的重要组成部分，某城市响应城市绿化的号召，计划建一如图所示的三角形ABC形状的主题公园，其中一边利用现成的围墙BC，长度为100米，另外两边AB，AC使用某种新型材料围成，已知∠BAC=120°，AB=x，AC=y（x，y单位均为米）．（1）求x，y满足的关系式（指出x，y的取值范围）；（2）在保证围成的是三角形公园的情况下，如何设计能使所用的新型材料总长度最短？最短长度是多少？18．（12分）如图，几何体EF﹣ABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4，∠ADF=90°．（1）求证：AC⊥FB（2）求二面角E﹣FB﹣C的大小．19．（12分）在数列{a n}，{b n}中，已知a1=1，b1=2，且﹣a n，b n，a n+1成等差数也成等差数列．列，﹣b n，a n，b n+1（1）求证：{a n+b n}是等比数列；（2）若c n=（2a n﹣3n）log3[2a n﹣（﹣1）n]，求数列{c n}的前n项和T n．20．（13分）如图，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率是，过点P（1，0）的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行于y轴时，直线l被椭圆C截得的线段长为2．（1）求椭圆C的方程；（2）已知D为椭圆的左端点，问：是否存在直线l使得△ABD的面积为？若不存在，说明理由，若存在，求出直线l的方程．21．（14分）已知函数f（x）=e x（e为自然对数的底数，e=2.71828…），g（x）=x+b（a，b∈R）．（1）若h（x）=f（x）g（x），b=1﹣．求h（x）在[0，1]上的最大值φ（a）的表达式；（2）若a=4时，方程f（x）=g（x）在[0，2]上恰有两个相异实根，求实根b的取值范围；（3）若b=﹣，a∈N*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数a．2015-2016学年山东省烟台市栖霞市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|x=3n﹣1，n∈N}，B={﹣4，﹣1，0，2，5}，则集合A ∩B=（）A．{2，5}B．{﹣4，﹣1，2，5}C．{﹣1，2，5}D．{﹣1，0，2，5}【解答】解：∵A={x|x=3n﹣1，n∈N}={﹣1，2，5，8，…}，B={﹣4，﹣1，0，2，5}，∴A∩B={﹣1，2，5}，故选：C．2．（5分）若a＞b＞0，则下列不等式正确的是（）A．sina＞sinb B．log2a＜log2b C．a＜b D．（）a＜（）b【解答】解：当a=2π，b=π时，满足a＞b＞0，但sina=sinb，则sina＞sinb不成立，当a＞b＞0时，log2a＞log2b，则B不成立，当a＞b＞0时，a＞b，则C不成立，当a＞b＞0时，（）a＜（）b，则D成立，故选：D．3．（5分）已知α∈（0，π），若tan（﹣α）=，则sin2α=（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：∵α∈（0，π），tan（﹣α）==，∴tanα=，∴sin2α====，故选：B．4．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）=1，则f（1﹣a）=（）A．2B．﹣2C．1D．﹣1【解答】解：∵函数f（x）=，f（a）=1，∴当a≥1时，f（a）=2a﹣1﹣1=1，解得a=2，f（1﹣a）=f（﹣1）=﹣log24=﹣2；当a＜1时，f（a）=﹣log2（3﹣a）=1，解得a=，不成立．∴a=﹣2．故选：B．5．（5分）已知函数f（x）=x2e x，当x∈[﹣1，1]时，不等式f（x）＜m恒成立，则实数m的取值范围为（）A．[，+∞）B．（，+∞）C．[e，+∞）D．（e，+∞）【解答】解：（1）f′（x）=x（x+2）e x，令f′（x）＞0，解得：x＜﹣2或x＞0，令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜0，∵x∈[﹣1，1]，∴当﹣1≤x≤0时，函数f（x）为减函数，当0≤x≤1时，函数f（x）为增函数，则当x=0时，函数取得极小值f（0）=0，∵f（1）=e，f（﹣1）=，∴函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值为e，∵当x∈[﹣1，1]时，不等式f（x）＜m恒成立，∴m＞e，故选：D．6．（5分）已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得成立，则m=（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：由知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则==，所以有，故m=3，故选：B．7．（5分）若中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为y=±x，则该双曲线的离心率为（）A．或B．或3C．D．3【解答】解：当双曲线的焦点在x轴上，由双曲线的方程﹣=1（a，b＞0），可得渐近线方程为y=±x，即有b=a，c==a，则e==；当双曲线的焦点在y轴上，由双曲线的方程﹣=1（a，b＞0），可得渐近线方程为y=±x，即有b=a，c==a，则e==．综上可得e=或．故选：A．8．（5分）已知变量x，y满足线性约束条件，则目标函数z=x﹣y的最小值为（）A．﹣B．2C．﹣2D．【解答】解：画出满足线性约束条件的平面区域，如图示：，由目标函数z=x﹣y得：y=x﹣z，显然直线过（0，2）时，z最小，z的最小值是：﹣2，故选：C．9．（5分）已知函数f（x）=xcosx，有下列4个结论：①函数f（x）的图象关于y轴对称；②存在常数T＞0，对任意的实数x，恒有f（x+T）=f（x）成立；③对于任意给定的正数M，都存在实数x0，使得|f（x0）|≥M；④函数f（x）的图象上存在无数个点，使得该函数在这些点处的切线与x轴平行；其中，所有正确结论的序号为（）A．①③B．①④C．②④D．③④【解答】解：对于①，∵f（﹣x）=﹣xcos（﹣x）=﹣xcosx=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，∴f（x）的图象关于原点对称，故①错；对于②∵当x=2kπ时，f（x）=x，随着x的增大函数值也在增大，所以不会是周期函数，故②错；对于③取M=1，当x0=π时，|f（2π）|=2π≥1；故③正确；对于④∵f′（x）=cosx﹣xsinx，令f′（x）=cosx﹣xsinx=0，即xtanx=1，此时方程由无数个解，∴使k=0的解有无数个，故函数f（x）的图象上存在无数个点，使得该函数在这些点处的切线与x轴平行，故④正确．故选：D．10．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，则成f（x）为“倍缩函数”，若函数f （x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，则t的范围是（）A．（0，）B．（0，1）C．（0，]D．（，+∞）【解答】解：∵函数f（x）=为“倍缩函数”，且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，∴f（x）在[a，b]上是增函数；∴，即，∴方程+t=0有两个不等的实根，且两根都大于0；∴，解得：0＜t＜，∴满足条件t的范围是（0，），故选：A．二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）函数f（x）=ln（2﹣|x﹣1|）的定义域为（﹣1，3）．【解答】解：∵函数f（x）=ln（2﹣|x﹣1|），∴2﹣|x﹣1|＞0|x﹣1|＜2﹣2＜x﹣1＜21＜x＜3∴f（x）的定义域为（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．12．（5分）定积分x dx的值为．【解答】解：x dx==；故答案为：．13．（5分）一个几何体的三视图如图所示，若其正视图、侧视图都是面积为，且一个角为60°的菱形，俯视图为正方形，则该几何体的体积为．【解答】解：几何体为两个大小相同的四棱锥的组合体．∵正视图、侧视图都是面积为，且一个角为60°的菱形，∴棱锥的底面边长为1，棱锥的高为．∴V==．故答案为14．（5分）已知抛物线y2=8x的焦点为F，P是抛物线准线上一点，Q是直线PF与抛物线的一个交点，若=，则直线PF的方程为x+y﹣2=0或x﹣y ﹣2=0．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），设Q到准线l的距离为d，则|QF|=d∵=，∴||=||=d，∴直线的倾斜角为45°或135°，∴直线的斜率为±1，∴直线的方程为x+y﹣2=0或x﹣y﹣2=0．故答案为：x+y﹣2=0或x﹣y﹣2=0．15．（5分）已知点A（0，1），直线l：y=kx﹣m与圆O：x2+y2=1交于B，C两点，△ABC和△OBC的面积分别为S1，S2，若∠BAC=60°，且S1=2S2，则实数k的值为±．【解答】解：设圆心O、点A到直线的距离分别为d，d′，则d=，d′=，根据∠BAC=60°，可得BC对的圆心角∠BOC=120°，且BC=．∴S=•OB•OC•sin∠BOC=×1×1×sin120°=，△OBC∴S1=②．∴=，=∴k=±，m=1故答案为：±．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）已知函数f（x）=cos2x+cos2（x+）（x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）由已知，有=．…（5分）所以f（x）的最小正周期，…（6分）当时，f（x）单调递增，解得：，所以f（x）的单调递增区间为．…（8分）（2）由（1）可知，f（x）在区间上是减函数，在区间上是增函数，而，f（﹣）=，f（）=，…（11分）所以f（x）在区间上的最大值为，最小值为．…（12分）17．（12分）“城市呼唤绿化”，发展园林绿化事业是促进国家经济法阵和城市建设事业的重要组成部分，某城市响应城市绿化的号召，计划建一如图所示的三角形ABC形状的主题公园，其中一边利用现成的围墙BC，长度为100米，另外两边AB，AC使用某种新型材料围成，已知∠BAC=120°，AB=x，AC=y（x，y单位均为米）．（1）求x，y满足的关系式（指出x，y的取值范围）；（2）在保证围成的是三角形公园的情况下，如何设计能使所用的新型材料总长度最短？最短长度是多少？【解答】解：（1）在△ABC中，由余弦定理，得AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=BC2，所以x2+y2﹣2xycos120°=30000，即x2+y2+xy=30000，…（4分）又因为x＞0，y＞0，所以．…（6分）（2）要使所用的新型材料总长度最短只需x+y的最小，由（1）知，x2+y2+xy=30000，所以（x+y）2﹣30000=xy，因为，所以，…（9分）则（x+y）2≤40000，即x+y≤200，当且仅当x=y=100时，上式不等式成立．…（11分）故当AB，AC边长均为100米时，所用材料长度最短为200米．…（12分）18．（12分）如图，几何体EF﹣ABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4，∠ADF=90°．（1）求证：AC⊥FB（2）求二面角E﹣FB﹣C的大小．【解答】解：（1）证明：由题意得，AD⊥DC，AD⊥DF，且DC∩DF=D，∴AD⊥平面CDEF，∴AD⊥FC，…（2分）∵四边形CDEF为正方形．∴DC⊥FC由DC∩AD=D∴FC⊥平面ABCD，∴FC⊥AC…（4分）又∵四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD=2，AB=4∴，，则有AC2+BC2=AB2∴AC⊥BC由BC∩FC=C，∴AC⊥平面FCB，∴AC⊥FB．…（6分）（2）解：由（1）知AD，DC，DE所在直线相互垂直，故以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，…（7分）可得D（0，0，0），F（0，2，2），B（2，4，0），E（0，0，2），C（0，2，0），A（2，0，0），由（1）知平面FCB的法向量为，∴，…（8分）设平面EFB的法向量为，则有：令z=1则，…（10分）设二面角E﹣FB﹣C的大小为θ，，∵θ∈（0，π），∴θ=．…（12分）19．（12分）在数列{a n}，{b n}中，已知a1=1，b1=2，且﹣a n，b n，a n+1成等差数列，﹣b n，a n，b n+1也成等差数列．（1）求证：{a n+b n}是等比数列；（2）若c n=（2a n﹣3n）log3[2a n﹣（﹣1）n]，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】（1）证明：∵﹣a n，b n，a n+1成等差数列，﹣b n，a n，b n+1也成等差数列，∴b n=，a n=，∴a n+b n=[（a n+1+b n+1）﹣（a n+b n）]，即a n+1+b n+1=3（a n+b n），又∵a1+b1=1+2=3，∴数列{a n+b n}是首项、公比均为3的等比数列；（2）解：由（1）可知：b n=、a n=，两式相减得：﹣a n+b n=[（a n+1﹣b n+1）+（﹣a n+b n）]，即a n+1﹣b n+1=﹣（a n﹣b n），又∵﹣a1+b1=﹣1+2=1，∴数列{b n﹣a n}是首项为1、公比均为﹣1的等比数列，∴b n﹣a n=（﹣1）n+1，又∵b n+a n=3n，∴a n==[3n﹣（﹣1）n+1]，又∵c n=（2a n﹣3n）log3[2a n﹣（﹣1）n]=[3n﹣（﹣1）n+1﹣3n]log3[3n﹣（﹣1）n+1﹣（﹣1）n]=（﹣1）n•n，∴T n=﹣1+2﹣3+4﹣…+（﹣1）n•n，﹣T n=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）n•（n﹣1）+（﹣1）n+1•n，两式相减得：2T n=﹣1+1﹣1+1﹣…﹣1﹣（﹣1）n+1•n，∴T n={+（﹣1）n•n}={﹣[1﹣（﹣1）n]+（﹣1）n•n}=（﹣1）n•﹣．20．（13分）如图，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率是，过点P（1，0）的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行于y轴时，直线l被椭圆C截得的线段长为2．（1）求椭圆C的方程；（2）已知D为椭圆的左端点，问：是否存在直线l使得△ABD的面积为？若不存在，说明理由，若存在，求出直线l的方程．【解答】解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率是，过点P（1，0）的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l平行于y轴时，直线l被椭圆C截得的线段长为2．∴点在椭圆C上．∴，解得．…（4分）∴椭圆的方程为．…（5分）（2）当直线l与x轴平行时，△ABD不存在，…（6分）∴设直线l的方程为x=my+1，并设两点A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（m2+4）y2+2my﹣8=0，其判别式△=4m2+32（m2+4）=36m2+128＞0，…（8分）∴，∴=…（10分）假设存在直线l，则有，，解得m2=2，负解删除，∴，…（12分）故存在直线l方程为，使得．…（13分）21．（14分）已知函数f（x）=e x（e为自然对数的底数，e=2.71828…），g（x）=x+b（a，b∈R）．（1）若h（x）=f（x）g（x），b=1﹣．求h（x）在[0，1]上的最大值φ（a）的表达式；（2）若a=4时，方程f（x）=g（x）在[0，2]上恰有两个相异实根，求实根b的取值范围；（3）若b=﹣，a∈N*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数a．【解答】解：（1）时，，∴，①当a=0时，h′（x）=e x＞0，h（x）在[0，1]上为增函数，则此时φ（a）=h（1）=e；②当a＞0时，，h（x）在上为增函数，故h（x）在[0，1]上为增函数，此时φ（a）=h（1）=e；…（2分）③当a＜0时，，h（x）在上为增函数，在上为减函数，若，即a＜﹣2时，故h（x）在上为增函数，在上为减函数，此时，…（5分）若，即﹣2≤a＜0时，h（x）在[0，1]上为增函数，则此时φ（a）=h（1）=e；∴综上所述：φ（a）=；…（6分）（2）F（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣2x﹣b，F′（x）=e x﹣2，∴F（x）在（0，ln2）上单调递减；在（ln2，+∞）上单调递增；…（7分）∴F（x）=e x﹣2x﹣b在[0，2]上恰有两个相异实根，∴实数b的取值范围是b∈（2﹣2ln2，1]；…（10分）（3）由题设：，（*）∵，故p（x ）在上单调递减；在上单调递增，∴（*），设，则，∴q（x）在（0，2）上单调递增；在（2，+∞）上单调递减，…（12分）而q（2e2）=2e2﹣2e2lne2+15=15﹣2e2＞0，且，故存在使q（x0）=0，且x∈[2，x0）时h（x）＞0，x∈（x0，+∞）时h（x）＜0，又∵，，∴a∈N*时使f（x）的图象恒在g（x）图象的上方的最大正整数a=14．…（14分）第21页（共21页）。