2019-2020学年山东省烟台市高三(上)期末数学试卷
2019-2020学年山东省泰安市高三上期末数学测试卷(理)(含答案)
山东省泰安市高三（上）期末测试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．{2}B ．{4，6}C ．{1，3，5}D ．{4，6，7，8}2．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1+a 3=10，且a 1a 3=16，则a 11+a 12+a 13等于（ ） A ．75 B ．90 C ．105 D ．1203．已知p ：0＜a ＜4，q ：函数y=x 2﹣ax+a 的值恒为正，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．下列命题错误的是（ ）A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β 5．不等式|x ﹣5|+|x+1|＜8的解集为（ ） A ．（﹣∞，2） B ．（﹣2，6） C ．（6，+∞）D ．（﹣1，5）6．已知点F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于 M 、N 两点，若△M NF 2为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率e 为（ ）A ．B ．C ．D ．7．设f （x ）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f ′（x ）的图象可能是（ ）A． B．C．D．8．已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则函数f（x）=a x+x﹣b的零点所在的区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）9．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤），其图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π．若f（x）＞1对任意x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．（，]10．已知函数f（x）=，若a＜b，f（a）=f（b），则实数a﹣2b的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置.11．若α∈（0，）且cos2α+cos（+2α）=，则tanα= ．12．直线ax+y+1=0被圆x2+y2﹣2ax+a=0截得的弦长为2，则实数a的值是．13．如果实数x，y满足条件，则z=x+y的最小值为．14．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为．15．规定记号“*”表示一种运算，a*b=a 2+ab ，设函数f （x ）=x*2，且关于x 的方程f （x ）=ln|x+1|（x ≠﹣1）恰有4个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1+x 2+x 3+x 4= ．三、解答题：本大题共有6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c ，且（Ⅰ）求角A（Ⅱ）若，求a 的最小值．17．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，EF ∥AD ，FA ⊥面ABCD ，AB=AF=EF=1，AD=2，AC 交BD 于点P（Ⅰ）证明：PF ∥面ECD ； （Ⅱ）求二面角B ﹣EC ﹣A 的大小．18．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2=6，S 4=30，n ∈N *，数列{b n }满足b n •b n+1=a n ，b 1=1 （I ）求a n ，b n ；（Ⅱ）求数列{b n }的前n 项和为T n ．19．如图，是一曲边三角形地块，其中曲边AB 是以A 为顶点，AC 为对称轴的抛物线的一部分，点B 到边AC 的距离为2km ，另外两边AC ，BC 的长度分别为8km ，2km ．现欲在此地块内建一形状为直角梯形DECF的科技园区．（Ⅰ）求此曲边三角形地块的面积； （Ⅱ）求科技园区面积的最大值．20．已知椭圆C ：的右顶点A （2，0），且过点（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点B （1，0）且斜率为k 1（k 1≠0）的直线l 于椭圆C 相交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别交直线x=3于M ，N 两点，线段MN 的中点为P ，记直线PB 的斜率为k 2，求证：k 1•k 2为定值． 21．已知函数f （x ）=lnx+ax 在点（t ，f （t ））处切线方程为y=2x ﹣1 （Ⅰ）求a 的值（Ⅱ）若，证明：当x ＞1时，（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b ，是否存在正数x 0，使得：．2019-2020学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A ．{2}B ．{4，6}C ．{1，3，5}D ．{4，6，7，8}【考点】Venn 图表达集合的关系及运算．【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U A ）∩B ，根据集合的运算求解即可． 【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}， 由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U A ）∩B ， ∵C U A={4，6，7，8}， ∴（C U A ）∩B={4，6}． 故选B ．2．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1+a 3=10，且a 1a 3=16，则a 11+a 12+a 13等于（ ） A ．75 B ．90 C ．105 D ．120 【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知得a 1＜a 3，且a 1，a 3是方程x 2﹣10x+16=0的两个根，解方程x 2﹣10x+16=0，得a 1=2，a 3=8，由此求出公差，从而能求出a 11+a 12+a 13的值．【解答】解：∵{a n }是公差为正数的等差数列，a 1+a 3=10，且a 1a 3=16， ∴a 1＜a 3，且a 1，a 3是方程x 2﹣10x+16=0的两个根， 解方程x 2﹣10x+16=0，得a 1=2，a 3=8， ∴2+2d=8，解得d=3，∴a 11+a 12+a 13=3a 1+33d=3×2+33×3=105． 故选：C ．3．已知p ：0＜a ＜4，q ：函数y=x 2﹣ax+a 的值恒为正，则p 是q 的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据函数的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若函数y=x2﹣ax+a的值恒为正，即x2﹣ax+a＞0恒成立，则判别式△=a2﹣4a＜0，则0＜a＜4，则p是q的充要条件，故选：C4．下列命题错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】命题A，B可以通过作图说明；命题C可以直接进行证明；命题D可以运用反证法的思维方式说明是正确的．【解答】解：A、如图，平面α⊥平面β，α∩β=l，l⊂α，l不垂直于平面β，所以不正确；B、如A中的图，平面α⊥平面β，α∩β=l，a⊂α，若a∥l，则a∥β，所以正确；C、如图，设α∩γ=a，β∩γ=b，在γ内直线a、b外任取一点O，作OA⊥a，交点为A，因为平面α⊥平面γ，所以OA⊥α，所以OA⊥l，作OB⊥b，交点为B，因为平面β⊥平面γ，所以OB⊥β，所以OB⊥l，又OA∩OB=O，所以l⊥γ．所以正确．D 、若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定，则有平面α垂直于平面β，与平面α不垂直于平面β矛盾，所以，如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，正确； 故选：A ．5．不等式|x ﹣5|+|x+1|＜8的解集为（ ） A ．（﹣∞，2） B ．（﹣2，6） C ．（6，+∞）D ．（﹣1，5）【考点】绝对值不等式的解法．【分析】由条件利用绝对值的意义，求得绝对值不等式|x ﹣5|+|x+1|＜8的解集． 【解答】解：由于|x ﹣5|+|x+1|表示数轴上的x 对应点到5、﹣1对应点的距离之和， 而数轴上的﹣2和6对应点到5、﹣1对应点的距离之和正好等于8， 故不等式|x ﹣5|+|x+1|＜8的解集为（﹣2，6）， 故选：B ．6．已知点F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于 M 、N 两点，若△M NF 2为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率e 为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】把x=﹣c 代入椭圆，解得y=±．由于△MNF 2为等腰直角三角形，可得=2c ，由离心率公式化简整理即可得出．【解答】解：把x=﹣c 代入椭圆方程，解得y=±，∵△MNF 2为等腰直角三角形，∴=2c ，即a 2﹣c 2=2ac ，由e=，化为e 2+2e ﹣1=0，0＜e ＜1． 解得e=﹣1+．故选C ．7．设f （x ）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f ′（x ）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由f （x ）的图象可得在y 轴的左侧，图象下降，f （x ）递减，y 轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，即有y 轴左侧导数小于0，右侧导数先小于0，再大于0，最后小于0，对照选项，即可判断． 【解答】解：由f （x ）的图象可得，在y 轴的左侧，图象下降，f （x ）递减， 即有导数小于0，可排除C ，D ；再由y 轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降， 函数f （x ）递减，再递增，后递减， 即有导数先小于0，再大于0，最后小于0， 可排除A ； 则B 正确． 故选：B ．8．已知实数a ，b 满足2a =3，3b =2，则函数f （x ）=a x +x ﹣b 的零点所在的区间是（ ） A ．（﹣2，﹣1） B ．（﹣1，0）C ．（0，1）D ．（1，2）【考点】函数的零点；指数函数的图象与性质．【分析】根据对数，指数的转化得出f （x ）=（log 23）x +x ﹣log 32单调递增，根据函数的零点判定定理得出f （0）=1﹣log 32＞0，f （﹣1）=log 32﹣1﹣log 32=﹣1＜0，判定即可． 【解答】解：∵实数a ，b 满足2a =3，3b =2， ∴a=log 23＞1，0＜b=log 32＜1， ∵函数f （x ）=a x +x ﹣b ，∴f （x ）=（log 23）x +x ﹣log 32单调递增， ∵f （0）=1﹣log 32＞0f （﹣1）=log 32﹣1﹣log 32=﹣1＜0，∴根据函数的零点判定定理得出函数f （x ）=a x +x ﹣b 的零点所在的区间（﹣1，0）， 故选：B ．9．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤），其图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π．若f（x）＞1对任意x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．（，]【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意求得sin（ωx+φ）=﹣1，函数y=sin（ωx+φ）的图象和直线y=﹣1邻两个交点的距离为π，根据周期性求得ω的值，可得f（x）的解析式．再根据当x∈（﹣，）时，f（x）＞1，可得sin（2x+φ）＞0，故有﹣+φ≥2kπ，且+φ≤2kπ+π，由此求得φ的取值范围．【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤）的图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π，令2sin（ωx+φ）+1=﹣1，即sin（ωx+φ）=﹣1，即函数y=sin（ωx+φ）的图象和直线y=﹣1邻两个交点的距离为π，故 T==π，求得ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ）+1．由题意可得，当x∈（﹣，）时，f（x）＞1，即 sin（2x+φ）＞0，故有﹣+φ≥2kπ，且+φ≤2kπ+π，求得φ≥2kπ+，且φ≤2kπ+，k∈Z，故φ的取值范围是[2kπ+，2kπ+]，k∈Z，结合所给的选项，故选：B．10．已知函数f（x）=，若a＜b，f（a）=f（b），则实数a﹣2b的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】函数的值．【分析】由已知得a≤﹣1，a﹣2b=a﹣e a﹣1，再由函数y=﹣e x+a﹣1，（x≤﹣1）单调递减，能求出实数a﹣2b的范围．【解答】解：∵函数f（x）=，a＜b，f（a）=f（b），∴a≤﹣1，∵f（a）=e a，f（b）=2b﹣1，且f（a）=f（b），∴e a=2b﹣1，得b=，∴a﹣2b=a﹣e a﹣1，又∵函数y=﹣e x+a﹣1（x≤﹣1）为单调递减函数，∴a﹣2b＜f（﹣1）=﹣e﹣1=﹣，∴实数a﹣2b的范围是（﹣∞，﹣）．故选：B．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置.11．若α∈（0，）且cos2α+cos（+2α）=，则tanα= ．【考点】三角函数中的恒等变换应用；同角三角函数基本关系的运用．【分析】首先根据诱导公式和同角三角函数的关系式进行恒等变换，整理成正切函数的关系式，进一步求出正切的函数值．【解答】解：cos2α+cos（+2α）=，则：，则：，整理得：3tan2α+20tanα﹣7=0，所以：（3tanα﹣1）（tanα+7）=0解得：tan或tanα=﹣7，由于：α∈（0，），所以：．故答案为：12．直线ax+y+1=0被圆x2+y2﹣2ax+a=0截得的弦长为2，则实数a的值是﹣2 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，利用勾股定理解．【解答】解：圆x2+y2﹣2ax+a=0可化为（x﹣a）2+y2=a2﹣a∴圆心为：（a，0），半径为：圆心到直线的距离为：d==．∵直线ax+y+1=0被圆x2+y2﹣2ax+a=0截得的弦长为2，∴a2+1+1=a2﹣a，∴a=﹣2．故答案为：﹣2．13．如果实数x，y满足条件，则z=x+y的最小值为．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为．故答案为：．14．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算． 【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分， 由正视图可得：底面扇形的圆心角为120°， 又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．故答案为：15．规定记号“*”表示一种运算，a*b=a 2+ab ，设函数f （x ）=x*2，且关于x 的方程f （x ）=ln|x+1|（x ≠﹣1）恰有4个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1+x 2+x 3+x 4= ﹣4 ． 【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可得f （x ）=x 2+2x ，可得图象关于x=﹣1对称，由函数图象的变换可得函数y=ln|x+1|（x ≠﹣1）的图象关于直线x=﹣1对称，进而可得四个根关于直线x=﹣1对称，由此可得其和． 【解答】解：由题意可得f （x ）=x*2=x 2+2x ， 其图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=﹣1， 函数y=ln|x+1|可由y=ln|x|向左平移1个单位得到， 而函数函数y=ln|x|为偶函数，图象关于y 轴对称， 故函数y=ln|x+1|的图象关于直线x=﹣1对称，故方程为f （x ）=ln|x+1|（x ≠﹣1）四个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4， 也关于直线x=﹣1对称，不妨设x 1与x 2对称，x 3与x 4对称， 必有x 1+x 2=﹣2，x 3+x 4=﹣2，故x1+x2+x3+x4=﹣4，故答案为：﹣4．三、解答题：本大题共有6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c，且（Ⅰ）求角A（Ⅱ）若，求a的最小值．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简已知可得sinAsinB=sinBcosA，又sinB≠0，从而可求tanA，由于0＜A ＜π，即可解得A的值．（Ⅱ）利用平面向量数量积的运算和余弦定理化简已知等式可得bc=8，利用余弦定理及基本不等式即可求得a的最小值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）因为，由正弦定理，得sinAsinB=sinBcosA，又sinB≠0，从而tanA=，由于0＜A＜π，所以A=．…4分（Ⅱ）由题意可得：=+•（﹣）﹣=+﹣•﹣=c2+b2﹣bccosA﹣a2=2bccosA﹣bccosA=bc=4，∵bc=8，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc=8，∴a≥2，∴a的最小值为．…12分17．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，EF∥AD，FA⊥面ABCD，AB=AF=EF=1，AD=2，AC交BD 于点P（Ⅰ）证明：PF∥面ECD；（Ⅱ）求二面角B﹣EC﹣A的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取CD中点G，连结EG、PG，推导出四边形EFPG是平行四边形，由此能证明FP∥平面ECD．（Ⅱ）以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣EC﹣A的大小．【解答】证明：（Ⅰ）取CD中点G，连结EG、PG，∵点P为矩形ABCD对角线交点，∴在△ACD中，PG AD，又EF=1，AD=2，EF∥AD，∴EF PG，∴四边形EFPG是平行四边形，∴FP∥EG，又FP⊄平面ECD，EG⊂平面ECD，∴FP∥平面ECD．解：（Ⅱ）由题意，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则F（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0），E（0，1，1），∴=（0，2，0），=（1，1，﹣1），=（1，2，0），取FB中点H，连结AH，则=（），∵=0， =0，∴AH⊥平面EBC，故取平面AEC法向量为=（），设平面AEC 的法向量=（x ，y ，1），则，∴=（2，﹣1，1），cos ＜＞===，∴二面角B ﹣EC ﹣A 的大小为．18．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2=6，S 4=30，n ∈N *，数列{b n }满足b n •b n+1=a n ，b 1=1 （I ）求a n ，b n ；（Ⅱ）求数列{b n }的前n 项和为T n ． 【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I ）设正项等比数列{a n }的公比为q （q ＞0），由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比均为2，可得a n =a 1q n ﹣1=2n ；再由n 换为n+1，可得数列{b n }中奇数项，偶数项均为公比为2的等比数列，运用等比数列的通项公式，即可得到所求b n ；（Ⅱ）讨论n 为奇数和偶数，运用分组求和和等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和． 【解答】解：（I ）设正项等比数列{a n }的公比为q （q ＞0）， 由题意可得a 1+a 1q=6，a 1+a 1q+a 1q 2+a 1q 3=30， 解得a 1=q=2（负的舍去）， 可得a n =a 1q n ﹣1=2n ； 由b n •b n+1=a n =2n ，b 1=1， 可得b 2=2，即有b n+1•b n+2=a n =2n+1，可得=2，可得数列{b n }中奇数项，偶数项均为公比为2的等比数列，即有b n =；（Ⅱ）当n 为偶数时，前n 项和为T n =（1+2+..+）+（2+4+..+）=+=3•（）n ﹣3；当n 为奇数时，前n 项和为T n =T n ﹣1+=3•（）n ﹣1﹣3+=（）n+3﹣3．综上可得，T n =．19．如图，是一曲边三角形地块，其中曲边AB 是以A 为顶点，AC 为对称轴的抛物线的一部分，点B 到边AC 的距离为2km ，另外两边AC ，BC 的长度分别为8km ，2km ．现欲在此地块内建一形状为直角梯形DECF的科技园区．（Ⅰ）求此曲边三角形地块的面积； （Ⅱ）求科技园区面积的最大值．【考点】扇形面积公式；弧度制的应用．【分析】（Ⅰ）以AC 所在的直线为y 轴，A 为坐标原点建立平面直角坐标系，求出曲边AB 所在的抛物线方程，利用积分计算曲边三角形ABC 地块的面积；（Ⅱ）设出点D 为（x ，x 2），表示出|DF|、|DE|与|CF|的长，求出直角梯形CEDF 的面积表达式，利用导数求出它的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）以AC 所在的直线为y 轴，A 为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy ，如图所示；则A（0，0），C（0，8），设曲边AB所在的抛物线方程为y=ax2（a＞0），则点B（2，4a），又|BC|==2，解得a=1或a=3（此时4a=12＞8，不合题意，舍去）；∴抛物线方程为y=x2，x∈[0，2]；又x2=x3=，∴此曲边三角形ABC地块的面积为﹣x2=×（8+4）×2﹣=；S梯形ACBM（Ⅱ）设点D（x，x2），则F（0，x2），直线BC的方程为：2x+y﹣8=0，∴E（x，8﹣2x），|DF|=x，|DE|=8﹣2x﹣x2，|CF|=8﹣x2，直角梯形CEDF的面积为S（x）=x[（8﹣2x﹣x2）+（8﹣x2）]=﹣x3﹣x2+8x，x∈（0，2），求导得S′（x）=﹣3x2﹣2x+8，令S′（x）=0，解得x=或x=﹣2（不合题意，舍去）；当x∈（0，）时，S（x）单调递增，x∈（，2）时，S（x）单调递减，∴x=时，S（x）取得最大值是S （）=﹣﹣+8×=；∴科技园区面积S 的最大值为．20．已知椭圆C ：的右顶点A （2，0），且过点（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点B （1，0）且斜率为k 1（k 1≠0）的直线l 于椭圆C 相交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别交直线x=3于M ，N 两点，线段MN 的中点为P ，记直线PB 的斜率为k 2，求证：k 1•k 2为定值． 【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得a=2，代入点，解方程可得椭圆方程；（Ⅱ）设过点B （1，0）的直线l 方程为：y=k （x ﹣1），由，可得（4k 12+1）x 2﹣8k 12x+4k 12﹣4=0，由已知条件利用韦达定理推导出直线PB 的斜率k 2=﹣，由此能证明k •k ′为定值﹣．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得a=2， +=1，a 2﹣b 2=c 2， 解得b=1，即有椭圆方程为+y 2=1；（Ⅱ）证明：设过点B （1，0）的直线l 方程为：y=k 1（x ﹣1）， 由，可得：（4k 12+1）x 2﹣8k 12x+4k 12﹣4=0，因为点B （1，0）在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交， 即△＞0恒成立．设点E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），则x 1+x 2=，x 1x 2=．因为直线AE 的方程为：y=（x ﹣2），直线AF的方程为：y=（x﹣2），令x=3，得M（3，），N（3，），所以点P的坐标（3，（+））．直线PB的斜率为k2==（+）=•=•=•=﹣．所以k1•k2为定值﹣．21．已知函数f（x）=lnx+ax在点（t，f（t））处切线方程为y=2x﹣1（Ⅰ）求a的值（Ⅱ）若，证明：当x＞1时，（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b，是否存在正数x，使得：．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，解方程可得a的值；（Ⅱ）求出f（x）=lnx+x，要证原不等式成立，即证xlnx+x﹣k（x﹣3）＞0，可令g（x）=xlnx+x﹣k（x ﹣3），求出导数，判断符号，可得单调性，即可得证；（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b，假设存在正数x，使得：．运用转化思想可令H（x）=（x+1）•e﹣x+x2﹣1，求出导数判断单调性，可得最小值，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=lnx+ax的导数为f′（x）=+a，在点（t，f（t））处切线方程为y=2x﹣1，可得f′（t）=+a=2，f（t）=2t﹣1=lnt+at，解得a=t=1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得f （x ）=lnx+x ，要证当x ＞1时，，即证lnx ＞k （1﹣）﹣1（x ＞1）， 即为xlnx+x ﹣k （x ﹣3）＞0，可令g （x ）=xlnx+x ﹣k （x ﹣3），g ′（x ）=2+lnx ﹣k ，由，x ＞1，可得lnx ＞0，2﹣k ≥0，即有g ′（x ）＞0，g （x ）在（1，+∞）递增， 可得g （x ）＞g （1）=1+2k ≥0，故当x ＞1时，恒成立；（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b ，假设存在正数x 0，使得：．由e f （x0+1）﹣2x0﹣1+x 02=e ln （x0+1）﹣x0+x 02=（x 0+1）•e ﹣x0+x 02．即对于b ∈（0，1），存在正数x 0，使得（x 0+1）•e ﹣x0+x 02﹣1＜0， 从而存在正数x 0，使得上式成立，只需上式的最小值小于0即可．令H （x ）=（x+1）•e ﹣x +x 2﹣1，H ′（x ）=e ﹣x ﹣（x+1）•e ﹣x +bx=x （b ﹣e ﹣x ）， 令H ′（x ）＞0，解得x ＞﹣lnb ，令H ′（x ）＜0，解得0＜x ＜﹣lnb ， 则x=﹣lnb 为函数H （x ）的极小值点，即为最小值点．故H （x ）的最小值为H （﹣lnb ）=（﹣lnb+1）e lnb +ln 2b ﹣1=ln 2b ﹣blnb+b ﹣1，再令G （x ）=ln 2x ﹣xlnx+x ﹣1，（0＜x ＜1），G ′（x ）=（ln 2x+2lnx ）﹣（1+lnx ）+1=ln 2x ＞0，则G （x ）在（0，1）递增，可得G （x ）＜G （1）=0，则H （﹣lnb ）＜0．故存在正数x 0=﹣lnb ，使得．。
2020届山东省新高考高三优质数学试卷分项解析 专题05 三角函数与解三角形(原卷版)
专题5 三角函数与解三角形1.近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主.2.高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．预测2020年将突出考查恒等变换与三角函数图象和性质的结合、恒等变换与正弦定理和余弦定理的结合.一、单选题1．（2020届山东省潍坊市高三上期中）sin 225︒= （ ）A ．12-B ．2-C ．D ．1-2．（2020届山东省泰安市高三上期末）“1a <-”是“0x ∃∈R ，0sin 10+<a x ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知345sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=（ ）A ．10B ．10C ．2 D ．104．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）设函数2sin cos ()(,0)x x xf x a R a ax +=∈≠，若(2019)2f -=，(2019)f =( )A ．2B ．-2C ．2019D ．-20195．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫⎪⎝⎭…恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是（ ） A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π66．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）若π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）．A ．78-B ．14-C ．14 D ．787．（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()sin cos f x x x =+，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()y f x =图象的一条对称轴方程为4x π=C ．()f x 的最小值为2-D ．()f x 的0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数8．（2020届山东省九校高三上学期联考）如图是一个近似扇形的鱼塘，其中OA OB r ==，弧AB 长为l （l r <）.为方便投放饲料，欲在如图位置修建简易廊桥CD ，其中34OC OA =，34OD OB =.已知1(0,)2x ∈时，3sin 3!x x x ≈-，则廊桥CD 的长度大约为（ ）A ．323432r r l - B ．323432l l r - C ．32324l l r-D ．32324r r l-9．（2020·武邑县教育局教研室高三上期末（理））已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（） A ．-7B ．7C ．1D ．-110．（2020届山东师范大学附中高三月考）为了得函数23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数2y sin x =的图象（ ） A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移3π单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向右平移3π个单位11．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）将曲线()cos 2y f x x =上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移4π个单位长度，得到曲线cos 2y x =，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．-1C D ．12．（2020届山东省济宁市高三上期末）在ABC ∆中,1,3,1AB AC AB AC ==⋅=-u u u r u u u r,则ABC ∆的面积为( )A ．12B ．1CD ．213．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0a a >个单位得到函数()πcos 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则a 的值可以为（ ）A ．5π12B ．7π12C ．19π24D ．41π2414．（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数2()2cos 12f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭(0)>ω的图象关于直线4x π=对称，则ω的最小值为（ ） A ．13B ．16C ．43D ．5615．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，2b =，则△ABC 面积的最大值是A ．1B C ．2D ．416．（2020届山东省烟台市高三上期末）若x α=时，函数()3sin 4cos f x x x =+取得最小值，则sin α=（ ）A ．35B ．35-C ．45D ．45-17．（2020届山东实验中学高三上期中）在ABC △中，若 13,3,120AB BC C ==∠=o ，则AC =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．418．（2020届山东实验中学高三上期中）已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（ ） A ．-7B ．7C ．1D ．-119．（2020届山东省济宁市高三上期末）函数22cos cos 1y x x =-++，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．20．（2020届山东师范大学附中高三月考）泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A 处测得“泉标”顶端的仰角为45︒，沿点A 向北偏东30︒前进100 m 到达点B ，在点B 处测得“泉标”顶端的仰角为30︒，则“泉标”的高度为（ ） A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m21．（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数()sin 23f x a x x =的图象关于直线12x π=-对称，若()()124f x f x ⋅=-，则12a x x -的最小值为（ ） A ．4πB ．2π C ．πD ．2π22．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭，则( ) A ．把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 2y x =的图象B ．函数()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．函数()f x 在区间[]0,2π内有五个零点D ．函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 二、多选题23．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．π-是()f x 的一个周期 B ．()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移3π得到 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()y f x =的图像关于直线1712x π=对称 24．（2020届山东师范大学附中高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，角α顶点在原点O ，以x 正半轴为始边，终边经过点()()1,0P m m <，则下列各式的值恒大于0的是（ ） A ．sin tan ααB ．cos sin αα-C ．sin cos ααD ．sin cos αα+25．（2020·蒙阴县实验中学高三期末）关于函数()22cos cos(2)12f x x x π=-+-的描述正确的是（ ）A ．其图象可由2y x =的图象向左平移8π个单位得到 B ．()f x 在(0,)2π单调递增C ．()f x 在[]0,π有2个零点D ．()f x 在[,0]2π-的最小值为26．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的值域与()g x 的值域不相同B ．把函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度，就可以得到函数()g x 的图象 C ．函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上都是增函数 D ．若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点27．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度得到()g x 图象，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()g x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．函数()g x 图象关于直线712x π=对称 C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称28．（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知()()22210f x cos x x ωωω=->的最小正周期为π，则下列说法正确的有（ ） A ．2ω= B ．函数()f x 在[0,]6π上为增函数C ．直线3x π=是函数()y f x =图象的一条对称轴D ．5π,012骣琪琪桫是函数()y f x =图象的一个对称中心29．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1tan A ，1tan B ，1tan C依次成等差数列，则下列结论中不一定成立．．．．．的是（ ） A ．a ，b ，c 依次成等差数列B C ．2a ，2b ，2c 依次成等差数列 D ．3a ，3b ，3c 依次成等差数列30．（2020届山东省济宁市高三上期末）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移4π个单位后得到函数()g x 的图象,则函数()g x 具有性质( )A ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,为偶函数 B ．最大值为1,图象关于直线32x π=-对称 C ．在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增,为奇函数 D ．周期为π,图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 31．（2020届山东实验中学高三上期中）己知函数()()()sin 0,023f x x f x ππωϕωϕ⎛⎫=+><<- ⎪⎝⎭，为的一个零点，6x π=为()f x 图象的一条对称轴，且()()0f x π在，上有且仅有7个零点，下述结论正确．．的是（ ） A ．=6πϕB ．=5ωC ．()()0f x π在，上有且仅有4个极大值点D ．()042f x π⎛⎫⎪⎝⎭在，上单调递增32．（2019·山东师范大学附中高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，角α顶点在原点O ，以x 正半轴为始边，终边经过点()()1,0P m m <，则下列各式的值恒大于0的是（ ） A ．sin tan ααB ．cos sin αα-C ．sin cos ααD ．sin cos αα+33．（2020届山东省烟台市高三上期末）已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（ ） A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3πD ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 三、填空题34．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知1sin 4x =，x 为第二象限角，则sin 2x =______. 35．（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知tan 3α=，则sin cos sin cos αααα-+的值为______.36．（2020届山东师范大学附中高三月考）已知1tan 3α=，则2sin 2sin 1cos 2ααα-+的值为________．37．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是O ，始边是x 轴的非负半轴，02απ<<，点1tan,1tan1212P ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭是α终边上一点，则α的值是________. 38．（2020·全国高三专题练习（文））已知sin cos 11cos 2ααα=-，1tan()3αβ-=，则tan β=________.39．（2020届山东实验中学高三上期中）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________． 40．（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知函数()9sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，当[]0,10x π∈时，把函数()()6F x f x =-的所有零点依次记为123,,,,n x x x x ⋅⋅⋅，且123n x x x x <<<⋅⋅⋅<，记数列{}n x 的前n 项和为n S ，则()12n n S x x -+=______.41．（2020届山东省德州市高三上期末）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0,||2A πωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭的最大值2π，且()f x 的图象关于直线3x π=-对称，则当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为______.42．（2020届山东省泰安市高三上期末）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos sin A B C a b c +=，22265b c a bc +-=，则tan B =______． 四、解答题43．（2020届山东省临沂市高三上期末）在①3cos 5A =，cos C =，②sin sin sin c C A b B =+，60B =o，③2c =，1cos 8A =三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答. 已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，______，求ABC V 的面积S . 44．（2020届山东省泰安市高三上期末）在①函数()()1sin 20,22f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位长度得到()g x 的图象，()g x图象关于原点对称；②向量),cos 2m x x ωω=u r，()11cos ,,0,24n x f x m n ωω⎛⎫=>=⋅ ⎪⎝⎭r u r r ；③函数()1cos sin 64f x x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()0ω>这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知_________，函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π． （1）若02πθ<<，且sin θ=()f θ的值； （2）求函数()f x 在[]0,2π上的单调递减区间．45．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos 0a c B b A ++=.（I ）求B ；（II ）若3,b ABC =∆的周长为3ABC +∆的面积.46．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，其中0A >，0>ω，(0,)ϕπ∈，x ∈R ，且()f x 的最小值为-2，()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，()f x 的图象过点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的解析式和单调递增区间； （2）若[0,2]x πÎ函数()f x 的最大值和最小值.47．（2020届山东省潍坊市高三上期中）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知10a b +=，5c =，sin 2sin 0B B +=．（1）求a ，b 的值： （2）求sin C 的值．48．（2020届山东省烟台市高三上期末）在条件①()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，②sin cos()6a Bb A π=+，③sinsin 2B Cb a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a bc ，6b c +=，a =， . 求ABC ∆的面积.49．（2020届山东省泰安市高三上期末）如图所示，有一块等腰直角三角形地块ABC ，90A ∠=o ，BC 长2千米，现对这块地进行绿化改造，计划从BC 的中点D 引出两条成45°的线段DE 和DF ，与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设BDE α∠=，试求花卉种植面积()S α的取值范围．50．（2020届山东省日照市高三上期末联考）在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC . 如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .51．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，23sin 2cos02A CB +-=. （1）求角B 的大小；（2）若2sin 2sin sin B A C =，且ABC ∆的面积为3ABC ∆的周长.52．（2020届山东省德州市高三上期末）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆同时满足下列四个条件中的三个：①2633()b a ac c a b -+=+；②2cos 22cos 12A A +=；③6a =④2b =（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC ∆的面积. （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）53．（20203(cos )sin b C a c B -=；②22cos a c b C +=；③sin 3sin2A Cb A a += 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________________，23,b =4a c +=，求ABC ∆的面积.54．（2020届山东师范大学附中高三月考）ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos cos 2c A a C a +=．（1）求a b的值； （2）若1a =，7c =，求ABC V 的面积． 55．（2020·蒙阴县实验中学高三期末）在非直角ABC ∆中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边.已知4a =，5AB AC ⋅=u u u r u u u r ，求：（1）tan tan tan tan A A B C+的值； （2）BC 边上的中线AD 的长.56．（2020届山东师范大学附中高三月考）设函数5()2cos()cos 2sin()cos 122f x x x x x ππ=++++. （1）设方程()10f x -=在(0,)π内有两个零点12,x x ，求12x x +的值；（2）若把函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再向下平移2个单位，得函数()g x 图象，求函数()g x 在[,]33ππ-上的最值. 57.（2020届山东省潍坊市高三上期末）在①34asinC ccosA =;②252B C bsinasinB +=这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知 ，32a =.(1)求sinA ;(2)如图，M 为边AC 上一点，,2MC MB ABM π=∠=，求ABC V 的面积58．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4cos cos cos a A c B b C =+.（1）若4a =，ABC ∆的面积为15，求b ，c 的值； （2）若()sin sin 0B k C k =>，且角C 为钝角，求实数k 的取值范围.59．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知函数()()23sin cos sin 10f x x x x ωωωω=-+>图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π.（1）求ω的值及函数()f x 的单调递减区间；（2）如图，在锐角三角形ABC 中有()1f B =，若在线段BC 上存在一点D 使得2AD =，且6AC =，31CD =-，求三角形ABC 的面积.60．（2020届山东省济宁市高三上期末）已知()()23sin sin cos 2f x x x x ππ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭. (1)若1210f α⎛⎫= ⎪⎝⎭,求2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值; (2)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别,,a b c ,若有()2cos cos a c B b C -=,求角B 的大小以及()f A 的取值范围.61．（2020届山东省济宁市高三上期末）如图,某市三地A ,B ,C 有直道互通.现甲交警沿路线AB ､乙交警沿路线ACB 同时从A 地出发,匀速前往B 地进行巡逻,并在B 地会合后再去执行其他任务.已知AB =10km ,AC =6km ,BC =8km ,甲的巡逻速度为5km /h ,乙的巡逻速度为10km /h .(1)求乙到达C 地这一时刻的甲､乙两交警之间的距离;(2)已知交警的对讲机的有效通话距离不大于3km ,从乙到达C 地这一时刻算起,求经过多长时间,甲､乙方可通过对讲机取得联系.62．（2020·全国高三专题练习（文））在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满()(sin sin )(3sin sin )b a B A c B C -+=-.（1）求A 的大小；（2）再在①2a =，②4B π=，③3=c b 这三个条件中，选出两个使ABC V 唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求ABC V 的面积.63．（2020届山东实验中学高三上期中）己知函数()23sin cos sin 244f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1.（1）求实数a 的值；（2）若将()f x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.64．（2020届山东实验中学高三上期中）“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形ABCD 的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD 连接，设ABD ∆中边BD 所对的角为A ，BCD ∆中边BD 所对的角为C ，经测量已知2AB BC CD ===，23AD =.（1）霍尔顿发现无论BD 3cos A C -为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；（2）霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关，记ABD ∆与BCD ∆的面积分别为1S 和2S ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出2212S S +的最大值.。
2020-2021学年山东省烟台市高二(上)期中数学试卷+答案解析(附后)
2020-2021学年山东省烟台市高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的是( )A. 任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B. 空间的基底有且仅有一个C. 两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D. 直线的方向向量有且仅有一个2.直线的倾斜角是( )A. B. C.D.3.已知，，，若P ，A ，B ，C 四点共面，则( )A. 9B.C. D. 34.已知实数x ，y 满足，那么的最小值为( )A. B.C. 2D. 45.直线的一个方向向量是( )A.B.C.D.6.正四面体ABCD 中，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，则直线AM 和CN 夹角的余弦值为( )A.B.C. D.7.棱长为1的正方体中，O 是面的中心，则O 到平面的距离是( )A.B.C. D.8.已知圆C 的方程为，过直线l ：上任意一点作圆C 的切线，若切线长的最小值为，则直线l 的斜率为( )A. 4B.C.D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列叙述正确的有( )A. 平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率B. 平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角C. 若，则D. 任意两个空间向量共面10.古希腊数学家阿波罗尼奥斯著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，圆C：上有且仅有一个点P满足，则r的取值可以为( )A. 2B. 4C. 6D. 811.如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为，的中点，则( )A. 直线与底面ABCD所成的角为B. 平面与底面ABCD夹角的余弦值为C.直线与直线AE的距离为D. 直线与平面的距离为12.设有一组圆：，下列说法正确的是( )A. 这组圆的半径均为1B.直线平分所有的圆C.直线被圆截得的弦长相等D. 存在一个圆与x轴和y轴均相切三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届山东省新高考高三优质数学试卷分项解析-专题03-函数及其应用(解析版)
专题3 函数及其应用1.关于函数图象的考查： （1）函数图象的辨识与变换；（2）函数图象的应用问题，运用函数图象理解和研究函数的性质，数形结合思想分析与解决问题的能力； 2.关于函数性质的考查：以考查能力为主，往往以常见函数（二次函数、指数函数、对数函数）为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；3.常见题型，除将函数与导数相结合考查外，对函数独立考查的题目，不少于两道，近几年趋向于稳定在选择题、填空题，易、中、难的题目均有可能出现.，预测2020年将保持对数形结合思想的考查，主要体现在对函数图象、函数性质及其应用的考查，客观题应特别关注分段函数相关问题，以及与数列、平面解析几何、平面向量、立体几何的结合问题.主观题依然注意与导数的结合.一、单选题1．（2019·山东师范大学附中高三月考）函数()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间为（ ）A ．()1,0-B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,2【答案】C 【解析】311(1)(1)()302f --=--=-<，301(0)0(102f =-=-<，@13211112()()()02228f =-=-<，31111(1)1()10222f =-=-=>，321115(2)2()80222f =-=-=>，由()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭. 故选：C2．（2020届山东省泰安市高三上期末）函数()3ln xf x x=的部分图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】:()()()33ln ln ,x xf x f x f x x x=-==--， ()f x 为奇函数，排除B 当1x >时，()3ln 0xf x x=>恒成立，排除CD 故答案选A3．（2020·河南高三月考（理））已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是（ ）A ．2()(2)3-∞+∞，，B ．2(2)3， C ．22()33-，D ．22()()33-∞-+∞，， 【答案】D 【解析】》因为(2)f x +是偶函数，所以()f x 关于直线2x =对称； 因此，由(0)0f =得(4)0f =；又()f x 在(]2-∞，上单调递减，则()f x 在[)2,+∞上单调递增；所以，当232x -≥即0x ≤时，由(23)0f x ->得(23)(4)f x f ->，所以234x ->， 解得23x <-； 当232x -<即0x >时，由(23)0f x ->得(23)(0)f x f ->，所以230x -<， 解得23x >； 因此，(23)0f x ->的解集是22()()33-∞-+∞，，. 》4．（2020·全国高三专题练习（文））函数()()22log ,1,1,1,x x f x f x x ≥⎧=⎨+<⎩，若方程()2f x x m =-+有且只有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．(),4-∞ B ．(],4-∞C ．()2,4-D ．(]2,4-【答案】A 【解析】令()2g x x m =-+,画出()f x 与()g x 的图象,平移直线,当直线经过()1,2时只有一个交点,此时4m =,向右平移,不再符合条件,故4m < 故选：A$5．（2020届山东省烟台市高三上期末）设0.5log 3a =，30.5b =，0.513c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A 【解析】由题,因为0.5log y x =单调递减,则0.50.5log 3log 10a =<=；因为0.5xy =单调递减,则3000.50.51b <=<=；因为3xy =单调递增,则0.50.5013313c -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭,所以01a b c <<<<,—故选：A6．（2020届山东省潍坊市高三上期中）函数ln ()xf x x x=-的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，||||()()()ln x ln x f x x x f x x x--=--=--=--，则函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，D ，"当0x >且0x →，()f x →+∞，排除C . 故选：A.7．（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知3log 2a =，143b =，2ln 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】B 【解析】因为3log 2(0,1)a =∈，1431b =>，203c ln =<，则a ，b ，c 的大小关系：b a c >>．|故选：B.8．（2020届山东省泰安市高三上期末）若()33log 21log a b ab +=+2+a b 的最小值为（ ）A ．6B ．83C ．3D ．163【答案】C 【解析】∵()3log 21a b +=+∴()33log 21log a b ab +=+()3log 3ab =， ∴23a b ab +=，且0a >，0b >，《∴123a b+=， ∴()112223a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭122143b a a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭5233b a a b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭5233≥+⋅3=， 当且仅当b aa b =且123a b+=即1a b ==时，等号成立； 故选：C ．9．（2020届山东省日照市高三上期末联考）三个数0.87，70.8，0.8log 7的大小顺序是（ ）A ．70.80.8log 70.87<< B ．0.870.8log 770.8<<C ．70.80.80.87log 7<<D ．0.870.870.8log 7<<,【答案】A 【解析】0.871>，700.81<<，0.8log 70<，故70.80.8log 70.87<<.故选A.10．（2020届山东省济宁市高三上期末）若0.1212,ln 2,log 5a b c ===,则( ) A ．b c a >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．a b c >>【答案】D 【解析】,0.10221a =>=；0ln1ln 2ln 1b e =<=<=；221log log 105c =<=，即a b c >> 故选：D11．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）“0x <”是“ln(1)0x +<”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】由题意得，ln(1)001110x x x +<⇔<+<⇔-<<，故是必要不充分条件，故选B ．）12．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）若a ，b ，c ，满足2log 3a =，25b =，3log 2c =，则（ ）A ．b c a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．c b a <<【答案】B 【解析】2221log log 3log 242=<<=，故12a <<；又22542b =>=，故2b >； 33log 2log 31c =<=，c a b ∴<<，）故选：B.13．（2020届山东省九校高三上学期联考）若函数()y f x =的大致图像如图所示，则()f x 的解析式可以为（ ）A ．()22x xxf x -=+B ．()22x xxf x -=-C ．()22x xf x x-+=D ．()22x xf x x--=【答案】C 【解析】对四个选项解析式分析发现B ，D 两个均为偶函数，图象关于y 轴对称，与题不符，故排除；(极限思想分析，0,222,022xxx x xx +--→+→→+，A 错误；220,222,x xx xx x-+-+→+→→+∞，C 符合题意.故选：C14．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2xf x =，则当0x >时，()f x =（ ） A ．2x - B ．2x - C ．2x -- D ．2x【答案】C 【解析】`0x <时，()2xf x =.当0x >时，0x -<，()2xf x --=，由于函数()y f x =是奇函数，()()2xf x f x -∴=--=-，因此，当0x >时，()2xf x -=-，故选C.15．（2020届山东省德州市高三上期末）已知1232a b -=⋅，()212log 23c b x x -=++，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．a c b >>【答案】A 【解析】…1232a b -=⋅，1232a b -+∴=>，11a b ∴-+>，则a b >.()2223122x x x ++=++≥，()21122log 23log 21c b x x ∴-=++≤=-，b c ∴>.因此，a b c >>. 故选：A.16．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知定义在[]5,12m m --上的奇函数()f x ，满足0x >时，()21x f x =-，则()f m 的值为（ ）A ．-15B ．-7C ．3D ．15【答案】A 【解析】？因为奇函数的定义域关于原点中心对称 则5120m m -+-=,解得4m =-因为奇函数()f x 当0x >时,()21xf x =-则()()()4442115f f -=-=--=-故选:A17．（2020届山东省临沂市高三上期末）函数()22xf x =-（0x <）的值域是（ ）A ．1,2B ．(),2-∞C ．()0,2D ．1,【答案】A$【解析】0x <，021x ∴<<， 120x ∴-<-<1222x ∴<-<. 即()()2221,xf x =-∈故选：A18．（2020届山东实验中学高三上期中）若,a b 是任意实数，且a b >，则（ ）)A ．22a b >B ．1b a<C ．()10g a b ->D ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】a 、b 是任意实数，且a b >，如果0a =，2b =-，显然A 不正确；如果0a =，2b =-，显然B 无意义，不正确； 如果0a =，12b =-，显然C ，102lg <，不正确；因为指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域上单调递减，且a b >，1122ab⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭满足条件，正确．故选：D ．~19．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知x ∈R ，则“121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝”是“21x -<<-”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】由121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝解得0x <，所以由“21x -<<-”能推出“0x <”，反之，不能推出； 因此“121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝”是“21x -<<-”的必要不充分条件. 故选：B.~20．（2020届山东省济宁市高三上期末）已知奇函数()f x 在R 上单调,若正实数,a b 满足()()490f a f b +-=，则11a b+的最小值是( ) A ．1B ．92C ．9D ．18【答案】A 【解析】奇函数()f x 在R 上单调，()()490f a f b +-=，则()()()499f a f b f b =--=- 故49a b =-即49a b +=()()11111141452451999b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当4b a a b =即3,32a b ==时等号成立 ~故选：A21．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知ln ,1()(2),1x x f x f x k x ≥⎧=⎨-+<⎩若函数()1y f x =-恰有一个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞ B ．[1,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,1]-∞【答案】B 【解析】1x ≥时，()ln 1f x x ==，x e =，所以函数()1y f x =-在1x ≥时有一个零点，从而在1x <时无零点，即()1f x =无解．而当1x <时，21x ->，()(2)f x f x k =-+ln(2)x k =-+，它是减函数，值域为(,)k +∞， 要使()1f x =无解．则1k．|故选：B.22．（2020届山东省潍坊市高三上期末）函数()y f x =与()y g x =的图象如图所示，则()()y f x g x =⋅的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由图象可知()y f x =的图象关于y 轴对称，是偶函数，()y g x =的图象关于原点对称，是奇函数，并且定义域{}0x x ≠，$()()y f x g x ∴=⋅的定义域是{}0x x ≠，并且是奇函数，排除B ，又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，()0g x <，()()0f x g x ∴⋅<，排除C,D.满足条件的只有A. 故选：A23．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知31log 3aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133log bb =，131log 3cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a << B ．a b c << C ．b c a << D ．b a c <<【答案】C 【解析】/在同一直角坐标系内，作出函数13x y⎛⎫= ⎪⎝⎭，3logy x=，3xy=，13logy x=的图像如下：因为31log3aa⎛⎫=⎪⎝⎭，133logb b=，131log3cc⎛⎫=⎪⎝⎭，所以a是13xy⎛⎫= ⎪⎝⎭与3logy x=交点的横坐标；b是3xy=与13logy x=交点的横坐标；c是13xy⎛⎫= ⎪⎝⎭与13logy x=交点的横坐标；由图像可得：b c a<<.故选：C.24．（2020届山东师范大学附中高三月考）函数()312xf x x⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间为（）A．()1,0-B．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D．()1,2(【答案】C【解析】311(1)(1)()302f--=--=-<，301(0)0()102f=-=-<，13211112()()()022282f=-=-<，31111(1)1()10222f=-=-=>，321115(2)2()80222f =-=-=>，由()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭. 故选：C25．（2020届山东省德州市高三上期末）已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，有()()1f x f x +=-，且当[)0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，下列命题正确的是（ ）A ．()()201920200f f +-=B ．函数()f x 在定义域上是周期为2的函数{C ．直线y x =与函数()f x 的图象有2个交点D ．函数()f x 的值域为[]1,1-【答案】A 【解析】函数()y f x =是R 上的奇函数，()00f ∴=，由题意可得()()100f f =-=， 当0x ≥时，()()()21f x f x f x +=-+=，()()()()()()2019202020192020100f f f f f f ∴+-=-=-=，A 选项正确；当0x ≥时，()()1f x f x +=-，则2616log 555f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2449log 555f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4462555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-≠-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则函数()y f x =不是R 上周期为2的函数，B 选项错误； 若x 为奇数时，()()10f x f ==，%若x 为偶数，则()()00f x f ==，即当x ∈Z 时，()0f x =，当0x ≥时，()()2f x f x +=，若n N ∈，且当()2,21x n n ∈+时，()20,1x n -∈，()()()20,1f x f x n =-∈，当()1,2x ∈时，则()10,1x -∈，()()()11,0f x f x ∴=--∈-，当()21,22x n n ∈++时，()21,2x n -∈，则()()()21,0f x f x n =-∈-， 所以，函数()y f x =在[)0,+∞上的值域为()1,1-，由奇函数的性质可知，函数()y f x =在(),0-∞上的值域为()1,1-， 由此可知，函数()y f x =在R 上的值域为()1,1-，D 选项错误；|如下图所示：由图象可知，当11x -<<时，函数y x =与函数()y f x =的图象只有一个交点， 当1x ≤-或1x ≥时，()()1,1f x ∈-，此时，函数y x =与函数()y f x =没有交点， 则函数y x =与函数()y f x =有且只有一个交点，C 选项错误. 故选：A.26．（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数()()221,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解12341234,,,,x x x x x x x x <<<且，则()3122341x x x x x ⋅++⋅的取值范围是（ ） A ．(]1,1-B ．[]1,1-C ．[)1,1- D ．()1,1-'【答案】A 【解析】先作()f x 图象，由图象可得12343121,1.2x x x x x ⎡⎫+=-=∈⎪⎢⎣⎭，，因此()31232343112x x x x x x x ⋅++=-+⋅为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减函数，从而()(] 31223411,1x x xx x⋅++∈-⋅，选A.二、多选题27．（2020届山东省临沂市高三上期末）若104a=，1025b=，则（）…A．2a b+=B．1b a-=C．281g2ab>D．lg6b a->【答案】ACD【解析】由104a=，1025b=，得lg4a=，lg25b=，则lg4lg25lg1002a b∴+=+==，25lg25lg4lg4b a∴-=-=，25lg101lg lg64=>>lg6b a∴->)24lg2lg54lg2lg48lg2ab∴=>=，故正确的有：ACD故选：ACD.28．（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知定义在R上的函数()y f x=满足条件()()2f x f x+=-，且函数()1y f x=-为奇函数，则（）A．函数()y f x=是周期函数B．函数()y f x=的图象关于点()1,0-对称C ．函数()y f x =为R 上的偶函数D ．函数()y f x =为R 上的单调函数【答案】ABC 【解析】、因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即4T=，故A 正确；因为函数()1y f x =-为奇函数，所以函数()1y f x =-图像关于原点成中心对称，所以B 正确； 又函数()1y f x =-为奇函数，所以()()11f x f x --=--，根据()()2f x f x +=-，令1x -代x 有()()11f x f x +=--，所以()()11f x f x +=--，令1x -代x 有()()f x f x -=，即函数()f x 为R 上的偶函数，C 正确；因为函数()1y f x =-为奇函数，所以()10f -=，又函数()f x 为R 上的偶函数，()10f =，所以函数不单调，D 不正确. 故选：ABC.29．（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数22,0()(2),0x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，以下结论正确的是（ ）A ．(3)(2019)3f f -+=-B ．()f x 在区间[]4,5上是增函数》C ．若方程() 1f x k x =+恰有3个实根，则11,24k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭D ．若函数()y f x b =-在(,4)-∞上有6个零点(1,2,3,4,5,6)i x i =，则()61iii x f x =∑的取值范围是()0,6【答案】BCD 【解析】函数()f x 的图象如图所示：对A ，(3)963f -=-+=-，(2019)(1)(1)1f f f ==-=，所以(3)(2019)2f f -+=-，故A 错误； 对B ，由图象可知()f x 在区间[]4,5上是增函数，故B 正确；对C ，由图象可知11,24k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，直线() 1f x k x =+与函数图象恰有3个交点，故C 正确； ]对D ，由图象可得，当函数()y f x b =-在(,4)-∞上有6个零点(1,2,3,4,5,6)i x i =，则01b <<，所以当0b →时，()610i i i x f x =→∑；当1b →时，()616i i i x f x =→∑，所以()61i i i x f x =∑的取值范围是()0,6，故D 正确. 故选：BCD.30．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P 点的距离是2km ，从P 点沿海岸正东12km 处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度为5/km h ，时间t （单位：h ）表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：km ）表示此人将船停在海岸处距P 点的距离.设24,u x x =++24v x x =+-，则（ ）A ．函数()v f u =为减函数B ．15432t u v --=C ．当 1.5x =时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D ．当4x =时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h?【答案】AC 【解析】A.∵,u x =v x =,22u v u vx +-==， 由题意4uv =，4v u=在(0,)+∞上是减函数，A 正确．B.125x t -=+126510u v u v+-=+-，整理得15436t u v =++，B 错误；C.由A 、B 得1615363644t u u =++≥=，16u u =即4u =时取等号，4x =，解得31.52x ==，C 正确；D.4x =时，85t =+，7305t -===>，3t >，D 错． :故选：AC.31．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（ ） A ．2xy = B ．23y x-=C ．1y x x=- D ．()2ln 1y x =+【答案】AD 【解析】对于A 选项，2xy =为偶函数，且当0x <时，122xx y -==为减函数，符合题意. 对于B 选项，23y x -=为偶函数，根据幂函数单调性可知23y x -=在(),0-∞上递增，不符合题意. 对于C 选项，1y x x=-为奇函数，不符合题意. {对于D 选项，()2ln 1y x =+为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，()2ln 1y x =+在区间(),0-∞上单调递减，符合题意. 故选：AD.32．（2020届山东省潍坊市高三上期末）把方程1169x x y y+=-表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的有（ ）A ．()y f x =的图象不经过第一象限B ．()f x 在R 上单调递增C ．()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3D ．函数()()43g x f x x =+不存在零点 【答案】ACD;【解析】当0,0x y >>，方程是221169x y +=-不表示任何曲线，故A 正确；当0,0x y ≥≤ ，方程是221169x y -=-，即221916y x -= ，当0,0x y ≤≥ ，方程是221169x y -+=- ，即221169x y -=，当0,0x y ≤≤ ，方程是221169x y --=-，即221169x y+= ，如图画出图象由图判断函数在R 上单调递减，故B 不正确；、由图判断()y f x =图象上的点到原点距离的最小值点应在0,0x y ≤≤的图象上，即满足221169x y += ，设图象上的点(),P x y2222279191616x PO x y x x ⎛⎫=+=+-=+ ⎪⎝⎭当0x =时取得最小值3，故C 正确； 当()430f x x += ，即()34f x x =-， 函数()()43g x f x x =+的零点，就是函数()y f x = 和34y x =-的交点， 而34y x =-是曲线221916y x -=，0,0x y ≥≤和221169x y -=0,0x y ≤≥的渐近线，所以没有交点，由图象可知34y x =-和221169x y +=，0,0x y ≤≤没有交点，所以函数()()43g x f x x =+不存在零点，故D 正确.<故选：ACD33．（2020届山东省滨州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，如图放置的边长为2的正方形ABCD 沿x 轴滚动（无滑动滚动），点D 恰好经过坐标原点，设顶点(),B x y 的轨迹方程是()y f x =，则对函数()y f x =的判断正确的是( )A ．函数()y f x =是奇函数B ．对任意的x ∈R ，都有()()44f x f x +=-C ．函数()y f x =的值域为0,22⎡⎣D ．函数()y f x =在区间[]6,8上单调递增【答案】BCD 【解析】由题意，当42x -≤<-时，顶点(),B x y 的轨迹是以点(2,0)A -为圆心，以2为半径的14圆； ,当22x -≤<时，顶点(),B x y 的轨迹是以点(0,0)D 为圆心，以214圆；当24x ≤<时，顶点(),B x y 的轨迹是以点(2,0)C 为圆心，以2为半径的14圆； 当46x ≤<，顶点(),B x y 的轨迹是以点(4,0)A 为圆心，以2为半径的14圆，与42x -≤<-的形状相同，因此函数()y f x =在[]4,4-恰好为一个周期的图像； 所以函数()y f x =的周期是8； 其图像如下：A 选项，由图像及题意可得，该函数为偶函数，故A 错；B 选项，因为函数的周期为8，所以(8)()f x f x +=，因此(4)(4)f x f x +=-；故B 正确；·C 选项，由图像可得，该函数的值域为0,22⎡⎣；故C 正确；D 选项，因为该函数是以8为周期的函数，因此函数()y f x =在区间[]6,8的图像与在区间[]2,0-图像形状相同，因此，单调递增；故D 正确； 故选：BCD.34．（2020届山东师范大学附中高三月考）下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．3y x = B ．2yxC ．xy e =D ．2lg y x =【答案】CD 【解析】本题主要考查函数的单调性和函数的奇偶性.|A 项，对于函数3y x =，因为()33()()f x x x f x -=-=-≠，所以函数3y x =不是偶函数.故A 项不符合题意.B 项，对于函数2yx ，因为当1x =时，1y =，当2x =，14y =，所以函数2y x 在区间(0,)+∞上不是单调递增的.故B 项不符合题意.C 项，对于函数x y e =，因为定义域为R ，()()x x g x g x e e --===，所以函数xy e =为偶函数，因为函数xy e =，当0x >时，xx y e e ==，而1e >，函数x y e =在R 上单调递增，所以函数xy e =在区间(0,)+∞上为增函数.故C 项符合题意.D 项，对于函数2lg y x =，因为函数()22lg )(l ()g h x x x h x -=-==，所以函数2lg y x =是偶函数.而2yx 在(0,)+∞上单调递增，lg y x =在(0,)+∞上单调递增，所以函数2lg y x =在(0,)+∞上单调递增.故D 项符合题意. 故选：CD.35．（2020届山东实验中学高三上期中）设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()x g x e a =-(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（ ）A ．12B ．2C ．2e D【答案】BCD—【解析】令函数21()()2T x f x x =-，因为2()()f x f x x -+=，22211()()()()()()()022T x T x f x x f x x f x f x x ∴+-=-+---=+--=，()T x ∴为奇函数，当0x 时，()()0T x f x x '='-<， ()T x ∴在(],0-∞上单调递减， ()T x ∴在R 上单调递减．存在0{|()(1)}x x T x T x ∈-，/∴得00()(1)T x T x -，001x x -，即012x ，()x g x e a =-；1()2x， 0x 为函数()y g x =的一个零点；当12x时，()0x g x e '=-， ∴函数()g x 在12x 时单调递减，由选项知0a >，取12x =<，又0g ee ⎛-=> ⎝，∴要使()g x 在12x时有一个零点，.只需使102g a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 解得e a， a ∴的取值范围为⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭， 故选：BCD ． 三、填空题36．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）若()3,0{1,0x x f x x x≤=>,则()()2f f -=__________． 【答案】9 【解析】《因为21(2)309f --==>，所以1((2))()99f f f -==，应填答案9. 37．（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上是减函数，10,3f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭则不等式18log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为__________．【答案】1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是减函数，1()03f -=，11()()033f f ∴=-=，则不等式18(log )0f x >等价为不等式181(|log |)()3f x f >，即181|log |3x <⇒1811log 33x -<<⇒122x <<，{即不等式的解集为1(,2)2， 故答案为：1(,2)2.38．（2020届山东省九校高三上学期联考）已知[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]33=，[]1.51=，[]1.72-=-.令()2x f x x =⋅，[]()()g x f x x =-，则下列说法正确的是__________.①()g x 是偶函数 ②()g x 是周期函数③方程()0g x -=有4个根④()g x 的值域为[]0,2 【答案】②③|【解析】1111()([])()33333g f f =-==，1112()([])()33333g f f -=---== 显然11()()33g g -≠，所以()g x 不是偶函数，所以①错误；[][](1)(11)()()g x f x x f x x g x +=+-+=-=，所以()g x 是周期为1的周期函数，所以②正确； 作出函数y x =的图象和()g x 的图象：根据已推导()g x 是周期为1的周期函数，只需作出()g x 在[0,1)x ∈的图象即可，当[0,1)x ∈时[]()()()2x g x f x x f x x =-==⋅，根据周期性即可得到其余区间函数图象，如图所示：》可得()g x 值域为[0,2)，函数y x =()g x 的图象一共4个交点，即方程()0g x x =有4个根， 所以③正确，④错误； 故答案为：②③39．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知定义在R 上的函数满足(3)(3)f x f x -=-+，且()f x 图像关于1x =对称，当(1,2]x ∈时，2()log (21)f x x =+，则8252f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________. 【答案】-2 【解析】因为()f x 图像关于1x =对称，则()(2)f x f x =-，()(2)(31)(31)(4)(8)f x f x f x f x f x f x =-=--=-++=-+=+，）故()f x 是以8为周期的周期函数，82511113851443131222222f f f f ff⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯++=+=++=---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭23log (21)22=-⨯+=-故答案为：2-.40．（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当12x x ≠时，有1212[()()]()0f x f x x x --<恒成立，若(31)(2)0f x f ++>，则x 的取值范围是________．【答案】(,1)-∞- 【解析】根据已知条件：当12x x ≠时，有1212[()()]()0f x f x x x --<恒成立，得函数()f x 是定义在R 上的减函数，…又因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(2)(2)f f -=-，故(31)(2)0f x f ++>等价于(31)(2)(2)f x f f +>-=-，所以312x +<-，即1x <-. 故答案为：(),1-∞-.41．（2020届山东省济宁市高三上期末）2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足573002tN N -=⋅（0N 表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到5730年之间．（参考数据：22log 3 1.6,log 5 2.3≈≈） 【答案】124011 【解析】当5730t =时，100122N N N -=⋅=∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的12令035N N =，则5730325t-= 2223log log 3log 50.757305t ∴-==-≈- 。
2021-2022学年山东省烟台市高三(上)期末数学试卷(附详解)
2021-2022学年山东省烟台市高三（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={−1,0,1,2}，B={x|(x+1)(x−2)<0}，则A∩B=()A. {0,1}B. {−1,0}C. {−1,0,1}D. {0,1,2}2.命题“∀x∈R，2x>0”的否定是()A. ∃x∈R，2x>0B. ∃x∈R，2x≤0C. ∀x∈R，2x<0D. ∀x∈R，2x≤03.函数y=√4−x2ln(x+1)的定义域为()A. [−2,2]B. (−1,2]C. (−1,0)∪(0,2]D. (−1,1)∪(1,2]4.在生活中，人们常用声强级y(单位：dB)米表示声强度I(单位．W/m2)的相对大小，具体关系式为y=10lg(I I)，其中基准值I0=10−12W/m2.若声强度为I1时的声强级为60dB，那么当声强度变为4I1时的声强级约为()(参考数据：lg2≈0.3)A. 63dBB. 66dBC. 72dBD. 76dB5.若双曲线mx2−y2=1(m∈R)的一条浙近线方程为3x−4y=0，则其离心率为()A. 43B. 53C. 54D. 746.已知|a⃗|=1，|b⃗ |=2，a⃗⋅b⃗ =−12，cos<a⃗，a⃗−b⃗ >=()A. 14B. 34C. √612D. √647.若直线x−y+2=0将圆(x−a)2+(y−3)2=9分成的两段圆弧长度之比为1：3，则实数a的值为()A. −4B. −4或2C. 2D. −2或48.若定义在R上的奇函数f(x)在(−∞,0)上单调递减，且f(2)=0，则满足(2x−1)f(x+1)≥0的x的取值范围是()A. (−∞,−1]∪[12,3] B. (−∞,−3]∪[1,+∞)C. [−3,−1]∪[12,1] D. [−3,12]∪[1,+∞)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知a>0，b>0，则下列命题成立的有()A. 若ab=1，则a2+b2≥2B. 若ab=1，则1a +1b≥2C. 若a+b=1，则a2+b2≤12D. 若a+b=1，则1a+1b≥410.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则()A. ω的值为2B. φ的值为π6C. (−π4,0)是函数f(x)的一个增区间D. 当x=π3+kπ(k∈Z)时，f(x)取最大值11.已知抛物线C：x2=my的焦点为F(0,1)，点A，B为C上两个相异的动点，则()A. 抛物线C的准线方程为y=−1B. 设点P(2,3)，则|AP|+|AF|的最小值为4C. 若A，B，F三点共线，则|AB|的最小值为2D. 若∠AFB=60°，AB的中点M在C的准线上的投影为N，则|MN|≤|AB|12.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，Q分别为棱AB，BC的中点，则以下四个结论正确的是()A. 棱C1D1上存在一点M，使得AM//平面B1PQB. 直线A1C1到平面B1PQ的距离为23C. 过A1C1且与面B1PQ平行的平面截正方体所得截面面积为98D. 过PQ的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为3π8三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在等差数列{a n}中，a2+a4+a5+a9=8，则a5=______．14.已知α∈(0,π2),cos(α+π4)=√1010，则cosα的值为______．15.若x=−1是函数f(x)=(x2+ax+1)e−x的极值点，则f(x)的极大值为______．16.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，将△ABC沿AC折叠，在折叠过程中三棱锥B′−ACD体积的最大值为______，此时异面直线AB′与CD所成角的余弦值为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在①2acosB=c；②向量m⃗⃗⃗ =(a,b−c)，n⃗=(a−b,c+b)，m⃗⃗⃗ ⊥n⃗；③tanA+tanB=−√3cosCcosAcosB这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解．问题：在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知a=√3，c=3，D为AC边的中点，若______，求BD的长度．18.如图，在正三棱锥P−ABC中，有一半径为1的半球，其底面圆O与正三棱锥的底面贴合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切．设点D为BC的中点，∠ADP=α．(1)用α分别表示线段BC和PD长度；(2)当α∈(0,π2)时，求三棱锥的侧面积S的最小值．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB//CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD=2，△ADP为等边三角形，且面ADP⊥底面ABCD．(1)若M为BC中点，求证：PM⊥BC；(2)求面PAD与面PBC所成二面角的余弦值．20.已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为4，点P(2√63,1)在Γ上．(1)求椭圆Γ的方程；(2)设椭圆Γ的左、右顶点分别为A，B，过定点(1,0)的直线与椭圆Γ交于C，D两点(异于点A，B)，试探究直线AC，BD交点的横坐标是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．21.已知数列{a n}满足a1=4，a n+1={12a n+n,n为奇数a n−2n,n为偶数，n∈N∗．(1)记b n=a2n−2，证明：数列{b n}为等比数列，并求{b n}的通项公式；(2)求数列{a n}的前2n项和S2n．22.已知函数f(x)=lnx−ax+a(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在(1,+∞)上有零点x0．①求a的取值范围；②求证：2−aa<x0<e1a．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由B中不等式解得：−1<x<2，即B={x|−1<x<2}，∵A={−1,0,1,2}，∴A∩B={0,1}，故选：A．求出集合B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.【答案】B【解析】解：因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定∃x∈R，2x≤0．故选：B．利用全称命题的否定是特称命题，去判断．本题主要考查全称命题的否定，要求掌握全称命题的否定是特称命题．3.【答案】C【解析】解：要使原函数有意义，则{4−x2≥0x+1>0x+1≠1，解得−1<x≤2且x≠0．∴函数y=√4−x2ln(x+1)的定义域为(−1,0)∪(0,2]．故选：C．由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．4.【答案】B【解析】解：由题意可得：y =10lg(I10−12)=10(lgI +12)， 当I =I 1时，y =60，则60=10(lgI 1+12)，解得I 1=10−6，所以当I =4I 1时，y =10[lg(4×10−6)+12)]=10(2lg2−6+12)=10×(2×0.3+6)=66，当声强度变为4I 1时的声强级约为66dB ， 故选：B ．由题意当I =I 1时，y =60，然后即可求出I 1的值，进而可以求解．本题考查了根据实际问题建立函数模型的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：∵双曲线mx 2−y 2=1的一条浙近线方程为3x −4y =0， ∴√m =34，m =916，a =43，b =1，c =53，∴双曲线的离心率为e =ca =54． 故选：C ．双曲线mx 2−y 2=1(m >0)的一条渐近线方程为3x −4y =0，可得m ，然后求解离心率．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．6.【答案】D【解析】解：因为|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，a ⃗ ⋅b ⃗ =−12，所以|a ⃗ −b ⃗ |=√a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=√1+1+4=√6 则cos <a ⃗ ，a ⃗ −b ⃗ >=a ⃗ ⋅(a ⃗ −b⃗ )|a ⃗ ||a ⃗ −b⃗ |=a ⃗ 2−a ⃗ ⋅b⃗ |a ⃗ ||a ⃗ −b⃗ |=1+121×√6=√64， 故选：D ．根据条件求出|a ⃗ −b ⃗ |，再利用夹角公式求解cos <a ⃗ ，a ⃗ −b ⃗ >即可． 本题考查平面向量数量积的运算性质及夹角公式，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：圆的标准方程为(x −a)2+(y −3)2=9， 则圆心为(a,3)，半径r =3， 设直线和圆相交与AB ，由较短弧长和较长弧长之比为1：3， 则∠AOB =π2，故|AB|=√r 2+r 2=3√2， 则圆心到直线x −y +2=0的距离d =3√22，即d =√2=3√22，解得a =−2或4．故选：D ．设直线和圆相交与AB ，由较短弧长和较长弧长之比为1：3，可求得|AB|，再结合垂径定理，以及点到直线的距离公式，即可求解．本题主要有考查直线与圆的位置关系，掌握点到直线的距离公式是解本题的关键，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：因为定义域为R 的奇函数f(x)在(−∞,0)内单调递减，且f(2)=0， 所以f(x)在(0,+∞)上也是单调递减，且f(−2)=0，f(0)=0，所以当x ∈(−∞,−2)∪(0,2)时，f(x)>0，当x ∈(−2,0)∪(2,+∞)时，f(x)<0， 所以不等式(2x −1)f(x +1)≥0等价为{2x −1<0−2≤x +1≤0或x +1≥2或{2x −1>00≤x +1≤2或x +1≤−2或2x −1=0， 解得−3≤x ≤−1或12≤x ≤1，所以满足(2x −1)f(x +1)≥0的x 的取值范围是[−3,−1]∪[12,1]． 故选：C ．根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，利用分类讨论思想进行求解即可． 本题考查不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性的性质列出不等式是解决本题的关键，属于中档题．9.【答案】ABD【解析】解：由于a>0，b>0，且ab=1，所以a2+b2≥2ab=1，故A正确；对于B：1a +1b=a+b≥2√ab=2，故B正确；对于C：a2+b2≥(a+b)22=12，故C错误；对于D：由于a+b=1，1a +1b=(a+b)(1a+1b)=2+ba+ab≥4，故D正确．故选：ABD．直接利用不等式的性质和基本不等式的应用判断ABCD的结论．本题考查的知识要点：基本不等式的应用，不等式的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】AD【解析】解：根据函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象知，T2=13π12−7π12=π2，所以T=π，ω=2πT=2，选项A正确；根据五点法画图知，2×7π12+φ=π，解得φ=−π6，选项B错误；因为f(x)=2sin(2x−π6)，且x∈(−π4,0)，2x−π6∈(−2π3,−π6)，所以(−π4,0)不是f(x)的增区间，选项C错误；x=π3+kπ，k∈Z时，2x−π6=π2+2kπ，k∈Z，函数f(x)取得最大值2，选项D正确．故选：AD．根据函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象求出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．11.【答案】ABD【解析】解：A中，由焦点坐标为(0,1)，可得m4=1，焦点m=4，所以抛物线的方程为x2=4y，故准线方程为：y=−1，所以A正确；B中，过A作AN垂直于准线于N点，则由抛物线的性质可得|PA|+|PF|=|PA|+|AN|⊥≥|PN|，当且仅当P ，A ，N 三点共线时取等号，所以|AP|+|PF|的最小值为3+1=4，所以B 正确；C 中，A ，F ，B 三点共线时，设直线的方程为y =kx +1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立{x 2=4y y =kx +1，整理可得：x 2−4kx −4=0，则x 1+x 2=4k ，y 1+y 2=k(x1+x 2)+2=4k 2+2，所以|AB|=y 1+1+y 2+2=4k 2+4≥4，当k =0时取等号，所以C 不正确； D 中，过M ，A ，B 作准线的垂线，垂足分别为A′，N ，B′，则|MN|=|AA′|+|BB′|2=|AF|+|BF|2，在△ABF 中，由余弦定理可得|AB|=√|AF|2+|BF|2−2|AF|⋅|BF|cos∠AFB =√|AF|2+|BF|2−2|AF|⋅|BF|cos60°=√(|AF|+|BF|)2−3|AF|⋅|BF|≥√(|AF|+|BF|)2−3(|AF|+|BF|2)2=|AF|+|BF|2，当且仅当|AF|+|BF|时取等号，所以|AB|≥|MN|，故D 正确， 故选：ABD ．由抛物线的焦点坐标可得参数m 的值，进而求出抛物线的方程，求出准线方程，判断出A 正确；过A 作准线的垂线，可得PA 垂直于准线时，可得|AP|+|AF|最小，且最小值为P 到准线的距离，求出最小值，判断出B 正确；当A ，B ，F 三点共线时设直线AB 的方程，与抛物线的方程联立求出两根之和，由抛物线的性质可得|AB|的最小值，判断出C 不正确；过A ，B 作准线的垂线，可得MN 为提醒的中位线，可得|MN|=|AA′|+|BB′|2=|AF|+|BF|2，在△ABF 中，由余弦定理及均值不等式可得|AB|≥|MN|的，判断D 正确．本题考查抛物线的方程的求法及抛物线的性质的应用，余弦定理，均值不等式的应用，属于中档题．12.【答案】BCD【解析】解：在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，P(1,12,0)，Q(12,1,0)，B 1(1,1,1)，A 1(1,0,1)，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,12,0)，PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,1)，设平面B 1PQ 的一个法向量n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +12y =0n⃗ ⋅PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12y +z =0，取z =−1，得n ⃗ =(2,2,−1)， 设棱C 1D 1上点M(0,m,1)，0≤m ≤1，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,m,1)， 若AM//平面B 1PQ ，则有n ⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2+2m −1=0，解得m =32，与0≤m ≤1矛盾，即在棱C 1D 1上不存在点M ，使得AM//平面B 1PQ ，故A 错误；连接AC ，矩形ACC 1A 1是正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的对角面，有AC//A 1C 1， ∵P ，Q 分别为棱AB ，BC 的中点，∴PQ//AC//A 1C 1， ∵A 1C 1⊄平面B 1PQ ，PQ ⊂平面B 1PQ ，∴A 1C 1//平面B 1PQ ， 直线A 1C 1到平面B 1PQ 的距离等于点A 1到平面B 1PQ 的距离ℎ， ∵B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,0)，∴ℎ=|B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=2√9=23，故B 正确；取AD ，CD 的中点E ，F ，连接A 1E ，EF ，C 1F ，EQ ，则EF//AC//A 1C 1，即EF ，A 1C 1确定一个平面，如图，依题意，EQ//AB//A 1B 1，EQ =AB =A 1B 1，∴四边形A 1B 1QE 是平行四边形，A 1E//B 1Q ，A 1E ⊄平面B 1PQ ，B 1Q ⊂平面B 1PQ ，∴A 1E//平面B 1PQ ，∵EF//PQ ，EF ⊄平面B 1PQ ，PQ ⊂平面B 1PQ ，∴EF//平面B 1PQ ， ∵A 1E ∩EF =E ，A 1E ，EF ⊂平面A 1C 1FE ，∴平面A 1C 1FE//平面B 1PQ ， ∴梯形A 1C 1FE 是过A 1C 1与平面B 1PQ 平行的正方体的截面， ∵A 1E =C 1F =√52，EF =√22，A 1C 1=√2，∴此等腰梯形的高ℎ′=√A 1E 2−(A 1C 1−EF 2)2=√54−216=3√24， ∴过A 1C 1与平面B 1PQ 平行的正方体的截面面积为：A 1C 1+EF2⋅ℎ′=(3√24)2=98，故C 正确；过PQ 的平面截正方体的外接球所得截面小圆最小时，该小圆直径是直线PQ 被正方体的外接球所截弦，由对称性知线段PQ 中点N 是这个小圆的圆心，令正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的外接球的球心为O ，连接ON ，OP ，则ON ⊥PQ ，∵OP =√22，PN =√24，ON =√OP 2−PN 2=√64，球半径R =√32，∴这个小圆半径r =√R 2−ON 2=√34−616=√64，此圆面积为πr 2=3π8，故D 正确．故选：BCD ．建立空间直角坐标系，求出平面B 1PQ 的法向量，借助空间向量分析计算可判断A ，B ；作出A 1C 与平面B 1PQ 平行的正方体截面，计算其面积判断C ；求出直线PQ 补正方体的外接球所截弦长判断D ．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】2【解析】解：在等差数列{a n }中，由a 2+a 4+a 5+a 9=8，得a 1+d +a 1+3d +a 1+4d +a 1+8d =4a 1+16d =4(a 1+4d)=8， ∴4a 5=8，即a 5=2． 故答案为：2．由已知直接利用等差数列的通项公式求解．本题考查等差数列的通项公式，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】2√55【解析】解：∵α∈(0,π2),cos(α+π4)=√1010，∴sin(α+π4)=√1−cos2(α+π4)=3√1010，∴cosα=cos[(α+π4)−π4]=cos(α+π4)cosπ4+sin(α+π4)sinπ4=√22×2√105=2√55．故答案为：2√55．利用同角三角函数间的关系式及两角和与差的余弦可求得cosα的值．本题考查两角和与差的三角函数及同角三角函数间关系式的应用，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．15.【答案】4e【解析】解：f′(x)=(2x+a)e−x−(x2+ax+1)e−x=[−x2−(a−2)x+a−1]e−x，由题意可得，f′(−1)=(−1+a−2+a−1)e=0，则a=2，f′(x)=(−x2+1)e−x，−x2+1=0，解得x=1或x=−1，x>1或x<−1，f′(x)<0，当−1<x<1，f′(x)>0，所以函数f(x)在(−∞,−1)，(1,+∞)上单调递减，在(−1,1)上单调递增，故当x=1时，函数取得极大值f(1)=4e．故答案为：4e．先对函数求导，然后结合极值存在条件可得f′(−1)=0，代入可求a，然后判断函数的单调性，求解函数的极大值．本题主要考查了函数极值存在条件的应用，函数的单调性的判断，极值的求法，属于中档题．16.【答案】24516 25【解析】解：三棱锥B′−ACD的底面积S△ACD=6，若三棱锥B′−ACD体积取最大值，则点D到底面ACD的距离最大，即平面B′AC⊥平面ACD ，此时，D 点到直线AC 的距离即三棱锥的高，ℎ=125，∴三棱锥B′−ACD 体积的最大值为： V B′−ACD =13×6×125=245，过A 点在平面ACD 内，作AE//DC ， 则∠B′AC 是异面直线AB′与CD 所成角， ∵平面B′AC ⊥平面ACD ，根据最小角定理得cos∠B′AE =cos∠B′AC ⋅cos∠ACE =cos∠B′AC ⋅cos∠ACD =(45)2=1625．故答案为：245，1625．若三棱锥B′−ACD 体积取最大值，则点D 到底面ACD 的距离最大，即B′AC ⊥平面ACD ，从而求出体积的最大值；过点A 在平面ACD 内，作AE//DC ，得到异面直线所成角，结合最小角定理能求出异面直线AB′与CD 所成角的余弦值．本题考查三棱锥体积的最大值、异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：选①，在△ABC 中，∵2acosB =c ，∴由正弦定理可得，2sinAcosB =sinC ， ∵sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosBsinA ， ∴sin(A −B)=0， ∵−π<A −B <π，∴A −B =0，即A =B ，b =a =√3， ∴由余弦定理可得，cosC =a 2+b 2−c 22ab=−12，在△BCD 中，由余弦定理可得，BD 2=(√3)2+(√32)2−2×√3×√32cosC =214，故BD =√212．选②，∵向量m⃗⃗⃗ =(a,b −c)，n ⃗ =(a −b,c +b)，m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ， ∴a(a −b)+(b −c)(c +b)=0，化简整理可得，a 2−ab −c 2+b 2=0， 在△ABC 中，由余弦定理可得，cosC =a 2+b 2−c 22ab=12，∵0<C <π， ∴C =π3，由正弦定理可得，3sin π3=√3sinA ，即sinA =12，∵a =√3，c =3， ∴0<A <C =π3，则A =π6，即B =π−A −C =π2， 故b =√a 2+c 2=2√3， ∵D 为AC 边的中点， ∴BD =b 2=√3．选③，∵tanA +tanB =−√3cosC cosAcosB，∴sinAcosB+cosAsinBcosAcosB=−√3cosC cosAcosB，即sin(A +B)=sinC =−√3cosC ，∴tanC =−√3， ∵0<C <π， ∴C =2π3，由正弦定理可得，3sin 2π3=√3sinA ，解得sinA =12，∵a =√3，c =3， ∴0<A <C =π3， 则A =π6，即b =a =√3，在△BCD 中，由余弦定理可得，BD 2=(√3)2+(√32)2−2×√3×√32cosC =214，故BD =√212．【解析】选①，由正弦定理边化角，由余弦定理求出cosC ，再运用余弦定理，即可求解．选②，结合向量关系和余弦定理，求出角C ，再结合正弦定理，即可求解． 选③，切化弦求出角C ，再结合正弦定理，以及余弦定理，即可求解．本题主要考查解三角形，掌握正弦定理，余弦定理是解本题的关键，属于中档题．18.【答案】解：(1)根据题意，正三棱锥P −ABC 的截面图，如图：：半球的底面圆的圆心O 是底面三角形ABC 的内心，OE =1，∠ADP =α．则OEOD =1OD =sinα，变形可得OD =1sinα， 则AD =3OD =3sinα， △ABC 为等边三角形，则BC =2√33AD =2√3sinα， △POD 中，ODPD =cosα，则PD =ODcosα=1sinαcosα， (2)根据题意，由(1)的结论，BC =2√3sinα，PD =1sinαcosα，则S ΔPBC =12×BC ×PD =√3sin 2αcosα，故三棱锥的侧面积S =3S ΔPBC =3√3sin 2αcosα，由sin 2αcosα=(1−cos 2α)cosα=−cos 3α+cosα，设t =cosα，0<t <1，则y =−t 3+t ，其导数y′=−3t 2+1，0<t <1， 在区间(0,√33)上，y′>0，y =−t 3+t 为增函数，在区间(√33,1)上，y′<0，y =−t 3+t 为减函数，则当t =√33时，y =−t 3+t 取得最大值，其最大值为2√33，即sin 2αcosα的最大值为2√33， 故三棱锥的侧面积S 的最小值为3√32√33=272．【解析】(1)根据题意，可得O 是底面三角形ABC 的内心，由此可得OEOD =1OD =sinα，由等边三角形的性质，可得AD 的值，在△POD 中，由ODPD =cosα，分析可得答案； (2)根据题意，由(1)的结论，可得S ΔPBC 的表达式，进而得到S =3S ΔPBC =3√3sin 2αcosα，进一步求出其最小值．本题考查球内切三棱锥问题，涉及三棱锥的侧面积计算，属于中档题．19.【答案】(1)证明：取AD 中点O ，连接OM 、OP ，因为△ADP 为等边三角形，M 为BC 中点，所以OP ⊥AD ， 因为面ADP ⊥底面ABCD ，面ADP ∩底面ABCD =AD ，所以OP ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AB//CD ，所以OM//AB ， 又因为∠ABC =90°，所以OM ⊥BC ，所以OB =OC ，所以PB =PC ，于是PM ⊥BC ．(2)解：取AB 中点N ，由题意知，四边形NBCD 是正方形，△AND 是等腰直角三角形， 所以ON ⊥AD ，所以OA 、ON 、OP 两两垂直，建系如图， B(√2,√22,0)，C(√22,√2,0)，P(0,0,√62)， BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,√22,0)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,−√22,√62)， m⃗⃗⃗ =(1,1,√3)， 因为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0，所以m ⃗⃗⃗ 是平面PBC 的法向量， 因为平面PAD 的法向量是n⃗ =(1,0,0)， 所以平面PAD 与面PBC 所成二面角的余弦值为|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√5⋅1=√55．【解析】(1)只要证明PB =PC 即可；(2)用向量数量积计算两平面夹角的余弦值． 本题考查了直线与平面的位置关系，考查了两平面夹角的计算问题，属于中档题．20.【答案】(1)解：由题意2a =4，得a =2，又P 在椭圆上，所以83×4+1b 2=1，解得b =√3， 所以椭圆Γ的方程为x 24+y 23=1．(2)解：可得A(−2,0)，B(2,0)，若直线CD 与x 轴重合，则CD 与AB 重合，不符合题意；设直线CD 的直线方程为x =my +1，设点C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)， 联立{x 24+y 23=1x =my +1，消x 整理得(3m 2+4)y 2+6my −9=0，Δ=36m 2+36(3m 2+4)=144(m 2+1)>0， 由韦达定理可得y 1+y 2=−6m 3m 2+4,y 1y 2=−93m 2+4． 直线AC 的方程为y =y 1x 1+2(x +2)，直线BD 的方程为y =y2x 2−2(x −2)，联立两条直线方程，解得x=2⋅y1(x2−2)+y2(x1+2)y2(x1+2)−y1(x2−2)，①将x1=my1+1，x2=my2+1代入①，得x=2⋅2my1v2+3(y1+y2)−4y13(y1+y2)−2y1，②将y1y2=−6m3m2+4,y1y2−−93m2+4代入②，得x=2⋅2m×−93m2+4+3×−6m3m2+4−4y13×−6m3m2−4−2y1=4⋅9m3m2+4+y19m3m2+4+y1=4．因此，直线AC，BD的交点的横坐标为定值4．【解析】(1)求出a的值，将点P的坐标代入椭圆Γ的方程，求出b的值，可得出栯圆Γ的标准方程；(2)分析可知直线CD与x轴不重合，可设直线CD的方程为x=my+1，设点C(x1,y1)，D(x2,y2)，将直线CD的方程与椭圆Γ的方程联立，列出韦达定理，求出直线AC、BD的方程，求出两直线交点的横坐标，将韦达定理代入即可求得结果．本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的综合，属于难题．21.【答案】解：(1)证明：a n+1={12a n+n,n为奇数a n−2n,n为偶数，n∈N∗．∴a2n+2=12a2n+1+2n+1，a2n+1=a2n−4n，∴a2n+2=12(a2n−4n)+2n+1=12a2n+1，化为：a2n+2−2=12(a2n−2)，a2=12a1+1=3．∵b n=a2n−2，∴b n+1=12b n，b1=a2−2=1∴数列{b n}为等比数列，首项为1，公比为12．∴b n=(12)n−1．(2)由(1)可得：a2n−2=(12)n−1，∴a2n=2+(12)n−1，a2n+1=a2n−4n=2+(12)n−1−4n，∴数列{a n }的前2n 项和S 2n =[n(−2+2−4n)2+1−(12)n1−12]+[2n +1−(12)n1−12]=4−2n 2+2n −(12)n−2．【解析】(1)由a n+1={12a n +n,n 为奇数a n −2n,n 为偶数，n ∈N ∗，可得a 2n+2=12a 2n+1+2n +1，a 2n+1=a 2n −4n ，代入化简即可证明结论．(2)由(1)可得：a 2n −2=(12)n−1，可得a 2n =2+(12)n−1，a 2n+1=a 2n −4n =2+(12)n−1−4n ，即可得出数列{a n }的前2n 项和S 2n ．本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)函数的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1x −a ，当a ≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增， 当a >0时，f′(x)=−a(x−1a)x，当x ∈(0,1a )时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x ∈(1a ,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，综上a ≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递增，当a >0时，f(x)在(0,1a )上单调递增，在(1a ,+∞)上单调递减．(2)①注意到，f(1)=ln1−a +a =0，由(1)知，当a ≤0时，f(x)在[1,+∞)上单调递增，对任意x >1，恒有f(x)>f(1)=0，不合题意；同理当a ≥1时，f(x)在(1a ,+∞)上单调递减，又1a <1，∴对任意x >1，恒有f(x)<f(1)=0，不合题意；当0<a <1时，1a >1，由(1)知，f(x)在[1,1a )上单调递增，在(1a ,+∞)上单调递减， ∴f(1a )>f(1)=0，则当x →+∞，f(x)→−∞，由零点存在定理知，存在唯一一个点x 0∈(1a ,+∞)，使得f(x 0)=0，满足题意， 综上，a 的取值范围是(0,1)．证明：②由①知，当0<a <1时，f(x 0)=lnx 0−ax 0+a =0，得a =lnx 0x 0−1，要证x 0>2−a a，只需要证lnx 0>2(x 0−1)x 0+1，令g(x)=lnx −2(x−1)x+1，(x >1)，则g′(x)=1x −4(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2>0，∴g(x)在(1,+∞)上单调递增，又g(1)=0， ∴g(x)>0在(1,+∞)上恒成立， 即lnx 0>2(x 0−1)x 0+1，即x 0>2−a a成立．要证x 0<e 1a ，只需要证lnx 0<1a ，即lnx 0<x 0−1lnx 0，∵x 0>1，即证(lnx 0)2<x 0−1，令ℎ(x)=(lnx)2−x +1，x ∈(1,+∞)，则ℎ′(x)=2lnx−x x，又(2lnx −x)′=2x −1=2−x x，∴函数f(x)y =2lnx −x 在(1,2)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减，当x =2时，(2lnx −x)max =2ln2−2<0， ∴ℎ′(x)<0在(1,+∞)上恒成立， ∴ℎ(x)在(1,+∞)上单调递减， 又x 0>1，∴ℎ(x 0)<ℎ(1)=0， 即(lnx 0)2<x 0−1，不等式得证．【解析】(1)求函数的导数，利用函数单调性和导数的关系进行判断即可． (2)求函数的导数，判断函数的单调性，利用零点存在定理进行判断证明．本题主要考查导数的综合应用，求出函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，是个难题．综合性较强，运算量较大．。
2022-2023学年山东省烟台市高三上学期期中学业水平测试数学试卷及答案
A
4x2
y2
112 9
1
即 4x2 y2 2xy 112 ，②……………4 分
4xy
2，
9
联立①②得， x 4 , y 4 ，即 c 4, b 8 .
3
3
分
……………6
（2）由题意得， S
ABE
S
ACE
S
，
ABC
∴ 1 4 AE sin 30 1 8 AE sin 30 1 4 8 sin 60 ，
2
2
3
设 b 2x, c y ，
…………………1 分 …………………2 分 …………………3 分
…………………4 …………………6 分 …………………1 分
…………………2 分
在△ABD 中， cos
A
x2
y2
112 9
1
，即 x2
y2
xy
112
，①
……………3 分
2xy
2
9
在
ABC 中， cos
a (a0, 4) 时， m(a) 0 ， m(a) 单调递减，
高三数学试题答案 第 6 页（共 7 页）
则 m(a)max
m(a0 )
(1 a0 ) ln a0
a0
2
(1 a0 )
1 a0
a0
2
a0
1 a0
3 ………11
分
∵
y
a0
1 a0
3 在 a0
(1, 2) 上显然单调递增，
∴ a0
分
即
x2
112 16 9
8 7x
8
x2 7x
0
，所以
x
2019-2020学年山东省菏泽市高一下学期期末数学试卷(A卷) (解析版)
2019-2020学年山东省菏泽市高一第二学期期末数学试卷（A卷）一、选择题（共8小题）.1．在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）A．0.45 0.45B．0.5 0.5C．0.5 0.45D．0.45 0.52．复数z＝的虚部为（）A．2B．﹣2C．﹣3D．﹣3i3．在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．平均数B．标准差C．众数D．中位数4．如图是一个正方体的表面展开图，则图中“有”在正方体中所在的面的对面上的是（）A．者B．事C．竟D．成5．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400N，则该学生的体重（单位：kg）约为（）（参考数据：取重力加速度大小为g＝10m/s2，≈1.732）A．63B．69C．75D．816．已知向量＝（2，3），＝（﹣1，2），若m+与﹣2共线，则m的值为（）A．﹣2B．2C．D．7．如图所示是一样本的频率分布直方图，样本数据共分3组，分别为[5，10），[10，15），[15，20]．估计样本数据的第60百分位数是（）A．14B．15C．16D．178．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为4，P是AA1中点，过点D1作平面α，满足CP⊥平面α，则平面α与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面周长为（）A．4B．12C．8D．8二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9．给出如图所示的三幅统计图，则下列命题中正确的有（）A．从折线图能看出世界人口的变化情况B．2050年非洲人口将达到大约15亿C．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多D．从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列结论正确的是（）A．若b2+c2﹣a2＞0，则△ABC为锐角三角形B．若A＞B，则sin A＞sin BC．若b＝3，A＝60°，三角形面积S＝3，则a＝D．若a cos A＝b cos B，则△ABC为等腰三角形11．在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB中点，下列说法正确的是（）A．B．C．若点P是线段AD上的动点，且满足＝+，则λ+2μ＝1D．若△ABC所在平面内一点P满足＝λ（）（λ≥0），则点P的轨迹一定通过△ABC的内心12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，动点E在线段A1C1上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（）A．FM∥A1C1B．BM⊥平面CC1FC．存在点E，使得平面BEF∥平面CC1D1DD．三棱锥B﹣CEF的体积为定值三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省烟台市2019年中考数学试卷
山东省烟台市2019年中考数学试卷(共12题；共24分)1．（2分）−8的立方根是()A．2B．−2C．±2D．−2√22．（2分）下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是() A．B．C．D．3．（2分）如图是由7个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（）A．主视图不变，左视图不变B．左视图改变，俯视图改变C．主视图改变，俯视图改变D．俯视图不变，左视图改变4．（2分）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为()A．25B．12C．35D．无法确定5．（2分）某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒(ns)，已知1纳秒=0.000000001秒，该计算机完成15次基本运算，所用时间用科学记数法表示为()A．1.5×10−9秒B．15×10−3秒C．1.5×10−8秒D．15×10−8秒6．（2分）一元二次方程x 2 +3=2x的根的情况为（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．有两个不相等的实数根7．（2分）如图能反映小亮同学参加1000米跑体能测试中，脉搏和耗氧量变化的曲线是（）A．a和c B．a和d C．b和c D．b和d8．（2分）要作∠A′O′B′等于已知角∠AOB，应先作一条射线O′B′，再以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D．然后()A．以点O′为圆心，任意长为半径画弧B．以点O′为圆心，OB长为半径画弧C．以点O′为圆心，CD长为半径画弧D．以点O′为圆心，OD长为半径画弧9．（2分）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a+b)n( n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”.(a+b)0=1(a+b)1=a+b(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b2(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5⋅⋅⋅则(a+b)9展开式中所有项的系数和是()A．128B．256C．512D．102410．（2分）如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，双曲线y= k x（k＞0）经过A、E两点，若平行四边形AOBC的面积为24，则k的值是（）A．8B．7.5C．6D．911．（2分）已知抛物线y=-x2+1，下列结论：①抛物线开口向上；②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）；③抛物线的对称轴是y 轴；④抛物线的顶点坐标是（0，1）；⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的．其中正确的个数有（）A．5个B．4个C．3个D．2个12．（2分）如图,O的直径AB=2,点D在AB的延长线上,DC与O相切于点C,连接AC.若∠A=30°,则CD长为()A．13B．√33C．2√33D．√3(共6题；共6分) 13．（1分）|−6|×2−1−√2cos45°=.14．（1分）若关于x的分式方程3xx−2−1=m+3x−2有增根，则m的值为.15．（1分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点P的坐标为16．（1分）如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（a，2），则关于x的不等式x+1≤mx+n的解集为．17．（1分）小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时(机翼间无缝隙)，∠AOB的度数是.18．（1分）如图，分别以等边三角形的每个顶点以圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形.若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为．(共7题；共71分)19．（5分）先化简(x+3−7x−3)÷2x2−8xx−3，再从0≤x≤4中选一个适合的整数代入求值.20．（11分）十八大以来，某校已举办五届校园艺术节.为了弘扬中华优秀传统文化，每届艺术节上都有一些班级表演“经典诵读”、“民乐演奏”、“歌曲联唱”、“民族舞蹈”等节目.小颖对每届艺术节表演这些节目的班级数进行统计，并绘制了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图.（1）（1分）五届艺术节共有个班级表演这些节日，班数的中位数为，在扇形统计图中，第四届班级数的扇形圆心角的度数为；（2）（5分）补全折线统计图；（3）（5分）第六届艺术节，某班决定从这四项艺术形式中任选两项表演(“经典诵读”、“民乐演奏”、“歌曲联唱”、“民族舞蹈”分别用A，B，C，D表示).利用树状图或表格求出该班选择A 和D两项的概率.21．（10分）亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作.某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位.（1）（5分）计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？（2）（5分）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？22．（10分）如图，在矩形ABCD中，CD=2，AD=4，点P在BC上，将ΔABP沿AP 折叠，点B恰好落在对角线AC上的E点. O为AC上一点，⊙O经过点A，P.（1）（5分）求证：BC是⊙O的切线；（2）（5分）在边CB上截取CF=CE，点F是线段BC的黄金分割点吗？请说明理由. 23．（10分）如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边OA，OB可绕点O开合，在OB边上有一固定点P，支柱PQ可绕点P转动，边OA上有六个卡孔，其中离点O最近的卡孔为M，离点O最远的卡孔为N.当支柱端点Q放入不同卡孔内，支架的倾斜角发生变化.将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康.现测得OP的长为12cm，OM为10cm，支柱PQ为8cm.（1）（5分）当支柱的端点Q放在卡孔M处时，求∠AOB的度数；（2）（5分）当支柱的端点Q放在卡孔N处时，∠AOB=20.5°，若相邻两个卡孔的距离相同，求此间距.(结果精确到十分位)24．（15分）如图（1）（5分）问题发现如图1,∠ACB和∠DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一条直线上.填空:线段AD,BE之间的关系为.（2）（5分）拓展探究如图2,∠ACB和∠DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE的关系,并说明理由.（3）（5分）解决问题如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B的位置的变化,直接写出PC的范围.25．（10分）如图，顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(−1,0)，B两点，与y 轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E.双曲线y=6x(x>0)经过点D，连接MD，BD.（1）（5分）求抛物线的表达式；（2）（5分）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】因为(−2)3=−8所以-8 的立方根是-2故答案为：B【分析】立方根：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫a的立方根。
山东省烟台市莱山区2019-2020年八年级(上)期末数学试卷(五四学制) 解析版
2019-2020学年八年级（上）期末数学试卷一．选择题（共12小题）1．下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．若分式＝0，则x的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣23．因式分解（x+y）2﹣2（x2﹣y2）+（x﹣y）2的结果为（）A．4（x﹣y）2B．4x2C．4（x+y）2D．4y24．篮球小组共有15名同学，在一次投篮比赛中，他们的成绩如右面的条形图所示，这15名同学进球数的众数和中位数分别是（）A．6，7 B．7，9 C．9，7 D．9，95．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形从一个顶点出发的对角线的条数为（）A．4 B．5 C．6 D．86．如图，在▱ABCD中，已知AC＝4cm，若△ACD的周长为13cm，则▱ABCD的周长为（）A．26cm B．24cm C．20cm D．18cm7．已知A（1，﹣3），B（2，﹣2），现将线段AB平移至A1B1，如果A1（a，1），B1（5，b），那么a b的值是（）A．32 B．16 C．5 D．48．如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°9．如图，已知矩形ABCD，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形（含三角形），若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N不可能是（）A．360°B．540°C．720°D．630°10．已知M＝m﹣4，N＝m2﹣3m，则M与N的大小关系为（）A．M＞N B．M＝N C．M≤N D．M＜N11．如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（）A．B．1 C．D．12．如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（）A．B．2 C．D．2二．填空题（共8小题）13．团队游客年龄的方差分别是S甲2＝1.4，S乙2＝18.8，S丙2＝2.5，导游小力最喜欢带游客年龄相近龄的团队，则他在甲、乙、丙三个的中应选．14．计算：20192﹣2018×2020＝．15．若3x2﹣mx+n进行因式分解的结果为（3x+2）（x﹣1），则mn＝．16．某市对旧城区规划改建，根据2001年至2003年发展情况调查，制作成了房地产开发公司个数的条形图和各年度每个房地产开发公司平均建筑面积情况的条形图，利用统计图提供的信息计算出这3年中该市平均每年的建筑面积是万平方米．17．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为：A（﹣2，1），B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1）．若以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，那么点D的坐标是．18．如图，矩形ABCD中，直线MN垂直平分AC，与CD，AB分别交于点M，N．若DM＝2，CM ＝3，则矩形的对角线AC的长为．19．已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝1，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x 轴正半轴上，∠AOC＝60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA′B′C′，则点B的对应点B′的坐标为．三．解答题（共8小题）21．将下列各式因式分解（1）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）（2）x2+2x﹣1522．上课时老师在黑板上书写了一个分式的正确化简结果，随后用手掌盖住了一部分，形式如下：•﹣＝（1）聪明的你请求出盖住部分化简后的结果（2）当x＝2时，y等于何值时，原分式的值为523．直角坐标系中，A，B，P的位置如图所示，按要求完成下列各题：（1）将线段AB向左平移5个单位，再向下平移1个单位，画出平移后的线段A1B1；（2）将线段AB绕点P顺时针旋转90°，画出旋转后的线段A2B2；（3）作出线段AB关于点P成中心对称的线段A3B3．24．如图，在▱ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N．（1）求证：四边形BMDN是平行四边形；（2）已知AF＝12，EM＝5，求AN的长．25．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值；（2）已知a﹣b＝4，ab+c2﹣6c+13＝0，求a+b+c的值．26．如图①，在△ABC中，AB＝AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作∠DEF＝∠A，另一边EF交AC于点F．（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；（2）当点D为AB中点时，▱ADEF的形状为；（3）延长图①中的DE到点G，使EG＝DE，连接AE，AG，FG，得到图②，若AD＝AG，判断四边形AEGF的形状，并说明理由．27．春节即将来临，根据习俗好多家庭都会在门口挂红灯笼和贴对联．某商店看准了商机，准备购进批红灯笼和对联进行销售，已知红灯笼的进价是对联进价的 2.25倍，用720元购进对联的数量比用540元购进红灯笼的数量多60件（1）对联和红灯笼的进价分别为多少？（2）由于销售火爆，第一批售完后，该商店以相同的进价再购进300幅对联和200个红灯笼．已知对联的销售价格为12元一幅，红灯笼的销售价格为24元一个．销售一段时间后发现对联售出了总数的，红灯笼售出了总数的．为了清仓，该店老板决定对剩下的红灯笼和对联以相同的折扣数打折销售，并很快全部售出，问商店最低打几折，才能使总的利润率不低于20%？28．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D，E分别在边AC，BC上，CD＝CE，连接AE，点F，H，G分别为DE，AE，AB的中点连接FH，HG（1）观察猜想图1中，线段FH与GH的数量关系是，位置关系是（2）探究证明：把△CDE绕点C顺时针方向旋转到图2的位置，连接AD，AE，BE判断△FHG的形状，并说明理由（3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若CD＝4，AC＝8，请直接写出△FHG 面积的最大值参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选：C．2．若分式＝0，则x的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣2【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，且分母不为零，进而得出答案．【解答】解：由题意，得x2﹣1＝0且x+1≠0，解得x＝1，故选：C．3．因式分解（x+y）2﹣2（x2﹣y2）+（x﹣y）2的结果为（）A．4（x﹣y）2B．4x2C．4（x+y）2D．4y2【分析】利用完全平方进行分解即可．【解答】解：原式＝[（x+y）﹣（x﹣y）]2，＝（x+y﹣x+y）2，＝4y2，故选：D．4．篮球小组共有15名同学，在一次投篮比赛中，他们的成绩如右面的条形图所示，这15名同学进球数的众数和中位数分别是（）A．6，7 B．7，9 C．9，7 D．9，9【分析】根据中位数、众数的意义求解即可．【解答】解：学生进球数最多的是9个，共有6人，因此众数是9个，将这15名同学进球的个数从小到大排列后处在第8位的是7个，因此中位数是7个，故选：C．5．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形从一个顶点出发的对角线的条数为（）A．4 B．5 C．6 D．8【分析】先根据多边形外角和为360°且各外角相等求得边数，再根据多边形对角线条数的计算公式计算可得．【解答】解：根据题意，此正多边形的边数为360°÷45°＝8，则该正多边形从一个顶点出发的对角线的条数为：8﹣3＝5（条）．故选：B．6．如图，在▱ABCD中，已知AC＝4cm，若△ACD的周长为13cm，则▱ABCD的周长为（）A．26cm B．24cm C．20cm D．18cm【分析】根据三角形周长的定义得到AD+DC＝9cm．然后由平行四边形的对边相等的性质来求平行四边形的周长．【解答】解：∵AC＝4cm，若△ADC的周长为13cm，∴AD+DC＝13﹣4＝9（cm）．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∴平行四边形的周长为2（AB+BC）＝18cm．故选：D．7．已知A（1，﹣3），B（2，﹣2），现将线段AB平移至A1B1，如果A1（a，1），B1（5，b），那么a b的值是（）A．32 B．16 C．5 D．4【分析】利用平移的规律求出a，b即可解决问题．【解答】解：由题意：a＝4，b＝2，∴a b＝42＝16，故选：B．8．如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【分析】如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′，∠AOA′即为旋转角．【解答】解：如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O 即为旋转中心．连接OA，OB′∠AOA′即为旋转角，∴旋转角为90°故选：C．9．如图，已知矩形ABCD，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形（含三角形），若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N不可能是（）A．360°B．540°C．720°D．630°【分析】如图，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形（含三角形）的情况有以上三种，分别求出每一个图形的两个多边形的内角和即可作出判断．【解答】解：如图，一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边（含三角形）的情况有以上三种，①当直线不经过任何一个原来矩形的顶点，此时矩形分割为一个五边形和三角形，∴M+N＝540°+180°＝720°；②当直线经过一个原来矩形的顶点，此时矩形分割为一个四边形和一个三角形，∴M+N＝360°+180°＝540°；③当直线经过两个原来矩形的对角线顶点，此时矩形分割为两个三角形，∴M+N＝180°+180°＝360°．故选：D．10．已知M＝m﹣4，N＝m2﹣3m，则M与N的大小关系为（）A．M＞N B．M＝N C．M≤N D．M＜N【分析】利用完全平方公式把N﹣M变形，根据偶次方的非负性解答．【解答】解：N﹣M＝（m2﹣3m）﹣（m﹣4）＝m2﹣3m﹣m+4＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0，∴N﹣M≥0，即M≤N，故选：C．11．如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（）A．B．1 C．D．【分析】只要证明BE＝BC即可解决问题；【解答】解：∵由题意可知CE是∠BCD的平分线，∴∠BCE＝∠DCE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠DCE＝∠E，∴∠BCE＝∠AEC，∴BE＝BC＝3，∵AB＝2，∴AE＝BE﹣AB＝1，故选：B．12．如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（）A．B．2 C．D．2【分析】通过分析图象，点F从点A到D用as，此时，△FBC的面积为a，依此可求菱形的高DE，再由图象可知，BD＝，应用两次勾股定理分别求BE和a．【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E由图象可知，点F由点A到点D用时为as，△FBC的面积为acm2．∴AD＝a∴∴DE＝2当点F从D到B时，用s∴BD＝Rt△DBE中，BE＝＝＝1∵ABCD是菱形∴EC＝a﹣1，DC＝aRt△DEC中，a2＝22+（a﹣1）2解得a＝故选：C．二．填空题（共8小题）13．团队游客年龄的方差分别是S甲2＝1.4，S乙2＝18.8，S丙2＝2.5，导游小力最喜欢带游客年龄相近龄的团队，则他在甲、乙、丙三个的中应选甲．【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．【解答】解：∵S甲2＝1.4，S乙2＝18.8，S丙2＝2.5，∴S甲2＜S丙2＜S乙2，∴他在甲、乙、丙三个的中应选甲；故答案为：甲．14．计算：20192﹣2018×2020＝ 1 ．【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值．【解答】解：原式＝20192﹣（2019﹣1）×（2019+1）＝20192﹣（20192﹣1）＝20192﹣20192+1＝1，故答案为：115．若3x2﹣mx+n进行因式分解的结果为（3x+2）（x﹣1），则mn＝﹣2 ．【分析】将（3x+2）（x﹣1）展开，则3x2﹣mx+n＝3x2﹣x﹣2，从而求出m、n的值，代入计算可得答案．【解答】解：∵（3x+2）（x﹣1）＝3x2﹣x﹣2，∴3x2﹣mx+n＝3x2﹣x﹣2，∴m＝1，n＝﹣2，∴mn＝﹣2，故答案为：﹣2．16．某市对旧城区规划改建，根据2001年至2003年发展情况调查，制作成了房地产开发公司个数的条形图和各年度每个房地产开发公司平均建筑面积情况的条形图，利用统计图提供的信息计算出这3年中该市平均每年的建筑面积是702 万平方米．【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．要求这3年中该市平均每年的建筑面积，则把该市这3年的总建筑面积除以3即可．【解答】解：3年中该市平均每年的建筑面积＝（15×9+30×30+51×21）÷3＝702（万平方米）．故填702．17．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为：A（﹣2，1），B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1）．若以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，那么点D的坐标是（﹣6，1）或（2，1）或（0，﹣3）．【分析】由B（﹣3，﹣1）、C（1，﹣1）可知BC∥x轴∥AD，所以点D与点A纵坐标相同；由平行四边形性质及三角形平移特点，即可求出点D横坐标．【解答】解：过点A、D作AE⊥BC、DF⊥BC，垂足分别为E、F∵以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，∴AD∥BC，B（﹣3，﹣1）、C（1，﹣1）；∴BC∥x轴∥AD，又A（﹣2，1）．∴点D纵坐标为1；∵▱ABCD中，AE⊥BC，DF⊥BC．∴△ABE≌△DCF∴CF＝BE＝1；∴点D横坐标为1+1＝2∴点D（2，1）．同理可得D点坐标还可以为（﹣6，1）或（2，1）或（0，﹣3）；故点D为（﹣6，1）或（2，1）或（0，﹣3）．18．如图，矩形ABCD中，直线MN垂直平分AC，与CD，AB分别交于点M，N．若DM＝2，CM ＝3，则矩形的对角线AC的长为．【分析】连接AM．在Rt△ADM中，利用勾股定理求出AD2，再在Rt△ADC中，利用勾股定理求出AC即可．【解答】解：如图，连接AM．∵直线MN垂直平分AC，∴MA＝MC＝3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，∵DM＝2，MA＝3，∴AD2＝AM2﹣DM2＝32﹣22＝5，∴AC＝＝＝；故答案为：．19．已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝1，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB＝AD，每一个角都是直角可得∠BAE＝∠D＝90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE＝∠DAF，进一步得∠AGE＝∠BGF ＝90°，从而知GH＝BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，在△ABE和△DAF中，∵，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE＝∠DAF，∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠AGE＝∠BGF＝90°，∵点H为BF的中点，∴GH＝BF，∵BC＝4、CF＝CD﹣DF＝4﹣1＝3，∴BF＝＝5，∴GH＝BF＝，故答案为：．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，∠AOC＝60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA′B′C′，则点B的对应点B′的坐标为（，﹣）．【分析】作B′H⊥x轴于H点，连结OB，OB′，根据菱形的性质得到∠COB＝30°，再根据旋转的性质得∠BOB′＝75°，OB′＝OB＝2，则∠COB′＝∠BOB′﹣∠COB＝45°，所以△OB′H为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质可计算得OH＝B′H＝，然后根据第四象限内点的坐标特征写出B′点的坐标．【解答】解：作B′H⊥x轴于H点，连结OB，OB′，如图，∵四边形OABC为菱形，∴OB平分∠AOC，∴∠COB＝30°，∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至第四象限OA′B′C′的位置，∴∠BOB′＝75°，OB′＝OB＝2，∴∠COB′＝∠BOB′﹣∠COB＝45°，∴△OB′H为等腰直角三角形，∴OH＝B′H＝OB′＝，∴点B′的坐标为（，﹣）．故答案为：（，﹣）．三．解答题（共8小题）21．将下列各式因式分解（1）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）（2）x2+2x﹣15【分析】（1）将原式变形后，利用提公因式法和平方差公式进行因式分解；（2）利用十字相乘法进行分解即可．【解答】解：（1）原式＝x2（m﹣2）﹣y2（m﹣2）＝（m﹣2）（x+y）（x﹣y），（2）x2+2x﹣15＝（x+5）（x﹣3）．22．上课时老师在黑板上书写了一个分式的正确化简结果，随后用手掌盖住了一部分，形式如下：•﹣＝（1）聪明的你请求出盖住部分化简后的结果（2）当x＝2时，y等于何值时，原分式的值为5【分析】（1）根据被减数、减数、差及因数与积的关系，化简分式求出盖住的部分即可；（2）根据x＝2时分式的值是5，得关于y的方程，求解即可．【解答】解：（1）∵（+）÷＝[+]×＝×＝﹣∴盖住部分化简后的结果为﹣；（2）∵x＝2时，原分式的值为5，即，∴10﹣5y＝2解得y＝经检验，y＝是原方程的解．所以当x＝2，y＝时，原分式的值为5．23．直角坐标系中，A，B，P的位置如图所示，按要求完成下列各题：（1）将线段AB向左平移5个单位，再向下平移1个单位，画出平移后的线段A1B1；（2）将线段AB绕点P顺时针旋转90°，画出旋转后的线段A2B2；（3）作出线段AB关于点P成中心对称的线段A3B3．【分析】（1）分别作出A，B的对应点A1B1即可．（2）分别作出A，B的对应点A2B2即可．（3）分别作出A，B的对应点A3B3即可．【解答】解：（1）如图线段A1B1即为所求．（2）如图线段A2B2即为所求．（3）如图线段A3B3即为所求．24．如图，在▱ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N．（1）求证：四边形BMDN是平行四边形；（2）已知AF＝12，EM＝5，求AN的长．【分析】（1）只要证明DN∥BM，DM∥BN即可；（2）只要证明△CEM≌△AFN，可得FN＝EM＝5，在Rt△AFN中，根据勾股定理AN＝即可解决问题；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∵BM⊥AC，DN⊥AC，∴DN∥BM，∴四边形BMDN是平行四边形；（2）解：∵四边形BMDN是平行四边形，∴DM＝BN，∵CD＝AB，CD∥AB，∴CM＝AN，∠MCE＝∠NAF，∵∠CEM＝∠AFN＝90°，∴△CEM≌△AFN，∴FN＝EM＝5，在Rt△AFN中，AN＝＝＝13．25．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值；（2）已知a﹣b＝4，ab+c2﹣6c+13＝0，求a+b+c的值．【分析】（1）根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到x、y 的值，从而可以得到2x+y的值；（2）根据a﹣b＝4，ab+c2﹣6c+13＝0，可以得到a、b、c的值，从而可以得到a+b+c 的值．【解答】解：（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1＝0，∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）＝0，∴（x+y）2+（y+1）2＝0，∴x+y＝0，y+1＝0，解得，x＝1，y＝﹣1，∴2x+y＝2×1+（﹣1）＝1；（2）∵a﹣b＝4，∴a＝b+4，∴将a＝b+4代入ab+c2﹣6c+13＝0，得b2+4b+c2﹣6c+13＝0，∴（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）＝0，∴（b+2）2+（c﹣3）2＝0，∴b+2＝0，c﹣3＝0，解得，b＝﹣2，c＝3，∴a＝b+4＝﹣2+4＝2，∴a+b+c＝2﹣2+3＝3．26．如图①，在△ABC中，AB＝AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作∠DEF＝∠A，另一边EF交AC于点F．（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；（2）当点D为AB中点时，▱ADEF的形状为菱形；（3）延长图①中的DE到点G，使EG＝DE，连接AE，AG，FG，得到图②，若AD＝AG，判断四边形AEGF的形状，并说明理由．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BDE＝∠A，根据题意得到∠DEF＝∠BDE，根据平行线的判定定理得到AD∥EF，根据平行四边形的判定定理证明；（2）根据三角形中位线定理得到DE＝AC，得到AD＝DE，根据菱形的判定定理证明；（3）根据等腰三角形的性质得到AE⊥EG，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明．【解答】（1）证明：∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠A，∵∠DEF＝∠A，∴∠DEF＝∠BDE，∴AD∥EF，又∵DE∥AC，∴四边形ADEF为平行四边形；（2）解：▱ADEF的形状为菱形，理由如下：∵点D为AB中点，∴AD＝AB，∵DE∥AC，点D为AB中点，∴DE＝AC，∵AB＝AC，∴AD＝DE，∴平行四边形ADEF为菱形，故答案为：菱形；（3）四边形AEGF是矩形，理由如下：由（1）得，四边形ADEF为平行四边形，∴AF∥DE，AF＝DE，∵EG＝DE，∴AF∥DE，AF＝GE，∴四边形AEGF是平行四边形，∵AD＝AG，EG＝DE，∴AE⊥EG，∴四边形AEGF是矩形．27．春节即将来临，根据习俗好多家庭都会在门口挂红灯笼和贴对联．某商店看准了商机，准备购进批红灯笼和对联进行销售，已知红灯笼的进价是对联进价的 2.25倍，用720元购进对联的数量比用540元购进红灯笼的数量多60件（1）对联和红灯笼的进价分别为多少？（2）由于销售火爆，第一批售完后，该商店以相同的进价再购进300幅对联和200个红灯笼．已知对联的销售价格为12元一幅，红灯笼的销售价格为24元一个．销售一段时间后发现对联售出了总数的，红灯笼售出了总数的．为了清仓，该店老板决定对剩下的红灯笼和对联以相同的折扣数打折销售，并很快全部售出，问商店最低打几折，才能使总的利润率不低于20%？【分析】（1）设对联的进价为x元，则红灯笼的进价为2.25x元，根据数量＝总价÷单价结合用720元购进对联的数量比用540元购进红灯笼的数量多60件，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设商店对剩下的商品打y折销售，根据利润＝销售总额﹣进货成本结合总的利润率不低于20%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．【解答】解：（1）设对联的进价为x元，则红灯笼的进价为2.25x元，依题意，得：﹣＝60，解得：x＝8，经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意，∴2.25x＝18．答：对联的进价为8元，红灯笼的进价为18元．（2）设商店对剩下的商品打y折销售，依题意，得：12×300×+24×200×+12××300×（1﹣）+24××200×（1﹣）﹣8×300﹣18×200≥（8×300﹣18×200）×20%，整理，得：240y≥1200，解得：y≥5．答：商店最低打5折，才能使总的利润率不低于20%．28．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D，E分别在边AC，BC上，CD＝CE，连接AE，点F，H，G分别为DE，AE，AB的中点连接FH，HG（1）观察猜想图1中，线段FH与GH的数量关系是FH＝GH，位置关系是FH⊥HG （2）探究证明：把△CDE绕点C顺时针方向旋转到图2的位置，连接AD，AE，BE判断△FHG的形状，并说明理由（3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若CD＝4，AC＝8，请直接写出△FHG 面积的最大值【分析】（1）直接利用三角形的中位线定理得出FH＝GH，再借助三角形的外角的性质即可得出∠FHG＝90°，即可得出结论；（2）由题意可证△CAD≌△CBE，可得∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，根据三角形中位线定理，可证HG＝HF，HF∥AD，HG∥BE，根据角的数量关系可求∠GHF＝90°，即可证△FGH是等腰直角三角形；（3）由题意可得S△HGF最大＝HG2，HG最大时，△FGH面积最大，点D在AC的延长线上，即可求出△FGH面积的最大值．【解答】解：（1）∵AC＝BC，CD＝CE，∴AD＝BE，∵点F是DE的中点，点H是AE的中点，∴FH＝AD，∵点G是AB的中点，点H是AE的中点，∴GH＝BE，∴FH＝GH，∵点F是DE的中点，点H是AE的中点，∴FH∥AD，∴∠FHE＝∠CAE∵点G是AB的中点，点H是AE的中点，∴GH∥BE，∴∠AGH＝∠B，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠BAC＝∠B＝45°，∵∠EGH＝∠B+∠BAE，∴∠FHG＝∠FHE+∠EHG＝∠CAE+∠B+∠BAE＝∠B+∠BAC＝90°，∴FH⊥HG，故答案为FH＝GH，FH⊥HG；（2）△FGP是等腰直角三角形理由：由旋转知，∠ACD＝∠BCE，∵AC＝BC，CD＝CE，∴△CAD≌△CBE（SAS），∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，由三角形的中位线得，HG＝BE，HF＝AD，∴HG＝HF，∴△FGH是等腰三角形，由三角形的中位线得，HG∥BE，∴∠AGH＝∠ABE，由三角形的中位线得，HF∥AD，∴∠FHE＝∠DAE，∵∠EHG＝∠BAE+∠AGH＝∠BAE+∠ABE，∴∠GHF＝∠FHE+∠EHG＝∠DAE+∠BAE+∠ABE＝∠BAD+∠ABE＝∠BAC+∠CAD+∠ABC﹣∠CBE＝∠CBA+∠CAB，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CBA＝∠CAB＝45°，∴∠GHF＝90°，∴△FGH是等腰直角三角形；（3）由（2）知，△FGH是等腰直角三角形，HG＝HF＝AD，∵S△HGF＝HG2，∴HG最大时，△FGH面积最大，∴点D在AC的延长线上，∵CD＝4，AC＝8∴AD＝AC+CD＝12，∴HG＝×12＝6．∴S△PGF最大＝HG2＝18．。
2023—2024学年山东省烟台市高三上学期期中数学试卷
2023—2024学年山东省烟台市高三上学期期中数学试卷一、单选题1. 已知集合，则（）A．B．C．D．2. 若无穷等差数列的公差为，则“”是“，”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3. 已知函数，则的值为（）A．B．0C．D．14. 在平行四边形ABCD中，，则（）A．2B．C．D．45. 某数学兴趣小组欲测量一下校内旗杆顶部M和教学楼M₁顶部N之间的距离，已知旗杆AM高15m，教学楼BN高21m，在与A, B同一水平面C处测得的旗杆顶部M的仰角为，教学楼顶部N的仰角为，，则M, N之间的距离为（）A．B．C．D．6. 已知则a，b，c的大小关系为（）A．B．C．D．7. 斐波那契数列以如下递归的方法定义:，若斐波那契数列对任意，存在常数，使得成等差数列，则的值为（）A．1B．3C．D．8. 定义在R上的函数f( x)的导函数为，满足，且当时，，则不等式的解集为（）A．B．C．D．二、多选题9. 已知函数的部分图象如图所示，则（）A．B．函数f(x)的图象关于对称C．函数f(x)的图象关于对称D．函数f(x)在上单调递增10. 已知，则下列不等式一定成立的有（）A．B．C．D．11. 已知函数的定义域为，满足，且时，，则（）A．时，函数的最大值为B．函数在区间上单调递减C．方程有两个实根D．若，则的最大值为12. 已知数列：，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，以此类推.记数列的前n项和为，则（）A．B．C．若则的最小值为D．若且存在，使得，则的最小值为三、填空题13. 设向量，若，则的值为 __________ ．14. 若，，，则的最小值为 ___________ .15. 已知函数，则的最小值为________ .16. 若过点有三条直线与函数的图象相切，则实数m的取值范围为 ___________ .四、解答题17. 已知函数，其中，，函数图象上相邻的两条对称轴之间的距离为.(1)求的解析式和单调递增区间；(2)若将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在上的最大值.18. 已知数列的前n项和为，且(1)求证: 是等差数列；(2)记，求数列的前2 n项和.19. 牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选.某牧草种植公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度(第一年)投入80万元用于牧草的养护管理，以后每年投入金额比上一年减少，本年度牧草销售收入估计为60万元，由于养护管理更加精细，预计今后的牧草销售收入每年会比上一年增加.(1)设n年内总投入金额为万元，牧草销售总收入为万元，求的表达式；(2)至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入? ( )20. 在①，②，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题. 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．在中，角所对的边分别为，为的面积，且满足__________．(1)求的值；(2)若为锐角三角形，求的取值范围．21. 已知函数(1)讨论的单调性;(2)当时，若方程总有三个不相等的实根，求实数的取值范围.22. 已知函数且函数有两个极值点.(1)求的范围;(2)若函数的两个极值点为且，求的最大值.。
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2019-2020学年山东省烟台市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小題，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合題目要求的．1．（5分）已知集合2{|20}A x x x =--„，{|}B x y x ==，则(A B =U ) A ．{|2}x l x -剟B ．{|02}x x 剟C ．{|}x x l -…D ．{|0}x x …2．（5分）命题“x R ∀∈，210x x -+>”的否定是( ) A ．x R ∀∈，210x x -+„B ．x R ∀∈，210x x -+<C ．0x R ∃∈，2010x x -+„ D ．0x R ∃∈，2010x x -+< 3．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为5，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．20x y ±=B ．20x y ±=C ．30x y ±=D ．30x y ±=4．（5分）设0.5log 3a =，30.5b =，0.51()3c -=，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<5．（5分）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周．若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为( ) A ．216B ．480C ．504D ．6246．（5分）函数||sin y x x =+的部分图象可能是( )A ．B ．C ．D ．7．（5分）设当x θ=时，函数()3sin 4cos f x x x =+取得最小值，则sin (θ= )A ．35B ．45 C ．35-D ．45-8．（5分）函数22log ,1()(1),1x x f x f x x ⎧=⎨+<⎩…，若方程()2f x x m =-+有且只有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(,4)-∞B ．(-∞，4]C ．(2,4)-D ．(2-，4]二、多项选择题：本題共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合題目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．（5分）某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调査了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表．经计算2K 的观测值 4.762k ≈，则可以推断出( )A ．该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为35B ．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意C ．有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异D ．有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 10．（5分）已知函数()sin(3)()22f x x ππϕϕ=+-<<的图象关于直线4x π=对称，则( )A ．函数()12f x π+为奇函数B ．函数()f x 在[12π，]3π上单调递増C ．若12|()()|2f x f x -=，则12||x x -的最小值为3πD ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 11．（5分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则( )A ．直线1BD ⊥平面11A C DB ．三棱锥11P ACD -的体积为定值C ．异面直线AP 与1AD 所成角的取值范用是[45︒，90]︒ D ．直线1C P 与平面11A C D 612．（5分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，点P 在l 上的射影为1P ，则( )A ．若126x x +=．则||8PQ =B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设(0,1)M ，则1||||2PM PP +…D ．过点(0,1)M 与抛物线C 有且只有一个公共点的直线至多有2条 三、填空題：本題共4小題，每小题5分，共20分．13．（5分）若向量a r ，b r 满足||1a =r ，||2b =r ()a a b ⊥+r r r ，则a r 与b r 的夹角为 ．14．（5分）已知随机变量2(1,)X N σ∽，(11)0.4P X -<<=，则(3)P X =… ．15．（5分）设点P 是曲线2x y e x =+上任一点，则点P 到直线1x y O --=的最小距离为 ． 16．（5分）已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABC ，6PA =，23AB =2AC =，4BC =，则：（1）球O 的表面积为 ；（2）若D 是BC 的中点，过点D 作球O 的截面，则截面面积的最小值是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟．17．（10分）在条件①()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，②sin cos()6a Bb A π=+，③sinsin 2B Cb a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答． 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，6b c +=，26a =， 求ABC ∆的面积．注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2(1)()n n S n a n N =+∈且12a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(1)2n a n n b a =-．求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，ABCD 为直角梯形，//AD BC ，BC CD ⊥，平面SCD ⊥平面ABCD ．SCD ∆是以CD 为斜边的等腰直角三角形，224BC AD CD ===，E 为BS 上一点，且2BE ES =．（1）证明：直线//SD 平面ACE ； （2）求二面角S AC E --的余弦值．20．（12分）已知椭圆的22221x y a b +=3，F 是其右焦点，直线y kx =与椭圆交于A ，B 两点， ||||8AF BF +=．（1）求椭圆的标准方程；（2）设(3,0)Q ，若AQB ∠为锐角，求实数k 的取值范围．21．（12分）某企业拥有3条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障．各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为13．（1）求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率；（2）为提高生产效益，该企业决定招聘n 名维修工人及时对出现故障的生产线进行修．已知每名维修工人每月只有及时维修1条生产线的能力，且每月固定工资为1万元．此外，统计表明，每月在不岀现故障的情况下，每条生产线创造12万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利润．以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在1n =与2n =之中选其一，应选用哪个？（实际获利=生产线创造利润一维修工人工资）22．（12分）已知函数2213()()224f x x ax lnx ax x =-+-，其中0a e <<．（1）求函数()f x 的单调区间； （2）讨论函数()f x 零点的个数；（3）若()f x 存在两个不同的零点1x ，2x ，求证：212x x e <．2019-2020学年山东省烟台市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小題，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合題目要求的．1．（5分）已知集合2{|20}A x x x =--„，{|B x y ==，则(A B =U ) A ．{|2}x l x -剟B ．{|02}x x 剟C ．{|}x x l -…D ．{|0}x x …【解答】解：Q 集合2{|20}{|12}A x x x x x =--=-剟?，{|{|0}B x y x x ===…， {|1}A B x x ∴=-U …．故选：C ．2．（5分）命题“x R ∀∈，210x x -+>”的否定是( ) A ．x R ∀∈，210x x -+„B ．x R ∀∈，210x x -+<C ．0x R ∃∈，2010x x -+„ D ．0x R ∃∈，2010x x -+< 【解答】解：命题“x R ∀∈，210x x ++> “的否定是0x R ∃∈，2010x x -+„， 故选：C ．3．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．20x y ±=B ．20x y ±=C 0y ±=D 0y ±=【解答】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，可得：c a =22514b a +=，可得12b a =，则双曲线C 的渐近线方程为：20x y ±=． 故选：B ．4．（5分）设0.5log 3a =，30.5b =，0.51()3c -=，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【解答】解：0.5log 30a =<Q ，30.5(0,1)b =∈，0.50.51()313c -==>，则a b c <<． 故选：A ．5．（5分）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周．若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为( ) A ．216B ．480C ．504D ．624【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①，“御”排在第一，将剩下的“五艺”全排列，安排在剩下的5周，有55120A =种排法， ②，“御”不排在第一，则“御”的排法有4种，“乐”的排法有4种，将剩下的“四艺”全排列，安排在剩下的4周，有4424A =种情况， 则此时有4424384⨯⨯=种排法， 则一共有120384504+=种排法； 故选：C ．6．（5分）函数||sin y x x =+的部分图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：当0x …时，sin y x x =+， 1cos 0y x '=+…，函数y 单调递增，当[0x ∈，]2π时，12y '剟，所以函数sin y x x =+在[0，]2π图象在y x =上方，排除A ，C当0x <时，sin y x x =-+，1cos 0y x '=-+„，函数y 单调递减，当[2x π∈-，0]时，10y -'剟，所以函数sin y x x =+在[2π-，0]图象在y x =-下方，排除B ， 故选：D ．7．（5分）设当x θ=时，函数()3sin 4cos f x x x =+取得最小值，则sin (θ= )A ．35B ．45 C ．35-D ．45-【解答】解：34()3sin 4cos 5(sin cos )5sin()55f x x x x x x ϕ=+=+=+，其中4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=，由()5sin()5f θθϕ=+=-， 可得sin()1θϕ+=-，∴22k πθϕπ+=-+，k Z ∈，22k πθϕπ=--+，k Z ∈，∴3sin sin(2)sin()cos 225k ππθϕπϕϕ=--+=--=-=-， 故选：C ．8．（5分）函数22log ,1()(1),1x x f x f x x ⎧=⎨+<⎩…，若方程()2f x x m =-+有且只有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(,4)-∞B ．(-∞，4]C ．(2,4)-D ．(2-，4]【解答】解：根据函数解析式作出函数图象如图： 则有212m -⨯+<，解得4m <， 故选：A ．二、多项选择题：本題共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合題目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．（5分）某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调査了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表．经计算2K 的观测值 4.762k ≈，则可以推断出( )A ．该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为35B ．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意C ．有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异D ．有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 【解答】解：由统计表格知：女生对食堂的满意率为：45；男生对食堂的满意率为35；故A ，该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为35，A 正确；对于B ，应为该校女生比男生对食堂服务更满意；B 错误； 由题意算得，2 4.762 3.841k =>，参照附表，可得： 有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异； 故C 正确，D 错误． 故选：AC ．10．（5分）已知函数()sin(3)()22f x x ππϕϕ=+-<<的图象关于直线4x π=对称，则( )A ．函数()12f x π+为奇函数B ．函数()f x 在[12π，]3π上单调递増C ．若12|()()|2f x f x -=，则12||x x -的最小值为3πD ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 【解答】解：Q 函数()sin(3)()22f x x ππϕϕ=+-<<的图象关于直线4x π=对称，342k ππϕπ∴⨯+=+，k Z ∈；22ππϕ-<<Q ，4πϕ∴=-；()sin(3)4f x x π∴=-；对于A ，函数()sin[3()]sin(3)12124f x x x πππ+=+-=，根据正弦函数的奇偶性，所以()()f x f x -=-因此函数()f x 是奇函数，故A 正确．对于B ，由于[12x π∈，]3π，3[04x π-∈，3]4π，函数()sin(3)4f x x π=-在[12π，]3π上不单调，故B 错误；对于C ，因为()1max f x =，()1min f x =-又因为12|()()|2f x f x -=，()sin(3)4f x x π=-的周期为23T π=，所以则12||x x -的最小值为3π，C 正确； 对于D ，函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数()sin[3()]sin3444f x x x πππ-=--=-，故D 错误．故选：AC ．11．（5分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则( )A ．直线1BD ⊥平面11A C DB ．三棱锥11P ACD -的体积为定值C ．异面直线AP 与1AD 所成角的取值范用是[45︒，90]︒ D ．直线1C P 与平面11A C D 6【解答】解：在A 中，1111AC B D ⊥Q ，111AC BB ⊥，1111B D BB B =I ， 11AC ∴⊥平面11BB D ，111AC BD ∴⊥，同理，11DC BD ⊥， 1111A C DC C =Q I ，∴直线1BD ⊥平面11A C D ，故A 正确；在B 中，11//A D B C Q ，1A D ⊂平面11A C D ，1B C ⊂/平面11A C D ， 1//B C ∴平面11A C D ，Q 点P 在线段1B C 上运动，P ∴到平面11A C D 的距离为定值，又△11A C D 的面积是定值，∴三棱锥11P AC D -的体积为定值，故B 正确； 在C 中，异面直线AP 与1A D 所成角的取值范用是[60︒，90]︒，故C 错误；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为1，(P a ，1，)a ，则(0D ，0，0)，1(1A ，0，1)，1(0C ，1，1)，1(1DA =u u u u r ，0，1)，1(0DC =u u u u r ，1，1)，1(C P a =u u u u r，0，1)a -，设平面11A C D 的法向量(n x =r，y ，)z ，则110n DA x z n DC y z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩u u u u r r g u u u u r r g ，取1x =，得(1n =r ，1，1)-， ∴直线1C P 与平面11A C D 所成角的正弦值为：11||||||C P n C P n u u u u r r g u u u u r r g ， ∴当12a =时，直线1C P 与平面11A C DD 正确．故选：ABD ．12．（5分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，点P 在l 上的射影为1P ，则( )A ．若126x x +=．则||8PQ =B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设(0,1)M ，则1||||2PM PP +…D ．过点(0,1)M 与抛物线C 有且只有一个公共点的直线至多有2条 【解答】解：若直线的斜率存在，设(1)y k x =-， 由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，联立解方程组2222(24)0k x k x k -++=， 212224k x x k ++=，121x x =， A ，若126x x +=，则21k =，故1k =或1-，21212||11()42428PQ x x x x ++-=g，故A 正确；取PQ 点中点M ，M 在l 上的投影为N ，Q 在l 上的投影为Q '，根据抛物线的定义，1||||PP PM =，||||QQ QM '=，M ，N 为梯形的中点，故111||(||||)||22MN PP QQ PQ '=+=，故B 成立； 对于C ，(0,1)M ，1||||||||||2PM PP MP PF MF +=+… 过(0,1)M 相切的直线有2条，与x 轴平行且与抛物线相交且有一个交点的直线有一条，所以最多有三条． 故选：ABC ．三、填空題：本題共4小題，每小题5分，共20分．13．（5分）若向量a r ，b r 满足||1a =r ，||b =r 且()a a b ⊥+r r r ，则a r 与b r 的夹角为 34π．【解答】解：Q 向量a r ，b r 满足||1a =r，||b =r ()a a b ⊥+r r r ，设a r与b r 的夹角为θ，则有()0a a b +=r r g，即2a a b =-r r r g ，故有11cos θ=-，cos 2θ∴=． 再由0θπ剟，可得34πθ=， 故答案为34π． 14．（5分）已知随机变量2(1,)X N σ∽，(11)0.4P X -<<=，则(3)P X =… 0.1 ． 【解答】解：Q 随机变量2(1,)X N σ∽，∴对称轴为1x =， 又(11)0.4P X -<<=，(13)0.4P X ∴<<=，则1(3)[1(13)]0.12P X P x =--<<=…．故答案为：0.1．15．（5分）设点P 是曲线2x y e x =+上任一点，则点P 到直线1x y O --=的最小距离为【解答】解：由2x y e x =+，得2x y e x '=+，设平行于直线10x y --=的直线与曲线2x y e x =+上切于0(x ，0)y ， 则0021x e x +=，解得00x =，则切点为(0,1)，∴过切点的直线方程为1y x =+，即10x y -+=．∴点P 到直线10x y --=的最小距离为d ==16．（5分）已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABC ，6PA =，AB =2AC =，4BC =，则：（1）球O 的表面积为 52π ；（2）若D 是BC 的中点，过点D 作球O 的截面，则截面面积的最小值是 ． 【解答】解：（1）由题意如图所示：由题意知底面三角形为直角三角形，所以底面外接圆的半径22BCr ==，球心为过底面外接圆的圆心O '垂直于底面与中截面的交点O ， 即32PAOO '==，连接OA ， 设外接球的半径为R ，所以222222313R r OO '=+=+=， 所以外接球的表面积2441352S R πππ===g ；（2）若D 是BC 的中点，过点D 作球O 的截面，D ，O '重合， 则截面面积的最小时是与OO '垂直的面，既是三角形ABC 的外接圆，而三角形ABC 是外接圆半径是斜边的一半，即2，所以截面面积为224ππ=g ； 故答案分别为：52π，4π．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟． 17．（10分）在条件①()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，②sin cos()6a Bb A π=+，③sinsin 2B Cb a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答． 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，6b c +=，26a = 求ABC ∆的面积．注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解答】解：若选①：由正弦定理得()()()a b a b c b c +-=-，即222b c a bc +-=，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，因为(0,)A π∈， 所以3A π=，又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，a =6bc +=，所以4bc =，所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯=若选 ②：由正弦定理得：sin sin sin cos()6A B B A π=+．因为0B π<<，所以sin 0B ≠，sin cos()6A A π=+，化简得1sin sin 2A A A =-，即tan A =，因为0A π<<，所以6A π=． 又因为2222cos6a b c bc π=+-，所以22bc ==24bc =-所以111sin (246222ABC S bc A ∆==⨯-⨯=-若选 ③：由正弦定理得sin sinsin sin 2B CB A B +=， 因为0B π<<，所以sin 0B ≠， 所以sin sin 2B CA +=，又因为BC A π+=-， 所以cos2sin cos 222A A A =， 因为0A π<<，022A π<<，所以cos 02A≠， 1sin22A ∴=，26A π=，所以3A π=．又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，a =6b c +=， 所以4bc =，所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯=18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2(1)()n n S n a n N =+∈且12a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(1)2n a n n b a =-．求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解答】解：（1）由题意，2(1)n n S n a =+，*n N ∈． 则112(2)n n S n a ++=+，*n N ∈．两式相减，得112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+， 整理，得1(1)n n na n a +=+． 即11n na a n n+=+，*n N ∈． ∴数列{}na n为常数列． ∴121n a a n ==， ∴数列{}n a 的通项公式为：2n a n =．（2）由（1），设(1)2(21)4n a n n n b a n =-=-g ．则123143454(21)4n n T n =⨯+⨯+⨯+⋯+-g ，23414143454(23)4(21)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋯+-+-g g ． 两式相减，得：231342(444)(21)4n n n T n +-=+⨯++⋯+--g ．21144342(21)414n n n T n ++--=+⨯---g ．化简，得120(65)499n n n T +-=+． 19．（12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，ABCD 为直角梯形，//AD BC ，BC CD ⊥，平面SCD ⊥平面ABCD ．SCD ∆是以CD 为斜边的等腰直角三角形，224BC AD CD ===，E 为BS 上一点，且2BE ES =．（1）证明：直线//SD 平面ACE ； （2）求二面角S AC E --的余弦值．【解答】解：（1）证明：连接BD 交AC 于点F ，连接EF ． 因为//AD BC ，所以AFD ∆与BCF ∆相似． 所以2BF BCFD AD==． 又2BE BFES FD==，所以//EF SD ． 因为EF ⊂平面ACE ，SD ⊂/平面ACE ，所以直线//SD 平面ACE ．（2）解：平面SCD ⊥平面ABCD ，平面SCD ⋂平面ABCD CD =，BC ⊂平面ABCD ，BC CD ⊥，所以BC ⊥平面SCD ．以C 为坐标原点，,CD CB u u u r u u u r所在的方向分别为y 轴、z 轴的正方向，与,CD CB u u u r u u u r均垂直的方向作为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -．则(0C ，0，0)，(1S ，1，0)，(0A ，2，2)，224(,,)333E ，(0CA =u u u r ，2，2)，(1CS =u u u r ，1，0)，224(,,)333CE =u u u r ．设平面SAC 的一个法向量为(m x =r，y ，)z ， 则2200m CA y z m CS x y ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩u u u r r g u u u rr g ，令1x =，得(1m =r ，1-，1)， 设平面EAC 的一个法向量为(n x =r，y ，)z ，则2202240333n CA y z n CE x y z ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩u u u r r g u u u r r g，令1z =，得(1n =-r ，1-，1)． 设二面角S AC E --的平面角的大小为θ，则||1cos ||||333m n m n θ===r r g r r g g ． 所以二面角S AC E --的余弦值为13．20．（12分）已知椭圆的22221x y a b +=3，F 是其右焦点，直线y kx =与椭圆交于A ，B 两点， ||||8AF BF +=．（1）求椭圆的标准方程；（2）设(3,0)Q ，若AQB ∠为锐角，求实数k 的取值范围．【解答】解：（1）设F '为椭圆的左焦点，连接F B '，由椭圆的对称性可知，||||AF F B '=， 所以||||||||28AF BF AF AF a '+=+==，所以4a =，又3c e a ==，222a b c =+，解得2b =， 所以椭圆的标准方程为：221164x y +=．（2）设点(,)A x y ，(,)B x y ''，则(3,)QA x y =-u u u r ，(3,)QB x y ''=-u u u r， 联立直线与椭圆的方程整理得：22(14)160k x +-=，所以0x x '+=，21614xx k-'=+，2221614k yy k xx k -''==+， 因为AQB ∠为锐角，所以0QA QB >u u u r u u u rg， 所以2216(1)(3)(3)3()99014k QA QB x x yy xx x x yy k +'''''=--+=-+++=->+u u u r u u u r g ，整理得：2207k >，解得：k <k <． 21．（12分）某企业拥有3条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障．各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为13．（1）求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率；（2）为提高生产效益，该企业决定招聘n 名维修工人及时对出现故障的生产线进行修．已知每名维修工人每月只有及时维修1条生产线的能力，且每月固定工资为1万元．此外，统计表明，每月在不岀现故障的情况下，每条生产线创造12万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利润．以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在1n =与2n =之中选其一，应选用哪个？（实际获利=生产线创造利润一维修工人工资）【解答】解：（1）设3条生产线中出现故障的条数为X ，则1~(3,)3X B ．∴该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率：123124(1)()()339P X C ===．（2）①当1n =时，设该企业每月的实际获利为1Y 万元． 若0X =，则1123135Y =⨯-=，若1X =，则11228101131Y =⨯+⨯+⨯-=， 若2X =，则11218101119Y =⨯+⨯+⨯-=， 若3X =，则1120810217Y =⨯+⨯+⨯-=，又03328(0)()327P X C ===， 223126(2)()()3327P X C ===， 33311(3)()327P X C ===， 此时，实际获利1Y 的均值为：18126177335311972727272727EY =⨯+⨯+⨯+⨯=． ②当2n =时，设该企业每月的实际获利为2Y 万元．若0X =，则2123234Y =⨯-=， 若1X =，则212281230Y =⨯+⨯-=， 若2X =，则212182226Y =⨯+⨯-=， 若3X =，则21208201214Y =⨯+⨯+⨯-=，281261802343026142727272727EY ∴=+⨯+⨯+⨯=， 因为12EY EY <．于是以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在1n =与2n =之中选其一， 应选用2n =．22．（12分）已知函数2213()()224f x x ax lnx ax x =-+-，其中0a e <<．（1）求函数()f x 的单调区间； （2）讨论函数()f x 零点的个数；（3）若()f x 存在两个不同的零点1x ，2x ，求证：212x x e <． 【解答】解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2113()()()222xf x x a lnx x ax a x '=-+-+-Qg ，13()222xx a lnx x a a =-+-+-，()(1)x a lnx =--，令()0f x '=，得x a =或x e =， 因为0a e <<，当0x a <<或x e >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当a x e <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 的增区间为(0,)a ，(,)e +∞，减区间为(,)a e ，（2）取{1min δ=，2}a ，则当(0,)x δ∈时，102x a -<，0lnx <，3204xa ->，13()()(2)024xf x x x a lnx x a =-+->，又因为0a e <<，由（1）可知()f x 在(0,)a 上单增，因此，当(0x ∈，]a ，恒()0f x '>，即()f x 在(0，]a 上无零点下面讨论x a >的情况：第21页（共21页）①当04e a <<时，因为()f x 在(,)a e 单减，(,)e +∞单增，且f （a ）0>，f （e ）0<，2()0f e >， 根据零点存在定理，()f x 有两个不同的零点． ②当4e a =时，由()f x 在(,)a e 单减，(,)e +∞单增，且f （e ）0=， 此时()f x 有唯一零点e ．③若4e a e <<，由()f x 在(,)a e 单减，(,)e +∞单增，()f x f …（e ）()04e e a =->，此时()f x 无零点 综上，若04e a <<，()f x 有两个不同的零点；若4e a =，()f x 有唯一零点e ；若4e a e <<，()f x 无零点． （3）证明：由（2）知，04e a <<，且12a x e x <<<， 构造函数2()()()e F x f x f x=-，(,)x a e ∈， 则424324323()()(1)(1)()(1)e ae x ax e ax e F x x a lnx lnx lnx x x x -+-'=-----=-g 令4324()g x x ax e ax e =-+-，(,)x a e ∈， 因为当(,)x a e ∈时，220x e ax +->，220x e -<， 所以()0g x <，又110lnx lne -<-=，所以()0F x '>恒成立，即()F x 在(,)a e 单增．于是当a x e <<时，()F x F <（e ）0=，即2()()e f x f x<， 因为1(,)x a e ∈，所以211()()e f x f x <， 又12()()f x f x =，所以221()()e f x f x <， 因为2x e >，221e e e x e>=，且()f x 在(,)e +∞单增， 所以由221()()e f x f x <，可得21e x e x <g ， 即212x x e <．。