2020届山东省烟台市高三新高考数学模拟试题解析

绝密★启用前2020届山东省烟台市高三新高考数学模拟试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合1|244xA x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，1|lg 10B y y x x ⎧⎫==>⎨⎬⎩⎭,，则A B =I （ ）A ．[]22-,B ．(1,)+∞C ．(]1,2-D ．(](1)2-∞-⋃+∞,,解：由题,不等式1244x ≤≤,解得22x -≤≤,即{}|22A x x =-≤≤； 因为函数lg y x =单调递增,且110x >,所以1y >-,即{}|1B y y =>-, 则(]1,2A B ⋂=-, 故选:C2．设i 是虚数单位，若复数5i2i()a a +∈+R 是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．3- B ．3C ．1D ．1-解：由题,()()()()5252112222i i ia a a i a i i i i -+=+=++=++++-, 因为纯虚数,所以10a +=,则1a =-, 故选:D3．“2a <”是“10,x a x x∀>≤+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解：若10,x a x x ∀>≤+,则min 1a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭, 因为12x x +≥,当且仅当1x x=时等号成立, 所以2a ≤,因为{}{}|2|2a a a a <⊆≤, 所以“2a <”是“10,x a x x∀>≤+”的充分不必要条件, 故选:A4．甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分比乙同学的平均分高； ③甲同学的平均分比乙同学的平均分低； ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差. 以上说法正确的是（ ） A ．③④B ．①②C ．②④D ．①③④解：由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为8082812+=,乙同学成绩的中位数为878887.52+=,故①错误； ()1=72+76+80+82+86+90=816x ⨯甲,()1=69+78+87+88+92+96=856x ⨯乙,则x x <甲乙,故②错误,③正确；显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故④正确, 故选:A5．刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到sin 2o 的近似值为（ ）A ．π90B ．π180C ．π270D ．π360答案：A设圆的半径为r ,每个等腰三角形的顶角为360n︒,则每个等腰三角形的面积为21360sin2r n ︒,由割圆术可得圆的面积为221360sin 2r n r n π︒=⋅,整理可得3602sin n nπ︒=,当180n =时即可为所求. 解：由割圆术可知当n 变得很大时,这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积, 设圆的半径为r ,每个等腰三角形的顶角为360n︒, 所以每个等腰三角形的面积为21360sin2r n ︒, 所以圆的面积为221360sin2r n r n π︒=⋅,即3602sin n n π︒=, 所以当180n =时,可得3602sin sin 218018090ππ︒=︒==, 故选:A6．函数()22xf x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,3B ．()1,2C ．()0,3D ．()0,2解：由题,显然函数()22xf x a x=--在区间()1,2内连续,因为()f x 的一个零点在区间()1,2内,所以()()120f f <,即()()22410a a ----<,解得0<<3a , 故选:C 7．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离答案：B 化简圆到直线的距离，又两圆相交. 选B8．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AA =，当阳马11B ACC A -体积的最大值为43时，堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（ ）A ．4π3B 82π C ．32π3D 642解：由题意易得BC ⊥平面11ACC A , 所以()11222112113333B ACC A V BC AC AA BC AC BC AC AB -=⋅⋅=⋅≤+=, 当且仅当AC BC =时等号成立, 又阳马11B ACC A -体积的最大值为43, 所以2AB =,所以堑堵111ABC A B C -的外接球的半径221222AA AB R ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以外接球的体积34823V r π==, 二、多选题9．下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．2ln(193)y x x =+ B ．e e x x y -=+ C ．21y x =+D ．cos 3y x =+解：由题,易知A,B,C,D 四个选项中的函数的定义域均为R , 对于选项A,()()))22ln193ln1930f x f x x x x x -+=+++=,则()2ln(193)f x x x =+为奇函数,故A 不符合题意；对于选项B,()()xx f x ee f x --=+=,即()e e x x f x -=+为偶函数,当(0,)x ∈+∞时,设()1xt et =>,则1y t t=+,由对勾函数性质可得,当()1,t ∈+∞时是增函数,又x t e =单调递增,所以()e e xxf x -=+在(0,)+∞上单调递增,故B 符合题意； 对于选项C,()()()2211f x x x f x -=-+=+=,即()21f x x =+为偶函数,由二次函数性质可知对称轴为0x =,则()21f x x =+在(0,)+∞上单调递增,故C 符合题意；对于选项D,由余弦函数的性质可知cos 3y x =+是偶函数,但在(0,)+∞不恒增,故D 不符合题意； 故选:BC10．已知2((0)n ax a>的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（ ） A ．展开式中奇数项的二项式系数和为256 B ．展开式中第6项的系数最大 C ．展开式中存在常数项 D ．展开式中含15x 项的系数为45解：由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知10n =, 又展开式的各项系数之和为1024,即当1x =时,()1011024a +=,所以1a =,所以二项式为10101222x x x-⎛⎫⎛+=+ ⎪ ⎝⎝⎭,则二项式系数和为1021024=,则奇数项的二项式系数和为110245122⨯=,故A 错误； 由10n =可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大, 因为2x 与12x -的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B 正确；若展开式中存在常数项,由通项()12102110r r r r T C xx--+=可得()121002r r --=,解得8r =,故C 正确； 由通项()12102110r r r r TC xx--+=可得()1210152r r --=,解得2r =,所以系数为21045C =,故D 正确, 故选: BCD11．在ABC V 中，D 在线段AB 上，且5,3AD BD ==若2,cos CB CD CDB =∠=，则（ ） A ．3sin 10CDB ∠=B ．ABC V 的面积为8C ．ABC V 的周长为8+D ．ABC V 为钝角三角形解：因为5cos CDB ∠=-,所以225sin 1cos 5CDB CDB ∠=-∠=,故A 错误； 设CD a =,则2BC a =,在BCD V 中,2222cos BC CD BD BC CD CDB =+-⋅⋅∠,解得5a =,所以1125sin 353225DBC S BD CD CDB =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=V , 所以3583ABC DBC S S +==V V ,故B 正确； 因为ADC CDB π∠=-∠,所以()5cos cos cos 5ADC CDB CDB π∠=-∠=-∠=, 在ADC V 中,2222cos AC AD CD AD DC ADC =+-⋅⋅∠,解得25AC =, 所以()352525845ABC C AB AC BC =++=+++=+V ,故C 正确；因为8AB =为最大边,所以2223cos 025BC AC AB C BC AC +-==-<⋅,即C ∠为钝角,所以ABC V 为钝角三角形,故D 正确.故选:BCD12．如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，//,,222AB CD AB AD AB AD CD ⊥===，F 是AB 的中点，E 是PB 上的一点，则下列说法正确的是（ ）A ．若2PB PE =，则//EF 平面PACB ．若2PB PE =，则四棱锥P ABCD -的体积是三棱锥E ACB -体积的6倍C ．三棱锥P ADC -中有且只有三个面是直角三角形D ．平面BCP ⊥平面ACE解：对于选项A,因为2PB PE =,所以E 是PB 的中点, 因为F 是AB 的中点,所以//EF PA ,因为PA ⊂平面PAC ,EF ⊄平面PAC ,所以//EF 平面PAC ,故A 正确； 对于选项B,因为2PB PE =,所以2P ABCD E ABCD V V --=,因为//,,222AB CD AB AD AB AD CD ⊥===, 所以梯形ABCD 的面积为()()113121222CD AB AD +⋅=⨯+⨯=,1121122ABC S AB AD =⋅=⨯⨯=V ,所以32E ABCD E ABC V V --=,所以3P ABCD E ABC V V --=,故B 错误；对于选项C,因为PC ⊥底面ABCD ,所以PC AC ⊥,PC CD ⊥,所以PAC V ,PCD V 为直角三角形,又//,AB CD AB AD ⊥,所以AD CD ⊥,则ACD V 为直角三角形, 所以222222PA PC AC PC AD CD =+=++,222PD CD PC =+, 则222PA PD AD =+,所以PAD △是直角三角形, 故三棱锥P ADC -的四个面都是直角三角形,故C 错误； 对于选项D,因为PC ⊥底面ABCD ,所以PC AC ⊥,在Rt ACD V 中,AC ==在直角梯形ABCD 中,BC ==,所以222AC BC AB +=,则AC BC ⊥, 因为BC PC C ⋂=,所以AC ⊥平面BCP , 所以平面BCP ⊥平面ACE ,故D 正确, 故选:AD三、填空题13．已知向量(2,)a m =v，(1,2)b =-v ，且a b ⊥v v ，则实数m 的值是________．解：解：∵a b ⊥rr； ∴220a b m ⋅=-=rr ； ∴m ＝1． 故答案为：1．14．已知数列{}n a 的前n 项和公式为221n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式为___．解：由题意，可知当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，()221221143n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-.又因为11a =不满足43n a n =-，所以2,143,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩. 15．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点和点()2,P a b 为某个等腰三角形的三个顶点，则双曲线C 的离心率为________.解：由题设双曲线的左、右焦点分别为()1,0F c -,()2,0F c , 因为左、右焦点和点()2,P a b 为某个等腰三角形的三个顶点,当122F F PF =时,2c =,由222b c a =-可得222430c ac a +-=,等式两边同除2a 可得22430e e +-=,解得1e =<（舍）；当121F F PF =时,2c =由222b c a =-可得222430c ac a --=,等式两边同除2a 可得22430e e --=,解得e =故答案为 16．设定义域为R 的函数()f x 满足()()f x f x '>，则不等式()()121x e f x f x -<-的解集为__________． 解：设F （x ）()xf x e=，则F ′（x ）()()'xf x f x e-=，∵()()f x f x '>，∴F ′（x ）＞0，即函数F （x ）在定义域上单调递增． ∵()()121x ef x f x -<-∴()()2121xx f x f x ee--＜，即F （x ）＜F （2x 1-）∴x 2x 1-＜，即x ＞1 ∴不等式()()121x ef x f x -<-的解为()1,+∞故答案为：()1,+∞。