2020年山东省新高考数学模拟试卷(十二)

2020年山东省新高考数学模拟试卷（十二）

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知全集U R =，集合{||2|2}A x x =-…，{|2}B x x =?，则()(U A B =I e ) A ．{|02}x x 剟 B ．{|02}x x

C ．{|22}x x -剟

D ．{|22}x x -

2．设a ，b 均为不等于1的正实数，则“1a b >>”是“log 2log 2b a >”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

3．元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第四节竹子的装米量为( )

A ．1升

B ．32升

C ．23升

D ．4

3升

4．已知函数9

()41

f x x x =-++，(0,4)x ∈，

当x a =时，()f x 取得最小值b ，则函数||()x b g x a +=的图象为( )

A ．

B ．

C ．

D ．

5．如图，在下列四个正方体中，P ，R ，Q ，M ，N ，G ，H 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ 所在平面平行的是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

6．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别为AB 、11A B 的中点，则三棱锥F ECD -的外接球体积为( )

A ．

414

π B ．43

π

C 4141

D 4141

7．已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>，过原点的直线与双曲线交于A ，B 两点，以AB 为

直径的圆恰好过双曲线的右焦点C ，若ABC ?的面积为22a ，则双曲线的渐近线方程为(

)

A ．2y x =

B ．2y x =

C ．3y =

D ．3y x =±

8．已知函数32

|log (2)|,2()(3)2,2x x f x x x -

，1

()1g x x x =+-，则方程(())f g x a =的实根个数最多为( ) A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）

9．已知a ，b 均为正实数，若5log log 2a b b a +=，b a a b =，则(a

b

= )

A ．1

2

B 2

C 2

D ．2

10．对于定义域为D 的函数()f x ，若存在区间[m ，]n D ?，同时满足下列条件：①()f x 在[m ，]n 上是单调的：②当定义域是[m ，]n 时，()f x 的值域也是[m ，]n ，则称[m ，]n 为

该函数的“和谐区间”．下列函数存在“和谐区间”的是( )

A ．3()f x x =

B ．2

()3f x x

=- C ．()1x f x e =- D ．()2f x lnx =+

11．在ABC ?中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则( ) A ．若2cos (cos cos )C a B b A c +=，则3

C π

=

B ．若2cos (cos cos )

C a B b A c +=，则6

C π

=

C ．若边BC ，则当c b b c +取得最大值时，3A π

=

D ．若边BC ，则当c b b c +取得最大值时，6

A π

=

12．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，满足1385a a S +=，下列选项正确的有(

)

A ．100a =

B ．10S 最小

C ．712S S =

D ．200S =

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．5(2)(2)x y x y +-展开式中33x y 的系数为 ． 14．已知0x >，0y >2

x 与4y 的等比中项，则

1x

x y

+的最小值 ． 15．已知圆22

450x y x ++-=的弦AB 的中点为(1,1)-，直线AB 交x 轴于点P ，则PA PB u u u r u u u r g 的

值为 ．

16．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若(P ，)m 是角θ终边上的

一点，且sin θ=

tan()4

n π

θ=+，则m = ，n = ． 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，函数

()cos (sin )f x x x x =+，将()f x 的图象向左平移12

π个单位得到函数()y g x =的图象，且1

()22

C g =，c =

（1）求C ；

（2）若223(sin sin )3sin 8sin sin B C A B C -=-，求cos()A C -． 18．（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*22()n n a S n N -=∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设(3)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．

19．（12分）已知五边形ABECD 由一个直角梯形ABCD 与一个等边三角形BCE 构成，如图1所示，AB BC ⊥，//AB CD ，且2AB CD =．将梯形ABCD 沿着BC 折起，如图2所示，且AB ⊥平面BEC ．

（Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面ADE ；

（Ⅱ）若AB BC =，求二面角A DE B --的余弦值．

20．（12分）抛物线2

:C y x =，直线l 的斜率为2．

（Ⅰ）若l 与C 相切，求直线l 的方程；

（Ⅱ）若l 与C 相交于A ，B ，线段AB 的中垂线交C 于P ，Q ，求

||

||

PQ AB 的取值范围． 21．（12分）某读书协会共有1200人，现收集了该协会20名成员每周的课外阅读时间（分钟），其中某一周的数据记录如下：75 60 35 100 90 50 85 170 65 70 125 75 70 85 155 110 75 130 80 100对这20个数据按组距30进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不组别

时间分组

频数 男性人数

女性人数

A 3060x

6090x

10

4

6 C

90120x

a

1 D 120150x

2

1 1 E

150180x

n

2

b

()I 写出m ，n 的值，请估计该读书小组中人均每周的课外阅读时长，以及该读书小组中一

周阅读时长不少于90分钟的人数；

()II 该读书协会拟发展新成员5人，记新成员中每周阅读时长在[60，90)之间的人数为ξ，

以上述统计数据为参考，求ξ的分布列和数学期望；

（Ⅲ）完成下面的22x 列联表，并回答能否有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与 每周阅读时间不少于120分钟

每周阅读时间少于120分钟

合计 男 女 合计

附：2

K =

0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001

（Ⅰ）讨论()

f x的单调性；

（Ⅱ）若[a

x e

∈，)

f x…恒成立，求实数a的取值范围．

+∞时，()0

2020年山东省新高考数学模拟试卷（十二）

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知全集U R =，集合{||2|2}A x x =-…，{|2}B x x =?，则()(U A B =I e ) A ．{|02}x x 剟

B ．{|02}x x

C ．{|22}x x -剟

D ．{|22}x x -

【思路分析】可以求出集合A ，然后进行交集和补集的运算即可． 【解析】：{|0A x x =Q ?或4}x …，{|2}B x x =?，U R =， {|04}U A x x ∴=<

． 故选：B ．

【归纳与总结】本题考查了描述法的定义，绝对值不等式的解法，交集和补集的运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．

2．设a ，b 均为不等于1的正实数，则“1a b >>”是“log 2log 2b a >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

【思路分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的解法进行判断即可．

【解析】：a ，b 均为不等于1的正实数，

①若“1a b >>”时由对数函数的性质可得：一象限底大图低，相同自变量为2时，底大函数值小，

可得log 2log 2b a >成立． ②若：“log 2log 2b a >”有

①若a ，b 均大于1，由log 2log 2b a >，知必有1a b >>； ②若a ，b 均大于0小于1，依题意，必有01b a <<<； ③若log 2log 20a b <<，则必有01b a <<<； 故：“log 2log 2b a >”不能推出1a b >>； 综上所述由充要条件的定义知，A 正确． 故选：A ．

【归纳与总结】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．

3．元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第四节竹子的装米量为( )

A ．1升

B ．32升

C ．23升

D ．4

3

升

【思路分析】设竹子自下而上的各节容米量分别为1a ，2a ，?，7a ，由题意得12676a a a a +++=，由等差数列的性质能求出第四节竹子的装米量．

【解析】：设竹子自下而上的各节容米量分别为1a ，2a ，?，7a ， 由题意得12676a a a a +++=， 由等差数列的性质得： 17426a a a +==，

解得第四节竹子的装米量为43

2

a =（升)． 故选：B ．

【归纳与总结】本题考查第四节竹子的装米量的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

4．已知函数9

()41

f x x x =-++，(0,4)x ∈，

当x a =时，()f x 取得最小值b ，则函数||()x b g x a +=的图象为( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【思路分析】先根据基本不等式求出a ，b 的值，再结合指数函数的性质及函数的图象的平

移可求

【解析】：(0,4)x ∈Q ， 11x ∴+> 999

()4152(1)51111

f x x x x x x x ∴=-+

=++-+=+++g …， 当且仅当2x =时取等号，此时函数有最小值1 2a ∴=，1b =，

此时1|1|

12,1()21(),12

x x x x g x x +++?-?

==?<-??…， 此函数可以看成函数2,01(),02

x x x y x ??

=?

结合指数函数的图象及选项可知A 正确 故选：A ．

【归纳与总结】本题主要考察了基本不等式在求解函数的最值中的应用，指数函数的图象及函数的平移的应用是解答本题的关键

5．如图，在下列四个正方体中，P ，R ，Q ，M ，N ，G ，H 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ 所在平面平行的是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【思路分析】利用平面的基本性质作出经过P 、Q 、R 三点的平面，然后判断选项的正误即可．

【解析】：由题意可知经过P 、Q 、R 三点的平面如图：红色线的图形，可知N 在经过P 、Q 、R 三点的平面上，所以B 、C 错误； 1MC 与QE 是相交直线，所以A 不正确；

故选：D ．

【归纳与总结】本题考查平面与平面平行的判断定理的应用，平面的基本性质的应用，是基本知识的考查．

6．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别为AB 、11A B 的中点，则三棱锥F ECD -的外接球体积为( )

A ．

414π

B ．4

3

π C ．4141π D ．4141π 【思路分析】首先确定球心的位置，进一步利用勾股定理的应用求出求的半径，进一步求出

球的体积．

【解析】：在正方体1111ABCD A B C D -中，连接1FC ，1FD ，三棱锥F ECD -的外接球即为三棱柱11FC D ECD -的外接球，在ECD ?中，取CD 中点H ，连接EH ，则EH 为边CD 的垂直平分线，

所以ECD ?的外心在EH 上，

设为点M ，同理可得△11FC D 的外心N ， 连接MN ，则三棱柱外接球的球心为MN 的中点

设为点O ，由图可得，2222EM CM CH MH ==+，又2M H EM =-，1CH =， 如右图所示：

，

可得5

4

EM CM ==

， 所以22225

1()4

OC MO CM =+=+，

解得41

OC =，

所以34414141

()3V π=． 故选：D ．

【归纳与总结】本题考查的知识要点：锥体与球的关系的应用，球的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

7．已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>，过原点的直线与双曲线交于A ，B 两点，以AB 为

直径的圆恰好过双曲线的右焦点C ，若ABC ?的面积为22a ，则双曲线的渐近线方程为(

)

A ．2y x =

B ．2y x =

C ．3y =

D ．3y x =±

【思路分析】设双曲线的左焦点为F ，连接AF ，BF ，可得四边形AFBC 为矩形，由双曲线的定义和勾股定理，以及三角形的面积公式，化简整理可得a ，b 的关系，即可得到所求双曲线的渐近线方程．

【解析】：设双曲线的左焦点为F ，连接AF ，BF ，

由题意可得AC BC ⊥， 可得四边形FABC 为矩形， 即有||||AF BC =， 设||AC m =，||BC n =，

可得2n m a -=，2224n m c +=，21

22

mn a =，

即有222484c a a -=，

即有3c a =，222b c a a =-=， 可得双曲线的渐近线方程为2y x =±． 故选：B ．

【归纳与总结】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查矩形的定义和勾股定理的运用，考查运算能力，属于基础题．

8．已知函数32

|log (2)|,2()(3)2,2x x f x x x -

…，1

()1g x x x =+-，则方程(())f g x a =的实根个数最多为( ) A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

【思路分析】由方程的解的个数与函数图象的交点的个数的关系得：方程(())f g x a =的实根个数为函数()t g x =的图象与直线1t t =，2t t =，3t t =，4t t =的交点个数之和，再结合函数图象观察可得解．

【解答】

解：设()t g x =，则()f t a =，

则方程(())f g x a =的实根个数为函数()t g x =的图象与直线1t t =，2t t =，3t t =，4t t =的交点个数之和，

要方程(())f g x a =的实根个数最多， 则需()f t a =的解如图所示，

由图（2）可知，函数()t g x =的图象与直线1t t =，2t t =，3t t =，4t t =的交点个数之和为8， 故选：C ．

【归纳与总结】本题考查了方程的解的个数与函数图象的交点的个数的关系及作图能力，属难度较大的题型．

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）

9．已知a ，b 均为正实数，若5log log 2a b b a +=，b a a b =，则(a

b

= )

A ．1

2

B C D ．2

【思路分析】设log a t b =，代入化解求出t 的值，得到a 的b 关系式，由b a a b =可求出a ，b 的值．

【解析】：令log a t b =，

则152

t t +=，

22520t t ∴-+=，(21)(2)0t t --=，

1

2

t ∴=或2t =，

1

log 2

a b ∴=或log 2a b =

2a b ∴=，或2a b = b a a b =Q ，代入得 22b a b ∴==或22b a a == 2b ∴=，4a =，或2a =．4b = ∴2a b =．或12a b = 故选：AD ．

【归纳与总结】本题考查对数的运算及性质，换元法的应用，属于基础题．

10．对于定义域为D 的函数()f x ，若存在区间[m ，]n D ?，同时满足下列条件：①()f x 在[m ，]n 上是单调的：②当定义域是[m ，]n 时，()f x 的值域也是[m ，]n ，则称[m ，]n 为

该函数的“和谐区间”．下列函数存在“和谐区间”的是( )

A ．3()f x x =

B ．2

()3f x x

=- C ．()1x f x e =- D ．()2f x lnx =+

【思路分析】由题意，函数在“和谐区间”上单调递增，且满足()f x x =至少有两个解，逐项判断即可．

【解析】：由题意，函数在“和谐区间”上单调递增，且满足()f x x =至少有两个解， 对于A 选项，函数3()f x x =在定义域R 上单调递增，且3x x =有解1-，0，1，满足条件，

故正确；

对于B 选项，函数2()3f x x =-在(0,)+∞上单调递增，且2

3x x

-=有解1，2，满足条件，故正确；

对于C 选项，函数()1x f x e =-在定义域上单调递增，但1x e x -=只有一个解0，不满足条件，故错误；

对于D 选项，函数()2f x lnx =+在(0,)+∞上单调递增，显然函数()2f x lnx =+与函数y x =在(0,)+∞上有两个交点，即2lnx x +=有两个解，满足条件，故正确． 故选：ABD ．

【归纳与总结】本题以新定义问题为载体，考查了函数的单调性、零点及函数图象等基础知识点，属于基础题．解题的关键是理解“和谐区间”的定义．

11．在ABC ?中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则( ) A ．若2cos (cos cos )C a B b A c +=，则3

C π

= B ．若2cos (cos cos )C a B b A c +=，则6

C π

=

C ．若边BC ，则当c b b c +取得最大值时，3A π

=

D ．若边BC ，则当c b b c +取得最大值时，6

A π

=

【思路分析】对于选项A ，B ，由正弦定理，两角和的正弦函数公式可求2cos sin sin C C C =，

结合sin 0C ≠，可得1

cos 2

C =，结合范围(0,)C π∈，可求C 的值；对于选项C ，

D ，由三

角形的面积公式可求

2sin a A =，利用余弦定理，两角和的正弦函数公式可求4sin()6c b A b c π

+=+，结合已知利用正弦函数的性质即可求解． 【解析】：2cos (cos cos )C a B b A c +=Q ，

∴由正弦定理可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，

2cos sin()2cos sin sin C A B C C C ∴+==， sin 0C ≠Q ，

∴可得1

cos 2

C =

， (0,)C π∈Q ， 3

C π

∴=

，可得A 正确，B 错误．

Q 边BC ，

∴11sin 22bc A a =g ，

2sin a A ∴=，

222

cos 2b c a A bc

+-=

Q ，

2222cos sin 2cos b c a bc A A bc A ∴+=+=+，

∴222cos 4sin()46c b b c A A A b c bc π++==+=+?，当62A ππ+=时等号成立，此时3

A π

=，故C 正确，D 错误．

故选：AC ．

【归纳与总结】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理，正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．

12．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，满足1385a a S +=，下列选项正确的有(

)

A ．100a =

B ．10S 最小

C ．712S S =

D ．200S =

【思路分析】根据题意，结合等差数列的前n 项和公式以及通项公式，依次分析选项，综合

即可得答案．

【解析】：根据题意，数列{}n a 是等差数列，若1385a a S +=，即111510828a a d a d ++=+，变形可得19a d =-，

又由1(1)(10)n a a n d n d =+-=-，则有100a =，故A 一定正确，

不能确定1a 和d 的符号，不能确定10S 最小，故B 不正确；

又由21(1)(1)9(19)222n n n d n n d d

S na nd n n --=+=-+=?-，则有712S S =，故C 一定正确，

则2012019

20180190102

S a d d d d ?=+=-+=-，200S ≠，则D 不正确，

故选：AC ．

【归纳与总结】本题考查等差数列的性质以及前n 项和公式，关键是掌握与等差数列有关的公式，属于基础题．

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．5(2)(2)x y x y +-展开式中33x y 的系数为 120- ．

【思路分析】根据题意，结合二项式定理把5(2)x y +按照二项式定理展开，由多项式乘法的性质分析可得答案．

【解析】：根据题意，554322345(2)1040808032x y x x y x y x y xy y -=-+-+-， 则5(2)(2)x y x y ++展开式中33x y 的系数为2(80)14016040120?-+?=-+=-， 故答案为：120-．

【归纳与总结】本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式，属于基础题．

14．已知0x >，0y >2

x 与4y 的等比中项，则1x

x y

+的最小值 1 ．

【思路分析】由等比数列可得21x y +=，则1221x x y x y x

x y x y x y ++=+=++，由基本不等式

可得．

【解析】：0x >，0y >，2

x 与4y 的等比中项，则242x y =g ， 21x y ∴+=，

∴

122111x x y x y x x y x y x y ++=+=+++=+…，当且仅当2y x

x y

=时，即1x =，

y =

取等号， 故答案为：1

【归纳与总结】本题考查基本不等式，涉及等比数列的性质，属基础题． 15．已知圆22450x y x ++-=的弦AB 的中点为(1,1)-，直线AB 交x 轴于点P ，则PA PB u u u r u u u r

g 的

值为 5- ．

【思路分析】由已知先求MC k ，然后根据圆的性质可求AB k ，写出AB 所在直线方程，联立方程可求A ，B ，然后根据向量数量积的坐标表示即可求解． 【解析】：设(1,1)M -圆心(2,0)C -，

10

112

MC k -==-+Q ，

根据圆的性质可知，1AB k =-，

AB ∴所在直线方程为1(1)y x -=-+，即0x y +=，

联立方程22450

x y x x y ?++-=?+=?可得，22450x x +-=，

设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则125

2

x x +=-，

令0y =可得(0,0)P ， 12121225PA PB x x y y x x =+==-u u u r u u u r

g ， 故答案为：5-．

【归纳与总结】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示及直线与圆相交性质的简单应用． 16．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若(P ，)m 是角θ终边上的

一点，且sin θ=

tan()4

n π

θ=+，则m = ，n = ． 【思路分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式，求得m 、n 的值．

【解析】：若(P ，)m 是角θ终边上的一点，且

sin θ==，m ∴=．

tan 1

θ=

=-Q ，tan 1

tan()041tan n πθθθ+=+==-，

；0． 【归纳与总结】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式，属于基础题． 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，函数

()cos (sin )f x x x x =+，将()f x 的图象向左平移12

π个单位得到函数()y g x =的图象，且1

()22

C g =，c =

（1）求C ；

（2）若223(sin sin )3sin 8sin sin B C A B C -=-，求cos()A C -．

【思路分析】（1）先利用三角恒等变换将()f x 化简成sin()y A x ωθ=+的形式，再利用图象

平移变换方法得到()g x ，根据1

()22

C g =，可求得角C ．

（2）利用正弦定理将给的式子化边，利用余弦定理可求得cos A ，结合3

C π

=，问题可解．

【解析】：（1

）()cos (sin )f x x x x =

1sin 2sin(2)23x x x π

==-， ()()sin(2)126

g x f x x ππ

∴=+

=-，

1()22C g =Q ，∴1sin()62C π-=，

∴5666C πππ-=或，∴()3C ππ=或舍，

故3

C π

=

． （2）223(sin sin )3sin 8sin sin B C A B C -=-Q ， 由正弦定理得：223()38b c a bc -=-，

∴2222

3b c a bc +-=-，

∴22

21cos 23b c a A bc +-==-，

∴sin A =

cos()cos cos

sin sin

3

A C A A π

π

∴-=+，

1132=-?+． 【归纳与总结】本题通过考查三角函数的恒等变换和图象变换以及正余弦定理的应用，考查了学生的数学运算、逻辑推理等数学核心素养．属于中档题． 18．（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*22()n n a S n N -=∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设(3)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．

【思路分析】（1）通过*22()n n a S n N -=∈，说明数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，求解通项公式．

（2）由（1）得，(3)2n n b n =+，利用错位相减法求解数列的和即可． 【解析】：（1）因为*22()n n a S n N -=∈，① 当1n =时，1111222a S a a -=-=，所以12a =．

当2n …

时，1122n n a S ---=，② ①-②得112(2)0n n n n a S a S -----=，即12n n a a -=．

因为120a =≠，所以0n a ≠，所以*12(n n a

n N a -=∈，且2)n …，

所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以1222n n n a -=?=．

（2）由（1）得，(3)2n n b n =+，

所以

123425262(3)2n

n T n =?+?+?+?++?，③

23124252(2)2(3)2n n n T n n +=?+?+?++?++?，④ ③-④得，123142(222)(3)2n n n T n +-=?+++?+-+?

12316(2222)(3)2n n n +=++++?+-+?

12(21)6(3)221

n n n +-=+-+?-

11622(3)2n n n +-=+--+?

14(2)2n n +=-+， 所以1(2)24n n T n +=+-．

【归纳与总结】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．

19．（12分）已知五边形ABECD 由一个直角梯形ABCD 与一个等边三角形BCE 构成，如图1所示，AB BC ⊥，//AB CD ，且2AB CD =．将梯形ABCD 沿着BC 折起，如图2所示，且AB ⊥平面BEC ．

（Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面ADE ；

（Ⅱ）若AB BC =，求二面角A DE B --的余弦值．

【思路分析】()I 取BE 的中点F ，AE 的中点G ，证明CF ⊥平面ABE ，通过证明四边形CDGF 是平形四边形得出//CF DG ，故DG ⊥平面ABE ，于是平面ABE ⊥平面ADE ；

()II 建立空间坐标系，计算平面ADE 和平面BDE 的法向量，通过计算法向量的夹角得出二

面角的大小．

【解答】（Ⅰ）证明：取BE 的中点F ，AE 的中点G ，连接FG 、GD 、CF ，

则//12GF AB =．1

//2

DC AB Q ，

//

CD GF ∴=，∴四边形CFGD 为平行四边形，

//CF DG ∴．

AB ⊥Q 平面BEC ，

AB CF ∴⊥．

CF BE ⊥Q ，AB BE B =I ，

CF ∴⊥平面ABE ． //CF DG Q ，

DG ∴⊥平面ABE ． DG ?Q 平面ADE ，

∴平面ABE ⊥平面ADE ．

（Ⅱ）解：过E 作EO BC ⊥于O ．

AB ⊥Q 平面BEC ，AB EO ∴⊥．

AB BC B =Q I ，EO ∴⊥平面ABCD ．

以O 为坐标原点，OE 、BC 所在的直线分别为x 轴、y 轴，过O 且平行于AB 的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．

设4AB BC ==，则(0A ，2-，4)，(0B

，2-，0)，(0D ，2，2)，(23E ，0，0)， ∴(23ED =-u u u r ，2，2)，(23EA =-u u u r ，2-，4)，(23EB =-u u u r

，2-，0)．

设平面EAD 的法向量为1(n x =r ，1y ，1)z ，则有00n EA n ED ?=??=??u u u r r g u u u r

r g ，即11111123240

23220

x y z x y z ?--+=??-++=??， 取12z =得13x =，11y =，则(3n =r

，1，2)，

设平面BDE 的法向量为2(m x =r ，2y ，2)z ，则00m ED m EB ?=??=??u u u r r g u u u r r g ，即2222223220

2320

x y z x y ?-++=??

--=??， 取21x =，得23y =-，223z =，则(1m =r

，3-，23)．

436cos ,||||224m n m n m n ∴<>===?r r g r r

r r ．

又由图可知，二面角ADEB 的平面角为锐角，

∴二面角A DE B --的余弦值为

6

．

【归纳与总结】本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题． 20．（12分）抛物线2:C y x =，直线l 的斜率为2． （Ⅰ）若l 与C 相切，求直线l 的方程；

（Ⅱ）若l 与C 相交于A ，B ，线段AB 的中垂线交C 于P ，Q ，求

||

||

PQ AB 的取值范围． 【思路分析】（1）设直线l 的方程为2y x b =+，将直线l 与抛物线C 的方程联立，利用△0=求出b 的值，从而得出直线l 的方程；

（2）设点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 、3(P x ，3)y 、4(Q x ，4)y ，设直线l 的方程为2y x b =+，将直线l 的方程与抛物线C 的方程联立，由△0>得出b 的范围，并列出韦达定理，求出||AB 并求出线段AB 的中点坐标，然后得出线段AB 中垂线的方程PQ ，将直线PQ 的方程与抛物

线C 的方程联立，列出韦达定理并求出||PQ ，然后得出||

||

PQ AB 的表达式，结合不等式的性质求出这个代数式的取值范围．

【解析】：（1）设直线l 的方程为2y x b =+，联立直线l 与抛物线C 的方程2

2y x b

y x

=+??=?，得220x x b --=，

△440b =+=，所以，1b =-， 因此，直线l 的方程为21y x =-；

（2）设直线l 的方程为2y x b =+，设点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 、3(P x ，3)y 、4(Q x ，4)y ， 联立直线l 与抛物线C 的方程2

2y x b y x =+??=?

，得220x x b --=，△440b =+>，所以，1b >-． 由韦达定理得122x x +=，12x x b =-．

所以，12|||AB x x =-=，

因为线段AB 的中点为(1,2)b +，所以，直线PQ 的方程为15

22

y x b =-++，

由21522

y x b

y x ?

=-++???=?

，得22520x x b +--=，由韦达定理得3412x x +=-，3452x x b =--，

所以，34|||

PQ x x =-=

所以，

||1

||2PQ AB ， 所以，||||PQ AB 的取值范围是1

(,)2

+∞．

【归纳与总结】本题考查抛物线的综合问题，考查韦达定理设而不求法在抛物线综合问题中的应用，考查计算能力，属于中等题．

21．（12分）某读书协会共有1200人，现收集了该协会20名成员每周的课外阅读时间（分钟），其中某一周的数据记录如下：75 60 35 100 90 50 85 170 65 70 125 75 70 85 155 110 75 130 80 100对这20个数据按组距30进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不

()I 写出m ，n 的值，请估计该读书小组中人均每周的课外阅读时长，以及该读书小组中一

周阅读时长不少于90分钟的人数；

()II 该读书协会拟发展新成员5人，记新成员中每周阅读时长在[60，90)之间的人数为ξ，

以上述统计数据为参考，求ξ的分布列和数学期望；

（Ⅲ）完成下面的22x 列联表，并回答能否有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与

附：2

K =

人均每周的课外阅读时长和该读书小组中一周阅读时长不少于90分钟的人数．

（Ⅱ）估计新成员每周阅读时长在[60，90)之间的概率为12，依题意1

~(5,)2

B ξ，由此能

求出ξ的分布列和数学期望． （Ⅲ）完成下面的22x 列联表，求出00.808k ≈，从而没有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”．

【解析】：（Ⅰ）由阅读时间分组统计表，得到4m =，2n =． 估计该读书小组中人均每周的课外阅读时长为： 2104224575105135165932020202020

?+?+?+?+?=分钟．

该读书小组中一周阅读时长不少于90分钟的人数为：

422120048020++?=人．

（Ⅱ）估计新成员每周阅读时长在[60，90)之间的概率为1

2

， 依题意1

~(5,)2

B ξ，共分布列为：

05

511(0)()232

P C ξ===

， 14

5115(1)()()2232P C ξ===

， 22351110

(2)()()2232

P C ξ===，

332

51110(3)()()2232P C ξ===，

445115

(4)()()2232

P C ξ===

， 55

511(5)()232

P C ξ===

，

的分布列为：

()522

E ξ∴=?=．

00.808416119

k =≈???，

∴没有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”．

【归纳与总结】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查独立检验的应用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 22．（12分）已知函数()1()f x x alnx a a R =-+-∈． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；

（Ⅱ）若[a x e ∈，)+∞时，()0f x …恒成立，求实数a 的取值范围．

【思路分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可； （Ⅱ）通过讨论a 的范围，结合函数的单调性求出函数的最小值，从而确定a 的范围即可． 【解析】：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，

()1a x a

f x x x

-'=-=

， ①当0a ?时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞递增， ②当0a >时，由()0f x '=，解得：x a =， 故()f x 在(0,)a 递减，在(,)a +∞递增， 综上，当0a ?时，()f x 在(0,)+∞递增， 当0a >时，()f x 在(0,)a 递减，在(,)a +∞递增； （Ⅱ）①当0a =时，1x Q …，()10f x x ∴=-…恒成立， 故0a =符合题意，

②当0a <时，0a e <，f Q （1）0a =<，故()0f x …不恒成立，舍， ③当0a >时，由（Ⅰ）知()f x 在(0,)a 递减，在(,)a +∞递增， 下面先证明：(0)a e a a >>，

设p （a ）a e a =-，p 'Q （a ）10a e =->，

p ∴（a ）在(0,)+∞递增，p （a ）(0)10p =>…

，故a e a >， 故()f x 在[a e ，)+∞递增， 故2()()1a a min f x f e e a a ==-+-，

设q （a ）21(0)a e a a a =-+->，则q '（a ）21a e a =-+，q ''（a ）2a e =-，