组合公开课

问题1
从已知的 3 个不同 元素中每 次取出2 个元素 , 按照一定 的顺序排 成一列.
问题2
从已知的 3个不同 元素中每 次取出2 个元素 , 并成一组
有 顺 序
排列
组合
无 顺 序

概念讲解
组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m （m≤n）个元素并成一组，叫做从n个 不同元素中取出m个元素的一个组合．

情境创设 问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的 活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不 同的选法？
A3 6
2
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天一项活动，有多少种不同的选法？请列 举出来。 甲、乙；甲、丙；乙、丙 3
2．某学生要邀请10位同学中的6位参加一项活动，其中 有2位同学要么都请，要么都不请，共有 98 种邀请 方法. 3.一个集合有5个元素，则该集合的非空真子集共有 30 个. 4.平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这 2 2 两组平行线相交，可以构成 C m C n 个平行四边 形. 5．空间有三组平行平面，第一组有m个，第二组有n个， 第三组有t个，不同两组的平面都相交，且交线不都平行， 2 2 可构成 C m C n C t2 个平行六面体
(5)方法一：C3 C9 C3C9 C3 C9 756
2 3 1 4 0 5
方法二：C12 C3 C9 756
5 3 2
(6)方法一：C3 C9 C3 C9 C3C9 666
3 2 2 3 1 4
方法二：C12 C3 C9 666
5 0 5
课堂练习： 1．5个人分4张同样的足球票，每人至多分一张，而且 4 票必须分完，那么不同的分法种数是 C 5 5．
m 个元素后 ,
n m 个元素 , 因此从 n 个不同元素 , 与剩下的 nm 个
中取出 m 个元素的组合 元素的组合一一对应
.这样 , 从 n 个不同元素 , 等于从这 n 个不 .
中取出 m 个元素的组合数 同元素中取出
n m 个元素的组合数
例2
一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． ⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ ⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有 多少种取法？ ⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少 种取法？
3 解法 1
从 100 件产品抽出
3 件中至少有 2 件次品两种 1件次品的抽
1
件是次品 , 包括有 1 件次品和有 情况 .在第 2 小题中已求得其中
1 2
法有 C 2 C 98 种 , 因此根据分类加法计数 抽出的 3 件中至少有 1件是次品的抽法有 C 2 C 98 C 2 C 98 9 604 种 . 解法 2 抽出的 3 件产品中至少有
C
.

cn cn c n 1
m
m
m 1
注:1 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数 之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标 较大的相同的一个组合数． 2 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学 习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．
例3
3
如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出两个 2 元素的所有组合个数是：C 4 6
组合
abc abc acb abd adb acd adc bcd bdc
排列
bac bca bad bda cad cda cbd cdb cab cba dab dba dac dca dbc dcb
m n

A
m m
组合数公式:
Cn
m
An
m m

n ( n 1)( n 2 ) ( n m 1) m!
Am
Cn
m
An
m m

n ( n 1)( n 2 ) ( n m 1) m!
Am
A
m n
n! (n m)!

0
Cn
m
n! m !( n m ) !
3
P
如何计算:
Cn
m

概念讲解
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系． 一般地，求从 n 个不同元素中取出m 个元素的排 列数，可以分为以下2步： 第1步，先求出从这 n 个不同元素中取出m 个元素 m 的组合数 C n ．
第二步：求每一个组合 中 m 个元素的全排列
从5个不同元素中每次取出3个元素的一个 组合，总与剩下的二个元素的组合之间构成一 一对应。因此从5个不同元素中每次取出3个元 素的组合数，与从中取出剩余2个元素的组 合数是相等的. 即C 3 C 2
5 5
组合数的性质
性质 1
C C
m n
nm n
,
一般地 , 从 n 个不同元素中取出 必然剩下
我们规定：Cn 1.
例1计算： 1) C , C (
2 5
3 5
( 2 )C , C
2 6
4 6
在5个元素a、b、c、d、e中 abc abd abe acd ace bcd bce cde bde ade 取3个元 素的组合：
取2个元 素的组合：de ce cd be bd ae ad ab ac bc
例5
在100 件产品中, 有 98 件合格品,2 件次品.从这
100件产品中任意抽出3 件.
1有多少种不同的抽法 ? 2抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种 ? 3抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种 ? 1 所求的不同抽法的种数 解 , 就是从 100 件产品中取
出 3 件的组合数 C
3 100
, 所以共有 161 700 种
1 件次品的抽法有
2

100 99 98 3 21
2 从 2 件次品中抽出
C 2 , 从 98 件合格 3 件中
1
品中抽出 2 件合格品的抽法有 恰好有 1件次品的抽法有
1
C 98 种 , 因此抽出的
2
C 2 C 98 9506 种 .
1平面内有10个点,以其中每2个点为
端点的线段共有多少条 ?
2平面内有10个点,以其中每 2 个点为端点
的有向线段共有多少条 ?
解
1 以平面内
10 个点中每
2 个点为端点的线 2 个元
线的条数 , 就是从 10 个不同的元素中取出 素的组合数 C
2 10
. (3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有 多少种分法? 组合问题
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手 多少次? 组合问题 (5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法? 组合问题 (6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序, 有多少种不同的方法? 排列问题
排列与组合的 概念有什么共 同点与不同点？
概念讲解
排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个 元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素 中取出 m 个元素的一个排列.
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个 元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个组合．
课堂小结
组合的概念 排列 联系 组合是选择的 结果，排列是 选择后再排序 的结果

组合 组合数的概念
解：（1） C 56
3 8
⑵
C
2 7
21
⑶
C 35
3 7
我们发现：
C
3 8
C
2 7
C
3 7
我们可以这样解释：从口袋内的 8个球中所取出的3个球，可以分为 两类：一类含有1个黑球，一类不含 有黑球．因此根据分类计数原理， 上述等式成立．
性质2 c c c n 1 n n
1 2 2 1
原理 ,
1件是次品
的抽法的种数 抽法种数减去 数 ,即
, 也就是从 100 件中抽出 3 件的 3 件中都是合格品的抽法 的种
C 100 C 98 161 700 152 096 9 604 种 .
3 3
变式练习
例6
按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？ 3 2 （1）甲、乙、丙三人必须当选； C3 C9 36 0 5 （2）甲、乙、丙三人不能当选； C3 C9 126 （3）甲必须当选，乙、丙不能当选；C11C94 126 （4）甲、乙、丙三人只有一人当选； C1C 4 378 3 9 （5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
abd acd
bcd
不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？
求
可分两步考虑： A4
3 4
3
求 P 可分两步考虑：
第一步，
第二步，
C
A
3 4
3 4
3 3
（ 4） 个 ；
（ 6） 个 ；
根据分步计数原理，
A C
3 4
3
4
A
3 3 .
从 而 C

A C A
3
3 4 4 3

P
3 4 3 3
m m m
Am
m
根据分步计数原理，得到： An C n Am 因此：C
m n

An A
m
m! * m 、 n N，且 m n 这里 ，这个公式叫做组合 数公式．
m m

nn 1n 2 n m 1
概念讲解
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数