2019年北师大版初中九年级数学上册4.4 第4课时黄金分割2强化练习

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北师大版九年级数学第四章《图形的相似》4.4-第4课时黄金分割

第四章图形的相似
4.4 探索三角形相似的条件
第4课时黄金分割
教学目标
1. 理解黄金分割的意义，并能解决与黄金分割有关的题目．(重点)
2. 理解黄金矩形，并能解决与之有关的问题．(难点)
课前预习
(一)知识探究一般地，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC(如图)，如果 AACB＝BACC ，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比．
解：点 E 是线段 AB 的黄金分割点．理由如下：如图，连接 EC， ∵DE 是 AC 的垂直平分线， ∴EA＝EC. ∵AE＝BC， ∴EC＝BC，∴∠BEC＝∠B.
∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B， ∴∠BEC＝∠ACB. ∵∠B＝∠B，∴△CEB∽△ACB， ∴BBEC＝BACB，即 BC2＝BE·AB. ∵AE＝BC， ∴AE2＝BE·AB，即点 E 是线段 AB 的黄金分割点．
比AACB＝
5－1 2.
【思路点拨】设较长的线段 AC 的长为 x，根据黄金分割点的定义，得出 AC2＝AB·BC，据此列出方程 x2＝1×(1－x) 求解．
解：设较长的线段 AC 的长为 x，则 AC2＝AB·BC，即
x2＝1×(1－x)，
解得 x1＝ 52－1，x2＝－ 25－1(舍去)，
宽为 AC 的矩形面积，则 S1 与 S2 的大小关系为( C )
A. S1＞S2
B. S1<S2
C. S1＝S2
D. 不能确定
3. 已知线段 AB 的长为 10 cm，点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC＞BC，则 AC＝ ((55 5－－55)) cm.(结果保留根号)

北师大版九年级数学上册(练习)4.4第4课时黄金分割

第4课时黄金分割基础题知识点1 黄金分割的概念1．如图，点C 是线段AB 的黄金分割点，则下列各式正确的是( )A.AC BC ＝AB ACB.BC AB ＝AC BCC.AC AB ＝AB BCD.BC AB ＝AC AB2．如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝BCAC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，AC 与AB的比叫做黄金比，其比值是( )A.5－12B.3－52C.5＋12D.3＋523．下列说法正确的是( )A ．每条线段有且仅有一个黄金分割点B ．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍C ．若点C 把线段AB 黄金分割，则AC 2＝AB·BCD ．以上说法都不对4．已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM)，则下列各式中不正确的是( )A ．AM ∶BM ＝AB ∶AM B ．AM ＝5－12AB C ．BM ＝5－12ABD ．AM ≈0.618AB5．(六盘水中考)黄金比5－12______12(填“>”“＜”或“＝”)．知识点2 黄金分割的应用6．乐器上的一根琴弦AB ＝60厘米，两个端点A ，B 固定在乐器版面上，支撑点C 是AB 的黄金分割点(AC>BC)，则AC 的长为( )A ．(90－305)厘米B ．(30＋305)厘米C ．(305－30)厘米D ．(305－60)厘米7．东方明珠塔高468米，上球体点A 是塔身的黄金分割点(如图所示)，则点A 到塔顶部的距离约是________米(精确到0.1米)．8．相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边的边长等于________厘米．9．要设计一座2 m 高的维纳斯女神雕像(如图)，使雕像的上部AC(肚脐以上)与下部BC(肚脐以下)的高度比等于下部与全部AB 的高度比，即点C(肚脐)就叫做线段AB 的黄金分割点，试求出雕像下部设计的高度？(结果精确到0.001)中档题10．已知点C 是线段AB 上的一个点，且满足AC 2＝BC ·AB ，则下列式子成立的是( )A.ACBC ＝5－12 B.ACAB ＝5－12 C.BC AB ＝5－12D.BC AC ＝5＋1211．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台AB 长为20 m ，试计算主持人应走到离A 点至少m 处(结果精确到0.1_m)较恰当，若主持人向B 点再走m ，也处在比较得体的位置(结果精确到0.1 m ，5≈2.236)．12．如图，在五角星图形中，AD ＝BC ，C ，D 两点都是AB 的黄金分割点，AB ＝1，求CD 的长．13.在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感．小华的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60 m，她应选择多高的高跟鞋看起来会更美？14．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2＝BC·AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，在△ABC 中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；(2)求出线段AD的长．综合题15．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB＝DC＝AC，已知∠ACE＝108°，BC＝2.(1)求∠B的度数；(2)我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金比5－1 2.①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求AD的长；③在直线AB或BC上是否存在点P(点A、B除外)，使△PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P，简要说明画出点P的方法(不要求证明)；若不存在，说明理由．参考答案第4课时黄金分割基础题1．B 2.A 3.B 4.C 5.＞ 6.C 7.178.8 8.(105－10) 9.设维纳斯女神雕像下部的设计高度为x m ，那么雕像上部的高度为(2－x)m.依题意，得2－x x ＝x2.解得x 1＝－1＋5≈1.236，x 2＝－1－5(不合题意，舍去)．经检验，x＝－1＋5是原方程的根．答：维纳斯女神雕像下部设计的高度为1.236 m ．中档题10．B 11.7.6 4.8 12.∵C 、D 两点都是AB 的黄金分割点，∴AC ＝BD ＝5－12AB ＝5－12.∴AD ＝AC －CD ＝5－12－CD.∵AD ＝BC ，∴BC ＝5－12－CD.又∵AC ＋BC ＝AB ，∴5－12＋5－12－CD ＝1.∴CD ＝5－2. 13.设肚脐到脚底的距离为x m ，由题意，得x1.60＝0.60，解得x ＝0.96.设穿上y m 的高跟鞋看起来会更美，则y ＋0.961.60＋y＝0.618，解得y ＝0.075，经检验y ＝0.075是原方程的解，0.075 m ＝7.5 cm ，所以她应选择约为7.5 cm 的高跟鞋看起来会更美． 14.(1)∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝72°.又∵BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝∠ABD ＝36°.在△ABC 与△BDC 中，∠A ＝∠DBC ，∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△BDC.∴DC BC ＝BC AC ，即BC 2＝DC·AC.又∵∠A ＝∠ABD＝36°，∴AD ＝BD.∵△ABC ∽△BDC ，AB ＝AC ，∴AB AC ＝BDBC＝1.∴AD ＝BD ＝BC.∴AD 2＝DC·AC.∴点D 是线段AC 的黄金分割点．(2)设AD ＝x ，由(1)中的结论，得x 2＝2(2－x)，即x 2＋2x －4＝0，解得x 1＝5－1，x 2＝－5－1(舍去)．∴AD ＝5－1. 综合题15．(1)∵BD ＝DC ＝AC ，则∠B ＝∠DCB ，∠CDA ＝∠A.设∠B ＝x ，则∠DCB ＝x ，∠CDA ＝∠A ＝2x.又∠ACE ＝108°，∴∠B ＋∠A ＝108°.∴x ＋2x ＝108°，解得x ＝36°.∴∠B ＝36°.(2)①有三个：△BDC ，△ADC ，△BAC.∵DB ＝DC ，∠B ＝36°，∴△DBC 是黄金三角形．②∵△BAC 是黄金三角形，∴ACBC ＝5－12.∵BC ＝2，∴AC ＝5－1.∵BA ＝BC ＝2，BD ＝AC ＝5－1，∴AD ＝BA －BD ＝2－(5－1)＝3－ 5.③存在，有三个符合条件的点P 1、P 2、P 3.ⅰ)以CD 为底边的黄金三角形：作CD 的垂直平分线分别交直线AB 、BC 得到点P 1、P 2.ⅱ)以CD 为腰的黄金三角形：以点C 为圆心，CD 为半径作弧与BC 的交点为点P 3.。

209.北师大版九年级数学上册4.4 第4课时黄金分割2(同步练习)

第4课时黄金分割1、若点C 是线段AB 的黄金分割点，AB=8 cm ，AC>BC,求AC 的值。

2、已知点P 是线段MN 的黄金分割点，MP>NP,且MP=)15(-cm,求MN 的值。

3、点C 是线段AB 的黄金分割点，AC>BC,求ABBC 的值。

4、若把长为10cm 的线段黄金分割后，求其中较短的线段长度是多少？5、已知线段AB=6，点C 为线段AB 的黄金分割点，(AC>BC)，求下列各式的值：（1）AC －BC; (2)BC AC ⋅6、已知线段AB ，请利用尺规作图画出线段的黄金分割点。

（只画出一个即可）7、如图：在ABC ∆中，DECAE =, (1)你能说明ACEC AB BD =吗? (2)若AB=12，AE=6，EC=4，求出AD 的长。

A C B(3)若3===DE AE AD ,且ABC ∆的周长为30，求出ADE ∆的周长。

8、已知：如图，ABC ∆中，D 是BC 上的一点，DC BD AC AB =,且AB=7cm,AC=5cm,BC=8cm, 求BD , DC 的长。

初中数学公式大全1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行B D C8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12 两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 °18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形21 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形22 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形23 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形24 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角25 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等26 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形27 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形28 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等29 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角30 菱形面积= 对角线乘积的一半，即S= （a×b ）÷231 菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形32 菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形33 正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等34 正方形性质定理2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角35 定理1 关于中心对称的两个图形是全等的36 定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分37 逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称38 等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等。

2019最新九年级数学上册第四章图形的相似4.4探索三角形相似的条件第4课时黄金分割同步训练北师大版

第4课时黄金分割知识点 1 对黄金分割的理解1．已知点C 把线段AB 分成两条线段AC ，BC ，下列说法错误的是( )A ．如果AC AB ＝BC AC，那么线段AB 被点C 黄金分割 B ．如果AC 2＝AB·BC，那么线段AB 被点C 黄金分割C ．如果线段AB 被点C 黄金分割，那么AC 与AB 的比叫做黄金比D ．一条线段有两个黄金分割点2．如图4－4－28，点C 是线段AB 的黄金分割点(AC ＞BC)，下列结论错误的是( )图4－4－28A .AC AB ＝BCACB ．BC 2＝AB·ACC .AC AB＝5－12 D .BCAC≈0.618 3．已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，AB ＝2，则AC 的长为( )A .5－1B ．3－ 5C .5－12D ．0.618 4．已知点P 是线段AB 的黄金分割点(AP ＞BP)，若AB ＝2，则AP －BP ＝________． 5．教材习题4.8第1题变式题如图4－4－29，乐器上的一根弦AB ＝80 cm ，两个端点A ，B 固定在乐器板面上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，求C ，D 之间的距离．图4－4－29知识点 2 黄金分割的应用6．如图4－4－30所示，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，α与β的比通常按黄金比来设计，这样的扇子较美观．若取黄金比为0.6，则α为( )A．216° B．135° C．120° D．108°4－4－304－4－317．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图4－4－31，某女士的身高为160 cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为( )A．6 cm B．10 cm C．4 cm D．8 cm8．人体的正常体温是37 ℃左右，根据有关测定，当气温处于人体正常体温的黄金比值时，人体感觉最舒适，这个气温的度数约为________(精确到1 ℃)．9．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图4－4－32，若舞台AB的长为20 m，主持人应走到离A点至少多远处才最自然得体？(结果精确到0.1 m，黄金比≈0.618)图4－4－3210．点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝6 cm，则BC的长为( ) A．(3 5－3)cmB．(9－3 5)cmC．(3 5－3)cm或(9－3 5)cmD．(9－3 5)cm或(6 5－6)cm11．宽与长之比为5－12∶1的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调匀称的美感．如图4－4－33，如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形CDFE还是黄金矩形吗？请证明你的结论．图4－4－3312．如图4－4－34，已知点C和点D均为线段AB的黄金分割点，CD＝6 cm，求AB的长．图4－4－3413．定义：如图4－4－35①，点C在线段AB上，若满足AC2＝BC·AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图②，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；(2)求线段AD 的长．图4－4－3514．如图4－4－36①，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC AB ＝BCAC ，那么称点C 为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果S 1S ＝S 2S 1(S 1>S 2)，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．(1)如图②，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，∠ACB 的平分线交AB 于点D ，请问点D 是不是AB 边上的黄金分割点(直接写出结论，不必证明)?(2)若△ABC 在(1)的条件下，如图③，请问直线CD 是不是△ABC 的黄金分割线？并证明你的结论；(3)如图④，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝∠BCD＝90°，对角线AC ，BD 相交于点F ，延长AB ，DC 交于点E ，连接EF 并延长分别交梯形上、下底于G ，H 两点，请问直线GH 是不是直角梯形ABCD 的黄金分割线？并证明你的结论．图4－4－36中小学教案、试题、试卷精品资料中小学教案、试题、试卷精品资料1．C 2.B3．A [解析] ∵点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，∴AC ＝5－12AB ，而AB ＝2，∴AC ＝5－1.4．2 5－4 [解析] ∵点P 是线段AB 的黄金分割点，AP ＞BP ，∴AP ＝5－12AB ＝5－1，则BP ＝2－AP ＝3－5，∴AP －BP ＝(5－1)－(3－5)＝2 5－4.5．解：∵点C 是靠近点B 的黄金分割点，点D 是靠近点A 的黄金分割点， ∴AC ＝BD ＝80×5－12＝(40 5－40)cm ， ∴CD ＝BD －(AB －BD )＝2BD －AB ＝(80 5－160)cm. 6．B 7.D8．23 ℃ [解析] 37×5－12≈23(℃)． 9．解：根据黄金比，得20×(1－0.618)≈7.6(m)，故主持人应走到离A 点至少7.6 m 处才最自然得体．10．C [解析] ∵点C 是线段AB 的黄金分割点，且AB ＝6 cm ，∴BC ＝5－12AB ＝(3 5－3)cm ，或BC ＝3－52AB ＝(9－3 5)cm.11．解：留下的矩形CDFE 还是黄金矩形．证明：∵四边形ABEF 是正方形， ∴AB ＝DC ＝AF . 又∵AB AD ＝5－12， ∴AF AD ＝5－12，中小学教案、试题、试卷精品资料即点F 是线段AD 的黄金分割点， ∴FD AF ＝AF AD ＝5－12， ∴FD DC＝5－12， ∴矩形CDFE 是黄金矩形．12．[解析] 因为C ，D 均为线段AB 的黄金分割点，所以AD AB 与BC AB相等，都等于黄金比．因此AD ＝BC ，所以AC ＝BD .解：∵C ，D 均为线段AB 的黄金分割点， ∴AD AB ＝BC AB，∴AD ＝BC ， ∴AB －AD ＝AB －BC ，即BD ＝AC .设AC ＝BD ＝x cm ，则AD ＝(x ＋6)cm ，AB ＝(2x ＋6)cm. ∵AD AB ＝5－12， ∴x ＋62x ＋6＝5－12， ∴x ＋62（x ＋3）＝5－12，解得x ＝3 5＋3， ∴AB ＝(6 5＋12)cm.13．解：(1)证明：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°， ∴∠ABC ＝∠C ＝72°. ∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ＝∠A ＝36°， ∴∠BDC ＝72°， ∴BC ＝BD ＝AD .中小学教案、试题、试卷精品资料∵∠DBC ＝∠A ，∠C ＝∠C ， ∴△BCD ∽△ACB ，∴BC AC ＝CD CB，即BC 2＝AC ·CD ， ∴AD 2＝AC ·CD ，∴点D 是线段AC 的黄金分割点． (2)设AD ＝x ，则CD ＝1－x . 由(1)得x 2＝1－x .解得x 1＝－1－52(舍去)，x 2＝－1＋52，∴AD ＝－1＋52.14．解：(1)点D 是AB 边上的黄金分割点． (2)直线CD 是△ABC 的黄金分割线．证明：设△ABC 的边AB 上的高为h ，则S △ADC ＝12AD ·h ，S △DBC ＝12BD ·h ，S △ABC ＝12AB ·h ，∴S △ADC ∶S △ABC ＝AD ∶AB ，S △DBC ∶S △ADC ＝BD ∶AD .由(1)知点D 是AB 的黄金分割点， ∴AD AB ＝BD AD，∴S △ADC ∶S △ABC ＝S △DBC ∶S △ADC ， ∴直线CD 是△ABC 的黄金分割线．(3)直线GH 不是直角梯形ABCD 的黄金分割线．证明：∵BC ∥AD ，∴△EBG ∽△EAH ，△EGC ∽△EHD ，中小学教案、试题、试卷精品资料∴BG AH ＝EG EH，①GC HD ＝EG EH.② 由①②得BG AH ＝GCHD，即BG GC ＝AH HD.③同理，由△BGF ∽△DHF ，△CGF ∽△AHF ，得BG HD ＝GC AH ，即BG GC ＝HDAH.④由③④得AH HD ＝HDAH，∴AH ＝HD ， ∴BG ＝GC ，∴梯形ABGH 与梯形GCDH 的上、下底分别相等，高也相等， ∴S 梯形ABGH ＝S 梯形GCDH ＝12S 梯形ABCD ，∴直线GH 不是直角梯形ABCD 的黄金分割线．。

北师大九年级上《4.4探索三角形相似的条件(第4课时)黄金分割》同步练习(含答案)

第4课时黄金分割关键问答①点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，当这三条线段之间存在什么关系时，可以称线段AB被点C黄金分割？②黄金比的值是多少？1.①已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列等式中成立的是()A．AC2＝BC·AB B．AC2＝2AB·BCC．AB2＝AC·BC D．BC2＝AC·AB2．2017·六盘水矩形的长与宽分别为a，b，下列数据能构成黄金矩形的是()A．a＝4，b＝5＋2 B．a＝4，b＝5－2C．a＝2，b＝5＋1 D．a＝2，b＝5－13．②在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为()A．32.36 cm B．13.6 cm C．12.36 cm D．7.64 cm命题点1利用黄金分割的结论进行计算[热度：83%]4．③如图4－4－34，已知点P是线段AB的黄金分割点，且P A＞PB，若S1表示以P A 为边的正方形的面积，S2表示长为AB，宽为PB的矩形的面积，则()图4－4－34A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．无法确定S1和S2的大小方法点拨③根据黄金分割的概念将线段比转化为面积比．5．④如图4－4－35，在▱ABCD中，点E是BC边上的黄金分割点，且BE＞CE，AE与BD相交于点F，那么BF∶DF的值为________．图4－4－35解题突破④求BF∶DF可以转化为求BE∶DA吗？如果可以，根据黄金分割点的定义先求出BE∶BC的值.6．把一根长为4 m的铁丝弯成一个矩形框，使它的宽与长的比为黄金比5－12，则这个矩形的面积为__________m2.图4－4－367．⑤2017·台州模拟如图4－4－36，连接正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形MNPQR.图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为5－12.若AB＝5－12，则MN＝________．方法点拨⑤黄金三角形是比较特殊的三角形，解决与黄金三角形有关的计算问题，往往需要借助黄金比及相似三角形的对应边成比例来完成．命题点2黄金分割在实际生活中的应用[热度：80%]8．2017·乳山期中某种乐器的弦AB长为120 cm，点A，B固定在乐器面板上，弦AB 上有一个支撑点C，且C是AB的黄金分割点(AC＞BC)，则AC的长为()A．(120－305)cm B．(160－605)cmC．(605－120)cm D．(605－60)cm9．⑥大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图4－4－37，P为AB的黄金分割点(AP＞PB)，如果AB的长度为10 cm，那么PB的长度为________．图4－4－37解题突破⑥先利用黄金分割的定义计算出AP的长，然后通过AB－AP即可得到PB的长．10．⑦人体下半身的长度与身高的比例越接近0.618，越给人美感．遗憾的是，即使芭蕾舞演员也达不到如此的完美．某女士身高 1.68 m，下半身长 1.02 m，她应该选择穿________(精确到0.1 cm)的高跟鞋看起来更美．易错警示⑦注意身高包括高跟鞋的高度．命题点3有关黄金分割的证明[热度：75%]11.⑧如图4－4－38，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CE平分∠ACB交AB于点E.(1)求证：E为线段AB的黄金分割点；(2)若AB＝4，求BC的长．图4－4－38知识链接⑧顶角为36°的等腰三角形被称为黄金三角形，底角的平分线与腰的交点就是腰的黄金分割点，并且被底角的平分线分成的两个三角形都是等腰三角形，其中的锐角三角形与原等腰三角形相似．12．⑨宽与长的比是5－12的矩形叫做黄金矩形．现将折叠黄金矩形的方法归纳如下(如图4－4－39所示)：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以点N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于点E；第四步：过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F.请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．'图4－4－39解题突破⑨对于没有出现具体数据的计算题或证明题，我们可以考虑设参数，如假设正方形的边长是2a，接下来你知道该怎么做了吗？13．⑩三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．如图4－4－37①，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝36°.(1)在图①中，用尺规作AB 的垂直平分线交AC 于点D ，并连接BD (保留作图痕迹，不写作法)．(2)△BCD 是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由． (3)设BCAC＝k ，试求k 的值．图4－4－40解题突破○10(1)可根据基本作图中线段垂直平分线的作法进行作图； (2)根据角度判断；(3)根据相似三角形的性质求解.14．⑪如图4－4－41①，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC AB ＝BCAC ，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果S 1S ＝S 2S 1，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．(1)研究小组猜想：在△ABC 中，若点D 为AB 边上的黄金分割点(如图②)，则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？(2)三角形的中线是该三角形的黄金分割线吗？(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF(如图③)，则直线EF也是△ABC的黄金分割线，请你说明理由；(4)如图④，点E是▱ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是▱ABCD的黄金分割线．请你画一条▱ABCD的黄金分割线，使它不经过▱ABCD 各边的黄金分割点．图4－4－41解题突破⑪对于新定义问题，关键是理解新定义的概念，解决此题的关键是把黄金分割线与黄金分割点联系起来，把面积与边长联系起来．详解详析【关键问答】①当AC 2＝BC·AB 时，线段AB 被点C 黄金分割． ②5－12≈0.618. 1．A [解析]根据线段黄金分割的定义，得AC 2＝BC·AB. 2．D [解析]∵宽与长的比是5－12的矩形叫做黄金矩形，∴ba ＝5－12，∴当a ＝2，b ＝5－1时满足题意．故选D .3．C [解析]方法1：设这本书的宽为x cm ，则有2020＋x ＝x 20，解得x ≈12.36(负值已舍去)．方法2：书的宽约为20×0.618＝12.36(cm )．4．B [解析]根据黄金分割的概念，得AP AB ＝PB AP ，则S 1S 2＝AP 2AB ·PB ＝1，即S 1＝S 2.故选B.5.5－12[解析]∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC ∥AD ，BC ＝AD ， ∴△BEF ∽△DAF ， ∴BE ∶DA ＝BF ∶DF . ∵BC ＝AD ， ∴BE ∶BC ＝BF ∶DF .∵点E 是BC 边上的黄金分割点， ∴BE ∶BC ＝5－12， ∴BF ∶DF ＝5－12. 6．(4 5－8) [解析] 设这个矩形的长为x m ，宽为y m ，则x ＋y ＝2. 由题意，得y x ＝xx ＋y ＝5－12，解得x ＝5－1，y ＝3－5，所以这个矩形的面积为(5－1)×(3－5)＝(4 5－8)m 2. 7.5－2 [解析]设MN ＝x .由题意可知DE ＝AB ＝5－12. ∵∠EDM ＝∠ECD ＝36°，∠END ＝∠EDN ＝72°，∴DE ＝EN ，同理CD ＝CM ， ∴EM ＝5－12－x ， EC ＝EN ＋CM －MN ＝5－1－x .∵∠DEM ＝∠DEC ，∴△DEM ∽△CED ， ∴DE 2＝EM ·EC ， ∴(5－12)2＝(5－12－x )(5－1－x )，整理，得x 2－32×(5－1)x ＋（5－1）24＝0，∴⎣⎡⎦⎤x －34×（5－1）2＝516×(5－1)2， ∴x ＝5－2或x ＝12(5＋1)(不合题意，舍去)，∴MN ＝5－2.8．D [解析]根据黄金分割点的概念，得AC ＝5－12AB ＝(605－60)cm.故选D. 9．(15－5 5)cm [解析]∵P 为AB 的黄金分割点(AP ＞PB )， ∴AP ＝5－12AB ＝5－12×10＝(5 5－5)cm ， ∴PB ＝AB －AP ＝10－(5 5－5)＝(15－5 5)cm. 10．4.8 cm [解析]设她应选择高跟鞋的高度是x cm ，则 102＋x168＋x ＝0.618，解得x ≈4.8.经检验，x ≈4.8是原分式方程的解且符合题意，即她应该选择穿4.8 cm 的高跟鞋看起来更美．11．[解析] (1)根据等腰三角形两底角相等求出∠ACB ＝72°，再根据角平分线的定义求出∠BCE ＝36°，从而得到∠BCE ＝∠A ，然后判定△ABC 和△CBE 相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式整理，并根据黄金分割点的定义即可得证；(2)根据等角对等边的性质可得AE ＝BC ，再根据黄金比求解即可．解：(1)证明：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°， ∴∠ACB ＝∠B ＝12×(180°－36°)＝72°.∵CE 平分∠ACB ，∴∠BCE ＝∠ACE ＝12∠ACB ＝12×72°＝36°，∴∠BCE ＝∠A ＝∠ACE ＝36°，∴AE ＝CE ， ∴∠BEC ＝180°－∠BCE －∠B ＝72°， ∴∠BEC ＝∠B ， ∴BC ＝CE ＝AE . 又∵∠B ＝∠B ， ∴△ABC ∽△CBE ， ∴AB BC ＝BCBE， ∴BC 2＝AB ·BE ，即AE 2＝AB ·BE ，∴E 为线段AB 的黄金分割点．(2)∵E 为AB 的黄金分割点，∴AE AB ＝5－12.又BC ＝AE ， ∴BC ＝5－12·AB ＝5－12×4＝2 5－2. 12．证明：在正方形ABCD 中，设AB ＝2a . ∵N 为BC 的中点，∴NC ＝12BC ＝a .在Rt △DNC 中，ND ＝NC 2＋CD 2＝a 2＋（2a ）2＝5a . 又∵NE ＝ND ，∴CE ＝NE －NC ＝(5－1)a ， ∴CE CD ＝()5－1a2a ＝5－12， ∴矩形DCEF 为黄金矩形． 13．解：(1)如图所示．(2)△BCD 是黄金三角形．证明如下：∵点D 在AB 的垂直平分线上， ∴AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠A ＝36°.∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝72°， ∴∠ABD ＝∠DBC ＝36°.又∵∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝72°， ∴∠BDC ＝∠C ，∴BD ＝BC ， ∴△BCD 是黄金三角形．(3)设BC ＝x ，AC ＝y ，由(2)知，AD ＝BD ＝BC ＝x . ∵∠DBC ＝∠A ，∠C ＝∠C ， ∴△BDC ∽△ABC ， ∴BC AC ＝DC BC ，即x y ＝y －x x，整理，得x 2＋xy －y 2＝0，解得x ＝－1±52y .∵x ，y 均为正数，∴k ＝xy ＝5－12.14．解：(1)对．理由如下：设△ABC 的边AB 上的高为h .。

北师大版九年级上册数学第4课时黄金分割2(2)

第4课时黄金分割
1、若点C 是线段AB 的黄金分割点，AB=8 cm ，AC>BC,求AC 的值。

2、已知点P 是线段MN 的黄金分割点，MP>NP,且MP=)15(-cm,求MN 的值。

3、点C 是线段AB 的黄金分割点，AC>BC,求AB
BC 的值。

4、若把长为10cm 的线段黄金分割后，求其中较短的线段长度是多少？
5、已知线段AB=6，点C 为线段AB 的黄金分割点，(AC>BC)，求下列各式的值：
（1）AC －BC; (2)BC AC ⋅
6、已知线段AB ，请利用尺规作图画出线段的黄金分割点。

（只画出一个即可）
7、如图：在ABC ∆中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且EC
AE BD AD =, (1)你能说明AC
EC AB BD =吗? (2)若AB=12，AE=6，EC=4，求出AD 的长。

A C B M P N
A C B
A C
B A
C B A B
D E
B C
A
(3)若5
3===BC DE AC AE AB AD ,且ABC ∆的周长为30，求出ADE ∆的周长。

8、已知：如图，ABC ∆中，D 是BC 上的一点，
DC BD AC AB =,且AB=7cm,AC=5cm,BC=8cm,
求BD , DC 的长。

A B D C。

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第4课时黄金分割
1、
若点C 是线段AB 的黄金分割点，AB=8 cm ，AC>BC,求AC 的值。

2、
已知点P 是线段MN 的黄金分割点，MP>NP,且MP=)15( cm,求MN 的值。

3、
点C 是线段AB 的黄金分割点，AC>BC,求AB BC 的值。

4、
若把长为10cm 的线段黄金分割后，求其中较短的线段长度是多少？
A C
B M P N A
C B A C B
D E
A
5、已知线段AB=6，点C 为线段AB 的黄金分割点，(AC>BC)，求下列各式的值：
（1）AC －BC; (2)BC AC ⋅
6、
已知线段AB ，请利用尺规作图画出线段的黄金分割点。

（只画出一个即可）
7、如图：在ABC ∆中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且
EC AE BD AD =, (1)你能说明
AC EC AB BD =吗? (2)若AB=12，AE=6，EC=4，求出AD 的长。

(3)若
53===BC DE AC AE AB AD ,且ABC ∆的周长为30，求出ADE ∆的周长。

A C B
A B
8、已知：如图，ABC ∆中，D 是BC 上的一点，
DC BD AC AB =,且AB=7cm,AC=5cm,BC=8cm, 求BD , DC 的长。

A B D C。

2019年北师大版初中九年级数学上册4.4 第4课时黄金分割2强化练习

北师大版九年级数学第四章《图形的相似》4.4-第4课时 黄 金 分 割

北师大版九年级数学上册(练习)4.4第4课时 黄金分割

209.北师大版九年级数学上册4.4 第4课时 黄金分割2(同步练习)