九年级数学 《黄金分割》
黄金分割知识点九年级
黄金分割知识点九年级黄金分割是数学中的一个重要概念，也是艺术和设计领域经常运用的原则。
它指的是一种特殊的比例关系，被广泛应用于建筑、绘画、音乐、摄影等领域中。
下面将介绍黄金分割的定义、特点以及其在不同领域中的应用。
一、黄金分割的定义黄金分割，又称黄金比例，是指一条线段分成两部分，使整体与较长部分之间的比例等于较长部分与较短部分之间的比例。
用公式表示为a/b=(a+b)/a=φ（phi），其中a代表整体长度，b代表较长部分的长度，φ为黄金分割比例，约等于1.618。
二、黄金分割的特点黄金分割具有以下几个特点：1. 对称美：黄金分割产生的两部分线段，在视觉上具有对称和谐的美感，被认为是最美的比例关系。
2. 延展性：黄金比例可以无限延展，即将一个黄金长方形的边界扩大，仍然能保持黄金比例。
3. 无限递归性：黄金分割能够无限递归，即把一个矩形划分成一个正方形和一个新的矩形，这个新的矩形与原矩形的比例仍然是黄金比例。
4. 出现频率高：黄金分割在自然界中出现频率较高，例如大部分花朵的花瓣数目和位置、鱼和动物的体长比例等都符合黄金分割比例。
三、黄金分割在不同领域的应用1. 建筑设计：许多著名的建筑物和古代宫殿都应用了黄金分割原理。
例如，希腊神庙和埃及金字塔的长宽比例大都接近黄金比例，这使得它们在视觉上更加和谐美观。
2. 绘画与雕塑：众多艺术作品中也运用了黄金分割的比例关系。
画家和雕塑家常常使用黄金分割点来布局画面，这样能够吸引观众视线，使画面更加有层次感。
3. 摄影和设计：摄影师和设计师在构图时经常使用黄金分割点和黄金分割线来达到更好的视觉效果。
黄金分割的运用可以使照片或设计更加吸引人，给人以美的享受。
4. 音乐：黄金分割原则也应用于音乐创作中。
作曲家可以根据黄金比例来安排乐曲的节奏、曲调和结构，以达到更好的和谐效果。
5. 网页设计和平面设计：在网页和平面设计领域中，黄金分割被广泛应用于布局、按钮位置、文字大小等方面，以提升用户体验和视觉效果。
沪科版数学九年级上册《黄金分割》教学设计
沪科版数学九年级上册《黄金分割》教学设计一. 教材分析《黄金分割》是沪科版数学九年级上册的一章内容。
本章主要介绍了黄金分割的定义、性质和应用。
教材通过丰富的实例和生动的语言，引导学生探索黄金分割的奥秘，使学生体会数学与实际生活的紧密联系。
本章内容在整个数学学习中起到了承上启下的作用，为后续几何学习奠定了基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对图形的认识和理解有一定的基础。
但黄金分割作为一个较为抽象的概念，对学生来说较为陌生，需要通过实例和动手操作来逐步理解和掌握。
同时，学生对于数学在实际生活中的应用还缺乏足够的认识，需要教师在教学中进行引导和启发。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握黄金分割的定义、性质和应用，能够运用黄金分割解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、讨论等过程，培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：让学生体会数学与实际生活的联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。
四. 教学重难点1.黄金分割的定义和性质。
2.黄金分割在实际生活中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置生动的生活情境，让学生在实际情境中感受黄金分割的存在和应用。
2.启发式教学法：引导学生观察、思考、讨论，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
3.动手操作法：让学生亲自动手操作，加深对黄金分割概念的理解。
4.小组合作学习法：培养学生团队合作、共同解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教学素材。
2.准备一些实际生活中的黄金分割实例。
3.准备一些与黄金分割相关的练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的黄金分割实例，如建筑、艺术品等，引导学生关注黄金分割在生活中的应用。
提出问题：“你们认为什么是黄金分割？它有什么特殊的性质？”2.呈现（10分钟）教师讲解黄金分割的定义和性质，结合相关课件和素材，让学生直观地感受黄金分割的概念。
九年级数学苏科版下册 第六单元《6.2 黄金分割》教学设计 教案
6.2 黄金分割教学目标1．知识与技能目标：（1）了解黄金分割的概念，求作任意线段的黄金分割点；（2）进一步理解线段的比，增强知识的综合运用能力．教学重点了解黄金分割的意义，并能作出线段的黄金分割点．教学难点会用线段的黄金分割来解决一些实际问题．教学过程（教师）学生活动设计思路谈一谈同学们，请问你们去过上海吗？参观过东方明珠电视塔吗？谈谈你的感想！上海东方明珠电视塔设计巧妙，整个塔体挺拔秀丽，现请你度量出图中线段AB、BC、AC的长度，并计算线段AB与AC的比值和线段BC与AB的比值．通过观察、思考现实情境，结合学生已有知识，引起学生的注意，激发好奇心和求知欲望，使学生能从数学的角度去探讨存在的奥秘．赏一赏、思一思同学们，你们喜欢芭蕾舞吗？请欣赏一段芭蕾舞！芭蕾舞演员身体各部分之间适当的比例给人以匀称、协调的美感．请你量出图中线段AB、BC、AC的长度，并计算线段AB与AC的比值和线段BC与AB的比值．通过计算，你有何发现？辨一辨观察习题6.1第5题“你最喜欢的矩形”的调查结果，看看多数同学喜欢哪一个矩形？你能说明喜欢的理由吗？不直接介绍黄金矩形的概念，而是让学生观察、思考，交流亲身活动过程，自己感悟到合乎美的矩形和黄金分割的内在联系；讲一讲例1 如图，点B 在线段AC 上，且AC ABAB BC =．设AC ＝1，求AB 的长．解：设AB ＝x ，则BC ＝AC －AB ＝1－x ．由AC ABAB BC =，得 1xx x=－， 即012=-+x x ． 解这个方程，得1512x =－，2512x =－－（不合题意，舍去）． 于是，AB 的长为215-． 教师给出例题，鼓励学生大胆尝试解决问题，师生共同合作完成．九年级的学生已经学习了开平方和一元二次方程，部分学生能够理解这个推算过程，大部分学生只要知道黄金比的准确值是可以求解出来的，只要知道黄金比即可．通过自主探索、合作交流，得出AB 的长及512BC AB AB AC ==－，同时培养学生自主学习的能力，体现教学目标层次化，使不同的学生得到不同的发展．说一说像上图那样，点B 把线段AC 分成两部分，如果较好地发挥了“情景导入”的作用，在好奇心的驱动之下，学生欲罢不能，很容易就产生了继续ACABAB BC =，那么称线段AC 被点B 黄金分割（golden section ），点B 为线段AC 的黄金分割点．AB 与AC （或BC 与AB ）的比值215-称为黄金比．在计算中，通常取它的近似值0.618． 学习、探索新知识的欲望．议一议1．如图：点B 是线段AC 的黄金分割点，线段AC 还有黄金分割点吗？若有，你能找出它吗？这两个黄金分割点有何特点？注：一条线段有两个黄金分割点，它们是对称存在的．2．如果把AC ABAB BC =化为乘积式是怎么样的？结合图形你怎么理解它？3．你对多数同学选择喜欢这个矩形找到原因了吗？长与宽的比为黄金比的矩形称为黄金矩形，这种矩形给人以美感．你能举例说一说生活中有哪些黄金矩形吗？ 这些问题主要考察学生对基本概念的掌握．“线段上有几个黄金分割点？”是一个触及学生最近发展区的问题，其中蕴涵了对称的思想．由计算可知，B 、D 两点在AC 大约三分之一处即可．这为下面生活中的黄金分割作了铺垫，学生自然而然就能心领神会．做一做1．如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC ＞BC ，AB ＝100cm ，则BC ＝_______________cm .2．如图，点B 在线段AC 上（AB ＞BC ）若AB ＝2，BC ＝a －1，则当a 为何值时，点B 是检测学生对本节课知识的掌握程度，考查学生解决问题的实际应用能力，又让学生在实践中体验“学以致用”的道理．线段AC 的黄金分割点？想一想“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．你能举例说明黄金分割在生活中的应用吗？目的是根据所教学生知识面的现状、心理特点，发挥个人的优势，以上网、查阅图书等方式收集材料，拓宽学生知识面；培养了他们对数学学习的兴趣、对知识的向往和积极向上的人生态度；使学生体会黄金分割的应用价值和人文价值，激发学生的创造欲．用一用1．写作业时，要想使写出来的作业看起来美观，写字大小约占格子的（ ）．A ．31B ．43C ．21D ．322．据有关测定，当气温处于人体正常体温的黄金比值时，人体感到最舒适．因此，夏天使用空调时室内温度调到什么温度最合适（人的正常体温36.2℃～37.2℃）？3．在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618，越给人以美感．A 女士原本身体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比为0.60，她的身高为1.60m ，她应该选择穿多高的高跟鞋学生分组讨论交流，并将结果进行展示． 学生了解了黄金分割的相关知识以后，可以更深刻地体会黄金分割在大自然中的广泛应用，体会大自然的神奇和数学的美，使学生既学到了数学知识，又欣赏到了数学美，真是一举两得，妙趣横生！。
九年级数学黄金分割知识点
黄金分割（Golden Ratio）是指一个数与其倒数之和等于1的比例关系，即a与1/a的比值等于1、黄金分割在数学、艺术和自然科学中都有广泛应用。
下面是关于黄金分割的九年级数学知识点的详细介绍。
1.黄金分割的定义：黄金分割是指一个数与其倒数之和等于1的比例关系。
用数学符号表示为a+1/a=1、解这个方程可以得到黄金分割的值，约为1.6182.黄金分割的性质：-黄金分割具有对称性：即a+1/a=1，所以a的倒数也是它的黄金分割点。
-黄金分割点的平方等于黄金分割点加1，即a²=a+1-黄金分割点与1的比值等于黄金分割点减1与1的比值，即a/1=(a-1)/a。
-黄金分割点与1的差与黄金分割点的比值等于1与黄金分割点的比值，即a-1/a=1/a。
3.黄金分割的几何应用：-黄金矩形：在一个长宽比例为黄金分割的矩形中，可以将矩形不断分割为一个正方形和一个长宽比例仍为黄金分割的矩形。
这种分割方式可以无限进行下去。
-黄金三角形：在一个等腰三角形中，底边与等腰边的比例为黄金分割。
黄金三角形有一些独特的几何性质，如旋转、平移和缩放等操作都能保持黄金三角形的形状。
4.黄金分割的代数应用：-黄金分割的计算：利用黄金分割的定义，可以解出黄金分割的值。
这可以通过求解二次方程a²-a-1=0来实现。
-黄金比例的性质：黄金分割可以满足一些特殊的性质，如将一条线段分割为黄金分割点后，两个线段的比值等于原线段与较短线段的比值，也等于较长线段与原线段的比值。
这个比例具有稳定性，无论线段的长度如何变化，比值都保持不变。
-黄金分割的近似值：黄金分割可以用连分数或迭代法来逼近其值。
连分数是一种无限循环小数的表示方法，可以得到黄金分割的连分数表示为1+1/(1+1/(1+1/(1+...)))。
5.黄金分割的艺术应用：-黄金比例在绘画和建筑艺术中被广泛应用。
很多伟大的艺术家和建筑师使用黄金分割来构图和设计。
黄金分割可以使作品更加和谐、对称和美观。
北师大版数学九年级上册.4黄金分割课件
求观光区的高度.(结果精
确到1米)
训练：B本--第30页--第7题
7.如图,乐器上的一根弦AB=80 cm,两个
端点A.B固定在乐器板面上,支撑点C是靠
近点B的黄金分割点,支撑点D是靠近点A
的黄金分割点,求支撑点C,D之间的距离.
阅读：数学书--第97页--随堂练习
采用如下方法找到黄金分割点：
已知线段AB，按照如下方法画图：
(1)过B作BD⊥AB使 = ；
D
E
(2)连接AD，在DA上截取DE＝DB；A
(3)在AB上截取AC＝AE，
则点C即为线段AB的黄金分割点．
C
B
阅读：数学书--第97页--读一读
F
A
G
H
B
E
D
C
小结
黄金分割
C
1.定义以及结论
A
B
2.一条线段有两个黄金分割点.
D
A
C
B
家庭作业
B本---第30页
第四章
图形的类似
第4节 黄金分割
书本第95页
类似三角形
1.定义：
三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫
做类似三角形.
2.判定定理：
①两角分别相等的两个三角形类似.
②两边成比例且夹角相等的两个三角形类似
③三边成比例的两个三角形类似.
欣赏图片
黄金分割定义
短
长
A
C
B
短 长
长 全
全
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，
BC AC
如果 AC AB 那么称线段AB被点C黄金分割.
苏科版数学九年级下册《6.2黄金分割》说课稿
苏科版数学九年级下册《6.2 黄金分割》说课稿一. 教材分析《苏科版数学九年级下册》第六章第二节“黄金分割”是本节课的主要内容。
黄金分割是指将一条线段分为两部分，使得整体长度与较长部分的长度之比等于较长部分的长度与较短部分的长度之比，其比值约为1:1.618。
这一概念在数学、艺术、建筑等领域有着广泛的应用。
教材通过黄金分割的定义、黄金比的计算以及黄金分割在实际生活中的应用，使学生了解并掌握黄金分割的相关知识。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对比例、线段等概念有一定的了解。
但是，对于黄金分割这一较为抽象的概念，学生可能难以理解。
因此，在教学过程中，需要通过生动的实例和丰富的活动，帮助学生直观地感受黄金分割，从而更好地理解和掌握相关知识。
三. 说教学目标1.知识与技能：了解黄金分割的定义，掌握黄金比的计算方法，能运用黄金分割知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的空间想象能力和创新能力。
3.情感态度与价值观：感受数学与生活的密切联系，提高学生对数学的兴趣，培养学生的审美观念。
四. 说教学重难点1.重点：黄金分割的定义，黄金比的计算方法。
2.难点：黄金分割在实际生活中的应用，黄金分割的美学价值。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、讨论式教学法和案例教学法，引导学生主动探究、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等辅助教学，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一些著名的黄金分割作品，如达芬奇的《蒙娜丽莎》、帕台农神庙等，引导学生感受黄金分割在艺术、建筑等领域的魅力，激发学生的学习兴趣。
2.探究黄金分割：让学生观察、分析这些作品，发现其中的共同规律，引导学生自主探究黄金分割的定义和计算方法。
3.实践操作：让学生分组进行实践活动，利用几何画板或手工工具，自己动手绘制黄金分割图形，加深对黄金分割的理解。
九年级数学上册《黄金分割》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解黄金分割的定义，掌握黄金分割点的概念，能够运用黄金分割的概念解决实际问题。
2.学会运用黄金分割比计算线段、图形的黄金分割点，并能运用黄金分割的性质分析解决实际问题。
3.掌握黄金分割与相似三角形、三角形面积的关系，能够运用相关知识解决综合问题。
3.教学方法：小组合作法、讨论法。
（四）课堂练习
1.教学内容：设计具有针对性的练习题，检验学生对黄金分割知识的掌握程度。
2.教学过程：首先，设计一些基础题，让学生巩固黄金分割点的计算方法。然后，设计一些综合题，让学生运用黄金分割知识解决实际问题。
3.教学方法：练习法、指导法。
（五）总结归纳
1.教学内容：总结本节课的学习内容，强调黄金分割的重要性，激发学生对数学美的追求。
学生在这个阶段，正处于形象思维向抽象思维过渡的关键时期，他们对新鲜事物充满兴趣，但同时也可能在学习过程中遇到一些困难和挑战。因此，在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，充分调动他们的积极性，引导他们通过观察、思考、实践等途径，逐步理解并掌握黄金分割的知识。
此外，学生在小组合作学习中，需要提高沟通与协作能力。教师应关注学生在合作过程中的表现，适时给予指导和鼓励，帮助他们建立自信，培养团队精神。在此基础上，教师还应关注学生的情感态度，激发他们对数学美的追求，使他们在学习过程中体验到数学的魅力和价值。
4.通过课堂练习、课后作业、阶段测试等形式，巩固学生对黄金分割的理解和应用，提高学生的解题技巧。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学科的兴趣，培养学生对数学美的感知和欣赏能力。
2.培养学生的创新意识，使学生认识到数学在现实生活中的重要作用，增强学生的应用意识。
九年级数学 黄金分割
耐人寻味的0.618
Hale Waihona Puke ACB解：由AC BC 得：AC2 AB • BC AB AC
设AB 1，AC x,则BC 1 x,
x2 1 (1 x)
x2 x 1 0
解得：x1
1 2
5
1
,x2 2
5（不合题意，舍去）
所以：黄金比为 5 -1 2
0.618
能力源于运用
人体下半身（即脚底到肚脐的长度）与身高的比，越接近 0.618越给人美感，难怪芭蕾舞演员在翩翩起舞时掂起脚尖 ， 而身材苗条的时装模特还要穿高跟鞋。
九年级上册第四章图形的相似
探索黄金分割
A
C
B
如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,
如果
AC = BC AB AC
那么称线段AB被点C 黄金分割(golden section)
点C叫做线段AB的 黄金分割点
AC与AB的比叫做 黄金比
一条线段有2个黄金分割点
计算黄金比
如图：点 C是线段 AB 的黄金分割点，求黄金比。
文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大 小各异。但这些金字塔底面的边长与高 这比都接近于0.618.
古希腊的一些神庙，在建筑时高和宽也 是按黄金比0.618来建立，他们认为这样 的长方形看来是较美观；其大理石柱廓 ，就是根据黄金分割律分割整个神庙的.
耐人寻味的0.618
著名画家达•芬奇的旷世名 作《蒙娜丽莎》的构图完美的体 现了黄金分割在油画艺术上的应 用．
如果某女士身高1.68米，下半身与身高的比为0.6，她应 该 选择多高的高跟鞋看起来会更美呢（结果精确到1cm)？
解：设要选择高xcm的高跟鞋
依题意得：1.680.6 x 0.618 1.68 x
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3. 第二组（摄影）， 第三组（生活））
2.学习了这节课你有什么收获与体会？
作业
1、帮你的妈妈选一双魔力高跟鞋。 2、认真阅读课本P97页，如何做出一条
线段的黄金分割点。 3、请同学们课后继续研究我们身边的
黄金分割。
芭蕾舞演员做相同的动作，踮脚尖和不踮脚尖，哪 个更美？
应用2：人体下半身（即脚底到肚脐的长度）与 身高的比越接近0.618越给人以美感，遗憾的是
即使是身材修长的芭蕾舞演员也达不到如此完 美.某女士身高1.65, 半身1.00m，她应选择多高
的高跟鞋看起来更美丽？（精确到1cm）
宽与长之比为黄金比的矩形就叫做黄金矩形.
应用3：这是古希腊的巴特农神
庙，如果按照它的长和宽画成矩
形ABCD，并以矩形ABCD的宽为边
在内部作正方形AEFD，那么我们
可以惊奇地发现， BC AB
BE BC
A
EB
点E是AB的黄金分割点吗？矩形 ABCD的宽与长的比是黄金比吗？
D
FC
1. 作为一种形式美的法则，黄金分割渗透到我们 生活的各个领域，如建筑、绘画、摄影、设计、 音乐、体育、近代的统计学、经济学、甚至到 武器与战争策略等，在我们的身体上也有许多 的黄金分割，下面我们请三个同学根据小组利 用网络所收集的资料从建筑，摄影和生活展示 我们身边的美，并用我们这节课学到的知识介 绍一下哪里用到了黄金分割。
黄金比
AC AB
5 1 2
0.618
在大约 2 处！ 3
A
C
B
黄金比
5 1 2
≈0.618
AC BC AB AC
5 1 2
0.618
1 、如图,点C把线段AB分成AC和BC,如果 ,那么
下列说法错误的是 ( C )
A、线段AB被点C黄金分割 A
CB
B、点C叫做线段AB的黄金分割点
C、AB与AC的比叫做黄金比
北师大•九年级数学(上)
法国巴黎圣母院的宽度和正面高度的比例是 5∶8，接近0.618,它的每一扇窗户宽与长之比例
也是接近0.618。
古希腊巴特农神庙是举世闻名的完美建筑，它的高 和宽的比接近0.618。
文明古国埃及的金字塔，它的每面的边长与高之 比接近于0.618．
位于上海黄浦江畔的东方明 珠塔，是亚洲第一，世界第 三高塔，设计师巧妙地在塔 身上装置了晶莹耀眼的上球 体、下球体，它既可供游人 登高俯瞰城市景色，又使笔 直的塔身有了曲线变化，更 妙的是，设计师有意将上球 体选在 295 米 之间的位置， 这个位置恰好在塔身 5 比 8 的 地方，这接近 0.618 的比值， 使塔身显得非常协调、美观。
点C叫做线段AB的黄金分割点，
AC与AB的比叫做黄金比。
长
短
A
E整 C
B
1．把 A C BC 结合图形你怎样用文字理解？ AB AC
2．一条线段有几个黄金分割点？
3. 你能计算黄金比的比值吗？
x A
1-x C
设AB=1,AC=x,则BC=1-x,那么
B x 1 x 1x
去分母得:
x2 x 1 0
断臂雕塑爱与美的女神维 纳斯的身体给人的感觉是 非常的匀称，充满着美感.
她的体型完全与黄金比相 符,即以人的肚脐为分界点, 上半身与下半身之比,或者 说下半身与全身之比约是 0.618。
A
C
B
AC BC AB AC
A
C
B
在线段AB上取一点C（AC>BC）
如果
AC AB
BC AC
,
那么称线段AB被点C黄金分割，
D、AC与AB的比叫做黄金比
2、如图所示，若点C是AB的黄金分割点，AB＝1，
则AC=__5_ 1 ，BC=_3____5 ；
2
2
3.已知点C是线段AB的黄金分割点(BC>AC).
AB=10,求AC、BC.
AC
B
应用1：电视节目主持人在主持节目时，站在 舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长 为20m，试计算主持人应走到离A点至少多少 米处是比较得体的位置？（结果精确到0.1m）.