共点力平衡之临界极值问题专题教师版

共点力平衡中的临界极值问题专题(教师版)
1．临界问题
当某物理量变化时，会引起其他物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”
或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能”、“恰好”等语言叙述。

2．极值问题
物体平衡的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。

一般用图解法或解
析法进行分析。

3．解决极值问题和临界问题的方法
(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；
临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推
向极端，即极大和极小，并依次做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论。

(2)数学分析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或
画出函数图象)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)，但利用
数学方法求出极值后，一定要依据物理原理对该值的合理性及物理意义进行讨论和说明。

(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，
利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。

例1 如图所示，质量为m 的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰
能沿斜面匀速下滑。

对物体施加一大小为F 水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上
滑行。

设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，
不论水平恒力F 多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，试求：
(1)物体与斜面间的动摩擦因数；
(2)这一临界角θ
0的大小。

解析 (1)如图所示，
对物体受力分析，由平衡条件得mg sin 30°＝μmg cos 30°
解得μ＝tan 30°＝33
(2)设斜面倾角为α时，受力情况如图所示，由平衡条件得F cos α＝mg sin α＋F f
F N ＝mg cos α＋F sin α
F f ＝μF N
解得F ＝mg sin α＋μmg cos αcos α－μsin α
当cos α－μsin α＝0，即cot α＝
33时，F →∞，即“不论水平恒力F 多大，都不能使物体沿斜面向上滑行”，此时，临界角θ0＝α＝60°
例2．重为G 的木块与水平地面间的动摩擦因数为μ，一人欲用最小的力F 使得木块做匀速
运动，则此最小作用力的大小和方向如何？
解析：解析法。

木块在运动中受到摩擦力的作用，要减小摩擦力，应当使作用力F 斜向上
与水平方向的夹角为θ时，F 的值最小。

木块受力分析如图所示，
由平衡条件可知：F cosθ－μ f N =0，
F sin θ+f N－G=0 ，解得：F=μG/cos+μsinθ
令tanψ=μ，sinψ=μ/（
2
1μ
+
），cosψ=1/（
2
1μ
+
），
cosθ+μsinθ=（
2
1μ
+
）（cosθcosψ+ sin θsinψ）= （
2
1μ
+
）cos（θ－ψ），
可见，当θ=ψ=arctanμ时，F有最小值为Fmin=μG/（
2
1μ
+
）
例3．物体A的质量为2 kg，两根轻细绳b和c的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体A上，在物体A上另施加一个方向与水平线成θ角的拉力F，相关几何关系如图所示，θ＝60°。

若要使两绳都能伸直，求拉力F的取值范围。

(g取10 m/s2)
解析：c绳刚好伸直时，拉力F最小，物体A受力如图甲所示。

由平衡条件得
F min sinθ＋F b sinθ－mg＝0①
F min cosθ－F b cosθ＝0②
解得F min＝
mg
2sinθ
＝
203
3N
b绳刚好伸直时，拉力F最大，物体A受力如图乙所示。

由平衡条件得
F max sinθ－mg＝0
解得F max＝
mg
sinθ
＝
403
3N
故拉力F的取值范围是
203
3N≤F≤
403
3N
答案：
203
3N≤F≤
403
3N
跟踪训练
1如图所示，将两个质量均为m的小球a、b用细线
相连并悬挂于O点，用力F拉小球a使整个装置处于平衡状态，
且悬线Oa与竖直方向的夹角为θ＝60°，则力F的大小可能为( ACD)
A.3mg B．mg C.
3
2mg D.
3
3mg
2如图所示，在细绳的下端挂一物体，用力F拉物体，使细绳偏离竖直方向α角，且保持α
角不变，当拉力F与水平方向夹角β为多大时，拉力F取
得最小值( C )
A ．β＝0 B．β＝ C．β＝α D．β＝2α
3、拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具(如图所示)。

设拖把头的质量为m ，拖杆质量
可以忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ，重力加速度为g 。

某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ。

(1)若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小；
(2)设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ。

已知存在一临界角θ0，若θ≤θ0，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动。

求这一临界角的正切值tan θ0。

解析：(1)设该同学沿拖杆方向用大小为F 的力推拖把，将推拖把的力沿竖直和水平方向分解，由平衡条件得
F cos θ＋mg －F N ＝0①
F sin θ－F f ＝0②
式中F N 和F f 分别为地板对拖把的正压力和摩擦力，则
F f ＝μF N ③
联立①②③式得F ＝μmg sin θ－μcos θ
④ (2)使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力等于拖把与地板间的最大静摩擦力，设为F fm ，则依题意有
F fm F N
＝λ⑤ 若不管沿拖杆方向用多大的力都不能使拖把从静止开始运动，应满足
F cos θ＋mg ＝F N ⑥
F sin θ≤F fm ⑦
联立⑤⑥⑦式得F(sin θ－λcos θ)≤λmg ⑧
因为λmg 总是大于零，要使得F 为任意值时上式总是成立，只要满足
sin θ－λcos θ≤0⑨
即有tan θ≤λ⑩
上式取等号即为临界状态，则
tan θ0＝λ⑪。