2006年高考第一轮复习数学：3.4++等差数列与等比数列的综合问题

2006年高考第一轮复习数学：3.4 等差数列与等比数列的综合问题
一、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）
*
3．（4分）若关于x的方程x2﹣x+a=0和x2﹣x+b=0（a≠b）的四个根可组成首项为的等差数列，则a+b的值是（）．C D．
．C D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
5．（5分）（2004•上海）在等差数列{a n}中，当a r=a s（r≠s）时，{a n}必定是常数数列．然而在等比数列{a n}中，对某些正整数r、s（r≠s），当a r=a s时，非常数数列{a n}的一个例子是_________．
6．（5分）（2002•北京）等差数列{a n}中，a1=2，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于_________．
7．（5分）公差不为零的等差数列{a n}的第二、三及第六项构成等比数列，则=_________．8．（5分）若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是_________．
三、解答题（共10小题，满分0分）
9．已知{a n}是等比数列，a1=2，a3=18；{b n}是等差数列，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3＞20．
（1）求数列{b n}的通项公式；
（2）求数列{b n}的前n项和S n的公式；
（3）设P n=b1+b4+b7+…+b3n﹣2，Q n=b10+b12+b14+…+b2n+8，其中n=1，2，…，试比较P n与Q n的大小，并证明你的结论．
10．（2011•密山市模拟）已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b n}的第二项、第三项、第四项．
（I）求数列{a n}与{b n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c n}对任意正整数n均有+++…+=（n+1）a n+1成立，其中m为不等于零的常数，求数列{c n}的前n项和S n．
11．在等比数列{a n}（n∈N*）中，a1＞1，公比q＞0．设b n=log2a n，且b1+b3+b5=6，b1b3b5=0．
（1）求证：数列{b n}是等差数列；
（2）求{b n}的前n项和S n及{a n}的通项a n；
（3）试比较a n与S n的大小．
12．已知数列{a n}中，a1=且对任意非零自然数n都有a n+1=a n+（）n+1．数列{b n}对任意非零自然数n都有b n=a n+1
﹣a n．
（1）求证：数列{b n}是等比数列；
（2）求数列{a n}的通项公式．
13．（2002•广东）设{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，a1=b1=1，a2+a4=b3，b2b4=a3，分别求出{a n}及{b n}的前10项的和S10及T10．
14．（2003•北京）已知数列{a n}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）令b n=a n x n（x∈R），求数列{b n}前n项和的公式．
15．数列{a n}中，a1=8，a4=2，且满足a n+2﹣2a n+1+a n=0（n∈N*）．
（1）求数列{a n}的通项公式．
（2）设b n=（n∈N*），S n=b1+b2+…+b n，是否存在最大的整数m，使得任意的n均有S n＞总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由．
16．已知数列{a n}的各项均为正整数，且满足a n+1=a n2﹣2na n+2（n∈N*），又a5=11．
（1）求a1，a2，a3，a4的值，并由此推测出{a n}的通项公式（不要求证明）；
（2）设b n=11﹣a n，S n=b1+b2+…+b n，S n′=|b1|+|b2|+…+|b n|，求的值．
17．设f（k）是满足不等式log2x+log2（3•2k﹣1﹣x）≥2k﹣1（k∈N*）的正整数x的个数．
（1）求f（k）的解析式；
（2）记S n=f（1）+f（2）+…+f（n），P n=n2+n﹣1（n∈N*）试比较S n与P n的大小．
18．已知数列{a n}，构造一个新数列a1，（a2﹣a1），（a3﹣a2），…，（a n﹣a n﹣1），…，此数列是首项为1，公比为的
等比数列．
（1）求数列{a n}的通项；
（2）求数列{a n}的前n项和S n．
2006年高考第一轮复习数学：3.4 等差数列与等
比数列的综合问题
参考答案与试题解析
一、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）
*
3．（4分）若关于x的方程x2﹣x+a=0和x2﹣x+b=0（a≠b）的四个根可组成首项为的等差数列，则a+b的值是（）．C D．
，即
，
，．
=×+×==
．C D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
5．（5分）（2004•上海）在等差数列{a n}中，当a r=a s（r≠s）时，{a n}必定是常数数列．然而在等比数列{a n}中，对某些正整数r、s（r≠s），当a r=a s时，非常数数列{a n}的一个例子是a，﹣a，a，﹣a，…（a≠0），r与s同为奇数或偶数．
时，=1
6．（5分）（2002•北京）等差数列{a n}中，a1=2，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于4．
7．（5分）公差不为零的等差数列{a n}的第二、三及第六项构成等比数列，则=．
，代入
==
故答案：
8．（5分）若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是[4，+∞）或（﹣∞，0]．
由题意可知=++2的取值范围．
∴=+
+≥，故
+≤，故
三、解答题（共10小题，满分0分）
9．已知{a n}是等比数列，a1=2，a3=18；{b n}是等差数列，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3＞20．
（1）求数列{b n}的通项公式；
（2）求数列{b n}的前n项和S n的公式；
（3）设P n=b1+b4+b7+…+b3n﹣2，Q n=b10+b12+b14+…+b2n+8，其中n=1，2，…，试比较P n与Q n的大小，并证明你的结论．
=
=9
d=26
=n n
•n n
•
n n
10．（2011•密山市模拟）已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b n}的第二项、第三项、第四项．
（I）求数列{a n}与{b n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c n}对任意正整数n均有+++…+=（n+1）a n+1成立，其中m为不等于零的常数，求数列{c n}的前n项和S n．
时，
时，
≠
+
11．在等比数列{a n}（n∈N*）中，a1＞1，公比q＞0．设b n=log2a n，且b1+b3+b5=6，b1b3b5=0．（1）求证：数列{b n}是等差数列；
（2）求{b n}的前n项和S n及{a n}的通项a n；
（3）试比较a n与S n的大小．
2
2
∴
×
∵∴
，，，
12．已知数列{a n}中，a1=且对任意非零自然数n都有a n+1=a n+（）n+1．数列{b n}对任意非零自然数n都有b n=a n+1﹣a n．
（1）求证：数列{b n}是等比数列；
（2）求数列{a n}的通项公式．
﹣=[a）a）a（a）﹣[a =（a•）•）﹣•）﹣
∴
是公比为
）a﹣•=
））
）﹣，得（）（a﹣（
13．（2002•广东）设{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，a1=b1=1，a2+a4=b3，b2b4=a3，分别求出{a n}及{b n}的前10项的和S10及T10．
∴
的公差为
∴
，的公比为
14．（2003•北京）已知数列{a n}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）令b n=a n x n（x∈R），求数列{b n}前n项和的公式．
．
﹣
15．数列{a n}中，a1=8，a4=2，且满足a n+2﹣2a n+1+a n=0（n∈N*）．
（1）求数列{a n}的通项公式．
（2）设b n=（n∈N*），S n=b1+b2+…+b n，是否存在最大的整数m，使得任意的n均有S n＞总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由．
（
=
（﹣
[﹣﹣）﹣）
）．
总成立．
﹣
为的最小值，故＜
16．已知数列{a n}的各项均为正整数，且满足a n+1=a n2﹣2na n+2（n∈N*），又a5=11．
（1）求a1，a2，a3，a4的值，并由此推测出{a n}的通项公式（不要求证明）；
（2）设b n=11﹣a n，S n=b1+b2+…+b n，S n′=|b1|+|b2|+…+|b n|，求的值．
，再求出
=
时，=1
时，=
∴=
17．设f（k）是满足不等式log2x+log2（3•2k﹣1﹣x）≥2k﹣1（k∈N*）的正整数x的个数．（1）求f（k）的解析式；
（2）记S n=f（1）+f（2）+…+f（n），P n=n2+n﹣1（n∈N*）试比较S n与P n的大小．∴
18．已知数列{a n}，构造一个新数列a1，（a2﹣a1），（a3﹣a2），…，（a n﹣a n﹣1），…，此数列是首项为1，公比为的
等比数列．
（1）求数列{a n}的通项；
（2）求数列{a n}的前n项和S n．
，公比为
==﹣（
=﹣（++）=（﹣n+。