高等数学 第八章 空间解析几何与向量代数 PPT
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高等数学之空间解析几何与向量代数PPT课件
半径为 5 的球面.
说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
A(x2 y2 z2 ) Dx Ey Fz G 0
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.机动 目录 上页 下页 Nhomakorabea回 结束
二、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
z 特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
z R2 x2 y2 表示上(下)球面 . o
x
M0
M
y
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 研究方程 x2 y2 z2 2x 4 y 0 表示怎样
的曲面.
解: 配方得 (x 1)2 ( y 2)2 z2 5 此方程表示: 球心为 M 0 (1, 2, 0 ),
M
解:在 xoy 面上， x2 y2 R2表示圆C,
C
o
M1
y
在圆C上任取一点M1(x, y,0), 过此点作 x
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M (x, y, z)
l
的坐标也满足方程 x2 y2 R2
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间中
化简得 2x 6y 2z 7 0
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
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定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;
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说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
A(x2 y2 z2 ) Dx Ey Fz G 0
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.机动 目录 上页 下页 Nhomakorabea回 结束
二、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
z 特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
z R2 x2 y2 表示上(下)球面 . o
x
M0
M
y
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例2. 研究方程 x2 y2 z2 2x 4 y 0 表示怎样
的曲面.
解: 配方得 (x 1)2 ( y 2)2 z2 5 此方程表示: 球心为 M 0 (1, 2, 0 ),
M
解:在 xoy 面上， x2 y2 R2表示圆C,
C
o
M1
y
在圆C上任取一点M1(x, y,0), 过此点作 x
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M (x, y, z)
l
的坐标也满足方程 x2 y2 R2
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间中
化简得 2x 6y 2z 7 0
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
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定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;
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高等数学 第八章 空间解析几何与向量代数ppt精选课件
对两点 A( x1 , y1 , z1) 与 B( x2 , y2 , z2 ), 因
AB OB OA ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 ) 得两点间的距离公式:
B
A
AB AB ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
.
2. 方向角与方向余弦
ijk, ij jk k i 0 ,
|i| |j| |k | 1 ,
ii jj k k 1 .
a
b
a x bx
ayby
azbz
.
a b |a |b ||co scos|a a||bb|,
由此得两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
axbx a yby azbz
ax2 a y2 az 2 bx2 by2 bz2
(2)a b 0 ab 证 () a b 0,|a|0, |b|0,
co s0, , a b .
() a a b b ,|a |b ||c 2 , 2o 0 c .o s s0,
.
2、数量积符合下列运算规律： (1) 交换律： a b b a (2) 分配律： ( a b ) c a c b c
|c |1 2 0 5 2 55 ,
c0
|
c c|
2
j
5
15k.
.
作业 P23习题8-2
1(1)、(3)，3，4，9
.
第三节 平面及其方程
.
一、平面的点法式方程
对支点O
的力矩是一向量
M
，它的模
F
|M | |O|F |Q |
O
P
L
|O|F |P |s in
Q
M
的方向垂直于OP
高等数学向量代数与空间解析几何总结 ppt课件
( p与q同号 )
3、空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G(x, y,z) 0
[2] 空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t)
z z ( t )
如图空间曲线 一般方程为
z 1 x2 y2
(x
1)2 2
y2
(1)2 2
x
1 cos 2
t 1 2
参数方程为
右 手 系 .
向量积的坐标表达式
ab(aybzazby)i (azbxaxbz)j
(axbyaybx)k
i j k ab ax ay az
bx by bz
a // b
ax ay az bx by bz
请归纳向量的数量积和向量积
在几何中的用途
（①求1）向数量量的积模(1 ：)a a |a |2.
f (x, y2 z2 ) 0
(2) 曲线L绕 y 轴旋转所成的旋转曲 方面 程为
f ( x2 z2, y) 0
（1）球面 （2）圆锥面 （3）旋转双曲面
x2y2z21 x2y2z2
x2 y2 z2 a2 a2 c2 1
[2] 柱面
定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线 L所形成的曲面称之.
a { a x ,a y ,a z} b { b x ,b y ,b z}
a b { a x b x , a y b y , a z b z }
( a x b x ) i ( a y b y ) j ( a z b z ) k a b { a x b x , a y b y , a z b z }
[4] 两直线的夹角
直线 L1 : 直线 L2 :
《高等数学(应用类)》课件 第八章 空间解析几何与向量代数
LOGO 第八章 空间解析几何与向量代数
第4 页
第 一 节
空空
间间
直直
角 坐 标
角 坐 标 系
系一
像讨论平面上曲线与方程的关系需要建立平面直角坐标系一样，讨 论空间几何图形与方程的关系也需要建立空间直角坐标系．
如左图所示，三条垂直相交且具有相同长 度单位的数轴，构成一个空间直角坐标系，交点 O称为坐标原点，这三条轴分别称为x轴〔横轴〕、 y轴〔纵轴〕和z轴〔竖轴〕．
看出，这个长方体对角线的长度就是点M1和M2之间的距离．
由于△M1NM2和 △M1PN都为直角三角形， M1M2和M1N为斜边，所以
| M1M 2 |2 | M1N |2 | NM 2 |2 ，| M1N |2 | M1P |2 | PN |2
于是有 | M1M 2 |2 | M1P |2 | PN |2 | NM 2 |2 由于 | M1P| | x2 x1 |，| PN | | y2 y1 | ，| NM 2 | | z2 z1 | 所以
坐标原点的坐标为(0,0,0)．
LOGO 第八章 空间解析几何与向量代数
第8 页
第
一 节
空 间 两
空 间
点 之 间
直的
角距
坐离
标公 系式
二
设 M1(x1 ，y1 ，z1) 与 M 2 (x2 ，y2 ，z2 ) 是空间的两个点，过M1和M2各作三 个垂直于坐标轴的平面，这六个平面围成一个长方体，如下图所示．可以
{(ax bx ) ，(ay by ) ，(az bz )}
a b (axi ay j az k ) (bxi by j bz k ) (ax bx ) i (ay by ) j (az bz )k
第八章空间解析几何与向量代数PPT课件
例1．用对称式方程及参数方程 表示直线
x y z10 2x y3z40 。
例2． 试求通过点 M01,0,4
且平行平面 3x4yz100
又与直线 x1 y3 z
3
12
相交的直线方程。
例3．已知质点M以 M0 1,1,1 为
例6．已知两球面的方程为
x2y2z21 （1）和
x2y12z121（2）
x o y 求它们的交线C在
面上
的投影方程。
例7．设一个立体由上半球面
Z 4x2 y2 和锥面
Z 3 x2y2 所围成，求它
在 x o y 面上的投影。
例8．求旋转抛物面
Zx2y20z4
在三坐标轴上的投影。
例9．求上半球
为 3, 3, 2 ，试描出它关于坐标
面 o x y ，坐标轴 o y 和坐标
o 原点 的对称点。
例7．求证以
M 1 4 ,3 ,1 M 2 7 ,1 ,2 M 3 5 ,2 ,3
三点为顶点的三角形是一个等
腰三角形。
例8．在 Z 轴上求与两点
A 4,1 ,7和 B3,5,2
等距离的点。
例9．已知两点
0z a2x2y2
与圆柱体 x2y2axa0
的公共部分在 x o y 面和 xoz 面
上的投影。
§8-5 平面及其方程 例1．已知一个平面通过点
p3,2,1 并且垂直于 p 1 与
点 p2 6,2,7 的连线，求平面方程。
例2．求过三点
M 1 2 , 1 ,4 ,M 2 1 ,3 , 2 和 M 3 0 ,2 ,3
第八章 空间解析几何与向量代数 §8-1 向量及其线性运算
例1．已知 a5 b8 a,b
x y z10 2x y3z40 。
例2． 试求通过点 M01,0,4
且平行平面 3x4yz100
又与直线 x1 y3 z
3
12
相交的直线方程。
例3．已知质点M以 M0 1,1,1 为
例6．已知两球面的方程为
x2y2z21 （1）和
x2y12z121（2）
x o y 求它们的交线C在
面上
的投影方程。
例7．设一个立体由上半球面
Z 4x2 y2 和锥面
Z 3 x2y2 所围成，求它
在 x o y 面上的投影。
例8．求旋转抛物面
Zx2y20z4
在三坐标轴上的投影。
例9．求上半球
为 3, 3, 2 ，试描出它关于坐标
面 o x y ，坐标轴 o y 和坐标
o 原点 的对称点。
例7．求证以
M 1 4 ,3 ,1 M 2 7 ,1 ,2 M 3 5 ,2 ,3
三点为顶点的三角形是一个等
腰三角形。
例8．在 Z 轴上求与两点
A 4,1 ,7和 B3,5,2
等距离的点。
例9．已知两点
0z a2x2y2
与圆柱体 x2y2axa0
的公共部分在 x o y 面和 xoz 面
上的投影。
§8-5 平面及其方程 例1．已知一个平面通过点
p3,2,1 并且垂直于 p 1 与
点 p2 6,2,7 的连线，求平面方程。
例2．求过三点
M 1 2 , 1 ,4 ,M 2 1 ,3 , 2 和 M 3 0 ,2 ,3
第八章 空间解析几何与向量代数 §8-1 向量及其线性运算
例1．已知 a5 b8 a,b
高数A第八章 空间解析几何和向量PPT课件
3.向量的线性运算
加法：平行四边形法则 数乘：大小与方向
4. 空间两向量的夹角的概念：
向 量 aa 与 0向 , 量 bb 的 0,夹 角
b
a
(a ,b )(b,a)
(0)
二、向量坐标及坐标线性运算
设a是以 M1( x1 , y1 , z1 )为起点、 M2 ( x2 , y2 , z2 )
1.球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为R的球面方程:
x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R 2
2. 旋转曲面：
如图 设M(x,y,z),
(1) zz1
（2）点M 到z轴的距离
dx2y2 |y1| x
z
d M 1(0,y1,z1)
M f(y,z)0
（5）
a//
b
ax
ay
az
bx by bz
例2
求与a
3i
2
j
4k ，b
i
j
2k 都垂
直的单位向量.
解
i
jki
j
c ab ax ay az 3 2
bx by bz 1 1
|c |1 2 0 5 2 55 ,
c0 c
|c|
2
j
5
15k.
k
4 1j0 5k, 2
第八章 空间解析几何与向量代数
一、向量及其线性运算
1. 空间的点 1 1有序数组(x,y,z)
2. 空间两点间的距离
设 M1( x1 , y1 , z1 )、M2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点，则
M 1 M 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2 .
向量代数与空间解析几何—空间解析几何(高等数学课件)
1 + 1 + 1 + 1 = 0 ,
2 + 2 + 2 + 2 = 0 .
方程组（1）我们称之为直线的一般式方程。
(1)
2.空间直线的点向式方程
1.二元极限定义
与直线平行（共线）的非零向量称为直线的方向向量．
设已知直线 L 过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )，其方向向
（1）过点 A(1, 2,3) ， B(1,1, 1) 的直线方程；
x 1 y 1 z 2
（2）过点 M (0, 2,3) ，且与直线 L1 :
平行的直线方程；
3
2
1
（3）过点 P(2,1,3) ，且与平面 π : 3x 2 y z 1 0 垂直的直线方程．
例题
一点.因为向量 ⊥平面，0 ⊂平面，所以 ⊥ 0 .
由向量垂直的充要条件可知 ⋅ 0 = 0，
而0 = − 0 , − 0 , − 0 ，根据向量数量积的坐标表达式有：
− 0 + − 0 + − 0 = 0
此方程是由平面上一个点的坐标和平面的法向量确定的，因此，我们称之为平面的
出了平面平行或垂
直的判定方法。
空间上点到平面
的距离公式。
思考题
求满足下列条件的平面方程：
(1)过原点且法向量 = 1,2,3 ；
一元函数，但在自然科学和工程两
(2)在, , 轴上的截距分别是2, −3,4
空间直线及其方程
知识点讲解
1.空间直线的一般式方
程
2.空间直线的点向式方程
3.空间直线的参数方程
1.空间直线的一般方程式
2 + 2 + 2 + 2 = 0 .
方程组（1）我们称之为直线的一般式方程。
(1)
2.空间直线的点向式方程
1.二元极限定义
与直线平行（共线）的非零向量称为直线的方向向量．
设已知直线 L 过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )，其方向向
（1）过点 A(1, 2,3) ， B(1,1, 1) 的直线方程；
x 1 y 1 z 2
（2）过点 M (0, 2,3) ，且与直线 L1 :
平行的直线方程；
3
2
1
（3）过点 P(2,1,3) ，且与平面 π : 3x 2 y z 1 0 垂直的直线方程．
例题
一点.因为向量 ⊥平面，0 ⊂平面，所以 ⊥ 0 .
由向量垂直的充要条件可知 ⋅ 0 = 0，
而0 = − 0 , − 0 , − 0 ，根据向量数量积的坐标表达式有：
− 0 + − 0 + − 0 = 0
此方程是由平面上一个点的坐标和平面的法向量确定的，因此，我们称之为平面的
出了平面平行或垂
直的判定方法。
空间上点到平面
的距离公式。
思考题
求满足下列条件的平面方程：
(1)过原点且法向量 = 1,2,3 ；
一元函数，但在自然科学和工程两
(2)在, , 轴上的截距分别是2, −3,4
空间直线及其方程
知识点讲解
1.空间直线的一般式方
程
2.空间直线的点向式方程
3.空间直线的参数方程
1.空间直线的一般方程式
高等数学第八章空间解析几何与向量代数
|
c
|
102 52 5 5,
c0
|
c c
|
2
j
5
1 5
k
.
k
4 10 j 5k, 2
作业 P23习题8-2
1(1)、(3)，3，4，9
第三节 平面及其方程
一、平面的点法式方程
z
如果一非零向量垂直于一
平面，这向量就叫做该平
面的法线向量．
o
y
x
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量．
定的平面, 指向符合右手系。
定义
向量
a
与
b
的向量积为
c
a
b
(其中
为a
与b
的夹角)
c 的方向既垂直于a，又垂直于b ，
指向符合右手系。
向量积也称为“叉积”、“外积”。
1、关于向量积的说明：
(1)
a
a
0.
( 0 sin 0)
(2) a//b
a b 0.
(a
0,
b
,
ab .
()
ab,
,
2
cos 0,
ab
|
a
|| b
2
| cos
0.
2、数量积符合下列运算规律：
(1) 交换律：
a
b
b
a
(2) 分配律：
(a b) c a c b c
(3) 若 为常数：
若 、 为常数：
(a)
b
a
(b)
(a
(a)
( b )
(a
b ).
3、向量积的坐标表达式
设
a
axi
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a
故b a. 再证数 的而 a 0, 故 0, 即 .
“ ” 已知 b＝ a ,
则
当 0 时, b＝0
当 0 时, a , b 同向
当 0 时, a , b 反向
a∥b
三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
使得 r = OM，称其为点M关于原点O的向径。
以
i,
j,
k分别表示
x
,
y
,
z
轴上的单位向量,
设点 M 的坐标为 M( x , y , z), 则
z
OM ON NM OA OB OC
OA x i , OB y j , OC z k
r
x
i
y
j
zk
(
x
,
y,
z
)
C
ko
i
A
j
2. 方向角与方向余弦
设OB有两b非, 称零向=量∠aA,ObB, 任(0取≤ 空≤间一) 为点向O量,
作 OA a, a, b的夹角.
记作
(a,
b)
或 (b,a)
类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 .
O
给定 r
( x,
y, z)
0,
称
r与三坐标轴的夹角
,
A
B ,
为其方向角.
方向角的余弦称为其方向余弦.
平行向量对应坐标成比例: 当 a 0时,
b
a
b
a
bx by bz ax ay az
bx ax by ay
bz az
五、向量的模、方向角
1. 向量的模与两点间的距离公式
z R
设 r ( x , y , z ), 作 OM r, 则有 r OM OP OQ OR
M
o
三角形法则可推广到多个向量相加 .
s a1 a2 a3 a4 a5
a4
a5
a3 s
a2 a1
2. 向量的减法
a
b a b (a)
b ba
特别当b a 时,有
a
a a a (a) 0
ba
三角不等式
ab a b ab a b
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
cos
x r
x x2 y2 z2
z
r
o
y
x
cos
x r
cos
y r
cos
z r
x x2 y2 z2
y x2 y2 z2
z x2 y2 z2
z
r
o
y
x
方向余弦的性质: cos2 cos2 cos2 1
向量 r的单位向量:
r
r r
(cos ,cos ,cos )
r
M B y
此式称为向量 r 的坐标分解式 ,
x
N
x
i,
y
j,
z
k
称为向量
r沿三个坐标轴方向的分向量.
四、利用坐标作向量的线性运算
设 a ( ax ,ay ,az ),
b (bx ,by ,bz ),
为实数，则
a
b
(ax bx ,ay by ,az bz )
a ( ax , ay , az )
因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
b ab
三角形法则:
a
ab
b
a
(a b) c
c
bc
a (b c)
ab
b
a
运算规律 : 交换律 a b b a 结合律 ( a b ) c a ( b c ) a b c
例1 已知两点 M1( 2,2, 2 ) 和 M2(1,3,0), 计算向量 M1M2 的模 、方向余弦和方向角 .
M2
自由向量: 与起点无关的向量.
M1
单位向量: 模为 1 的向量,记作 a或 a .
零向量: 模为 0 的向量, 记作 0，或 0 .
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
三个坐标轴的正方向 符合右手系.
z竖轴
即以右手握住 z 轴，
当右手的四个手指
从正向 x轴以 角
定点 o•
2
度转向正向 y 轴时， 横轴 x
y纵轴
大拇指的指向就是z
空间直角坐标系
轴的正向.
• 坐标原点 • 坐标轴 • 坐标面 • 卦限(八个)
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间的点 11对 应 关 系 有序数组(x,y,z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P , Q , R , 坐标面上的点 A , B , C , O(0,0,0)
z
R(0,0,z)
B(0,y,z)
C(x,0,z)
o x P(x,0,0)
• M(x,y,z)
y
Q(0,y,0) A(x,y,0)
2. 向量的坐标表示
在空间直角坐标系下,任意向量 r ，都可以找到一点M，
高等数学 第八章 空间解析几何与向量代数
第一节 向量及其 线性运算
一、向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a , 或 a .
向量的模 : 向量的大小, 记作 M1M2 , 或 a , 或 a .
向径 (矢径): 起点为原点的向量.
Q y
由勾股定理得
P
x
N
r OM OP 2 OQ 2 OR 2 x2 y2 z2
对两点 A( x1 , y1 , z1) 与 B( x2 , y2 , z2 ), 因
AB OB OA ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 ) 得两点间的距离公式:
B
A
AB AB ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
可见
1a a; 1a a;
(a
b)
a
b
若a
0,
则有单位向量a
1 a
a
因此 a
a a
定理1 设 a 为非零向量 , 则
a∥b
b a ( 为唯一实数)
证: “ ”. 设 a∥b , 取 ＝± b a , a , b 同向时
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
b
a a a b
3. 向量与数的乘法
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a . 规定 : 0时， a与a同向， a a ;
0时, a与a反向， a a ;
0时,
a
0
.
总之:
a a
运算律 : 结合律 ( a) ( a) a 分配律 ( )a a a
故b a. 再证数 的而 a 0, 故 0, 即 .
“ ” 已知 b＝ a ,
则
当 0 时, b＝0
当 0 时, a , b 同向
当 0 时, a , b 反向
a∥b
三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
使得 r = OM，称其为点M关于原点O的向径。
以
i,
j,
k分别表示
x
,
y
,
z
轴上的单位向量,
设点 M 的坐标为 M( x , y , z), 则
z
OM ON NM OA OB OC
OA x i , OB y j , OC z k
r
x
i
y
j
zk
(
x
,
y,
z
)
C
ko
i
A
j
2. 方向角与方向余弦
设OB有两b非, 称零向=量∠aA,ObB, 任(0取≤ 空≤间一) 为点向O量,
作 OA a, a, b的夹角.
记作
(a,
b)
或 (b,a)
类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 .
O
给定 r
( x,
y, z)
0,
称
r与三坐标轴的夹角
,
A
B ,
为其方向角.
方向角的余弦称为其方向余弦.
平行向量对应坐标成比例: 当 a 0时,
b
a
b
a
bx by bz ax ay az
bx ax by ay
bz az
五、向量的模、方向角
1. 向量的模与两点间的距离公式
z R
设 r ( x , y , z ), 作 OM r, 则有 r OM OP OQ OR
M
o
三角形法则可推广到多个向量相加 .
s a1 a2 a3 a4 a5
a4
a5
a3 s
a2 a1
2. 向量的减法
a
b a b (a)
b ba
特别当b a 时,有
a
a a a (a) 0
ba
三角不等式
ab a b ab a b
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
cos
x r
x x2 y2 z2
z
r
o
y
x
cos
x r
cos
y r
cos
z r
x x2 y2 z2
y x2 y2 z2
z x2 y2 z2
z
r
o
y
x
方向余弦的性质: cos2 cos2 cos2 1
向量 r的单位向量:
r
r r
(cos ,cos ,cos )
r
M B y
此式称为向量 r 的坐标分解式 ,
x
N
x
i,
y
j,
z
k
称为向量
r沿三个坐标轴方向的分向量.
四、利用坐标作向量的线性运算
设 a ( ax ,ay ,az ),
b (bx ,by ,bz ),
为实数，则
a
b
(ax bx ,ay by ,az bz )
a ( ax , ay , az )
因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
b ab
三角形法则:
a
ab
b
a
(a b) c
c
bc
a (b c)
ab
b
a
运算规律 : 交换律 a b b a 结合律 ( a b ) c a ( b c ) a b c
例1 已知两点 M1( 2,2, 2 ) 和 M2(1,3,0), 计算向量 M1M2 的模 、方向余弦和方向角 .
M2
自由向量: 与起点无关的向量.
M1
单位向量: 模为 1 的向量,记作 a或 a .
零向量: 模为 0 的向量, 记作 0，或 0 .
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
三个坐标轴的正方向 符合右手系.
z竖轴
即以右手握住 z 轴，
当右手的四个手指
从正向 x轴以 角
定点 o•
2
度转向正向 y 轴时， 横轴 x
y纵轴
大拇指的指向就是z
空间直角坐标系
轴的正向.
• 坐标原点 • 坐标轴 • 坐标面 • 卦限(八个)
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zox面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间的点 11对 应 关 系 有序数组(x,y,z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P , Q , R , 坐标面上的点 A , B , C , O(0,0,0)
z
R(0,0,z)
B(0,y,z)
C(x,0,z)
o x P(x,0,0)
• M(x,y,z)
y
Q(0,y,0) A(x,y,0)
2. 向量的坐标表示
在空间直角坐标系下,任意向量 r ，都可以找到一点M，
高等数学 第八章 空间解析几何与向量代数
第一节 向量及其 线性运算
一、向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a , 或 a .
向量的模 : 向量的大小, 记作 M1M2 , 或 a , 或 a .
向径 (矢径): 起点为原点的向量.
Q y
由勾股定理得
P
x
N
r OM OP 2 OQ 2 OR 2 x2 y2 z2
对两点 A( x1 , y1 , z1) 与 B( x2 , y2 , z2 ), 因
AB OB OA ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 ) 得两点间的距离公式:
B
A
AB AB ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
可见
1a a; 1a a;
(a
b)
a
b
若a
0,
则有单位向量a
1 a
a
因此 a
a a
定理1 设 a 为非零向量 , 则
a∥b
b a ( 为唯一实数)
证: “ ”. 设 a∥b , 取 ＝± b a , a , b 同向时
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
b
a a a b
3. 向量与数的乘法
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a . 规定 : 0时， a与a同向， a a ;
0时, a与a反向， a a ;
0时,
a
0
.
总之:
a a
运算律 : 结合律 ( a) ( a) a 分配律 ( )a a a