高等数学教学课件-09空间解析几何
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大学高数空间解析几何
培养逻辑思维
学习空间解析几何有助于培养人的逻辑思维和抽象 思维能力，提高解决问题的能力。
空间解析几何的历史与发展
早期发展
空间解析几何起源于17世纪，随着笛卡尔坐标系的建立和 解析几何方法的完善，开始形成独立的数学分支。
近代发展
随着计算机科学和数学的不断发展，空间解析几何在理论 和应用方面都取得了重要进展，如微分几何、线性代数和 微分方程等与空间解析几何的交叉融合。
详细描述
如果两个平面的法向量 $mathbf{a}$ 和 $mathbf{b}$ 是共线的，即存在一个非零实数 $lambda$ 使得 $mathbf{a} = lambda mathbf{b}$，那么这两个平面就是平行的。如果两个平面的法向量不共线，那么 这两个平面就是相交的。
04
空间几何的应用
空间几何在计算机图形学中的应用
01
02
03
三维建模
空间几何用于创建三维模 型，包括曲面建模、实体 建模和参数化建模等。
光照计算
空间几何用于计算物体表 面的光照效果，以实现逼 真的渲染效果。
动画制作
空间几何用于动画制作中 的骨骼绑定、运动轨迹规 划和角色动画等，以创建 动态的视觉效果。
05
空间几何的习题与解答
平面与平面的交线
总结词求平面与平面Fra bibliotek交线，需要消元法或参数方程法。
详细描述
平面与平面的交线可以通过消元法或参数方程法来求解。消元法是通过联立两个平面的方程组，然后消元得到一 个一元一次方程，这个一元一次方程就是两平面的交线。参数方程法则是设定一个参数，将两个平面的方程都表 示成参数的函数，然后令参数相等，解出交线的参数方程。
未来展望
随着科技的不断进步和应用领域的拓展，空间解析几何将 继续发挥重要作用，并有望在人工智能、机器学习等领域 取得新的突破和应用。
学习空间解析几何有助于培养人的逻辑思维和抽象 思维能力，提高解决问题的能力。
空间解析几何的历史与发展
早期发展
空间解析几何起源于17世纪，随着笛卡尔坐标系的建立和 解析几何方法的完善，开始形成独立的数学分支。
近代发展
随着计算机科学和数学的不断发展，空间解析几何在理论 和应用方面都取得了重要进展，如微分几何、线性代数和 微分方程等与空间解析几何的交叉融合。
详细描述
如果两个平面的法向量 $mathbf{a}$ 和 $mathbf{b}$ 是共线的，即存在一个非零实数 $lambda$ 使得 $mathbf{a} = lambda mathbf{b}$，那么这两个平面就是平行的。如果两个平面的法向量不共线，那么 这两个平面就是相交的。
04
空间几何的应用
空间几何在计算机图形学中的应用
01
02
03
三维建模
空间几何用于创建三维模 型，包括曲面建模、实体 建模和参数化建模等。
光照计算
空间几何用于计算物体表 面的光照效果，以实现逼 真的渲染效果。
动画制作
空间几何用于动画制作中 的骨骼绑定、运动轨迹规 划和角色动画等，以创建 动态的视觉效果。
05
空间几何的习题与解答
平面与平面的交线
总结词求平面与平面Fra bibliotek交线，需要消元法或参数方程法。
详细描述
平面与平面的交线可以通过消元法或参数方程法来求解。消元法是通过联立两个平面的方程组，然后消元得到一 个一元一次方程，这个一元一次方程就是两平面的交线。参数方程法则是设定一个参数，将两个平面的方程都表 示成参数的函数，然后令参数相等，解出交线的参数方程。
未来展望
随着科技的不断进步和应用领域的拓展，空间解析几何将 继续发挥重要作用，并有望在人工智能、机器学习等领域 取得新的突破和应用。
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第一章 高等数学 第一节 空间解析几何一、向量代数（一）向量及其线性运算既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等这类量，称为向量，向量 a 的大小称为向量 a 的模，记作| a |。
模等于1的向量叫做单位向量，向量的加减法、向量与数的乘法统称为向量的线性运算。
向量a 与向量 b 的和 a + b 是一个向量 c ，利用平行四边形法则或三角形法则可得向量c ，如图 1-1-1 ，图 1-1-2 所示。
向量的加法符合下列运算规律： ① 交换律 a + b = b + a② 结合律(a + b)+c＝ a +(b+c）向量 b 与向量 a 的差 b - a 定义为向量 b 与 a 的负向量-a 的和，即b - a = b + (-a)由向量加法的三角形法则可知：() |a| = |-a|向量 a 与实数λ的积记作λa ，它是一个向量，它的模它的方向当λ＞ 0 时，与向量 a 相同；当λ＜ 0 时，与向量 a 相反。
向量与数的乘积符合下列运算规律：由向量与数的乘积的定义，可得以下定理：定理 设向量 a≠0 ，那么，向量 b 与向量 a 平行的充分必要条件是：存在惟一的实数λ，使 b =λa 。
（二）向量的坐标设有空间直角坐标系 O - xyz ， i、 j、 k 分别表示沿 x 、 y 、 z 轴正向的单位向量， 12a M M是以1111(,,)M x y z 为起点，2222(,,)M x y z 为终点的向量，则向量a 可表示为其中212121x x y y z z ---、、称为向量 a 的坐标。
利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法运算如下：非零向量 a 与三条坐标轴正向的夹角αβγ、、称为它的方向角。
向量的模、方向角与坐标之间关系：其中cos cos cos αβγ、、称为向量 a 的方向余弦。
利用向量的坐标可得向量的模与方向余弦如下：（三）数量积 向量积设向量a 和向量 b 的夹角为θθπ≤≤（0）,向量 a 和向量 b 的数量积为一个数量，记作a b ⋅ ，其大小为||||cos a b θ，即a ⊥b 的充分必要条件是 a .b =0向量 a 在轴u 上的投影（记作 Prj u a ）等于向量 a 的模乘以轴与向量a 的夹角φ的余弦，即利用向量在轴上的投影，可将数量积表为向量 a 和向量 b 的向量积为一个向量 c ，记作 a × b ，即c ＝ a × b ，c 的模c 的方向垂直于 a 与 b 所决定的平面， c 的指向按右手法则确定。
《高等数学(下册)》 第9章
向量的数乘满足下列运算规律．
（1）结合律： (a) (a) ()a ； （2）分配律： ( )a a a ，(a b) a b ． 这里 a ，b 为向量， ， 为实数．
向量的加法运算以及向量的数乘运算统称为向量的线性运算．
9.1.2 向量的线性运算
设 a 0 ，与 a 同方向的单位向量记为 ea ，由数与向量乘积的定义有 a | a | ea ，
9.2.2 向量的坐标表示
3 4 2
解法一 按对角线法则，有
D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4 11 4 2 (2) (2) (4) 2 (3) 4 6 32 4 8 24 14．
解法二 按第一行展开，有
2 D 1
1 2 2
1
2
(4)
2 1 (4 4) 2 (4 3) (4) (8 6) 14 ．
x 为数轴上点 P 的坐标．
9.1.3 二阶与三阶行列式
1．二阶行列式 由 4 个数排成 2 行 2 列（横排称行、竖排称列）的数表
a11 a12 a21 a22 ， 表达式 a11a22 a12a21 称为该数表所确定的二阶行列式，并记作
a11 a12 ． a21 a22
数 aij (i 1，2 ；j 1，2) 称为二阶行列式的元素，元素 aij 中的第一个下标 i 和第二个下 标 j 分别表示该元素所在的行数和列数．例如，元素 a21 在行列式中位于第二行、第一列．
9.1.3 二阶与三阶行列式
例1 计算二阶行列式 2 1 ． 1 3
解 2 1 2 (3) 11 7 ． 1 3
9.1.3 二阶与三阶行列式
2．三阶行列式 由 9 个数排成 3 行 3 列的数表
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ，
（1）结合律： (a) (a) ()a ； （2）分配律： ( )a a a ，(a b) a b ． 这里 a ，b 为向量， ， 为实数．
向量的加法运算以及向量的数乘运算统称为向量的线性运算．
9.1.2 向量的线性运算
设 a 0 ，与 a 同方向的单位向量记为 ea ，由数与向量乘积的定义有 a | a | ea ，
9.2.2 向量的坐标表示
3 4 2
解法一 按对角线法则，有
D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4 11 4 2 (2) (2) (4) 2 (3) 4 6 32 4 8 24 14．
解法二 按第一行展开，有
2 D 1
1 2 2
1
2
(4)
2 1 (4 4) 2 (4 3) (4) (8 6) 14 ．
x 为数轴上点 P 的坐标．
9.1.3 二阶与三阶行列式
1．二阶行列式 由 4 个数排成 2 行 2 列（横排称行、竖排称列）的数表
a11 a12 a21 a22 ， 表达式 a11a22 a12a21 称为该数表所确定的二阶行列式，并记作
a11 a12 ． a21 a22
数 aij (i 1，2 ；j 1，2) 称为二阶行列式的元素，元素 aij 中的第一个下标 i 和第二个下 标 j 分别表示该元素所在的行数和列数．例如，元素 a21 在行列式中位于第二行、第一列．
9.1.3 二阶与三阶行列式
例1 计算二阶行列式 2 1 ． 1 3
解 2 1 2 (3) 11 7 ． 1 3
9.1.3 二阶与三阶行列式
2．三阶行列式 由 9 个数排成 3 行 3 列的数表
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ，
《高数空间解析几何》PPT课件
类似地， 方程 f( y , z)= 0在空间表示以 yoz 坐标面上的 曲线为准线，平行于 x 轴的直线为母线的柱面. 方程 f( x , z)= 0在空间表示以 xoz 坐标面上的曲线为准线， 平行于 y 轴的直线为母线的柱面.
8
椭圆柱面：
z
x2 a2
y2 b2
1
xoy 坐标面上的椭圆为准线、
3
P26例 5
xoz 坐标面上的双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x、z 轴旋
转一周，求所得旋转曲面方程
x2 y2y2 z2
绕 x 轴转所得曲面称为旋转双叶双曲面,
z
曲面方程为
x2 y2 z2 a2 c2 c2 1
o
x
绕 z 轴转所得曲面称为旋转单叶双曲面,
z
曲面方程为
x2 y2 z2 a2 a2 c2 1
曲面讨论的两个基本问题： （1）已知曲面的形状，建立这曲面的方程； （2）已知方程 F(x, y, z) =0，研究这方程的图形；
二、旋转曲面 一条平面曲线 C 绕其平面上 一条直线 L 旋转所形成的曲面，称为旋转曲面 . 定直线 L 称为旋转轴.
1
建立 y oz 面上曲线 C : f ( y , z ) = 0绕 z 轴旋转所成
例
求曲线
:
x2
x
2
y2 y2
z2 8y
64
,
在 xoy, y0z 坐标面上的投影曲线的方程.
解 关于xo y 坐标面的投影
柱面方程 x 2 y 2 8 y
因而曲线 在 xo y 坐标
面上的投影曲线是圆.
1
y 0
y2 z2
b2
c2
8
椭圆柱面：
z
x2 a2
y2 b2
1
xoy 坐标面上的椭圆为准线、
3
P26例 5
xoz 坐标面上的双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x、z 轴旋
转一周，求所得旋转曲面方程
x2 y2y2 z2
绕 x 轴转所得曲面称为旋转双叶双曲面,
z
曲面方程为
x2 y2 z2 a2 c2 c2 1
o
x
绕 z 轴转所得曲面称为旋转单叶双曲面,
z
曲面方程为
x2 y2 z2 a2 a2 c2 1
曲面讨论的两个基本问题： （1）已知曲面的形状，建立这曲面的方程； （2）已知方程 F(x, y, z) =0，研究这方程的图形；
二、旋转曲面 一条平面曲线 C 绕其平面上 一条直线 L 旋转所形成的曲面，称为旋转曲面 . 定直线 L 称为旋转轴.
1
建立 y oz 面上曲线 C : f ( y , z ) = 0绕 z 轴旋转所成
例
求曲线
:
x2
x
2
y2 y2
z2 8y
64
,
在 xoy, y0z 坐标面上的投影曲线的方程.
解 关于xo y 坐标面的投影
柱面方程 x 2 y 2 8 y
因而曲线 在 xo y 坐标
面上的投影曲线是圆.
1
y 0
y2 z2
b2
c2
高数课件PPT
算。
插值法的概念与应用
概念
插值法是一种数学方法，通过已知的 离散数据点，构造一个多项式函数， 使得该函数在已知数据点上的取值与 实际值相等。
应用
插值法在数学、物理、工程等领域有 广泛应用，如数据拟合、数值积分、 微分、求解方程等。
拉格朗日插值法与牛顿插值法
拉格朗日插值法
拉格朗日插值法是一种基于拉格朗日多项式的插值方 法，通过构造一个拉格朗日多项式来逼近已知数据点 。该方法具有较好的数值稳定性和收敛性。
两个向量的点积等于它 们的模的乘积和它们夹 角的余弦值的乘积。
两个向量的叉积是一个 向量，其方向垂直于作 为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个 向量构成的平行四边形 的面积。
三个向量的混合积等于 它们构成的平行六面体 的体积。
两个向量的数量积等于 它们的模的乘积和它们 夹角的余弦值。
空间直角坐标系与向量的表示
详细描述
极限的运算规则包括极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则等。这些规则能够帮助我们简化 极限的计算过程，提高计算的准确性和效率。在进行极限运算时，需要注意一些常见的错误，例如无 穷大与无穷小的混淆、未定式的误解等。
03
导数与微分
导数的定义与性质
导数的定义
01
导数描述了函数在某一点的斜率，即函数值随自变量变化的速
率。
单侧导数
02
在函数定义域的某一点，可以定义左侧或右侧的导数，表示函
数在该点的切线斜率。
导数的几何意义
03
导数在几何上表示函数图像在该点的切线斜率。
导数的运算规则
链式法则
对于复合函数的导数，链式法则是重要的运算规则，表示对复合 函数的内部函数求导后再乘以外部函数的导数。
插值法的概念与应用
概念
插值法是一种数学方法，通过已知的 离散数据点，构造一个多项式函数， 使得该函数在已知数据点上的取值与 实际值相等。
应用
插值法在数学、物理、工程等领域有 广泛应用，如数据拟合、数值积分、 微分、求解方程等。
拉格朗日插值法与牛顿插值法
拉格朗日插值法
拉格朗日插值法是一种基于拉格朗日多项式的插值方 法，通过构造一个拉格朗日多项式来逼近已知数据点 。该方法具有较好的数值稳定性和收敛性。
两个向量的点积等于它 们的模的乘积和它们夹 角的余弦值的乘积。
两个向量的叉积是一个 向量，其方向垂直于作 为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个 向量构成的平行四边形 的面积。
三个向量的混合积等于 它们构成的平行六面体 的体积。
两个向量的数量积等于 它们的模的乘积和它们 夹角的余弦值。
空间直角坐标系与向量的表示
详细描述
极限的运算规则包括极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则等。这些规则能够帮助我们简化 极限的计算过程，提高计算的准确性和效率。在进行极限运算时，需要注意一些常见的错误，例如无 穷大与无穷小的混淆、未定式的误解等。
03
导数与微分
导数的定义与性质
导数的定义
01
导数描述了函数在某一点的斜率，即函数值随自变量变化的速
率。
单侧导数
02
在函数定义域的某一点，可以定义左侧或右侧的导数，表示函
数在该点的切线斜率。
导数的几何意义
03
导数在几何上表示函数图像在该点的切线斜率。
导数的运算规则
链式法则
对于复合函数的导数，链式法则是重要的运算规则，表示对复合 函数的内部函数求导后再乘以外部函数的导数。
向量代数与空间解析几何—空间解析几何(高等数学课件)
1 + 1 + 1 + 1 = 0 ,
2 + 2 + 2 + 2 = 0 .
方程组（1）我们称之为直线的一般式方程。
(1)
2.空间直线的点向式方程
1.二元极限定义
与直线平行（共线）的非零向量称为直线的方向向量．
设已知直线 L 过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )，其方向向
（1）过点 A(1, 2,3) ， B(1,1, 1) 的直线方程；
x 1 y 1 z 2
（2）过点 M (0, 2,3) ，且与直线 L1 :
平行的直线方程；
3
2
1
（3）过点 P(2,1,3) ，且与平面 π : 3x 2 y z 1 0 垂直的直线方程．
例题
一点.因为向量 ⊥平面，0 ⊂平面，所以 ⊥ 0 .
由向量垂直的充要条件可知 ⋅ 0 = 0，
而0 = − 0 , − 0 , − 0 ，根据向量数量积的坐标表达式有：
− 0 + − 0 + − 0 = 0
此方程是由平面上一个点的坐标和平面的法向量确定的，因此，我们称之为平面的
出了平面平行或垂
直的判定方法。
空间上点到平面
的距离公式。
思考题
求满足下列条件的平面方程：
(1)过原点且法向量 = 1,2,3 ；
一元函数，但在自然科学和工程两
(2)在, , 轴上的截距分别是2, −3,4
空间直线及其方程
知识点讲解
1.空间直线的一般式方
程
2.空间直线的点向式方程
3.空间直线的参数方程
1.空间直线的一般方程式
2 + 2 + 2 + 2 = 0 .
方程组（1）我们称之为直线的一般式方程。
(1)
2.空间直线的点向式方程
1.二元极限定义
与直线平行（共线）的非零向量称为直线的方向向量．
设已知直线 L 过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )，其方向向
（1）过点 A(1, 2,3) ， B(1,1, 1) 的直线方程；
x 1 y 1 z 2
（2）过点 M (0, 2,3) ，且与直线 L1 :
平行的直线方程；
3
2
1
（3）过点 P(2,1,3) ，且与平面 π : 3x 2 y z 1 0 垂直的直线方程．
例题
一点.因为向量 ⊥平面，0 ⊂平面，所以 ⊥ 0 .
由向量垂直的充要条件可知 ⋅ 0 = 0，
而0 = − 0 , − 0 , − 0 ，根据向量数量积的坐标表达式有：
− 0 + − 0 + − 0 = 0
此方程是由平面上一个点的坐标和平面的法向量确定的，因此，我们称之为平面的
出了平面平行或垂
直的判定方法。
空间上点到平面
的距离公式。
思考题
求满足下列条件的平面方程：
(1)过原点且法向量 = 1,2,3 ；
一元函数，但在自然科学和工程两
(2)在, , 轴上的截距分别是2, −3,4
空间直线及其方程
知识点讲解
1.空间直线的一般式方
程
2.空间直线的点向式方程
3.空间直线的参数方程
1.空间直线的一般方程式
大学数学专业空间解析几何向量代数PPT课件
它 们 的 和 是 零 矢 量.
C
证 必 要 性 设 三 矢 量a，b，c可 以
构 成 三 角 形ABC， 即 有AB a, BC A
B
b,CA c， 那 么AB＋BC＋CA＝AA 0,即a b c 0
充 分 性 设a b c 0， 作AB a, BC b, 那 么AC
a b, 所 以AC c 0, 从 而c是 AC的反矢 量，因此c＝
叫 做 矢 量a1 , a2 ,, an的 线 性 组 合.
定理1.4.4 在n 2时，矢量a1, a2 ,, an线性相关的 充 要 条 件 是 其 中 有 一 个矢 量 是 其 余 矢 量 的 线 性组 合.
第34页/共137页
定理1.4.6 两矢量共线的充要条件是它们线性相关.
定 义1.4.2 对 于n(n 1)个 矢 量a1, a2 ,, an， 如 果 存
r xe1 ye2 ze3 ,
(1.4 3)
并 且 其 中 系 数x, y, z被e1 , e2 , e3 , r唯 一 确 定.
这时e1, e2 , e3叫做空间矢量的基底.
第38页/共137页
定 理1.4.3 如 果 矢 量e1 , e2 , e3不 共 面 ， 那 么 空 间
任 意 矢 量r可 以 由 矢 量e1 , e2 , e3线 性 表 示 ， 或 说 空 间 任 意 矢 量r可 以 分 解 成 矢 量e1 , e2 , e3的 线 性 组 合 ， 即
A
Q M
B
P
CB
由条件可知: BC = 2BP, AC = 2AQ.
S
Q
T
P
C
设AS = AP, B2T = BQ,
2
3
吉林大学高职高专《高等数学》第09章
这就是平面的方程, 称为点法式方程.
过点M0(x0, y0, z0)且法线向量为n(A, B, C)的平面的方程
为 A(xx0)B(yy0)C(zz0)0.
41
二、平面的一般方程
由于平面的点法式方程是x, y, z的一次方程, 而任一平面 都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定, 所以任一平 面都可以用三元一次方程来表示 .
以轴与向量的夹角的余弦：Pr jl AB | AB | cos
证
B
A
B
A
B
Pr jl AB Pr jl' AB
l'
l
| AB | cos
17
性质1的说明：
(1) 0 , 投影为正；
2
(2) , 投影为负；
2
(3) ,
2
投影为零；
γ
24
利用向量的坐标，可得向量的加法、减法及 向量与数的乘法的运算如下：
设α=x1i+y1j+z1k=(x1 , y1 ,z1), 则有：β=x2i+y2j+z2k= (x2,y2,z2).
α+β =（x1+x2 ）i +（y1+y2）j +（z1+z2) k
=(x1+x2 , y1+y2 , z1+z2 ). α-β=（x1-x2) i+ (y1-y2 ) j+ (z1-z2)k
C( x,o, z)
• M(x, y, z)
o
y
Q(0, y,0)
x P( x,0,0)
A( x, y,0)
6
二、空间两点间的距离公式
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a b a ( b )
a bb c
a
b
abab
b
abab
a(b) B
a1a2… an (a1a2… an1)an A
a
b
ab
C
向量的数乘
设 a 为 向 量 , 为 实 数 , a 为 新 向 ; 0 时 ,与 a反 向 .称 之 为 数 与 向 量 a 的 乘 积 .
对 角 线 作 长 方 体 ,与 坐 标 轴 重 合 的 棱 为 O P, O Q ,
O R ,则
r O P O Q O R
zz
R
又 O P x i , O Q y j , O R z k
M
r
所 以 r x i y j z k
O
y
Qy
x
M r ( x ,y ,z )
xP
称 ( x ,y ,z ) 为 空 间 点 M 或 矢 径 r o M ( 或 向 量 r ) 的 坐 标 ,记 作 :M ( x ,y ,z ) 或 r ( x ,y ,z )
量 (记 i,j,k), 就 构 成 三 个 相 互 垂 直 交 于 O ( 称 为 原 点 ) 的 数 轴 ( 分 别 称 x 轴 ,y 轴 , z 轴 ) 称 之 为 直 角 坐 标 系 . 记 为 ： Oxyz.
按x,y,z轴顺序,坐标系符合
右手定则,称为右手系.
z
任意两坐标轴确定一个平
面称坐标面. x,y 轴确定坐标 面称xOy面(或xy面); x,z 轴
向 量 垂 直 a b 0 . b c
向 量 平 行 a b 0 .
三 向 量 共 面 a(bc)0a
abc,(b0,c0)
c
b
c
c a
设i,j,k为相 b 互垂 b 直且依顺序
k
构成右手系的三单位向量,则 i
j
ijk,jki,ki j.
二、空间直角坐标系
在 空 间 取 定 一 点 O 和 三 个 相 互 垂 直 的 单 位 向
空间点坐标的位置特征
1 . Ⅰ 卦 限 点 x 0 , y 0 , z 0 ; Ⅱ 卦 限 点 x 0 , y 0 , z 0 ; Ⅲ 卦 限 点 x 0 , y 0 , z 0 ; Ⅳ 卦 限 点 x 0 , y 0 , z 0 ; Ⅴ 卦 限 点 x 0 , y 0 , z 0 ; Ⅵ 卦 限 点 x 0 , y 0 , z 0 ; Ⅶ 卦 限 点 x 0 , y 0 , z 0 ; Ⅷ 卦 限 点 x 0 , y 0 , z 0 ;
向量数乘性质 0a 0, 1a a, (1)a a,
(a) (a) ()a
( )a a a
(a b) a b.
定理：(向量平行条件)
向 量 a 与 b 平 行 存 在 唯 一 实 数 ,使 b a .
其 中 a 0 .
证 充 分 性 由 向 量 数 乘 定 义 可 得 ； ( 必 要 性 ) a 0 , 则 a 0 . 当 b 0 时 , 有 b 0 a ; 当 b 0 时 , 因 a 与 b 平 行 , 所 以 a 、 b 或 者 同 向 , 或 者 反 向 ;
k
i
Oj
y
确定坐标面称xOz面; y,z 轴
x
确定坐标面称yOz面.
三个坐标面把空间 分为八个部分，每 个部分叫一个卦限. 如图:
在xy坐标平面的上 部, 依次称为Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、Ⅳ卦限.
在xy面下部与第一 卦限相对应的称为 第Ⅴ卦限;以后依次 称为第Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ 卦限.
任 给 向 量 r , 空 间 对 应 有 点 M , 使 O M r . 以 O M 为
高等数学
微积分
西南财经大学经济数学系 孙疆明
精
空间解析几何与向量代数
向量及其线性运算
数量积、向量积、混合积
曲面及其方程
平面
空间曲线及其方程
一、向量及其线性运算
向量概念 有大小、有方向的量称为向量. 用 符 号 a 、 b 、 v 、 F 、 … 等 标 记 . 如 果 强 调 起 点 A 、 终 点 B ,也 记 A B . 向 量 的 大 小 叫 做 向 量 的 模 .记 为A B、 a… 等 . 模 为 1的 向 量 叫 做 单 位 向 量 . 模 为 0的 向 量 叫 零 向 量 .记 为 0.
b
b
又 a=b,故当a、b同向有= ,使ba;
a
a
b
当a、b反向时,有= ,使ba.
a
证完
注意:a0时,aa a,ba(a)a,且a 1,
a
aa
故选长度1的向量(记ea),就可用数表示各平行向量
向量的乘法(积) 向量的夹角 两 非 零 向 量 a ,b 把 起 点 放 在 一 起 , 构 成 的 不
两向量大小相等、方向相同叫做两向量相等； 两向量方向相同或相反,叫做两向量平行(共线);
起点放在一起，向量在一个平面内，叫做共面;
向量的线性运算(加减、数乘) 记 为 设 a A B ,b B C ,连 接 A 、 C 得 向 量 A C c
叫 做 向 量 a 、 b 的 和 a b ; 记 为 设aAB,bAC,连 接 B、 C得 向 量 CBc
性 质: 1. abba;
(a ,b )
b
a
2. a(bc)abab;
3. a(b)(a)b(ab).4.
aaa2.
2.向量的向量积(叉积)
a,b为 两 向 量 .以 数absin(a,b)为 模 ,以 从 a到 b
右 手 定 则 为 方 向 的 向 量 叫 作 向 量 a与 b的 向 量 积 .
记 为 : ab.
ab
性质: 1. abba;
b
b
2. a(bc)abab;
a
3. a(b)(a)kb(ab).
4. ab a,b为邻边面积. b a
b
b sin(a,b)
3.向量的混合积
a
a ( b c ) 叫 作 a , b , c 的 混 合 积 .
混 合 积 性 质 ：
a (b c) 以 a ,b ,c 为 棱 的 平 行 六 面 体 体 积 .
超 过 的 角 叫 向 量 a ,b 的 夹 角 .记 为 :( a ,b ) , ( a ,b ) .
1.向量的数量积(点积)——投影向量长度乘积
a ,b 为 两 向 量 ,称 数 ab c o s (a ,b ) 为 向 量 a ,b 的
数 量 积 .记 为 :a b .
即 ababco s(a,b)
记 为
叫 做 向 量 a与 b的 差 ab;BCc叫 做 向 量 b与 a的
差 ba;
A
B
a
b
ab C
B a
ab Ab
C
原向与量一的向负量向量a .大记小为相：等、a 方. 向a 相反B 的b 向量叫做
向量加法性质
a b b a
A
ab C
( a b ) c a ( b c )
abc c