高三数学函数图像

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2023年新高考数学大一轮复习专题11 函数的图象(解析版)

专题11 函数的图象【考点预测】一、掌握基本初等函数的图像（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数. 二、函数图像作法 1.直接画①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）.2.图像的变换（1）平移变换①函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向左平移a 个单位得到的； ②函数()(0)y f x a a =->的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向右平移a 个单位得到的； ③函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向上平移a 个单位得到的； ④函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向下平移a 个单位得到的；（2）对称变换①函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于y 轴对称；函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于x 轴对称；函数()y f x =与函数()y f x =--的图像关于坐标原点(0,0)对称； ②若函数()f x 的图像关于直线x a =对称，则对定义域内的任意x 都有()()f a x f a x -=+或()(2)f x f a x =-（实质上是图像上关于直线x a =对称的两点连线的中点横坐标为a ，即()()2a x a x a -++=为常数）；若函数()f x 的图像关于点(,)a b 对称，则对定义域内的任意x 都有()2(2)()2()f x b f a x f a x b f a x =---=-+或③()y f x =的图像是将函数()f x 的图像保留x 轴上方的部分不变，将x 轴下方的部分关于x 轴对称翻折上来得到的（如图（a ）和图（b ））所示④()y f x =的图像是将函数()f x 的图像只保留y 轴右边的部分不变，并将右边的图像关于y 轴对称得到函数()y f x =左边的图像即函数()y f x =是一个偶函数（如图（c ）所示）.注：()f x 的图像先保留()f x 原来在x 轴上方的图像，做出x 轴下方的图像关于x 轴对称图形，然后擦去x 轴下方的图像得到；而()f x 的图像是先保留()f x 在y 轴右方的图像，擦去y 轴左方的图像，然后做出y 轴右方的图像关于y 轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换.⑤函数1()y fx -=与()y f x =的图像关于y x =对称.（3）伸缩变换①()(0)y Af x A =>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍得到.②()(0)y f x ωω=>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的横坐标伸长(01)ω<<或缩短(1)ω>到原来的1ω倍得到. 【方法技巧与总结】(1)若)()(x m f x m f -=+恒成立，则)(x f y =的图像关于直线m x =对称.(2)设函数)(x f y =定义在实数集上，则函数)(m x f y -=与)(x m f y -=)0(>m 的图象关于直线m x =对称.(3)若)()(x b f x a f -=+，对任意∈x R 恒成立，则)(x f y =的图象关于直线2ba x +=对称.(4)函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图象关于直线2ba x +=对称. (5)函数)(x f y =与函数)2(x a f y -=的图象关于直线a x =对称. (6)函数)(x f y =与函数)2(2x a f b y --=的图象关于点)(b a ，中心对称. (7)函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”.【题型归纳目录】题型一：由解析式选图（识图）题型二：由图象选表达式题型三：表达式含参数的图象问题题型四：函数图象应用题题型五：函数图像的综合应用【典例例题】题型一：由解析式选图（识图）例1．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）函数2()sin 12xf x x =++的图象可能是（） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】通过判断()f x 不是奇函数，排除A ，B ，又因为302f π⎛⎫<⎪⎝⎭，排除C ，即可得出答案. 【详解】因为2()sin 12x f x x =++的定义域为R ，又因为()()222sin()sin 1221xx x f x x x f x -⋅-=-+=-+≠-++，所以()f x 不是奇函数，排除A ，B. 33223322sin()10221212f ππππ⎛⎫=+=-+< ⎪⎝⎭++，所以排除C.故选：D.例2．（2022·陕西·汉台中学模拟预测（理））函数2ln x y x=的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【分析】根据函数的定义域与奇偶性，排除A 、B 选项；结合导数求得函数在(1,)+∞上的单调性，排除D 选项，即可求解. 【详解】由题意，函数()2ln x f x x =的定义域为(,1)(1,0)(0,1)(1,)-∞--+∞，关于原点对称，且满足()()22()ln ln x x f x f x x x--===-，所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 选项；当1x >时，可得()2ln x f x x =，则()()()222ln (2ln 1)ln ln x x x x x f x x x --'==，当x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；排除A 选项当)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以排除D 选项，选项C 符合. 故选：C.例3．（2022·天津·二模）函数sin exx xy =的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】分析函数sin exx xy =的奇偶性及其在()0,π上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】令()sin e x x xf x =，该函数的定义域为R ，()()()sin sin e ex xx x x x f x f x ----===，所以，函数sin exx xy =为偶函数，排除AB 选项，当0πx <<时，sin 0x >，则sin 0exx xy =>，排除C 选项. 故选：D.例4．（2022·全国·模拟预测）已知函数())lnsin f x x x =⋅则函数()f x 的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先利用函数的奇偶性排除部分选项，再根据()0,x π∈时，函数值的正负判断. 【详解】易知函数)lny x =为奇函数，sin y x =也是奇函数，则函数())ln sin f x x x =⋅为偶函数，故排除选项B ，C ；因为)lnln y x ⎛⎫==，当0x >1x >恒成立，所以ln 0⎛⎫<恒成立，且当()0,x π∈时，sin 0x >，所以当()0,x π∈时，()0f x <，故选项A 正确，选项D 错误，故选：A ．例5．（2022·全国·模拟预测）函数()22e xx xf x -=的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】【分析】根据f (x )的零点和x →+∞时函数值变化情况即可判断求解．【详解】由()0f x =得0x =或2，故排除选项A ；当x →+∞时，函数值无限靠近x 轴，但与x 轴不相交，只有选项B 满足．例6．（2022·河北·模拟预测）函数4cos3()cos (ππ)33xf x x x =---≤≤的部分图象大致为（） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】利用函数的奇偶性和代入特殊值即可求解. 【详解】由已知条件得函数()f x 的定义域关于原点对称， ∵()()cos 34()cos 33x f x x --=---()4cos3cos 33x x f x -=-=， ∴()f x 为偶函数，函数的图象关于y 轴对称，则排除选项B 、C , 又∵4cos3π(π)cos π33f =--4181333=++=， ∴排除选项D ，故选：A .【方法技巧与总结】利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选出正确答案题型二：由图象选表达式例7．（2022·全国·模拟预测）已知y 关于x 的函数图象如图所示，则实数x ，y 满足的关系式可以为（）A ．311log 0x y --=B ．321xx y-=C ．120x y --=D ．ln 1x y =-【答案】A 【解析】【分析】将311log 0x y --=化为11133x x y ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，结合图像变换，可判断A;取特殊值验证，可判断B;作出函数12x y -=的图象，可判断C;根据函数ln 1y x =+的性质，可判断D.【详解】由311log 0x y --=，得31log 1x y=-，所以3log 1y x -=-，即3log 1y x =--，化为指数式，得11133x x y ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，其图象是将函数1,01333,0xxx x y x ⎧⎛⎫≥⎪⎛⎫⎪==⎨⎝⎭⎪⎝⎭⎪<⎩的图象向右平移1个单位长度得到的，即为题中所给图象，所以选项A 正确；对于选项B ，取1x =-，则由()31121y---=，得21y =>，与已知图象不符，所以选项B 错误；由120x y --=，得12x y -=，其图象是将函数2xy =的图象向右平移1个单位长度得到的，如图：与题中所给的图象不符，所以选项C 错误；由ln 1x y =-，得ln 1y x =+，该函数为偶函数，图象关于y 轴对称，显然与题中图象不符，所以选项D 错误，故选：A.例8．（2022·江西赣州·二模（理））已知函数()f x 的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（）A ．(21)y f x =-B ．412x y f -⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．(12)y f x =-D ．142x y f -⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】分三步进行图像变换①关于y 轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半【详解】12()()(1)(12)x xx x x xy f x y f x y f x y f x →-→-→=→=-→=-→=-①②③①关于y 轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半故选：C.例9．（2022·浙江·模拟预测）已知函数()f x 的大致图象如图所示，则函数()y f x =的解析式可以是（）A ．()()2211--=xxex y eB ．()21sin -=xxex y eC ．()()2211-+=xxex y eD ．()21cos -=xxex y e【答案】B【解析】【分析】根据函数图象，可知函数为偶函数，排除A ，D ，根据C 项函数没有零点，排除C 项，最终选出正确结果. 【详解】根据函数图象，可知函数为偶函数，排除A ，D ；对于C ，当0x >时，22110,2-+>≥x xe x e x ，函数显然不存在零点，排除C ．故选：B ．例10．（2022·全国·模拟预测）已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为( )A ．()sin πf x x x =B ．()()1πsin f x x x =-C ．()()sin π1f x x x =+D ．()()1cos πf x x x =-【答案】B 【解析】【分析】根据已知图象的对称性，结合AC 的奇偶性可排除AC ，根据已知图象f (0)=0可排除D ，从而正确可得B 为正确选项．【详解】对于A ，()()()sin πsin πf x x x x x f x -=--==，故()sin πf x x x =为偶函数，图象应该关于y 轴对称，与已知图象不符；对于C ，()()sin ππf x x x =+sin πx x =-也为偶函数，故排除AC ；对于D ，()01f =-，与已知图象不符，故排除D ．对于B ，()()()()()()221sin 2(1)sin π1sin ππf x x x x x x x f x -=---=--=-=，故f (x )关于x =1对称，f (0)=0，均与已知图象符合，故B 正确．故选：B ．例11．（2022·河北沧州·模拟预测）下列图象对应的函数解析式正确的是（）A ．()cos f x x x =B ．()sin f x x x =C ．()sin cos f x x x x =+D ．()cos sin f x x x x =+【答案】D 【解析】【分析】由图可知，函数()f x 的图象关于原点中心对称，所以函数()f x 为奇函数，且()02f π>，对选项B 、C ：由函数()f x 为偶函数即可判断，对选项A ：函数()f x 为奇函数，但()cos 0222f πππ==即可判断；对选项D ：函数()f x 为奇函数，且()cos sin 102222f ππππ=+=>即可判断.【详解】解：由图可知，函数()f x 的图象关于原点中心对称，所以函数()f x 为奇函数，且()02f π>，对A ：因为()()()cos cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，所以函数()f x 为奇函数，但()cos 0222f πππ==，故选项A 错误；对B ：因为()()()sin sin ()f x x x x x f x -=--==，所以函数()f x 为偶函数，故选项B 错误；对C ：因为()()()()sin cos sin cos ()f x x x x x x x f x -=--+-=+=，所以函数()f x 为偶函数，故选项C 错误；对D ：因为()()()()cos sin cos sin ()f x x x x x x x f x -=--+-=--=-，所以函数()f x 为奇函数，且()cos sin 102222f ππππ=+=>，符合题意，故选项D 正确. 故选：D.例12．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知函数()sin f x x =，()e e x x g x -=+，下图可能是下列哪个函数的图象（）A ．()()2f x g x +-B ．()()2f x g x -+C ．()()⋅f x g xD ．()()f xg x【答案】D 【解析】【分析】根据图象体现的函数性质，结合每个选项中函数的性质，即可判断和选择. 【详解】由图可知，图象对应函数为奇函数，且()011f <<；显然,A B 对应的函数都不是奇函数，故排除；对C ：()()()sin e e x xy f x g x x -=⋅=⋅+，其为奇函数，且当1x =时，11sin1e e 1e 2⎛⎫⋅+>⨯> ⎪⎝⎭，故错误；对D ：y =()()f xg x sin e e x xx-=+，其为奇函数，且当1x =时，sin110112e e<<<+，故正确. 故选：D .【方法技巧与总结】1.从定义域值域判断图像位置；2.从奇偶性判断对称性；3.从周期性判断循环往复；4.从单调性判断变化趋势；5.从特征点排除错误选项．题型三：表达式含参数的图象问题（多选题）例13．（2022·全国·高三专题练习）函数()()2,,R ax bf x a b c x c+=∈+的图象可能为（） A ． B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】【分析】讨论0,0,0a b c >=>、0,0,0a b c <=<、0,0,0a b c =><、0,0,0a b c =<<四种情况下，()f x 的奇偶性、单调性及函数值的正负性判断函数图象的可能性. 【详解】当0,0a b ≠=时，22()()()ax axf x f x x c x c--==-=--++；当0,0a c >>时，()f x 定义域为R 且为奇函数，在(0,)+∞上()0f x >，在上递增，在)+∞上递减，A 可能；当0,0a c <<时，()f x 定义域为{|x x ≠且为奇函数，在上()0f x >且递增，在)+∞上()0f x <且递增，B 可能；当0,0,0a b c =≠<时，22()()()b bf x f x x c x c-===-++且定义域为{|x x ≠，此时()f x 为偶函数，若0b >时，在(上()0f x <(注意(0)0f <)，在(,)-∞+∞上()0f x >，则C 不可能；若0b <时，在(上()0f x >，在(,)-∞+∞上()0f x <，则D 可能；故选：ABD（多选题）例14．（2022·福建·莆田二中高三开学考试）函数2||()x f x x a=+的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】AC 【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，可排除D 选项，然后对a 的取值进行分类讨论，比如0a =，可判断A 可能，再对a 分大于零和小于零的情况讨论，结合求导数判断函数单调性，即可判断B,C 是否可能. 【详解】因为2||()x f x x a=+为定义域上的偶函数，图象关于y 轴对称，所以D 不可能.由于()f x 为定义域上的偶函数，只需考虑,()0x ∈+∞的情况即可. ①当0a =时，函数2||11()||x f x x x x===，所以A 可能； ②当0a >时，2()xf x x a =+，()222()a x f x x a '-=+，所以()f x 在单调递增，在)+∞单调递减，所以C 可能； ③当0a <时，2()x f x x a =+，()222()0a x f x x a -'=<+，所以()f x 在单调递减，在)+∞单调递减，所以B 不可能；故选:AC.（多选题）例15．（2021·河北省唐县第一中学高一阶段练习）已知()2xf x x a=-的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】ABC 【解析】【分析】根据a 的取值分类讨论函数f (x )的单调性、奇偶性、值域，据此判断图像即可. 【详解】若a ＝0，则f (x )＝1x，图像为C ；若a ＞0，则f (x )定义域为{x |x ，f (0)＝0，f (－x )＝－f (x )，f (x )为奇函数，x ∈(－∞，时，f (x )＜0，x ∈(0)时，f (x )＞0，x ∈(0，f (x )＜0，x ∈＋∞)时，f (x )＞0，又x ≠0时，f (x )＝1a x x-，函数y ＝x －ax 在(－∞，0)和(0，＋∞)均单调递增，∴f (x )在(－∞，(0)，(0，∞)均单调递减，综上f (x )图像如A 选项所示；若a ＜0，则f (x )定义域为R ，f (x )为奇函数，f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＞0，当x ＜0时，f (x )＜0，当x ≠0时，f (x )＝1a x x-+，函数y ＝x ＋ax-时双勾函数，x ∈((),时，y 均单调递减，x ∈)(,,+∞-∞时，y 均单调递增，∴f (x )在((),单调递增，在)(,,+∞-∞单调递减，结合以上性质，可知B 图像符合.故选：ABC.（多选题）例16．（2022·湖北武汉·高一期末）设0a >，函数21axx y e ++=的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】BD 【解析】令()21,0g x ax x a =++>，得到抛物线的开口向上，对称轴的方程为12x a=-，再根据0,0∆=∆<和0∆>三种情形分类讨论，结合复合函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意，函数21axx y e ++=，令()21,0g x ax x a =++>，可得抛物线的开口向上，对称轴的方程为102x a=-<，当140a ∆=-=时，即14a =时，可得()21104g x x x =++≥，此时函数()y g x =在1(,]2a -∞-单调递减，在1[,)2a-+∞上单调递增，且(2)0g -= 可得21axx y e ++=在1(,]2a -∞-递减，在1[,)2a -+∞上递增，且(2)1g e -=；当140a ∆=-<时，即14a >时，可得()0g x >，此时函数()y g x =在1(,]2a -∞-单调递减，在1[,)2a-+∞上单调递增，由复合函数的单调性，可得21ax x y e ++=在1(,]2a -∞-递减，在1[,)2a-+∞上递增，且1y >，此时选项B 符合题意；当当140a ∆=->时，即104a <<时，此时函数()21g x ax x =++有两个零点，不妨设另个零点分别为12,x x 且1212x x a<-<，此时函数()y g x =在1(,]2a -∞-单调递减，在1[,)2a-+∞上单调递增，可得()y g x =在121(,],[,]2x x a-∞-递减，在121[,],[,)2x x a -+∞上递增，且12()()0g x g x ==，则21axx y e ++=在121(,],[,]2x x a-∞-递减，在121[,],[,)2x x a -+∞上递增，且12()()1g x g x e e ==，此时选项D 符合题意.综上可得，函数的图象可能是选项BD. 故选：BD.（多选题）例17．（2022·广东东莞·高一期末）已知函数()af x x x=+()a R ∈，则其图像可能为（） A ． B ．C ．D ．【答案】BC 【解析】【分析】按照0a =，0a >，0a <讨论a 的取值范围，利用排除法解决. 【详解】 0a =，()(0)af x x x x x=+=≠，定义域需要挖去一个点，不是完整的直线，A 选项错误；0a <时，y x =在(,0),(0,)-∞+∞上递增，ay x=也在(,0),(0,)-∞+∞递增，两个增函数相加还是增函数，即()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上递增，故D 选项错误，C 选项正确.；0a >时，由对勾函数的性质可知B 选项正确. 故选：BC.（多选题）例18．（2021·山西省长治市第二中学校高一阶段练习）在同一直角坐标系中，函数()()()10,1,x f x a a a g x a x =->≠=-且的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】AC 【解析】【分析】根据给定条件对a 值进行分类讨论函数()f x 的单调性及0一侧的函数值，再结合()g x a x =-图象与y 轴交点位置即可判断作答. 【详解】依题意，当1a >时，函数()g x a x =-图象与y 轴交点在点(0,1)上方，排除B ，C ，而()1,011,0x xxa x f x a a x ⎧-≥=-=⎨-<⎩，因此，()f x 在(,0)-∞上递减，且x <0时，0<f (x )<1，D 不满足，A 满足；当01a <<时，函数()g x a x =-图象与y 轴交点在原点上方，点(0,1)下方，排除A ，D ，而()1,011,0x xxa x f x a a x ⎧-<=-=⎨-≥⎩，因此，f (x )在(0,)+∞上递增，且x >0时，0<f (x )<1，B 不满足，C 满足，所以给定函数的图象可能是AC. 故选：AC（多选题）例19．（2021·河北·高三阶段练习）函数()211ax f x x +=+的大致图象可能是（） A ． B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】【分析】对a 的取值进行分类讨论，利用导数对函数的单调性进行分析即可判断函数的大致图象. 【详解】当0a =时，()01f =，令21y x =+，易知，其在(),0-∞上为减函数，()0,∞+上为增函数，所以()211f x x =+在(),0-∞上为增函数，在()0,∞+上为减函数，故D 正确；当0a <时，()01f =，()()2'2221ax x afx x--+=+，令22y ax x a =--+，当0x <且0x →时，0y <，当0x >且0x →时，0y <，所以()'0f x <，故A 正确；当0a >时，()01f =，()()2'2221ax x afx x--+=+，令22y ax x a =--+，当0x <且0x →时，0y >，当0x >且0x →时，0y >，所以()'0f x >，故B 正确；综上，()f x 的图象不可能为C. 故选：ABD.（多选题）例20．（2022·全国·高三专题练习）已知()x x f x e ke -=+（k 为常数），那么函数()f x 的图象不可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】AD【解析】【分析】根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()x x f x e e -=+为偶函数，当1k =-时，()x x f x e e -=-为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．【详解】由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()x x f x e e -=+为偶函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=+在1) [,t ∈+∞上单调递增，故函数()x x f x e e -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增，故选项C 正确，D 错误；当1k =-时，()x x f x e e -=-为奇函数，当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t=-在1) [,t ∈+∞上单调递减，故函数()x x f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减，故选项B 正确，A 错误. 故选:AD ．【方法技巧与总结】根据函数的解析式识别函数的图象，其中解答中熟记指数幂的运算性质，二次函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用.题型四：函数图象应用题例21．（2022·全国·高三专题练习）如图，正△ABC 的边长为2，点D 为边AB 的中点，点P 沿着边AC ，CB 运动到点B ，记∠ADP ＝x ．函数f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，则y ＝f （x ）的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】根据题意，结合图形，分析区间（0，2π）和（2π，π）上f （x ）的符号，再分析f （x ）的对称性，排除BCD ，即可得答案．【详解】根据题意，f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，∠ADP ＝x ．在区间（0，2π）上，P 在边AC 上，|PB |＞|P A |，则f （x ）＞0，排除C ；在区间（2π，π）上，P 在边BC 上，|PB |＜|P A |，则f （x ）＜0，排除B ，又由当x 1+x 2＝π时，有f （x 1）＝﹣f （x 2），f （x ）的图象关于点（2π，0）对称，排除D ，故选：A例22．（2022·全国·高三专题练习）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h 关于注水时间t 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】设出圆锥底面圆半径r ，高H ，利用圆锥与其轴垂直的截面性质，建立起盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式即可判断得解. 【详解】设圆锥PO 底面圆半径r ，高H ，注水时间为t 时水面与轴PO 交于点O '，水面半径AO x '=，此时水面高度PO h '=，如图：由垂直于圆锥轴的截面性质知，x h r H =，即r x h H =⋅，则注入水的体积为2223211()333r r V x h h h h H H πππ==⋅⋅=⋅，令水匀速注入的速度为v ，则注水时间为t 时的水的体积为V vt =，于是得22332233r H vt h vt h h H r ππ⋅=⇒=⇒=而,,r H v 是常数，所以盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式是h =203r H t v π≤≤，23103h t -'=>，函数图象是曲线且是上升的，随t 值的增加，函数h 值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓， A 选项的图象与其图象大致一样，B ，C ，D 三个选项与其图象都不同. 故选：A例23．（2022·四川泸州·模拟预测（文））如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为.T 若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数()h f t =的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】【分析】根据时间和h 的对应关系分别进行排除即可．【详解】函数()h f t =是关于t 的减函数，故排除C ，D ，则一开始，h 随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h 随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B ，故选B ．【点睛】本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．例24．（2021·山东济南·高三阶段练习）如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A 点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈(路线为AB BO OA →→)，则小明到O 点的直线距离y 与他从A 点出发后运动的时间t 之间的函数图象大致是（）A ．B ．C．D．【答案】D【解析】根据距离随与时间的增长的变化增减情况即可判定.【详解】小明沿AB走时，与О点的直线距离保持不变，沿BO走时，随时间增加与点О的距离越来越小，沿OA走时，随时间增加与点О的距离越来越大.故选：D.例25．（2021·江苏·常州市西夏墅中学高三开学考试）如图，△AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设AP ＝x(0<x<2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ(或APQD)的面积为y，则函数y＝f(x)的大致图像是A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】分两段，当P点在AO之间时，当P点在OB之间时，再由二次函数的性质及增长趋势可知．【详解】当P 点在AO 之间时，f （x ）12=x 2（0＜x ≤1），排除B,D 当P 点在OB 之间时，y 随x 的增大而增大且增加速度原来越慢，故只有A 正确故选A ．【点睛】本题主要考查了函数图像的识别的性质，考查分类讨论思想及排除法应用，属于基础题．【方法技巧与总结】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.题型五：函数图像的综合应用例26．（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()e 1xf x =-，若关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解，则m 的取值范围为（）A ．e 1e 1,65--⎛⎫⎪⎝⎭ B ．e 1e 1,64--⎛⎫⎪⎝⎭ C ．e 1e 1,86--⎛⎫⎪⎝⎭ D ．()0,e 1-【答案】B 【解析】【分析】由题可知函数()y f x =与直线()1y m x =+有5个交点，利用数形结合即得. 【详解】∵()()2f x f x =-，∴函数()f x 关于直线1x =对称，又()f x 为定义在R 上的偶函数，故函数()f x 关于直线0x =对称，作出函数()y f x =与直线()1y m x =+的图象，要使关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解，则函数()y f x =与直线()1y m x =+有5个交点，∴6e 14e 1m m >-⎧⎨<-⎩，即e 1e 164m --<<. 故选：B.例27．（2022·北京丰台·一模）已知函数()32,,3,x x a f x x x x a -<⎧=⎨-≥⎩无最小值，则a 的取值范围是（）A ．(,1]-∞-B ．(,1)-∞-C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞【答案】D 【解析】【分析】利用导数研究函数的性质，作出函数函数33y x x =-与直线2y x =-的图象，利用数形结合即得. 【详解】对于函数33y x x =-，可得()()233311y x x x '=-=+-，由0y '>，得1x <-或1x >，由0y '<，得11x -<<，∴函数33y x x =-在(),1-∞-上单调递增，在()1,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递增， ∴函数33y x x =-在1x =-时有极大值2，在1x =时有极小值2-，作出函数33y x x =-与直线2y x =-的图象，由图可知，当1a ≤时，函数()f x 有最小值12f ，当1a >时，函数()f x 没有最小值.故选：D.例28．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2ln ,0,43,0x x f x x x x >⎧=⎨---≤⎩若函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点，则m 的取值范围是（） A ．102,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．102,3⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】利用数形结合可得210t mt ++=在[)3,1-上有两个不同的实数根，然后利用二次函数的性质即得. 【详解】设()t f x =，则()21y g t t mt ==++，作出函数()f x 的大致图象，如图所示，则函数()()21y f x mf x =++⎡⎤⎣⎦有6个零点等价于()0g t =在[)3,1-上有两个不同的实数根，则()()24039310,1110,31,2m g m g m m ⎧->⎪-=-+≥⎪⎪⎨=++>⎪⎪-<-<⎪⎩解得1023m <≤.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用数形结合，把问题转化为方程210t mt ++=在[)3,1-上有两个不同的实数根，即二次方程根的分布问题，利用二次函数的性质即解.例29．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知函数()221xf x =--，则关于x 的方程()()20f x mf x n ++=有7个不同实数解，则实数,m n 满足（） A ．0m >且0n > B ．0m <且0n > C ．01m <<且0n = D ．10m -<<且0n =【答案】C 【解析】【分析】令()u f x =，利用换元法可得20u mu n ++=，由一元二次方程的定义知该方程至多有两个实根1u 、2u ，作出函数()f x 的图象，结合题意和图象可得10u =、2u m =-，进而得出结果. 【详解】令()u f x =，作出函数()u f x =的图象如下图所示：由于方程20u mu n ++=至多两个实根，设为1u u =和2u u =，由图象可知，直线1u u =与函数()u f x =图象的交点个数可能为0､2､3､4，由于关于x 的方程()()20f x mf x n ++=有7个不同实数解，则关于u 的二次方程20u mu n ++=的一根为10u =，则0n =，则方程20u mu +=的另一根为2u m =-，直线2u u =与函数()u f x =图象的交点个数必为4，则10m -<-<，解得01m <<. 所以01m <<且0n =. 故选：C.例30.（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知函数21244,1(),1x x x x f x e x x -⎧-+>=⎨+≤⎩，若不等式1()||022mf x x --<的解集为∅，则实数m 的取值范围为（） A ．1,52ln 34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,53ln 33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,62ln 34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,63ln 32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】由不等式1()||022mf x x --<的解集为∅，等价于()|2|f x x m ≥-在R 上恒成立.根据相切找临界位置，结合函数的单调性以及图像特征，即可求解. 【详解】不等式1()||022mf x x --<的解集为∅,等价于()|2|f x x m ≥-在R 上恒成立. 当1x >时,2()=244,f x x x -+此时()f x 在1x >上单调递增,当11,()=,x x f x e x -≤+则1()=-1,x f x e -'+当<1x 时,0()<f x ',故()f x 在<1x 上单调递减.当2-y x m =与2()=244f x x x -+相切时,设切点为()00,x y ,所以00()4-4=2f x x '=,解得032x =,35()22f =,此时切线方程为35y=2x-+22⎛⎫ ⎪⎝⎭,该切线与x 轴的交点为1,04A ⎛⎫⎪⎝⎭,同理可得当-2+y x m =与1()=x f x e x -+相切时,切线与x 轴的交点为33-ln 3,02B ⎛⎫⎪⎝⎭,又因为=|2|y x m -与x 轴的交点为,02mC ⎛⎫⎪⎝⎭要使()|2|f x x m ≥-在R 上恒成立,则点C 在,A B 之间移动即可.故133-ln 3422m ≤≤,解得16-3ln 32m ≤≤故选:D例31．（2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中（理））已知函数()11,11ln ,1x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪≥⎩，若函数()()()1g x f x k x =--有4个零点，则实数k 的取值范围为_______________. 【答案】1(0,)4【解析】【分析】转化求()11,11ln ,1x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪≥⎩的图像与()1y k x =-图像交点，求出直线与1()11f x x =--相切时的k ，进而得到有4个交点时k 的范围即可【详解】因为()()()1g x f x k x =--有4个零点，所以方程()()1f x k x =-有4个实数根，画出()11,11ln ,1x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪≥⎩的图像，以及()1y k x =-，则两函数的图象有4个公共点．其中直线()1y k x =-经过定点(1,0)，斜率为k当直线与()f x 相切时，联立111(1)y x y k x ⎧=-⎪-⎨⎪=-⎩，22(12)40k k ∆=--=，可求出14k =，由图可知，当104x <<时，方程()()1f x k x =-有4个交点，故k 的取值范围为1(0,)4故答案为1(0,)4.【点睛】方法点睛：根据函数零点个数求参数取值范围的注意点：（1）结合题意构造合适的函数，将函数零点问题转化成两函数图象公共点个数的问题处理；（2）在同一坐标系中正确画出两函数的图象，借助图象的直观性进行求解；（3）求解中要注意两函数图象的相对位置，同时也要注意图中的特殊点，如本题中直线(1)y k x =-经过定点(1,0)等．例32．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））已知函数()3112,21ln ,2x m x f x x x m x ⎧--<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是________．【答案】1ln 2,(0,1)3e 8⎛⎤--⎥⎝⎦【解析】【分析】设函数()3112,21ln ,2x x g x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，根据题意转化为函数()g x 与直线y m =的图象有3个公共点，利用导数求得函数()g x 的极值，画出函数()g x 的图象，结合图象，即可求解. 【详解】设函数()3112,21ln ,2x x g x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，根据题意函数()f x 恰有3个零点，即为函数()g x 的图象与直线y m =有3个公共点，当12x ≥时，可得2()(3ln 1)g x x x '=+，令()0g x '=，得131e 2x -=>，当131[,e )2x -∈时，函数()g x 单调递减；当13(e ,)x -∈+∞时，函数()g x 单调递增，所以当13e x -=时，函数()g x 取得极小值，极小值为131e 3e g -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又由11()ln 2028g =-<，作出()g x 的图象，如图所示，由图可知，实数m 的取值范围是1ln 2,(0,1)3e 8⎛⎤-- ⎥⎝⎦．故答案为：1ln 2,(0,1)3e 8⎛⎤-- ⎥⎝⎦．例33．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）＝244,01,43,1x x x x x -<≤⎧⎨-+>⎩和函数g （x ）＝2log x ，则函数h （x ）＝f （x ）－g （x ）的零点个数是________．【答案】3 【解析】【分析】函数零点个数可转化为()y g x =与()y f x =图象交点的个数问题，作出图象，数形结合即可求解. 【详解】在同一直角坐标系中，作出()y g x =与()y f x =的图象如图，由()()()0h x f x g x =-=可得，()()f x g x =，即函数的零点为(),()y f x y g x ==图象交点的横坐标，由图知()y f x =与()y g x =的图象有3个交点，即()h x 有3个零点．故答案为：3例34．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在等边三角形ABC 中， AB =6.动点P 从点A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点，记P 运动的路程为x ，点P 到此三角形中心O 距离的平方为f (x )，给出下列三个结论：①函数f (x )的最大值为12；②函数f (x )的图象的对称轴方程为x =9； ③关于x 的方程()3f x kx =+最多有5个实数根. 其中，所有正确结论的序号是____. 【答案】①② 【解析】写出P 分别在,,AB BC CA 上运动时的函数解析式2()f x OP =，利用分段函数图象可解. 【详解】P 分别在AB 上运动时的函数解析式22()3(3),(06)f x OP x x ==+-≤≤， P 分别在BC 上运动时的函数解析式22()3(9),(612)f x OP x x ==+-≤≤， P 分别在CA 上运动时的函数解析式22()3(15),(1218)f x OP x x ==+-≤≤，22223(3),(06)()||3(9),(612)3(15),(1218)x x f x OP x x x x ⎧+-≤≤⎪==+-≤≤⎨⎪+-≤≤⎩，由图象可得，方程()3f x kx =+最多有6个实数根故正确的是①②. 故答案为：①② 【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.【方法技巧与总结】1.利用函数图像判断方程解的个数.由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得到方程解。

第10讲函数的图像(解析版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

解析：(1)作函数 y＝2x 的图象关于 x 轴对称的图象得到 y＝－2x 的图象，再将图象向上平移 2 个单位，可得 y＝2－2x 的图象．如图 1；
(2)因为 y＝log1[3(x＋2)]＝－log3[3(x＋2)]＝－log3(x＋2)－1.
3
所以可以先将函数 y＝log3x 的图象向左平移 2 个单位，可得 y＝log3(x＋2)的图象，再作图象关于 x 轴对称的
由
f (x) (1)x , g(x) 2(1)x
3
3
(1)x 3 1
2
(1)x
3
(
1
log
)
1 3
1 2
3
( 1 ) x log3 3
2
知，
f
(x)
向右移动
log3
2
个单位可得到
g
(x)
，故选项
D
正确；
故选： ABD ．
5、.已知函数
f(x)＝|log3x|，实数
m，n
满足
0<m<n，且
f(m)＝f(n)，若
3
m
ln x，x≥1， 6、(一题两空)(2019·吉林调研改编)设函数 f(x)＝ 1－x，x＜1，则 f(f(0))＝________，若 f(m)＞1，则实数 m
的取值范围是________．
【答案】0 (－∞，0)∪(e，＋∞)
ln x，x≥1，【解析】f(f(0))＝f(1)＝ln 1＝0.如图所示，可得 f(x)＝ 1－x，x＜1的图象与直线 y＝1 的交点分别为(0，1)，
【答案】B
1－x2≥0，【解析】(1)由 |x|≠0 且|x|≠1，得－1<x<0 或 0<x<1，

函数图像高三数学一轮复习

a＋b
的对称轴是直线 x＝ 13 ______．
2
考题讲练1（10分钟）
考向一
例1
画函数图象
作出下列函数的图象：
(x＋2)；
(1)y＝|x－2|·
(2)y＝|log2(x＋1)|；
2x－1
；
(3)y＝
x－1
(4)y＝x2－2|x|－1.
函数图象的识别
角度1.由解析式判断函数图象
例2 函数f
A.
x =
上f x < 0，在 −2,0 上f x > 0；y = g x 是奇函数，由图象及奇函数对称性
知，在 −3, −1 上g x < 0，在 −1,0 上g x > 0；
f x > 0,
f x < 0,
< 0时，有
或
∴ 所求不等式的解集是
g x <0
g x > 0,
{x| − 2 < x < −1或0 < x < 1或2 < x < 3}.
单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值
点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
f(x)＋k
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
f(x＋h)
f(x－换
(3)翻折变换
保留x轴上方图象
①y＝f(x)――――――――――――――――――→y＝ |f(x)| .
将x轴下方图象翻折上去
保留y轴右侧图象，并作其
②y＝f(x)―――――――――――――――――――――→y＝ f(|x|) .
关于y轴对称的图象
(4)对称变换
①函数 y＝f(x)和函数 y＝ 09 _________的图象关于

高中数学总复习系列之函数及其表示

高中数学总复习系列之函数及其表示第页高考调研·高三总复习·数学（理）第二章函数与基本初等函数第1课时函数及其表示第页高考调研·高三总复习·数学（理）…2018考纲下载…1．了解构成函数的要素会求一些简单函数的定义域和值域．了解映射的概念在实际情景中会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数．了解简单的分段函数并能简单应用．请注意本节是函数的起始部分以考查函数的概念、三要素及表示法为主同时函数的图像、分段函数的考查是热点另外实际问题中的建模能力偶有考查．特别是函数的表达式及图像仍是2019年高考考查的重要内容．课前自助餐函数与映射的概念函数映射两集合A设A是两个非空数集设A 是两个非空集合对应关系：A→B 如果按照某种确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个数x在集合B中有唯一的数(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个元素x在集合B中有唯一的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝(x)，x∈A 对应f：A→B是一个映射函数(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．(2)函数的三要素：定义域、值域、对应法则．(3)函数的表示法：解析法、图像法、列表法．(4)两个函定义域和对应法则都分别相同时这两个函数才相同．分段函数在一个函数的定义域中对于自变量x的不同取值范围有着不同的对应关系这样的函数叫分段函数分段函数是一个函数而不是几个函数．1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)．(1)f(x)＝＋(2)A＝R＝R：x→y＝表示从集合A到集合B的映射(也是函数)．(3)函数(x)的图像与直线x＝1的交点最多有2个．(4)y＝2x(x∈{1)的值域是2(5)y＝与y＝2表示同一函数．(6)f(x)＝则f(－x)＝答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)√2．2018年是平年假设月份构成集合A每月的天数构成集合B是月份与天数的对应关系其对应如下：月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天数 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31对照课本中的函数概念上述从A到B的对应是函数吗？又从B到A的对应是函数吗？答案是不是3．已知(x)＝m(x∈R)则f(m)等于()． D．不确定答案4．已知f(x＋1)＝x－1则(x)＝________答案x－2x5.函数y＝(x)的图像如图所示那么(x)的定义域是________；值域是________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________．答案[－3]∪[2，3][1][1)∪(4，5]6．(2018·衡水调研卷)函数(x)＝则()＝________；方程f(－x)＝的解是________答案－2－或1解析f()＝＝－2；当x<0时由f(－x)＝(－x)＝解得x＝－当x>0时由f(－x)＝2－x＝解得x＝1.授人以渔题型一函数与映射的概念(1)下列对A到B的映射能否构成函数？A＝N＝N：x→y＝(x－1)；＝N＝R：x→y＝±；＝N＝Q：x→y＝；＝{衡中高三·一班的同学}＝[0]，f：每个同学与其高考数学的分数相对应．【解析】①是映射也是函数．不是映射更不是函数因为从A到B的对应为“一对多”．当x ＝1时值不存在故不是映射更不是函数．是映射但不是函数因为集合A 不是数集．【答案】①是映射也是函数不是映射更不是函数不是映射更不是函数是映射但不是函数(2)下列表格中的x与y能构成函数的是()【解析】中0既是非负数又是非正数；B中0又是偶数；D中自然数也是整数也是有理数．【答案】★状元笔记★映射与函数的含义(1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓．(2)函数是特殊的映射：当映射f：A→B中的A 为非空数集时即成为函数．(3)高考对映射的考查往往结合其他思考题1(1)下图中建立了集合P中元素与集合M中元素的对应f.其中为映射的对应是________．【解析】①中：P中元素－3在M中没有象．③中中元素2在M 中有两个不同的元素与之对应．④中中元素1在M中有两个不同的元素与之对应．【答案】②⑤(2)集合A＝{x|0≤x≤4}＝{y|0≤y≤2}下列不表示从A到B的函数的是()：x→y＝．：x→y＝：x→y＝：x→y＝【解析】依据函数概念集合A中任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应选项不符合．(2018·湖北宜昌一中月考)已知函数(x)＝|x－1|则下列函数中与(x)相等的函数是()(x)＝(x)＝(x)＝(x)＝x－1【解析】∵g(x)＝与(x)的定义域和对应关系完全一致故选【答案】★状元笔记★判断两个函数是否相同的方法(1)构成函数的三要素中(2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时才是相同函数．思考题2下列五组函数中表示同一函数的是________(x)＝x－1与g(x)＝(x)＝与g(x)＝2(x)＝x＋2与g(x)＝x＋2(u)＝与f(v)＝＝(x)与y ＝f(x＋1)【答案】④题型二函数的解析式求下列函数的解析式：(1)已知f()＝求(x)的解析式；(2)已知f(＋)＝x＋求(x)的解析式；(3)已知(x)是二次函数(x＋1)－(x)＝2x＋1且f(0)＝3求(x)的解析式；(4)定义在(0＋∞)上的函数(x)满足(x)＝()·－1求(x)的解析式．【解析】(1)(换元法)设＝t[－1]，∵f(cosx)＝＝1－(t)＝1－t[－1]．即(x)＝1－x[－1]．(2)(凑配法)∵f(＋)＝(＋)－2(x)＝x－2[2，＋∞)．(3)(待定系数法)因为(x)是二次函数可设(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)(x＋1)＋b(x＋1)＋c－(ax＋bx＋c)＝2x＋1.即2ax＋a＋b＝2x＋1解得又∵f(0)＝3＝3(x)＝x＋3.(4)(方程组法)在(x)＝2f()－1中用代替x得f()＝2(x)－1将f()＝－1代入(x)＝2f()－1中可求得(x)＝＋【答案】(1)(x)＝1－x[－1](2)f(x)＝x－2[2，＋∞)(3)f(x)＝x＋3(4)f(x)＝＋★状元笔记★函数解析式的求法(1)凑配法：由已知条件f(g(x))＝(x)，可将(x)改写成关于g(x)的表达式然后以x替代g(x)便得(x)的表达式．(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式可用换元法(4)方程思想：已知关于(x)与f()或f(－x)等的表达式可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组通过解方程组求出(x)．思考题3(1)若函数(x)满足f(1＋)＝求(x)的解析式．(2)定义在R上的函数(x)满足f(x＋1)＝2(x)，若当0≤x≤1时(x)＝x(1－x)当－1≤x≤0时求(x)解析式．(3)已知(x)＋2f()＝x(x≠0)求(x)．【解析】(1)令1＋＝t＝t－1＝－1(t)＝(x)＝(2)当0≤x≤1时(x)＝x(1－x)当－1≤x≤00≤x＋1≤1(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝－x(x＋1)而(x)＝(x＋1)＝－－当－1≤x≤0时(x)＝－－(3)∵f(x)＋2f()＝x将原式中的x与互换得f()＋2(x)＝于是得关f(x)的方程组解得(x)＝－(x≠0)．【答案】(1)(x)＝(2)f(x)＝－－(3)f(x)＝(x≠0)题型三分段函数与复合函数(1)已知函数(x)＝(x)＝x＋1则：①g[(x)]＝________；②f[g(x)]＝________．【解析】①x＜0时f(x)＝[f(x)]＝＋1；时(x)＝x[f(x)]＝x＋1.[f(x)]＝由x＋1＜0得x＜－1.由x＋1≥0得x≥－1.∴f[g(x)]＝【答案】①g[(x)]＝[g(x)]＝(2)(2018·南京金陵中学模拟)已知函数(x)＝则使得(x)≤3成立的x的取值范围是________【解析】当x≥0时－1≤3＝2当x<0时－2x≤3－2x－3≤0－1≤x<0.综上可得x∈[－1]．【答案】[－1]★状元笔记★分段函数、复合函思考题4(1)(2018·河北清苑一中模拟)设(x)＝则f(f(－1))＝________(x)的最小值是________【解析】∵f(－1)＝(－1)＋1＝2(f(－1))＝f(2)＝2＋－3＝0.当x≥1时(x)在[1]上单调递减在[＋∞)上单调递增(x)min＝f()＝2－3<0.当x<1时(x)min＝1，∴f(x)的最小值为2－3.【答案】02－3(2)(2017·课标全国Ⅲ)设函数(x)＝则满足(x)＋f(x－)>1的x的取值范围是________【解析】当x>0时(x)＝2x恒成立当x－即x>时(x－)＝2－当x－即01恒成立．当x≤0时(x)＋f(x－)＝x＋1＋x＋＝2x＋所以－综上所述的取值范围是(－＋∞)．【答案】(－＋∞)常用结论记心中快速解题特轻松：映射问题允许多对一但不允许一对多！换句话说就是允许三石一鸟但不允许一石三鸟！函数问题定义域优先！抽象函数不要怕赋值方法解决它！4．分段函数分段算本课时主要涉及到三类题型：函数的三要素分段函数函数的解析式．通过例题的讲解(有些题目直接源于教材)一方面使学生掌握各类题型的解法；另一方面也要教给学生把握复习的尺度教学大纲是高考命题的依据而教材是贯彻大纲的载体研习教材是学生获取知识、能力的重要途径．从近几年的新课标高考试题可以看到高考试题严格遵循教学大纲及《高考大纲》有一定数量的试题直接源自教材这就要求我们在教学过程中要紧扣教材和大纲全面、系统地抓好对基础知识、基本技能、基本思想和方法的教学对各模块的内容要课外阅读抽象函数设函数(x)的定义域为R对于任意实数x都有f(x)＋f(x)＝2f()f()(π)＝－1则(0)＝________．【解析】令x＝x＝则f()＋f()＝2f()f(0)，∴f(0)＝1.【答案】1已知偶函数(x)，对任意的x恒有(x1＋x)＝f(x)＋f(x)＋2x＋1则函数(x)的解析式为________．【解析】取x＝x＝0所以f(0)＝2f(0)＋1.所以f(0)＝－1.因为f[x ＋(－x)]＝(x)＋f(－x)＋2x·(－x)＋1又f(－x)＝(x)，所以(x)＝x－1.【答案】(x)＝x－1【讲评】抽象函数问题的处理一般有两种途径：(1)看其性质符合哪类具(2)利用特殊值代入寻求规律和解法。

高三文科数学总复习课件：三角函数的图像与性质

递减区间.
第二十一页，编辑于星期日：二十二点四十八分。
备选例题.已知函数f (x) sin(x )( 0, 0 ) 是R上的偶函数，其图象关于点M (3 , 0)对称，且在
4
区间[0, ]上是单调函数，求和的值.
2
第二十二页，编辑于星期日：二十二点四十八分。
(方法一) 由于f (x)是R上的偶函数，所以f (x) f (x),
（其中 0） 6
6
2
（1）求函数 f (x) 的值域；
（2）若函数 y f (x)的图象与直线 y 1
的两个相邻交点间的距离为，求函数
y f (x)的单调增区间.
2
第十一页，编辑于星期日：二十二点四十八分。
点评研究三角函数 y Asin(x )( A 0, 0)
的单调性，基本思想是把 x 看作
f
6
1.
(1)求实数a的值；
(2)求f (x)的单调区间、周期和最值.
第十三页，编辑于星期日：二十二点四十八分。
练习2.已知函数
f (x) cos(2x ) 2sin(x ) sin(x ).
3
4
4
（1）求函数f (x)的最小正周期和图象的对称轴方程；
（2）求函数f (x)在区间[ , ]上的值域.
的1 图象，
2
第八页，编辑于星期日：二十二点四十八分。
第九页，编辑于星期日：二十二点四十八分。
类型二三角函数的图象与性质
定义域周期性奇偶性
值域、最值单调性
对称性
第十页，编辑于星期日：二十二点四十八分。
例1
设函数 f (x) sin(x ) sin(x ) 2 cos2 x，

高三数学一轮复习精品课件1：三角函数的图像与性质

(2)把函数 y＝tanπ3－2x变为 y＝－tan2x－π3. 由 kπ－π2<2x－π3<kπ＋π2，k∈Z，得 kπ－π6<2x<kπ＋56π，k∈Z，即k2π－1π2<x<k2π＋51π2，k∈Z. 故函数 y＝tanπ3－2x的单调减区间为 k2π－1π2，k2π＋51π2(k∈Z)．
________．
解析：当 x∈0，π2时，2x－π6∈－π6，56π，sin2x－π6∈
－12，1，
故 3sin2x－π6∈－32，3，即此时函数 f(x)的值域是－32，3.
答案：－32，3
2．(2014·湛江调研)函数 y＝lg(sin x)＋
义域为________．
解析：要使函数有意义必须有
故 y＝2cos2x＋5sin x－4 的值域为[－9,1]．
(2)∵x∈π6，76π，∴sin x∈－12，1. 又 y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－2(1－sin2x)＝
2sin
x－142＋78.
∴当 sin x＝14时，ymin＝78，
当 sin x＝－12或 sin x＝1 时，ymax＝2.
1．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结． 2．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k∈Z”这一条件．
[试一试]
1．函数 y＝tanπ4－x的定义域是________．
答案：xx≠kπ＋34π
，k∈Z，x∈R
2．(2013·南京三模)函数 y＝sin x－π4≤x≤34π的值域是
第四章三角函数
4.3三角函数的图像与性质
君不见，黄河之水天上来，奔流到海不复回。君不见，高堂明镜悲白发，朝如青丝暮成雪。人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。天生我材必有用，千金散尽还复来。烹羊宰牛且为乐，会须一饮三百杯。岑夫子，丹丘生，将进酒，杯莫停。与君歌一曲，请君为我倾耳听。钟鼓馔玉不足贵，但愿长醉不复醒。古来圣贤皆寂寞，惟有饮者留其名。陈王昔时宴平乐，斗酒十千恣欢谑。主人何为言少钱，径须沽取对君酌。五花马，千金裘，呼儿将出换美酒，与尔同销万古愁

高三数学复习专题函数的图像全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT课件

(2)求函数y 2 x [1,2]上的值域; x
5/12
函数y cx d 的渐进线方程为 x b , y c .
ax b
a
a
对称中心为( b , c ).
y
aa
O1
O
yc a
x
xb a
6/12
函数y cx d 的渐进线方程为 x b , y c .
ax b
a
a
对称中心为( b , c ).
aa
y
O1
O xb a
yc a
x
7/12
函数y x a (a 0)的渐进线方程为 x 0, y x . x
对称中心为(0,0).
y y x
a
Oa
x
8/12
函数y | x m |的图像 :
y y | x m |
Om
x
9/12
函数y | x |的图像 :
y
y | x |
O
x
10/12
(2)求函数y 1 x [1,2]上的值域; x
3/12
反比例函数y a (a 0)的图象
x
y
O
x
(1)求函数y 2 在[1,2]上的最小值和最大值; x
(2)求函数y 2 x [1,2]上的值域; x
4/12
反比例函数y a (a 0)的图象
x
y
O
x
(1)求函数y 2 在[1,2]上的最小值和最大值; x
f (x)
f (x)
f (x)
O
x
O
x
x1 O x2
x
a 0 0
a 0 0
a 0 0
(1)求函数f ( x) x2 2 x 3在[2,5]上的最小值和 0

高三数学反三角函数概念、图像和性质,反三角函数的运算,简单的三角方程知识精讲

高三数学反三角函数概念、图像和性质，反三角函数的运算，简单的三角方程知识精讲一. 反三角函数的概念，图像和性质 1. 反三角函数的定义函数y x x =∈-sin ([])ππ22， y x x y x x y x x =∈=∈-=∈c o s ([])tan (())cot (())，，，，，，，，0220ππππ的反三角函数分别为：y x x y x x y x x R y a r c x x R =∈-=∈-=∈=∈a r c s i n ([])arccos ([])arctan ()cot ()，，，，，，11112. 反三角函数的性质（1）奇偶性y x y x y x y arc x ====arcsin arccos arctan cot 在定义域内为奇函数；在定义域内为非奇非偶函数；在定义域内为奇函数；在定义域内为非奇非偶函数。

（2）反三角函数的单调性y x y x y x y a r c x ====a r c s i n a r c c o s a r c t a n cot 在定义域内单调递增；在定义域内单调递减；在定义域内单调递增；在定义域内单调递减。

3. 三角函数的图像二. 反三角函数的运算：1. 掌握三角函数的反三角运算，反三角函数的三角运算，熟悉常见的一些恒等式。

三角函数的反三角运算a r c s i n (s i n )[]a r c c o s (c o s )[]a r c t a n (t a n )()o t (c o t )()x x x x x x x x x a r c x x x =∈-=∈=∈-=∈，，，，，，，，ππππππ220220 反三角函数的三角运算 s i n (a r c s i n )[]x x x =∈-，，11c o s (a r c c o s )[]t a n (a r c t an )c o t (o t )x x x x x x R a r c x x x R=∈-=∈=∈，，，，11反三角函数间的互余关系 a r c s i n a r c c o s a r c t a n o t x x x a r c x +=+=ππ22，反三角函数的性质a r c s i n ()a r c s i n a r c t a n ()a r c t a n a r c c o s ()a r c c o s c o t ()cot -=--=--=--=-x x x x x x arc x arc x，，ππ在使用上面的概念和公式要特别注意的是，必须在变量的指定范围内，否则结果就是错误的。

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高三数学函数图像专题 1.函数3
31
x x y =-的图象大致是()
2.函数1ln sin 1ln x
y x x
-=
⋅+的部分图象大致为
A B C D 3.函数2
tan ()1x
f x x x
=++
的部分图象大致为（）
4.函数1
1
)(+-+
=x x e x f x
的部分图象大致是（）
5.
函数1
()sin(ln
)1
x f x x -=+的图像大致为（） A ． B ．
C. D ．
6.函数||
e ()x
f x x
=的部分图像大致为（）
7.设函数错误！未找到引用源。

y=xsinx+cosx 的图象在点错误！未找到引用源。

(t,f(t))处切线的斜率为k 错误！未找到引用源。

,则函数错误！未找到引用源。

k=g(t)的部分图象为
8.函数y=|
x ||
x |ln x 2的图象大致是（）
A ．
B ．
C
D ．
9.函数f （x ）=的图象可能是（）
A
． B
．
C
． D
．
10.函数e x
y x =和图象是（）．
A
．
B
．
C
．
D ．
11.函数|ln |
()x f x x e
=⋅的图象是（）
A ．
B ． C. D ． 12.函数()()241
x x x e e f x x --=
-的部分图象大致是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
13.函数ln
x x x x e e
y
e e --
-
=
+
的图象大致为（）
A B C D
14.函数
ln||1
()
x
x
f x
e
+
=
的图象大致为
15.函数y=x+cosx的大致图象是（）
A． B．
C． D．
试卷答案
1.C
2.A
3.D
4.D
5.B
6.C
7.B
试题分析：∵错误！未找到引用源。

，∴错误！未找到引用源。

，根据错误！未找到引用源。

的图象可知错误！未找到引用源。

应该为奇函数，且当错误！未找到引用源。

时错误！未找到引用源。

，故选B．
考点：利用导数研究函数的单调性.
8.D
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象．
【分析】判断函数的奇偶性，排除选项，利用函数经过的特殊点，以及特殊函数的值，判断函数的单调性，然后判断函数的图象即可．
【解答】解：函数y=是偶函数，所以选项B错误，第x=e时，y=e，所以选项A，错误；
当x∈（0，1）时，y=xlnx，y′=lnx+1，x=时，y′=0，0＜x＜，y′＜0，函数是减函数，
＜x＜1，y′＞0，函数是增函数．
所以C错误．
故选：D．
【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性，单调性，特殊点，往往是判断函数的图象的方法，考查转化思想以及计算能力．
9.A
【考点】函数的图象．
【分析】由函数的解析式，可求出函数的定义域，可排除B，D答案；分析x∈（﹣2，﹣1）时，函数值的符号，进而可以确定函数图象的位置后可可排除C答案．
【解答】解：若使函数的解析式有意义
则，即
即函数的定义域为（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）
可排除B，D答案
当x∈（﹣2，﹣1）时，sinx＜0，ln（x+2）＜0
则
＞0
可排除C 答案故选A 10.C 11.C
函数的定义域为(0,)+∞且21,(01)
(),(1)x f x x x <<⎧=⎨≥⎩
，选C ．
12.B 13.C 14.C 15.B
【考点】函数的图象与图象变化；函数的图象．
【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A 、C 两个选项，再看此函数与直线y=x 的交点情况，即可作出正确的判断．【解答】解：由于f （x ）=x+cosx ， ∴f （﹣x ）=﹣x+cosx ，
∴f （﹣x ）≠f （x ），且f （﹣x ）≠﹣f （x ），故此函数是非奇非偶函数，排除A 、C ；
又当x=
时，x+cosx=x ，
即f （x ）的图象与直线y=x 的交点中有一个点的横坐标为，排除D ．
故选：B ．。