14.2第二课时 勾股定理的实际应用
华东师大版八年级数学上册14.2勾股定理的应用教学设计
-通过动态演示或实物模型，引导学生发现直角三角形三边之间的关系，从而引出勾股定理。
-结合图形，详细讲解勾股定理的公式及其推导过程，让学生深刻理解定理的内涵。
-通过例题，展示勾股定理在实际问题中的应用，如计算斜边长度、确定直角三角形的形状等。
3.课堂练习：
-设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固勾股定理的知识。
2.实践应用题：设计一道与实际生活相关的勾股定理应用题，要求同学们运用所学知识解决问题。例如，假设学校旗杆的高度不易直接测量，但我们可以测得旗杆底端到地面的水平距离以及旗杆顶端到视线的垂直距离，请计算旗杆的大致高度。
3.创新思维题：请同学们思考并尝试证明勾股定理的逆定理，即在一个三角形中，如果一边的平方等于另外两边平方和，那么这个三角形是直角三角形。鼓励同学们运用多种方法进行证明，如几何法、代数法等。
2.学生在解决实际问题时，可能难以将勾股定理与问题情境有效结合。教师应通过丰富的实例，引导学生学会运用勾股定理分析问题、解决问题。
3.学生的几何直观能力和逻辑思维能力发展不平衡，部分学生可能在学习过程中感到困难。教师应关注学生的个体差异，提供不同难度的学习任务，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
4.学生在合作学习过程中，可能存在交流不畅、分工不明确等问题。教师应引导学生学会倾听、表达和协作，提高学生的团队协作能力。
-针对学生的错误，及时进行讲解和指导，帮助学生克服难点。
4.小组合作：
-将学生分成小组，针对实际问题进行讨论和合作，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
-引导学生运用勾股定理解决实际问题，如设计建筑物的高度、测量河流宽度等。
5.课堂小结：
-通过提问、总结等方式，帮助学生梳理本节课的知识点，形成知识结构。
勾股定理在现实生活中的应用-课件
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13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021
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14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年2月27日星期 六2021/2/272021/2/272021/2/27
•Leabharlann 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年2月2021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021
14.2.1 勾股定理在生活中的应用
14.2.1 勾股定理在生活中的应用
探究新知
活动1 知识准备 1．如图 14－2－1 所示，可以看出圆柱的侧面展开图 是_长__方_．形
图 14－2－1 2．在连结两点的线中，_线__段_最短．
14.2.1 勾股定理在生活中的应用
活动2 教材导学 生活中勾股定理的应用 一个圆柱，将其侧面剪开，展开成一个长方形，如图 14 －2－2①所示．沿着圆柱中心面剖开，截面也是一个长方形， 如图②所示．设该圆柱的半径为 r，高为 h，回答下列问题．
图 14－2－2
14.2.1 勾股定理在生活中的应用
(1)用一根铁丝缠绕连结 A，B 两点，计算铁丝最短长 度，用图①计算，应用等式为_A_B2＝(πr)2＋h2 __．
(2)点 A 到点 B 的直线距离可用图②计算，应用等式 为_A_B_2＝(2r)2＋h2 _．
(3)题(1)中如果是 A，C′两点，计算铁丝最短长度， 用图①计算，应用等式为_A_ C′2＝(2πr)2＋h2__．
14.2.1 勾股定理在生活中的应用
重难互动探究
探究问题一 立体图形表面最短路径问题
如图 14－2－3 所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 C1 处(三条棱长如图 14－2－3 所示)，问怎样走路线最短？最短路线长为多 少？
第2课时 勾股定理在数学中的应用
第2课时勾股定理在数学中的应用教学重点应用勾股定理及逆定理解决数学问题．教学难点找到直角三角形，找到勾股定理在哪个直角三角形求边长．授课类型新授课课时第一课时教具多媒体课件、三角板教学活动教学师生活动设计意图步骤回顾上节课的勾股定理及逆定理是什么？学生回忆并回答，为本课的学习作好铺垫.活动一：创设情境导入新1.如图14－2－，在△ABC中，∠C＝90°，你知道AB是多长吗？图14－2－图14－2－2.在7×7正方形网格中，点A、B分别在格点上，则线段AB的长为________.【说明】在正方形网格，常常借勾股定理直接应用，体会它只能在直接三角形中求边长.课助它每个小方格四个角是直角，每个小正方形的边长是一个单位长，以此为已知条件，从而找到要求的边所在的直角三角形，用勾股定理求出.活动二：实践探究交流新知【探究】完成下列填空，想一想：如何在网格中作出直角三角形？如图14－2－，网格中小正方形的边长为1，△ABC为格点三角形．在判定△ABC是不是直角三角形时，首先由勾股定理，得AB＝__10__，BC＝__34__，AC＝__20__．因为AB2＋AC2＝__30__，BC2＝__34__，所以AB2＋AC2__≠__BC2(填写“＝”或“≠”)，所以△ABC__不是__直角三角形.图14－2－图14－2－【延伸】如图14－2－方格纸中的通过学生的独立思考与同伴之间的交流，体会网格中勾股定理的运用每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上．在图中画出△ABC(点C在小正方形的顶点上)，使△ABC为直角三角形(画一个即可).活动三：开放训练体现应用【应用举例】图14－2－例1如图14－2－，在3×3的方格图中，每个小方格的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形；(1)画出所以从点A出发，另一个端点在格点(即小正方形的顶点)上，且长度为5的线段；(2)画出所有以题(1)中所画线段为腰的等腰三角形.例题是利用勾股定理解决数学问题，在训练学生的读题能力和规范书写解题过程的能力.图14－2－例2如图14－2－，已知CD＝6 m，AD＝8 m，∠adc＝90°，bc ＝24 m，AB＝26 m，求图中着色部分的面积.【变式变形】已知，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，∠BDC＝45°，求△ABD的面积．变式训练目的是为了让学生能够灵活运用勾股定理结合特殊直角三角形求边长或几何图形的面积.【拓展提升】图14－2－例3[2019钦州]如图14－2拓展提升及时获知学生对所学知识－，在6个边长为1的小正方形及其部分对线所构成的图形中，如果从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有(C)A.1种B．2种C.3种D．4种掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性活动四：课堂总结反思【当堂训练】1.在△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则BC的长为________.图14－2－2.已知△BDC中，∠D＝90°，AB＝3，AC＝4，∠BAC＝135°，求BD的长.3.如图14－2－，在Rt△ABC的检测学生的知识利用的准确程度，能否熟练与其它知识综合，解两直角分别为1，2，以Rt△ABC 的斜边AC为一直角边，另一直角边为1画第二个△ACD；在以△ACD的斜边AD为一直角边，另一直角边为1画第三个△ADE；…，依此类推，第n个直角三角形的斜边长是________.图14－2－作业：1.课本P123中的随堂练习1和2.2.课本P123中的习题14.2中的4、5. 决数学问题，巩固基础，同是培养学生的综合能力.【知识网络】14.2勾股定理的应用(2)1.格点多边形中，线段长度可求2.格点多边形中，面积可求【教学反思】①[授课流程反思]____________________________反思，更进一步提____________________________升. ________________②[讲授效果反思]利用在格点中作直角三角形并做相关计算，开放性强，极大地调动学生的积极性和学习热情．在教学时注意让学生自主梳理总结已学几何知识并与勾股定理结合，起到很好的提升效果.③[师生互动反思]________________________________________________________________________④[习题反思]好题题号应用举例，例1，例2错题题号拓展提升例3第 11 页。
勾股定理的应用(二)
第14章勾股定理§14.2勾股定理的应用（二）【学习目标】1.掌握勾股定理及其逆定理.2.准确运用勾股定理及逆定理.【课前导习】1.若一个三角形的三边满足c2－a2＝b2，则这个三角形是三角形．２.在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１０，BD是AC边的高，DC＝２，则BD= ．3.直角三角形的两边分别为3和4，则第三边为 .4.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝1，CB＝2，则斜边上的高为 .5.在垂直于地面的墙上2m的A点斜放一个长2.5m的梯子，由于不小心梯子在墙上下滑0.5m，则梯子在地面上滑出的距离BB'的长度为6. 利用勾股定理，分别画出长度为3厘米和5厘米的线段【主动探究】例题讲解例1如图，在５×５的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：（1）从点A出发画一条线段ＡＢ，使它的另一个端点Ｂ在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22；（2）画出所有的以（1）中的ＡＢ为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数．例2如图，已知CD＝６m， AD＝８m，∠ADC＝９０°， BC＝２４m，ＡＢ＝２６m．求图中阴影部分的面积．【当堂训练】1.若直角三角形的三边长分别为2、 4、 x， x的值为．2.在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝２，ＢＣ＝４，ＡＣ＝23，∠C＝３０°，则∠B= ．3.三角形的三边分别是n＋1、 n＋2、 n＋3，当n= 时，三角形是一个直角三角形.4. 如图，已知AD⊥CD，ＡＢ＝１３，ＢＣ＝１２，ＣＤ＝４，ＡＤ＝３，∠CＡＢ＝ ，∠B= ．5.试判断下列三角形是否是直角三角形：（1）三边长为m2＋n2、 mn、 m2－n2（m＞n＞0）；( )（2）三边长之比为 1∶1∶2；( )（3）△ＡＢＣ的三边长为a、 b、 c，满足a2－b2＝c2( )【回学反馈】1．如图，有一块四边形地ＡＢＣD，∠B＝９０°，ＡＢ＝４m，ＢＣ＝３m， CD＝１２m，DA＝１３m，求该四边形地的面积．2. 如图，四边形ＡＢＣD中，ＡＢ＝ＢＣ＝２， CD＝３，ＤＡ＝１，且∠B＝９０°，求∠DＡＢ的度数．3.如图，在矩形ＡＢＣD中，ＡＢ＝５cm，在边CD上适当选定一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边ＢＣ上一点F处，且△ＡＢF的面积是30cm2．求此时AD的长．。
七年级下册数学勾股定理的应用
h=3.75，r=3
h=2.625，r=3
8.625
11.625 9.375
①
我想检测雕塑底座正面的AD边和BC 边是否分别垂直于底边AB，随身只带
了一把卷尺.
（1）你有办法吗？ （ 2 ）量得 AD 长是 30 厘米， AB 长是 40 厘米， BD 长是 50 厘米 .AD 边垂直于 AB 边吗？ D A C B
食 物
B
A
B
B
A
【解析】AB2=202+102=500＞400
不能
【规律方法】将立体图形展开成平面图形,找出两点间 的最短路径,构造直角三角形，利用勾股定理求解.
运用勾股定理解决实际问题时，应注意： 1、没有图的要按题意画好图并标上字母； 2、有时需要设未知数，并根据勾股定理列出相应的方 程来解.
数学是无穷的科学. ——赫尔曼外尔
例 题
《九章算术》中的趣题
“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸， 适与岸齐.问水深、葭长各几何？” 注：方:正方形 丈：长度单位 1丈=10尺 葭：芦苇．
1
5
《九章算术中的趣题》
“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸， 适与岸齐.问水深、葭长各几何？”
【解析】设水池的深度为x尺，则芦苇的长度为（x+1）尺 由勾股定理得x2 +52=(x+1)2 x2+25=x2+2x+1 1
【解析】如图AD2+AB2=302+402=502=BD2
得∠DAB=90°AD边垂直于AB边
（3）若随身只有一个长度为 20厘米的 刻度尺，能有办法检验 AD 边是否垂直 于AB边吗？
【解析】在AD上取点M,使AM=9,在AB
《勾股定理》(第2课时勾股定理的应用)
基础练习及解析
总结词
理解勾股定理的逆定理
题目
已知三角形三边的长度分别为3、4、5，试判断此三角形是否为直角三角形。
解析
根据勾股定理的逆定理，如果一个三角形的三条边满足$a^{2} + b^{2} = c^{2}$，则该 三角形为直角三角形。在本题中，三角形的三边长为3、4、5，满足勾股定理的条件，因 此这个三角形是直角三角形。
《勾股定理》(第2课 时勾股定理的应用)
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目录
• 回顾与引入 • 勾股定理的应用 • 勾股定理的应用实例 • 勾股定理的应用练习及解析 • 总结与反思
01
回顾与引入
回顾勾股定理及其证明
勾股定理的表述
在任何一个直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。
勾股定理的证明方法
勾股定理在计算机图形学中的应用实例
确定坐标
在计算机图形学中，勾股 定理用于确定物体的位置 和移动路径，以确保物体 在屏幕上的准确显示。
投影计算
勾股定理用于计算投影的 角度和长度，以实现物体 的三维效果。
游戏开发
游戏开发者使用勾股定理 来计算物体的运动轨迹和 碰撞检测，以实现游戏的 真实性和流畅性。
例如，在求解直角三角形斜边的长度时，可以使用勾股定理来计算。此外，勾股 定理还可以用于证明一些几何定理，如毕达哥拉斯定理等。
勾股定理在物理学中的应用
勾股定理在物理学中也有着重要的应用。例如，在电学中，可以使用勾股定理来计算与直角三角形有关的电阻、电流等物理 量。
在机械学中，勾股定理可以用于计算与直角三角形有关的力臂、扭矩等。此外，勾股定理还可以用于解决一些与光学、声学 等有关的物理问题。
八年级数学14.2第2课时 勾股定理在实际生活中的应用优秀课件
，而是外移约0.77m.
归纳总结
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： 〔1〕读懂题意，分析、未知间的关系； 〔2〕构造直角三角形； 〔3〕利用勾股定理等列方程； 〔4〕解决实际问题.
实际问题 决解
勾股定理பைடு நூலகம்
转化 数学问题 建构
利用 直角三角形
问题：在一个圆柱石凳上，假设小明在吃东
B
西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A
讲授新课
一 勾股定理的简单实际应用
问题 观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式进门
的情况，并结合曾小贤和胡一菲的做法，对于长竹竿
进门之类的问题你有什么启发？
这个跟我们学的
勾股定理有关，
将实际问题转化
为数学问题
典例精析
例1 一个门框的尺寸如下图，一块长3m,宽的长方形 薄木板能否从门框内通过?为什么?
第14章 勾股定理
14.2 勾股定理〔第2课时〕 勾股定理在实际生活中的应用
江安淯江：冯莉钦
学习目标
1. 会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题. 〔重点〕
2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型， 利用勾股定理建立边与未知边长度之间的联 系，并进一步求出未知边长.〔难点〕
导入新课
情景引入 数学来源于生活，勾股定理的应用在生活中无处不在， 观看下面视频，你们能理解曾小贤和胡一菲的做法吗？
归纳 立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图 形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最
短确定最短路线.
【变式题】看到小蚂蚁终于喝到饮料的兴奋劲 儿，小明又灵光乍现，拿出了牛奶盒，把小蚂 蚁放在了点A处，并在点B处放上了点儿火腿肠 粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程么？
14.2 勾股定理的应用 华东师大版数学八年级上册知识考点梳理课件
在 Rt△ABG 中，AG= +
= + = （cm）；
14.2 勾股定理的应用
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方案二：如图 2，当蚂蚁从点 A 出发经过 BF 到点 G
重
难
题 时（将前面和右面展开），
型
∵AB=3 cm，BC=5 cm，
设 B′E=BE=x，则 CE=4-x.
∵S△AEC=
∴
Βιβλιοθήκη CE×AB=
（4-x）×3=
AC×B′E，
×5x，解得 x=
，∴B′E=
.
14.2 勾股定理的应用
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变式衍生 1
如图，在长方形 ABCD 中，AB=8，BC=4
重
难
题 ，将长方形沿 AC折叠，点 D 落在点 D′处，则重叠部分
突
破 ，BF=6 cm，蚂蚁要沿着怎样的路线爬行，才能最快吃到饼
干渣？ 这时蚂蚁走过的路程是多少？
14.2 勾股定理的应用
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［答案］解：分以下三种方案讨论：
重
难
方案一：如图 1，当蚂蚁从点 A 出发经过 EF 到点 G
题
型
突 时（将前面和上面展开），
破
∵BC=5 cm，∴FG=BC=5 cm.
对点典例剖析
考
点
典例
如图，一架 2.5 m 长的梯子AB 斜靠在墙 AC 上
清
单
解 ，梯子的顶端 A离地面的高度为 2.4 m，如果梯子的底部 B
读 向外滑出 1.3 m 后停在 DE位置上，则梯子的顶部下滑多少
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⑵在⑴中如果梯子的顶端下滑1m, 那么它的底端是否也滑动1m? ⑶有人说,在滑动过程中,梯子的 底端滑动的距离总比顶端下滑的 距离大,你赞同吗?
C B
◆一架长为10m的梯子AB斜靠在墙上.
⑶有人说,在滑动过程中,梯 子的底端滑动的距离总比顶 A 端下滑的距离大,你赞同吗?
A’
C
B
B’
A 1.如图,太阳能热水器 的支架AB长为90cm, 与AB垂直的BC长 120cm.太阳能真空管 AC有多长?
BA+AC≈1.36+2.95=4.31(km), (BA+AC)－BC≈4.31-2.62=1.69≈1.7(km). 答:直接走湖底隧道比绕道BA和AC减少行程约1.7km.
一架长为10m的梯子AB斜靠在墙上.
⑴ 若梯子的顶端距地面的垂直距 离为8m,则梯子的顶端A与它的底端 B哪个距墙角C远? A
A
B
C
作业
勾股定理的实际应用
1、学校有一块长方形的花圃，经常有同学 为了少走几步而走捷径，于是在草坪上开辟 了一条“新路”，他们这样走少走了几步？ (每两步约为1米）
4m 3m
2、飞机在天空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一 个男孩头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离 这个男孩头顶5000米,飞机每时飞行多少千米? 20秒
D转换成Βιβλιοθήκη 学问题南京玄武湖东西隧道与中 央路北段及龙蟠路大致成直角 三角形,从C处到B处,如果直接 走湖底隧道CB,比绕道CA (约 1.36km)和AB (约2.95km)减 少多少行程?(精确到0.1km)
解:在Rt△ABC中,由勾股定理,得 BC=
AC 2 BA 2 =
A B
C
2.952 1.362 ≈2.62(km)
4000米 5000米
数学研究 印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出 过“荷花问题”： “平平湖水清可鉴，面上一尺生红莲； 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边， 渔人观看忙向前，花离原位二尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅？” 请用学过的数学知识回答这个问题.
数学研究 算趣题：“执竿进屋” 笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹， 横多四尺竖多二，没法急得放声哭。 有个邻居聪明者，教他斜竿对两角， 笨伯依言试一试，不多不少刚抵足。 借问竿长多少数，谁人算出我佩服。
C
B
2. 如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵 高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的 树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 （ ） A.7m B.8m C.9m D.10m
A
8m
C
B
2m 8m
3. 一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内 部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯 里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做 多长？
转换成生活实际
小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。
买最 长的 吧！ 快点回家， 好用它凉衣 服。
糟糕，太 长了，放 不进去。
如果电梯的长、宽、高分别是4尺、3尺、12尺，那么，你能 帮小明估计一下买的竹竿至多是多少尺吗？（结果取整数）
A C
A
12
3 12 C 4 B D 4 3 B C B