2014年中考数学专项训练之《直角三角形》精选与解析

2014年中考数学专项训练之《直角三角形》精选与解析考纲要求命题趋势1．了解直角三角形的有关概念，掌握其性质与判定． 2．掌握勾股定理与逆定理，并能用来解决有关问题. 直角三角形是中考考查的热点之一，题型多样，多以简单题和中档难度题出现，主要考查直角三角形的判定和性质的应用，以及运用勾股定理及其逆定理来解决实际问题的能力.知识梳理一、直角三角形的性质1．直角三角形的两锐角________． 2．直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的________． 3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的________．4．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 二、直角三角形的判定1．有一个角等于________的三角形是直角三角形． 2．有两角________的三角形是直角三角形．3．如果三角形一边上的中线等于这边的________，则该三角形是直角三角形．4．勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的________，那么这个三角形是直角三角形．自主测试1．在△ABC 中，若三边BC ，CA ，AB 满足BC :CA :AB ＝5:12:13，则cos B ＝( )A ．512B ．125C ．513D ．12132．如图，在△ABC 中，DE 是中位线，∠ABC 的平分线交DE 于F ，则△ABF 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形3．下列各组数据分别为三角形的三边长：①2,3,4；②5,12,13；③2，3，4；④m 2－n 2，m 2＋n 2，2mn .其中是直角三角形的有( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④考点一、直角三角形的判定【例1】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 为边BC 上的任一点，DF ⊥AB 于F ，DE ⊥AC 于E ，M 为BC 的中点，试判断△MEF 的形状，并证明你的结论．分析：连接AM ，可得AM ＝BM ，然后证明△BFM ≌△AEM ，得到FM ＝ME ，∠EMF ＝90°.解：△MEF 是等腰直角三角形． 连接AM ，∵∠BAC ＝90°，AM 是斜边BC 的中线， ∴MA ＝MB ＝MC ，MA ⊥BC . ∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠BAM ＝∠MAE ＝45°. ∵DF ⊥AB ，DE ⊥AC ，∴∠AFD ＝∠AED ＝∠F AE ＝90°， ∴四边形DF AE 是矩形，∴FD ＝EA . 又∵FB ＝FD ，∴FB ＝EA ， ∴△BFM ≌△AEM (SAS)， ∴FM ＝EM ，∠BMF ＝∠AME . ∵∠AMF ＋∠BMF ＝90°，∴∠EMF ＝∠AMF ＋∠AME ＝90°， ∴△MEF 是等腰直角三角形．方法总结 证明一个三角形是直角三角形的方法比较多，最简捷的方法就是求出一个角等于90°，也可以利用三角形一边上的中线等于这边的一半，或者利用勾股定理的逆定理证得．触类旁通1 具备下列条件的△ABC 中，不能成为直角三角形的是( )A ．∠A ＝∠B ＝12∠C B ．∠A ＝90°－∠CC ．∠A ＋∠B ＝∠CD ．∠A －∠C ＝90° 考点二、直角三角形的性质【例2】两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B ，C ，E 在同一条直线上，连接DC .(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的字母)； (2)证明：DC ⊥BE .(1)解：图2中△ABE ≌△ACD . 证明如下：∵△ABC 与△AED 均为等腰直角三角形， ∴AB ＝AC ，AE ＝AD ，∠BAC ＝∠EAD ＝90°. ∴∠BAC ＋∠CAE ＝∠E AD ＋∠CAE ，即∠BAE＝∠CAD.又∵AB＝AC，AE＝AD，∴△ABE≌△ACD.(2)证明：由(1)△ABE≌△ACD知∠ACD＝∠ABE＝45°.又∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°，∴DC⊥BE.方法总结直角三角形除具有两锐角互余、两直角边的平方和等于斜边的平方、斜边的中线等于斜边的一半这些性质外，还具有外接圆半径等于斜边的一半，内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半，它的外心是斜边的中点，垂心是直角顶点等性质．考点三、勾股定理及其逆定理【例3】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．解：设CD长为x cm，由折叠得△ACD≌△AED.∴AE＝AC＝6 cm，∠AED＝∠C＝90°，DE＝CD＝x cm.在Rt△ABC中，AC＝6 cm，BC＝8 cm，∴AB＝AC2＋BC2＝62＋82＝10(cm)．∴EB＝AB－AE＝10－6＝4(cm)，BD＝BC－CD＝(8－x) cm，在Rt△DEB中，由勾股定理得DE2＋BE2＝DB2.∴x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3.∴CD的长为3 cm.方法总结1．勾股定理主要的用途是已知直角三角形的两边求第三边，当我们只知道直角三角形的一边时，如果可以找到另外两边的关系，也可通过列方程的方法求出另外两条边．2．勾股定理逆定理主要是已知一个三角形的三边，判断三角形是否为直角三角形．触类旁通2 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，CD＝13，CB＝12，求四边形ABCD的面积．考点四、勾股定理及其逆定理的实际应用【例4】如图所示，铁路上A，B两站(视为直线上两点)相距14 km，C，D为两村庄(可视为两个点)，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝8 km，CB＝6 km，现要在铁路上建一个土特产品收购站E，使C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？分析：因为DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，在AB 上找一点可构成两个直角三角形，我们可想到通过勾股定理列方程进行求解．解：设E 站应建在距A 站x km 处，根据勾股定理有82＋x 2＝62＋(14－x )2，解得x ＝6. 所以E 站应建在距A 站6 km 处．方法总结 勾股定理及其逆定理的实际应用，是把实际问题转化为数学问题，建立勾股定理或逆定理的数学模型．通过解决数学问题，使实际问题得以解决．触类旁通3 有一块直角三角形的绿地，量得两直角边的长分别为6 m ，8 m ，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8 m 为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．1．(2012广东广州)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9，BC ＝12，则点C 到AB 的距离是( )A ．365B ．1225C ．94D ．3342．(2012浙江湖州)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，CD 是AB 边上的中线，则CD 的长是( )A ．20B ．10C ．5D ．523．(2012浙江宁波)勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为( )A ．90B ．100C ．110D ．1214．(2012山东烟台)一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB 上，BC 与DE 交于点M .如果∠ADF ＝100°，那么∠BMD 为________°.5．(2012四川巴中)已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足关系式c 2－a 2－b 2＋|a －b |＝0，则△ABC 的形状为__________．6．(2012重庆)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB ＝2，求△ABC 的周长．(结果保留根号)1．如图所示，将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm 的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，则三角板的最大边的长为( )A ．3 cmB ．6 cmC ．32cmD ．62cm2．在△ABC 中，三边长分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝2b ，c －a ＝12b ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形3．一个直角三角形两边的长分别为15,20，则第三边的长是( ) A ．57 B ．25 C ．57或25 D ．无法确定4．如图，在Rt △ABC 中，以三边AB ，BC ，CA 为直径向外作半圆，设直线AB 左边阴影部分的面积为S 1，右边阴影部分的面积和为S 2，则( )A ．S 1＝S 2B ．S 1＜S 2C ．S 1＞S 2D ．无法确定5．直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8，现将△ABC 如图那样折叠，使点A 与点B重合，折痕为DE ，则CEBC的值是( )A ．247B ．73C ．724D ．136．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是斜边AB 的中点，DE ⊥AC ，垂足为E ，若DE ＝2，CD ＝25，则BE 的长为__________．7．如图，已知等腰Rt △ABC 的直角边长为1，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推直到第五个等腰Rt △AFG ，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为__________．8．如图，已知点D 为等腰Rt △ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD ＝15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE ＝CA .(1)求证：DE 平分∠BDC ；(2)若点M 在DE 上，且DC ＝DM ，求证：ME ＝BD .参考答案导学必备知识 自主测试1．C ∵BC 2＋CA 2＝AB 2，∴∠C ＝90°，∴cos B ＝BC AB ＝513.2．B 3．D 探究考点方法 触类旁通1．D触类旁通2．解：在Rt △ABD 中，BD ＝AD 2＋AB 2＝42＋32＝5， 在△BCD 中，CD ＝13，CB ＝12，BD ＝5， ∴CB 2＋BD 2＝CD 2.∴∠DBC ＝90°.∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △DBC ＝12AB ·AD ＋12BC ·BD ＝12×3×4＋12×12×5＝6＋30＝36.触类旁通3．解：在Rt △A BC 中，AC ＝8，BC ＝6，由勾股定理得，AB ＝AC 2＋BC 2＝10，扩充部分为Rt △ACD ，扩成等腰三角形ABD ，应分以下三种情况：(1)如图1，当AB ＝AD ＝10时，可求得CD ＝CB ＝6，故△ABD 的周长为32 m.(2)如图2，当AB ＝BD ＝10时，可求得CD ＝4，由勾股定理得AD ＝AC 2＋CD 2＝45，故△ABD 的周长为(20＋45) m.(3)如图3，当AB 为底时，设AD ＝BD ＝x ，则CD ＝x －6，由勾股定理得(x －6)2＋82＝x 2，则x ＝253，故△ABD 的周长为803m.品鉴经典考题1．A 根据题意画出相应的图形，如图所示：在Rt △ABC 中，AC ＝9，BC ＝12，根据勾股定理得：AB ＝AC 2＋BC 2＝15. 过点C 作CD ⊥AB ，交AB 于点D ，又S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD ，∴CD ＝AC ·BC AB ＝9×1215＝365，则点C 到AB 的距离是365.2．C 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，CD 是AB 边上的中线，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，则CD 的长是5.3．C 如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，所以，四边形AOLP 是正方形， 边长AO ＝AB ＋AC ＝3＋4＝7，所以，KL ＝3＋7＝10，LM ＝4＋7＝11， 因此，矩形KLMJ 的面积为10×11＝110.故选C. 4．85 ∵∠ADF ＝100°，∠EDF ＝30°，∴∠MDB ＝180°－∠ADF －∠EDF ＝180°－100°－30°＝50°，∴∠BMD ＝180°－∠B －∠MDB ＝180°－45°－50°＝85°.5．等腰直角三角形 由题意得：c 2－a 2－b 2＝0，a －b ＝0，∴c 2＝a 2＋b 2，a ＝b ，则△ABC 的形状为等腰直角三角形．6．解：∵△ABD 是等边三角形， ∴∠B ＝60°. ∵∠BAC ＝90°，∴∠C ＝180°－90°－60°＝30°， ∴BC ＝2AB ＝4.在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC ＝BC 2－AB 2＝42－22＝23，∴△ABC 的周长为AC ＋BC ＋AB ＝23＋4＋2＝6＋2 3.研习预测试题 1．D2．A 由a ＋c ＝2b ，c －a ＝12b ，可得c ＝54b ，a ＝34b ，于是得a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 是直角三角形．3．C 4．A5．C 由折叠性质可知，AE ＝BE ， 设CE 为x ，则BE ＝8－x .在Rt △BCE 中，62＋x 2＝(8－x )2，所以x ＝74.故CE BC ＝746＝724.6．42 ∵点D 是AB 的中点，∠ACB ＝90°，DE ⊥AC ，∴CD ＝12AB ，DE ＝12BC ，∴AB ＝45，BC ＝4.在Rt △ACB 中，AC ＝AB 2－BC 2＝8，∴CE ＝12AC ＝4.∵CE ＝BC ＝4，∠ACB ＝90°，∴BE ＝4 2. 7．312根据题意易知CD ＝AC ＝2，AD ＝DE ＝(2)2＝2，EF ＝AE ＝22，AF ＝FG ＝22×2＝4，AG ＝42，所以所求图形的面积S ＝S △ABC ＋S 梯形ACDE ＋S 梯形AEFG ＝12×1×1＋12×(2＋22)×2＋12×(22＋42)×22＝12＋3＋12＝312.8．证明：(1)在等腰Rt △ABC 中， ∵∠CAD ＝∠CBD ＝15°， ∴∠BAD ＝∠ABD ＝45°－15°＝30°. ∴BD ＝AD .∴△BDC ≌△ADC . ∴∠DCA ＝∠DCB ＝45°.由∠BDM ＝∠ABD ＋∠BAD ＝30°＋30°＝60°， ∠EDC ＝∠DAC ＋∠DCA ＝15°＋45°＝60°， ∴∠BDM ＝∠EDC .∴DE 平分∠BDC . (2)如图，连接MC.∵DC＝DM，且∠MDC＝60°，∴△MDC是等边三角形，即CM＝CD.又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°，∠ADC＝180°－∠MDC＝180°－60°＝120°，∴∠EMC＝∠ADC.又∵CE＝CA，∴∠DAC＝∠CEM＝15°.∴△ADC≌△EMC.∴ME＝AD＝DB.。