立体几何知识点归纳(复习资料)

高考总复习主干知识三：立体几何主干知识三：立体几何知识点归纳一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l符号表示：2. 线面相交符号表示：3. 线在面内符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。

mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平行实现。

mlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法三：用线面垂直实现。

若αα⊥⊥ml,，则ml//。

方法四：用向量方法：若向量和向量共线且l、m不重合，则ml//。

2.线面平行：方法一：用线线平行实现。

ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：用面面平行实现。

αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂方法三：用平面法向量实现。

若n为平面α的一个法向量，⊥且α⊄l,则α//l。

3.面面平行：方法一：用线线平行实现。

ααβ',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。

αβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml方法三：用向量方法：两个平面的法向量共线三．垂直关系：1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。

高考总复习主干知识三：立体几何α⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB lAC l ,方法二：用面面垂直实现。

ββαβα⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,方法三：用向量方法：直线与平面的法向量共线2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。

αβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二：计算所成二面角为直角。

方法三：用向量方法： 两平面的法向量垂直3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。

m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。

PO l OA ll αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭方法三：用向量方法：若向量l 和向量m 的数量积为0，则m l ⊥。

三．夹角问题。

(一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(︒︒ (2)求法：方法一：定义法。

步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。

步骤2：解三角形求出角。

(常用到余弦定理)余弦定理：cos 222=θ(方法二：向量法。

转化为向量的夹角(计算结果可能是其补角)：=θcos(二) 线面角(1)定义：直线l 上任取一点P （交点除外），作PO ⊥α于O,连结AO ，则AO 为斜线PA 在面α内的射影，PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。

(2)范围：]90,0[︒︒当︒=0θ时，α⊂l 或//l 当︒=90θ时，α⊥l (3)求法： 方法一：定义法。

步骤1：作出线面角，并证明。

步骤2：解三角形，求出线面角。

方法二：向量法。

转化为向量的夹角sin AP n AP n θ⋅=⋅(三) 二面角及其平面角(1)定义：在棱l 上取一点P ，两个半平面内分别作l 的垂线（射线）m 、n ，则射线m 和n 的夹角θ为二面角α—l —β的平面角。

(2)范围：]180,0[︒︒ (3)求法： 方法一：定义法。

步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。

步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。

方法二：截面法。

步骤1：如图，若平面POA 同时垂直于平面βα和，则交线(射线)AP 和AO 的夹角就是二面角。

步骤2：解三角形，求出二面角。

方法三：向量法(计算结果可能与二面角互补)。

步骤一：计算121212cos n n n n n n ⋅<⋅>=⋅步骤二：判断θ与12n n <⋅>的关系，可能相等或者互补。

四．距离问题。

1．点面距。

方法一：几何法。

步骤1：过点P 作PO ⊥α于O ，线段PO 即为所求。

步骤2：计算线段PO 的长度。

(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法)方法二：向量法。

AP n d n⋅=，n 为平面的法向量2．线面距、面面距均可转化为点面距。

主干知识三 立体几何基础训练1．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为棱11AA BB ， 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(01)AG λλ=≤≤．则点G 到平面1D EF 的距离为（ ）2.用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为 ( ) A.323π B.83πC.D.3.如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ACB=900,∠ACC 1=600,∠BCC 1=450, 侧棱CC 1的长为1，则该三棱柱的高等于（ ） A.21 B.22 C.23D.334.用,,a b c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若,,a b b c ∥∥则a c ∥;②若,,a b b c ⊥⊥则a c ⊥； ③若a γγ∥,b ∥,则a ∥b ;④若,a b γγ⊥⊥,则a ∥b . 其中真命题的序号是（ ） A. ①② B.②③ C. ①④ D. ③④5.圆柱形容器内盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球， （球的半径和圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的 球（如图所示），则球的半径是 cm .6．设球的体积为V 1,它的内接正方体的体积为V 2，下列说法中最合适的是A. V 1比V 2大约多一半B. V 1比V 2大约多两倍半C. V 1比V 2大约多一倍D. V 1比V 2大约多一倍半D1CA E A7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____________.8．在如图所示的空间直角坐标系O-xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2）. 给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和②主干知识三 立体几何能力提高1．如图，在三棱锥V ABC -中，VC ABC ⊥底面，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且AC BC a ==，π02VDC θθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭∠．（I ）求证：平面VAB ⊥平面VCD ；（II ）试确定角θ的值，使得直线BC 与平面VAB 所成的角为π6．图③ 图①图④图②第7题图高考总复习主干知识三：立体几何2.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥侧面11.A ABB （1）求证： ;AB BC ⊥（2）若1AA AC a ==，直线AC 与平面1A BC 所成的 角为θ，二面角1,.2A BC A πϕθϕ--+=的大小为求证：3.如图，四棱锥S ＝ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD,SD ＝AD ＝a,点E 是SD 上的点，且DE ＝λa(0<λ≦1).(Ⅰ)求证：对任意的λ∈（0、1），都有AC ⊥BE: (Ⅱ)若二面角C-AE-D 的大小为600C ，求λ的值。

4．如图，在四面体ABOC 中，OC OA ⊥，OC OB ⊥，120AOB ∠=︒且1OA OB OC ===.(Ⅰ)设P 为AC 的中点，Q 在AB 上且3AB AQ =.证明:PQ OA ⊥；(Ⅱ)求二面角O AC B --的平面角的余弦值。

5.如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为E 在侧棱1AA 上，点F 在侧棱1BB 上，且=AE BF (Ⅰ)求证：1⊥CF C E(Ⅱ)求二面角1--E CF C 的大小.6.某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A 1B 1C 1D 1-ABCD ，上不是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A 2B 2C 2D 2。

（1）证明：直线B 1D 1⊥平面ACC 2A 2；（2）现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB=10，A 1B 1=20， AA 2=30，AA 1=13（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为0.20元， 需加工处理费多少元？7．如图，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为A 1A 2＝d 1.同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为B 1B 2＝d 2，C 1C 2＝d 3，且d 1＜d 2＜d 3.过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线AA 2平行的平面截多面体A 1B 1C 1­A 2B 2C 2所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中． (1)证明：中截面DEFG 是梯形；(2)在△ABC 中，记BC ＝a ，BC 边上的高为h ，面积为S .在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量(即多面体A 1B 1C 1­A 2B 2C 2的体积V )时，可用近似公式V 估＝S 中·h 来估算．已知V ＝13(d 1＋d 2＋d 3)S ，试判断V估与V 的大小关系，并加以证明．8．如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，E ，F ，P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，1DD ， 1BB ，11A B ，11A D 的中点. 求证：（Ⅰ）直线1BC ∥平面EFPQ ； （Ⅱ）直线1AC ⊥平面PQMN .。