2018高考数学(文)一轮复习课件：第七章 立体几何初步 第3讲 课件

第七章
立体几何初步
第3讲
空间点、直线、平面之间的位 置关系
1．四个公理
两点 在一个平面内，那么这条直 公理 1：如果一条直线上的______
线在此平面内．
不在一条直线上 的三点，有且只有一个平面． 公理 2：过________________
公理 3 ：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们
有且只有一条 过该点的公共直线． ______________ 互相平行 ． 公理 4：平行于同一条直线的两条直线__________
(2)空间中两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 图形表示 符号表示 α∥ β 公共点 没有 公共点 有一条 公共 垂直 α⊥ β 且 α∩β＝a 直线
两平 面相 交
斜交
α∩β＝l
1．辨明三个易误点 (1)正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义， 不要 理解成“不在同一个平面内”． (2)不共线的三点确定一个平面， 一定不能丢掉“不共线”的条 件． (3)两条异面直线所成角的范围是(0°，90°]． 2．证明共线问题的两种途径 (1)先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上； (2)直接证明这些点都在同一条特定直线上．
本例条件不变，如何证明“CE，D1F，DA 交于一点”？
1 [证明] 如图，由本例知 EF∥CD1，且 EF＝ CD1， 2 所以四边形 CD1FE 是梯形， 所以 CE 与 D1F 必相交，设交点为 P， 则 P∈CE，且 P∈D1F， 又 CE⊂平面 ABCD，且 D1F⊂平面 A1ADD1， 所以 P∈平面 ABCD，且 P∈平面 A1ADD1. 又平面 ABCD∩平面 A1ADD1＝AD，所以 P∈AD， 所以 CE、D1F、DA 三线共点．
[解析] A 选项考查公理 2，即三点必须不在同一条直线上，才 能确定平面；B 选项如果点在直线上，则该直线和这个点不能 确定平面； C 选项中的四边形有可能是空间四边形， 只有 D 是 正确的．
2.教材习题改编 下列命题是真命题的是( D ) A．m、n 是两直线，α，β 是两平面，若 m⊂α，n⊂β，则 m、 n 是异面直线 B．m、n、l 是三条直线，若 m⊥n，且 l 与 m 成 50°角，则 l 与 n 成 40°角 C．平面 α∥平面 β，直线 m∥α，则 m∥β D．在长方体的十二条棱中，将是异面关系的两条棱记为“一 对异面直线”，则这十二条棱中共有 24 对异面直线
2．空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类 平行 ______ 共面直线 相交 ______ 任何 一个平面内 异面直线：不同在______ (2)异面直线所成的角 ①定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直 锐角(或直角) 叫做异面 线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的________________ 直线 a 与 b 所成的角(或夹角)． π 0 ， 2 ②范围：_____________ ． (3)定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 相等或互补 ． ____________
3．证明共面问题的两种途径 (1)首先由条件中的部分线(或点)确定一个平面， 再证其他线(或 点)在此平面内； (2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两个 平面重合．
1.教材习题改编 下列命题正确的是( D ) A．经过三点确定一个平面 B．经过一条直线和一个点确定一个平面 C．四边形确定一个平面 D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
3.教材习题改编 已知空间四边形的两条对角线相互垂直， 顺次 连接四边中点的四边形一定是( B ) A．空间四边形 C．菱形 B．EFGH 为平行四边形． 因为 E，F 分别为 AB，BC 的中点， 所以 EF∥AC. 又 FG∥BD， 所以∠EFG 或其补角为 AC 与 BD 所成的角． 而 AC 与 BD 所成的角为 90°， 所以∠EFG＝90°， 故四边形 EFGH 为矩形．
4．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S 分别是所在棱的中 点，则这四个点不共面的一个图是( D )
[解析] A，B，C 图中四点一定共面，D 中四点不共面．
5.教材习题改编 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，AC 与 60° A1B 所成角的大小为________．
[解析] 连接 A1C1 与 BC1(图略)，由正方体性质知 AC∥A1C1. 则∠BA1C1 即为 AC 与 A1B 所成的角，且 A1C1＝A1B＝BC1. 所以∠BA1C1＝60°.
3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)空间中直线与平面的位置关系 位置关系 直线 a 在 平面 α 内 直线 a 与 平面 α 平行 直线 在平 面外 直线 a 与 平面 α 斜交 直线 a 与 平面 α 垂直 图形表示 符号表示 a⊂ α a∥ α a∩ α ＝ A 公共点 有无数个 公共点 没有 公共点 有且只 有一个 a⊥ α 公共点
[解析] 对于 A，m 与 n 可能平行或相交，故 A 错．对于 B，l 与 n 所成的角不确定，故 B 错．对于 C，m 可能在平面 β 内， 故 C 错．对于 D，如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，与 AA1 成为一对异面直线的有 BC、DC、B1C1、D1C1 共 4 对． 12×4 故异面直线对数为 ＝24.故 D 正确． 2
平面的基本性质 [典例引领] 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别 是 AB 和 AA1 的中点．求证：E、C、D1、F 四点共面．
【证明】 如图所示，连接 CD1、EF、A1B， 因为 E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点， 1 所以 EF∥A1B 且 EF＝ A1B. 2 ∥BC，所以四边形 A1BCD1 是平行四边形， 又因为 A1D1 ═ 所以 A1B∥CD1，所以 EF∥CD1， 所以 EF 与 CD1 确定一个平面 α， 所以 E、F、C、D1∈α，即 E、C、D1、F 四点共面．