高中数学人教B版必修二同步教案：2.1.1数轴上的基本公式 AB+BC=AC
2017-2018学年高中数学(人教B版)必修二名师讲义：第二章 2.1 平面直角坐标系中的基本
平面直角坐标系中的基本公式2．1.1数轴上的基本公式[新知初探]1．数轴(或直线坐标系)(1)数轴(直线坐标系)的定义：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系．(2)数轴上的点P与实数x的对应法则依据这个法则，实数集和数轴上的点之间建立了一一对应关系．(3)数轴上点P的坐标如果点P与实数x 对应，则称点P的坐标为x，记作P(x)．2．数轴上的向量及有关概念(1)向量的定义如果数轴上的任意一点A沿着轴的正向或负向移动到另一点B，则说点在轴上作了一次位移，点不动则说点作了零位移．位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，简称为向量．(2)向量的描述的向量，记作AB叫做向量AB的起点，点AB的长叫做向量AB|AB| 3．数轴上的基本公式AC叫做位移AB BCAC AB＋BC1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数轴上的向量的坐标一定是一个实数( )(2)向量的坐标等于向量的长度( )(3)向量AB与向量BA的长度是一样的( )(4)如果数轴上两个向量的坐标相等，那么这两个向量相等( )答案：(1)√(2)×(3)√(4)√2．下列各组点中A点位于B点右侧的是( )A．A(－3)和B(－4) B．A(3)和B(4)C．A(－3)和B(4) D．A(－4)和B(－3)答案：A3．点A，B是数轴上两点，B点的坐标x B＝－6，且BA＝－4，那么点A的坐标为( ) A．－10 B．－2C．－10或－2 D．10答案：A[典例](1)若点P(x)位于点M(－2)，N(3)之间，求x的取值范围；(2)试确定点A(a)，B(b)的位置关系．[解](1)由题意可知，点M(－2)位于点N(3)的左侧，且点P(x)位于点M(－2)，N(3)之间，所以－2<x<3.(2)确定两点的位置关系，需要讨论实数a，b的大小关系：当a>b时，点A(a)位于点B(b)的右侧；当a<b时，点A(a)位于点B(b)的左侧；当a＝b时，点A(a)与点B(b)重合．[活学活用]1．下列各组点中，点M位于点N左侧的是( )A．M(－2)，N(－3) B．M(2)，N(－3)C．M(0)，N(6) D．M(0)，N(－6)解析：选C A中，－2>－3，点M(－2)位于点N(－3)右侧；B中，2>－3，点M(2)位于点N(－3)的右侧；C中，0<6，点M(0)位于点N(6)的左侧；D中，0>－6，点M(0)位于点N(－6)的右侧．2．在如图所示的数轴上，A，B，C各点的坐标是什么？它们分别对应哪个实数？解：A点坐标为A(2)，对应实数2；B点坐标为B(－4)，对应实数－4；C点坐标为C(4.5)，对应实数4.5.[典例]已知数轴上有A，B两点，A，B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3.(1)求向量OA，AB的坐标；(2)求所有满足条件的点B到原点O的距离之和．[解](1)∵点A与原点O的距离为3，∴点A的坐标为3或－3.①当点A的坐标为3时，∵A，B之间的距离为1，∴点B的坐标为2或4.此时OA的坐标为3，AB的坐标为－1或1；②当点A的坐标为－3时，∵A，B之间的距离为1，∴点B的坐标为－4或－2.此时OA的坐标为－3，AB的坐标为－1或1.(2)所有满足条件的点B到原点O的距离之和为2＋4＋4＋2＝12.熟练掌握一些条件变换，如－MQ QM[活学活用]已知数轴上的三点A(－1)，B(5)，C(x)．(1)当|AB|＋d(B，C)＝8时，求x；(2)当AB＋CB＝0时，求x；(3)当AB＝BC时，求x；(4)当AC＝1时，验证：AB＋BC＝AC.解：(1)由题意可知，|AB|＝|5－(－1)|＝6，d(B，C)＝|x－5|，当|AB|＋d(B，C)＝8时，有6＋|x－5|＝8，解得x＝3或x＝7.(2)由AB＋CB＝0，可知，5－(－1)＋5－x＝0，解得x＝11.(3)由AB＝BC可知，AB＝BC，故5－(－1)＝x－5，所以x－5＝6，解得x＝11.(4)当AC＝1时，有x－(－1)＝1，解得x＝0.所以AB＋BC＝5－(－1)＋0－5＝1＝AC.[典例] 已知数轴上点A ，B ，P 的坐标分别为－1,3，x .(1)当点P 与点B 的距离是点P 与点A 的距离的3倍时，求点P 的坐标x ；(2)若点P 到点A 和点B 的距离都是2，求点P 的坐标x ，此时点P 与线段AB 有着怎样的关系？ (3)在线段AB 上是否存在点P (x )，使得点P 到点A 和点B 的距离都是3？若存在，求出点P 的坐标x ；若不存在，请说明理由．[解] (1)由题意知|PB |＝3|PA |， 即|x －3|＝3|x ＋1|，则3(x ＋1)＝x －3 ①或3(x ＋1)＝－(x －3) ②， 解①得x ＝－3；解②得x ＝0. 所以点P 的坐标为－3或0. (2)由题意知|PA |＝|PB |＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|＝2，|x －3|＝2，解得x ＝1. 此时点P 的坐标为1，显然此时P 为线段AB 的中点． (3)不存在这样的点P (x )．因为d (A ，B )＝|3＋1|＝4，要使点P 在线段AB 上，且d (P ，A )＝d (P ，B )＝3，则d (A ，B )＝d (P ，A )＋d (P ，B )，这是不可能的．已知点A (a )[活学活用]已知数轴上的两个点A (a )，B (5)，当a 为何值时： (1)两点间的距离等于5； (2)两点间的距离小于3.解：数轴上两点A ，B 之间的距离为|AB |＝|a －5|，(1)根据题意|a－5|＝5，可解得a＝0或a＝10.(2)根据题意|a－5|＜3，即－3＜a－5＜3，∴2＜a＜8.层级一学业水平达标1．若点P到原点的距离为2，点P在原点的左侧，则点P的坐标为( )A．2 B．－2C．±2 D．不确定解析：选B设点P的坐标为x，则|x|＝2，由点P在原点的左侧，可知x＝－2.2．数轴上三点A，B，C，已知AB＝2.5，BC＝－3，若A点坐标为0，则C点坐标为( ) A．0.5 B．－0.5C．5.5 D．－5.5解析：选B由x B－0＝2.5得x B＝2.5，由x C－x B＝－3得x C＝－0.5.3．已知数轴上两点A，B，若点B的坐标为3，且A，B两点间的距离d(A，B)＝5，则点A的坐标为( )A．8 B．－2C．－8 D．8或－2解析：选D记点A(x1)，B(x2)，则x2＝3，d(A，B)＝|AB|＝|x2－x1|＝5，即|3－x1|＝5，解得x1＝－2或x1＝8.4．在数轴上从点A(－2)引一线段到B(1)，再同向延长同样的长度到C，则点C的坐标为( ) A．13 B．0C．4 D．－2解析：选C如下图所示，故C(4)为所求．5. 在数轴上，已知任意三点A，B，O，下列关系中，不正确的是( )A．AB＝OB－OA B．AO＋OB＋BA＝0C ．AB ＝AO ＋OBD ．AB ＋AO ＋BO ＝0解析：选D ∵OB －OA ＝OB ＋AO ＝AO ＋OB ＝AB ，∴AB ＝OB －OA ，故选项A 正确；选项B 、C 显然正确；AB ＋AO ＋BO ＝2AO ≠0，故选项D 不正确．6．已知数轴上点A ，B 的坐标分别为x 1，x 2，若x 2＝－1，且|AB |＝5，则x 1的值为________．解析：|AB |＝|x 2－x 1|＝5，即|x 1＋1|＝5，解得x 1＝－6或x 1＝4. 答案：－6或47．已知数轴上一点P (x )，它到点A (－8)的距离是它到点B (－4)的距离的2倍，则x ＝________.解析：由题意，得d (P ，A )＝2d (P ，B )， ∴|－8－x |＝2|－4－x |，解得x ＝0或x ＝－163.答案：0或－1638．在数轴上，已知点B 的坐标为3，AB ＝4，则点A 的坐标为________；已知点N 的坐标为2，|MN |＝1，则点M 的坐标为________．解析：设点A 坐标为x .∵AB ＝3－x ＝4，∴x ＝－1.设M 点坐标为y .∵|MN |＝|2－y |＝1，∴y ＝1或y ＝3.答案：－1 1或39．在数轴上，讨论点A (3a ＋1)与点B (1－2a )的位置关系．解：当3a ＋1＞1－2a ，即a ＞0时，点A 在点B 右侧； 当3a ＋1＝1－2a ，即a ＝0时，点A 与点B 重合； 当3a ＋1＜1－2a ，即a ＜0时，点B 在点A 右侧．10．已知M ，N ，P 是数轴上三点，若|MN |＝5，|NP |＝2，求d (M ，P )．解：因为M ，N ，P 是数轴上三点，|MN |＝5，|NP |＝2.(1)当点P 在点M ，N 之间时(如图所示)． d (M ，P )＝|MN |－|NP |＝5－2＝3. (2)当点P 在点M ，N 之外时(如图所示)．d(M，P)＝|MN|＋|NP|＝5＋2＝7.综上所述：d(M，P)＝3或d(M，P)＝7.层级二应试能力达标1．在数轴上，已知A，B，C三点的坐标分别为x,2x,3－x，若使AB＋CB＞AC，则实数x的取值范围是( )A．x＞2 B．x＞1C．x＜3 D．x＜1解析：选B∵AB＋CB＞AC，∴由向量坐标公式，得(2x－x)＋[2x－(3－x)]＞(3－x)－x，解得x＞1，故选B.2. 如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两个点相距1个单位，点A，B，C，D对应的数分别是整数a，b，c，d，且d－2a＝10，那么数轴的原点应是( )A．A点B．B点C．C点D．D点解析：选B用排除法，如原点为A，则a＝0，d＝7，d－2a＝7≠10，排除A，同样的方法，排除C、D；当B为原点时，a＝－3，d＝4，d－2a＝4－2×(－3)＝10，满足条件，故选B. 3．数轴上点P，M，N的坐标分别为－2,8，－6，则在①MN＝NM；②MP＝－10；③PN＝－4中，正确的表示有( )A. 0个B．1个C．2个D．3个解析：选C数轴上的两点对应的向量的数量是实数，等于终点的坐标减去起点的坐标，故MN＝NM不正确，MP＝－10，PN＝－4正确．4．设数轴上三点A，B，C，点B在A，C之间，则下列等式成立的是( )A．|AB－CB|＝|AB|－|CB|B．|AB＋CB|＝|AB|＋|CB|C．|AB－CB|＝|AB|＋|CB|D．|AB＋CB|＝|AB－CB|解析：选C根据A，B，C三点的相对位置可知，|AB－CB|＝|AB＋BC|＝|AC|＝|AB|＋|CB|，故C成立．5．已知数轴上两点A(a)，B(5.5)，并且d(A，B)＝7.5，则a＝________，若AB＝7.5，则a＝_______ _.解析：∵d(A，B)＝7.5，∴|5.5－a|＝7.5，解得a＝－2或a＝13.若AB＝7.5，则5.5－a＝7.5，解得a＝－2.答案：－2或13 －26．在数轴上，已知A，B，C三点的坐标分别为－3,7,9，则AB＋BC＋CA＝__________，|AB|＋|BC |＋|CA|＝__________.解析：AB＋BC＋CA＝AC＋CA＝0；|AB|＋|BC|＋|CA|＝|7－(－3)|＋|9－7|＋|－3－9|＝24.答案：0 247．数轴上A，B两点的坐标分别为x1＝a＋b，x2＝a－b，分别求向量AB―→的坐标，BA，d(A，B)，d(B，A)．解：向量AB的坐标AB＝x2－x1＝(a－b)－(a＋b)＝－2b，BA＝x1－x2＝(a＋b)－(a－b)＝2b或BA＝－AB＝－(－2b)＝2b.d(A，B)＝|AB|＝|x2－x1|＝|－2b|＝2|b|，d(B，A)＝d(A，B)＝2|b|.8．已知数轴上的点A，B，C的坐标分别为－1,3,5.(1)求AB，BA，|AB|，|BC|，|AC|；(2)若数轴上还有两点E，F，且AE＝8，CF＝－4，求点E，F的坐标．解：(1)AB＝3－(－1)＝4；BA＝－AB＝－4；|AB|＝|3－(－1)|＝4；|BC|＝|5－3|＝2；|AC|＝|5－(－1)|＝6.(2)设E，F点的坐标分别为x E，x F.∵AE＝8，∴x E－(－1)＝8，得x E＝7.∵CF＝－4，∴x F－5＝－4，得x F＝1.故E，F两点坐标分别为7,1.2．1.2平面直角坐标系中的基本公式[新知初探]1．两点的距离公式两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的距离表示为d(A，B)＝|AB|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.(1)当AB平行于x轴时，d(A，B)＝|AB|＝|x2－x1|.(2)当AB平行于y轴时，d(A，B)＝|AB|＝|y2－y1|.(3)当B点是原点时，d(A，B)＝|AB|＝x21＋y21.2．中点坐标公式已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x＝x1＋x2 2，y＝y1＋y22.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)A，B两点的距离与A，B的顺序无关( )(2)中点坐标公式中两点位置没有先后顺序( )答案：(1)√(2)√2．设A(3,4)，在x轴上有一点P(x,0)，使得|PA|＝5，则x等于( ) A．0 B．6C．0或6 D．0或－6答案：C3．点P(2，－1)关于点M(3,4)的对称点Q的坐标为( ) A．(1,5) B．(4,9)C．(5,3) D．(9,4)答案：B[典例] (1)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(4,1)，B(－3,2)，C(0,5)，则△ABC的周长为( )A．4 2 B．8 2C．12 2 D．16 2(2)若A(－5,6)，B(a，－2)两点的距离为10，则a＝__________.[解析](1)∵A(4,1)，B(－3,2)，C(0,5)，∴|AB|＝(－3－4)2＋(2－1)2＝50＝52，|BC|＝[0－(－3)]2＋(5－2)2＝18＝32，|AC＝(0－4)2＋(5－1)2＝32＝4 2.∴△ABC的周长为|AB|＋|BC|＋|AC|＝52＋32＋42＝12 2.(2)∵|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝(－5－a)2＋(6＋2)2＝10，∴a＝1或－11.[答案](1)C (2)1或－11[活学活用]已知点A (－1,2)，B (2，7)，在x 轴上求一点P ，使|PA |＝|PB |，并求|PA |的值． 解：由已知设所求点P 的坐标为(x,0)，于是有|PA |＝d (P ，A )＝(x ＋1)2＋(0－2)2＝x 2＋2x ＋5，|PB |＝d (P ，B )＝(x －2)2＋(0－7)2＝x 2－4x ＋11，由|PA |＝|PB |，得x 2＋2x ＋5＝x 2－4x ＋11， 解得x ＝1.所以，所求点为P (1,0)，且|PA |＝d (P ，A )＝(1＋1)2＋(0－2)2＝2 2.[典例] (1)已知三点A (x,5)，B (－2，y )，C (1,1)，且点C 是线段AB 的中点，求x ，y 的值； (2)求点M (4,3)关于点N (5，－3)的对称点．[解](1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x －22＝1，5＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3.(2)设所求点的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋42＝5，y ＋32＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－9，故所求对称点的坐标为(6，－9)．[活学活用] 已知▱ABCD 的两个顶点坐标分别为A (4,2)，B (5,7)，对角线的交点为E (－3,4)，求另外两个顶点C ，D 的坐标．解：设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， ∵E 为AC 的中点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －3＝x 1＋42，4＝y 1＋22，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－10，y 1＝6.又∵E 为BD 的中点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3＝5＋x22，4＝7＋y 22.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－11，y 2＝1.∴C 点的坐标为(－10,6)，D 点的坐标为(－11,1)．[典例]在△ABC 中，D 为BC 边上任意一点(D 与B ，C 不重合)，且|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |.求证：△ABC 为等腰三角形．[证明] 如图，作AO ⊥BC ，垂足为O ，以BC 所在直线为x 轴，以OA 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．设A (0，a )，B (b,0)，C (c,0)，D (d ，0)(b <d <c )． 因为|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |， 所以，由两点的距离公式可得 b 2＋a 2＝d 2＋a 2＋(d －b )(c －d )， 即－(d －b )(b ＋d )＝(d －b )(c －d )． 又d －b ≠0，故－b －d ＝c －d ，即－b ＝c . 所以|AB |＝|AC |， 即△ABC 为等腰三角形．[活学活用]已知△ABC 是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的直角坐标系，证明：|AM |＝12|BC |.证明：如图所示，以Rt △ABC 的直角边AB ，AC 所在直线为坐标轴，建立直角坐标系，设B ，C 两点的坐标分别为(b,0)，(0，c )．因为点M 是BC 的中点，故点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋b 2，0＋c 2，即⎝⎛⎭⎫b 2，c 2. 由两点间距离公式得 |BC |＝(0－b )2＋(c －0)2＝b 2＋c 2，|AM |＝⎝⎛⎭⎫b 2－02＋⎝⎛⎭⎫c 2－02＝12b 2＋c 2.所以|AM |＝12|BC|.层级一 学业水平达标1．已知点A (－3,4)和B (0，b )，且|AB |＝5，则b 等于( )A ．0或8B ．0或－8C ．0或6D ．0或－6解析：选A 由(－3)2＋(4－b )2＝5，解得b ＝0或8.2．点A (2，－3)关于坐标原点的中心对称点是( )A ．(3，－2)B ．(－2，－3)C ．(－2,3)D ．(－3,2)解析：选C 设所求点的坐标为B (x ，y )，则由题意知坐标原点是点A ，B 的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧2＋x 2＝0，－3＋y 2＝0，解得x ＝－2，y ＝3.故选C.3．若点P (x ，y )到两点M (2,3)，N (4,5)的距离相等，则x ＋y 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．不确定 解析：选C 由两点距离公式，得(x －2)2＋(y －3)2＝(x －4)2＋(y －5)2，两边平方，得x ＋y＝7，故选C.4．已知A (x,5)关于C (1，y )的对称点是B (－2，－3)，则P (x ，y )到原点的距离为( )A ．4 B. 13 C. 15D. 17解析：选D 由题意知点C 是线段AB 的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝2，2y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.∴|OP |2＝17，∴|OP |＝17. 5．以A (1,5)，B (5,1)，C (－9，－9)为顶点的三角形是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形解析：选B 根据两点的距离公式， |AB |＝(1－5)2＋(5－1)2＝42， |AC |＝(1＋9)2＋(5＋9)2＝296， |BC |＝(5＋9)2＋(1＋9)2＝296，∴|AC |＝|BC |≠|AB |，∴△ABC 为等腰三角形．6．已知A (a,6)，B (－2，b )，点P (2,3)平分线段AB ，则a ＋b ＝________.解析：由中点公式知2＝a －22，b ＋62＝3，∴a ＝6，b ＝0，∴a ＋b ＝6. 答案：67．设P 点在x 轴上，Q 点在y 轴上，PQ 的中点是M (－1,2)，则|PQ |等于________．解析：设P (a,0)，Q (0，b )，由中点坐标公式得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋02＝－1，0＋b 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，∴|PQ |＝a 2＋b 2＝20＝2 5.答案：2 58．若x 轴正半轴上的点M 到原点的距离与到点(5，－3)的距离相等，则点M 的坐标为________．解析：设M (x,0)(x ＞0)， 则x 2＋02＝(x －5)2＋(0＋3)2， 解得x ＝175，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫175，0. 答案：⎝⎛⎭⎫175，09．已知△ABC 的顶点坐标为A (1,2)，B (－2，－2)，C (3,4)，求BC 边上的中线AM 的长．解：由中点公式，得BC 边的中点M 的坐标为 －2＋32，－2＋42，即M ⎝⎛⎭⎫12，1.∴d (A ，M )＝⎝⎛⎭⎫1－122＋(2－1)2＝ 14＋1＝52， 即BC 边上的中线AM 的长为52. 10．已知A (6,1)，B (0，－7)，C (－2，－3)．(1)求证：△ABC 是直角三角形； (2)求△ABC 的外心的坐标．解：(1)证明：|AB |2＝(0－6)2＋(－7－1)2＝100， |BC |2＝(－2－0)2＋(－3＋7)2＝20， |AC |2＝(－2－6)2＋(－3－1)2＝80， 因为|AB |2＝|BC |2＋|AC |2，所以△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°.(2)因为△ABC 为直角三角形，所以其外心是斜边AB 的中点，所以外心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋02，1－72，即(3，－3)．层级二 应试能力达标1．已知△ABC 的两个顶点A (3,7)，B (－2,5)，若AC ，BC 的中点都在坐标轴上，则C 点的坐标是 ( )A ．(－3，－7)B ．(－3，－7)或(2，－5)C ．(3，－5)D ．(2，－7)或(－3，－5)解析：选D 设C (x ，y )，显然AC ，BC 的中点不同在一条坐标轴上．若AC 的中点在x 轴上，BC 中点在y 轴上，则有y ＋7＝0，－2＋x ＝0，即C (2，－7)；若AC 中点在y 轴上，BC 中点在x 轴上，则有3＋x ＝0,5＋y ＝0，即C (－3，－5)．2．光线从点A (－3,5)射到x 轴上，经反射以后经过点B (2,10), 则从A 到B 的光线的距离为( )A ．5 2B ．2 5C ．510D ．10 5解析：选C 点B (2,10)关于x 轴的对称点为B ′(2，－10)，由光线的对称性可知，从A 到B 的光线的距离就是线段AB ′的长度，∴|AB ′|＝[2－(－3)]2＋(－10－5)2＝510.3．已知直线上两点A (a ，b )，B (c ，d )，且a 2＋b 2－c 2＋d 2＝0，则 ( )A ．原点一定是线段AB 的中点 B ．A ，B 一定都与原点重合C ．原点一定在线段AB 上，但不是线段AB 的中点D ．原点一定在线段AB 的垂直平分线上 解析：选D 由a 2＋b 2－c 2＋d 2＝0得a 2＋b 2＝c 2＋d 2，即A ，B 两点到坐标原点的距离相等，故选D.4．已知点A (2,0)，B (4,2)，若|AB |＝2|AC |，则C 点坐标为( )A ．(－1,1)B ．(－1,1)或(5，－1)C ．(－1,1)或(1,3)D ．无数多个解析：选D 设C (x ，y )，由|AB |＝2|AC | 得(2－4)2＋(0－2)2＝4(2－x )2＋4y 2， 即(x －2)2＋y 2＝2，∴存在无数多个C 点．5．等腰三角形ABC 的顶点是A (3,0)，底边长|BC |＝4，BC 边的中点是D (5,4)，则此三角形的腰长为________．解析：|BD |＝12|BC |＝2，|AD |＝(5－3)2＋(4－0)2＝2 5.在Rt △ADB 中， 由勾股定理得腰长|AB |＝ 22＋(25)2＝2 6.答案：2 66．已知点 A (5,2a －1)，B (a ＋1，a －4)，则当|AB |取得最小值时，实数a 等于________．解析：|AB |2＝(5－a －1)2＋(2a －1－a ＋4)2＝2a 2－2a ＋25＝2⎝⎛⎭⎫a －122＋492，所以当a ＝12时，|AB |取得最小值． 答案：127．已知四边形ABCD 的顶点A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，求CE ，DE ，AF ，DF 的长度．解：设线段AB 的中点E 的坐标为(x ，y )， 则x ＝－4＋22＝－1，y ＝3＋52＝4，则d (E ，C )＝(－1－6)2＋(4－3)2＝52，d (E ，D )＝[－1－(－3)]2＋(4－0)2＝25，即CE ，DE 的长度分别为52，2 5. 设线段BC 的中点F 的坐标为(m ，n )， 则m ＝2＋62＝4，n ＝5＋32＝4，则d (F ，A )＝[4－(－4)]2＋(4－3)2＝65，d (F ，D )＝[4－(－3)]2＋(4－0)2＝65，即AF ，DF 的长度都为65.8．已知：以点A (－3，y )与点B (x,2)为端点的线段的中点C 在x 轴上，O 为原点，(1)若|OC |＝1，求点C 的坐标；(2)当|AC |取最小值时，求点A 关于点C 的对称点坐标．解：由中点公式，点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，y ＋22，由于点C 在x 轴上，所以y ＝－2，即A (－3, －2)． (1)∵|OC |＝1，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －32＝1，解得x ＝5或1，即点C 的坐标为(－1,0)或(1,0)．(2)∵|AC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＋32＋(0＋2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋4， ∴当x ＝－3时，|AC |有最小值2，2017-2018学年高中数学（人教B版）必修二名师讲义：第二章2.1 平面直角坐标系中的基本公式∴C(－3,0)．∴点A关于点C的对称点坐标为(－3,2)．21 / 21。
2018学年高中数学人教B版必修2课件：2.1.1 数轴上的基
向量坐标 运算法则
对数轴上任意三点 A、B、C，都具有关系
AC＝AB＋BC .
向量坐标表示及 已知数轴上两点 A(x1)，B(x2)， 距离公式 则 AB＝ x2－x1 ，d(A，B)＝ |x2－x1| .
在数轴上，运用两点距离的概念和计算公式，解下列方程： (1)|x＋3|＋|x－1|＝5； (2)|x＋3|＋|x－1|＝4.
阶 段 1
阶 段 3
2.1
阶 段 2
平面直角坐标系中的基本公式 数轴上的基本公式
学 业 分 层 测 评
2.1.1
1．理解实数与数轴上的点的一一对应关系及实数运算在数轴上的几何意 义． 2．理解向量及其相等的概念．(易混点) 3．掌握数轴上向量加法的坐标运算及数轴上两点间的距离公式．(重点、难 点)
[ 基础· 初探] 教材整理 1 数轴及向量概念
阅读教材 P65～P66 内容，完成下列问题． 1．一条给出了 原点 、 2．向量的概念 (1)向量 位移是一个既有 大小 又有 方向 的量， 通常叫做位移向量， 简称为向量．
度量
和 正方向
的直线．
(2)相等向量 数轴上 同向 且 等长 的向量． (3)向量的坐标 用 实数 表示ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ轴上的一个向量，这个实数叫做向量的坐标或数量．
[ 再练一题] → 是数轴上的一个向量，O 为原点，则下列各式中不成立 2．如图 211，AB 的是( )
图 211 →| A．OA＝|OA C．AB＝OB－OA →| B．OB＝|OB D．BA＝OA－OB
【解析】 由于点 A 在原点的右侧，点 B 在原点的左侧，可知点 A 表示的 数 x1 比点 B 表示的数 x2 大，即 OA＝x1>0，OB＝x2<0， → |＝|x |＝x ，OB＝x ≠|OB → |＝|x |＝－x ， 所以 OA＝|OA 1 1 2 2 2 AB＝x2－x1＝OB－OA，BA＝x1－x2＝OA－OB. 故 B 不成立．
原创1：2.1.1 数轴上的基本公式（问题导学式）
解析 (1) ∵AC＝AB＋BC，∴AC＝AB－CB＝5－3＝2.
(2)证明 设数轴上A、B、C三点的坐标分别为xA、xB、xC，则 AC＋CB＝(xC－xA)＋(xB－xC)＝xB－xA＝AB. ∴AC＋CB＝AB.
规律总结
1.数轴上的点与实数之间是一一对应的关系，所以点的坐标的大 小决定彼此的相互位置，显然右边的点的坐标要大于左边的点的 坐标． 2．对向量的坐标及长度的概念要准确理解，向量坐标公式AB＝ x2－x1 ．
课堂练习
1．A、B是数轴上两点，B点的坐标xB＝－6，且BA＝－4，那么点A的 坐标为( A )
探究点3 位移的和
5．位移的和 在数轴上，如果点A作一次位移到点B，接着由点B再作一次位移 到 点 C ， 则 位 移 AC 叫 做 位 移 AB 与 位 移 BC 的 和 ， 记 作 ： AC = AB+BC． 由数轴上向量坐标的定义和有理数的运算法则，容易归纳出，对 数轴上任意三点A，B，C，都具有关系： AC＝AB+BC ．
典例精讲
例3: (1)若点P(x)位于点M(－2)、N(3)之间，求x的取值范围； (2)试确定点A(a)、B(b)的位置关系．
解析 (1)由题意可知，点M(－2)位于点N(3)的左侧，且点 P(x)位于点M(－2)、N(3)之间，∴－2<x<3.
(2)确定两点的位置关系，需要讨论实数a、b的大小关 系：当a>b时，点A(a)位于点B(b)的右侧；当a<b时，点A(a) 位于点B(b)的左侧；当a＝b时，点A(a)与点B(b)重合．
A．－10
B．－2
人教B版高中数学必修二2.1.1《数轴上的基本公式》ppt课件
课堂典例讲练
•数轴上的点与实数间的关系
•
(1)若点P(x)位于点M(－2)、N(3)之间，
求x的取值范围；
• (2)试确定点A(a)、B(b)的位置关系．
• [解析] 设B(x)，则|x－2|＝5，
• ∴x＝7或－3.
• 4．已知点N的坐标为2，|MN|＝1，则点M的坐标为
________．
• [答案] 1或3
• [解析] 设M点坐标为x，∵|MN|＝|2－x|＝1，∴x＝
1或3.
• 5．已知数轴上一点P(x)，它到点A(－8)的距离是它 到点B(－4)的距离的2倍，则x＝________.
• 通过一次函数与图象的关系建立直线方程的概念， 并通过直线方程讨论直线的有关问题，让学生初步 领略解析几何的基本思想；
• 在具体认识直线方程的基础上，再研究圆的方程， 用坐标研究直线与圆和圆与圆的位置关系，强化解 析几何的思想；
• 最后，教材编写了空间直角坐标系，探索空间中的 点的坐标，给出了空间直角坐标系中的两点间的距 离公式．
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/10
最新中小学教学课件
29
谢谢欣赏！
• A．－10 B．－2
• C．－10或－2 D．10
2020年高中数学2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式课件新人教B版必修2
【解】 (1)证明：设数轴上的任意三点 A，B，C 的坐标是 xA，xB，xC，
由于 AC＝xC－xA，CB＝xB－xC，AB＝xB－xA， ∴AC＋CB＝xC－xA＋xB－xC＝xB－xA＝AB. (2)∵CB＝3，∴BC＝－3， 又 AC＝AB＋BC＝5－3＝2， ∴AC＝2.
(3)A，B，C 是数轴上的任意三点，讨论点 C 与点 A，B 的 位置关系：
【知识点拨】 根据数轴上点与实数的对应关系，数轴上 的点自左到右对应的实数依次增大．
下列说法：①向量A→B的数量有正、负之
分，其大小为终点坐标减起点坐标；②数轴上 A，B 两点间的距
离 d(A，B)＝|AB|；③起点和终点重合的向量是零向量，它的方
向是任意的，它的坐标是 0；④在数轴上点 A(a)位于点 B(b)的左
当 C 在点 A，B 之间时，有|AC|＋|CB|＝|AB|， 所以|AC|＝|AB|－|CB|＝5－3＝2， 当 C 在点 A，B 之外时，由于|CB|＝3<|AB|＝5， 点 C 只能在 AB 的延长线上， 从而有|AC|＝|AB|＋|CB|＝5＋3＝8， 综上可知，|AC|＝2 或|AC|＝8.
2．数轴上的基本公式 (1)向量A→C，A→B，B→C的关系 _A→_C__＝A→B＋B→C. (2)向量坐标 AC，AB，BC 之间的关系 AC＝_A_B_＋__B__C_. (3)已知 A(x1)，B(x2)，则 AB＝__x_2_－__x_1 _____. (4)数轴上 A(x1)，B(x2)两点之间的距离公式 d(A，B)＝_|_A_B_|____＝__|_x_2－__x_1_| .
典例精析 规律总结
类型 1 数轴上的点的坐标
(1)如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两个点 相距 1 个单位，点 A，B，C，D 对应的数分别是整数 a，b，c， d，且 d－2a＝10，那么数轴的原点应是( )
新高中人教B版数学必修二同步练习：2.1.1_数轴上的基本公式(含答案)
第二章平面分析几何初步§2.1平面直角坐标系中的基本公式数轴上的基本公式课时目标之间的关系．1．理解数轴上的向量和相等的向量的含义，2．探究并掌握数轴上两点间距离公式．理解向量的长度和向量的坐标1．假如数轴上的随意一点 A 沿着轴的正向或负向挪动到另一点B，则说点在轴上作了一次位移，点不动则说点作了__________ ．位移是一个既有________又有 ________的量，通常叫做 ______________，本书柬称为________．2．数轴上 ________且 ________的向量叫做相等的向量．→→→的3．在数轴上向量 AB 的长度连同表示方向的符号称作向量AB 的坐标或数目，向量AB 坐标用 ________表示．4．起点和终点重合的向量是 __________ ，它没有确立的方向，它的坐标为______．→ → →→→ →5．对数轴上随意三点 A 、B、C，三向量 AC 、AB 、BC 之间关系为 AC ＝ AB ＋BC，它们的坐标之间关系为____________________________________________________________ ．→6．设 AB 是数轴上的随意一个向量，点 A 的坐标为x1，点 B 的坐标为x2，则 AB ＝__________ ；数轴上两点 A 、 B 的距离公式是________________ ．一、选择题1．以下说法中，正确的选项是()A．向量不可以比较大小，所以向量无大小B．零向量是没有方向的C．向量的长度也是向量的数目D．若 AB ＝4，则 BA ＝－ 42．以下说法正确的选项是()A．两点确立一条有向线段→B．有向线段 AB 的数目 AB ＝－ |BA|C．若 A ， B ，C 是数轴上的随意三点，则必定有AB ＝AC ＋CBD．点 A(2) ，B( － 1)，则 AB ＝ 33．如下图，数轴上标出若干个点，每相邻两个点相距 1 个单位，点 A 、B、 C、D 对应的数分别是整数a， b， c，d，且 d－2a＝ 10，那么数轴的原点应是()A． A点B．B 点C．C 点D． D点4．若点A、B、C、D在一条直线上，BA ＝ 6， BC＝－ 2， CD＝ 6，则AD等于 () A． 0B．－ 2C． 10D．－ 105．A 、 B 为数轴上的两点， A 点的坐标是－ 1， AB ＝ 6，那么点 B 的坐标为 ()A．5B．－7C．5 或－7D．－5 或 76．三个不相等的实数a，b， c 在数轴上分别对应点 A ， B， C，假如 |a－ b|＋ |b－ c|＝ |a － c|，则点B在点()A．A，C的右边B．A，C的左侧C．A ，C之间D． A或C 上二、填空题7．已知数轴上两点A(a) ，B(5 ．5) ，而且d(A ，B) ＝ 7．5，则a＝________；若 AB ＝ 7．5，则 a＝ ________．8．以下各组点中，点 B 在点 A 右边的是 ________．①A( － 1)和 B( －4) ；② A(a) 和 B(a＋ 1)；③ A(a) 和 B(3a) ；④ A( － 2)和 B(0) ；⑤ A(a) 和 B(b)( 此中 a<b)；⑥ A(2x) 和 B(x 2) (x ≠．0)9．数轴上一点 P(x) ，它到点 A( － 8) 的距离是它到点B( － 4) 距离的 2 倍，则x ＝__________ ．三、解答题10．已知数轴上的两个点A(a) 、 B(5) ，当 a 为什么值时：(1)两点间的距离等于5；(2)两点间的距离大于5；(3)两点间的距离小于3．11．依据以下条件，在数轴上分别画出点P(x)．(1)|x|<2； (2)|x|>2 ； (3)|x|＝ 2；(4)|x－ 1|>2； (5)|x＋ 1|>2．能力提高12．已知数轴上点 A 的坐标 x A． x＝－ 3 或 x＝ 1C．－ 1≤ x≤ 313．电子跳蚤落在数轴上的某点知足 |x＋3|＋ |x－ 1|＝ 4，则 x 的取值为 (B ． x≥1或 x≤－ 3D ．－ 3≤ x≤1k0，第一步从k0向左跳 1 个单位抵达)k1，第二步由k1向右跳 2 个单位抵达 k2，第三步从k2向左跳 3 个单位抵达k3，第四步由k3向右跳 4 个单位抵达 k4，按以上规律跳了 100 步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100所表示的数恰为19．94，试求电子跳蚤的初始地点k0点所表示的数．1．相等的向量的起点与终点其实不必定一致，能够经过平移将全部相等的向量视作同一个向量．因数轴上每一个向量的坐标为一个实数，假如把相等的全部向量看作一个整体，作为同一个向量，则实数与数轴上的向量之间是一一对应的．2．重要结论：①关于数轴上随意三点 A ，B ， C 都有 AC ＝AB ＋ BC；② AB ＝－ BA 或AB ＋BA ＝0．3．向量与数目的差别与联系向量是不一样于数目的一种新的量．数目只有大小，没有方向，其大小能够用正数、负数或零来表示，它是一个代数目，能够进行各样代数运算；数目之间能够比较大小．向量是既有大小，又有方向的量；因为方向不可以比较大小，所以“大于”“小于”对向量来说是没存心义的．第二章平面分析几何初步§2． 1平面直角坐标系中的基本公式2．1． 1数轴上的基本公式答案知识梳理1．零位移大小方向位移向量向量2．同向等长3．AB4．零向量05．AC ＝ AB ＋ BC6． x2－x1d(A ， B) ＝ |AB| ＝ |x2－ x1|作业设计1．D [ 由向量的观点可知， A ， B 均不正确， C 不正确．应选D． ]2． C3．B [ 用清除法，如原点为 A ，则 a＝ 0， d＝ 7， d－2a＝ 7≠ 10，清除 A ，相同的方法，清除 C、D；当 B 为原点时， a＝－ 3，d＝4， d－2a＝ 4－ 2×(－3) ＝10，知足条件，应选B．] 4． B 5．A6． C [ ①若点 B 在 A ，C 右边，则 b>a，b>c，则有 |a－ b|＋ |b－ c|＝ b－ a＋ b－ c＝ 2b－(a＋c)，不必定等于 |a－ c|；②若点 B 在 A ， C 左侧，则 b<a， b<c 所以 |a－ b|＋ |b－ c|＝a－ b ＋ c－ b ＝ (a＋ c)－ 2b 也不必定与 |a－ c|相等；③若点 B 在点 A ，C 之间，则 a<b<c 或 c<b<a，则有 |a－ b|＋|b－ c|＝ |a－ b＋ b－ c|＝|a－ c|；④∵ a，b，c 不相等，故点 B 不行能在点 A，C 上．] 7．－ 2 或 13－28．②④⑤169．0 或－310．解数轴上两点 A 、 B 之间的距离为|AB| ＝ |a－5|．(1)依据题意 |a－ 5|＝ 5，解得 a＝ 0 或 a＝ 10．(2)依据题意 |a－ 5|>5，即 a－ 5>5 或 a－ 5<－ 5，∴a>10 或 a<0．(3)依据题意 |a－ 5|<3，即－ 3<a－ 5<3，∴ 2<a<8．11．解(1)|x|<2表示与原点距离小于 2 的点．(2)|x|>2表示与原点距离大于 2 的点．(3)|x|＝ 2 表示两个点A( － 2)， B(2) ．(4)|x－ 1|>2 表示与点P(1)的距离大于 2的点．(5)|x＋ 1|>2 表示与点P(－ 1)的距离大于 2 的点．12．D13．解设k0表示数轴上的数为x，则 k1，k2，k3，，k100表示的有理数分别为x－ 1，x－ 1＋ 2， x－ 1＋ 2－ 3，， x－ 1＋2－ 3＋ 4－－ 99＋ 100，由题意得x－ 1＋2－ 3＋ 4－－99＋ 100＝ 19．94，即 x＋(－ 1＋ 2)＋ (－ 3＋4)＋＋ (－ 99＋100)＝ 19．94，即 x＋ 50＝ 19．94，∴ x＝－ 30． 06，∴ k0表示的数为－ 30． 06．。
2019版高中数学人教B版必修二课件：2.1.1数轴上的基本公式
平面解WUiW歩2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1 数轴上的基本公式［学习目标］1 •通过对数轴的复习，理解实数和数轴上点的对应关系，理解数轴上的向量和相等的向量的含义理解向量的长度和向量的坐标之间的关系.2•探索并掌握数轴上两点间距离公式.［预习导引］1.数轴上点的坐标⑴定义:一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系.(2)在数轴上,根据点F与实数x的对应法则，在实数集和数轴上的点集之间建立了一一对应关系,如果点P与实数%对应，则称点F的坐标为-记作P&).2.向量(1)定义:如果数轴上的任意一点A沿着轴的正向或负向移动到另一点5则说点在轴上作了一次位移，点不动则说点作了零位移，位移是一个既有大小又有方向的量通常叫做位移向量.本书简称向量.⑵向量的长度：从点A到点B的向量记作A ,点A叫做向量乔的」点B叫做向量乔的L线段AB的长叫做向量乔的噩记作唾L(3)相等向量：数轴上同向且李长的向暈叫做相等向量.(4)向量的坐标:在数轴上向量乔的长度连同表示方向的符号称作向量乔的坐标或数量，向量乔的坐标用表示.(5)起点和终点重合的向量是零叵量，它没有确定的方向，它的坐标为_0_,其长度为零.⑹位移的和：在数轴上，如果点4作一次位移到点5接着由点B再作一次位移到点C,则位移花叫做位移旋与位移岚的和记作花二旋+眩.由于向量可用数量表示，因此，位移的和可简单地由数量和3 •数轴上的基本公式(1)数轴上任意三点间的关系对于数轴上任意三点C,都具有关系4C = AB + BC.(2)数轴上两点的距离①数轴上任一向量的坐标要点一数轴上的点与实数的关系例1⑴若点弘)位于点M(・2),M3)之间，求%的取值范围；解由题意可知，点M(・2)位于点N(3)的左侧，且点P(x)位于点M( - 2),N(3)之间，所以-2 < % < 3.⑵试确定点A⑷、B(b)的位系.解确定两点的位置关系，需要讨论实数仍的大小关系；当Q > b时，点A@)位于点B(b)的右侧；当d < b时，点A@)位于点B(b)的左侧；当Q = b时，点4@)与点B(b)重合.规律方法数轴上的点与实数之间是一一对应的关系，所以点的坐标的大小决定彼此的相互位置,显然右边的点的坐标要大于左边的点的坐标.跟踪演练1下列各组点中，点M位于点7咗侧的是（C ）A.M( - 2),N( - 3) B.M(2),N( - 3)C.M(0),N(6)D.M(O),N( - 6)解析A中，・2八3,点M(- 2)位于点N( - 3)右侧；B中,2 > - 3,点M(2)位于点N(・3)的右侧；C中,0V6,点M(0)位于点N(6)的左侧；D中,0 >・6,点M(0)位于点N(・6)的右侧.要点二数轴上向量的坐标运算例2已知有理数。
(教师用书)高中数学 2.1.1 数轴上的基本公式课件 新人教B版必修2
3．情感、态度与价值观 (1)学会观察发现、类比、猜想和实验探索，培养创新能 力和动手能力. (2)培养树立辩证统一的观点，形成严谨的科学态度和求 简的数学精神．
●重点、难点 重点：数轴上的基本公式． 难点：向量的坐标或数量． 难点突破：建立向量和实数的对应．
本着新课程标准，在充分理解教材基础上，本节课是学 习本章的基础，理解数轴的有关概念，由点的位置能写出坐 标，会根据坐标描出相应的点是教学的重点．在数轴上的点 坐标中隐含了一一对应的函数思想， 学生理解有一定难度． 因 此，理解数轴上的点与有序实数对之间的一一对应关系以及 坐标轴上点的坐标特征是本节课的教学难点．
2．1
平面直角坐标系中的基本公式 2．1.1 数轴上的基本公式
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)理解实数与数轴上点的一一对应关系及实数运算在数 轴上的几何意义． (2)理解向量及其相等的概念，掌握数轴上向量加法的坐 标运算及数轴上两点间的距离公式．
2．过程与方法 (1)通过对初中所学的数轴知识的复习，明确数轴上的一 点所表示的实数就是这点在数轴上的坐标，并借此引入向量 的概念．培养学生观察、探索的能力，运用数学语言表达的 能力，数学交流与评价的能力. (2)通过直观分析、 计算验证引入基本公式 AC＝AB＋BC， 这个公式是解析几何的基本公式，务必理解并掌握．
【答案】 C
向量的相关概念辨析
已知 AB＝3， CD＝－2， 则下列说法不正确的是 ( → >CD → A. AB B．|AB|>|CD| → C．AB＝3 表示数轴上的向量 AB的坐标为 3 ，CD＝－2 → 的坐标为－2 表示数轴上的向量CD )
→ D．AB＝3 表示数轴上的向量AB的方向与数轴的方向相 → 同； CD＝－2 表示数轴上的向量CD的方向与数轴的方向相反
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BC AC ，其数量 AB BC AC 通过按钮“计算结果”可以看到，
但是你应该首先自己计算在与结果对照。 “还原” 按钮可以使画面还原，以便重新任意选定三点的位置。
Ú Ê Ô ý Ö á É Ï Í Ï ¶ ¯ A¢ ¡ B¢ ¡ Cµ ã £ ¬ ¹ Û ² ì Î Þ Â Û È ý µ ã Ï à ¶ Ô Î » Ö Ã È ç º Î £ ¬ ¶ ¼ Ó Ð £ º ò Á Ï ¿ Æ Ê ý Á ¿ A人教 B 版 数学 必修 2：数轴上的基本公式 AB+BC=AC
[适用章节] 数学② ②中 2.1.1 数轴上的基本公式。 [使用目的] 使学生通过自操作理解在数轴上向量 AB 与向量 BC 的和一定是向量 AC， 认识到这与 A、 B、C 三点在轴上的位置无关。 [操作说明] 初始界面如图 2201-1。
B
x A = 7.37
¯ AB ¶ ¯ BC ¶ ¯ AC ¶
C
A
x C = 1.68
þ ² Ò Ø ¼ Æ Ë ã ¹ Ô »
x B = -4.10
¬ Ð Á ø ¶ ¯ Æ Ë ¼ ã ½ á ¹ û
图 2201-1 按钮“动 AB” 、 “动 BC” 、 “动 AC”可以分别用粗箭头显示三个向量， “连续动”则直观 表达 AB