人教B版新课标高中数学必修一教案《基本不等式》
2020年人教版新高一数学教学设计 基本不等式
教学设计封面题目：人教版必修一第一册第二章2.2基本不等式教学设计学段：2020年新高一数学基本不等式教学设计一、教材分析不等关系和相等关系一样，都是数学中最基本的数量关系，而实际问题中常常需要利用不等关系构造出不等式，进而解决实际问题。
这其中有一类重要的不等式——基本不等式。
新教材中，基本不等式排在必修一“第二章一元二次函数、方程和不等式”的第二节，在第一节“2.1等式性质与不等式性质”之后。
这充分体现了基本不等式在中学数学体系中的重要性和基础性，同时也为学生在高中阶段解决数学内外的相关问题提供了工具上的准备。
此外，掌握好基本不等式也为后续的函数最值、值域问题和选修内容里不等式的相关内容等内容作铺垫，为后续的进一步学习提供了一个良好的开端和奠基。
二、学情分析基本不等式在老教材里是必修五里面的内容，要到高一下学期或高二上学期才会学习，现在在新教材中排到必修一第二章，所以对新高一的学生来说难度略高。
再加上疫情期间的网课中，多数学生的学习效果不很理想，这就注定接受起基本不等式来会有难度，所以在教学中应该降低切入点，减少偏难怪题的出现，辅之以一些简单、常见的知识及例题、习题等来加深对基本不等式的理解和掌握。
三、教学目标1、探究、理解不等式的证明过程。
(),02a b a b+≤>，并能初步应用基本不等式求最值和证明简单的不等式。
3、结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值和最小值问题。
四、教学重难点1、教学重点基本不等式的定义、证明方法和几何解释，用基本不等式解决简单的最值问题。
2、教学难点基本不等式的几何解释，用基本不等式解决简单的最值问题。
五、教学方法启发、引导、小组合作与讨论、讲授结合。
六、教学过程设计（一）引入导入语：在初中我们知道，乘法公式在代数式运算中有重要的作用，那么在解决不等式的问题中是否也有类似作用的“公式”呢？下面就由我们前面刚学习的重要不等式来推导出今天学习的重点——基本不等式。
基本不等式教案
基本不等式教案
教案：基本不等式
一、教学目标：
1. 理解不等式的概念和意义；
2. 掌握不等式的表示方法；
3. 能够解决基本不等式的求解问题。
二、教学重点：
1. 理解不等式的概念和意义；
2. 掌握不等式的表示方法。
三、教学难点：
能够解决基本不等式的求解问题。
四、教学步骤：
1. 导入新知识：
与学生进行一段对话，了解学生对不等式的认识程度，并引出本节课的主题。
2. 概念解释：
通过例子及图示，简单明了地向学生解释什么是不等式，以及不等式的表示方法，如“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”等。
3. 基本不等式的求解方法：
介绍几个基本不等式的求解方法，并通过具体的例子进行讲解，如将不等式转化为方程、利用数轴图解法等。
4. 练习与巩固：
通过对一些简单的不等式进行练习，让学生逐步掌握基本不等式的求
解方法，并在解题过程中注意注意解题步骤和思路。
5. 拓展应用：
给学生一些有挑战性的不等式问题，让他们进一步巩固和应用所学的
求解方法，并在解答过程中培养他们的综合运用能力和创新思维。
6. 归纳总结：
对本节课的内容进行归纳总结，梳理基本不等式的求解方法，并强调
解题时的注意事项。
7. 课堂作业：
布置一些不等式的练习题，让学生独立完成并交作业。
五、教学资源：
教学课件、练习题。
六、教学评估：
通过课堂练习及作业的完成情况，评估学生对基本不等式的掌握情况。
七、教学反思：
根据学生的学习情况及问题反馈，及时调整教学策略，提高教学效果。
人教版高中数学新教材必修第一册2.2基本不等式1公开课教案(优秀教案,表格式)
数学公开课教案科目授课班级授课时间授课地点讲课人数学课题§2.2基本不等式（第一课时）教学目标1.知识目标：掌握基本不等式及会应用基本不等式求最值2.知识与技能：体会基本不等式应用的条件：一正，二定，三相等；体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程。
3.情感态度价值观：通过解题后的反思逐步培养学生养成解题反思的习惯教学重点基本不等式在解决最值问题中的应用教学难点基本不等式在解决最值问题中的变形应用及等号成立的条件教法启发式、探究式学法合作探究课前准备多媒体教学过程主要内容及教师活动设计意图一.复习引入回顾重要不等式：如果Rba∈,，则abba222≥+（当且仅当ba=时，取“=”号）如果0,0a b>>,我们用,a b分别代替,a b,可得什么不等关系?巩固知识，导入新课二.新课讲解1.用分析法证明abba≥+2,0,0a b>>2.如果a,b都是正数，那么2baab+≤，当且仅当a=b时，等号成立。
我们称此不等式为均值不等式。
其中2ba+称为a,b的算术平均数，ab称为a,b的几何平均数。
文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数3.探究：如图所示,AB是圆的直径,点C是AB上一点,AC=a,BC=b,过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.你能根据图形对基本不等式作出几何解释吗?几何解释：圆的弦长的一半小于或等于圆的半径长，当且仅当弦过圆心时，二者相等学习新的知识点。
人教B版新课标高中数学必修一教案 《基本不等式》
《基本不等式2a b ab +≤（第1课时）》教学设计“基本不等式” 是必修5的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用．利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛．同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质．1．学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．通过实例探究抽象基本不等式；3．通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣．【教学重点】2a bab +≤的证明过程； 【教学难点】 a bab +≤等号成立条件 1．课题导入 2a bab +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系．【设计意图】由北京召开的第24界国际数学家大会的会标引出新课，使数学贴近实际，来源于生活．◆ 教学过程◆ 教学重难点◆◆ 教学目标◆ 教材分析2．讲授新课1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边长为a ，b 那么正方形的边长为22a b +．这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥．当直角三角形变为等腰直角三角形，即a =b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=．2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+4．（1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2a bab +≤特别的，如果a >0，b >0，我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥，通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a bab +≤ （2）从不等式的性质推导基本不等式2a bab +≤用分析法证明：要证2a bab +≥ （1） 只要证 a +b ≥ （2） 要证（2），只要证 a +b - ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2（4） 显然，（4）是成立的．当且仅当a =b 时，（4）中的等号成立． （3）理解基本不等式2a bab +≤的几何意义 探究：在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC =a ，BC =b ．过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD ．你能利用这个图形得出基本不等式2a bab +≤的几何解释吗？易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2＝ＣA ·ＣB 即ＣD ＝ab ． 这个圆的半径为2b a +，显然，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立．因此：基本不等式2a bab +≤几何意义是“半径不小于半弦” 评述：1．如果把2ba +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．2. 在数学中，我们称2ba +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数．本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．【设计意图】老师引导，学生自主探究得到结论并证明，锻炼了学生的自主研究能力和研究问题的逻辑分析能力．[补充例题]例1 已知x 、y 都是正数，求证： （1）yxx y +≥2； （2）（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3． 分析：在运用定理：ab ba ≥+2时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质（把握好每条性质成立的条件），进行变形．解：∵x ，y 都是正数 ∴y x ＞0，xy＞0，x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0 （1）xyy x x y y x ⋅≥+2＝2即x y y x +≥2．（2）x ＋y ≥2xy ＞0 x 2＋y 2≥222y x ＞0 x 3＋y 3≥233yx＞0∴（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥2xy ·222y x ·233y x ＝８x 3y 3 即（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3． 【设计意图】例题讲解，学以致用． 3．随堂练习1．已知a 、b 、c 都是正数，求证 （a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc 分析：对于此类题目，选择定理：ab ba ≥+2（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果．解：∵a ，b ，c 都是正数 ∴a ＋b ≥2ab ＞0 b ＋c ≥2bc ＞0 c ＋a ≥2ac ＞0∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2ab ·2bc ·2ac ＝８abc 即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc ． 【设计意图】讲练结合，熟悉新知． 4．课时小结本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（2ba +），几何平均数（ab ）及它们的关系（2ba +≥ab ）．它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数．它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具（下一节我们将学习它们的应用）．我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab ≤222b a +，ab ≤（2b a +）2【设计意图】课时小结，内化知识．本次课通过实例探究抽象基本不等式；由北京召开的第24界国际数学家大会的会标情境引入，贴近生活，贴近数学，能让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣．《基本不等式2a bab +≤（第2课时）》教学设计“基本不等式” 是必修5的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用．利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛．同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质．1．2a bab +≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题2．2a bab +≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值．3．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．教学重点2a bab +≤的应用 教学难点a bab +≤求最大值、最小值． 1．课题导入◆ 教学过程◆ 教学重难点 ◆◆ 教学目标◆ 教材分析1．重要不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 2．基本不等式：如果a ，b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 我们称b a ba ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数 ab b a ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数．【设计意图】复习引入． 2．讲授新课例1（1）用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短．最短的篱笆是多少？（2）段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?解：（1）设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则xy =100，篱笆的长为2（x +y ） m ．由2x yxy +≥ 可得 2100x y +≥ 2()40x y +≥．等号当且仅当x =y 时成立，此时x =y =10． 因此，这个矩形的长、宽都为10m 时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m ． （2）解法一：设矩形菜园的宽为x m ，则长为（36－2x ）m ，其中0＜x ＜21，其面积S ＝x （36－2x ）＝21·2x （36－2x ）≤2122236236()28x x +-=当且仅当2x ＝36－2x ，即x ＝9时菜园面积最大，即菜园长9m ，宽为9 m 时菜园面积最大为81 m 2解法二：设矩形菜园的长为x m ．，宽为y m ，则2（x +y ）=36， x +y =18，矩形菜园的面积为xy m 2．由18922x y+≤==，可得81xy≤当且仅当x=y，即x=y=9时，等号成立．因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m2归纳：1．两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤42M，等号当且仅当a＝b时成立．2．两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2P，等号当且仅当a＝b时成立．例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理．解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得)1600(720240000xxl++=29760040272024000016002720240000=⨯⨯+=⋅⨯+≥xx当.2976000,40,1600有最小值时即lxxx==因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件．归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：（1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； （2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； （3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值； （4）正确写出答案．【设计意图】 讲解例题，熟悉方法． 3．随堂练习1．已知x ≠0，当x 取什么值时，x 2＋281x的值最小?最小值是多少? 2．课本练习．【设计意图】讲练结合，巩固新知． 4．课时小结本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题．在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：（1）函数的解析式中，各项均为正数；（2）函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；（3）函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等．【设计意图】课时小结，内化知识．本次课通过两个例题的研究，2a b+≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．《基本不等式2a b +≤（第3课时）》教学设计“基本不等式” 是必修5的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用．利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛．同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质．1．2a bab +≤；会用此不等式证明不等式，会应用此不等式求某些函数的最值，能够解决一些简单的实际问题；2．2a bab +≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值．3．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．教学重点2a bab +≤，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的最值教学难点利用此不等式求函数的最大、最小值．1．课题导入1．基本不等式：如果a ，b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 22a bab +≤求最大（小）值的步骤． 【设计意图】复习引入． 2．讲授新课1）利用基本不等式证明不等式例1 已知m >0，求证24624m m+≥． [思维切入]因为m >0，所以可把24m和6m 分别看作基本不等式中的a 和b ， 直接利用基本不等式．◆ 教学过程◆ 教学重难点 ◆◆ 教学目标[证明]因为 m >0，，由基本不等式得246221224m m +≥==⨯= 当且仅当24m=6m ，即m =2时，取等号． 规律技巧总结 注意：m >0这一前提条件和246m m⨯=144为定值的前提条件． 【设计意图】例题讲解，利用基本不等式证明不等式，熟练使用基本不等式．3．随堂练习1[思维拓展1] 已知a ，b ，c ，d 都是正数，求证()()4ab cd ac bd abcd ++≥．[思维拓展2] 求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+．例2 求证：473a a +≥-． [思维切入] 由于不等式左边含有字母a ，右边无字母，直接使用基本不等式，无法约掉字母a ，而左边44(3)333a a a a +=+-+--．这样变形后，在用基本不等式即可得证．[证明]443(3)333733a a a +=+-+≥==-- 当且仅当43a -=a -3即a =5时，等号成立． 规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式．2）利用不等式求最值例3 （1） 若x >0，求9()4f x x x =+的最小值； （2）若x <0，求9()4f x x x =+的最大值．[思维切入]本题（1）x >0和94x x⨯=36两个前提条件；（2）中x <0，可以用-x >0来转化．解（1）因为 x >0 由基本不等式得9()412f x x x =+≥==，当且仅当94x x =即x =32时， 9()4f x x x=+取最小值12． （2）因为 x <0， 所以 -x >0， 由基本不等式得：99()(4)(4)()12f x x x x x -=-+=-+-≥==， 所以 ()12f x ≤． 当且仅当94x x -=-即x =-32时， 9()4f x x x =+取得最大-12．规律技巧总结 利用基本不等式求最值时，个项必须为正数，若为负数，则添负号变正． 随堂练习2[思维拓展1] 求9()45f x x x =+-（x >5）的最小值．[思维拓展2] 若x >0，y >0，且281x y+=，求xy 的最小值． 【设计意图】讲练结合，巩固新知．4．课时小结2a b +≤证明不等式和求函数的最大、最小值． 【设计意图】总结基本不等式在某些方面的运用，锻炼学生自我总结的能力．5．评价设计１．证明：22222a b a b ++≥+２．若1->x ，则x 为何值时11++x x 有最小值，最小值为几？ 【设计意图】将课堂知识延伸至课外，在巩固知识的同时，锻炼了学生的自主学习能力．本次课是一次常规的习题课，复习知识、举例运用、学生练习、课外练习，从而达到巩固知识的效果．其实这次课还是可以采用老师引导，学生分组讨论研究，得到结果，得到解题方法，从而让学生体验自主研究题目，得到结论的乐趣．。
人教B版新课标高中数学必修一 基本不等式课件
y
则篱笆的长为 x +2y= 24
矩形花园的面积为xy m2
Q x 2 y ≥ 2xy 2
24≥ 2xy 2
B
x
C
得 144≥2xy 即 xy ≤ 72
当且仅当 x=2y 时，等号成立 即x=12，y=6
因花此园，面这积个最矩大形，的最长大为面积12是m解、72宽xm为2x26ym2时y24，，
b
G
F
a 面积S=＿＿＿2＿＿b2
C ２、四个直角三角形的
A
aHE
面积和S’ =＿2＿ab
３、S与S’有什么
B
问：那么它们有相等的情况吗？
样的不等关系？ S___>__S′
课程讲解
课程讲解
D
D
a2 b2
b
G Fa
C
a
A
HE
A E(FGH)
b
C
B
B
重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
课程讲解
结论：一般地，对于任意实数a、b，总有
a 2 b2≥ 2ab
当且仅当a=b时，等号成立 适用范围： a,b∈R
文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0,b 0,我们用 a , b分别代替a,b, 可得到什么结论？
课程讲解
如果a 0,b 0,我们用 a , b分别代替a,b, 可得到什么结论？
矩形的长、宽各为多少时，花园的面 x
积最大，最大面积是多少？
B
分析：设AB=x ，BC=24－2x ，
D C
24 2x
课堂练习
变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩 形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最 大，最大面积是多少？
基本不等式教案
基本不等式（均值定理）2b a ab +≤，（>>）（教案）一、学习目标知识目标：理解均值不等式，并能运用均值不等式解决一些较为简单的问题．掌握平均值定理并能初步应用它求某些函数的最值．能力目标：培养学生探究能力以及分析问题、解决问题的能力．情感目标：通过理解平均值定理的使用条件，学生进一步认识现实世界中的量不等是普遍的，相等是局部的，对学生进行辩证唯物主义教育．通过问题的设置，培养学生善于思考、勤于动手的良好品质．二、重点：理解均值不等式．难点：均值不等式的应用． 三、学习过程： （引出新课）对任意两个正实数,数2a b+均数之间的不等关系可表述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数。
我们把这一基本不等式称之为均值定理，因此又叫均值不等式（板书课题）符号表示为：若∈ ,2a b+问题：能证明吗？（作差法）问题: 能不能用几何方法证明上面的基本不等式呢? 下面我们给出均值不等式的一个几何直观解释：令正实数、为两条线段的长,用几何作图的方法作出长度为2a b+线段,然后比较这两条线段的长。
（）作线段,使; （）以为直径作半圆 （）过点作⊥于,交半圆于 （）连接，， ，则 2a b +当≠时，>，即2a b+>当时，，即2a b+=均值不等式与不等式≥的关系如何？ 区别：的范围不同。
联系：均值不等式是≥的特例。
小组讨论：判断以下几个均值不等式的应用是否正确？若不正确，说明理由。
（） ∵1x ≥,当且仅当时等号成立，∴ 1x的最小值是.（）.解：（）求函数1x （≥）的最小值.解: ∵>,∴1x≥,∴函数的最小值是.学生小组讨论得出求最值的条件:一正二定三相等一、配凑 . 凑系数例. 当04<<x 时，求y x x =-()82的最大值。
解析：由04<<x 知，820->x ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
高中不等式的教案
高中不等式的教案高中不等式的教案（通用11篇）高中不等式的教案篇1教学目标1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题;理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式;培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。
2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→剖析归纳证明→几何解释→应用(最值的求法、实际问题的解决)的过程呈现。
启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。
3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。
教学重难点1、基本不等式成立时的三个限制条件(简称一正、二定、三相等);2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。
教学过程一、创设情景，提出问题;设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实基于此,设置如下情境: 上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。
[问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗?本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式在此基础上，引导学生认识基本不等式。
三、理解升华：1、文字语言叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
2、联想数列的知识理解基本不等式已知a,b是正数，A是a,b的等差中项，G是a,b的正的等比中项，A与G有无确定的大小关系?两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。
3、符号语言叙述：4、探究基本不等式证明方法：[问]如何证明基本不等式?(意图在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华，前面是从几何图形中的面积关系获得不等式的，下面用代数的思想，利用不等式的性质直接推导这个不等式。
基本不等式教案
基本不等式教案一、教学目标1、知识与技能目标（1）学生能够理解基本不等式的内容及其证明过程。
（2）掌握运用基本不等式求最值的方法和条件。
2、过程与方法目标（1）通过对基本不等式的探究，培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理的能力。
（2）引导学生运用基本不等式解决实际问题，提高学生的数学应用意识和能力。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生感受数学的简洁美和应用价值，激发学生学习数学的兴趣。
（2）培养学生严谨的治学态度和勇于探索的精神。
二、教学重难点1、教学重点（1）基本不等式的内容及证明。
（2）运用基本不等式求最值的方法和条件。
2、教学难点（1）基本不等式的证明。
（2）运用基本不等式求最值时条件的判断和正确应用。
三、教学方法讲授法、探究法、练习法四、教学过程（一）导入新课通过实际生活中的问题引入，比如：某工厂要建造一个面积为 100 平方米的矩形仓库，仓库的一边靠墙，墙长 16 米，问怎样建造才能使所用材料最省？（二）新课讲授1、基本不等式的推导对于任意两个正实数 a，b，有\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼），当且仅当 a ＝ b 时，等号成立。
证明：＼＼begin{align}（a b)＾2&＼geq 0\＼a^2 2ab ＋ b^2&＼geq 0\＼a^2 ＋ 2ab ＋ b^2&＼geq 4ab\＼（a ＋ b)＾2&＼geq 4ab\＼a ＋ b&＼geq 2\sqrt{ab}＼end{align}＼当且仅当\（a b ＝ 0\），即\（a ＝ b\）时，等号成立。
2、基本不等式的几何解释以直角三角形为例，直角边为 a，b，斜边为 c，那么\（c ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼）。
对于基本不等式\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼），可以看作是以 a，b 为直角边的直角三角形的斜边长大于等于以\（＼sqrt{ab}＼）为边长的正方形的对角线长。
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《基本不等式Jab色丰（第1课时）》教学设计“基本不等式” 是必修5的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用.利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛•同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质.1. 学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2. 通过实例探究抽象基本不等式；3. 通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣.♦教学重难点-------------- -- --------------- J【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式.ab 的证明过程;2 【教学难点】基本不等式■. ab -―b等号成立条件21•课题导入基本不等式，ab 乞上的几何背景：2如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系.【设计意图】由北京召开的第24界国际数学家大会的会标引出新课，使数学贴近实际，来源于生活.2 •讲授新课1 •探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为a, b那么正方形的边长为「a2b2.这样，4个直角三角形的面积的和是2ab,正方形的面积为a2 b2.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：a2 b2 2ab .当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有2 2a b 2ab.2.得到结论:般的，如果a,b R,那么a2 b2 2ab(当且仅当a b时取""号)3. 思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为a2 b2 2ab (a b)22 2当a b时,(a b) 0,当 a b时,(a b) 0, 所以，(a b)20，即(a2 b2)2ab.a b4. (1)从几何图形的面积关系认识基本不等式,ab2特别的，如果a>0, b>0，我们用分别代替a、b，可得a b 2. ab ,通常我们把上式写作：ab ^-b(a>0,b>0)2(2)从不等式的性质推导基本不等式、ab 乞上22显然，(4)是成立的.当且仅当 a=b 时，(4)中的等号成立. (3)理解基本不等式•一不 的几何意义探究:用分析法证明： 要证a b ab2只要证a+b要证(2),只要证a+b-要证(3),只要证 (-)2(1) (2)(3) ⑷2在右图中，AB 是圆的直径，点 C 是AB 上的一点，AC=a , BC=b .过点 作垂直于 AB 的弦DE ，连接 AD 、BD .你能利用这个图形得出基本不等式ab〒的几何解释吗?易证 R 让 A C D S R t △ D C B ，那么 C D 2= C A • C B 即 C D = ab .这个圆的半径为，显然，它大于或等于 CD ，即.. ab ，其中当且仅当点2 2C 与圆心重合，即a = b 时，等号成立._ a b因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”2评述：1•如果把看作是正数a 、b 的等差中项，.ab 看作是正数a 、b 的等比中2项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2.在数学中，我们称 为a 、b 的算术平均数，称.ab 为a 、b 的几何平均数.本2节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.【设计意图】老师引导，学生自主探究得到结论并证明，锻炼了学生的自主研究能力和研究问题的逻辑分析能力.［补充例题］例1 已知x 、y 都是正数，求证： (1) 1> 2;x y(2) (x + y ) (x 2 + y 2) ( x 3 + y 3)>8 x 3y 3.分析：在运用定理： 丄上 ,ab 时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质(把 2 握好每条性质成立的条件)，进行变形.解：T x , y 都是正数/• — >0, — >0, x 2>0, y 2 >0, x 3>0, y 3> 0y x/ 八 x v o i'x y 口口 x v (1)2 y = 2 即> 2.y x \ y x y x(2)x + y >2 . xy >0 x 2+ y 2>2 x y 2 >0 x 3+y 3>2 . x 3y 3•••( x+ y) (x2+ y2) (x3+ y3)> 2 xy • 2 x2y2• 2. x3y3=8 x3y3即(x+ y) (x2+ y2) (x3+ y3)>8 x3y3.【设计意图】例题讲解，学以致用.3•随堂练习1. 已知a、b、c都是正数，求证(a+ b) (b+ c) (c+ a)>8 abc分析：对于此类题目，选择定理：- ab (a>0, b>0)灵活变形，可求得结2果.解：••• a, b, c都是正数•- a+ b》2-/ab > 0b + c》2 be > 0c+ a > 2 - ac > 0■'■( a+ b) (b + c) (c+ a)》2 ■丿ab • 2、.，bc • 2 -h ac = 8 abc即(a+ b) (b + c) (c+ a)》8 abc.【设计意图】讲练结合，熟悉新知.4. 课时小结a b本节课，我们学习了重要不等式a2+ b2》2ab;两正数a、b的算术平均数( )，2几何平均数(JOb )及它们的关系(仝上》宅ab ).它们成立的条件不同，前者只要求a、2b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用) .我们还可以用它们下面的等价变形来解决2 b2问题：ab w a ----------- , ab w2【设计意图】课时小结，内化知识.本次课通过实例探究抽象基本不等式；由北京召开的第境引入，贴近24界国际数学家大会的会标情生活，贴近数学，能让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣.《基本不等式,ab 乎（第2课时）》教学设计♦教材分析L_ 」“基本不等式” 是必修5的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用.利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛•同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质.1. 进一步掌握基本不等式.ab ；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解2决一些简单的实际问题2. 通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式.Ob电上，并会用此定理求某些2函数的最大、最小值.3. 引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德.♦教学重难点♦教学重点基本不等式、.ab的应用2教学难点利用基本不等式ab以求最大值、最小值.1•课题导入1. 重要不等式:如果a,b R,那么a2 b2 2ab(当且仅当a b时取""号)2.基本不等式：如果a, b是正数，那么 $卫..ab(当且仅当a b时取""号).a b --我们称 -------- 为a b的算术平均数，称J ab为a, b的几何平均数2 ，a2 b22ab和-__b. ab成立的条件是不同的：前者只要求a, b都是实数，2而后者要求a, b都是正数.【设计意图】复习引入.2•讲授新课例1 (1)用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？(2)段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：(1)设矩形菜园的长为x m,宽为y m,贝U xy=100，篱笆的长为2 (x+y) m.由可得x y 2 100 , 2(x y) 40 .等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.(2)解法一：设矩形菜园的宽为x m,则长为(36 —2x) m,其中0v x v丄，其面积21 c " c、 1 2x 36 2x2 362S= x (36 —2x)= —• 2x (36 —2x)w —( )2 2 2 8当且仅当2x= 36 —2x,即x = 9时菜园面积最大，即菜园长9m,宽为9 m时菜园面积最大为81 m2解法二：设矩形菜园的长为x m.,宽为y m，则2 ( x+y) =36 , x+y=18，矩形菜园的面积为xy m 2.由当且仅当x=y ,即x=y=9时，等号成立.因此，这个矩形的长、宽都为9m 时，菜园的面积最大，最大面积是81m 2归纳：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若 a , b € R +，且a + b = M ,则a + b 》2、P ，等号当且仅当a = b 时成立.例2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3，深为3m ,如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低 总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化， 即建立函数关系式， 然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理.解：设水池底面一边的长度为xm ,水池的总造价为I 元，根据题意，得1600240000 720(x)x1600240000720 2 x ——240000 720 2 40297600当x 空°,即x 40时,1有最小值2976000.x因此，当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600 元评述：此题既是不等式性质在实际中的应用， 应注意数学语言的应用即函数解析式的建 立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件.归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行:x y 189，可得 xy 81M 为定值，则M ab w4，等号当且仅当a =b 时成立.2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a ,b € R +，且 ab = P , P 为定值,(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.【设计意图】讲解例题，熟悉方法.3•随堂练习811. 已知X M 0,当x取什么值时，x2+ 2的值最小？最小值是多少？x2. 课本练习.【设计意图】讲练结合，巩固新知.4. 课时小结本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题.在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1 )函数的解析式中，各项均为正数；(2 )函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.【设计意图】课时小结，内化知识.本次课通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式 '、不丄卫，并会用此定理求某2些函数的最大、最小值.引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德.《基本不等式、、不¥ (第3课时)》教学设计“基本不等式”是必修5的重点内容, 它是在系统学习了不等关系和不等式性质,握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究, 同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫， 起着承上启下的作用.利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛.同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利 好的思维品质.1.进一步掌握基本不等式 ab 皂上；会用此不等式证明不等式，会应用此不等式2求某些函数的最值，能够解决一些简单的实际问题; 2. 通过例题的研究，进一步掌握基本不等式 的最大、最小值.3. 引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际 相结合的科学态度和科学道德.♦教学重难点----------- -------------教学重点掌握基本不等式..Ob，会用此不等式证明不等式，会用此不等式求某些函数的2 最值 教学难点利用此不等式求函数的最大、最小值.1•课题导入 1. 基本不等式：如果 a , b 是正数，那么 仝上 .ab （当且仅当a b 时取""号）.22. 用基本不等式.ab求最大（小）值的步骤.2 【设计意图】复习引入. 2•讲授新课1）利用基本不等式证明不等式基本不等式.于培养学生良 ..ab 丈亠，并会用此定理求某些函数 224已知m>0，求证 6m24. ［思维切入］因为m>0 ,所以可把24 一和6m 分别看作基本不等式中的 a 和b ,直接利用［证明］因为 m>0,,由基本不等式得246m 2m J 24 6m 2j24 6 2 12 2424 当且仅当24 =m=6m ，即m=2时，取等号. 规律技巧总结 24注意: m>0这一前提条件和 —— 6m =144为定值的前提条件.m 【设计意图】例题讲解，利用基本不等式证明不等式，熟练使用基本不等式. 3•随堂练习1［思维拓展1］已知a , b , c , d 都是正数，求证(ab cd)(ac bd) 4abcd .2 2 2 2 2［思维拓展 2］求证(a 2 b 2)(c 2 d 2) (ac bd)2. 例2求证: 4 当且仅当 =a-3即a=5时，等号成立.a 3 规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.2)利用不等式求最值9例3 (1)若x>0，求f (x) 4x 的最小值； x9(2)若x<0,求f(x) 4x 的最大值.x9 ［思维切入］本题(1) x>0和4x - =36两个前提条件；(2)中x<0,可以用-x>0来转化.［思维切入］ 由于不等式左边含有字母a ，右边无字母，直接使用基本不等式，无法约 掉字母a ，而左边 a 丄(a a 3 3) 3 .这样变形后，在用基本不等式即可得证.［证明］3 a 34 厂(a 3)(a 3) 3 2.4 3 7解(1)因为x>0由基本不等式得9 j 9』— 9 3 n . f(x) 4x 2 4x 2.36 12，当 且仅当 4x 即 x= 时 x \ xx 29f (x) 4x 取最小值12. x (2)因为x<0, 所以-x>0,由基本不等式得： 所以 f (x) 12 .9 39即x=-时，f (x) 4x 取得最大-12. x 2x 规律技巧总结 利用基本不等式求最值时， 个项必须为正数，若为负数，则添负号变正.随堂练习29［思维拓展1］求f (x) 4x ( x>5)的最小值.x 5 2 8［思维拓展2］若x>0, y>0，且 1，求xy 的最小值.x y 【设计意图】讲练结合，巩固新知.4. 课时小结用基本不等式王上证明不等式和求函数的最大、最小值.2【设计意图】总结基本不等式在某些方面的运用，锻炼学生自我总结的能力.5•评价设计f(x)9 (4x -) x (4x)( -)2^( 4x)( 9) X x当且仅当 4x1.证明：a2 b2 2 2a 2b42 .若x 1，则x为何值时x ——有最小值，最小值为几？x 1【设计意图】将课堂知识延伸至课外，在巩固知识的同时，锻炼了学生的自主学习能力. ♦教学反思本次课是一次常规的习题课，复习知识、举例运用、学生练习、课外练习，从而达到巩固知识的效果.其实这次课还是可以采用老师引导，学生分组讨论研究，得到结果，得到解题方法，从而让学生体验自主研究题目，得到结论的乐趣.。