湖南省长沙市长郡中学2017_2018学年高二数学下学期期末考试试题理2018082401144
湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题 含解析
长郡中学2018-2019学年度高二第二学期期末考试数学(理科)一、选择题。
1.设集合{}{}21,2,3,3410A B x x mx ==-+=，若{}1A B ⋂=，则m =（ ）A. 1B. 12-C.12D. -1【答案】A 【解析】 【分析】由{}1A B ⋂=得1A ∈且1B ∈，把1代入二次方程求得1m =，最后对m 的值进行检验. 【详解】因为{}1A B ⋂=，所以1A ∈且1B ∈， 所以3410m -+=，解得1m =.当1m =时，1{1,}3B =，显然{}1A B ⋂=，所以1m =成立，故选A. 【点睛】本题考查集合的交运算，注意求出参数m 的值后要记得检验.2.已知函数()21y f x =-的定义域为[]0，3，则函数()y f x =的定义域为（ ）A. [2,1][1,2]--UB. []1,2C. []0,3D. []1,8-【答案】D 【解析】 【分析】函数()21y f x =-中21x -的取值范围与函数()y f x =中x 的范围一样.【详解】因为函数()21y f x =-的定义域为[]0，3，所以03x ≤≤，所以2118x -≤-≤，所以函数()y f x =的定义域为[]1,8-.选D.【点睛】求抽象函数定义域是一种常见题型，已知函数的定义域或求函数的定义域均指自变量x 的取值范围的集合，而对应关系f 所作用的数范围是一致的，即括号内数的取值范围一样.3.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若角α是第三象限角，且1sin 3α=-，则cos β=（ ）A.3B. 3-C.13D. 13-【答案】A 【解析】 【分析】由单位圆中的三角函数线可得：终边关于y 轴对称的角α与角β的正弦值相等，所以1sin 3β=-，再根据同角三角函数的基本关系，结合余弦函数在第四象限的符号，求得cos β=3.【详解】角α与角β终边关于y 轴对称，且α是第三象限角，所以β为第四象限角，因为1sin 3α=-，所以1sin 3β=-，又22sin cos 1ββ+=，解得：cos β=3，故选A. 【点睛】本题考查单位圆中三角函数线的运用、同角三角函数的基本关系，考查基本的运算求解能力.4.已知命题“x R ∀∈，使得212(1)02x a x +-+>”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A. (.1)-∞- B. (3,)-+∞C. (13)-， D. ()3.1-【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数与二次不等式的关系，可得函数的判别式∆<0，从而得到13a -<<. 【详解】由题意知，二次函数的图象恒在x 轴上方，所以21(1)4202a ∆=--⋅⋅<， 解得：13a -<<，故选C.【点睛】本题考查利用全称命题为真命题，求参数的取值范围，注意利用函数思想求解不等式.5.已知某批零件的长度误差ξ(单位:毫米)服从正态分布2(1)3N ，，从中随机取一件.其长度误差落在区间(4)7，内的概率为（ ） (附:若随机变量ξ服从正态分布N 2(,)μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+≈，(22)95.44%P μσξμσ-<<+≈)A. 4. 56%B. 13.59%C. 27. 18%D.31. 74%【答案】B 【解析】 【分析】利用3σ原则，分别求出(24),(57)P P ξξ-<<-<<的值，再利用对称性求出(47)13.59%P ξ<<=.【详解】正态分布2(1)3N ，中，1,3μσ==， 所以(24)(1313)68.26%P P ξξ-<<=-<<+≈，(57)(123123)95.44%P P ξξ-<<=-⨯<<+⨯≈，所以(57)(24)(47)13.59%2P P P ξξξ-<<--<<<<=≈，故选B.【点睛】本题考查正态分布知识，考查利用正态分布曲线的对称性求随机变量在给定区间的概率.6.定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x -=+，且当(2,0)x ∈-时，()31xf x =-，则()9f =（ ） A. 2- B. 2C. 23-D.23【答案】D 【解析】【分析】由等式()()22f x f x -=+可得函数()f x 的周期4T=，得到()9(1)f f =，再由奇函数的性质得()9(1)(1)f f f ==--，根据解析式()31xf x =-求出2(1)3f -=-，从而得到()9f 的值.【详解】因为()())()2(42f x f f x x f x -=⇒+=+，所以()f x 的周期4T =，所以()229(1)(1)()33f f f ==--=--=，故选D. 【点睛】由等式()()22f x f x -=+得函数()f x 的周期4T=，其理由是：(2)x -为函数()f x 自变量的一个取值，(2)x +为函数()f x 自变量的另一个取值，这两个自变量的差始终为4，函数值始终相等，所以函数的周期为4.7.函数()tan(2)3f x x π=-的单调递增区间为（ ）A. 5[,]()212212k k k Z ππππ-+∈ B. 5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈C. 5(,)()212212k k k Z ππππ-+∈ D. 2(,)()63k k k Z ππππ++∈ 【答案】C 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性，直接把23x π-代入tan y x =的单调递增区间，求出x 的范围即函数()f x 的单调递增区间.【详解】因为2232k x k πππππ-<-<+，解得：5,212212k k x k Z ππππ-<<+∈， 所以函数的单调递增区间为：5(,)()212212k k k Z ππππ-+∈，故选C. 【点睛】本题考查正切函数单调递增区间，注意单调区间为一个开区间，同时要注意不能错解成222232k x k πππππ-<-<+，即把正、余弦函数的周期2k π与正切函数的周期k π混淆.8.函数()cos x f x e x =⋅在()()0,0f 处切线斜率为（ ）A. 0B. 1-C. 1【答案】C 【解析】分析：首先求得函数()f x 的导函数，然后结合导函数研究函数的切线即可. 详解：由函数的解析式可得：()()()'cos sin cos sin xxxf x e x e x ex x =+⨯-=-，则()()()0'0cos0sin01101f e =-=⨯-=，即函数()xf x e cosx =⋅在()()0,0f 处切线斜率为1.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查导函数与原函数切线之间的关系，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.已知函数()sin(2)3f x x π=+，将其图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（ ） A.12πB.512π C.6π D.56π 【答案】B 【解析】 【分析】由平移变换得到()sin(22)3g x x πϕ=-+，由偶函数的性质得到sin(22)13x πϕ-+=±，从而求min 512πϕ=. 【详解】由题意得：()sin[2())]sin(22)33g x x x ππϕϕ=-+=-+，因为()g x 为偶函数，所以函数()g x 的图象关于0x =对称，所以当0x =时，函数()g x 取得最大值或最小值，所以sin(2)13πϕ-+=±，所以2,32k k Z ππϕπ-+=+∈，解得：1,22k k Z ππϕ=--∈， 因为0ϕ>，所以当1k =-时，min 512πϕ=，故选B.【点睛】平移变换、伸缩变换都是针对自变量x 而言的，所以函数()f x 向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x ，不能错误地得到()sin (2)3g x x x πϕ=+-.10.已知函数2(1),10()1x x f x x ⎧+-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，则11()f x dx -⎰=（ ） A. 3812π- B. 44π+ C. 3412π+D.3412π- 【答案】C 【解析】 【分析】由积分运算、微积分基本定理、积分的几何意义分别求出2101(1),,34x dx π-+==⎰⎰，从而求得1134()12f x dx π-+=⎰. 【详解】因为10111()()(),f x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰由微积分基本定理得：0023011111()(1)(1)|33f x dx x dx x ---=+=+=⎰⎰，由积分的几何意义得：1(),4f x dx π==⎰⎰所以1134()12f x dx π-+=⎰，故选C. 【点睛】本题考查积分的运算法则及积分的几何意义的运用，考查数形结合思想和运算求解能力.11.若函数()()sin 2f x x b ϕ=++，对任意实数x 都有()2,133f x f x f ππ⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数b 的值为（ ） A. 2-和0 B. 0 和1C. 1±D. 2±【答案】A 【解析】 由()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得函数一条对称轴为π6x =,因此ππsin()1π()36k k ϕϕ+=±⇒=+∈Z ,由213f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得4ππsin(π)1112036k b b b +++=-⇒=-±⇒=-或 ,选A. 点睛：求函数解析式sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>方法：(1)max min max min,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ. （4）由 ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴12.已知3tan 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A.725B.925C.1625D.2425【答案】B 【解析】π1tan 3tan 41tan 4ααα+⎛⎫+==⎪-⎝⎭，解得1tan 7α=-，故2π1cos 2π1sin 212cos sin cos 4222ααααα⎛⎫+- ⎪+⎛⎫⎝⎭-===+ ⎪⎝⎭，其中222sin cos tan 7sin cos sin cos tan 150αααααααα===-++，故19sin cos 225αα+=. 点睛：本题驻澳考查三角恒等变换，考查两角和的正切公式，考查降次公式和二倍角公式，考查利用同角三角函数关系求解齐次方程.首先先根据两角和的正切公式求得tan α，然后利用降次公式和诱导公式化简要求解的式子，再利用齐次方程来求出结果.最突出的是选项的设置，如果记错降次公式或者诱导公式，则会计算出,A C 选项.13.设函数()()224,ln 25xf x e xg x x x =+-=+-，若实数,a b 分别是()(),f x g x 的零点，则（ ）A. ()()0g a f b <<B. ()()0f b g a <<C. ()()0g a f b <<D.()()0f b g a <<【答案】A 【解析】由题意得，函数()(),f x g x 在各自的定义域上分别为增函数， ∵()()120,130f e g =->=-<， 又实数,a b 分别是()(),f x g x 的零点 ∴1,1a b <>，∴()(1)0,()(1)0g a g f b f ， 故()()0g a f b <<。
2017_2018学年高二数学下学期期末考试试题理(4)
最新中小学教案、试题、试卷2017-2018年第二学期期末考试题高二数学（理）附：独立性检验临界值表22()()()()()()a b c d ad bc a b c d a c b d χ+++-=++++最小二乘法求线性回归方程系数公式,)())((ˆ211x x y y x x bi ni i i i -∑--∑===x b y aˆˆ-=一．选择题（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分） 1.已知i b iia +=+2（Rb a ∈,），其中为虚数单位，则=+b a （ ） A. B. C. D.2.已知21()nx x+的展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数为（ ）A ．B ．C ．D ．3.2637--与的大小关系为（ ） A.2637->- B.2637-<- C.2637-=-D.大小关系不确定4.曲线2+=x xy 在点)1,1(--处的切线方程为（ ） A.012=+-y x B.012=--y x C.032=++y xD.022=++y x5.实验测得四组),(y x 的值是(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)，则与之间的回归直线的方程是（ ）A ．1ˆ-=x yB ．2ˆ+=x yC ．12ˆ+=x yD ．1ˆ+=x y 班级 姓名 座位号…………………………………………密…………………………………封…………………………………………6.5个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有1人，则不同的站法种数有（ ） A ．18种B ．26种C ．36种D ．48 种7. 设两个变量和之间具有线性相关关系，它们的相关系数是，关于的回归直线的斜率是，纵截距是，那么必有（ ）A ．与的符号相同B ．与的符号相同C ．与的相反D ．与的符号相反8.将名实习教师分配到高一年级的个班实习，每班至少名，则不同的分配方案有（ ） A ．种B ．种 C ．种D ．150种9.已知随机变量服从正态分布(,),且()=,则()等于（ ） A ．B ．C ．D ．10. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为， （,,(0,1)a b c ∈），已知他投篮一次得分的均值为2，则213a b+的最小值（ ） A ．163 B ．283C ．143 D ．32311. 从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数中任选三个构成数列，其中构成的数列是等比数列的个数为 （ ） A.B. C.D.12.设x e x g xe x xf x=+=-)(,)(22，对任意R x x ∈21,，有1)()(21+≤k x g k x f 恒成立，则正数的取值范围是（ ） A ．)1,0( B ．),0(+∞C ．),1[+∞D ．),121[2+∞-e二．填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分）13．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件=“取到的2个数之和为偶数”，事件=“取到的2个数均为偶数”，则(A B |)= _____________ .14．若曲线1y x =与直线0,1,y x x a ===，所围成封闭图形的面积为2，则_________． 15.函数x x x f ln 2)(2-=的单调递增区间是_______________.16. 若2222)2(321)(n n f +⋅⋅⋅+++=，则)1(+k f ，与)(k f 的递推关系式是_________．三．解答题（本大题共6个小题，其中17题10分，其余各题均为12分，共70分）17.(本小题10分)有个男生和个女生，从中选出人担任门不同学科的课代表，求符合下列要求的选法种数： （1）个女生中女生甲必须担任语文课代表； （2）有女生但人数必须少于男生.18. (本小题12分)甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止．设甲在每局中获胜的概率为 1()2p p >，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59． （1）求的值；（2）设表示比赛停止时比赛的局数，求的分布列和数学期望． 19. (本小题12分)已知数列{}n a 满足.12+=+n a S n n （1）写出,,,321a a a 并推测的表达式； （2）用数学归纳法证明所得的结论．20. (本小题12分)已知函数0,13)(3≠--=a ax x x f . （1）求)(x f 的单调区间；（2）若)(x f 在1-=x 处取得极值，直线m y =与)(x f y =的图象有三个不同的交点，求的取值范围.21. (本小题12分)在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人.女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动. （1）根据以上数据建立一个2×2的列联表.（2）判断性别与休闲方式是否有关系.22．(本小题12分) 已知函数2()ln a af x x x x=-+(a R ∈). （1）若1a =,求函数()f x 的极值；（2）若()f x 在[1,)+∞内为单调增函数，求实数的取值范围； （3）对于n N *∈,求证:)1ln()1(....)13(3)12(2)11(12222+<+++++++n n n. 高二数学答案 (理科)一．选择题1-5：ACBAD 6-10：CADCA 11-12：BC 二．填空题 13.41 14. 21e或 15. ),21[+∞ 16.22)22()12()()1(++++=+k k k f k f 三．解答题17.解：（1）共有8404447=⋅A C 种排法. ……………5分（2）先取后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，有13452335C C C C +，后排有种，共有5400)(5513452335=⋅+A C C C C 种排法. ……………10分18. 解：(1)…………………………4分19. (2) 随机变量的分布列为：………………8分……………4分19.(1)由S n +a n =2n+1得a 1=23， a 2=47，a 3=815 ∴a n =nn n 2122121-=-+………………12分(2)证明：当n=1时，命题成立 假设n=k 时命题成立，即a k =122k-当n=k+1时，a 1+a 2+…+a k +a k+1+a k+1=2(k+1)+1 ∵a 1+a 2+…+a k =2k+1-a k ∴2a k+1=4-k 21 ∴a k+1=2-121+k 成立根据上述知对于任何自然数n ，结论成立 ………………12分20.解：（1）).(333)(22a x a x x f -=-='当0<a 时，对R x ∈，有0)(>'x f ，所以，当0<a 时，)(x f 的单调增区间为),(+∞-∞. 当0>a 时，由0)(>'x f 解得a x -<，或a x >，由0)(<'x f 解得a x a <<-，所以，当0>a 时，)(x f 的单调增区间为),(),,(+∞--∞a a)(x f 的单调减区间为),(a a -. ………………6分（2）因为)(x f 在1-=x 处取得极值，1,03)1(3)1(2=∴=--⨯=-'a a f33)(,13)(23-='--=∴x x f x x x f ，由0)(='x f 解得，1,121=-=x x ，由（1）中的单调性知，)(x f 在1-=x 处取得极大值1)1(=-f ， 在1=x 处取得极小值3)1(-=f .因为直线m y =与)(x f y =的图象有三个不同的交点，。
高二数学下学期期末考试试题理(含解析)
2017—2018学年度第二学期期末教学质量检测高二理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.1.已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据复数的除法法则求解可得结果．详解：∵，∴．故选C．点睛：本题考查复数的除法运算，考查学生的运算能力，解题时根据法则求解即可，属于容易题．2.2.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点.以上推理中（）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确【答案】A【解析】分析：根据极值定义得导数为零的点不一定为极值点，得大前提错误.详解：因为根据极值定义得导数为零的点不一定为极值点，所以如果f ' (x0)=0，那么x=x0不一定是函数f(x)的极值点，即大前提错误.选A.点睛：本题考查极值定义以及三段论概念，考查对概念理解与识别能力.3.3.在回归分析中，的值越大，说明残差平方和（）A. 越小B. 越大C. 可能大也可能小D. 以上都不对【答案】A【解析】分析：根据的公式和性质，并结合残差平方和的意义可得结论．详解：用相关指数的值判断模型的拟合效果时，当的值越大时，模型的拟合效果越好，此时说明残差平方和越小；当的值越小时，模型的拟合效果越差，此时说明残差平方和越大．故选A．点睛：主要考查对回归分析的基本思想及其初步应用等知识的理解，解题的关键是熟知有关的概念和性质，并结合条件得到答案．4.4.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，第1个“金鱼”需要火柴棒的根数为；第2个“金鱼”需要火柴棒的根数为；第3个“金鱼”需要火柴棒的根数为，构成首项为，公差为的等差数列，所以第个“金鱼”需要火柴棒的根数为，故选C.5.5.如果函数y＝f(x)的图象如图所示，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由原函数图像可知函数单调性先增后减再增再减，所以导数值先正后负再正再负，只有A正确考点：函数导数与单调性及函数图像6.6.某产品的广告费用万元与销售额万元的统计数据如下表：根据以上数据可得回归直线方程，其中，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为65.5万元，则，的值为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】分析：根据回归直线过样本中心和条件中给出的预测值得到关于，的方程组，解方程组可得所求．详解：由题意得，又回归方程为，由题意得，解得．故选C．点睛：线性回归方程过样本中心是一个重要的结论，利用此结论可求回归方程中的参数，也可求样本数据中的参数．根据回归方程进行预测时，得到的数值只是一个估计值，解题时要注意这一点．7.7.利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（）A. 1项B. 项C. 项D. 项【答案】C【解析】分析：先表示出、，通过对比观察由变到时，项数增加了多少项. 详解：因为，所以当，当，所以由变到时增加的项数为.点睛：本题考查数学归纳法的操作步骤，解决本题的关键是首先观察出分母连续的整数，当，，由此可得变化过程中左边增加了多少项，意在考查学生的基本分析、计算能力．8.8.如图，用、、三类不同的元件连接成一个系统.当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知、、正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（）A. 0.960B. 0.864C. 0.720D. 0.576【答案】B【解析】试题分析：系统正常工作当①正常工作，不能正常工作，②正常工作，不能正常工作,③正常工作，因此概率.考点：独立事件的概率.9.9.设复数，若，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】若则，则的概率为：作出如图，则概率为直线上方与圆的公共部分的面积除以整个圆的面积，即：10.10.设函数的定义域为，若对于给定的正数，定义函数，则当函数，时，定积分的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据的定义求出的表达式，然后根据定积分的运算法则可得结论．详解：由题意可得，当时，，即．所以．故选D．点睛：解答本题时注意两点：一是根据题意得到函数的解析式是解题的关键；二是求定积分时要合理的运用定积分的运算性质，可使得计算简单易行．11.11.已知等差数列的第项是二项式展开式的常数项，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：二项式展开中常数项肯定不含，所以为，所以原二项式展开中的常数项应该为，即，则，故本题的正确选项为C.考点：二项式定理.12.12.已知函数的定义域为，为的导函数，且，若，则函数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据题意求得函数的解析式，进而得到的解析式，然后根据函数的特征求得最值．详解：由，得，∴，设（为常数），∵，∴，∴，∴，∴，∴当x=0时，；当时，，故当时，，当时等号成立，此时；当时，，当时等号成立，此时．综上可得，即函数的取值范围为．故选B．点睛：解答本题时注意从所给出的条件出发，并结合导数的运算法则利用构造法求出函数的解析式；求最值时要结合函数解析式的特征，选择基本不等式求解，求解时注意应用不等式的条件，确保等号能成立．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.13.已知随机变量服从正态分布，若，则等于__________．【答案】0.36【解析】.14.14.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答）【答案】660【解析】【详解】第一类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种；第二类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种，根据分类计数原理共有种，故答案为.15.15.的展开式中的系数是__________．【答案】243【解析】分析：先得到二项式的展开式的通项，然后根据组合的方式可得到所求项的系数．详解：二项式展开式的通项为，∴展开式中的系数为.点睛：对于非二项式的问题，解题时可转化为二项式的问题处理，对于无法转化为二项式的问题，可根据组合的方式“凑”出所求的项或其系数，此时要注意考虑问题的全面性，防止漏掉部分情况．16.16.已知是奇函数，当时，，（），当时，的最小值为1，则的值等于__________．【答案】1【解析】试题分析：由于当时，的最小值为，且函数是奇函数，所以当时，有最大值为-1，从而由，所以有；故答案为：1．考点：1．函数的奇偶性；2．函数的导数与最值．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.17.复数，，若是实数，求实数的值.【答案】【解析】分析：由题意求得，进而得到的代数形式，然后根据是实数可求得实数的值．详解：.∵是实数，∴，解得或，∵，∴，∴．点睛：本题考查复数的有关概念，解题的关键是求出的代数形式，然后根据该复数的实部不为零虚部为零得到关于实数的方程可得所求，解题时不要忽视分母不为零的限制条件．18.18.某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次0 1 2 3 4数保费设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次0 1 2 3 4数概率0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（2）已知一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率.【答案】（1）0.55（2）【解析】分析：（1）将保费高于基本保费转化为一年内的出险次数，再根据表中的概率求解即可．（2）根据条件概率并结合表中的数据求解可得结论．详解：（1）设表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1，故．（2）设表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于3，故．又，故，因此其保费比基本保费高出的概率为．点睛：求概率时，对于条件中含有“在……的条件下，求……发生的概率”的问题，一般为条件概率，求解时可根据条件概率的定义或利用古典概型概率求解．19.19.在数列，中，，，且，，成等差数列，，，成等比数列（）.（1）求，，及，，；（2）根据计算结果，猜想，的通项公式，并用数学归纳法证明.【答案】(1) ，，，，， (2) 猜想，，证明见解析【解析】分析：（1）根据条件中，，成等差数列，，，成等比数列及所给数据求解即可．（2）用数学归纳法证明．详解：（1）由已知条件得，，由此算出，，，，，.（2）由（1）的计算可以猜想，，下面用数学归纳法证明：①当时，由已知，可得结论成立.②假设当（且）时猜想成立，即，.则当时，，，因此当时，结论也成立.由①②知，对一切都有，成立．点睛：用数学归纳法证明问题时要严格按照数学归纳法的步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时可能要取两个(或两个以上)初始值进行验证，初始值的验证是归纳假设的基础；第二步的证明是递推的依据，证明时必须要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．20.20.学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出300人进行统计.其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的，对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的，其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有120人.（1）填写教师教学水平和教师管理水平评价的列联表：对教师管理水平不满合计对教师管理水平好评意对教师教学水平好评对教师教学水平不满意合计请问是否可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关？（2）若将频率视为概率，有4人参与了此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随机变量.①求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数的分布列（概率用组合数算式表示）；②求的数学期望和方差.0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828（，其中）【答案】(1) 可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关. (2) ①见解析②，【解析】分析：（1）由题意得到列联表，根据列联表求得的值后，再根据临界值表可得结论．（2）①由条件得到的所有可能取值，再求出每个取值对应的概率，由此可得分布列．②由于，结合公式可得期望和方差．详解：（1）由题意可得关于教师教学水平和教师管理水平评价的列联表：对教师管理水平好评对教师管理水平不满意合计对教师教学水平好评120 60 180对教师教学水平不满意105 15 120合计225 75 300由表中数据可得，所以可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关.（2）①对教师教学水平和教师管理水平全好评的概率为，且的取值可以是0，1，2，3，4，其中；；；；，所以的分布列为：0 1 2 3 4②由于，则，.点睛：求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算，对于二项分布的均值和方差可根据公式直接计算即可．21.21.已知函数，（为自然对数的底数，）.（1）判断曲线在点处的切线与曲线的公共点个数；（2）当时，若函数有两个零点，求的取值范围.【答案】(1)见解析(2)【解析】分析：（1）根据导数的几何意义可得切线方程，然后根据切线方程与联立得到的方程组的解的个数可得结论．（2）由题意求得的解析式，然后通过分离参数，并结合函数的图象可得所求的范围．详解：（1）∵，∴，∴.又，∴曲线在点处的切线方程为．由得.故，所以当，即或时，切线与曲线有两个公共点；当，即或时，切线与曲线有一个公共点；当，即时，切线与曲线没有公共点.（2）由题意得，由，得，设，则.又，所以当时，单调递减；当时，单调递增．所以.又，，结合函数图象可得，当时，方程有两个不同的实数根，故当时，函数有两个零点．点睛：函数零点个数（方程根的个数、两函数图象公共点的个数）的判断方法：（1）结合零点存在性定理，利用函数的性质确定函数零点个数；（2）构造合适的函数，判断出函数的单调性，利用函数图象公共点的个数判断方程根的个数或函数零点个数．请考生在22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点的直角坐标为，曲线的极坐标方程为，直线过点且与曲线相交于，两点.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若，求直线的直角坐标方程.【答案】(1) (2) 直线的直角坐标方程为或【解析】分析：（1）根据极坐标和直角坐标间的转化公式可得所求．（2）根据题意设出直线的参数方程，代入圆的方程后得到关于参数的二次方程，根据根与系数的关系和弦长公式可求得倾斜角的三角函数值，进而可得直线的直角坐标方程．详解：（1）由，可得，得，∴曲线的直角坐标方程为.（2）由题意设直线的参数方程为（为参数），将参数方程①代入圆的方程，得，∵直线与圆交于，两点，∴．设，两点对应的参数分别为，，则，∴，化简有，解得或，∴直线的直角坐标方程为或.点睛：利用直线参数方程中参数的几何意义解题时，要注意使用的前提条件，只有当参数的系数的平方和为1时，参数的绝对值才表示直线上的动点到定点的距离．同时解题时要注意根据系数关系的运用，合理运用整体代换可使得运算简单．23.23.已知函数的定义域为.（1）若，解不等式；（2）若，求证：.【答案】(1) (2)见解析【解析】分析：（1）由可得，然后将不等式中的绝对值去掉后解不等式可得所求．（2）结合题意运用绝对值的三角不等式证明即可．详解：（1），即，则，∴，∴不等式化为．①当时，不等式化为，解得；②当时，不等式化为，解得.综上可得．∴原不等式的解集为.（2）证明：∵，∴.又，∴.点睛：含绝对值不等式的常用解法（1）基本性质法：当a>0时，|x|＜a⇔－a＜x＜a，|x|＞a⇔x＜－a或x＞a．（2）零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．（3）几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．（4）数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．。
2017-2018学年度第二学期期末高二数学(理)试题
2017-2018学年度第二学期期末高二数学（理）试题时间：120分钟 分值：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}A |43x x x Z =-<<∈，{}|1B x x =≥则A B ⋂= （ ） A ．{}1 B.{}1,2 C. {}01,2， D. {}1,23，2.设集合{}2A |60x x x =+-< {}2|1B x x =≤ ，则 A B ⋂= （ ）A. []1,1-B. (]3,1-C.()1,2-D. [)1,2-3.下列命题中真命题的个数是 （ ） ① 42,x R x x ∀∈>② 若p q ∧ 是假命题，则,p q 都是假命题③ 命题“32,240x R x x ∀∈++≤”的否定为“32000,240x R x x ∃∈++>” A ．0 B ．1 C ．2 D ．34.5x >的一个必要不充分条件是 （ ） A.6x >B.3x >C.6x <D.10x >5.把一枚硬币任意掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现正面”，则P （B/A ）= （ ） A.14 B.13 C.12 D.236.方程12x x +=根的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.37.在82x ⎛ ⎝的展开式中，常数项是 ( )A.7B.-7C.28D.-288.设 12log 3a = , 0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 12c =,则 ( )A.a b c <<B.c b a <<C.c a b <<D.b a c <<9. 函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）图所示的长方形区域内任取一个点(),M x y ，则点M 取自阴影部分的概率为 （ ） A.12 B.14 C.13 D.2311.若函数()y f x =图像与()log 322a y x =-+图像关于直线y x =对称,则函数()y f x =必过定点 （ ）A.（1,2）B.（2,2）C.（2,3）D.（2,1） 12.定义在R 上的偶函数满足，且当时，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则等于 （ ）A.3B.18C.-2D.2 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.将3个不同的小球放入4个盒子中，有 ______种不同的放法14.已知随机变量X 服从正态分布N(3,1),且(2X 4)0.6826P ≤≤=，则(X 4)P >= ______ 15.已知()()()220210{xx x x x f x ≤-+>=在[]()1,2a a ->上最大值与最小值之差为4，则a =______16.为方便游客出行，某旅游点有50辆自行车供租赁使用。
湖南省长郡中学高二下学期期末考试(数学理).pdf
绿色蝈蝈 法布尔： 法国著名昆虫学家。
1823年出生于法国一户普通农民之家。
从小迷恋大自然。
通过自学，获得自然博士学位。
1875年开始著作《昆虫记》，1880年后的35年里一直在“荒石园”中从事昆虫学研究工作，1915年11月去世，留有《昆虫记》共十卷二百万字。
法布尔在观察昆虫 《昆虫记》： 《昆虫记》是一部严谨的科学著作，但面孔却十分和善，似一个个小故事。
以人性观察虫性，并以虫性反观社会人生。
整部作品充满了对自然万物的赞美之情。
检查预习，积累字词 篝 火 喧 嚣 喑 哑 篡 夺 吮 取 gōu 静 谧 哀 号 狩 猎 劫 掠 xuān xiāo yīn cuàn shǔn mì háo shòu lüè x īsū 篝火、狩猎、喧嚣、弱肉强食、上颚、钳子、喑哑、静谧、沉寂、更胜一筹、螽斯、莴苣、悬殊、踢蹬、津津有味、嗉囊、喙、吮取、酷爱、螳螂、贪婪、唾液 速读课文,整体感知： 1、文章的开头并没有写“绿色蝈蝈”，是如何引出来的？你觉得这样写好么？ 2、文中介绍了“绿色蝈蝈”哪些方面的 特点？重点是写哪一方面？ 声音特征# 外表特征# 食性# 蝈蝈同类之间大多数时间可以和睦相处 声音 特征： 窃窃自语、 喑哑、连续不断 尖锐、急促、 清脆、柔和…… 浑身嫩绿 淡白丝带 身材优美 苗条匀称 大翼轻盈 形体特征： 非常漂亮 有力的大颚 锐利的钳子 食性： 鲜肉、甜食、青菜…… 合作探究: 绿色蝈蝈在本文中以哪些身份出现? 狂热的狩猎者、 夜晚的艺术家、 漂亮朋友、 勇敢的斗士、 笼中的囚犯、 蝉的屠夫、 …… 三次速读，探究方法 1、作者在介绍蝈蝈的特点时，用了些什么手法？你觉得哪些地方值得你借鉴学习？ 请同学们进行第三次速读，并进行讨论。
文章介绍事物特点时的两种手法： 拟人和对比 （请举例说明它们的作用） 介绍事物特点时的两种手法： 蝈蝈——蝉（叫声） 蝈蝈——鹰（捕食） 蝈蝈——螳螂(食性） 对比 突出特征 “窃窃私语”、“津津有味” “身材优美”、“苗条匀称” “酷爱甜食”、“宽容”、“妒忌” 拟人 形象生动 自由朗读，品味语言： 选择你最喜欢的语段大声朗读,细细品味好处,然后说出你的看法,和同学们进行交流,好吗？ 写作特点归纳: （1）抓住声音、形态、食性方面的特点进行形象细致地介绍； （2）运用比喻、拟人、对比等修辞手法，语言生动形象。
2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）复数z＝cos+i sin在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（3分）1、设A、B为非空集合，定义集合A*B为如图非阴影部分表示的集合，若，B＝{y|y＝3x，x＞0}，则A*B＝（）A．（0，2）B．[0，1]∪[2，+∞）C．（1，2]D．[0，1]∪（2，+∞）3．（3分）阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中a的取值范围为（）A．5≤a≤6B．5＜a＜6C．5≤a＜6D．5＜a≤64．（3分）使不等式|x+1|≤4成立的一个必要不充分条件是（）A．2≤x≤3B．﹣6≤x≤3C．﹣5≤x≤3D．﹣6≤x≤2 5．（3分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，则从A到B的映射f满足f（3）＝3，则这样的映射共有（）个．A．3B．4C．5D．66．（3分）在直角坐标系中，若角α的终边经过点，则sin（π﹣α）＝（）A．B．C．D．7．（3分）定义运算a*b，，例如1*2＝1，则函数y＝1*2x的值域为（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．[1，+∞）D．（0，1]8．（3分）若f（x）＝lg（x2﹣2ax+1+a）在区间（﹣∞，1]上递减，则a的取值范围为（）A．[1，2）B．[1，2]C．[1，+∞）D．[2，+∞）9．（3分）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且a，b，c成等比数列，且B ＝，则+＝（）A．B．C．D．10．（3分）已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）＝0，则||的最大值是（）A．1B．2C．D．11．（3分）已知函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是+2，则f （1）+f′（1）的值等于（）A．1B．C．3D．012．（3分）设f（x）＝﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x），则使得f（x+1）＜f（2x﹣2）的x的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（3，+∞）B．（1，3）C．（﹣∞，）∪（1，+∞）D．（，1）13．（3分）己知函数f（x）＝+sin x，其中f′（x）为函数f（x）的导数，求f（2018）+f（﹣2018）+f′（2019）﹣f′（﹣2019）＝（）A．2B．2019C．2018D．014．（3分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a+b+c＝20，三角形面积为，A＝60°，则a＝（）A．7B．8C．5D．615．（3分）在△ABC中，已知，sin B＝cos A•sin C，S△ABC＝6，P为线段AB上的一点，且．，则的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分.16．（3分）《左传•僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在．皮之不存，毛将焉附？则“有毛”是“有皮”的条件（将正确的序号填入空格处）．①充分条件②必要条件③充要条件④既不充分也不必要条件17．（3分）对于a，b∈N规定a*b＝，集合M＝{（a，b）a*b ＝36，a，b∈N+}M中的元素的个数为．18．（3分）已知平面向量，满足||＝1，||＝2，|﹣|＝，则在方向上的投影是．19．（3分）已知函数f（x）＝2x﹣sin x，若正实数a，b满足f（a）+f（2b﹣1）＝0，则的最小值是．20．（3分）已知集合{a，b，c}＝{2，3，4}，且下列三个关系：a≠3，b＝3，c≠4有且只有一个正确，则函数的值域是．三、解答题：本大题共5小题，每小题8份，共40分.21．（8分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），设点P（1，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求|P A|+|PB|的值．22．（8分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2a cos A＝b cos C+c cos B．（1）求角A的大小；（2）若点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，AB＝2，BC＝4，求AD的长．23．（8分）已知函数f（x）＝e x+tx（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当t＝﹣e时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立，求实数t的取值范围．24．（8分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%（0＜x＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f（x）＝（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间g（x）的表达式；讨论g（x）的单调性，并说明其实际意义．25．（8分）已知函数f（x）＝，g（x）＝alnx﹣x（a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：当a＞0时，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：由题意可知，z＝cos+i sin＝+i，对应的点在第二象限．故选：B．2．【解答】解：依据定义，A#B就是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合；对于集合A，求的是函数的定义域，解得：A＝{x|0≤x≤2}；对于集合B，求的是函数y＝3x（x＞0）的值域，解得B＝{y|y＞1}；依据定义：A*B＝{x|0≤x≤1或x＞2}，故选：D．3．【解答】解：由框图的流程得：第1次循环S＝0+1＝1，i＝2；第2次循环S＝1+2＝3，i＝3；第3次循环S＝3+3＝6，i＝4；第4次循环S＝6+4＝10，i＝5；第5次循环S＝10+5＝15，i＝6；此时满足条件6＞a，退出循环，输出S的值．综上可得：5≤a＜6．故选：C．4．【解答】解：不等式|x+1|≤4，即﹣4≤x+1≤4，即﹣5≤x≤3，故“﹣6≤x≤3”是“﹣5≤x≤3”的一个必要不充分条件，故选：B．5．【解答】解：若f（3）＝3，则f（1）＝3或f（1）＝4；f（2）＝3或f（2）＝4；故这样的映射的个数是2×2＝4个，故选：B．6．【解答】解：∵角α的终边经过点，可得cosα＝sin＝，sinα＝cos＝﹣，∴sin（π﹣α）＝sinα＝﹣，故选：C．7．【解答】解：当1≤2x时，即x≥0时，函数y＝1*2x＝1当1＞2x时，即x＜0时，函数y＝1*2x＝2x∴f（x）＝由图知，函数y＝1*2x的值域为：（0，1]．故选：D．8．【解答】解：令u＝x2﹣2ax+1+a，则f（u）＝lgu，配方得u＝x2﹣2ax+1+a＝（x﹣a）2 ﹣a2+a+1，故对称轴为x＝a，如图所示：由图象可知，当对称轴a≥1时，u＝x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上单调递减，又真数x2﹣2ax+1+a＞0，二次函数u＝x2﹣2ax+1+a在（﹣∞，1]上单调递减，故只需当x＝1时，若x2﹣2ax+1+a＞0，则x∈（﹣∞，1]时，真数x2﹣2ax+1+a＞0，代入x＝1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）故选：A．9．【解答】解：∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，利用正弦定理化简得：sin2B＝sin A sin C，∵B＝，∴原式＝+＝＝＝＝＝．故选：C．10．【解答】解：由题意可得•＝0，可得|+|＝＝，（﹣）•（﹣）＝2+•﹣•（+）＝||2﹣||•|+|cos＜（+，＞＝0，即为||＝cos＜+，＞，当cos＜+，＞＝1即+，同向时，||的最大值是．故选：C．11．【解答】解：由已知点点M（1，f（1））在切线上，所以f（1）＝，切点处的导数为切线斜率，所以，即f（1）+f'（1）＝3，故选C．12．【解答】解：根据题意，f（x）＝﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x）＝﹣（x﹣1）2﹣2（e x﹣1+）+1，分析可得：y＝﹣（x﹣1）2+1与函数y＝2（e x﹣1+e1﹣x）都关于直线x＝1对称，则函数f（x）＝﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x）的图象关于直线x＝1对称，f（x）＝﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x），当x≥1时，f′（x）＝﹣2x+2﹣（e x﹣1﹣）＝﹣2（x+1+e x﹣1﹣），又由x≥1，则有e x﹣1≥，即e x﹣1﹣≥0，则有f′（x）＜0，即函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，f（x+1）＜f（2x﹣2）⇒f（|x+1﹣1|）＜f（|2x﹣2﹣1|）⇒f（|x|）＜f（|2x﹣3|）⇒|x|＞|2x﹣3|，变形可得：x2﹣4x+3＜0，解可得1＜x＜3，即不等式的解集为（1，3）；故选：B．13．【解答】解：函数f（x）＝+sin x＝sin x++1，设g（x）＝sin x+，则g（﹣x）＝sin（﹣x）+＝﹣（sin x+）＝﹣g（x），即g（﹣x）+g（x）＝0，即f（﹣x）+f（x）＝2，则f（2018）+f（﹣2018）＝g（2018）+1+g（﹣2018）+1＝2，又f′（x）＝g′（x），由g（x）为奇函数，则g′（x）为偶函数，可得f′（2019）﹣f′（﹣2019）＝g′（2019）﹣g′（﹣2019）＝0，即有f（2018）+f（﹣2018）+f′（2019）﹣f′（﹣2019）＝2，故选：A．14．【解答】解：由题意可得，S△ABC＝bc sin A＝bc sin60°∴bc sin60°＝10∴bc＝40∵a+b+c＝20∴20﹣a＝b+c．由余弦定理可得，a2＝b2+c2﹣2bc cos60°＝（b+c）2﹣3bc＝（20﹣a）2﹣120解得a＝7．故选：A．15．【解答】解：△ABC中设AB＝c，BC＝a，AC＝b∵sin B＝cos A•sin C，∴sin（A+C）＝sin C cos A，即sin A cos C+sin C cos A＝sin C cos A，∴sin A cos C＝0，∵sin A≠0，∴cos C＝0 C＝90°∵，S△ABC＝6∴bc cos A＝9，∴，根据直角三角形可得sin A＝，cos A＝，bc＝15∴c＝5，b＝3，a＝4以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得＝（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1）设，则，∴＝（x，0）+（0，y）＝（x，y）∴x＝3λ，y＝4﹣4λ则4x+3y＝12＝故所求的最小值为故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分.16．【解答】解：由题意知“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分条件．故答案为：①17．【解答】解：a⊕b＝36，a、b∈N*，若a和b一奇一偶，则ab＝36，满足此条件的有1×36＝3×12＝4×9，故点（a，b）有6个；若a和b同奇偶，则a+b＝36，满足此条件的有1+35＝2+34＝3+33＝4+32＝…＝18+18共18组，故点（a，b）有35个，所以满足条件的个数为41个．故答案为：41．18．【解答】解：∵||＝1，||＝2，|﹣|＝，∴||2+||2﹣2•＝3，解得•＝1，∴在方向上的投影是＝，故答案为：19．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝2x﹣sin x，有f′（x）＝2﹣cos x＞0，则函数f（x）为增函数，又由f（﹣x）＝2（﹣x）﹣sin（﹣x）＝﹣（2x﹣sin x）＝﹣f（x），则函数为奇函数，若正实数a，b满足f（a）+f（2b﹣1）＝0，则有f（a）＝﹣f（2b﹣1）＝f（1﹣2b），又由函数为增函数，则a＝1﹣2b，即a+2b＝1，＝（）（a+2b）＝9++≥9+2＝9+4，当且仅当b＝a时等号成立，即的最小值是9+4，故答案为：9+4．20．【解答】解：由{a，b，c}＝{2，3，4}得，a、b、c的取值有以下情况：当a＝2时，b＝3、c＝4时，a≠3，b＝3，c≠4都正确，不满足条件．当a＝2时，b＝4、c＝3时，a≠3成立，c≠4成立，此时不满足题意；当a＝3时，b＝2、c＝4时，都不正确，此时不满足题意；当a＝3时，b＝4、c＝2时，c≠4成立，此时满足题意；当a＝4时，b＝2，c＝3时，a≠3，c≠4成立，此时不满足题意；当a＝4时，b＝3、c＝2时，a≠3，b＝3成立，此时不满足题意；综上得，a＝3、b＝4、c＝2，则函数＝，当x＞4时，f（x）＝2x＞24＝16，当x≤4时，f（x）＝（x﹣2）2+3≥3，综上f（x）≥3，即函数的值域为[3，+∞），故答案为：[3，+∞）．三、解答题：本大题共5小题，每小题8份，共40分.21．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ，即ρ2sin2θ＝4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2＝4x．（2）直线l的参数方程为（t为参数），代入曲线C方程y2＝4x．可得（1+t）2＝4（1+t），整理得，∵t1•t2＝﹣15＜0，∴点P在AB之间，∴|P A|+|PB|＝|t1﹣t2|＝＝4．22．【解答】解：（1）∵2a cos A＝b cos C+c cos B，∴2sin A cos A＝sin B cos C+sin C cos B＝sin（B+C）＝sin A，∵sin A≠0，∴cos A＝，∴A＝．（2）在△ABC中，由余弦定理的cos A＝＝，解得AC＝1+或AC＝1﹣（舍）．∵BD是∠ABC的平分线，∴＝，∴AD＝AC＝．23．【解答】解：（Ⅰ）当t＝﹣e时，f（x）＝e x﹣ex，f'（x）＝e x﹣e．由f'（x）＝e x﹣e＞0，解得x＞1；f'（x）＝e x﹣e＜0，解得x＜1．∴函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞）；单调递减区间是（﹣∞，1）．（Ⅱ）依题意：对于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立，即e x+tx＞0恒成立，即在x∈（0，2]上恒成立．令，∴．当0＜x＜1时，g'（x）＞0；当1＜x＜2时，g'（x）＜0．∴函数g（x）在（0，1）上单调递增；在（1，2）上单调递减．所以函数g（x）在x＝1处取得极大值g（1）＝﹣e，即为在x∈（0，2]上的最大值．∴实数t的取值范围是（﹣e，+∞）．所以对于任意x∈（0，2]，不等式f（x）＞0恒成立的实数t的取值范围是（﹣e，+∞）．24．【解答】解；（1）由题意知，当30＜x＜100时，f（x）＝2x+﹣90＞40，即x2﹣65x+900＞0，解得x＜20或x＞45，∴x∈（45，100）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当0＜x≤30时，g（x）＝30•x%+40（1﹣x%）＝40﹣；当30＜x＜100时，g（x）＝（2x+﹣90）•x%+40（1﹣x%）＝﹣x+58；∴g（x）＝；当0＜x＜32.5时，g（x）单调递减；当32.5＜x＜100时，g（x）单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．25．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，．当a＞0时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：当a＜0时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：综上所述，当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（﹣1，1），单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），单调递减区间为（﹣1，1）．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当a＞0时，f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）在（1，e]上单调递减，又f（0）＝a，f（e）＝所以f（x）min＝a，同样地，当a＞0时，g（x）在（0，a）上单调递增，g（x）在（a，e]上单调递减，所以g（x）max＝g（a）＝alna﹣a，因为a﹣（alna﹣a）＝a（2﹣lna）＞a（2﹣lne）＝a＞0，所以对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x）max＝g（e）＝alna﹣a＜a＝f（x）min．所以对于任意x1，x2∈（0，e]，仍有x1，x2∈（0，e]．综上所述，对于任意x1，x2∈（0，e]，总有g（x1）＜f（x2）成立．…（13分）。
湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题 文
长郡中学2017-2018学年度高二第二学期期末考试数学（文科）一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分.1.设集合{|23,}A x x x Z =-<<∈，{2,1,0,1,2,3}B =--，则集合A B 为（ ）A ．{2,1,0,1,2}--B ．{1,0,1,2}-C ．{1,0,1,2,3}-D ．{2,1,0,1,2,3}--2.若复数323ai i+-是纯虚数，则实数a 等于（ ） A ．2 B ．-2 C ．-1 D ．13.下列函数中，与函数3y x =的单调性和奇偶性一致的函数是（ ）A ．y =．tan y x = C ．1y x x =+D ． x x y e e -=- 4.已知：命题p ：若函数2()f x x x a =+-是偶函数，则0a =；命题q ：(0,)m ∀∈+∞，关于x 的方程2210mx x -+=有解.在①p q ∨；②p q ∧；③()p q ⌝∧；④()()p q ⌝∨⌝中真命题的是（ ）A ．②③B ．②④ C.③④ D ．①④5.若1cos(+)=43πα，(0,)2πα∈，则sin α的值为（ ）A ．46-B ．46+ C.718D ．3 6.已知数列{}n a 是等差数列，满足1252a a S +=，下列结论中错误的是（ ）A ．90S =B ．5S 最小 C.36S S = D ．50a =7.如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10m 到位置D ，测得45BDC ∠=︒，则塔AB 的高是（单位：m ）（ ）A． B．．108.函数sin ()ln(2)x f x x =+的图象可能是（ ）A ．B ．C. D ． 9.设数列{}n a 是首项为1，公比为q （1q ≠-）的等比数列，若11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，则233420152016111111a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．4026 B ．4028 C.4030 D ．403210.将函数()f x 的图象向左平移ϕ个单位，再将所得函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()sin g x x =的图象，若函数()f x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ϕ的值不可能为（ ）A ．3π B ．25π C.58π D ．54π 11.已知函数2()(21)x f x ae x a x =--+，若函数()f x 在区间(0,ln 2)上有最值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,0)- C. (2,1)-- D ．(,0)(0,1)-∞12.如图，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，则AE EF ⋅=（ ）A ．12B ．32- C.32 D ．12- 13.已知函数2()6sin cos 8cos 3f x x x x ωωω=-+（0ω>），()1y f x =+的部分图象如图所示，且0()4f x =，则0(1)f x +=（ ）A ．6B ．4C ．-4D ．-614.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，2(1)n n S n a =+，若关于正整数n 的不等式222n n a ta t -≤的解集中的整数解有两个，则正实数t 的取值范围为（ ）A ．3[1,)2 B ．3(1,)2 C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1(,1]1215.已知函数,0(),0x e x f x ax x ⎧≥=⎨<⎩，若方程()()f x f x -=有五个不同的根，则实数a 的取值范围为（ ）A ． (1,)+∞B ．(,)e +∞C ．(,)e -∞-D ．(,1)-∞-二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分.= ． 17.若复数z x yi =+（x ，y ∈R ）满足(1)3z i i +=-，则x y +的值为 ．18.设()f x 是定义在R 上的周期为3的函数，当[2,1)x ∈-时，242,20,(),01,x x f x x x ⎧--≤≤=⎨<<⎩则21(())4f f = ． 19.下列命题中：（1）23k παπ=+（k Z ∈）是tan α=（2）函数()2cos 1f x x =-的最小正周期是π；（3）ABC ∆中，若cos cos sin sin A B A B >，则ABC ∆为钝角三角线；（4）若0a b +=，则函数sin cos y a x b x =-的图象的一条对称轴方程为4x π=； 其中是真命题的为（填命题序号） ．20.若a 、b 是函数2()f x x px q =-+（0p >，0q >）的两个不同的零点，且a 、b 、-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于 ．三、解答题 ：本大题共5小题，每小题8分，共40分，要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.21. 已知点(1,2)A -和向量(2,3)a =（1）若向量AB 与向量a 同向，且AB =，求点B 的坐标；（2）若向量a 与向量(3,)b k =-的夹角是钝角，求实数k 的取值范围.22. 在等比数列{}n a 中，11a =，且2a 是1a 与31a -的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足(1)1(1)n n n n a b n n ++=+（*n N ∈），求数列{}n b 的前n 项和n S . 23. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222cos cos sin sin B C A A B -=-.（1）求角C ；（2）若6A π∠=，ABC ∆的面积为AB 的中点，求CM 的长.24.已知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-，1a >. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：若5a <，则对任意1x ，()20,x ∈+∞，12x x ≠，有1212()()1f x f x x x ->--. 25.已知函数()(1)x f x bx e a =-+（a ，b ∈R ）.（1）如果曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =，求a 、b 的值；（2）若1a <，2b =，关于x 的不等式()f x ax <的整数解有且只有一个，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:BADDA 6-10:BBABC 11-15：ADDAC二、填空题 16.14 17.-5 18.1419.（1）（3）（4） 20.9 三、解答题21.（1）设(,)B x y ，则(1,2)AB x y =-+，若向量AB 与向量a 同向，则有3(1)2(2)x y -=+， 若向量213AB =22(1)(2)52x y -++=，解可得54x y =⎧⎨=⎩，或38x y =-⎧⎨=-⎩，当38x y =-⎧⎨=-⎩时，(4,6)AB =--，与向量a 反向，不合题意，舍去； 当54x y =⎧⎨=⎩时，(4,6)AB =，与向量a 同向，则B 的坐标为(5,4)；（2）若向量a 与向量(3,)b k =-的夹角是钝角，则有630a b k ⋅=-+<且290k +≠，解可得2k <且92k ≠-， 故k 的取值范围是99(,)(,2)22-∞--. 22.（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，且2a 是1a 与31a -的等差中项，即有13212a a a +-=，即为2112q q +-=，解得2q =，即有1112n n n a a q --==； （2）11(1)1112(1)(1)1n n n n n n a b a n n n n n n -++⎛⎫==+=+- ⎪+++⎝⎭，数列{}n b 的前n 项和21111111211(1222)(1)1222311211n n n n S n n n n --=+++++-+-++=+-=-+-++.23.（1）由222cos cos sin sin B C A A B -=-，得222sin sin sin sin C B A A B -=.由正弦定理，得222c b a -=，即222c a b =+.又由余弦定理，得222cos 222a b c C ab ab +-===. 因为0C π<∠<，所以6C π∠=. （2）因为6A C π∠=∠=，所以ABC ∆为等腰三角形，且顶角23B π∠=.故221sin 2ABC S a B ∆===4a =. 在MBC ∆中，由余弦定理，得 22212cos 416224282CM MB BC MB BC B =+-⋅=++⨯⨯⨯=.解得CM =.24.（1）()f x 的定义域为(0,)+∞.211(1)(1)'()a x ax a x x a f x x a x x x--+--+-=-+==. （i ）若11a -=即2a =，则2(1)'()x f x x-=，故()f x 在(0,)+∞上单调递增. （ii ）若11a -<，而1a >，故12a <<，则当(1,1)x a ∈-时，'()0f x <；当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，故()f x 在(1,1)a -单调递减，在(0,1)a -，(1,)+∞单调递增.（iii ）若11a ->即2a >，同理可得()f x 在(1,1)a -单调递减，在(0,1)，(1,)a -+∞单调递增.（2）考虑函数21()()(1)ln 2g x f x x x ax a x x =+=-+-+，则21'()(1)(1)11)a g x x a a x -=--+≥-=- 由于15a <<，故'()0g x >，即()g x 在(4,)+∞单调增加，从而当120x x >>时有12()()0g x g x ->，即1212()()0f x f x x x -+->，故1212()()1f x f x x x ->--， 当120x x <<时，有12211221()()()()1f x f x f x f x x x x x --=>---. 25.（1）函数()f x 的定义域为R ，'()(1)(1)x x x f x be bx e bx b e =+-=+-.因为曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =，所以(0)0,'(0)1,f f =⎧⎨=⎩得10,10,a b -=⎧⎨-=⎩解得1,2.a b =⎧⎨=⎩（2）当2b =时，()(21)x f x x e a =-+（1a <），关于x 的不等式()f x ax <的整数解有且只有一个，等价于关于x 的不等式(21)0xx e a ax -+-<的整数解有且只有一个.构造函数()(21)x F x x e a ax =-+-，x R ∈，所以'()(21)xF x e x a =+-.①当0x ≥时，因为1x e ≥，211x +≥，所以(21)1x e x +≥，又1a <，所以'()0F x >，所以()F x 在(0,)+∞上单调递增.因为(0)10F a =-+<，(1)0F e =>，所以在[0,)+∞上存在唯一的整数00x =使得0()0F x <，即00()f x ax <.②当0x <时，为满足题意，函数()F x 在(,0)-∞内不存在整数使()0F x <，即()F x 在(,1]-∞-上不存在整数使()0F x <.因为1x ≤-，所以(21)0x e x +<.当01a ≤<时，函数'()0F x <，所以()F x 在(,1)-∞-内为单调递减函数，所以(1)0F -≥，即312a e≤<； 当0a <时，3(1)20F a e -=-+<，不符合题意.综上所述，a 的取值范围为3[,1)2e. 另：也可以用数形结合的方法，酌情给分。
湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题 含解析
长郡中学2018-2019学年度高二第二学期期末考试数学(理科)一、选择题。
1.设集合{}{}21,2,3,3410A B x x mx ==-+=，若{}1A B ⋂=，则m =（ ）A. 1B. 12-C.12D. -1【答案】A 【解析】 【分析】由{}1A B ⋂=得1A ∈且1B ∈，把1代入二次方程求得1m =，最后对m 的值进行检验. 【详解】因为{}1A B ⋂=，所以1A ∈且1B ∈， 所以3410m -+=，解得1m =.当1m =时，1{1,}3B =，显然{}1A B ⋂=，所以1m =成立，故选A. 【点睛】本题考查集合的交运算，注意求出参数m 的值后要记得检验.2.已知函数()21y f x =-的定义域为[]0，3，则函数()y f x =的定义域为（ ）A. [2,1][1,2]--UB. []1,2C. []0,3D. []1,8-【答案】D 【解析】 【分析】函数()21y f x =-中21x -的取值范围与函数()y f x =中x 的范围一样.【详解】因为函数()21y f x =-的定义域为[]0，3，所以03x ≤≤，所以2118x -≤-≤，所以函数()y f x =的定义域为[]1,8-.选D.【点睛】求抽象函数定义域是一种常见题型，已知函数的定义域或求函数的定义域均指自变量x 的取值范围的集合，而对应关系f 所作用的数范围是一致的，即括号内数的取值范围一样.3.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若角α是第三象限角，且1sin 3α=-，则cos β=（ ）22B. 22C.13D. 13-【答案】A 【解析】 【分析】由单位圆中的三角函数线可得：终边关于y 轴对称的角α与角β的正弦值相等，所以1sin 3β=-，再根据同角三角函数的基本关系，结合余弦函数在第四象限的符号，求得cos β=223. 【详解】角α与角β终边关于y 轴对称，且α是第三象限角，所以β为第四象限角， 因为1sin 3α=-，所以1sin 3β=-，又22sin cos 1ββ+=，解得：cos β=223，故选A. 【点睛】本题考查单位圆中三角函数线的运用、同角三角函数的基本关系，考查基本的运算求解能力.4.已知命题“x R ∀∈，使得212(1)02x a x +-+>”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A. (.1)-∞- B. (3,)-+∞C. (13)-， D. ()3.1-【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数与二次不等式的关系，可得函数的判别式∆<0，从而得到13a -<<. 【详解】由题意知，二次函数的图象恒在x 轴上方，所以21(1)4202a ∆=--⋅⋅<， 解得：13a -<<，故选C.【点睛】本题考查利用全称命题为真命题，求参数的取值范围，注意利用函数思想求解不等式.5.已知某批零件的长度误差ξ(单位:毫米)服从正态分布2(1)3N ，，从中随机取一件.其长度误差落在区间(4)7，内的概率为（ ）(附:若随机变量ξ服从正态分布N 2(,)μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+≈，(22)95.44%P μσξμσ-<<+≈)A. 4. 56%B. 13.59%C. 27. 18%D. 31. 74%【答案】B 【解析】 【分析】利用3σ原则，分别求出(24),(57)P P ξξ-<<-<<的值，再利用对称性求出(47)13.59%P ξ<<=.【详解】正态分布2(1)3N ，中，1,3μσ==， 所以(24)(1313)68.26%P P ξξ-<<=-<<+≈，(57)(123123)95.44%P P ξξ-<<=-⨯<<+⨯≈，所以(57)(24)(47)13.59%2P P P ξξξ-<<--<<<<=≈，故选B.【点睛】本题考查正态分布知识，考查利用正态分布曲线的对称性求随机变量在给定区间的概率.6.定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x -=+，且当(2,0)x ∈-时，()31xf x =-，则()9f =（ ）A. 2-B. 2C. 23-D.23【答案】D 【解析】 【分析】由等式()()22f x f x -=+可得函数()f x 的周期4T =，得到()9(1)f f =，再由奇函数的性质得()9(1)(1)f f f ==--，根据解析式()31x f x =-求出2(1)3f -=-，从而得到()9f 的值.【详解】因为()())()2(42f x f f x x f x -=⇒+=+，所以()f x 的周期4T =，所以()229(1)(1)()33f f f ==--=--=，故选D. 【点睛】由等式()()22f x f x -=+得函数()f x 的周期4T =，其理由是：(2)x -为函数()f x 自变量的一个取值，(2)x +为函数()f x 自变量的另一个取值，这两个自变量的差始终为4，函数值始终相等，所以函数的周期为4.7.函数()tan(2)3f x x π=-的单调递增区间为（ ）A. 5[,]()212212k k k Z ππππ-+∈ B. 5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈C. 5(,)()212212k k k Z ππππ-+∈ D. 2(,)()63k k k Z ππππ++∈ 【答案】C 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性，直接把23x π-代入tan y x =的单调递增区间，求出x 的范围即函数()f x 的单调递增区间.【详解】因为2232k x k πππππ-<-<+，解得：5,212212k k x k Z ππππ-<<+∈， 所以函数的单调递增区间为：5(,)()212212k k k Z ππππ-+∈，故选C. 【点睛】本题考查正切函数单调递增区间，注意单调区间为一个开区间，同时要注意不能错解成222232k x k πππππ-<-<+，即把正、余弦函数的周期2k π与正切函数的周期k π混淆.8.函数()cos x f x e x =⋅在()()0,0f 处切线斜率为（ ）A. 0B. 1-C. 1D.22【答案】C 【解析】分析：首先求得函数()f x 的导函数，然后结合导函数研究函数的切线即可. 详解：由函数的解析式可得：()()()'cos sin cos sin xxxf x e x e x ex x =+⨯-=-，则()()()0'0cos0sin01101f e =-=⨯-=，即函数()xf x e cosx =⋅在()()0,0f 处切线斜率为1.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查导函数与原函数切线之间的关系，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.已知函数()sin(2)3f x x π=+，将其图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（ ） A.12πB.512π C.6π D.56π 【答案】B【解析】 【分析】由平移变换得到()sin(22)3g x x πϕ=-+，由偶函数的性质得到sin(22)13x πϕ-+=±，从而求min 512πϕ=. 【详解】由题意得：()sin[2())]sin(22)33g x x x ππϕϕ=-+=-+，因为()g x 为偶函数，所以函数()g x 的图象关于0x =对称，所以当0x =时，函数()g x 取得最大值或最小值，所以sin(2)13πϕ-+=±，所以2,32k k Z ππϕπ-+=+∈，解得：1,22k k Z ππϕ=--∈， 因为0ϕ>，所以当1k =-时，min 512πϕ=，故选B. 【点睛】平移变换、伸缩变换都是针对自变量x 而言的，所以函数()f x 向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x ，不能错误地得到()sin (2)3g x x x πϕ=+-.10.已知函数22(1),10()1,01x x f x x x ⎧+-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，则11()f x dx -⎰=（ ）A. 3812π-B. 44π+C. 3412π+D.3412π- 【答案】C 【解析】 【分析】由积分运算、微积分基本定理、积分的几何意义分别求出022101(1),1,34x dx x dx π-+=-=⎰⎰，从而求得1134()12f x dx π-+=⎰. 【详解】因为10111()()(),f x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰由微积分基本定理得：0023011111()(1)(1)|33f x dx x dx x ---=+=+=⎰⎰， 由积分的几何意义得：120()1,4f x dx x dx π=-=⎰⎰所以1134()12f x dx π-+=⎰，故选C. 【点睛】本题考查积分的运算法则及积分的几何意义的运用，考查数形结合思想和运算求解能力.11.若函数()()sin 2f x x b ϕ=++，对任意实数x 都有()2,133f x f x fππ⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数b 的值为（ ） A. 2-和0 B. 0 和1C. 1±D. 2±【答案】A 【解析】 由()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得函数一条对称轴为π6x = ,因此ππsin()1π()36k k ϕϕ+=±⇒=+∈Z ,由213f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得4ππsin(π)1112036k b b b +++=-⇒=-±⇒=-或 ,选A. 点睛：求函数解析式sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>方法：(1)max min max min ,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ. （4）由 ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴12.已知3tan 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A.725B.925C.1625D.2425【答案】B 【解析】π1tan 3tan 41tan 4ααα+⎛⎫+==⎪-⎝⎭，解得1tan 7α=-，故2π1cos 2π1sin 212cos sin cos 4222ααααα⎛⎫+- ⎪+⎛⎫⎝⎭-===+ ⎪⎝⎭，其中222sin cos tan 7sin cos sin cos tan 150αααααααα===-++，故19sin cos 225αα+=.点睛：本题驻澳考查三角恒等变换，考查两角和的正切公式，考查降次公式和二倍角公式，考查利用同角三角函数关系求解齐次方程.首先先根据两角和的正切公式求得tan α，然后利用降次公式和诱导公式化简要求解的式子，再利用齐次方程来求出结果.最突出的是选项的设置，如果记错降次公式或者诱导公式，则会计算出,A C 选项.13.设函数()()224,ln 25xf x e xg x x x =+-=+-，若实数,a b 分别是()(),f x g x 的零点，则（ ）A. ()()0g a f b <<B. ()()0f b g a <<C. ()()0g a f b <<D. ()()0f b g a <<【答案】A 【解析】由题意得，函数()(),f x g x 在各自的定义域上分别为增函数， ∵()()120,130f e g =->=-<， 又实数,a b 分别是()(),f x g x 的零点 ∴1,1a b <>，∴()(1)0,()(1)0g a g f b f ， 故()()0g a f b <<。
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D． 0,1
8.若 f (x) lg(x2 2ax 1 a) 在区间 (,1] 上单调递减，则 a 的取值范围为（ ）
A．[1, 2)
B． 1，2
C. [1，+)
D． [2，+)
9.已知 a ， b ， c 分别为 ABC 内角 A ， B ， C 的对边，且 a ， b ， c 成等比数列，且 B ， 3
3.阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为 5，则程序中 a 的取值范围为（ ）
S 0 i 1 DO
S Si i i 1 LOOP UNTIL i a PRINT S END
A． 5 a 6
B． 5 a 6
C． 5 a 6
D． 5 a 6
4.使不等式 x 1 4 成立的一个必要不充分条件是（ ）
是
．
19.已知函数 f (x) 2x sin x ，若正实数 a ， b 满足 f (a) f (2b 1) 0 ，则 1 4 的最小 ab
值是
．
20.已知集合{a, b, c} {2, 3, 4}，且下列三个关系： a 3 ， b 3 ， c 4 中有且只有一个正
A． 2 x 3
B． 6 x 3
C. 5 x 3
D． 6 x 2
5.已知集合 A {1, 2,3} ， B 3, 4 ，则从 A 到 B 的映射 f 满足 f (3) 3 ，则这样的映射共
有（ ）
A．3 个
B．4 个
C.5 个
D．6 个
6.在直角坐标系中，若角
-3-
（2）若直线
l
的参数方程为
x
1
2
5 5
t
（
t
为参数），设点
P(1,1)
，直线
l
与曲线
C
相交于
A
，
y
1
5 t
5
B 两点，求 PA PB 的值.
22.如图，在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若
的终边经过点
P
sin
2 3
,
cos
2 3
，在
sin(
)
（
）
-1-
1
A．
2
3
B．
2
C. 1 2
D． 3 2
7.定义运算
a*b
，
a*b
a b
a a
b b
，例如1* 2
1 ，则函数
y
1* 2x
的值域为（
）
A． 0,1
B． ,1
C.1,
D．第四象限
2.设 A 、 B 为非空集合，定义集合 A* B 为如图非阴影部分的集合，若 A {x | y 2x x2 }，
B {y | y 3x , x 0} ，则 A* B （ ）
A． 0, 2
B．0,1 U2,
C． (1, 2]
D．0,1 U2,
长郡中学 2017-2018 学年度高二第二学期期末考试
数学（理科）
一、选择题：本大题共 15 个小题,每小题 3 分,共 45 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.复数 z cos 2 i sin 2 在复平面内对应的点在（ ）
3
3
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D． (1 ,1) 3
f (2018) f (2018) f '(2019) f '(2019) （ ）
A.2
B.20பைடு நூலகம்9
C.2018
D.0
14. ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 a b c 20 ，三角形面积为
-2-
10 3 ， A 60 ，则 a ( )
条件(将正确的序号填入空格处).
①充分条件②必要条件③充要条件④既不充分也不必要条件
17.对
于
a，
bN ，
规
定
a
*
b
a a
b, b,
a与b的奇偶性相同
，
a与b的奇偶性不同
集
合
M a,b a *b 36, a,b N ，则 M 中的元素的个数为
．
18.已知平面向量 a ， b 满足 a 1 ， b 2 ， a b 3 ，则 a 在 b 方向上的投影
值等于（ ）
5
A．1
B．
C.3
D．0
2
12.设 f (x) x2 2x 2(ex1 e1x ) ，则使得 f (x 1) f (2x 2) 的 x 的取值范围是
（）
A． (,1) U(3, )
B． (1,3)
C. (, 1) U(1, ) 3
13.已知函数 f (x) 2 sin x ，其中 f '(x) 为函数 f (x) 的导数，则 2019x 1
A.7
B.8
C.5
D.6
15.在 ABC 中，已知 ABgAC 9 ， sin B cos Agsin C ， SABC 6 ， P 为线段 AB 上的一
点，且
uuur CP
uuur xgCuuAur
uuur ygCuuBur
，则
1
1
的最小值为（
）
CA CB x y
7
A.
7
B.
则 1 1 （ ） tan A tan C
A． 3
2
B．
2
23
C.
3
43
D．
3
10.已知 a ， b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足 (c a)g(c b) 0 ，则 c 的
最大值是（ ）
A．1
B．2
C. 2
2
D．
2
11.已知函数 y f (x) 的图象在点 M (1, f (1)) 处的切线方程是 y 1 x 2 ，则 f (1) f '(1) 的 2
确，则函数
f
(x)
2x , x b
(
x
c)2
a,
x
b
的值域是
．
三、解答题 ：本大题共 5 小题，每小题 8 份，共 40 分.
21. 以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐
标方程为 sin2 =4 cos .
（1）求曲线 C 的直角坐标方程；
C. 7 3
D. 7 3
6
12
12 3
63
二、填空题：本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分.
16. 《左传.僖公十四年》有记载:“皮之不存,毛将焉附?"”这句话的意思是说皮都没有了,毛
往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基础,就不能存在.皮之不存,毛将焉附?则“有毛”
是“有皮”的