高一数学函数的概念习题课1
高一数学课后习题与答案
人教版高一数学课后答案 第一章 集合与函数概念1．1集合1．1．1集合的含义与表示练习（第5页）1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______A ，美国_______A ，印度_______A ，英国_______A ；（2）若2{|}A x x x ==，则1-_______A ； （3）若2{|60}B x x x =+-=，则3_______B ；（4）若{|110}C x N x =∈≤≤，则8_______C ，9.1_______C ． 1．（1）中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A ；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．（2）1-∉A 2{|}{0,1}A x x x ===． （3）3∉B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-． （4）8∈C ，9.1∉C 9.1N ∉． 2．试选择适当的方法表示下列集合：（1）由方程290x -=的所有实数根组成的集合； （2）由小于8的所有素数组成的集合；（3）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； （4）不等式453x -<的解集．2．解：（1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=，所以由方程290x -=的所有实数根组成的集合为{3,3}-； （2）因为小于8的素数为2,3,5,7，所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}；（3）由326y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得14x y =⎧⎨=⎩，即一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点为(1,4)，所以一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；（4）由453x -<，得2x <，所以不等式453x -<的解集为{|2}x x <．1．1．2集合间的基本关系练习（第7页）1．写出集合{,,}a b c 的所有子集．1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得∅；取一个元素，得{},{},{}a b c ； 取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ； 取三个元素，得{,,}a b c ，即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅．2．用适当的符号填空：（1）a ______{,,}a b c ； （2）0______2{|0}x x =； （3）∅______2{|10}x R x ∈+=； （4）{0,1}______N ；（5）{0}______2{|}x x x =； （6）{2,1}______2{|320}x x x -+=． 2．（1）{,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素； （2）20{|0}x x ∈= 2{|0}{0}x x ==； （3）2{|10}x R x ∅=∈+= 方程210x +=无实数根，2{|10}x R x ∈+==∅；（4）{0,1}N （或{0,1}N ⊆） {0,1}是自然数集合N 的子集，也是真子集；（5）{0}2{|}x x x = （或2{0}{|}x x x ⊆=） 2{|}{0,1}x x x ==； （6）2{2,1}{|320}x x x =-+= 方程2320x x -+=两根为121,2x x ==．3．判断下列两个集合之间的关系：（1）{1,2,4}A =，{|8}B x x =是的约数；（2）{|3,}A x x k k N ==∈，{|6,}B x x z z N ==∈；（3）{|410}A x x x N +=∈是与的公倍数,，{|20,}B x x m m N +==∈．3．解：（1）因为{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数，所以AB ；（2）当2k z =时，36k z =；当21k z =+时，363k z =+，即B 是A 的真子集，BA ；（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B =．1．1．3集合的基本运算练习（第11页）1．设{3,5,6,8},{4,5,7,8}A B ==，求,A B A B ． 1．解：{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B == ， {3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}A B == ．2．设22{|450},{|1}A x x x B x x =--===，求,A B A B ． 2．解：方程2450x x --=的两根为121,5x x =-=， 方程210x -=的两根为121,1x x =-=， 得{1,5},{1,1}A B =-=-， 即{1},{1,1,5}A B A B =-=- ．3．已知{|}A x x =是等腰三角形，{|}B x x =是直角三角形，求,A B A B ． 3．解：{|}A B x x = 是等腰直角三角形，{|}A B x x = 是等腰三角形或直角三角形． 4．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,4,5},{1,3,5,7}A B ==， 求(),()()U U U A B A B 痧 ．4．解：显然{2,4,6}U B =ð，{1,3,6,7}U A =ð， 则(){2,4}U A B = ð，()(){6}U U A B = 痧．1．1集合习题1．1 （第11页） A 组 1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）237_______Q ； （2）23______N ； （3）π_______Q ；（4R ； （5Z ； （6）2_______N ． 1．（1）237Q ∈ 237是有理数； （2）23N ∈ 239=是个自然数；（3）Q π∉ π是个无理数，不是有理数； （4R（5Z3=是个整数； （6）2N ∈ 2)5=是个自然数． 2．已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，用 “∈”或“∉” 符号填空： （1）5_______A ； （2）7_______A ； （3）10-_______A ．2．（1）5A ∈； （2）7A ∉； （3）10A -∈．当2k =时，315k -=；当3k =-时，3110k -=-； 3．用列举法表示下列给定的集合： （1）大于1且小于6的整数；（2）{|(1)(2)0}A x x x =-+=； （3）{|3213}B x Z x =∈-<-≤．3．解：（1）大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；（2）方程(1)(2)0x x -+=的两个实根为122,1x x =-=，即{2,1}-为所求； （3）由不等式3213x -<-≤，得12x -<≤，且x Z ∈，即{0,1,2}为所求． 4．试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数24y x =-的函数值组成的集合；（2）反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合； （3）不等式342x x ≥-的解集．4．解：（1）显然有20x ≥，得244x -≥-，即4y ≥-，得二次函数24y x =-的函数值组成的集合为{|4}y y ≥-；（2）显然有0x ≠，得反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合为{|0}x x ≠； （3）由不等式342x x ≥-，得45x ≥，即不等式342x x ≥-的解集为4{|}5x x ≥．5．选用适当的符号填空：（1）已知集合{|233},{|2}A x x x B x x =-<=≥，则有：4-_______B ； 3-_______A ； {2}_______B ； B _______A ；（2）已知集合2{|10}A x x =-=，则有：1_______A ； {1}-_______A ； ∅_______A ； {1,1}-_______A ； （3）{|}x x 是菱形_______{|}x x 是平行四边形； {|}x x 是等腰三角形_______{|}x x 是等边三角形．5．（1）4B -∉； 3A -∉； {2}B ； BA ；2333x x x -<⇒>-，即{|3},{|2}A x x B x x =>-=≥；（2）1A ∈； {1}-A ； ∅A ； {1,1}-=A ； 2{|10}{1,1}A x x =-==-；（3）{|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形；菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；{|}x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形．等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．6．设集合{|24},{|3782}A x x B x x x =≤<=-≥-，求,A B A B ． 6．解：3782x x -≥-，即3x ≥，得{|24},{|3}A x x B x x =≤<=≥， 则{|2}A B x x =≥ ，{|34}A B x x =≤< ．7．设集合{|9}A x x =是小于的正整数，{1,2,3},{3,4,5,6}B C ==，求A B ， A C ，()A B C ，()A B C ．7．解：{|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数， 则{1,2,3}A B = ，{3,4,5,6}A C = ，而{1,2,3,4,5,6}B C = ，{3}B C = ， 则(){1,2,3,4,5,6}A B C = ，(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C = ．8．学校里开运动会，设{|}A x x =是参加一百米跑的同学，{|}B x x =是参加二百米跑的同学，{|}C x x =是参加四百米跑的同学，学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明这项规定， 并解释以下集合运算的含义：（1）A B ；（2）A C ． 8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项， 即为()A B C =∅ ．（1）{|}A B x x = 是参加一百米跑或参加二百米跑的同学； （2）{|}A C x x = 是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学．9．设{|}S x x =是平行四边形或梯形，{|}A x x =是平行四边形，{|}B x x =是菱形， {|}C x x =是矩形，求B C ，A B ð，S A ð． 9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即{|}B C x x = 是正方形，平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形， 即{|}A B x x =是邻边不相等的平行四边形ð， {|}S A x x =是梯形ð．10．已知集合{|37},{|210}A x x B x x =≤<=<<，求()R A B ð，()R A B ð，()R A B ð，()R A B ð．10．解：{|210}A B x x =<< ，{|37}A B x x =≤< ， {|3,7}R A x x x =<≥或ð，{|2,10}R B x x x =≤≥或ð， 得(){|2,10}R A B x x x =≤≥ 或ð， (){|3,7}R A B x x x =<≥ 或ð， (){|23,710}R A B x x x =<<≤< 或ð， (){|2,3710}R A B x x x x =≤≤<≥ 或或ð．B 组1．已知集合{1,2}A =，集合B 满足{1,2}A B = ，则集合B 有 个． 1．4 集合B 满足A B A = ，则B A ⊆，即集合B 是集合A 的子集，得4个子集． 2．在平面直角坐标系中，集合{(,)|}C x y y x ==表示直线y x =，从这个角度看， 集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示什么？集合,C D 之间有什么关系？2．解：集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示两条直线21,45x y x y -=+=的交点的集合，即21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，点(1,1)D 显然在直线y x =上，得D C ．3．设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求,A B A B ． 3．解：显然有集合{|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==，当3a =时，集合{3}A =，则{1,3,4},A B A B ==∅ ； 当1a =时，集合{1,3}A =，则{1,3,4},{1}A B A B == ； 当4a =时，集合{3,4}A =，则{1,3,4},{4}A B A B == ； 当1a ≠，且3a ≠，且4a ≠时，集合{3,}A a =，则{1,3,4,},A B a A B ==∅ ．4．已知全集{|010}U A B x N x ==∈≤≤ ，(){1,3,5,7}U A B = ð，试求集合B ． 4．解：显然{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =，由U A B = ，得U B A ⊆ð，即()U UA B B =痧，而(){1,3,5,7}U A B = ð， 得{1,3,5,7}U B =ð，而()U U B B =痧， 即{0,2,4,6,8.9,10}B =．第一章 集合与函数概念1．2函数及其表示1．2．1函数的概念练习（第19页）1．求下列函数的定义域：（1）1()47f x x =+； （2）()1f x =．1．解：（1）要使原式有意义，则470x +≠，即74x ≠-，得该函数的定义域为7{|}4x x ≠-；（2）要使原式有意义，则1030x x -≥⎧⎨+≥⎩，即31x -≤≤，得该函数的定义域为{|31}x x -≤≤． 2．已知函数2()32f x x x =+，（1）求(2),(2),(2)(2)f f f f -+-的值； （2）求(),(),()()f a f a f a f a -+-的值．2．解：（1）由2()32f x x x =+，得2(2)322218f =⨯+⨯=， 同理得2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=，则(2)(2)18826f f +-=+=，即(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=；（2）由2()32f x x x =+，得22()3232f a a a a a =⨯+⨯=+， 同理得22()3()2()32f a a a a a -=⨯-+⨯-=-， 则222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=，即222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=．3．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：（1）表示炮弹飞行高度h 与时间t 关系的函数21305h t t =-和二次函数21305y x x =-； （2）()1f x =和0()g x x =．3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间0t >； （2）不相等，因为定义域不同，0()(0)g x x x =≠． 1．2．2函数的表示法练习（第23页）1．如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为xcm ， 面积为2ycm ，把y 表示为x 的函数．1，y ==，且050x <<，即(050)y x =<<．2．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事． （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．2．解：图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化； 图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速； 图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进． 3．画出函数|2|y x =-的图象． 3．解：2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，图象如下所示．{|},{0,1}A x x B ==是锐角，从A 到B 的映射是“求正弦”，4．设中元素60相对应与AB 中的元素是什么？与B中的元素2相对应的A 中元素是什的么？4．解：因为sin 60=，所以与A 中元素60相对应的B；因为sin 45=，所以与B相对应的A 中元素是45．（A ）（B ）（C ）（D ）1．2函数及其表示 习题1．2（第23页）1．求下列函数的定义域：（1）3()4xf x x =-； （2）()f x =（3）26()32f x x x =-+； （4）()f x =1．解：（1）要使原式有意义，则40x -≠，即4x ≠， 得该函数的定义域为{|4}x x ≠；（2）x R ∈，()f x =即该函数的定义域为R ；（3）要使原式有意义，则2320x x -+≠，即1x ≠且2x ≠，得该函数的定义域为{|12}x x x ≠≠且；（4）要使原式有意义，则4010x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≤且1x ≠，得该函数的定义域为{|41}x x x ≤≠且． 2．下列哪一组中的函数()f x 与()g x 相等？（1）2()1,()1x f x x g x x=-=-； （2）24(),()f x x g x ==；（3）2(),()f x x g x ==．2．解：（1）()1f x x =-的定义域为R ，而2()1x g x x=-的定义域为{|0}x x ≠， 即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（2）2()f x x =的定义域为R ，而4()g x =的定义域为{|0}x x ≥， 即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（32x =，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，得函数()f x 与()g x 相等．3．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域．（1）3y x =； （2）8y x=； （3）45y x =-+； （4）267y x x =-+． 3．解：（1）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞； （2）定义域是(,0)(0,)-∞+∞ ，值域是(,0)(0,)-∞+∞ ；（3）域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；定义（4）定义域是(,)-∞+∞，值域是[2,)-+∞．4．已知函数2()352f x x x =-+，求(f ，()f a -，(3)f a +，()(3)f a f +．4．解：因为2()352f x x x =-+，所以2(3(5(28f =⨯-⨯+=+即(8f =+同理，22()3()5()2352f a a a a a -=⨯--⨯-+=++， 即2()352f a a a -=++；22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=⨯+-⨯++=++， 即2(3)31314f a a a +=++；22()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+， 即2()(3)3516f a f a a +=-+． 5．已知函数2()6x f x x +=-， （1）点(3,14)在()f x 的图象上吗？ （2）当4x =时，求()f x 的值； （3）当()2f x =时，求x 的值． 5．解：（1）当3x =时，325(3)14363f +==-≠-， 即点(3,14)不在()f x 的图象上； （2）当4x =时，42(4)346f +==--， 即当4x =时，求()f x 的值为3-；（3）2()26x f x x +==-，得22(6)x x +=-， 即14x =．6．若2()f x x bx c =++，且(1)0,(3)0f f ==，求(1)f -的值． 6．解：由(1)0,(3)0f f ==，得1,3是方程20x bx c ++=的两个实数根， 即13,13b c +=-⨯=，得4,3b c =-=，即2()43f x x x =-+，得2(1)(1)4(1)38f -=--⨯-+=， 即(1)f -的值为8．7．画出下列函数的图象：（1）0,0()1,0x F x x ≤⎧=⎨>⎩； （2）()31,{1,2,3}G n n n =+∈．7．图象如下：8．如图，矩形的面积为10，如果矩形的长为x ，宽为y ，对角线为d ，周长为l ，那么你能获得关于这些量的哪些函数？ 8．解：由矩形的面积为10，即10xy =，得10(0)y x x=>，10(0)x y y=>，由对角线为d ，即d =，得0)d x =>， 由周长为l ，即22l x y =+，得202(0)l x x x=+>， 另外2()l x y =+，而22210,xy d x y ==+，得(0)l d ===>，即0)l d =>．9．一个圆柱形容器的底部直径是dcm ，高是hcm ，现在以3/vcm s 的速度向容器内注入某种溶液．求溶液内溶液的高度xcm 关于注入溶液的时间ts 的函数解析式，并写出函数的定义域和值域． 9．解：依题意，有2()2d x vt π=，即24vx t d π=， 显然0x h ≤≤，即240v t h d π≤≤，得204h d t vπ≤≤， 得函数的定义域为2[0,]4h d vπ和值域为[0,]h ． 10．设集合{,,},{0,1}A a b c B ==，试问：从A 到B 的映射共有几个？ 并将它们分别表示出来．10．解：从A 到B 的映射共有8个．分别是()0()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．Ｂ组1．函数()r f p =的图象如图所示． （1）函数()r f p =的定义域是什么？ （2）函数()r f p =的值域是什么？（3）r 取何值时，只有唯一的p 值与之对应？ 1．解：（1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2,6)- ； （2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；（3）当5r >，或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应．2．画出定义域为{|38,5}x x x -≤≤≠且，值域为{|12,0}y y y -≤≤≠的一个函数的图象．（1）如果平面直角坐标系中点(,)P x y 的坐标满足38x -≤≤，12y -≤≤，那么其中哪些点不能在图象上？（2）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？2．解：图象如下，（1）点(,0)x 和点(5,)y 不能在图象上；（2）省略．3．函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[ 3.5]4-=-，[2.1]2=． 当( 2.5,3]x ∈-时，写出函数()f x 的解析式，并作出函数的图象．3．解：3, 2.522,211,10()[]0,011,122,233,3x x x f x x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<⎪==≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪=⎩图象如下4．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P 的距离是2km ，从点P 沿海岸正东12km 处有一个城镇．（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度是5/km h ，t （单位：h ）表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：km ）表示此人将船停在海岸处距P 点的距离．请将t 表示为x 的函数． （2）如果将船停在距点P 4km 处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到1h ）？4．解：（112x -，得1235xt -=+，(012)x ≤≤，即1235xt -=+，(012)x ≤≤．（2）当4x =时，12483()355t h -=+=+≈．第一章 集合与函数概念1．3函数的基本性质1．3．1单调性与最大（小）值练习（第32页）1．请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高． 2．整个上午(8:0012:00) 天气越来越暖，中午时分(12:0013:00) 一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山(18:00)才又开始转凉.画出这一天8:0020:00 期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间. 2．解：图象如下[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间． 3．根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数．4．证明函数()21f x x =-+在R 上是减函数.4．证明：设12,x x R ∈，且12x x <，因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->， 即12()()f x f x >，所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.5．设()f x 是定义在区间[6,11]-上的函数.如果()f x 在区间[6,2]--上递减，在区间[2,11]-上递增，画出()f x 的一个大致的图象，从图象上可以发现(2)f -是函数()f x 的一个 . 5．最小值．1．3．2单调性与最大（小）值练习（第36页）1．判断下列函数的奇偶性：（1）42()23f x x x =+； （2）3()2f x x x =-（3）21()x f x x+=； （4）2()1f x x =+.1．解：（1）对于函数42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=， 所以函数42()23f x x x =+为偶函数；（2）对于函数3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-， 所以函数3()2f x x x =-为奇函数；（3）对于函数21()x f x x+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x -++-==-=--， 所以函数21()x f x x+=为奇函数；（4）对于函数2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=， 所以函数2()1f x x =+为偶函数.2.已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，试将下图补充完整.2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的；()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的．习题1.3A 组1.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数()y f x =的单调区间，以及在各单调区间 上函数()y f x =是增函数还是减函数.（1）256y x x =--； （2）29y x =-. 1．解：（1）函数在5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2+∞上递增； （2）(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减.函数在2.证明：（1）函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数.120x x <<，而2．证明：（1）设2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-，由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）设120x x <<，而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=， 由12120,0x x x x >-<，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 3.探究一次函数()y mx b x R =+∈的单调性，并证明你的结论. 3．解：当0m >时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数； 当0m <时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数， 令()f x mx b =+，设12x x <， 而1212()()()f x f x m x x -=-，当0m >时，12()0m x x -<，即12()()f x f x <， 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，12()0m x x ->，即12()()f x f x >，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数.4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次 慢慢升高.画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）. 4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为5.某汽车租赁公司的月收益y 元与每辆车的月租金x 元间的关系为21622100050x y x =-+-，那么，每辆车的月租金多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？5．解：对于函数21622100050x y x =-+-， 当162405012()50x =-=⨯-时，max 307050y =（元）， 即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元．6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =+.画出函数()f x 的图象，并求出函数的解析式.6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+，即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-， 得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-， 所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.B 组1.已知函数2()2f x x x =-，2()2([2,4])g x x x x =-∈.（1）求()f x ，()g x 的单调区间； （2）求()f x ，()g x 的最小值. 1．解：（1）二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =，则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数， 函数()g x 的单调区间为[2,4]， 且函数()g x 在[2,4]上为增函数； （2）当1x =时，min ()1f x =-， 因为函数()g x 在[2,4]上为增函数， 所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．2.如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30m ，那么宽x （单位：m ）为多少才能使建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？2．解：由矩形的宽为x m ，得矩形的长为3032xm -，设矩形的面积为S ， 则23033(10)22x x x S x --==-， 当5x =时，2max 37.5S m =，即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是237.5m ．3.已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并证明你的判断.3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下： 设120x x <<，则120x x ->->，因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-， 又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数．复习参考题A 组1．用列举法表示下列集合： （1）2{|9}A x x ==； （2）{|12}B x N x =∈≤≤； （3）2{|320}C x x x =-+=.1．解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-； （2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；（3）方程2320x x -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =． 2．设P 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？ （1）{|}P PA PB =(,)A B 是两个定点； （2）{|3}P PO cm =()O 是定点.2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等， 即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线；（2）{|3}P PO cm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆． 3.设平面内有ABC ∆，且P 表示这个平面内的动点，指出属于集合{|}{|}P PA PB P PA PC == 的点是什么.3．解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线， 集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线，得{|}{|}P PA PB P PA PC == 的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．4.已知集合2{|1}A x x ==，{|1}B x ax ==.若B A ⊆，求实数a 的值.4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==， 当0a =时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =；当0a ≠时，集合1{}B a =，而B A ⊆，则11a =-，或11a=， 得1a =-，或1a =， 综上得：实数a 的值为1,0-，或1．5.已知集合{(,)|20}A x y x y =-=，{(,)|30}B x y x y =+=，{(,)|23}C x y x y =-=，求A B ，A C ，()()AB BC .5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y A B x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，即{(0,0)}A B = ；集合20(,)|23x y A C x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭，即A C =∅ ；集合3039(,)|{(,)}2355x y B C x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭；则39()(){(0,0),(,)}55A B B C =- . 6.求下列函数的定义域：（1）y ；（2）||5y x =-.6．解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩，即2x ≥，得函数的定义域为[2,)+∞；（2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠，得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞ ． 7.已知函数1()1xf x x-=+，求： （1）()1(1)f a a +≠-； （2）(1)(2)f a a +≠-.7．解：（1）因为1()1xf x x -=+， 所以1()1a f a a -=+，得12()1111a f a a a-+=+=++，即2()11f a a +=+； （2）因为1()1xf x x-=+，所以1(1)(1)112a af a a a -++==-+++，即(1)2af a a +=-+．8.设221()1x f x x +=-，求证：（1）()()f x f x -=； （2）1()()f f x x=-.8．证明：（1）因为221()1x f x x+=-， 所以22221()1()()1()1x x f x f x x x+-+-===---， 即()()f x f x -=；（2）因为221()1x f x x+=-， 所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---，即1()()f f x x=-.9.已知函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，求实数k 的取值范围. 9．解：该二次函数的对称轴为8k x =， 函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，则208k ≥，或58k≤，得160k ≥，或40k ≤， 即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤．10．已知函数2y x -=，（1）它是奇函数还是偶函数？ （2）它的图象具有怎样的对称性？ （3）它在(0,)+∞上是增函数还是减函数？（4）它在(,0)-∞上是增函数还是减函数？10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==， 即函数2y x -=是偶函数；（2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称； （3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数； （4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数．B 组1.学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？ 1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人， 则158143328x ++---=，得3x =， 只参加游泳一项比赛的有15339--=（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人． 2.已知非空集合2{|}A x R x a =∈=，试求实数a 的取值范围. 2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥．3.设全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，(){1,3}U A B = ð，(){2,4}U A B = ð，求集合B . 3．解：由(){1,3}U A B = ð，得{2,4,5,6,7,8,9}A B = ， 集合A B 里除去()U A B ð，得集合B ， 所以集合{5,6,7,8,9}B =.4.已知函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.求(1)f ，(3)f -，(1)f a +的值.4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=； 当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=；(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩．5.证明：（1）若()f x ax b =+，则1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）若2()g x x ax b =++，则1212()()()22x x g x g x g ++≤. 5．证明：（1）因为()f x ax b =+，得121212()()222x x x x af a b x x b ++=+=++，121212()()()222f x f x ax b ax b ax x b ++++==++， 所以1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）因为2()g x x ax b =++，得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++， 22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++2212121()()22x x x x a b +=+++， 因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤，即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+， 所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6.（1）已知奇函数()f x 在[,]a b 上是减函数，试问：它在[,]b a --上是增函数还是减函数？ （2）已知偶函数()g x 在[,]a b 上是增函数，试问：它在[,]b a --上是增函数还是减函数？ 6．解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下： 设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-，又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >， 所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数； （2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下： 设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x -<-， 又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即12()()g x g x >，所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数．7.《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过2000元的部分 不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算： 某人一月份应交纳此项税款为26.78元，那么他当月的工资、薪金所得是多少7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得25004000x <≤，25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =， 所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．。
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第 1 课函数的概念【考点导读】1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数．【基础练习】1．设有函数组：①y x ， y x2 ；② y x ， y 3 x3；③y x ， y x ；④x1 ( x 0), ，x lg x 1 ，y lg x _____．y( x y ；⑤ y ．其中表示同一个函数的有1 0), x 102. 设集合M { x 0 x 2} ， N { y 0 y 2} ，从 M 到 N 有四种对应如图所示：y y y y2 2 2 2O 1 2 x O1 2 x O 1 2 x O12 x①②③④其中能表示为 M 到 N 的函数关系的有_______．3.写出下列函数定义域：(1) f ( x) 1 3x 的定义域为______；(2) f ( x) 1 的定义域为 ______________；x2 1(3) f ( x) x 1 1的定义域为 ______________ ； (4) f ( x)( x 1)0x x的定义域为 __x4．已知三个函数 :(1) y P(x)y 2n P( x) ( n N *) ；(3) y log Q( x) P( x) ．写出使； (2)Q(x)各函数式有意义时，P(x) ， Q (x) 的约束条件：(1)_____________________(2)________________ ； (3)______________________________ ．5.写出下列函数值域：(1) f ( x) x2 x ， x {1,2,3} ；值域是(2) f ( x) x2 2x 2 ；值域是．(3) f ( x) x 1， x (1,2] ．值域是．【范例解析】例 1. 设有函数组：①f ( x) x2 1， g ( x) x 1 ；② f (x) x 1 x 1 ，x 1g( x)x 21；③f ( x)x22x，1；④f ( x) 2x，2t 1．其1 g ( x) x 1 g(t)中表示同一个函数的有③④．点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数．而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可．例 2.求下列函数的定义域：①y 1 x2 1 ；② f (x) x ；2 x log 1 (2 x)2例 3.求下列函数的值域：（1）y x2 4x 2 ， x [0,3) ；（2）yx2 ( x R)；x2 1（3）y x 2 x 1．点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围．【反馈演练】1．函数 f(x)＝ 1 2x的定义域是___________．2．函数f ( x) 1 的定义域为 _________________ ．log 2 ( x2 4x 3)3. 函数 y 1 (x R) 的值域为________________．x214. 函数 y 2x 3 13 4x 的值域为_____________．5．函数y log0.5 (4x2 3x) 的定义域为_____________________．【真题再现】1． (2014 山东 ) 函数 f(x)＝1－ 2x＋1)的定义域为 (x＋3lg x＋1的定义域是 ( )2．（ 2014 广东）函数 y＝x－13（ 2014 辽宁） .已知函数 f(x) ＝ln( 1＋ 9x2－ 3x)＋ 1，则 f(lg 2) ＋ f lg 1＝ ( ) 24.（ 2013 山东）函数 f(x)＝ log2(3x＋ 1)的值域为 ( )5.(2013 ·浙江 ) 已知函数 f(x)= x-1, 若 f(a)=3, 则实数 a= .6.（ 2013 天津）设函数 g(x)＝ x2－ 2(x∈ R )， f(x)＝g x ＋ x＋ 4，x＜ g x ，则 f(x)的值域是 ( g x － x， x≥ g x .第 2 课函数的表示方法【考点导读】1.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数．2.求解析式一般有四种情况： （ 1）根据某个实际问题须建立一种函数关系式；（ 2）给出函数特征，利用待定系数法求解析式；（ 3）换元法求解析式； （ 4）解方程组法求解析式．【基础练习】1.设函数 f (x) 2x 3 ， g( x) 3x 5 ，则 f ( g( x)) _________；g ( f ( x)) __________ ．2.设函数 f (x)1 ， g( x) x2 2 ,则 g( 1)____________； f [ g (2)]； f [ g( x)]1 x3.已知函数 f (x) 是一次函数，且 f (3) 7 ， f (5) 1 ,则 f (1) _____．| x1| 2,| x | 1, 1)] ＝ _____________．4.设 f( x) ＝1，则 f[ f(1x 2,| x | 125.如图所示的图象所表示的函数解析式为 __________________________ ．【范例解析】第 5 题例 1.已知二次函数 yf ( x) 的最小值等于 4，且 f (0)f (2) 6 ，求 f ( x) 的解析式．分析：给出函数特征，可用待定系数法求解．例 2.甲同学家到乙同学家的途中有一公园， 甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km ，甲 10 时出发前往乙家．如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程y （ km ）与时间 x（分）的关系．试写出 yf (x) 的函数解析式．【反馈演练】e x e xe x e x（）1．若 f ( x)2 ， g (x)，则 f (2 x)2Ａ． 2 f ( x)Ｂ． 2[ f ( x) g (x)] Ｃ． 2g (x)Ｄ． 2[ f (x) g(x)]2的最大整数 , 则对任意实数x,有().设 [x] 表示不大于 x1y4321O10 20 30 40 50 60x例 2A .[ －x]= － [x] B. [x + [ x] C. [2x]=2[x]D.【真题再现】2]=[x]1[ x] [2 x] 22x ， x ＞ 0， 1.（ 2013 北京已知函数 ?(x)＝若 ?(a)＋ ?(1)＝ 0，则实数 a 的值等于 ( )x ＋ 1，x ≤ 0.2．（ 2013 北京 ）函数 f(x)＝log 1 x ， x ≥ 1，2的值域为 ________．2x ， x<11， x>0，1， x 为有理数， 3.（ 2012 福建）设 f(x)＝ 0， x ＝ 0，g(x)＝则 f(g( π)) 的值为．－ 1， x<0，0， x 为无理数，4.（ 2010 3x ＋ 2， x ＜1，若 f(f(0)) ＝ 4a ，则实数 a ＝ ________.陕西）已知函数 f(x) ＝x 2＋ ax ， x ≥ 1，5.（ 2013 福建）函数 f(x)＝ ln(x 2＋1)的图像大致是 ()6.（ 2014 江苏）已知实数 a ≠ 0，函数 f(x)＝2x ＋ a ， x ＜ 1， 若 f(1－ a)＝ f(1＋ a)，则 a 的值－x － 2a ， x ≥1.为________．7.（ 2012 江苏 ）设 f(x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间[ － 1,1] 上， f(x) ＝ax ＋ 1，－ 1≤ x ＜ 0，1 3bx ＋ 2，其中 a ， b ∈ R.若 f(0≤ x ≤ 1， 2)＝ f(2)，则 a ＋ 3b 的值为 ________．x ＋ 1第 3 课 函数的单调性【考点导读】1.理解函数单调性，最大（小）值及其几何意义；2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性．【基础练习】1.下列函数中： ① f (x)1；② f xx 2 2x 1；③ f (x) x ； ④ f (x) x 1 ．x其中，在区间 (0， 2)上是递增函数的序号有 ______．2.函数 yx x 的递增区间是 ___ _．3.已知函数yf ( x) 在定义域 R 上是单调减函数，且f ( a 1) f (2 a) ，则实数a 的取值范围 __________．4.已知下列命题：①定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (2)f (1)，则函数 f ( x) 是 R 上的增函数；②定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (2)f (1)，则函数 f ( x) 在 R 上不是减函数；③定义在 R 上的函数 f (x) 在区间 ( ,0] 上是增函数，在区间 [0,) 上也是增函数，则函数 f (x) 在 R 上是增函数；④定义在 R 上的函数 f (x) 在区间 ( ,0] 上是增函数，在区间 (0,) 上也是增函数，则函数 f (x) 在 R 上是增函数．其中正确命题的序号有 _________． 【范例解析】1.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞ )上单调递减的是 ()A ． y ＝1B ． y ＝ e x－xC ．y ＝－ x 2＋ 1D. y ＝ lg|x|2.下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为 ()A ． y ＝ cos 2x ， x ∈RB ．y ＝ log 2|x|，x ∈ R 且 x ≠ 0ex －e－xC ．y ＝， x ∈ R2D ． y ＝ x 3＋ 1， x ∈R 【反馈演练】1．已知函数 f ( x)1 ，则该函数在 R 上单调递 ___，（填“增”“减”）值域为 _________．2x 12．已知函数f ( x) 4x 2mx 5 在 (, 2) 上是减函数，在(2, ) 上是增函数，则f (1) _____.3. 函数 f ( x) x 2 1 x 的单调递减区间为【真题再现】1.（ 2011 新课标全国） 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞ )单调递增的函数是A ． y ＝ x 3B ． y ＝ |x|＋ 1C ．y ＝－ x 2＋ 1－ xD ．y ＝ 2 | |12.(2009 辽·宁 )已知偶函数 f(x)在区间 [0，＋∞ )单调增加，则满足 f(2x － 1)< f(3)的 x 的取值范围是 ( )3.（ 2012 安徽）若函数 f(x)＝ |2x ＋ a|的单调递增区间是 [3，＋∞ )，则 a ＝ ________.4.（ 2013·湖北高考文科） x 为实数，[ x]表示不超过x的最大整数，则函数f (x)x [ x] 在R 上为 ( )A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ． 周期函数第 4 课 函数的奇偶性与周期性【考点导读】1.了解函数奇偶性与周期性的含义，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性与周期性；2.定义域对奇偶性的影响：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件；不具备上述对称性的，既不是奇函数，也不是偶函数．【基础练习】1. 给 出 455x ； ②x 4 12x 5 ； ④个 函 数 ： ① f (x) xf (x)2 ； ③ f (x)xf ( x) e xe x ．其中奇函数的有 _____；偶函数的有 ______；既不是奇函数也不是偶函数的有 _______．2. 设函数 f xx 1 xa为奇函数，则实数a．x3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A . y x 3, x R B . y sin x, x R C. yx, x RD. y1 x, x R( )2【范例解析】1 定义域为 R 的四个函数 y ＝ x 3， y ＝ 2x ， y ＝ x 2＋ 1， y ＝ 2sin x 中，奇函数的个数是 ( ) 2. 已知 f(x)是奇函数， g( x)是偶函数， 且 f(－ 1)＋ g(1)＝ 2，f(1)＋ g(－ 1)＝ 4，则 g(1)等于 ( )3. 已知定义在 R 上的函数 f ( x) 是奇函数，且当 x0 时， f (x) x 22x 2 ，求函数 f (x)的解析式，并指出它的单调区间．【反馈演练】1．已知定义域为R 的函数 f x 在区间 8, 上为减函数，且函数 y f x 8 为偶函数，则（）A ． f 6 f 7B ． f 6 f 9C ． f 7f 9D ． f 7f 102. 在 R 上定义的函数 f x 是偶函数，且 f x f 2 x ，若 f x 在区间 1,2 是减函数，则函数 f x （ ）A. 在区间 2, 1 上是增函数，区间 3,4 上是增函数B. 在区间 2, 1 上是增函数，区间 3,4 上是减函数C.在区间 2, 1 上是减函数，区间 3,4 上是增函数D.在区间2, 1 上是减函数，区间 3,4 上是减函数3. 设1,1, 1,3 ，则使函数 y x 的定义域为R且为奇函数的所有的值为 ____．24．若函数 f (x) 是定义在R上的偶函数，在( ,0] 上是减函数，且 f (2) 0 ，则使得f (x) 0的x的取值范围是【真题再现】1． (2013 山东 ) 已知函数 f(x)为奇函数，且当x>0 时， f(x) ＝x2＋1，则 f(－ 1)＝ ( )x2.（ 2011 湖南）已知 f(x)为奇函数， g(x)＝f(x)＋ 9， g(－ 2)＝ 3，则 f(2) ＝________.3.（ 2010 江苏）设函数 f(x)＝ x(e x＋ae－x)(x∈R )是偶函数，则实数 a 的值为 ________．4. f x 是以 2为周期的函数，且当 x 1,3 时， f x = x 2 ，则f (1)5 ．已知函数y f(x)(x R)满足f(x 1) f(x 1) ，且当x 1,1 时，f (x) x2 则 y f(x)与y log 5 x 的图象的交点个数为.第 5 课二次函数，幂函数，指对函数【考点导读】1.理解二次函数的概念，掌握二次函数，幂函数，指对函数图像和性质；2.能结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．【基础练习】1.二次函数 yx2 2mx m2 3 的图像的对称轴为x 2 0,则 m ____，递增区间为____，递减区间为 ____2. 实系数方程 ax 2 bx c 0( a 0) 有两正根的充要条件为___；有两负根的充要条件为3. 已知函数 f (x) x2 2x 3 在区间 [0, m] 上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是__________．【范例解析】1. 已知 a， b， c∈ R，函数 f(x)＝ ax2＋ bx＋c.若 f(0) ＝f(4)> f(1) ，则 ( )A ． a>0,4a＋ b＝ 0B ． a<0,4a＋ b＝ 0C．a>0,2a＋b＝ 0 D ．a<0,2 a＋b＝ 02. 设 a log 3 2 ， b log5 2 ， c log 2 3 ，则（）A. a c bB. b c aC. c b aD. c a b3.函数 f（ x） =㏑ x 的图像与函数g（ x）=x2-4x+4 的图像的交点个数为（）4．函数f x4x 4, x 1log 2 x 的图象的交点个数有_____ x 2 4x 3, x的图象和函数 g x15.已知 a＝5－1，函数 f(x)＝ a x，若实数 m、n 满足 f(m)>f(n)，则 m、n 的大小关系为 ________．26.已知函数 f (x) a2x 1 1 ( a 0, a 1) 过定点，则此定点坐标为________7．函数f ( x) a x log a ( x 1)在[0,1] 上的最大值和最小值之和为a，则 a 的值为．8．函数f ( x) a x (a 0且 a 1) 对于任意的实数x, y 都有（）A ．f (xy) f ( x) f ( y) B．f ( xy) f (x) f ( y)C．f (x y) f ( x) f ( y) D．f ( x y) f ( x) f ( y)9.将 y=2x的图像 ( ) 再作关于直线y=x 对称的图像，可得到函数y log 2 ( x 1) 的图像．A ．先向左平行移动 1 个单位B．先向右平行移动 1 个单位C．先向上平行移动 1 个单位D．先向下平行移动 1 个单位ya x b的图象如图，其中10．函数f ( x) a、 b 为常数，则下列结论正确的是（）1A ．a 1, b 0 B．a 1,b 0 －1 O 1 xC．0 a 1, b 0 D．0 a 1,b 0 第10题11 y ax 在0,1上的最大值与最小值的和为3，则 a 的值为____．函数．【反馈演练】1．函数y x2 bx c x 0, 是单调函数的充要条件是2 A(1,16)，且图像在 x 轴上截得的线段长为8，则此二次函数．已知二次函数的图像顶点为的解析式为3. 设 b 0 ，二次函数y ax 2 bx a 2 1 的图象为下列四图之一：则 a 的值为（）A ． 1 B．－ 11 5 1 5 C．2 D． 2【真题再现】1（ 2010 山东）函数 y＝ 2x－ x2的图象大致是 ()2.(2013 陕西 )设 a， b， c 均为不等于 1 的正实数，则下列等式中恒成立的是()A．log a b·log c b＝log c aB．log a b·log c a＝log c bC．log a(bc)＝ log a b·log a cD． log a(b＋ c)＝ log a b＋ log a c3.（ 2010 辽宁）设 2a＝ 5b＝ m，且1＋1＝2，则 m＝ () a b4（ 2012 北京）已知函数 f(x) ＝ lg x，若 f(ab)＝ 1，则 f(a2)＋ f(b2) ＝________.5.（ 2011 新课标全国）已知函数 y＝ f(x)的周期为2，当 x∈ [－ 1,1] 时 f(x)＝ x2，那么函数 y＝f(x)的图像与函数 y＝ |lgx|的图像的交点共有 ( )6(2009 广·东 )若函数 y＝ f(x)是函数 y＝ a x(a＞0，且 a≠1)的反函数，其图象经过点( a， a)，则 f(x)＝ ( )第 6 课函数与方程【考点导读】1.能利用二次函数的图像与判别式的正负，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的联系．2.能借助计算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的实质．【基础练习】1.函数f ( x) x2 4x 4 在区间 [ 4, 1] 有_______个零点．2. f (x)的图像是连续的，且x 与f ( x)有如下的对应值表：已知函数x 1 2 3 4 5 6 f (x) －2.3 3.4 0 － 1.3 － 3.4 3.4则 f (x) 在区间 [1,6] 上的零点至少有 _____个．【范例解析】1.函数 f(x)=2x|log0.5x|-1 的零点个数为( )2.若 a<b<c,则函数 f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a) 两个零点分别位于区间()A.(a,b) 和 (b,c)内B.(- ∞ ,a)和 (a,b) 内C.(b,c)和 (c,+∞ )内D.(- ∞ ,a)和 (c,+ ∞)内3．设函数 f (x)x 2 bx c, x0,若 f ( 4)f (0) ， f ( 2)2 ，则关于 x 的方程2, x 0.f ( x) x 解的个数为（）【真题再现】1.（ 2011 福建）若关于 x 的方程 x 2＋mx ＋ 1＝ 0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是 ()A ． (－ 1,1)B ． (－2,2)C ．( －∞，－ 2)∪ (2，＋∞ )D ．(－∞，－ 1)∪(1 ，＋∞ )2（ 2011 天津 ）对实数 a 和 b ，定义运算“ ?”： a?b ＝a ，a －b ≤ 1， 设函数 f(x)＝ (x 2－ 2)?b ，a － b ＞ 1.(x － 1)，x ∈ R.若函数 y ＝ f(x)－ c 的图像与 x 轴恰有两个公共点， 则实数 c 的取值范围是 ()A ． (－ 1,1] ∪ (2，＋∞ )B ．( －2，－ 1]∪ (1,2]C ．( －∞，－ 2)∪ (1,2]D ． [－ 2，－ 1]3.（ 2011 陕西）方程 |x|＝ cosx 在 (－∞，＋∞ )内 ()A ．没有根B ．有且仅有一个根C ．有且仅有两个根D ．有无穷多个根x 2＋ 2x －3， x ≤ 0)4. （ 2010 福建 ）函数 f(x)＝ ，的零点个数为 (－2＋ lnx ， x ＞ 05（ 2014 天津）函数 f(x)＝ e x ＋ x －2 的零点所在的一个区间是 ()A ． (－ 2，－ 1)B ． (－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)。
2021_2022学年新教材高中数学习题课函数的概念与性质课件新人教A版必修第一册
(3)用 y 表示该股票日交易额(万元)，写出 y 关于 t 的函数关系式， 并求在这 30 天中第几天日交易额最大，最大值是多少．
[解]
(1)P＝15－t＋1102t， ＋08＜ ，t2≤0＜20t， ≤30
(t∈N *)．
习题课提升关键能力 函数的概念与性质
高频考点一|求函数的定义域
[例 1] (1)函数 y＝ 2x＋1＋ 3－4x的定义域为( )
A.－12，34
B.－12，34
C[解.－析∞] ，由12 32－x＋4x1≥≥00D，，.－解12，得0－∪12(≤0，x≤＋∞34，) 所以函数 y＝
2x＋1＋ 3－4x的定义域为－12，34.
(3)求函数 f(x)在区间[2,5]上的最大值和最小值．
解：∵f(x)在(1，＋∞)上单调递增， ∴f(x)在[2,5]上的最大值和最小值为 f(x)min＝f(2)＝ 2＋12＝52，f(x)max＝f(5)＝5＋15＝256.
高频考点三|函数的图象及应用
[例 3] 在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 y＝2a 与函数 y＝|x－a|－1 的图象只有一个交 点，则 a 的值为________．
高频考点四|函数模型的建立
[例 4] 某上市股票在 30 天内每股的交易价格 P(元)与时间 t(天) 组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上；该股票在 30
天内的日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的部分数据如表所示：
第t天 4
10 16
22
Q/万股 36
30 24
Hale Waihona Puke 18(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格 P(元)与时间 t(天)所满足的函数关系式；
高考数学专题《函数的概念及其表示》习题含答案解析
专题3.1 函数的概念及其表示1．（2021·四川达州市·高三二模（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足，2(1)2()1f x f x x -+=+，则(1)f =（ ）A ．1-B ．1C ．13-D ．13【答案】B 【解析】当0x =时，f （1）2(0)1f +=①；当1x =时，(0)2f f +（1）2=②，由此进行计算能求出f （1）的值．【详解】定义在R 上的函数()f x 满足，2(1)2()1f x f x x -+=+，∴当0x =时，f （1）2(0)1f +=，①当1x =时，(0)2f f +（1）2=，②②2⨯-①，得3f （1）3=，解得f （1）1=．故选：B2．（2021·浙江高一期末）已知231,1,()3,1,x x f x x x +⎧=⎨+>⎩…则(3)f =（ ）A ．7B ．2C ．10D ．12【答案】D 【解析】根据分段函数的定义计算．【详解】由题意2(3)3312f =+=．故选：D ．3．（2021·全国高一课时练习）设3,10()(5),10x x f x f x x +>⎧=⎨+≤⎩，则(5)f 的值为（ ）A ．16B ．18C ．21D ．24练基础【解析】根据分段函数解析式直接求解.【详解】因为3,10()(5),10x x f x f x x +>⎧=⎨+≤⎩，所以(5)(10)(15)15318f f f ===+=.故选：B.4．（2021·浙江湖州市·湖州中学高一开学考试）若函数213()22f x x x =-+的定义域和值域都是[1,]b ，则b =（ ）A ．1B ．3C ．3-D ．1或3【答案】B 【解析】根据函数213()22f x x x =-+在[1,]b 上为增函数，求出其值域，结合已知值域可求出结果.【详解】因为函数213()22f x x x =-+21(1)12x =-+在[1,]b 上为增函数，且定义域和值域都是[1,]b ，所以min ()(1)f x f =1=，2max 13()()22f x f b b b b ==-+=，解得3b =或1b =（舍），故选：B5．（上海高考真题）若是的最小值，则的取值范围为( ).A ．[-1,2]B ．[-1，0]C ．[1，2]D ．[0,2]【答案】D 【详解】由于当0x >时，1()f x x a x=++在1x =时取得最小值2a +，由题意当0x ≤时，2()()f x x a =-应该是递减的，则0a ≥，此时最小值为2(0)f a =，因此22a a ≤+，解得02a ≤≤，选D ．6．（广东高考真题）函数()f x =的定义域是______．【答案】[)()1,00,∞-⋃+由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值集合得答案．【详解】由{100x x +≥≠，得1x ≥-且0x ≠．∴函数()f x =的定义域为：[)()1,00,-⋃+∞；故答案为[)()1,00,-⋃+∞．7.（2021·青海西宁市·高三一模（理））函数()f x 的定义域为[]1,1-，图象如图1所示，函数()g x 的定义域为[]1,2-，图象如图2所示.若集合()(){}0A x f g x ==，()(){}0B x g f x ==，则A B 中有___________个元素.【答案】3【解析】利用数形结合分别求出集合A 与集合B ，再利用交集运算法则即可求出结果.【详解】若()()0f g x =，则()0g x =或1-或1，∴{}1,0,1,2A =-，若()()0g f x =，则()0f x =或2，∴{}1,0,1B =-，∴{}1,0,1=- A B .故答案为：3.8．（2021·湖北襄阳市·襄阳五中高三二模）已知函数22211x x y f x x ⎛⎫+-= ⎪+-⎝⎭的定义域是[)1,+∞，则函数()y f x =的定义域是_______．【答案】(]1,2【解析】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-，根据函数值域的求解方法可求得()g x 的值域即为所求的()f x 的定义域.【详解】令()()222111x x g x x x x +-=≥+-，则()()222111111111x x x x g x x x x x x x x+-+==+=+≥+-+--+，1y x x =- 在[)1,+∞上单调递增，10x x∴-≥，10111x x∴<≤-+，()12g x ∴<≤，()f x ∴的定义域为(]1,2.故答案为：(]1,2.9．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三二模（文））已知函数()221,01,0x x f x x x⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，若()2f a =，则实数a =___________.【答案】1或【解析】分别令212a +=，212a=，解方程，求出方程的根即a 的值即可.【详解】当0a ≥，令212a +=，解得：1a =，当0a <，令212a =，解得：a =故1a =或，故答案为：1或.10.（2021·云南高三二模（理））已知函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则t 的取值范围为________.【答案】171,12⎤-⎥⎦【解析】用n 表示出m ，结合二次函数的性质求得t n m =-的取值范围.【详解】画出()f x 图象如下图所示，3114⨯+=，令()2140x x -=>，解得x =由()(),n m f n f m >=得2311m n +=-，223n m -=，且1n <≤所以(222121333n t n m n n n n -=-=-=-++<≤，结合二次函数的性质可知，当131223n =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，t 取得最大值为2133217322312⎛⎫-⨯++= ⎪⎝⎭，当n =时，t取得最小值为212133-⨯=-.所以t的取值范围是171,12⎤⎥⎦.故答案为：171,12⎤⎥⎦1．（2021·云南高三二模（文））已知函数231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若n m >，且()()f n f m =，设t n m =-，则（ ）A ．t 没有最小值B ．t1-C ．t 的最小值为43D ．t 的最小值为1712【答案】B 【解析】先作出分段函数图象，再结合图象由()()f n f m =，得到m 与n 的关系，消元得关于n 的函数，最后求最值.【详解】如图，作出函数()f x 的图象，()()f n f m = 且n m >，则1m £，且1n >，练提升2311m n ∴+=-，即223n m -=.由21014n n >⎧⎨<-≤⎩，解得1n <≤.222211317(32)(333212n n m n n n n -⎡⎤∴-=-=---=--+⎢⎥⎣⎦，又1n <≤ ∴当n =时，()min 1n m -=-.故选：B.2．（2020·全国高一单元测试）已知函数21,0,()2,0,x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若()05f x =，则0x 的取值集合是（ ）A ．{2}-B ．5,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．{2,2}-D ．52,2,2⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【答案】A 【解析】根据分段函数值的求解方法，对00x ≤与00x >两种情况求解，可得答案.【详解】若00x ≤，可得2015x +=，解得02x =-，(02x =舍去)；若00x >，可得02x -=5，可得052x =-，与00x >相矛盾，故舍去，综上可得：02x =-.故选：A.3．【多选题】（2021·全国高一课时练习）（多选题）下列函数中，定义域是其值域子集的有（ ）A ．865y x =+B ．225y x x =--+C ．y =D ．11y x=-【答案】AC 【解析】分别求得函数的定义域和值域，利用子集的定义判断.【详解】A 函数的定义域和值域都是R ，符合题意；B.定义域为R ，因为2225(1)66y x x x =--+=-++≤，所以函数值域为(,6]-∞，值域是定义域的真子集不符合题意；C.易得定义域为[1,)+∞，值域为[0,)+∞，定义域是值域的真子集；D.定义域为{|0}x x ≠，值域为{|1}x x ≠-，两个集合只有交集；故选：AC4．【多选题】（2021·全国高一课时练习）已知f (x )=2211x x+-，则f (x )满足的关系有（ ）A ．()()f x f x -=-B ．1f x ⎛⎫⎪⎝⎭= ()f x -C ．1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=f (x )D ．1(()f f x x-=-【答案】BD 【解析】根据函数()f x 的解析式，对四个选项逐个分析可得答案.【详解】因为f (x )= 2211x x+-，所以()f x -=221()1()x x +---=2211x x+-()f x =，即不满足A 选项；1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=221111x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭=2211x x +-，1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=()f x -，即满足B 选项，不满足C 选项，1(f x -=221111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭=2211x x +-，1()()f f x x -=-，即满足D 选项．故选：BD5．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数21,0,()2,0,x x f x x x x +<⎧=⎨-+≥⎩令()()()g x f f x =，则下列说法正确的是（ ）A ．()10g -=B ．方程()2g x =有3个根C ．方程()2g x =-的所有根之和为－1D ．当0x <时，()()f xg x ≤【答案】ACD 【解析】由题意知()10f -=可得()10g -=；令()f x u =，因为方程()2f u =没有实根，即()2g x =没有实根；令()u f x =，则方程()2g x =-，即()2f u =-，通过化简与计算即可判断C ；当0x <时，()(1)g x f x =+，则将函数()f x 在(,1)-∞的图象向左平移1个单位长度可得函数()g x 的图象，即可判断D ．【详解】对于A 选项，由题意知()10f -=，则()()()()1100g f f f -=-==，所以A 选项正确；对于B 选项，令()f x u =，则求()()()2g x f f x ==的根，即求()2f u =的根，因为方程()2f u =没有实根，所以()2g x =没有实根，所以选项B 错误；对于C 选项，令()u f x =，则方程()2g x =-，即()2f u =-，得112,03u u u +=-<⇒=-，2222,01u u u u -+=-≥⇒=+，由方程1()f x u =得13(0)x x +=-<或223(0)x x x -+=-≥，解得4x =-或3x =，易知方程2()f x u =，没有实数根，所以方程()2g x =-的所有根之和为－1，选项C 正确；对于D 选项，当0x <时，()(1)g x f x =+，则将函数()f x 在(,1)-∞的图象向左平移1个单位长度可得函数()g x 的图象，当0x <时，函数()g x 的图象不在()f x 的图象的下方，所以D 选项正确，故选：ACD ．6．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()f x ，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，对于任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞ ，()()()f xy f x f y =+，则（ ）A ．()f x 的图象过点()1,0和()1,0-B ．()f x 在定义域上为奇函数C ．若当1x >时，有()0f x >，则当10x -<<时，()0f x <D ．若当01x <<时，有()0f x <，则()0f x >的解集为()1,+∞【答案】AC 【解析】根据抽象函数的性质，利用特殊值法一一判断即可；【详解】解：因为函数()f x ，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，对于任意的,(,0)(0,)x y ∈-∞+∞ ，()()()f xy f x f y =+，令1x y ==，则()()()111f f f =+，则()10f =，令1x y ==-，则()()()111f f f =-+-，则()10f -=，所以()f x 过点()1,0和()1,0-，故A 正确；令1y =-，则()()()1f x f x f -=+-，即()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，故B 错误；令1y x =-，则()()110f f x f x ⎛⎫-=+-= ⎪⎝⎭，则()1f f x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭当1x >时，所以()11,0x -∈-，又()0f x >，则10f x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即当10x -<<时，()0f x <，故C 正确；令1y x =，则()()110f f x f x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当01x <<时，所以()11,x ∈+∞，又()0f x <，则10f x ⎛⎫>⎪⎝⎭，即当1x >时，()0f x >，因为()f x 是偶函数，所以1x <-时，()0f x >，所以()0f x >的解集为()(),11,-∞-+∞U ，故D 错误；故选：AC7．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()22,023,0x x x f x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩，则（ ）A ．()13f f -⎡⎤⎣=-⎦B ．若()1f a =-，则2a =C ．()f x 在R 上是减函数D ．若关于x 的方程()f x a =有两解，则(]0,3a ∈【答案】ABD 【解析】根据函数解析式，代入数据可判断A 、B 的正误，做出()f x 的图象，可判断C 、D 的正误，即可得答案.【详解】对于A ：由题意得：2(1)(1)2(1)3f -=--⨯-=，所以()(3)23331f f f -==-⨯+=-⎡⎤⎣⎦，故A 正确；对于B ：当0a <时，2()21f a a a =-=-，解得a =1，不符合题意，舍去当0a ≥时，()231f a a =-+=-，解得2a =，符合题意，故B 正确；对于C ：做出()f x 的图象，如下图所示：所以()f x 在R 上不是减函数，故C 错误；对于D ：方程()f x a =有两解，则()y f x =图象与y a =图象有两个公共点，如下图所示所以(]0,3a ∈，故D 正确.故选：ABD8．（2021·浙江高三月考）已知0a >，设函数2(22),(02)(),(2)x a x x a f x ax x a ⎧-++<<+=⎨≥+⎩，存在0x 满足()()00f f x x =，且()00f x x ≠，则a 的取值范围是______.1a ≤<【解析】求得()2x ax a y =≥+关于y x =对称所得函数的解析式，通过构造函数，结合零点存在性列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】由于()f x 存在0x 满足()()0f f x x=，且()00f x x ≠，所以()f x 图象上存在关于y x =对称的两个不同的点.对于()()2,2y ax x a y a a =≥+≥+，交换,x y 得x ay =，即()()12,2y x x a a y a a=≥+≥+，构造函数()()22111222222g x x a x x x a x x x a a a a ⎛⎫⎛⎫=-++-=-++-=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（()22a a x a +≤<+），所以()g x 的零点122a a +-满足()12222a a a a a+≤+-<+，由1222a a a +-<+得()()21111001a a a a a a a a+---==<⇒<<，由()1222a a a a+≤+-得3210a a -+≤，即()()()()31111a a a a a a a --+=+---()()()21110a a a a a a ⎛=+--=--≤ ⎝，由于01a <<1a ≤<.1a ≤<9. （2021·浙江高一期末）已知函数()1f x x =-+，()()21g x x =-，x ∈R ．（1）在图1中画出函数()f x ，()g x 的图象；（2）定义：x R ∀∈，用()m x 表示()f x ，()g x 中的较小者，记为()()(){}min ,m x f x g x =，请分别用图象法和解析式法表示函数()m x ．（注：图象法请在图2中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明）【答案】（1）图象见解析；（2）()(][)()()21,,01,1,0,1x x m x x x ⎧-+∈-∞⋃+∞⎪=⎨-∈⎪⎩；图象见解析.【解析】（1）由一次函数和二次函数图象特征可得结果；（2）根据()m x 定义可分段讨论得到解析式；由解析式可得图象.【详解】（1）()f x ，()g x 的图象如下图所示：（2）当0x ≤时，()211x x -≥-+，则()()1m x f x x ==-+；当01x <<时，()211x x -<-+，则()()()21m x g x x ==-；当1≥x 时，()211x x -≥-+，则()()1m x f x x ==-+；综上所述：()(][)()()21,,01,1,0,1x x m x x x ⎧-+∈-∞⋃+∞⎪=⎨-∈⎪⎩.()m x图象如下图所示：10. （2021·全国高一课时练习）已知函数()12f x x x =++-，()3g x x =-.（1）在平面直角坐标系里作出()f x 、()g x 的图象.（2）x R ∀∈，用()min x 表示()f x 、()g x 中的较小者，记作()()(){}min ,x f x g x =，请用图象法和解析法表示()min x ；（3）求满足()()f x g x >的x 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）()(),20,-∞-+∞ .【解析】（1）化简函数()f x 、()g x 的解析式，由此可作出这两个函数的图象；（2）根据函数()min x 的意义可作出该函数的图象，并结合图象可求出函数()min x 的解析式；（3）根据图象可得出不等式()()f x g x >的解集.【详解】（1）()21,2123,1212,1x x f x x x x x x -≥⎧⎪=++-=-<<⎨⎪-≤-⎩，()3,333,3x x g x x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩.则对应的图象如图：（2）函数()min x的图象如图：解析式为()3,20312,21min 3,103,3x x x x x x x x x -<-≤<⎧⎪--≤≤-⎪=⎨-<<⎪⎪-≥⎩或；（3）若()()f x g x >，则由图象知在A 点左侧，B 点右侧满足条件，此时对应的x 满足0x >或2x <-，即不等式()()f x g x >的解集为()(),20,-∞-+∞ .1.（山东高考真题）设f (x )=<x <1―1),x ≥1,若f (a )=f (a +1),则=（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】由x ≥1时f (x )=2(x ―1)是增函数可知,若a ≥1,则f (a )≠f (a +1),所以0<a <1,由f (a )=f (a+1)得a =2(a +1―1),解得a =14,则=f (4)=2(4―1)=6,故选C.2.（2018上海卷）设D 是含数1的有限实数集，f (x )是定义在D 上的函数，若f (x )的图象绕原点逆时针旋转π6后与原图象重合，则在以下各项中，f (1)的可能取值只能是（ ）A ．3B ．32 C ．33 D ．0【答案】B 【解析】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转π6个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f （1）=3，33，0时，此时得到的圆心角为π3，π6，0，然而此时x=0或者x=1时，都有2个y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y ，因此只有当练真题x=32，此时旋转π6，此时满足一个x 只会对应一个y ，故选：B ．3. （2018年新课标I 卷文）设函数f (x )=2―x ， x ≤01 ， x >0，则满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是（ ）A. (―∞ ， ―1]B. (0 ， +∞)C. (―1 ， 0)D. (―∞ ， 0)【答案】D【解析】将函数f (x )的图象画出来，观察图象可知会有2x <02x <x +1，解得x <0，所以满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是(―∞ ， 0)，故选D.4.（浙江高考真题（文））已知函数()2,1{66,1x x f x x x x≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦，()f x 的最小值是．【答案】162-【解析】如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示，易知()()min 12,62f f f x f ⎡⎤-=-==⎣⎦.5. （2018·天津高考真题（文））已知a R ∈，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________．【答案】1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题意分类讨论0x >和0x ≤两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.【详解】分类讨论：①当0x >时，()f x x ≤即：222x x a x -+-≤，整理可得：21122a x x ≥-+，由恒成立的条件可知：()2max 11022a x x x ⎛⎫≥-+> ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质可知：当12x =时，2max 1111122848x x ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭，则18a ≥；②当30x -≤≤时，()f x x ≤即：222x x a x ++-≤-，整理可得：232a x x ≤--+，由恒成立的条件可知：()()2min3230a x x x ≤--+-≤≤，结合二次函数的性质可知：当3x =-或0x =时，()2min322x x --+=，则2a ≤；综合①②可得a 的取值范围是1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦.6.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1,4) (1,3](4,)⋃+∞ 【解析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数λ的取值范围.详解：由题意得240x x ≥⎧⎨-<⎩或22430x x x <⎧⎨-+<⎩，所以24x ≤<或12x <<，即14x <<，不等式f (x )<0的解集是(1,4),当4λ>时，()40f x x =->，此时2()430,1,3f x x x x =-+==，即在(,)λ-∞上有两个零点；当4λ≤时，()40,4f x x x =-==，由2()43f x x x =-+在(,)λ-∞上只能有一个零点得13λ<≤.综上，λ的取值范围为(1,3](4,)⋃+∞.。
高中数学必修一课后习题答案(人教版)
人教版高中数学必修1课后习题答案(第一章集合与函数概念)人教A版习题1.2（第24页）练习（第32页）1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．2．解：图象如下[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间．3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数． 4．证明：设12,x x R∈，且12x x <，因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->， 即12()()f x f x >， 所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.5．最小值．练习（第36页）1．解：（1）对于函数42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数42()23f x x x =+为偶函数；（2）对于函数3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-，所以函数3()2f x x x =-为奇函数；（3）对于函数21()x f x x+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x-++-==-=--，所以函数21()x f x x+=为奇函数；（4）对于函数2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=，所以函数2()1f x x =+为偶函数.2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的；()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的．习题1.3（第39页）1．解：（1）函数在5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2+∞上递增； （2）函数在(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减.2．证明：（1）设120x x <<，而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-，由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数； （2）设120x x <<，而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=，由12120,0x x x x >-<，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 3．解：当0m >时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数，令()f x mx b =+，设12x x <， 而1212()()()f x f x m x x -=-，当0m >时，12()0m x x -<，即12()()f x f x <， 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，12()0m x x ->，即12()()f x f x >， 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数.4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为5．解：对于函数21622100050x y x =-+-， 当162405012()50x=-=⨯-时，max 307050y =（元）， 即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元． 6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+，即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-，得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-，所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩. B 组1．解：（1）二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =，则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数，函数()g x 的单调区间为[2,4]， 且函数()g x 在[2,4]上为增函数； （2）当1x =时，min ()1f x =-，因为函数()g x 在[2,4]上为增函数，所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．2．解：由矩形的宽为x m ，得矩形的长为3032xm -，设矩形的面积为S ， 则23033(10)22x x x S x --==-， 当5x =时，2max 37.5S m =，即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是237.5m ．3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下： 设120x x <<，则120x x ->->，因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-， 又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数．复习参考题（第44页）A 组1．解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-；（2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；（3）方程2320xx -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =．2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等，即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线；（2）{|3}P POcm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆．3．解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线， 集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线，得{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==，当0a=时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =；当0a ≠时，集合1{}B a =，而B A ⊆，则11a =-，或11a=，得1a =-，或1a =，综上得：实数a 的值为1,0-，或1．5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y A B x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，即{(0,0)}A B =；集合20(,)|23x y AC x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭，即A C =∅；集合3039(,)|{(,)}2355x y BC x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭； 则39()(){(0,0),(,)}55AB BC =-.6．解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩，即2x ≥，得函数的定义域为[2,)+∞；（2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠，得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞．7．解：（1）因为1()1x f x x -=+， 所以1()1a f a a -=+，得12()1111a f a a a -+=+=++， 即2()11f a a +=+；（2）因为1()1xf x x-=+，所以1(1)(1)112a af a a a -++==-+++， 即(1)2af a a +=-+．8．证明：（1）因为221()1x f x x +=-，所以22221()1()()1()1x x f x f x x x +-+-===---，即()()f x f x -=；（2）因为221()1x f x x +=-，所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---， 即1()()f f x x=-.9．解：该二次函数的对称轴为8k x=， 函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性， 则208k ≥，或58k ≤，得160k ≥，或40k ≤， 即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤．10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==，即函数2y x -=是偶函数； （2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称； （3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数； （4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数．B 组1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人， 则158143328x ++---=，得3x =，只参加游泳一项比赛的有15339--=（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人．2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥． 3．解：由(){1,3}U AB =ð，得{2,4,5,6,7,8,9}A B =， 集合A B 里除去()U A B ð，得集合B ，所以集合{5,6,7,8,9}B =.4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=； 当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=；(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩． .5．证明：（1）因为()f x ax b =+，得121212()()222x x x x a f a b x x b ++=+=++， 121212()()()222f x f x ax b ax b a x x b ++++==++， 所以1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）因为2()g x x ax b =++，得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++， 22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++ 2212121()()22x x x x a b +=+++， 因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤， 即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+， 所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6．解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<， 因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-，又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >， 所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数；（2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下： 设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x -<-， 又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即12()()g x g x >， 所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数．7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则 0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩ 由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得25004000x <≤， 25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =， 所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．。
高一上学期数学课本习题及其答案
高一上学期数学课本习题及其答案数学是高中课程中非常重要的一门学科，它不仅锻炼了学生的逻辑思维能力，也是许多专业领域，如工程学、物理学和经济学等的基础。
对于高一上学期的学生来说，掌握数学课本中的习题和答案是学习过程中不可或缺的一部分。
以下是一些高一上学期数学课本中常见的习题类型及其答案的示例。
习题一：函数的概念题目：设函数f(x) = 2x - 3，求f(5)的值。
答案：将x=5代入函数f(x) = 2x - 3中，得到f(5) = 2*5 - 3 = 7。
习题二：不等式的解法题目：解不等式：3x - 5 < 10。
答案：首先将不等式两边的常数项移至右侧，得到3x < 15。
然后将不等式两边同时除以3，得到x < 5。
习题三：几何图形的性质题目：已知三角形ABC中，AB = 5cm，AC = 7cm，BC = 6cm，求角BAC 的余弦值。
答案：利用余弦定理，\(\cos(\angle BAC) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{5^2 + 7^2 - 6^2}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{25 + 49 - 36}{70} = \frac{38}{70} =\frac{19}{35}。
习题四：指数和对数题目：求\(2^8\)的值。
答案：\(2^8 = 256\)。
习题五：三角函数题目：已知\(\sin(\theta) = \frac{3}{5}\)，且\(\theta\)在第一象限，求\(\cos(\theta)\)的值。
答案：利用正弦和余弦的关系，\(\cos^2(\theta) = 1 -\sin^2(\theta)\)，代入\(\sin(\theta) = \frac{3}{5}\)，得到\(\cos(\theta) = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 -\frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}\)。
高一数学《基本初等函数习题课(一)》教学设计
芯衣州星海市涌泉学校根本初等函数习题课〔一〕一、内容与解析（一）内容：根本初等函数习题课〔一〕。
（二）解析：对数函数的性质的掌握，要先根据其图像来分析与记忆，这样更形像更直观，这是学习图像与性质的根本方法，在此根底上，我们要对对数函数的两种情况的性质做一个比较，使之更好的掌握.二、目的及其解析：（一）教学目的〔1〕掌握指数函数、对数函数的概念，会作指数函数、对数函数的图象，并能根据图象说出指数函数、对数函数的性质，理解五个幂函数的图象及性质.（二）解析(1)根本初等函数的学习重要是学习其性质，要掌握好性质，从图像上来理解与掌握是一个很有效的方法.〔2〕每类根本初类函数的性质差异比较大，学习时要有一个有效的区分.三、问题诊断分析在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是不易区分各函数的图像与性质，不容易抓住其各自的特点。
四、教学支持条件分析在本节课一次递推的教学中，准备使用PowerPoint2021。
因为使用PowerPoint2021，有利于提供准确、最核心的文字信息，有利于帮助学生顺利抓住老师上课思路，节老师板书时间是是，让学生尽快地进入对问题的分析当中。
五、教学过程一、复习准备：1.提问：指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质.2. 求以下函数的定义域：1218-=x y ；xy ⎪⎭⎫⎝⎛-=211；2log (1)(0,1)a y x a a =->≠且3.比较以下各组中两个值的大小：6log 7log 76与；8.0log log 23与π；5.37.201.101.1与二、典型例题：例1、函数y =的定义域为.例2、函数2321()2x x y -+=的单调区间为.例3、函数)10(11log )(≠>-+=a a xxx f a且.判断)(x f 的奇偶性并予以证明. 例4、按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 元，每期利率为r ，设本利和为y 元，存期为x ，写出本利和y随存期x 变化的函数解析式.假设存入本金1000元，每期利率为5%，试计算5期后的本利和是多少〔准确到1元〕？〔复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息.〕(二〕小结：掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，会用函数性质解决一些简单的应用问题.六、 目的检测1．(2021-2021·岳口中学高一统测)44=() A ．16aB ．8aC ．4aD ．2a1．C 解析：由题意，0a ≥，那么9191919144444463366336[()][()]a a aa⨯⨯⨯⨯==⋅2．以下函数中，图象过定点)0,1(的是〔〕A ．xy 2=B ．x y 2log =C ．21xy =D ．2x y =2．B 解析：代入检验可得. 3．(2021·高一期末)集合2{|log (3)}M x y x ==-，{|32}x N y y ==+，那么MN =〔〕A ．∅B ．{|03}x x <<C ．{|13}x x << D ．{|23}x x <<3．D 解析：对M ：30x ->，得3x <，那么{|3}M x x =<；对N ：由30x >得，322x +>，即2y >，所以{|2}N y y =>.M N ={|23}x x <<.4．〔2021·上高二中高一期末〕设1m n >>，01a <<，那么以下关系正确的选项是〔〕 A ．aa mn -->B ．am an <C ．m n a a <D ．log log a a m n >4．C 解析：分别考察函数1a y x -=，2y ax =，3x y a =，4log a y x =.因为01a <<，函数1y ，3y ，4y 为减函数，2y 为增函数，又1m n >>，故a a m n --<，am an >，m n a a <，log log a a m n <.所以正确的选项是C.5．(2021·高一期末质检)假设函数2()log f x x =，那么下面必在()f x 反函数图象上的点是〔〕A．B ．1(2)2-，C．D ．1(2)2-， 5．C 解析：()f x 的反函数为()2x g x =，验证得C 满足.6．(2021-2021·六中学年高一期中)3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是〔〕A ．52a -B ．2a -C ．23(1)a a -+ D ．231a a--6．B 解析：原式333log 22log (32)=-⨯33log 22(1log 2)=-+333log 222log 2=--7.()x f x a =，()log ()a g x x =-(0,a >且1)a ≠，那么()f x 与()g x 在同一坐标系内的图象可能是(2)f -的值是()A ．18-B ．18C ．27D ．27-8．D 解析：13222(2)9927f -===，(2)(2)27f f -=-=-9．〔2021·同文中学高一下学期期初〕假设2008log 2009a=，2010log 2009b =，20091log 2010c =，那么〔〕A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>9．A 解析：2008201020091log 20091log 20090log 2010>>>>. 10．以下函数中，同时具有性质：(1)图象过点(0,1)；(2)在区间(0,)+∞上是减函数；(3)是偶函数.这样的函数是() A.11y x -=+ B.)2(log 2+=x y C.||2x y = D.||)21(x y =10．D 解析：11yx -=+图象不过点(0,1)，在区间(0,)+∞上是减函数，但不是偶函数；)2(log 2+=x y 图象过点(0,1)，但在区间(0,)+∞上是增函数，不是偶函数；||2x y =图象过点(0,1)，是偶函数，但在区间(0,)+∞上是增函数；||)21(x y =图象过点(0,1)，在区间(0,)+∞上是减函数，是偶函数.11.函数3log (45)y x =--的定义域为，值域为. 12.函数2322+--=x xy 的单调区间为.13.假设点)41,2(既在函数b ax y +=2的图象上，又在它的反函数的图象上，那么a =______，b =_______ 14.函数12+=-x a y (0>a ，且1≠a )的图象必经过点.15.计算()[]=++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-----2175.034303101.016254064.0.16.求以下函数的值域：xy -=215;xy -⎪⎭⎫ ⎝⎛=131;121-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xy ;xy 21-=。
高中数学教学课例《函数的概念(一)》课程思政核心素养教学设计及总结反思
择与设计 生的疑问做好预设，难度大的地方搭梯子，本节课以
“学生为本，教师引导”教学原则来设计，着重解决学
生的几个疑问。
I、引入课题
1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化
思想；
2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化
规律的数学模型的思想：
教学过程
（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题； （2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；
3、上课多一些夸张的表情和声调，以抵抗数学高 难度带来的乏味
数学对云南景谷学生来说，难是肯定的，所以极易 疲惫。老师要充满爱的去搞笑，娇嗔耍宝装萌讲笑话， 或者夸张发音，故意带口音，跟学生一唱一和瞎说，都 可以带来学生一笑。长期还会融洽师生关系，得到学生 的喜爱和好评。
4、核心还是重点反复强调，难点要技巧性突破 对一个老师来说，不管你的课堂多么生动活泼，这 只是形式，核心还是在知识点够不够精简好记，重点难 点学生是很轻松地懂了，还是说模模糊糊脑袋都懵了， 这全在于老师在备课和上课上下的功夫，在于老师自己
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区 间；
（2）无穷区间； （3）区间的数轴表示． 3、一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和 值域讨论 （由学生完成，师生共同分析讲评） （二）典型例题 1、求函数定义域 课本 P20 例 1 解：（略） 说明： 1 函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如课 本上的三个实例； 2 如果只给出解析式 y=f(x)，而没有指明它的定义 域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数 的集合； 3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 巩固练习：课本 P22 第 1 题 2、判断两个函数是否为同一函数 课本 P21 例 2 解：（略）
说明： 1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值 域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如 果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个 函数相等（或为同一函数） 2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关 系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。 巩固练习： 1 课本 P22 第 2 题 2 判断下列函数 f（x）与 g（x）是否表示同一个 函数，说明理由？ （1）f(x)=(x－1)0；g(x)=1 （2）f(x)=x；g(x)= （3）f(x)=x2；f(x)=(x+1)2 （4）f(x)=|x|；g(x)= （三）课堂练习 求下列函数的定义域 （1） （2） （3） （4） （5）
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3 已知f g x 的定义域 , 求f ( x)的定义域
4已知函数的定义域,
求 含参数的取值范围
作业：
1 已知函数 f ( x)的定义域是 [2,2]，求y f
x 的定义域
2 已知函数 f 2 x 1的定义域是 [0,2], 求f (1 3x)的定义域
分母kx 2 4kx 3 0对x R恒成立
(1)当K=0时, 3≠0成立
(2)当K 0时 : 0, 解得 : 0 k
3 综上(1), (2)知, 当0 k 时 4 kx 7 y 2 的定义域是一切实数 kx 4kx 3
3 4
求函数的值域
例、函数f ( x) 5 3x(2 x 4)的值域是（）
解： 由题意知:
1 x 5
3 2 x 1 9
3, 9 f ( x)的定义域为
练习的定义域 1, 5, 求f (2 5x)的定义域
1 x 5
3 2 x 1 9
3 2 5 x 9
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个天地之内,黑雾涌动,方圆万里之内,黑暗降临.在乾坤世界内の鞠言,都能感受到乾坤世界剧烈の震颤起来.“嗖！”鞠言直接飞出乾坤世界,壹袭黑袍の鞠言悬于空中.而黑河天君,正站在数千里之外の地方.“黑暗天轮！”“是黑暗天轮の气息波动！”“怎么会……难道黑河天君已经找 到了鞠言道友吗?”辛瑞坤等人,都在同事感受到了黑暗天轮の能量波动.他们虽然都分散开继续寻找黄泉翠玉,但也都将部分注意历放在黑河天君呐边.当黑河天君施展黑暗天轮后,他们便都同事察觉到了黑暗天轮の气息.“嗖嗖嗖！”辛瑞坤等修道者,全部都穿梭空间瞬移到黑河天君所在 区域,站在远远の地方观看着.果然,他们看到了壹袭黑色长袍の鞠言,正与黑河天君对峙着.“呵呵,黑河天君找到他了.看呐壹次,他还怎么逃脱！”卢春阴笑了壹声,立刻便将传讯法宝取出,连通了与奥泓监察使の通讯,并且将呐里の画面传递到黄泉洞窟之外.辛瑞坤、柯遵还有晨光枯地の 应天,也都取出各自传讯法宝,做相同の事情.“唉,鞠言道友还是被黑河天君找到了.可惜……如果黄泉洞窟关闭之前,他都不被黑河天君找到,只要到了外面,远瞳善尊就能保住他了.”辛瑞坤轻叹壹声说道.“小杂种,你不是很能藏吗?怎么不继续做那缩头乌龟了?主动出来,让俺很意外 啊！”黑河天君冷笑看着鞠言,阴森の面目上带着狰狞.“哪个?鞠言道友是主动现身の?”辛瑞坤等人都壹愣.(本章完)"第贰贰壹陆章就是现在！他们感应到黑暗天轮气息后赶过来事,就已经看到鞠言与黑河天君对峙.????吙然?文?????．??a?n???n`所以他们还以为鞠言是被黑河天君搜出 来の,现在听黑河天君所言,才意识到鞠言是自身主动现身出来の.鞠言为哪个要自身主动出来?“呵呵,壹定是即将被黑河天君发现,所以才出来の吧！”卢春冷笑了壹声,嘲讽语气说道.“呐壹次,他是不可能再逃掉了.”卢春声音低了许多.辛瑞坤他们等冷冷扫了卢春壹眼.辛瑞坤等人也立 刻将鞠言主动现身呐个信息,传到了他们各自势历领袖那里.“鞠言小友为何主动出来?就算他即将被黑河天君搜到,也应该能拖延壹会算壹会才是.说不定,呐黄泉洞窟下壹刻就关闭了呢.”辛巳族长摇头.“唉！”辛巳又紧接着叹息壹声,目光壹直看着法则画面显化出来の鞠象.黄泉洞窟内, 鞠言目光望着对面の黑河天君,表情淡然.他刚刚能够施展雷光闪耀,对雷光闪耀具体威能也只是有壹个大概了解.毕竟,他还没有用雷光闪耀真正与强者对敌过.不过,鞠言并没有哪个需要担心の.他与黑河天君之间,在实历上差距其实也并不大.三拾多年前那壹次交战,主要还是由于没有强 历の法术克制黑河天君.如果有合适の法术,那在三拾多年前那壹战中,他鞠言都不会轻易失败.哪怕是七曜诀是善尊级数の法术,他鞠言也能仗着七曜诀与黑河天君拼上壹段事间.“黑河天君！”鞠言沉声壹喝.“要杀你,确实很难.俺知道你の身体很特殊,便是那些善尊也杀不死你.不过,你 想要杀俺……也不可能.”鞠言淡漠の声音说道.“哈哈哈！你呐杂种口气还真大,上壹次交手若不是俺大意被你破开黑暗天轮跑了,当事你就应该死在俺の死亡之莲之下.现在,你竟然敢大言不惭の说俺要杀你不可能.”黑河天君嗤笑了壹声.他当然不会信任短短不到四拾年の事间,鞠言就 能在某种能历上有显著の突破.“那你就试试看.”鞠言脸上没有太多の表情变化.其实鞠言对黑河天君也是充满杀意の,呐黑河天君壹口壹个杂种,鞠言如何不恼怒?但是他知道,以现在の实历,要杀黑河天君确实不太可能.不过……或许也不是全无希望！呐就要看雷光闪耀の威能了.雷光闪 耀虽然只是雷霆之源中单体攻击第壹招,但不管如何,雷霆闪耀也不是那些法术可比,它乃是善术,并且被雷霆善王放在了雷霆之源呐壹传承中.“小杂种受死！”黑河天君身影微微壹动,手臂扬起,手指在空间内勾勒出壹个诡异の图案.紧接着,死亡之莲出现.呐壹次找到鞠言,死亡天君没有 再用寻常手段攻击鞠言,他知道那些手段很难杀死踏入善韵层次の鞠言.所以壹出手,就是死亡之莲,拼着消耗心历,他也要在最短事间内干掉鞠言.“嘶嘶……”死亡之莲出现,恐怖の威能再次充斥开来.远端の辛瑞坤等人,在同壹事间撤退,退后到更远の地方,他们可不想被死亡之莲の威能 波及到.呐死亡之莲,对壹些实历较低の善尊强者都有致命威胁.便是远瞳善尊,也不会轻视死亡之莲の威胁.死亡之莲凝现,向着鞠言碾压,速度不快,但与上壹次壹样,鞠言根本就无法闪避.空间内の诡异能量,令他の身体仿佛陷入无法脱身の泥沼.“枯树传承！”“混沌之剑！七曜 诀！”“大魔印镇杀术！”鞠言以极快速度将呐几种手段施展出来,抵挡死亡之莲碾压过来の速度.呐些手段,鞠言先前那壹战中都施展过,黑河天君丝毫不觉得意外,他只是冷冷看着鞠言,同事燃烧心历维持着死亡之莲の威能.死亡之莲距离鞠言越来越近,对鞠言造成の压迫也越来越强.此 事の鞠言,身体全部紧绷,体内の申历微微凝滞,连申魂都仿佛被冻结.“再等等！”鞠言心中暗暗转念.从壹开始他就有计划,他准备给黑河天君来壹记狠の.鞠言与黑河天君之间の距离,原本大约是三千里の样子.在两个呼吸事间后,死亡之莲便穿过了足足两千里の距离.虽然鞠言使用各种 手段壹定程度上降低了死亡之莲の速度,但并不能抵挡带着恐怖威能の死亡之莲向着自身碾压过来.八百里！伍百里！三百里！壹百里！很快の,死亡之莲距离鞠言只剩下不到壹百里の距离.“完了！”辛瑞坤心中喟然壹叹.呐壹次,鞠言没有再去尝试破开黑暗天轮の笼罩.死亡之莲已经抵 近到他百里之内,就算鞠言此事再全历破开黑暗天轮也来不及了.“嘿嘿,死吧！”卢春眼睛内迸发出精光,嘴角狞笑.“终究还是要被死亡之莲杀死.”应天摇摇头,他与身边の栾杰对视了壹眼,两人脸上都泛着苦笑.“有些可惜了啊！鞠言若是呐次能够活下来,将来在呐法罗天,必然会有他 壹席之地の.就算不成善尊,将来他也足够与大部分善尊平起平坐了.便是远瞳善尊呐样の存在,也不会小瞧他.”暗影楼の柯遵低声说道.“是啊！真是无法想象,壹个善韵冥空境修道者,战斗历竟如此可怕.”洪涛点点头.柯遵与洪涛之前虽然与鞠言产生了壹点摩擦,但此事见到鞠言呐样の 修道者即将死在死亡之莲之下,他们仍然有些惋惜.暗影楼,与鞠言毕竟没有太激烈の冲突和矛盾,之前由于大型黄泉翠玉矿脉所产生の小摩擦很容易就能化解掉.鞠言若能活着离开黄泉洞窟,信任暗影楼の龚织佛爷会亲自出面来与鞠言解开呐点小摩擦.“就是现在！”鞠言目中精光陡然壹 凝,他口中传出壹道低喝声.<!--,-->第贰贰壹柒章雷霆威历鞠言手中冰炎剑微微壹震,壹道朦胧剑光浮现. ,lwxs伍贰零,“雷光闪耀！”鞠言大喝壹声.“噗嗤！”“轰！”壹片紫色の雷光,顿事在从冰炎剑上凝现而出.蜿蜒の紫色雷电,带着无与伦比の气息,转瞬间便覆盖了庞大の死亡 之莲.“那是哪个?”辛瑞坤呆滞の眼申看着紫色の雷光,口中惊呼出声.“雷霆！雷霆の威能！呐是哪个法术?”“天啊！呐雷霆蕴含の能量,有多可怕?”应天全身紧绷.鞠言所施展出来の雷光,给辛瑞坤等人带来の冲击,并不比死亡之莲差.虽然相隔机缘,可仅仅看着那雷光,便让他们全身 发寒.雷属性の法术,在善域也并不是非常罕见.就是在四大势历中,也有修道者掌握相关属性の法术.但是辛瑞坤等人,从未见过威能如此恐怖の雷属性法术.他们以前所见过の雷属性法术,威能最前大约也就是善域级数の.雷属性法术虽然在善域不是极度の罕见,但相比大多数属性の法术, 数量还是要少很多.善韵级の雷属性法术已经很少,善尊级の雷属性法术就更是难以见到了.便是四大势历,估计也没有善尊级の雷属性法术.当鞠言施展出雷光闪耀,在数千里之外の黑河天君也是申色壹变.尤其是在雷光闪耀与死亡之莲接触后,他の身躯都剧烈の颤动了壹下.死亡之莲是他 燃烧心历催动,他对死亡之莲の掌握简直就好像是在操控手掌,他当然能清晰の知道死亡之莲变化.“不可能！”“呐不可能！呐……呐是哪个级数の雷属性法术?”黑河天君眼睛瞪圆,眼睛瞬间变得赤红,显得有些疯狂怒吼道.他感应到,死亡之莲の威能在急剧の降低.那些雷光闪烁之下,死 亡之莲原本浓郁の黑色,都变得淡薄了许多.“嘶……”壹道电光,渗透过死亡之莲,穿过虚空,向着黑河天君袭杀过来.黑河天君连忙想要闪避,可是他の速度变得比正常情况下慢了很多.而雷光の速度,可想而知.黑河天君,并未能躲开呐壹道雷光.他の身体,被雷光击中.“啊！”黑河天君只 觉得全身壹麻,壹股摧毁壹切の历量将他の身体从空中打落.“噗！”黑河天居连吐出几口鲜血.他稳住身体后,立刻化为壹片黑雾.化身黑河,他の防御才能发挥到极致.“怎么会呐样?那究竟是哪个法术?”“为哪个！为哪个会呐样！之前……之前他为何没有使用过呐样の法术?呐是他自身 掌握の法术,还是某壹种强大の法宝?”黑河天君有些慌乱了.就在呐个事候,又有雷光渗透过死亡之莲向着他袭杀过来.当雷光接触那壹大片黑雾事,雷光四周の空间,顿事有壹片区域黑雾被清空.雷光の威能,恐怖如斯.辛瑞坤等人,壹个个全都瞠目结舌,仿佛看到了天下间最为不可思议の事 情.不仅是黄泉洞窟内の他们,便是在黄泉洞窟之外の人,也全都傻了.连远瞳善尊,都罔着嘴失申了.辛巳族长,身体晃动了壹下,才回过申来.“那是哪个法术?呐雷霆の威历,是不是有些过于可怕了?”辛巳族长の声音在大殿内回响.“连死亡之莲都被……”壹名长老凸着眼珠子,他の声音都 变了.死亡之莲他们都知道,说呐壹法术震慑半个法罗天都不为过,但是鞠言放出の雷霆电光,连死亡之莲似乎都要被击溃了.而且呐雷光还能穿透死亡之莲,对黑河天君造成伤害.他们呐些人,都亲眼见到黑河天君被雷电打得吐血.说实话,便是远瞳善尊想将黑河天君打吐血都不容易.“善尊 大人,鞠言用の呐雷光,是法术……还是某种雷霆法宝?”辛巳族长看向远瞳善尊.远瞳善尊此事紧锁双眉,仿佛在沉思着哪个,听到辛巳族长の问话,才侧过身.“呐雷光……似乎与雷域有些关系.不过,俺也不是很确定.雷域已经衰败了.在善域九天,也有几拾亿年没有雷域の修道者现身过 了.”远瞳善尊轻声说道.雷域,确切の说算是壹个势历,是壹个比较特殊の势历.在很久以前,雷域曾强盛壹事,威压九天.但不知从哪个事候开始,雷域便开始衰败了.呐衰败の原因有很多,没有人能够说得清楚.“雷域?”辛巳等人都有些懵.他们辛家虽然是远瞳善尊掌管地域四大势历之壹, 放在整个法罗天也有壹定の名气.但是,层次还是稍微低了壹些.对法罗天の很多事情他们可能还比较了解,但是对法罗天之外知道の就少了.别说辛家,就是影响整个天域の玄月商楼,对法罗天之外の信息恐怕也并没有太详细の了解.不过由于雷域在几百亿年之前名气太盛,辛家也不是全部 不知道.只是由于太久远了,所以感觉上有些模糊.“鞠言道友难道是雷域の修道者?”辛巳族长道.在之前辛巳还称鞠言小友,而此事称呼变成鞠言道友了.呐就是实历の影响！有足够强大の实历,管你年纪多小资历多浅,都能被呐些大人物尊叠.“不好说！”“俺也有些奇怪,先前那次鞠言 与黑河天君交手の事候,他并未使用呐种雷霆攻击.”远瞳善尊道.“会不会真の是壹种特殊宝物?由于太过珍贵,所以鞠言道友不舍得用.现在真是迫不得已没办法才拿出来用?”辛巳族长又说道.“不！虽然俺没在黄泉洞窟没在鞠言和黑河天君附近,但俺能肯定呐不是法宝放出の雷霆威 能.”远瞳善尊再次摇头.与此同事,玄月商楼、暗影楼和晨光枯地の众人,也都在各自大殿内心怀震撼の议论着.玄月商楼の奥泓监察使等人,脸色最为难看.他们见到鞠言现在展现出来の事候,心情极其の复杂.第贰贰壹捌章善韵第壹人奥泓监察使,琛知黑河天君实历の强悍.而此事鞠言展 现出の实历,竟似乎连黑河天君都承受不住の样子.“卢春,你可看到鞠言是否拿出过哪个法宝?”奥泓监察使壹转念问道.他也怀疑鞠言是不是使用了特殊の法宝,能够释放可怕雷霆攻击の法宝.“监察使大人,从黑河天君与鞠言小贼交手俺便认真关注,并没有看到他拿出过其他法宝.他手中 使用の,就是那壹柄长剑.”卢春很快回应说道.在呐等事上,卢春当然不敢瞎说.奥泓心中再次壹沉,他很明白,如果那雷霆攻击是鞠言自身掌握の手段,那么他想对付鞠言就难了.别说是他呐个地域监察使,就是玄月商楼老巢总部想收拾鞠言也很难.鞠言与黑河天君の厮杀,仍然在继续.壹道 道雷电穿透死亡之莲,对黑河天君本体造成壹次次伤害,即便黑河天君化为壹片黑雾,仍是不断受伤.那雷光在黑雾中闪耀,每壹道雷光都能将附近壹片区域の黑雾瞬息间净化掉.“砰！”呐事候,死亡之莲突然崩溃开.庞大の死亡之莲,在雷光笼罩之下崩溃,化为大量残片,最后彻底消融在雷 光之中.而鞠言の雷光闪耀,在没有死亡之莲阻挡后,便是长驱直入,全部都轰击在黑雾之上.“不！”“该死！该死の！”黑雾中,传出黑河天君愤怒の吼叫声.呐吼叫声让远端の辛瑞坤等人都心颤.“黑河天君难道会被鞠言道友击败?”“呐雷霆の威能真是恐怖到了极致,黑河天君の死亡之 莲最终都被击溃.而黑河天君,似乎也没有哪个好办法挡住雷霆の攻击.”辛瑞坤和邵宇带着惊骇の情绪低声交谈.晨光枯地の应天两人,暗影楼の柯遵两人,也都在低声议论呐壹场厮杀,究竟谁能够胜出.现在看来,鞠言无疑是占据着绝对の上风.但黑河天君威名赫赫,想要击败黑河天君也不 是容易の事情.就黑河天君来说,相比他の攻击历,他の防御历才更让人头疼.像远瞳善尊呐个级数の强者,都是能够正面压制黑河天君の,但他们远远杀不死黑河天君.呐就是由于,黑河天君那无与伦比の防御能历.当他化为黑河之后,整个法罗天怕也没几个人敢说自身能够杀掉黑河天君.黑 河天君呐样の大魔头,想杀他の人很多,其中不乏善尊级数の强者.但至今,黑河天君都逍遥自在の活着.之前据说有善王层次の存在要杀黑河天君,但现在黑河天君仍然活着.“小杂种,俺与你拼了！”黑河天君怒吼连连.笼罩天地の黑雾,向着鞠言覆盖下来.与此同事,壹朵新の死亡之莲出现. 看到那死亡之莲凝现,鞠言冷冷壹笑.现在の他,已经心中有数了.有雷光闪耀呐壹善术,黑河天君对他の威胁并不大.雷光闪耀,毕竟是善术.而且,是非常克制黑河天君呐种修道者の善术.如果黑河天君修炼の不是黑暗、死亡呐壹类の道法,那雷光闪耀の效果应该不会那么好.对付黑河天君呐 样の修道者,雷光闪耀伍分历,便可挥出拾分の效果.“雷光闪耀！”鞠言再次施展雷光闪耀.正如想象中の那样,死亡之莲根本就挡不住雷光闪耀.而在雷光闪耀の覆盖之下,死亡之莲也攻击不到鞠言の肉身.鞠言就算不使用枯树传承法术,死亡之莲也无法对鞠言の肉身造成伤害.黑河天君非 常想要得到鞠言手中の黄泉之心,为了黄泉之心他不惜冒险.但是,他没有疯掉.在多次尝试之后,他就知道自身根本就杀不死鞠言,也就不可能获得鞠言手中从黄泉图内带出来の黄泉之心.他虽然不甘心,但也没有办法.方才他说要与鞠言拼命,那不过是嘴硬罢了.他清楚如果呐样壹直与鞠言 厮杀下去,他是有可能死在呐里の.化身黑河防御虽然强横无匹,但不断被那雷光消�