最新高二上学期期初考试数学试题

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填在答题卷的相应位置）1. 已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，则______．【答案】【解析】【分析】根据补集的定义求解即可.【详解】已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，根据补集的定义可得. 即答案为.【点睛】本题考查补集的求法，属基础题.2. 不等式的解是______．【答案】【解析】【分析】不等式，解之即可【详解】不等式，解之可得.即答案为.【点睛】本题考查分式不等式的解法，属基础题.3. 在中，若，则_______．【答案】【解析】【分析】由余弦定理结合已知条件即可求出的值．【详解】由余弦定理，即答案为．【点睛】本题考查了余弦定理的应用，是基础题．4. 记函数的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x，则x D的概率_______．【答案】【解析】由6+x-x2≥0,即x2-x-6≤0得-2≤x≤3,所以D=[-2,3]⊆[-4,5],由几何概型的概率公式得x∈D的概率P=,答案为.点睛：本题考查的是几何概型.对于几何概型的计算，首先要确定所法事件的类型为几何概型并确定其几何区域是长度（角度、面积、体积或时间等），其次是计算基本事件区域的几何度量（长度、角度、面积、体积或时间等）和事件A区域的几何度量（长度、角度、面积、体积或时间等），最后计算.5. 已知等差数列的前项和为，若，，则公差等于_______．【答案】2【解析】试题分析：由=，所以，故.考点：等差数列前n项和公式，等差数列基本性质，本题也可以用基本量法解决.6. 执行右面的流程图，输出的______【答案】210【解析】【分析】由右面的流程图可知：此问题相当于以下问题：已知：，求．利用“累加求和”即可得出．【详解】由右面的流程图可知：此问题相当于以下问题：已知：，求．则故答案为210．【点睛】正确理解循环结构、把问题正确等价转化及熟练掌握“累加求和”是解题的关键．7. 若数列满足，则_______．【答案】【解析】试题分析：由题的递推关系可知,,……，，前述各式左右分别相乘，有，且，可得.考点：数列特殊的递推关系的理解，累乘法.8. 计算的结果为_______．【答案】【解析】【分析】运用分数指数幂和对数的运算性质运算即可【详解】即答案为 .【点睛】本题考查分数指数幂和对数的运算，属基础题.9. 若，则的最小值为_________．【答案】【解析】试题分析：解法一：如图,可看成（0，0）到直线上的点的距离的平方，而的最小值就是原点到直线的距离的平方，此时，其平方即为.解法二：由得，代入中，则=，易知的最小值为.考点：数形结合思想，点到直线的距离公式，二次函数.10. 的三边长分别为,则的值为____．【答案】【解析】【分析】运用余弦定理，求得cosB，再由向量的数量积的定义，即可得到所求值．【详解】由于，则，则故答案为．【点睛】本题考查向量的数量积的定义，注意夹角的大小，考查余弦定理及运用，属于基础题和易错题．11. 函数的最小值是_______．【答案】【解析】【分析】先利用三角函数的诱导公式及和角公式将函数化简为，求出最小值．【详解】所以最小值为.故答案为：．【点睛】本题主要考查三角函数最值的求法，一般都要把函数化简为的形式再解题．12. 在中，内角所对的边分别为，给出下列结论：①若，则；②若，则为等边三角形；③必存在，使成立；④若，则必有两解．其中，结论正确的编号为______________（写出所有正确结论的编号）．【答案】①④【解析】【分析】①由正弦定理，将角转化为边的关系，进而判断，角的正弦值之间的关系．②由正弦定理，得出角的正弦值与余弦值之间的关系，从而求出角，的大小．③利用两角和的正切公式，将不等式进行化简，然后进行判断．④根据边角关系，判断三角形解的个数．【详解】：①在三角形中，，得．，由正弦定理，可知，所以①正确．②由正弦定理，由条件知，，即，所以，解得．所以为等腰三角形，所以②错误．③若有一个为直角时不成立，若都不为直角因为所以即则，所以即③错误．④因为，即，所以，必有两解．所以④正确．故答案为：①④．【点睛】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，要求熟练掌握相关的三角公式和定理．属中档题.13. 已知，若对任意，不等式恒成立，整数的最小值为___________．【答案】1【解析】【分析】令，解得：，若对任意，不等式恒成立，则对任意，恒成立，进而得到答案．【详解】∵，令，解得：，若对任意，不等式恒成立，则对任意，恒成立，恒成立，当时，不等式恒成立，当时，可化为：，当时，取最大值，故，故整数的最小值为1，故答案为：1．【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数恒成立问题，函数的最值，难度中档．14. 已知等比数列中，，在与两项之间依次插入个正整数，得到数列，即．则数列的前项之和_______(用数字作答)．【答案】2007050【解析】【分析】在数列中，到项共有项，即为，因此判断出共含有的项数，进而即可得出．【详解】在数列中，到项共有项，即为．则．设等比数的公比为，由，，得，解得，因此故答案为2007050．【点睛】熟练掌握等差数列和等比数列的前n项和公式及由已知判断出共含有a n的项数是解题的关键．二、解答题（本大题共6小题，共90分．请把解答写在答题卷规定的答题范围内．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知向量，，．（1）若⊥，求的值；（2）若∥，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由两向量垂直其数量积为零得：，利用两角和正弦公式展开得，从而可得（2）由两向量平行其坐标对应成比例得：，利用两角和正弦公式展开得，再利用倍角公式得：，利用配角公式得：，由于，所以，即．试题解析：（1）因为⊥，所以， 2分即，即， 4分又，所以． 6分（2）若∥，则， 8分即，所以， 10分所以， 11分因为，所以， 13分所以，即． 14分考点：向量垂直与平行坐标表示，两角和正弦公式，倍角公式16. 已知函数(1) 若的解集是，求实数的值．(2) 若且恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1），；（2）【解析】试题分析：（1）易知是方程的两个根，即可联立含的方程组求解；（2）由构建的关系，而恒成立，转化为恒成立，结合二次函数的图像可知只需即可.试题解析：(1) 由题意得：且是方程的两个根，所以：，解得；⑵ 由，而恒成立 , 即:恒成立，所以且,解得，此为所求的的取值范围.考点： 1，二次不等式与二次函数；二次方程的联系；2，蕴含方程的思想，化归与转化的思想.17. 设数列是各项均为正数的等比数列，且．（1）求数列的通项公式；（2）若求数列的前项和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，则，求出首项与公比，即可求数列的通项公式；（2）确定数列的通项，利用等差数列、等比数列的求和公式，即可求数列的前项和．【详解】（1）设等比数列的公比为，，,（2）【点睛】本题考查数列的求和与通项公式，确定数列的通项公式是关键．18. 某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元）其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计．另外，年销售件B产品时需上交万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．（1）写出该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润与生产相应产品的件数之间的函数关系并指明其定义域；（2）如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）由题意知，生产产品的年利润销售总额生产成本，生产产品的年利润销售总额生产成本上交关税，根据数据表可求出的解析式，并确定产量的取值范围；（2）由（1）可知，可利用一次函数的单调性、二次函数的最值，分别求出年利润函数的最大值，利用差法，将的最大值的大小进行比较，并对参数的范围进行计论，从而问题可得解.试题解析：（1）设年销售量为件，按利润的计算公式，有生产A、B两产品的年利润分别为：………3分，，……5分（2），，为增函数，又，，时，生产A产品有最大利润为（万美元）………………7分又，，，时，生产B产品有最大利润为460（万美）………………9分作差比较：所以：当时，投资生产A产品200件可获得最大年利润；当时，生产A产品与生产B产品均可获得最大年利润；当时，投资生产B产品100件可获得最大年利润.………………12分考点：1.函数建模的应用；2.函数单调性、最值的应用.【方法点晴】此题主要考查函数模型在实际生活中的应用，函数单调性的判断和证明，以及函数的最值在实际生活中应用等有关方面的知识与技能，属于中档题型.在解决此类问题过程中，通过审题，了解题目的实际背景，根据提供数据，注意参数与未知数的实际范围，由“年利润销售总额生产成本上交关税”，从而确定函数关系；在问题（2）中，通过生活实际，利用函数的单调性、最值，对两种产品的利润作差分类比较，从而问题可得解.19. 设正项数列的前项和为，对任意都有成立．（1）求数列的前n项和；（2）记数列，其前n项和为．①若数列的最小值为，求实数的取值范围；②若数列中任意的不同两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．试问：是否存在这样的“封闭数列”，使得对任意，都有，且．若存在，求实数的所有取值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）法一：根据数列的递推公式即可求出数列的前项和为，；法二，根据数列的递推公式可以得到，问题得以解决；（2）①由题意可得，即可求出的取值范围；②因为是“封闭数列”，设（，且任意两个不相等）得，，则为奇数，结合题意可得．又>0，因为检验得满足条件的=3,5,7,9.【详解】由得：①，②，②-①得由题知得，又得；法二：由得：得时得即所以；⑵①由最小值为即则；②因为是“封闭数列”，设（，且任意两个不相等）得，则为奇数由任意，都有，且得，即的可能值为1,3,5,7,9，又>0，因为检验得满足条件的=3,5,7,9，即存在这样的“封闭数列” ，使得对任意，都有，且，所以实数的所有取值集合为．【点睛】本题考查数列的通项与求和，考查等差数列、等比数列的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．。