高等数学第六版课后全部答案

习题101 1. 设在xOy 面内有一分布着质量的曲线弧L, 在点(x, y)处它的线密度为μ(x, y), 用对弧长的曲线积分分别表达:(1) 这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量Ix, Iy; (2)这曲线弧的重心坐标x , y . 解在曲线弧L 上任取一长度很短的小弧段ds(它的长度也记做ds), 设(x, y) 曲线L 对于x 轴和y 轴的转动惯量元素分别为dIx=y2μ(x, y)ds, dIy=x2μ(x, y)ds . 曲线L 对于x 轴和y 轴的转动惯量分别为I x = ∫ y 2μ ( x, y)ds , I y = ∫ x2μ ( x, y)ds .L Lwww. kh d∫L ∫L和L2, 则2. 利用对弧长的曲线积分的定义证明: 如果曲线弧L分为两段光滑曲线L1∫L f (x, y)ds =∫Ln课x=M y ∫L xμ ( x, y)ds M ∫ yμ (x, y)ds = , y= x = L . M M μ ( x, y)ds μ(x, y)ds后曲线L 的重心坐标为1f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds .L2证明划分L, 使得L1和L2的连接点永远作为一个分点, 则∑ f (ξi,ηi )Δsi = ∑ f (ξi,ηi )Δsi +i =1 i =1 n n1n1答dMx=yμ(x, y)ds, dMy=xμ(x, y)ds .令λ=max{Δsi}→0, 上式两边同时取极限λ →0 λ →0lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi = lim ∑ f (ξi ,ηi )Δsi + limi =1 i =1即得∫L f (x, y)ds =∫L1f ( x, y)ds + ∫ f ( x, y)ds .L23. 计算下列对弧长的曲线积分:awi = n1 +1曲线L 对于x 轴和y 轴的静矩元素分别为案∑ f (ξi,ηi )Δsi . ∑ f (ξi,ηi )Δsi ,n.c oi = n1 +1为小弧段ds 上任一点.网m(1) ∫ ( x2 + y 2 )n ds , 其中L 为圆周x=acos t , y=asin t (0≤t≤2π);L解∫L (x2 + y2)n ds = ∫02π 02π2π(a 2 cos2 t + a 2 sin 2 t)n (a sin t)2 + (a cos t)2 dt= ∫ (a 2 cos2 t + a 2 sin 2 t)n (a sin t)2 + (a cos t)2 dtL解L 的方程为y=1x (0≤x≤1);1www. kh d1 1课= ∫ x 1+[(x2 )′]2 dx +∫ x 1+ ( x′)2 dx1后∫L xdx = ∫L xdx + ∫Lxdx12= ∫ x 1+ 4x 2dx +∫ 2 xdx = 1 (5 5 + 6 2 1) . 0 0 12x2 + y2 L(4) ∫ eds , 其中L为圆周x2+y2=a2, 直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界;解L=L1+L2+L3, 其中L1: x=x, y=0(0≤x≤a),L2: x=a cos t, y=a sin t (0 ≤ t ≤ π ) , 4 L3: x=x, y=x (0 ≤ x ≤ 2 a) , 2因而∫L ea 0x2 + y2ds = ∫ eds + ∫ eL2= ∫ e 1 + 0 dx + ∫x 2 2π4 ea 0(a sin t) + (a cos t) dt + ∫2 2awx2 + y2答解L1: y=x2(0≤x≤1), L2: y=x(0≤x≤1) .案(3) ∫ xdx , 其中L为由直线y=x及抛物线y=x2所围成的区域的整个边界;L网∫L (x + y)ds = ∫0 (x +1 x)11+[(1 x)′]2 dx = ∫ ( x +1 x) 2dx = 2 .ds + ∫ eL3= ea (2 + π a) 2 . 4.c o1 x2 + y2(2) ∫ (x + y)ds , 其中L 为连接(1, 0)及(0, 1)两点的直线段;ds ,2a 2 e 2x12 +12 dxm= ∫ a 2n+1dt = 2πa 2n+1 .(5) ∫Γ1 ds , 其中Γ为曲线x=etcos t , y=etsin t , z=et上相应于t从0 变到2 2 x + y +z22 的这段弧; dy 解ds = ( dx )2 + ( )2 + ( dz )2 dt dt dt dt = (et cos t et sin t)2 + (et sin t + et cos t)2 + e2t dt = 3et dt ,2 1 1 ds = ∫ 2t ∫Γ x2 + y2 + z 2 0 e cos2 t + e2t sin 2 t + e2t 3et dt解Γ=AB+BC+CD, 其中AB: x=0, y=0, z=t (0≤t≤1), CD: x=1, y=t, z=2(0≤t≤3),www. kh d故= ∫ 0dt + ∫ 0dt+ ∫ 2t 02 +12 + 02 dt = 9 .0 0 0 1 3 3∫Γ x2 yzds = ∫AB x2 yzds + ∫BC x2 yzds + ∫CD x2 yzds(7) ∫ y 2ds , 其中L 为摆线的一拱x=a(tsin t), y=a(1cos t)(0≤t≤2π);L解∫L y 2ds = ∫02π= 2a3 ∫ (1 cos t)2 1 cos t dt = 256 a3 . 0 15L(8) ∫ ( x2 + y 2 )ds , 其中L 为曲线x=a(cos t+t sin t), y=a(sin tt cos t)(0≤t≤2π). dy 解ds = ( dx )2 + ( )2 dt = (at cos t)2 + (at sin t)2 dt = atdt dt dt课BC: x=t, y=0, z=2(0≤t≤3),2πa 2 (1 cos t)2 [a(t sin t)′]2 +[a(cos t)′]2 dt∫L( x2 + y 2 )ds = ∫ [a 2 (cos t + t sin t)2 + a 2 (sin t t cos t)2 ]atdt后2π答(0, 0, 2)、(1, 0, 2)、(1, 3, 2);aw案(6) ∫ x2 yzds , 其中Γ为折线ABCD, 这里A、B、C、D 依次为点(0, 0, 0)、Γ网=∫23 et dt = [ 3 et ]2 = 3 (1 e 2 ) . 0 2 2 2.c om= ∫ a3(1+ t 2 )tdt = 2π 2a3(1+ 2π 2 ) .2π4. 求半径为a, 中心角为2的均匀圆弧(线密度μ=1)的重心. 解建立坐标系如图104 所示, 由对称性可知y = 0 , 又L答(1) I z = ∫ ( x2 + y 2 )ρ (x, y, z)ds = ∫ ( x2 + y 2 )(x2 + y 2 + z 2 )dsL2πwww. kh dL L课= ∫ a 2 (a 2 + k 2t 2 ) a 2 + k 2 dt = 2 πa 2 a 2 + k 2 (3a 2 + 4π 2k 2 ) . 0 3 (2) M = ∫ ρ (x, y, z)ds =∫ (x2 + y 2 + z 2 )ds = ∫ (a 2 + k 2t 2 ) a 2 + k 2 dt= 2 π a 2 + k 2 (3a 2 + 4π 2k 2 ) , 32πx= 1 M∫L x(x2 + y 2 + z 2)ds = M ∫06πak 2 , 3a 2 + 4π 2k 2 1 2π y = 1 ∫ y( x 2 + y 2 + z 2 )ds = ∫ a sin t(a 2 + k 2t 2 ) a 2 + k 2 dt M 0 M L 2 = 6πak2 2 , 3a 2 + 4π k 1 2π z = 1 ∫ z( x 2 + y 2 + z 2 )ds = ∫ kt(a 2 + k 2t 2 ) a 2 + k 2 dt M 0 M L 2 2 2 3πk (a + 2π k ) , = 3a 2 + 4π 2k 2 3πk (a 2 + 2π 2k 2 ) 6 2 6 2 故重心坐标为( 2 πak 2 2 , 2 πak 2 2 , ). 3a + 4π k 3a + 4π k 3a 2 + 4π 2k 2 =aw12π后案解ds = x′2 (t) + y′2 (t) + z′2 (t)dt = a 2 + k 2 dt .网5. 设螺旋形弹簧一圈的方程为x=acos t, y=asin t, z=kt, 其中0≤1≤2π, 它的线密度ρ(x, y, z)=x2+y2+z2, 求: (1)它关于z轴的转动惯量Iz; (2)它的重心., 0)a cost(a 2 + k 2t 2 ) a 2 + k 2 dt.c o所以圆弧的重心为(a sinmx=Mx a sin = 1 ∫ xds = 1 ∫ a cosθ adθ = , M 2a L 2aww课后答案网w. kh d aw .c o m习题102 1. 设L 为xOy 面内直线x=a 上的一段, 证明: 证明设L是直线x=a上由(a, b1)到(a, b2)的一段, 则L: x=a, y=t, t从b1变到b2. 于是∫L P(x, y)dx = 0 .证明∫ P( x, y)dx = ∫ P( x, 0)dx .L ab证明L: x=x, y=0, t 从 a 变到b, 所以b bL解L: y=x2, x从0 变到2, 所以www. kh d56 ∫L (x2 y2)dx = ∫0 (x2 x4)dx = 15 .2(2) ∫ xydx , 其中L为圆周(xa)2+y2=a2(a>0)及x轴所围成的在第L一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行); 解L=L1+L2, 其中L1: x=a+acos t, y=asin t , t从0 变到π, L2: x=x, y=0, x从0 变到2a,因此∫L xydx = ∫L xydx +∫L xydx1 2= ∫ a(1+ cos t)a sin t(a +a cos t)′dt + ∫ 0dx0 0π课后的一段弧;答(1) ∫ (x2 y 2 )dx , 其中L是抛物线y=x2上从点(0, 0)到点(2, 4)= a3(∫ sin 2 tdt + ∫ sin 2 td sin t) = π a3 . 0 0 2π πL(3) ∫ ydx + xdy , 其中L 为圆周x=Rcost, y=Rsint 上对应t 从0 到π 的一段弧;2aw2a案3. 计算下列对坐标的曲线积分:网∫L P(x, y)dx = ∫a P(x, 0)(x)′dx = ∫a P(x, 0)dx ..c omP(a, t)( da )dt =∫ P(a, t)0dt =0 . b1 dt 1 2. 设L 为xOy 面内x 轴上从点(a, 0)到(b, 0)的一段直线,∫L P(x, y)dx = ∫bb2b2解∫Lydx + xdy = ∫ 2 [R sin t(R sin t) + R cos tR cos t]dtπ= R 2 ∫ 2 cos 2tdt = 0 .π(4) ∫L( x + y)dx (x y)dy , 其中L为圆周x2+y2=a2(按逆时针方向绕行); x2 + y 2解圆周的参数方程为: x=acos t, y=asin t, t 从0 变到2π, 所以∫LΓ后应θ 从0 到π 的一段弧;www. kh d= ∫ (k 3θ 2 a 2)dθ = 1 π 3k 3 πa 2 . 0 3πΓ(6) ∫ xdx + ydy + (x + y 1)dz , 其中Γ 是从点(1, 1, 1)到点(2, 3, 4)的解Γ 的参数方程为x=1+t, y=1+2t, z=1+3t, t 从0 变到1.一段直线;课解∫Γ x2dx + zdy ydz = ∫0 [(kθ )2 k + a sinθ (a sinθ ) a cosθa cosθ ]dθ答(5) ∫ x2dx + zdy ydz , 其中Γ 为曲线x=kθ, y=acosθ, z=asinθ 上对π∫Γxdx + ydy + (x + y 1)dz = ∫ [(1+ t) + 2(1+ 2t) + 3(1+ t +1+ 2t 1)]dt0 1 0= ∫ (6 +14t)dt = 13 .(7) ∫ dx dy + ydz , 其中Γ 为有向闭折线ABCA , 这里的A, B, CΓ依次为点(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1); 解Γ=AB+BC+CA, 其中AB: x=x, y=1x, z=0, x 从 1 变到0, BC: x=0, y=1z, z=z, z 从0 变到1,aw1案2π = 12 ∫ [(a cos t + a sin t)(a sin t) (a cost a sin t)(a cost)]dt a 0 2π = 12 ∫ a2dt = 2π . a 0.c o( x + y)dx (x y)dy x2 + y 2网mCA: x=x, y=0, z=1x, x 从0 变到1, 故∫Γ dx dy + ydz = ∫AB dx dy + ydz + ∫BC dx dy + ydz + ∫CA dx dy + ydz= ∫ [1 (1 x)′]dx + ∫ [(1 z)′ + (1 z)]dt + ∫ dx = 1 . 0 0 0 21 1 1到(1, 1)的一段弧. 解L: x=x, y=x2, x从1 变到1, 故∫L (x2 2xy)dx + ( y2 2xy)dy= 2∫ ( x2 4x4 )dx = 14 0 15L1∫L (x + y)dx + ( y x)dy2= ∫ [( y 2 + y)2 y + ( y y 2 )1]dy = 34 . 1 3 (2)从点(1, 1)到点(4, 2)的直线段;解L: x=3y2, y=y, y 从 1 变到2, 故∫L (x + y)dx + ( y x)dy2 1= ∫ [(3 y 2 + y) y + ( y 3 y + 2)1]dy =11(3)先沿直线从点(1, 1)到(1, 2), 然后再沿直线到点(4, 2)的折线; 解L=L1+L2, 其中L1: x=1, y=y, y从1 变到2, L2: x=x, y=2, x从1 变到4,故∫L (x + y)dx + ( y x)dy= ∫ ( x + y)dx + ( y x)dy + ∫ ( x + y)dx + ( y x)dyL1 L2课解L: x=y2, y=y, y从 1 变到2, 故后(1)抛物线y=x2上从点(1, 1)到点(4, 2)的一段弧;答4. 计算∫ ( x + y)dx + ( y x)dy , 其中L 是:aw案网= ∫ [(x 2 2x3) + ( x 4 2x3)2x]dx11.c om(8) ∫ ( x2 2xy)dx + ( y 2 2xy)dy , 其中L是抛物线y=x2上从(1, 1)L= ∫ ( y 1)dy + ∫ ( x + 2)dx =14 .1 124(4)沿曲线x=2t +t+1, y=t2+1 上从点(1, 1)到(4, 2)的一段弧.2解L: x=2t2+t+1, y=t2+1, t从0 变到1, 故∫L (x + y)dx + ( y x)dy的质点沿圆周x2+y2=R2按逆时针方向移过位于第一象限的那一段时场力所作的功. x=R cos θ, y=R sin θ, θ 从0 变到π , 于是场力所作的功为 2 解已知场力为F=(|F|, 0), 曲线L 的参数方程为L后W = ∫ F dr = ∫ | F | dx = ∫ 2 | F|(R sin θ )dθ = | F | R .L 0则重力所作的功为Γ Γ沿直线移到(x2, y2, z2)时重力作的功.解已知F=(0, 0, mg). 设Γ为从(x1, y1, z1)到(x2, y2, z2)的直线,课6. 设z轴与力方向一致, 求质量为m的质点从位置(x1, y1, z1)W = ∫ F dr = ∫ 0dx + 0dy + mgdz = mg ∫ dz = mg(z2 z1) .z17. 把对坐标的曲线积分∫ P(x, y)dx + Q( x, y)dy 化成对弧长的曲线L积分, 其中L 为:(1)在xOy 面内沿直线从点(0, 0)到(1, 1); 解L 的方向余弦cosα = cos β = cos π = 1 , 4 2故∫L P(x, y)dx + Q(x, y)dyL= ∫ [P( x, y) cosα + Q( x, y) cos β ]dsLP( x, y) + Q( x, y) ds . 2 (2)沿抛物线y=x2从点(0, 0)到(1, 1); =∫awπz2答案.c o= ∫ [(3t 2 + t + 2)(4t +1) + (t 2 t)2t]dt = 32 . 0 3 5. 一力场由沿横轴正方向的常力F 所构成, 试求当一质量为m1网m解曲线L 上点(x, y)处的切向量为τ=(1, 2x), 单位切向量为(cosα , cos β ) = eτ = ( 1 , 2x ) , 1+ 4x 2 1+ 4x 2故∫L P(x, y)dx + Q(x, y)dyP( x, y) + 2xQ( x, y) ds . 1+ 4x2L(3)沿上半圆周x2+y2=2x从点(0, 0)到(1, 1).解L 的方程为y = 2x x2 , 其上任一点的切向量为www. kh d= ∫ [P( x, y) cosα + Q( x, y) cos β ]dsL L= ∫ [ 2x x 2 P( x, y) + (1 x)Q( x, y)]ds .8. 设Γ为曲线x=t , y=t2, z=t3上相应于t从0 变到1 的曲线弧,Γ把对坐标的曲线积分∫ Pdx + Qdy + Rdz 化成对弧长的曲线积分. 解曲线Γ 上任一点的切向量为τ=(1, 2t, 3t2)=(1, 2x, 3y),单位切向量为课故∫L P(x, y)dx + Q(x, y)dy后(cosα , cos β ) = eτ = ( 2x x 2 , 1 x) ,答单位切向量为(cosα , cos β , cosγ ) = eτ =∫L Pdx + Qdy + Rdz = ∫Γ [P cosα + Q cos β + R cosγ ]dsL=∫P + 2xQ + 3 yR ds . 1+ 4x2 + 9 y 2aw1 (1,2 x,3 y) , 1+ 2x 2 + 9 y 2案τ = (1,1 x ) , 2x x2.c o=∫网m= ∫ [P( x, y) cosα + Q( x, y) cos β ]dsLww课后答案网w. kh d aw .c o m习题103 1. 计算下列曲线积分, 并验证格林公式的正确性: (1) (2xy x2)dx + ( x + y 2 )dy , 其中L是由抛物线y=x2及y2=x所围成的区域的正向边界曲线;∫l∫L (2xy x2)dx + (x + y2)dy= ∫ (2xy x 2 )dx + ( x + y 2 )dy + ∫ (2xy x 2 )dx + ( x + y 2 )dyL1 L2= ∫ [(2x3 x2 ) + ( x + x4 )2x]dx + ∫ [(2 y3 y 4 )2 y + ( y 2 + y 2)]dy0 11答而∫∫( x y )dxdy = ∫∫(1 2x)dxdy = ∫0 dy∫yD Dwww. kh d所以∫∫( x y )dxdy = ∫l Pdx + Qdy .DQ P(2) ( x2 xy3)dx + ( y 2 2xy)dy , 其中L 是四个顶点分别为(0, 0)、∫l(2, 0)、(2, 2)、和(0, 2)的正方形区域的正向边界. 解L=L1+L2+L3+L4, 故∫L (x2 xy3)dx + ( y2 2xy)dyL1 L2 L3 L4= (∫ +∫ +∫ +∫ )( x 2 xy3)dx + ( y 2 2xy)dy= ∫ x2dx + ∫ ( y 2 4 y)dy + ∫ ( x2 8x)dx + ∫ y 2dy0 0 2 22课1 = ∫ ( y2 y y 2 + y 4 )dy = 1 , 0 3012= ∫ 8xdx + ∫ 4 ydy = 8 ,0 022而∫∫( x y )dxdy = ∫∫(2 y + 3xy2)dxdyD DQ Paw1 y2Q P案1 1 = ∫ (2x5 + 2x3 + x2 )dx ∫ (2 y5 + 4 y 4 + 2 y 2 )dy = 1 , 0 0 30后.c o(1 2x)dx网m解L=L1+L2, 故= ∫ dx∫ (2 y + 3xy2 )dy = ∫ (8x 4)dx = 8 ,0 0 0222所以∫∫( x y )dxdy = ∫l Pdx + Qdy . DQ P2. 利用曲线。