【名师导学】数学(江苏理,提高版)大一轮复习单元小练：12计数原理(含答案解析)

单元小练12计数原理
【单元小练】
单元小练12 计数原理
一、填空题
1. 一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分.已知甲队已赛4场，积4分，那么在这4场比赛中，甲队胜、平、负的情况共有种.
2. 甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有种.
3. 二项式
6
2
1
2x
x
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭的展开式中，常数项的值是.
4. 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有种.
5. 二项式
2
1n
x
x
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭的展开式中，二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数
是.
6. 若(1-2x)2 015=a0+a1x+…+a2 015x2 015(x∈R)，则
1
2
a
+
2
2
2
a
+
3
3
2
a
+…+
2015
2015
2
a
=.
7. 设m，n是正整数，多项式(1-2x)m+(1-5x)n的展开式中含x项的系数为-16，则含x2项的系数是.
8. 将一枚质地均匀的骰子(各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)连续抛掷三次，它落
地时向上的点数依次是a1，a2，a3，则它们组成的三位数a1a2a3是3的倍数的概率为.
9. 已知n是正整数，若
2
C
n+
3
C
n<
4
C
n，则n的取值范围是.
10. 若)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为.
二、解答题
11. 已知n.
(1) 若f(x)的展开式中含x3项的系数为14，求n的值；
(2) 当x=3时，求证：f(x)(s∈N*)的形式.
12. 已知等式(x2+2x+2)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9+a10(x+1)10，其中a i(i=0，1，2，…，10)为实常数.
(1) 求10
1
n
n
a
∑
=的值；
(2) 求10
1
n
n
na
∑
=的值.
13. 已知f(x，n)=(1+x)n.
(1) 求f(x，6)的展开式中系数最大的项；
(2) 化简：
C
n4n-1+
1
C
n4n-2+
2
C
n4n-3+…+
-1
C n
n40+
C n
n4-1；
(3) 求证：
1
C
n+2
2
C
n+3
3
C
n+…+n
C n
n=n·2n-1.
【单元小练答案】
单元小练12 计数原理
1. 19 【解析】已知甲队已赛4场，积4分，由此可知比赛情况可能如下：①胜2场负2场，共
有2242C C =6种情况；②胜1场平2场负1场，共有1243C C =12种情况；③平4场，只有1种情况.所
以共有19种情况.
2. 96 【解析】由题意知甲选修2门，有2
4C =6种方案，乙、丙各选修3门，各有4种方案，所
以符合题意的选修方案共有6×4×4=96种.
3. 240 【解析】T r+1=6
C r (2x)6-r (x -2)r =26-r
6
C r x 6-3r ，令6-3r=0，得r=2，故常数项为T 3=24
2
6
C x 0=240.
4. 34 【解析】从7人中选出4人的选法有
4
7
C =35(种)，全部是男生或全部是女生的选法有
44
C =1(种)，故既有男生又有女生的选法有35-1=34(种).
5. 10 【解析】由2n =32，得n=5.T r+1=25-51C ()r
r
r x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=5C r
x 10-3r ，令10-3r=1，得r=3，故含x
项的系数为35
C =10.
6. -1 【解析】取x=0，得(1-0)2 015=a 0=1；取x=1
2，得0=a 0+12a +222a +…+20152015
2a ，所以12a +2
22a +…+201520152a =-1.
7. 37 【解析】由于多项式(1-2x)m +(1-5x)n 的展开式中含x 项的系数为1C m
×(-2)+
1C n
×(-5)=-16，
可得2m+5n=16 ①.
再根据m ，n 为正整数，可得m=3，n=2，故含x 2
项的系数是23
C ×(-2)2
+
22
C ×(-5)2=37.
8. 1
3【解析】当a
1
，a2，a3互不相同时，是3的倍数的三位数a1a2a3共有8
3
3
A=48个；
当a1，a2，a3有且仅有两个相同时，是3的倍数的三位数a1a2a3共有6
1
3
A=18个；
当a1，a2，a3均相同时，是3的倍数的三位数a1a2a3共有6个.所以是3的倍数的三位数共有48+18+6=72个.
由分步计数原理可得总的三位数共有6×6×6=216个，所以所求概率P=72
216=
1
3.
9. {n|n≥9，n∈N*}【解析】由题知
(-1)
2
n n
+
(-1)(-2)
6
n n n
<
(-1)(-2)(-3)
24
n n n n
，
即n2-9n+2>0，解得
n>或
n<<1(舍去).因为
8<<9，所以n≥9，n∈N*.
10. 1【解析】令x=1，得
4=a
+a1+a2+a3+a4.
令x=-1，得
-2)4=a0-a1+a2-a3+a4=a0+a2+a4-a1-a3，
而(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a2+a4+a1+a3)(a0+a2+a4-a1-a3
4=1.
11. (1) 因为T r+1=C r
n2n-r
2
r
x
，所以r=6，故含x3项的系数为
6
C
n·2n-6=14，解得n=7.
(2) 由二项式定理可知
)n
=
00
C2n
n+
1
C
n2n-1
)1
+
2-22
C2n
n+…+
C n
n20
n.
设
n
若有
)n
，a，b∈N*，
则
n
，a，b∈N*.
因为
)
n·)n=1，
所以令a=s，s∈N*，则必有b=s-1，
所以
)n
的形式，其中s∈N*.
12. (1) 在(x2+2x+2)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9+a10(x+1)10中，令x=-1，得a0=1；
令x=0，得a0+a1+a2+…+a9+a10=25=32.
所以10
1
n
n
a
∑
==a1+a2+…+a10=31.
(2) 对等式(x2+2x+2)5=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9+a10(x+1)10两边对x求导，得5(x2+2x+2)4·(2x+2)=a1+2a2(x+1)+…+9a9(x+1)8+10a10(x+1)9.
在5(x2+2x+2)4·(2x+2)=a1+2a2(x+1)+…+9a9(x+1)8+10a10(x+1)9中，
令x=0，整理得10
1
n
n
na
∑
==a1+2a2+…+9a9+10a10=5·25=160.
13. (1) f(x，6)的展开式中系数最大的项是第四项，为
3
6
C x3=20x3.
(2)
C
n4n-1+
1
C
n4n-2+
2
C
n4n-3+…+
-1
C n
n40+
C n
n4-1
=1
4(0C n4n+1C n4n-1+2C n4n-2+…+-1
C n
n4+
C n
n)
=1
4(4+1)n
=5 4 n
.
(3) 因为k C k
n=n
-1
-1
C k
n，
所以
1
C
n+2
2
C
n+3
3
C
n+…+n
C n
n=n(
-1
C
n+
1
-1
C
n+
2
-1
C
n+…+
-1
-1
C n
n)=n·2n-1.。