第13课时二次函数的图像与性质(二)
第二十二章 第13课 二次函数的应用(2)——抛物线型问题
解：(1) y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4, 即对称轴为 x＝2，所 以水喷出的最远距离是 2×2＝4(米) (2) 由 y＝－(x－2)2＋4 可知顶点坐标为(2,4)，则水喷出的 最大高度是 4 米．
5．如图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面 的距离都是 1 m，拱桥的跨度为 10 m，桥洞与水面的最大 距离是 5 m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面 4 m 的景观 灯．
(1)当球上升的最大高度为 3.2 m 时，求排球飞行的高度 y(m)与水 平距离 x(m)的函数关系式(不要求写自变量 x 的取值范围)．
(2)在(1)的条件下，对方距球网 0.5 m 的点 F 处有一队员，她起跳 后手达到的最大高度为 3.1 m．问这次她是否可以拦网成功？ 请通过计算说明．
解：(1)根据题意知此时抛物线的顶点 G 的坐标为(7,3.2)， 设抛物线解析式为 y＝a(x－7)2＋3.2， 将点 C(0,1．8)代入，得：49a＋3.2＝1．8， 解得：a＝－315，x2 B．y＝2x2 C．y＝－12x2 D．y＝12x2
4．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为 x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出 的曲线是抛物线 y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分， (1)水喷出的最远距离是多少？ (2)水喷出的最大高度是多少？
2．如图，拱桥是抛物线形，其函数解析式为 y＝－41x2，当水 位线在如图所示位置时，水面宽 AB＝12 m，这时水面离桥 顶的高度 h＝__9______m.
3．如图①是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水 面在 l 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面 2 m，水面宽 4 m．如 图②建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是( C )
二次函数与方程、不等式
综上所述，抛物线的解析式为y＝
3 4
x2－3x＋4或y＝－
3 4
x2
＋3x＋1.
第13课时┃ 二次函数与方程、不等式
热考3 用二次函数的性质解决实际问题 例 3 某工厂设计了一款产品，成本为每件 20 元．投放市场 进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量 y(件)与销售单 价 x(元/件)之间满足 y＝－2x＋80(20≤x≤40)，设销售这种产品 每天的利润为 W(元)． (1)求销售这种产品每天的利润 W(元)与销售单价 x(元/件)之间 的函数解析式； (2)当销售单价定为多少时，每天的利润最大？最大利润是多少 元？
ax2＋bx c(a≠0)的图象在x轴__下______
＋c<0 方的点的横坐标所组成的集合
备注
不等式中如果带有等号，其解 集也相应带有等号
第13课时┃ 二次函数与方程、不等式
考点●4 二次函数的应用 解决二次函数的应用问题的关键在于建立二次函数模 型．在具体解题时，应认真审题，理解题意，再利用二次函 数的性质解决问题．应用最多的是根据二次函数的最值确定 最大利润．
抛物线与x轴的
交点个数
Δ＝b2－4ac的符号
方程有实数根的个数
两个交点
Δ>0
两个不相等的实根
一个交点
Δ＝0
两个相等的实根
没有交点
Δ<0
没有实根
(2)已知函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值为k，求自变量x
的值，就是解方程ax2＋bx＋c＝k；反过来，解方程ax2＋bx＋c
＝k，就是令二次函数y＝ax2＋bx＋c－k的函数值为0，求自变
中考数学总复习第三单元函数第13课时二次函数的图像与性质课件
图13-2
图 13-3
[答案] B
[解析] 抛物线 y=ax2+bx+c 的开口方向向上,
则 a>0.对称轴在 y 轴的右侧,则 a,b 异号,所
以 b<0,故-b>0.又因为抛物线与 x 轴有两个
交点,所以 b2-4ac>0,所以直线 y=-bx+b2-4ac
经过第一、二、三象限.当 x=-1 时,y>0,即
第 13 课时 二次函数的图像与性质
课前双基巩固
考点聚焦
考点一 二次函数的概念
1.二次函数的定义
定义
一般地,如果两个变量 x 和 y 之间的函数关系可以表示成① y=ax2+bx+c
(a,b,c 是常数,且 a≠0),那么称 y 是 x 的二次函数
二次函数 y=ax2+bx+c (1)等号右边是关于自变量 x 的二次式,x 的最高次数是 2;
的增大而 减小 ,简记为“左增右减”
最值
抛物线有最低点,当 x=- b 时,y 有最 小 2a
抛物线有最高点,当 x=- b 时,y 有最 大 2a
值,y
最小值=
4ac -b2 4a
值,y
最大值=
4ac -b2 4a
二次项系数 a 的 特性
������ 的大小决定抛物线的开口大小, ������ 越大,抛物线的开口越小; ������ 越小,抛物线的开口越大
的结构特征
(2)二次项系数 a≠0
课前双基巩固
2.二次函数的三种表示形式
(1)一般式:② y=ax2+bx+c(a≠0) . (2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中二次函数图像的顶点坐标是③ (h,k) . (3)两点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).其图像与 x 轴的交点的坐标为④ (x1,0) ,⑤ (x2,0) .
2024长沙中考数学一轮复习 第13课时 二次函数的图象与性质(含与a、b、c的关系)(课件)
D. (2，4)
变式训练
改变角度：由求顶点坐标改为判断最值
2. 关于抛物线 y＝2(x－3)2＋4 的最大值或最小值，下列说法正确的是
(B) A. 有最大值 3
B. 有最小值 4
C. 有最大值 4
D. 有最小值 3
3. (2023 长沙 12 题 3 分)若对于任意非零实数 a，抛物线 y＝ax2＋ax－2a
a__＜__0 b__＞__0 c__＝__0 b2－4ac＞__0
a__＞__0 b__＝__0 c__＝__0 b2－4ac_＝_0
长沙10年真题及拓展
1. (2022 长沙 8 题 3 分)抛物线 y＝2(x－3)2＋4 的顶点坐标是( A )
A. (3，4)
B. (－3，4)
C. (3，－4)
图象
结论
考点精讲
【对接教材】人教：九上第二十二章P28～P39
考点 1 二次函数的图象与性质
解析式 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
对称轴
1. 对称轴为直线 x＝_－___2b_a___； 2. 已知抛物线上纵坐标相同的两点 A(x1，y)，B(x2，y)，则对称轴为直 线 x＝x1＋2 x2(实质是点 A 与点 B 关于对称轴对称)
总不经过点 P(x0－3，x20－16)，则符合条件的点 P( B )
A. 有且只有 1 个
B. 有且只有 2 个
C. 至少有 3 个
D. 有无穷多个
4. (2021 长沙 10 题 3 分)函数 y＝a与 y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系 x
中的图象可能是( D )
5. (2023 长沙 10 题 3 分)二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则下
二次函数的图象与性质(练) (1)
第13课时二次函数的图象与性质基础过关1. (2017长沙)抛物线y=2(x-3)2+4的顶点坐标是( )A. (3，4)B. (-3，4)C. (3，-4)D. (2，4)2. (2017来宾)设M＝-x2+4x-4，则（）A. M＜0B. M≤0C. M≥0D. M＞03. （2017金华）对于二次函数y=-(x-1)2+2的图象与性质，下列说法正确的是( )A. 对称轴是直线x=1,最小值是2B. 对称轴是直线x=1,最大值是2C. 对称轴是直线x=-1,最小值是2D. 对称轴是直线x=-1,最大值是2在同一个平面4. （2017菏泽）一次函数y=ax+b和反比例函数y=cx直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是( )第4题图5. (2017崇左)对于函数y =-2(x -m )2的图象，下列说法不正确的是() A. 开口向下 B. 对称轴是x=m C. 最大值为0 D. 与y 轴不相交6. （2017眉山）若一次函数y =(a +1)x +a 的图象过第一、三、四象限，则二次函数y =ax 2-ax ( ) A. 有最大值4a B. 有最大值-4a C. 有最小值4a D. 有最小值-4a 7. (2017杭州)设直线x =1是函数y =ax 2+bx +c (a,b,c 是实数，且a <0)的图象的对称轴( ) A. 若m >1，则(m -1)a +b >0 B. 若m >1，则(m -1)a +b <0 C. 若m <1，则(m +1)a +b >0 D. 若m <1，则(m +1)a +b <08. （2017攀枝花）二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示，则下列命题中正确的是( )第8题图A. a ＞b ＞cB. 一次函数y =ax +c 的图象不经过第四象限C. m (am +b )+b ＜a (m 是任意实数)D. 3b +2c ＞09. （2017泰安）已知二次函数y =ax 2+bx +c 的y 与x 的部分对应值如下表：下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x =1；③当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程ax 2+bx +c =0有一个根大于4.其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个10. （2017荆门）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的大致图象如图所示，则下列结论正确的是( ) A. a <0,b <0,c >0 B. -2ba=1 C. a +b +c <0D. 关于x 的方程ax 2+bx +c =-1有两个不相等的实数根第10题图11. (2017湘西州)已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)如图所示，则下列6个代数式：ac ,abc ,2a +b ,a +b +c ,4a -2b +c ,b 2-4ac ,其中值大于0的个数为（）第11题图A. 2B. 3C. 4D. 512. （2017天津）已知抛物线y =x 2-4x +3与x 轴相交于点A,B (点A 在点B 左侧)，顶点为M .平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M ′落在x 轴上，点B 平移后的对应点B ′落在y 轴上，则平移后的抛物线解析式为( )A. y =x 2+2x +1B. y =x 2+2x -1C. y =x 2-2x +1D. y =x 2-2x -113. （2017乐山）已知二次函数y =x 2-2mx (m 为常数)，当-1≤x ≤2时，函数值y 的最小值为-2，则m 的值是( )A.32B.C.32 D. -3214. （2017阿坝州）如图，抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的对称轴为直线x =1,与x 轴的一个交点坐标为（－1，0）,其部分图象如图所示，下列结论： ①4ac ＜b 2;②方程ax 2+bx +c ＝0的两个根是x 1=-1，x 2＝3;③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值范围是-1≤x≤3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个第14题图15. (2017上海)已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(0，-1)，那么这个二次函数的解析式可以是.(只需写一个)16. （2017盐城盐都区一模）二次函数y=x2+6x+5图象的顶点坐标为.17. （2017衡阳）已知函数y=-(x-1)2图象上两点A(2，y1)，B(a，y2)，其中a＞2，则y1与y2的大小关系是y1y2(填“＜”、“＞”或“=”).18. (2017广州)当x=时，二次函数y=x2-2x+6有最小值.19. (2017青岛)若抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点,则m的取值范围是.20. (2017兰州)如图，若抛物线y=ax2+bx+c上的P(4，0)，Q两点关于它的对称轴x=1对称，则Q点的坐标为.第20题图21. （2017百色）经过A（4，0），B（-2，0），C（0，3）三点的抛物线的解析式是.22. （2017武汉）已知关于x的二次函数y=ax2+(a2-1)x-a的图象与x 轴的一个交点的坐标为(m,0).若2<m<3，则a的取值范围是.23. （2017南京二模）已知二次函数y1=a(x-2)2+k中，函数y1与自变量x的部分对应值如表：(1)求该二次函数的表达式；（2）将该函数的图象向左平移2个单位长度，得到二次函数y2的图象，分别在y1、y2的图象上取点A（m,n1）,B(m+1,n2)，试比较n1与n2的大小.24. （2017北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-4x+3与x 轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求直线BC的表达式；(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1,y1),Q(x2,y2)，与直线BC 交于点N(x3,y3).若x1＜x2＜x3,结合函数的图象，求x1+x2+x3的取值范围.25. (2017南京二模)已知二次函数y=-x2+2mx-2m2-3（m为常数）. （1）求证：不论m为何值，该二次函数图象与x轴没有公共点；（2）如果把该函数图象沿y轴向上平移4个单位后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点，试求m的值.26. （2017南通一模）已知二次函数y=-2x2+4x+6.（1）求出该函数图象的顶点坐标，图象与x轴的交点坐标;（2）当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？（3）当x在什么范围内时，y≤6?27. (2017荆州)已知关于x的一元二次方程x2+(k-5)x+1-k=0,其中k 为常数.(1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根;(2)已知函数y=x2+(k-5)x+1-k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；(3)若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值.28.（2017杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y1=(x+a)(x-a-1)，其中a≠0.(1)若函数y1的图象经过点(1，-2)，求函数y1的表达式；(2)若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a,b满足的关系式；(3)已知点P(x0，m)和Q(1，n)在函数y1的图象上,若m<n，求x0的取值范围.满分冲关1. (2017河北)如图，若抛物线y=-x2+3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为k，则反比例函数y=k(x＞0)的图象是（）x第1题图2. （2017绍兴）矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为(2，1)，一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为y=x2，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为( ) A. y=x2+8x+14 B. y=x2-8x+14C. y=x2+4x+3D. y=x2-4x+33. (2017来宾)已知函数y=|x2-4|的大致图象如图所示，如果方程|x2-4|=m(m为实数)有4个不相等的实数根，则m的取值范围是.第3题图4. （2017乌鲁木齐）如图，抛物线y=ax2+bx+c过点(-1，0)，且对称轴为直线x=1，有下列结论：第4题图①abc＜0；②10a+3b+c＞0；③抛物线经过点(4，y1)与点(-3，y2),则y1＞y2;,0);④无论a,b,c取何值，抛物线都经过同一个点(-ca⑤am2+bm+a≥0.其中所有正确的结论是.(m2+1)=0 5. （2017天门）已知关于x的一元二次方程x2-(m+1)x+12有实数根.(1)求m的值；(m2+1)的图象关于x轴的对称图形，然后将所(2)先作y=x2-(m+1)x+12作图形向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，写出变化后图象的解析式；(3)在(2)的条件下，当直线y=2x+n(n≥m)与变化后的图象有公共点时，求n2-4n的最大值和最小值.答案基础过关1. A 【解析】由抛物线顶点式为y ＝a (x －h )2＋k 可知抛物线y ＝2(x －3)2＋4的顶点坐标为(3，4)．2. B 【解析】∵M ＝－(x 2－4x ＋4)＝－(x －2)2，又∵(x －2)2≥0，∴M ≤0.3. B 【解析】由二次函数y ＝－(x －1)2＋2可知，对称轴为直线x ＝1，排除C 、D ，函数开口向下，有最大值，当x ＝1时，y 取最大值，为2.4. A 【解析】由图象可知a <0，b >0，c <0，结合选项可知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，对称轴在y 轴右侧，且交于y 轴的负半轴，故选A.5. D 【解析】逐项分析如下：6. B 【解析】∵一次函数y ＝(a ＋1)x ＋a 的图象过第一、三、四象限，∴⎩⎨⎧==+001a a ，解得－1＜a ＜0，∵二次函数y ＝ax 2－ax ＝a (x －12)2－14a ，又∵－1＜a ＜0，∴二次函数y ＝ax 2－ax 有最大值，且最大值为－14a .7. C 【解析】∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴－b 2a ＝1，b ＝－2a ；①当m >1时，则m －1>0，∴(m －1)a ＋b ＝ma ＋a ＋b ＝ma －a －2a ＝a (m －3)，∵a <0，而m －3的正负性无法确定，∴a (m －3)的正负性无法确定，所以A ，B 错误；②当m <1时，则m －1<0，∴(m ＋1)a ＋b ＝ma ＋a ＋b ＝ma －a －2a ＝a (m －1)，∵a <0，m －1<0，∴a (m －1)>0，所以C 正确，D 错误．8. D 【解析】由题意知，抛物线对称轴为x ＝－b 2a ＝－1，即a ＝21b ，又∵a ＞0，∴a ＜b ，故A 错误；∵a ＞0，c ＜0，∴一次函数y ＝ax ＋c 的图象不经过第二象限，故B 错误；∵m (am ＋b )＋b ＝am 2＋bm ＋b ＝am 2＋2am ＋2a ＝a (m ＋1)2＋a 且a ＞0，∴a (m ＋1)2＋a 有最小值，最小值为a .∴m (am ＋b )＋b ≥a (m 为任意实数)，故C 错误；当x＝1时，y ＝a ＋b ＋c >0，∴12b ＋b ＋c >0，即3b ＋2c >0，故D 正确．9. B 【解析】逐序号分析如下：综上所述，正确结论的个数为2.【一题多解】根据题意，将点(0，1)，(1，3)，(3，1)代入抛物线得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=13931c b a c b a c ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===131-c b a ，则所求抛物线解析式为y ＝－x 2＋3x ＋1，则a ＜0，开口向下，①正确；对称轴为x ＝32≠1，②错误；由抛物线图象可知，当x ＜32时，y 随x 的增大而增大，则当x ＜1时，y 随x的增大而增大，③正确；解方程－x 2＋3x ＋1＝0得x 1＝3－132，x 2＝3＋132，∵3＜13＜4，∴3＋132＜3＋42＜4，④错误．10. D 【解析】二次函数开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与y 轴交于负半轴，所以a ＜0，b ＞0，c ＜0，故A 错误；对称轴为x ＝－b 2a ＞1，故B 错误；当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＝0，故C 错误；y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝－1有两个交点，故ax 2＋bx ＋c ＝－1有两个不相等的实数根，故D 正确．11. C 【解析】由抛物线的开口向上，可知a ＞0，由对称轴在0到1之间得0<－b 2a <1，∴b ＜0，－b ＜2a ，即2a ＋b ＞0，由抛物线图象知，当x ＝1时y ＜0，即a ＋b ＋c ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在正半轴上，∴c ＞0，∴ac ＞0，abc ＜0，由图象可知，当x ＝－2时，y ＞0，即4a －2b ＋c ＞0，由抛物线与x 轴有两个不同的交点，得b 2－4ac >0.故这6个代数式中值大于0的有4个．12. A 【解析】∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，∴令y ＝0，即x 2－4x ＋3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3，∴A (1，0)，B (3，0)，∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴M (2，－1)．∵要使平移后的抛物线的顶点在x 轴上，需将图象向上平移1个单位，要使B 平移后的对应点B ′落在y 轴上，需向左平移3个单位，∴M ′(－1，0)，则平移后二次函数的解析式为y ＝(x ＋1)2，即y ＝x 2＋2x ＋1，故选A.13. D 【解析】因为二次函数的对称轴为x ＝m ，所以对称轴不确定，因此需要讨论研究的范围落在对称轴哪边，①当m ≥2时，此时－1≤x≤2落在对称轴的左边，当x ＝2时y 取得最小值－2，即－2＝22－2m ×2，解得m ＝32(舍)；②当－1<m <2时，此时在对称轴x ＝m 处取得最小值－2，即－2＝m 2－2m·m ，解得m ＝－2或m ＝2，又－1<m <2，故m ＝2；③当m ≤－1时，此时－1≤x ≤2落在对称轴的右边，当x ＝－1时y 取得最小值－2，即－2＝(－1)2－2m ×(－1)，解得m ＝－32，综上所述，m ＝－32或 2.14. B 【解析】∵抛物线与x 轴有2个交点，∴b 2－4ac >0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，而点(－1，0)关于直线x ＝1的对称点的坐标为(3，0)，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1＝－1，x 2＝3，所以②正确；∵x ＝－b 2a ＝1，即b ＝－2a ，而x ＝－1时，y ＝0，即a －b ＋c ＝0，∴a ＋2a ＋c ＝3a ＋c ＝0，所以③错误；∵抛物线与x 轴的两点坐标为(－1，0)，(3，0)，∴当－1<x <3时，y >0，所以④错误；∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴当x <1时，y 随x 增大而增大，所以⑤正确．综上所述，结论正确的个数为3.15. y ＝x 2－1(答案不唯一) 【解析】二次函数的图像开口向上，∴a ＞0，顶点坐标为(0，－1)，可设这个二次函数为y ＝ax 2－1，解析式可以是y ＝x 2－1.16. (－3，－4) 【解析】∵y ＝x 2＋6x ＋5＝(x ＋3)2－4，∴抛物线顶点坐标为(－3，－4)．17. ＞ 【解析】∵y ＝－(x －1)2，∴当x ＞1时，y 随着x 的增大而减小，∵a ＞2＞1，∴y 1＞y 2.18. 1；5 【解析】公式法：当x ＝－b 2a ＝－－22×1＝1时，y ＝x 2－2x ＋6有最小值，为4ac －b 24a ＝4×1×6－（－2）24×1＝5. 【一题多解】配方法：∵y ＝x 2－2x ＋6＝( x 2－2x ＋1)＋5＝(x －1)2＋5，∴当x ＝1时，y ＝x 2－2x ＋6有最小值，最小值为5.19. m >9 【解析】∵抛物线y ＝x 2－6x ＋m 与x 轴没有交点，∴方程x 2－6x ＋m ＝0没有实数解，即b 2－4ac ＝(－6)2－4m <0，解得m >9.【一题多解】抛物线y ＝x 2－6x ＋m 化为顶点式得y ＝(x －3)2＋m －9，其开口向上，若抛物线与x 轴没有交点，则顶点在x 轴上方，即m－9>0，解得m >9.20. (－2，0) 【解析】∵抛物线上点P 和点Q 关于x ＝1对称，P (4，0)，可设Q (m ，0)，∴24 m ＝1，解得m ＝－2，∴Q (－2，0)． 21. y ＝－38(x －4)(x ＋2) 【解析】根据题意得，设抛物线解析式为y ＝a (x －4)(x ＋2)，把C (0，3)代入上式得，3＝a (0－4)(0＋2)，解得a＝－38，故抛物线解析式是y ＝－38(x －4)(x ＋2)．22. 13<a <12或－3<a <－2 【解析】令y ＝0，即ax 2＋(a 2－1)x －a ＝0，(ax －1)(x ＋a )＝0，∴关于x 的二次函数y ＝ax 2＋(a 2－1)x －a 的图象与x 轴的交点为(a 1，0)和(－a ，0)，即m ＝a1或m ＝－a .又∵2＜m ＜3，则13<a <12或－3<a <－2.23. 解：(1)从表格看，二次函数顶点为(2，1)，则k ＝1， 把(1，2)代入y 1＝a (x －2)2＋1中得：2＝a (1－2)2＋1，a ＝1， ∴二次函数的表达式为y 1＝(x －2)2＋1；(2)由题意得：y 2＝(x －2＋2)2＋1＝x 2＋1，把A (m ，n 1)、B(m ＋1，n 2)分别代入y 1、y 2的表达式中，n 1＝(m －2)2＋1＝m 2－4m ＋5，n 2＝(m ＋1)2＋1＝m 2＋2m ＋2，n 1－n 2＝(m 2－4m ＋5)－(m 2＋2m ＋2)＝－6m ＋3，当－6m ＋3>0时，m <12，当－6m ＋3<0时，m >12，∴当m <12时，n 1－n 2>0，即n 1>n 2，当m ＝12时，n 1－n 2＝0，即n 1＝n 2，当m >12时，n 1－n 2<0，即n 1<n 2.24. 解：(1)∵抛物线y ＝x 2－4x ＋3与x 轴交于点A ，B (点A 在点B 左侧)，∴令y ＝0，则有x 2－4x ＋3＝(x －3)·(x －1)＝0，解得x 1＝1，x 2＝3，∴A (1，0)，B (3，0)．∵抛物线y ＝x 2－4x ＋3与y 轴交于点C ，∴令x ＝0，得y ＝3，C (0，3).设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将B (3，0) ，C (0，3)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧==+303b b k ， 解得⎩⎨⎧==31-b k ， ∴直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3；(2)∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴抛物线对称轴为x＝2，顶点为(2，－1)．∵l⊥y轴，l交抛物线于点P、Q，交BC于点N，x1<x2<x3，∴－1<y1＝y2＝y3<0，点P、Q关于x＝2对称，∴－1<－x3＋3<0，221xx ＝2,∴3<x3<4, x1＋x2＝4，∴7<x1＋x2＋x3<8.25. (1)证明：令y＝0，即－x2＋2mx－2m2－3＝0，则a＝－1，b＝2m，c＝－2m2－3，∴b2－4ac＝(2m)2－4×(－1)×(－2m2－3)＝－4m2－12，∵－4m2≤0，∴－4m2－12<0，即b2－4ac<0，∴一元二次方程－x2＋2mx－2m2－3＝0没有实数根，∴不论m为何值，该二次函数图象与x轴没有公共点；(2)解：将二次函数y＝－x2＋2mx－2m2－3配方得：y＝－(x－m)2－m2－3，∴该二次函数图象的顶点坐标为(m，－m2－3)，∵将函数图象沿y轴向上平移4个单位后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点，∴－m2－3＋4＝0，解得m＝±1.26. 解：(1)∵y＝－2x2＋4x＋6＝－2(x－1)2＋8，∴顶点坐标是(1，8)，令y＝0，则－2x2＋4x＋6＝0，解得x1＝－1，x2＝3；∴图象与x 轴的交点坐标是(－1，0)、(3，0)；(2)∵抛物线的对称轴为x ＝1，图象开口向下，∴当x ≤1时，y 随x 的增大而增大；(3)令y ＝－2x 2＋4x ＋6＝6，解得x ＝0或x ＝2，∵抛物线的图象开口向下，∴当x ≤0或x ≥2时y ≤6.27. (1)证明：∵a ＝1，b ＝k －5，c ＝1－k ，∴b 2－4ac ＝(k －5)2－4(1－k )＝k 2－6k ＋21，∵k 2－6k ＋21＝(k －3)2＋12，其中(k －3)2≥0，∴b 2－4ac ＝(k －3)2＋12>0，∴无论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)解：∵二次函数图象不经过第三象限，∴对称轴x ＝2-5k >0，且不与y 轴负半轴相交，即1－k ≥0， 联立⎪⎩⎪⎨⎧≥>0-102-5k k ，解得k≤1；(3)依题意得，对于y ＝x 2＋(k －5)x ＋1－k ，∵该抛物线图象开口向上，∴当x ＝3时，y <0，∴y ＝32＋3(k －5)＋1－k <0，即2k －5<0，k <52，∴k 的最大整数取2.28. 解：(1)∵函数y 1＝(x ＋a )(x －a －1)的图象经过点(1，－2)， ∴把x ＝1，y ＝－2代入y 1＝(x ＋a )(x －a －1)得，－2＝(1＋a )(－a )， 化简得，a 2＋a －2＝0，解得a 1＝－2，a 2＝1，∴y 1＝x 2－x －2；(2)函数y 1＝(x ＋a )(x －a －1)的图象在x 轴的交点为(－a ，0)，(a ＋1，0)，①当函数y 2＝ax ＋b 的图象经过点(－a ，0)时，把x ＝－a ，y ＝0代入y 2＝ax ＋b 中，得a 2＝b ；②当函数y 2＝ax ＋b 的图象经过点(a ＋1，0)时，把x ＝a ＋1，y ＝0代入y 2＝ax ＋b 中，得a 2＋a ＝－b ；∴实数a ，b 满足的关系式是a 2＝b 或a 2＋a ＝－b;(3)∵抛物线y 1＝(x ＋a )(x －a －1)的对称轴是直线x ＝21-++a a ＝12，m<n ，∵二次项系数为1，∴抛物线的开口向上，∴抛物线上的点离对称轴的距离越大，它的纵坐标也越大， ∵m<n ，∴点Q 离对称轴x ＝12的距离比P 离对称轴x ＝12的距离大，∴|x 0－12|<1－12，∴0<x0<1.满分冲关1. D【解析】在抛物线y＝－x2＋3中，令y＝0，解得x＝±3，令x＝0，则y＝3，∴抛物线与x轴围成封闭区域(边界除外)内的整点有：(－1，1)，(1，1)，(0，1)，(0，2)，共4个，∴k＝4，∴反比例函数4，其图象经过点(1，4)，(2，2)，(4，1)，∴符合的图解析式为y＝x象如选项D.2. A【解析】由于矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，A(2，1)，则C(－2，－1)，要使A点与C点重合，抛物线移动路径为先向下移动2个单位长度，再向左移动4个单位长度，∵原抛物线为y＝x2，∴后来的抛物线解析式为y＝(x＋4)2－2＝x2＋8x＋14.3. 0<m<4【解析】∵当x＝0时，y＝|x2－4|＝4，得图象与y轴交点坐标为(0，4)，∴如解图，直线y＝4与y＝|x2－4|的图象有三个交点，∴当0<m<4时，有4个交点，即方程有4个不相等的实数根，故m的取值范围为0<m<4.第3题解图4. ②④⑤【解析】∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴为直线x ＝1，∴b＜0，∵抛物线图象与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①错误；∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(－1，0)，且对称轴为x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)，∴当x＝3时，y＝9a＋3b＋c＝0，又∵a＞0，∴10a＋3b＋c＞0，故②正确；根据抛物线的对称性可知，x ＝－2与x ＝4时y 值相同，∵抛物线开口向上，∴当x 在对称轴左侧时，y 随x 的增大而减小，且－3＜－2，∴y 1<y 2，故③错误；抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(－1，0)，∴a －b ＋c ＝0，∵抛物线对称轴为x ＝－b 2a ＝1，∴b ＝－2a ，∴a ＋2a ＋c ＝0，即c ＝－3a ，当x ＝－c a 时，y ＝a ·(－c a )2－2a ·(－c a )＋c ＝c 2a ＋3c ＝（－3a ）2a＋3×(－3a )＝0，故④正确；∵b ＝－2a ，∴am 2＋bm ＋a ＝am 2－2am ＋a ＝a (m －1)2，∵a ＞0，(m －1)2≥0，∴am 2＋bm ＋a ≥0，故⑤正确．故正确的结论是②④⑤.5. 解：(1)∵方程有实数根，∴[－(m ＋1)]2－4×12(m 2＋1)≥0，化简得(m －1)2≤0，∴m －1＝0，∴m ＝1；(2)由(1)可知，y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，关于x 轴对称后的函数解析式为y ＝－(x －1)2，再向左平移3个单位，向上平移2个单位，得函数解析式为y ＝－(x －1＋3)2＋2，化简得y ＝－x 2－4x －2，∴变化后的函数解析式为y ＝－x 2－4x －2；(3)∵直线y ＝2x ＋n 与y ＝－x 2－4x －2有交点，令2x ＋n ＝－x 2－4x －2，化简后得x 2＋6x ＋n ＋2＝0，∴b2－4ac＝62－4×1×(n＋2)≥0，解得n≤7，∵n≥m，m＝1，∴n≥1，∴1≤n≤7，令t＝n2－4n＝(n－2)2－4，∴当n＝2时，抛物线取得最小值，∴t min＝－4；∵抛物线的对称轴为n＝2，图象开口向上，∴当n＝7时，抛物线取得最大值，∴t max＝72－4×7＝21，∴n2－4n的最大值为21，最小值为－4.。
中考数学基础复习第13课二次函数的图象与性质课件
【解析】(1)把点P(-2,3)代入y=x2+ax+3中, ∴a=2,∴y=x2+2x+3, ∴顶点坐标为(-1,2); (2)①当m=2时,n=11, ②点Q到y轴的距离小于2, ∴|m|<2,∴-2<m<2,∴2≤n<11.
变式1.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)三点. (1)求二次函数的表达式; (2)在同一坐标系中画出直线y=x+1,并写出当x在什么范围内时,一次函数的值 大于二次函数的值.
【考点剖析】
考点1 二次函数表达式的确定
例1.已知抛物线y=- 1 x2+bx+c经过点(1,0), (0，3).
2
2
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)将抛物线y=- 1 x2+bx+c平移,使其顶点恰好落在原点,请写出一种平移的方
2
法及平移后的函数表达式.
【解析】(1)把(1,0), (0，3) 代入抛物线表达式得:
由图象得,当-1<x<4时一次函数的值大于二次函数的值.
变式2.如图,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4),B(6,0). (1)求a,b的值. (2)若C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2<x<6),请写出 四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值.
∴对称轴x= 1 5=2,即 b b 2，
2
2a 2
∴b=-4.
y=x2-4x+1=x2-4x+4-3=(x-2)2-3.
∴抛物线顶点(2,-3).
中考数学复习讲义课件 第3单元 第13讲 二次函数的图象与性质
次函数的解析式为 y＝－(x－2)2＋2(或 y＝－x2＋4x－2)
；由所得
到的平移后二次函数的解析式知，当－1≤x≤3 时，平移后二次函数的最大 值为 2 ，最小值为 －7 .
1．(2021·江西)在同一平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2 与一次函数 y＝ bx＋c 的图象如图所示，则二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象可能是( D )
∵n 为正数，∴n＝5. ∴点 A 的坐标为(－4，16)，点 B 的坐标为(5，7)． ∵抛物线开口向上，顶点坐标为(1，－9)， ∴抛物线顶点在 AB 下方． ∴－4＜xP＜5，－9≤yP＜16.
13．(2021·广元)将二次函数 y＝－x2＋2x＋3 的图象在 x 轴上方的部分沿 x
轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线 y＝x＋b 与新函数的图象恰
(2)直线 l 交抛物线于点 A(－4，m)，B(n，7)，n 为正数．若点 P 在抛物线 上且在直线 l 下方(不与点 A，B 重合)，分别求出点 P 横坐标与纵坐标的取 值范围． 解：把 A(－4，m)代入 y＝x2－2x－8，得 m＝(－4)2－2×(－4)－8＝16. 把 B(n，7)代入 y＝x2－2x－8，得 7＝n2－2n－8，解得 n1＝5，n2＝－3.
18．(2021·永州)已知关于 x 的二次函数 y1＝x2＋bx＋c(实数 b，c 为常数)． (1)若二次函数的图象经过点(0，4)，对称轴为 x＝1，求此二次函数的表达式； 解：∵二次函数的图象经过点(0，4)，∴c＝4. ∵对称轴为直线 x＝－b2＝1，∴b＝－2. ∴此二次函数的表达式为 y1＝x2－2x＋4.
共点，则 b＋c 的值为( C )
A．－1
B．2
C．3
第13讲二次函数图象与性质(课件)-2025年中考数学一轮复习讲练测(全国通用)
第13讲
二次函数的图象与性质
目录
C
O
N
T
E
N
T
S
01
02
考情分析
知识建构
03
考点精讲
第一部分
考情分析
考点要求
新课标要求
二次函数的相 ➢ 通过对实际问题的分析，体会二次函
关概念
二次函数的图
象与性质
二次函数与各
项系数的关系
二次函数与方
程、不等式
命题预测
数的意义.
➢ 能画二次函数的图象，通过图象了解
b
时，二次函数取得最小值
2a
4ac−b2
4a
y
当x=x2时，二次函数取得最大值y2
x1
y2
y1
当 x= −
4ac−b2
4a
y
x1≤x≤x2
b
时，二次函数取得最大值
2a
O
x1 O
b
时，二次函数取得最小值
2a
O
x2
x
当x=x1时，二次函数取得最小值y1
考点二 二次函数的图象与性质
备注：自变量的取值为x1≤x≤x2时，且二次项系数a<0的最值情况请自行推导.
a<0
开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值.
4ac−b2
【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或
）.
4a
增
在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x
a>0
减
性
的增大而增大.
在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x
a<0
的增大而减小.
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第13课时 二次函数的图像与性质（二）
【复习目标】
1．能根据图象确定a 、b 、c 的符号．
2．会用待定系数法求二次函数的解析式．
3．理解二次函数与一元二次方程的关系．并能用二次函数图象解一元二次方程的根及确定当函数值大于或小于0时自变量的取值范围． 【知识梳理】
1．二次函数解析式的求法：
(1)若给出抛物线上三点，通常可设一般式：________(a ≠0)．
(2)若给宝抛物线的顶点坐标或对称轴与最值，通常可设顶点式：________（a ≠0），其中点（h ，k ）为顶点，对称轴为直线x ＝h ． (3)若给出抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)、（x 2，0)及其他一个条件，通常可设交点式：_______(a ≠0)．其中x 1，x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标．
2．对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，当给定y 的值时，二次函数可转化为一元二次方程，所以我们可ax 2＋bx ＋c ＝_______．
3．当b 2－4ac>0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个不相等的实数根，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有_______交点．
4．当b 2－4ac ＝0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0）有两个相等的实数根，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有_______交点．
5．当b 2－4ac －<0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0）没有实数根，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴_______交点． 【考点例析】
考点一 二次函数的各项系数与图象之间的关系
例1 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①abc>0；②b 2－4ac<0；③4a －2＋c<0；④b ＝－2a ，其中结论正确的是 ( )
A ．①③
B ．③④
C ．②③
D ．①④
提示 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0）与a 、b 、c 及其代数式的关系：a>0，开口向上；a<0，
开口向下，对称轴为直线x ＝－2b
a
，当a ，b 同号时，对称轴在y 轴的左侧；当a 、b 异号时，
对称轴在y 轴的右侧，抛物线与y 轴的交点为(0，c)，c>0，与y 轴正半轴相交；c<0，与y 轴负半轴相交；c ＝0，过原点．根据以上这些知识要点解决问题． 考点二 求二次函数的解析式
例2 (1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式． ①y 随x 变化的部分数值规律如下表：
②有序数对(－1，0)、(1，4)、(3，0)满足y ＝ax 2＋bx ＋c ； ③已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分（如图）．
(2)直接写出(1)中二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的三个性质．
提示 (1)利用待定系数法得到有关a 、b 、c 的方程组，从而得到该函数的解析式；(2)结合二次函数解析式可写出相应的性质． 考点三 利用图象求一元二次方程的解
例3二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象如图，若一元二次方程ax 2＋bx ＋m ＝0有实数根．则m 的最大值为 (
)
A ．－3
B ．3
C ．－6
D ．9
提示 方法一：由ax 2＋bx －m ＝0得ax 2＋bx ＝－m ，一元二次方程ax ＋bx ＋m ＝0有实数
根，得函数y ＝ax 2＋bx 与函数y ＝－m 有交点，所以－m ≥－3，m ≤3，从而求出m 的最大值．方法二：因为一元二次方程ax 2＋bx ＋m ＝0有实数根，所以b 2－4am ≥0．由y ＝ax 2＋bx 的图象可
得顶点的纵坐标，故204b a
＝－3，即b 2＝12a ，所以12a －4am ≥0，解得m ≤3．从而求出m 的
最大值．
考点四 二次函数图象与坐标轴的交点个数
例4抛物线y ＝－3x 2－x ＋4与坐标轴的交点的个数是 ( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
提示 令－3x 2－x ＋4＝0，根据b 2－4ac 与0的比较得到与x 轴的交点个数，再令x ＝0得到与y 轴的交点个数．
考点五 二次函数图象与不等式的关系
例5如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象，由图象可知不等式ax 2＋bx ＋c<0的解集是 (
)
A ．－1<x<5
B ．x>5
C ． x<－1且x>5
D ． x<－1或x>5
提示 因为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是一条抛物线，其对称轴为直线x ＝2，所以该抛物线与x 轴的两交点关于直线x ＝2对称，已知一交点为(5，0)，且与直线x ＝2的距离为3，所以另一交点在对称轴左侧，与直线x ＝2的距离也为3，因此另一交点为（－1，0）． 【反馈练习】
1．已知抛物线y ＝x3－x －1，与x 轴的一个交点为(m ，0)，则代数式m 2－m ＋2011的值为 ( ) A ．2009
B ．2012
C ．2011
D ．2010
2．二次函数y ＝a(x ＋m)2＋n 的图象如图，则一次函数y ＝mx ＋n 的图象经过 ( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限
D ．第一、三、四象限
3．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x ＝－1
2
，下列结论中，正确的是 ( )
A ．abc>0
B ．a ＋b ＝0
C ．2b ＋c>0
D ．4a ＋c<2b
4．若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数关系式为_______． 5．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OA BC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，二次函数y ＝－
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x 2
＋bx ＋c 的图象经过B 、C 两点． (1)求该二次函数的解析式；
(2)结合函数的图象探索：当y>0时x 的取值范围．
6．如图，点A 在x 轴上，OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置． (1)求点B 的坐标；
(2)求经过点A 、O 、B 的抛物线的解析式；
(3)在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。