1.4二次函数的应用(1)
九年级数学上册 第一章 二次函数 1.4 二次函数的应用(第1课时)b课件 (新版)浙教版
.
∵
a
π 2
7
0, b
6, c
0,
新教课学讲目 解
标
答：当窗户半圆的半径约为0.35m，窗框矩形部分的另一边 长约为1.23m时，窗户的透光面积最大，最大值约为 1.05m2.
新教课学讲目 解
标
二次函数求实际问题中的最值问题的解答
1、求出函数表达式和自变量的取值范围 2、通过配方或利用公式求最大值或最小值
注意：求出的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变 量的取值范围内。
新教课学讲目 解
标
现在我们来解决课前想一想
用长为8米的铝合金制成如图窗框，问窗框的宽和高各多 少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？
解：设矩形窗框的面积为y,由题意得，
学教以学致目 用
标
在矩形荒地ABCD中，AB=10，BC=6，今在四边上分别选取E 、F、G、H四点，且AE=AH=CF=CG=x，建一个花园，如何 设计，可使花园面积最大？
草图（如图所示）．
巩教固学提目升
标
7、某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,
制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于
多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面 积是多少?
xx
y
课教堂学小目结
标
运用二次函数求实际问题中的最值问题，一般的步骤：
①把问题归结为二次函数问题（设自变量和函数）；
②求出函数表达式和自变量的取值范围；
③通过配方变形或利用公式求它的最值（在自变量的取值范围 内）；
（或利用函数图象找最值）
二次函数的应用
二次函数的应用1. 引言二次函数是高中数学中的重要概念之一。
它具有很多应用，涉及到许多实际问题的建模与解决。
本文将介绍二次函数的应用，并以实际例子来说明。
2. 二次函数的定义二次函数是指形如f(f)=ff2+ff+f的函数，其中f、f、f是实数且f ff0。
这里，f控制着二次项的开口方向和大小，f控制着一次项的斜率和大小，f控制着常数项的f-坐标。
3. 二次函数的图像二次函数的图像通常是一个称为抛物线的曲线。
抛物线的开口方向由二次项的系数f决定。
当f>0时，抛物线向上开口；当f<0时，抛物线向下开口。
抛物线的顶点是其中最高或最低的点，其f-坐标由 $x = -\\frac{b}{2a}$ 给出。
当f>0时，顶点为最低点；当f<0时，顶点为最高点。
4. 二次函数的应用之一：物体的运动轨迹二次函数在描述物体的运动轨迹时经常被使用。
考虑一个以一定速度向上抛出的物体，忽略空气阻力的影响。
假设物体的高度f（以米为单位）关于时间f（以秒为单位）的关系可以由二次函数f(f)=−5f2+10f+15描述。
这里−5f2表示重力对物体高度的影响，10f表示物体的初速度和时间的乘积，15表示物体的初始高度。
通过观察二次函数的图像，我们可以得到以下信息： - 物体的运动轨迹是一个向下开口的抛物线； - 物体的最高高度（即抛物线的顶点）是f(1.0)=20米，此时经过了1秒； - 物体在f=0秒时位于f(0)=15米的高度； - 物体在f=3秒时落地，此时高度为f(3)=0米。
通过这个例子，我们可以看到二次函数在描述物体的运动轨迹时有着重要的应用。
5. 二次函数的应用之二：经济利润二次函数还可以用来描述经济活动中的利润。
假设某公司的利润f（以万元为单位）关于销售量f（以单位为单位）的关系可以由二次函数f(f)=−2f2+20f+50描述。
这里−2f2表示固定成本对利润的影响，20f表示每单位销售额对利润的影响，50表示初始利润。
二次函数的应用
二次函数的应用一、介绍二次函数是一种特殊的函数形式，其表达式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二次函数在数学和实际问题中具有广泛的应用。
本文将以实际问题为例，探讨二次函数的应用。
二、抛物线的性质二次函数的图像是一条抛物线。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，其图像的性质如下：1. 凹凸性：当a>0时，图像开口向上，为凹向上的抛物线；当a<0时，图像开口向下，为凹向下的抛物线。
2. 零点：即二次函数的x轴交点。
零点的个数与抛物线与x轴的交点的个数相等。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，其零点的判别式为Δ=b^2-4ac。
当Δ>0时，有两个不同实数零点；当Δ=0时，有一个实数零点；当Δ<0时，则无实数零点。
3. 对称轴：对称轴是抛物线的中轴线，过顶点且与x轴垂直。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，其对称轴的方程为x=-b/2a。
三、二次函数在实际问题中的应用二次函数的应用广泛，涵盖了许多领域。
以下将介绍二次函数在数学、物理和经济领域的应用。
1. 最值问题在数学中，二次函数常常用于解决最值问题。
最值问题是指找出一个函数在特定区间内的最大值或最小值。
以二次函数y=ax^2+bx+c为例，如何确定其最值呢？- 当a>0时，二次函数为凹向上的抛物线。
其顶点就是函数的最小值，可通过求对称轴上的点来找到。
- 当a<0时，二次函数为凹向下的抛物线。
其顶点就是函数的最大值，同样可通过求对称轴上的点来找到。
这种最值问题可以应用于优化领域，如物流中最短路径的确定、经济学中的成本最小化等。
2. 物体运动问题在物理学中，二次函数有重要的应用，特别是在描述物体运动的问题上。
抛物线图像可以表示物体的轨迹，具体应用包括：- 自由落体问题：当物体沿竖直方向自由下落时，其运动轨迹为抛物线。
通过二次函数可以计算出物体的运动轨迹、最高点和最大高度等参数。
- 抛体运动问题：当物体在水平方向斜抛时，其运动轨迹也是抛物线。
1.4 二次函数的应用(1)
“二次函数应用” 的思路
本节“最大面积”解决问题的过程，你问题; 2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系; 3.用数学的方式表示出它们之间的关系;
4.做数学求解;
5.检验结果的合理性,拓展等.
合作探究
1、用长为8米的铝合金制成如图窗框，一边靠2cm的墙
2 ,
x
此时两条直角边的长均为1
下面我们一起分小组试一试
看下哪个小组最快解出答案，并在黑板上写出来？
1、有一根直尺的短边长2cm，长边长10cm，还有一块锐角为 45°的直角三角形纸板，其中直角三角形纸板的斜边长为 12cm．按图14—1的方式将直尺的短边DE放置在与直角三角形 纸板的斜边AB上，且点D与点A重合．若直尺沿射线AB方向平 行移动，如图14—2，设平移的长度为x（cm），直尺和三角形 纸板的重叠部分(图中阴影部分)的面积为S cm 2）． （1）当x=0时，S=_____________； 当x = 10时，S =______________； （2）当0＜x≤4时，如图14—2，求S与x的函数关系式； （3）当6＜x＜10时，求S与x的函数关系式； （4）请你作出推测：当x为何值时，阴影部分的面积最大？并写 出最大值．
得, y .
2
4 2 x 15 7 x x x 2.窗户面积S 2 xy 2 x y 2 4 2 2 7 2 15 7 15 225 x x . x 2 2 2 14 56 b 15 4ac b 2 225 或用公式: 当x 1.07时, y最大值 4.02. 2a 14 4a 56
b 4 当x= 2 时， 2a 2 2
4ac b y达到最大值为 4 4a
沪科版九年级数学21.421.4二次函数的应用第一课时-“抛物线”型最值问题
知1－练
1 河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形， 建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的表 达式为 y 1 x2 ，当水面离桥拱顶的高度DO
25
是4 m时，这时水面宽度AB为( ) A．－20 m B．10 m C．20 m D．－10 m
知1－练
2 图②是图①中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交
筐中心的水平距离l是
多少？
知2－讲
解：(1)因为抛物线 y 1 x2 3.5 的顶点坐标为(0，3.5)，
5
所以球在空中运行的最大高度为3.5 m.
(2)在 y 1 x2 3.5 中，当y＝3.05时，3.05 1，x2 3.5
5
5
解得x＝±1.5.
因为篮筐在第一象限，所以x＝1.5.
(2)计算距离桥两端主塔分别为100 m， 50 m处垂直钢索的长．
解：(1)根据题意，得拋物线的顶点坐标为(0，0.5)，对 称轴为y轴，设抛物线对应的函数表达式为 y＝ax2＋0.5. 抛物线经过点(450，81.5)，代入上式，得 81.5＝a·4502＋0.5.
解方程，得
a
81 4502
1. 2500
4
知2－讲
知识点 2 建立坐标系解抛物线形运动的最值问题
例2 如图，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线
y 1 x2 3.5 5
运行，然后准确落入篮筐内．已知
篮筐的中心离地面的距离为3.05 m.
(1)球在空中运行的最大高度为多少米？
(2)如果该运动员跳投时，
球出手时离地面的高度
为2.25 m，则他距离篮
知2－练
2 小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 y 1 x2 3.5 的一部分(如图)，若命中篮 5 筐中心，则他与篮底的水平距离l是( ) A．3.5 m B．4 m C．4.5 m D．4.6 m
浙教版数学九年级上册1.4二次函数应用(1).docx
& 鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供参考&
1.4二次函数应用(1)
任务一:复习
求下列函数的最大值或最小值：
①y=x2-4x+7 ②y=-5x2+8x-1
任务二:
例1、如图窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形。
如果制作一个窗户边框的材料的总长度为6米，那么如何设计这个窗户边框的尺寸，才能使窗户的透光面积最大（结果精确到0.01米）？
思考:运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值的步骤及注意事项
例2.如图,在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆,围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃,设宽AB为x米，面积为S平方米.若墙的可用长度为8米，求此时围成花圃的最大面积是多少？
思考:本题告诉我们应注意什么问题?
任务三:巩固练习
1.已知直角三角形的两直角边的和为2,求斜边长可能达到的最小值,以及当斜边长达到最小值时两条直角边的长.
2.有一张边长为10厘米的正三角形纸板，若要从中剪一个面积最大的矩形纸板,应怎样剪?最大面积为多
少?
初中数学试卷
鑫达捷。
1.4 二次函数的应用(1)
桥面 -5 0 5
x/m
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是 1米 ⑵两条钢缆最低点之间的距离是 40米
； ；
10 (3)右边的抛物线解析式是 y 0.0225 x 2 0.9 x ；
收获：
学了今天的内容，我们意识到 所学的数学是有用的，巧妙地 应用数学知识可以解决生活中 碰到的很多问题！
3 2 9 ( x ) 2 4
3-x
当x 1.5在0 x 3的范围内，此时 y有最大值， 9 y最大值 4
x
探究实践 用长6米铝合金条制成如图形状的矩形窗框，
问长和高各是多少米时，窗户的透光面积 最大？最大面积是多少？
(1)设什么为自变量x? (窗框的长或高) (2)如果学生设窗框长为x,则高为多少? 6 3x m 2 6 3 x m2 面积为多少? x 2 (3)若设透光面积为y,试写出y关于x的函数解析式
2x
∵ a≈-8.57＜0，b=6，c=0
又
4ac-b2 S最 大值= 当x 0.35时， ≈1.05 4a
b 6 0.35，且 x 0.35在0 x 的范围内 2a 7
此时y≈1.23
答：当窗户半圆的半径约为0.35m，矩形窗框的一边长约为 1.23m时，窗户的透光面积最大，最大值为1.05m2。
C、8米；
D、9米
解：当x=15时，
x B
y=-1/25×152=-9
A
如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形 状相同的抛物线落下，如果喷头所在处A（0，1.25）， 水流路线最高处B（1，2.25），则该抛物线的解析式为 ____________ y= －(x-1)2 +2.25
二次函数的性质及应用
二次函数的性质及应用二次函数是一类形式为y = ax² + bx + c（a ≠ 0）的函数，它在数学中具有重要的性质和广泛的应用。
本文将介绍二次函数的性质以及它在实际问题中的应用。
一、二次函数的性质1. 函数图像二次函数的图像通常为抛物线，具体的形状取决于a的正负和大小：- 当a > 0时，图像开口向上，形状类似于“U”字型；- 当a < 0时，图像开口向下，形状类似于倒置的“U”字型。
2. 对称性二次函数关于其顶点具有对称性。
设二次函数的顶点坐标为(h, k)，则函数图像关于直线x = h对称。
3. 零点与判别式二次函数的零点即为方程ax² + bx + c = 0的解。
一元二次方程的判别式Δ = b² - 4ac可以判断二次函数的零点情况：- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根，函数图像与x轴有两个交点；- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根，函数图像与x轴有一个切点；- 当Δ < 0时，方程无实根，函数图像与x轴无交点。
4. 极值点二次函数在最高点（开口向下）或最低点（开口向上）取得极值。
当二次函数开口向上时，极小值等于函数的最低点y = k；当二次函数开口向下时，极大值等于函数的最高点y = k。
二、二次函数的应用1. 物理学应用二次函数在物理学中有广泛的应用，例如抛物线运动。
抛物线运动可以用二次函数的形式进行建模，通过分析和解决相关的二次函数问题，可以求得抛物线物体的最高点、运动轨迹等信息。
2. 经济学应用经济学中的一些问题也可以通过二次函数来描述和解决。
比如，成本函数和利润函数常常使用二次函数来表示，通过求解这些二次函数的极值点，可以确定最低成本、最大利润等关键数据。
3. 工程学应用工程学中的一些问题也可以用二次函数进行建模。
比如，在建筑设计中，可以用二次函数来描述一个拱形或穹顶的形状；在电子工程中可以通过二次函数来描述某些电子元件的特性和响应等等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
b 4ac b 2 a 0 : 当x 时, 最小值为 2a 4a
b 4ac b 2 a 0 : 当x 时, 最大值为 2a 4a
2、如何求二次函数的最值？
配方法 公式法
1.4二次函数的应用⑴
用长为6m的铝合金条制成如图形状 的矩形窗框，问窗框的宽和高各是多 少米时，窗户的透光面积最大？最大 面积是多少？
决日常生活中的最值问题，一
般的步骤为：
①把问题归结为二次函数问题（设自变量和函数）； ②求出函数解析式（包括自变量的取值范围）； ③在自变量的取值范围内求出最值； （数形结合找最值） ④答。
合作探究
1、用长为8米的铝合金制成如图窗框，一边靠2m的墙，
问窗框的宽和高各为多少米时，窗户的透光面积最大？
6 3x 2
例1. 如图窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的 半圆，下部分是矩形。如果制作一个窗户边框的材料 的总长度为6米，那么如何设计这个窗户边框的尺寸，
才能使窗户的透光面积最大（精确到0.01米）？
解:设半圆的半径为x米，如图，矩形的一边长为y米，
根据题意，有5x+πx+2x+2y=6,
最大面积是多少？ 解：设窗框的一边长为x米，
则另一边的长为（8-2x）米， y= x(8－2x) 即：y=－2x2＋8x
x
又令该窗框的透光面积为y米，那么：
8-2x
…………
2.已知，直角三角形的两直角边的和为2，求斜边长可能
达到的最小值，以及当斜边长达到最小值时两条直角边的 长。
解：设其中的一条直角边长为x，则另一条直角边长为 （2－x），, 又设斜边长为y， 其中0<x<2
即：y=3－0.5(π+7)x
∵
y＞0且x ＞0
x
∴3－0.5(π +7)x＞0
故透光面积:S=
6 则：0＜x＜ 7
y
π 2 π 2 x +2xy= x +2x［3－0.5(π +7)x］ 2 2 6 2 ( 0 x ) ≈－8.57x +6x 7
2x
∵ a≈-8.57＜0，b=6，c=0
(0<x<2)
所以：当x＝1时，(属于0<x<2的范围) 斜边长有最小值y=
2－ x
2 ,
x
此时两条直角边的长均为1
y
O
X
练一练
1、河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所
示的坐标系，其函数的表达式为y= 1 25
x2 ， 当水位线在AB位
置时，水面宽 AB = 30米，这时水面离桥顶的高度h是（ A、5米 B、6米； y
又
4ac-b2 S最 大值= 当x 0.35时， ≈1.05 4a
b 6 0.35，且 x 0.35在0 x 的范围内 2a 7
此时y≈1.23
答：当窗户半圆的半径约为0.35m，矩形窗框的一边长约为 1.23m时，窗户的透光应用二次函数的性质解
0 h
D）
C、8米；
D、9米
解：当x=15时，
x B
y=-1/25×152=-9
A