浙江省温岭市东浦中学八年级数学上册《15.2.1平方差公式》教案新人教版

合集下载

数学人教版八年级上册平方差公式.2.1-平方差公式说课稿

《15.2.1 平方差公式》说课稿各位评委，各位老师，大家好！今天我说课的内容是人教版八年级上册第十五章第二节的平方差公式(随即板书课题)。

下面我从教材分析、学情分析、教学目标及重难点分析、教法分析与学法分析、教学过程、板书设计等六个方面加以说明。

（下划线部分不出现在PPT中，进行现场说明）一、教材分析：1、教学内容：在七年级上册的学习中，学生已经学习了数的运算、字母表示数、合并同类项、去括号等内容，而在此之前又学习了多项式的乘法，已经掌握了多项式与多项式相乘的法则。

为此本节课关注学生对公式的探索过程，有意识的培养学生的推理能力，鼓励学生经历根据特例进行归纳、建立猜想、用符号表示，有条理地表达自己的思考过程，培养学生的数感和符号感，真正理解公式的来源、本质和应用。

根据《新课标》要求和教材的编写意图，本节课的教学内容有三点：（1）平方差公式的推导；（2）平方差公式的几何论证；（3）平方差公式的应用。

2、教材的地位、作用及前后联系：平方差公式这一内容是在学习整式乘法的基础上得到的，它在整式乘法、因式分解、分式运算及其它代数式的变形中有着举足轻重的地位。

可以说，它是构建学生代数知识结构，培养学生化归的数学思想和换元的数学方法的重要载体，在教材中起着承上启下的作用。

二、学情分析：1、有利积极因素：学生在学习上一章一次函数时经历了学习上的困难，学习兴趣遭受到了打击，进入十五章的学习后，体验到了成功的喜悦，同时，有了对式的运算“快”，“准”的积极心理，已具备学习公式的知识与技能结构。

2、不利消极因素：一方面由于本课内容的特点所决定，运用平方差公式的关键是认清两个多项式相乘是否具有(a+b)(a-b)的形式，由于两个多项式相乘的形式复杂多变，学生较易被假象所迷惑，另一方面学生初学公式只有原始的换元思想，有些同学多项式相乘还不够熟练。

三、教学目标及重难点分析：1、教学目标：（1）知识与技能：①理解平方差公式的获得过程；②掌握平方差公式的结构特征，会运用平方差公式进行简单的运算。

2019-2020学年八年级数学上册《15.2.1平方差公式(一)》教案人教新课标版.doc

2019-2020学年八年级数学上册《15.2.1平方差公式（一）》教案人教新课标版1．知识与技能会推导平方差公式，并且懂得运用平方差公式进行简单计算．2．过程与方法经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，发展学生的符号感和推理能力，使学生逐渐掌握平方差公式．3．情感、态度与价值观通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重合性，体验数学活动充满着探索性和创造性．重、难点与关键1．重点：平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的了解．2．难点：平方差公式的应用．3．关键：对于平方差公式的推导，我们可以通过教师引导，学生观察、•总结、猜想，然后得出结论来突破；抓住平方差公式的本质特征，是正确应用公式来计算的关键．教学方法采用“情境──探究”的教学方法，让学生在观察、猜想中总结出平方差公式．教学过程（一）学生动手，得到公式1. 计算下列多项式的积．（1）（x+1）（x-1）（2）（m+2）（m-2）（3）（2x+1）（2x-1）（4）（x+5y）（x-5y）2．提出问题：观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？2．特点：等号的一边：两个数的和与差的积，等号的另一边：是这两个数的平方差3．再试一试：【学生自己出相似的题目加以验证】4．得到结论（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2．即（a+b）（a-b）=a2-b2 【1】（二）熟悉公式1．下列哪些多项式相乘可以用平方差公式？【2】23)(2(ba3a-b-)+)(3)+)322(bba-ab--a+a+2(b3)(23)((c+)a+bb-+b-c-+ca-aa3a)(2)3(b2bb)((ca---)1．认清公式：在等号左边的两个括号内分别没有符号变化的集团是a，变号的是b（三）运用公式1．直接运用例：（1）（3x+2）（3x-2）（2）（b+2a）（2a-b）（3）（-x+2y）（-x-2y）【3】2．简便计算例：（1）102×98【3】（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）3．练习： P153 练习1，2)2)(2(x y y x +--- )25)(52(x x -+)25.0)(5.0)(5.0(2++-x x x 22)6()6(--+x x 【4】100.5×99.5 99×101×10001四、课堂总结，发展潜能本节课的内容是两数和与这两数差的积，公式指出了具有特殊关系的两个二项式积的性质．运用平方差公式应满足两点：一是找出公式中的第一个数a ，•第二个数b ；二是两数和乘以这两数差，这也是判断能否运用平方差公式的方法．五、布置作业，专题突破1. 课本P156第1、2题．2.备用题 1..证明：两个连续奇数的积加上1一定是一个偶数的平方2.求证：22)7()5(--+m m 一定是24的倍数七、教学反思：。

人教版数学八年级上册14.2.1《平方差公式》教学设计

人教版数学八年级上册14.2.1《平方差公式》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级上册14.2.1《平方差公式》是初中数学中的重要内容，它为学生提供了简化代数表达式和解决实际问题的一种方法。

本节课通过平方差公式的学习，使学生能够理解和掌握两个数的平方差可以表示为它们的和与差的乘积，即(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b))。

二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了有理数的乘方、完全平方公式等基础知识，具备一定的观察、分析、归纳能力。

但平方差公式与完全平方公式在形式上相似，易于混淆，因此需要通过实例分析、自主探究等方式，帮助学生加深对平方差公式的理解。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握平方差公式的推导过程及应用。

2.过程与方法：培养学生观察、分析、归纳的能力，提高自主探究和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识。

四. 教学重难点1.重点：平方差公式的推导和应用。

2.难点：对平方差公式与完全平方公式的区分和灵活运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入平方差公式，激发学生的学习兴趣。

2.自主探究法：引导学生分组讨论，发现平方差公式的规律。

3.讲解法：对平方差公式的推导和应用进行详细讲解，引导学生理解。

4.练习法：设计不同难度的练习题，巩固所学知识。

六. 教学准备1.教学课件：制作包含动画、图片、例题的教学课件。

2.练习题：准备不同难度的练习题，用于课堂练习和课后作业。

3.教学工具：黑板、粉笔、投影仪等。

七. 教学过程导入（5分钟）通过一个实际问题引入：某商店举行打折活动，一件商品原价为 (200) 元，打八折后的价格为 (160) 元，请问这件商品打了几折？呈现（10分钟）引导学生思考：如何用数学公式表示这个问题？(200) 元和 (160) 元之间的差值可以表示为 (200 - 160 = 40) 元，而这个差值实际上是原价和打折后的价格的平方差。

八年级数学上册《平方差公式》教学设计人教新课标版

《平方差公式》教学设计一、教学内容解释人教社《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册“15﹒2﹒1平方差公式”平方差公式是整式的乘除运算的延续，是后续数学学习的重要基础，同时也是从一般到特殊的认识过程的范例.对它的学习和研究丰富了教学内容，也拓展了学生的视野.平方差公式着重于研究平方差公式的发生过程.其发生过程便于学生掌握这一公式的结构特征，更能理解公式中字母的广泛含义.在教学过程中，特别是探讨知识发生的过程，并和学生一起研究知识如何从一般到特殊概括得到公式，这将有助于训练学生的思维，使学生领会到数学的思想和方法.在教学过程中，平方差公式的几何意义的形成，学生通过对面积的思考，可以发现平方差公式与面积之间的内在联系，拓展了学生的数形思维空间，促进了学生数学思考，进而感受到几何与代数内在统一，同时强有力地培养了学生的创新精神.基于上述分析：本节课的教学重点是通过平方差公式的发生过程，理解平方差公式的结构特征，进而有意识的用平方差公式解决问题.二、教学目标解析1、经历探究平方差公式的过程来推导平方差公式，理解平方差公式的结构特征，并能有意识地用平方差公式进行简单的运算；了解平方差公式的几何背景.2、在探究平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理、概括能力；通过平方差公式的几何背景的了解，体会代数与几何的内在统一.3、通过平方差公式的发生过程的探究，体会从一般到特殊的数学思想方法；通过平方差公式的应用，体会到数学符号表示运算规律的简捷.在学习过程中，体会到数学精神的严谨和思维的深刻性.三、数学问题诊断分析1、教师教学过程中可能存在的问题（1）为了迎合新课标，创设不切实际的情景；（2）不能有效地突破难点——平方差公式的结构特征，造成学生不能准确地应用公式；（3）过分地强调公式的形成，而造成教学过程的前重后轻，使学生在应用处练习不够；（4）过分的强调平方差公式的几何意义，造成学生学习上的困难而影响了学生的学习积极，同时也造成教学重点的混乱.2、学生学习可能出现的问题（1）不能掌握平方差公式的结构特征，机械地套用公式；（2）在平方差公式的形成过程中，学有困难的学生跟不上优生的节奏而产生畏难的情绪，少有学习的激情;（3）过分地去钻平方差公式的几何意义，造成在应用处练习不够.3、教学难点（1）平方差公式的结构特征及其有效地应用；（2）平方差公式的几何意义.四、教学支持条件分析在教学过程中运用有效的教学手段：电子幻灯用于竞赛；通过fiash的运用，直观、形象地展现几何意义的推导，增强学生的学习兴趣；通过电子幻灯展现练习，提高效率.五、教学过程设计活动一竞赛激智，建立模型，揭示公式问题1看谁能又快又准地回答下面4个小题的计算结果.（教师用ppt逐个给出）(1)(5＋3)(5－3)﹦(2)(0.5＋0.3)(0.5－0.3)﹦(3)(5＋0.3)(5－0.3)﹦(4)(0.5＋3)(0.5－3)﹦（全部结果出来后）追问：你是如何计算的？设计意图：以通过竞赛为载体，以自主参与为教学形式，使学生从计算的快慢中产生疑惑：总是那几个算得快，我怎么也能象他们那样？进而激发学生的求知的热情.问题2：请计算下列多项式的积：(1) (x ＋1)(x －1)﹦(2) (m ＋2)(m －2)﹦(3) (2x ＋1)(2x －1)﹦ (4) (21x ＋1)(21x －1)﹦ （全部结果正确后）追问1：你们的计算结果有什么规律吗？追问2：你发现多项式的积的表达形式有什么规律吗？学生总结：（1）计算的结果都是两项的平方差，与以往两项乘以两项的结果大多是三项或四项不同；（2）这些两项乘以两项中，有一项是完全相同，另一项又是互为相反的；（3）结果是两项的平方差，并且是完全相同项的平方减区互为相反项的平方.师生互动：（a ＋b ）（a －b ）﹦a 2－b 2两个数的和与这两个数的差的记，等于这两个数的平方差.教师：（1）这个公式叫做（乘法的）平方差公式.（2）公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式；（3）只要是符合公式的结构特征，都可以用公式进行计算.学生练习：（教师用ppt 展示）1、下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的有A (x ＋1)(1－x)B (21a ＋b)(b －21a) C (－a ＋b)(a －b) D (x 2－y)( x ＋y 2) E (－a －b)(a －b) F (c 2－d 2)(d 2＋c 2)2、下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？(1)（x ＋2）（x －2）﹦x 2－2； (2)(－3a －2)(3a －2)﹦9a 2－4.设计意图：以学生熟悉的多项式的积为载体，以全部参与讨论、归纳总结为教学形式，由于计算的结果与以往的结果在表现的形式上有大的差异，以及平方差公式的发生过程的探究，体会到从一般到特殊的数学思想方法；通过选择、填空等的练习让学生了理解、掌握平方差公式的结构特征，从心里感受这种一般到特殊的数学思想方法的魅力.活动二师生互动、感知代数、几何的统一师：请同学们将准备的正方形纸板拿出；（1）设它的边长为a（图1），大家都知道它的面积为a2；（2）请同学们按图2剪去一个边长为b的小正方形，大家都知道剩下部分的面积为（a2－b2）；（3）请同学们将剩下的图形剪成（沿图2的虚线）两个长方形，并将一边长为b的小长方形拼到一边长为a的长方形后得图3；同学们都知道图3的一边长为（a＋b），另一边长为（a－b），面积为（a＋b）（a－b）；（4）同学们比较图2和图3不难发现它们面积的关系.生：它们的面积相等，即（a＋b）（a－b）﹦a2－b2.图(1) 图(2) 图(3) 师：我们通过拼图游戏给出了平方差公式的一种几何解释.这说明平方差公式具有直观的几何意义，也说明代数不只是计算，还有美妙的几何意义，这实际就是数学魅力.下面我们再一次欣赏平方差公式的几何意义（教师出示flash 动画）设计意图：通过学生拼图游戏，再通过教师的flash展示.学生直观体验了平方差公式的几何意义，感受代数不只是计算，还有美妙的几何意义，亲身经历了数学魅力所在.活动三例题分析、指导应用、巩固理解例1运用平方差公式计算：(1)(3x＋2)(3x－2)(2)(b＋2a)(2a－b)(3)(－x＋2y)(－x－2y)分析；（１）在(1)中，可以把3x 看成a ，2看成b ，即(3x ＋2)(3x －2)﹦(3x)2－22（a ＋ b ）（a －b ）﹦a 2 － b 2（２）将(2)调整成平方差公式形式计算.（3）这几个题用平方差公式运算简便.学生练习：（教师用ppt 展示）运用平方差公式计算：(1)(a ＋3b)(a －3b)； (2)(3＋2a)(－3＋2a)；(3)(41x ＋y)(41x －y)； (4)(－mn －8)(－mn ＋8) 设计意图：通过一则平方差公式简单的例题分析及应用，巩固理解了公式结构特征，让学生进一步感受到这种一般到特殊的数学思想方法的魅力.活动四拓展分析、提升能力例２计算(1)102×98；(2)(y ＋2)(y －2)－(y －1)(y ＋5).分析：只有符合公式要求的乘法，才能用公式简化计算，其余的乘法运算仍按乘法法则计算.学生练习：（教师用ppt 展示）运用平方差公式计算：（1）51×49；（2）（3x ＋4）（3x －4）－（2x ＋3）（3x －2）设计意图：这是平方差公式的拓展例题分析及应用，使学生进一步体会平方差公式的结构特征，能进一步灵活运用乘法公式、法则进行计算.活动5 归纳小结、优化概念、布置作业通过学生小结，让他们明确平方差公式及其结构特征，体会数学中蕴涵的由一般到特殊的思想，体验数学中代数与几何的内在统一.布置作业：教科书第156页第1题.六、目标检测设计1、填空(1)（x ＋4）（x ）﹦x 2－16； (2)( )(2a －3)﹦9－4a 2.2、运用平方差公式计算：（1）（32x －y ）（32x ＋y ）；（2）（xy ＋1）（xy －1）；（3）（2a －3b ）（2a ＋3b ）；（4）（－2b ＋5）（－2b －5）；（5）2008×2009； (6)(y ＋5)(y －1)－(y －2)(y ＋2). 设计意图：第1题是填空题，学生通过填空进一步理解了平方差公式的结构特征，有利于后面的作业；第2题前4个小题直接用公式计算，便于所有的学生通过作业获得学习的成功乐趣，后2个小题有一定的难度便于中等程度的学生跳一跳去摘取胜利的果实，少数学有余力的学生提高能力.作业由易到难的设计便于所有的学生从学习中获得需要及不同的发展.七、教学设计说明通过学生已有的认知、经验入手，让学生感到学数学的价值是用已知来解决未知的世界，感到学习的亲切.学生学习过程中，通过动手操作、欣赏动画，体验数学中代数与几何的内在统一.在学习过程中，例题的设置是由浅入深，让每个学生感到学有所成，感受到学习数学的乐趣.整个过程贯穿平方差公式的结构特征及由一般到特殊的思想的体验，亲身经历了数学魅力所在.。

人教版数学八年级上册《第五课时 15.2.1 平方差公式》教学设计

人教版数学八年级上册《第五课时 15.2.1平方差公式》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级上册《第五课时 15.2.1 平方差公式》是学生在学习了完全平方公式的基础上进行学习的，平方差公式是代数学习中的重要知识点，对于学生来说，理解并掌握平方差公式对于解决实际问题具有很大的帮助。

本节课主要让学生通过探究活动，发现并归纳平方差公式，提高学生的逻辑思维能力和归纳总结能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了完全平方公式，对于公式的推导和应用有一定的了解。

但是，平方差公式与完全平方公式在形式上相似，但在应用上有所区别。

学生在学习过程中，可能会将两者混淆。

因此，在教学过程中，需要帮助学生理清两者之间的关系，加深对平方差公式的理解。

三. 教学目标1.让学生通过探究活动，发现并归纳平方差公式。

2.培养学生运用平方差公式解决实际问题的能力。

3.提高学生的逻辑思维能力和归纳总结能力。

四. 教学重难点1.重点：让学生发现并归纳平方差公式。

2.难点：理解并掌握平方差公式的应用。

五. 教学方法采用探究式教学法，引导学生通过观察、思考、讨论等方式，自主发现并归纳平方差公式。

同时，运用对比教学法，帮助学生理解并掌握平方差公式与完全平方公式的区别和联系。

六. 教学准备1.准备相关课件，展示平方差公式的推导过程。

2.准备一些实际问题，用于巩固学生的知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习完全平方公式，引导学生发现完全平方公式和平方差公式的联系和区别。

2.呈现（10分钟）展示平方差公式的推导过程，引导学生观察、思考，发现平方差公式的规律。

3.操练（10分钟）让学生通过填空、解答等形式，运用平方差公式解决问题。

4.巩固（10分钟）运用对比教学法，引导学生总结平方差公式和完全平方公式的异同，加深学生对平方差公式的理解。

5.拓展（10分钟）让学生运用平方差公式解决一些实际问题，提高学生的应用能力。

6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，帮助学生巩固所学知识。

八年级数学上册15.2.1平方差公式教学设计

八年级数学上册15.2.1平方差公式教学设计建阳回龙中学董宝玉一、背景分析（一）教学内容分析人教社《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册“15﹒2﹒1平方差公式”平方差公式是整式的乘除运算的延续，是后续数学学习的重要基础，同时也是从一般到特殊的认识过程的范例.对它的学习和研究丰富了教学内容，也拓展了学生的视野。

乘法公式的应用十分广泛，是本章的重点内容之一。

平方差公式着重于研究平方差公式的发生过程，其发生过程便于学生掌握这一公式的结构特征，更能理解公式中字母的广泛含义，在教学过程中，特别是探讨知识发生的过程，并和学生一起研究知识如何从一般到特殊概括得到公式，这将有助于训练学生的思维，使学生领会到数学的思想和方法，在教学过程中，平方差公式的几何意义的形成，学生通过对面积的思考，可以发现平方差公式与面积之间的内在联系，拓展了学生的数形思维空间，促进了学生数学思考，进而感受到几何与代数内在统一，同时强有力地培养了学生的创新精神。

基于上述分析：本节课的教学重点是通过平方差公式的发生过程，理解平方差公式的结构特征，进而有意识的应用平方差公式解决问题。

（二）学生情况分析在前面的学习中，学生已经学习了数的运算、字母表示数、合并同类项、去括号等内容，通过类比他们会产生“式是否也有相应的运算，如果有的话该怎样进行”等问题.为此本节课关注学生对公式的探索过程，有意识的培养学生的推理能力，鼓励学生经历根据特例进行归纳、建立猜想、用符号表示，有条理地表达自己的思考过程，培养学生的数感和符号感，真正理解公式的来源、本质和应用，为今后的学习打下坚实的基础。

基于上述分析：本节课的教学难点是利用数形结合的数学思想方法解释平方差公式，灵活运用平方差公式进行计算二、教学目标设计新课程提出的知识与技能、过程与方法和情感、态度、价值观的教学目标，达到了知识习得、思维训练、人格健全的协同，实现了在促进人的发展目标上的融合，根据这个标准我制定了以下几点教学目标：1、知识技能目标：经历探究平方差公式的过程来推导平方差公式，理解平方差公式的结构特征，并能有意识地用平方差公式进行简单的运算；了解平方差公式的几何背景。

人教版数学八年级上册《14.2.1平方差公式》教案1

人教版数学八年级上册《14.2.1平方差公式》教案1一. 教材分析《14.2.1平方差公式》是人教版数学八年级上册中的一章，主要介绍了平方差公式的概念、推导过程以及应用。

本节课的内容是学生进一步学习代数知识的基础，对于培养学生的逻辑思维能力和数学素养具有重要意义。

平方差公式的推导过程涉及到了完全平方公式，需要学生熟练掌握。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的乘方、完全平方公式等基础知识，具备了一定的代数运算能力。

但部分学生对于代数式的理解和运算仍存在困难，对于公式的推导过程可能感到抽象难懂。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行辅导。

三. 教学目标1.让学生理解平方差公式的概念，掌握公式的推导过程。

2.培养学生运用平方差公式解决实际问题的能力。

3.提高学生的代数运算能力，培养学生的逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.平方差公式的推导过程。

2.平方差公式的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生思考和探索。

2.使用多媒体辅助教学，直观展示公式的推导过程。

3.运用例题讲解法，让学生在实际问题中运用公式。

4.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，展示平方差公式的推导过程和应用实例。

2.准备练习题，用于巩固所学知识。

3.准备小组合作学习的任务，引导学生进行讨论和交流。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的平方差问题，如面积计算、距离计算等，引导学生思考和讨论。

通过这些问题，激发学生的学习兴趣，引出本节课的主题——平方差公式。

2.呈现（15分钟）教师通过PPT展示平方差公式的推导过程，引导学生理解和记忆公式。

在这个过程中，教师可以适时提出问题，引导学生思考和探索。

3.操练（15分钟）教师给出一些例题，让学生运用平方差公式进行解答。

在解答过程中，教师要注意引导学生理解和掌握公式的应用。

对于学生的解答，教师要及时给予反馈和指导。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

15.2.1平方差公式
教学课题15.2.1平方差公式年级学科八年级（上）数学
教学课时第1课
时
课型新授课主备教师使用教师
教学目标1．经历探索平方差公式的过程．
2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．
3．在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力．
4．培养学生观察、归纳、概括的能力．
5.在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美．
教学重点与难点
重点：平方差公式的推导和应用．
难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．
教学准备及手段多媒体教学探究式教学
教学过程动态修改部分Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]你能用简便方法计算下列各题吗？
（1）2001×1999 （2）998×1002
[生甲]直接乘比较复杂，我考虑把它化成整百，整千的运算，从而使运算
简单，2001可以写成2000+1，1999可以写成2000-1，那么2001×1999可以看
成是多项式的积，根据多项式乘法法则可以很快算出．
[生乙]那么998×1002=（1000-2）（1000+2）了．
[师]很好，请同学们自己动手运算一下．
[生]（1）2001×1999=（2000+1）（2000-1）
=20002-1×2000+1×2000+1×（-1）
=20002-1
=4000000-1
=3999999．
（2）998×1002=（1000-2）（1000+2）
=10002+1000×2+（-2）×1000+（-2）×2
=10002-22
=1000000-4
=1999996．
[师]2001×1999=20002-12
998×1002=10002-22
它们积的结果都是两个数的平方差，那么其他满足这个特点的运算是否也
有这个规律呢？我们继续进行探索．
Ⅱ．导入新课
[师]出示投影片计算下列多项式的积．
（1）（x+1）（x-1）（2）（m+2）（m-2）
（3）（2x+1）（2x-1）（4）（x+5y）（x-5y）
观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现．
（学生讨论，教师引导） [生甲]上面四个算式中每个因式都是两项．
[生乙]我认为更重要的是它们都是两个数的和与差的积．例如算式（1）是x与1这两个数的和与差的积；算式（2）是m与2这两个数的和与差的积；算式（3）是2x与1•这两个数的和与差的积；算式（4）是x与5y这两个数的和与差的积．[师]这个发现很重要，请同学们动笔算一下，相信你还会有更大的发现．
解：（1）（x+1）（x-1）
=x2+x-x-1=x2-12
（2）（m+2）（m-2）
=m2+2m-2m-2×2=m2-22
（3）（2x+1）（2x-1）
=（2x）2+2x-2x-1=（2x）2-12
（4）（x+5y）（x-5y）
=x2+5y·x-x·5y-（5y）2
=x2-（5y）2
[生]从刚才的运算我发现：
也就是说，两个数的和与差的积等于这两个数的平方差，这和我们前面的简便运算得出的是同一结果．
[师]能不能再举例验证你的发现？
[生]能．例如：
51×49=（50+1）（50-1）=502+50-50-1=502-12．
即（50+1）（50-1）=502-12．
（-a+b）（-a-b）=（-a）·（-a）+（-a）·（-b）+b·（-a）+b·（-b）
=（-a）2-b2=a2-b2
这同样可以验证：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
[师]为什么会是这样的呢？
[生]因为利用多项式与多项式的乘法法则展开后，中间两项是同类项，且系数互为相反数，所以和为零，只剩下这两个数的平方差了．
[师]很好．请用一般形式表示上述规律，并对此规律进行证明．
[生]这个规律用符号表示为：
（a+b）（a-b）=a2-b2．其中a、b表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式．
利用多项式与多项式的乘法法则可以做如下证明：
（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2．
[师]同学们真不简单．老师为你们感到骄傲．能不能给我们发现的规律（a+b）（a-b）=a2-b2起一个名字呢？
[生]最终结果是两个数的平方差，叫它“平方差公式”怎样样？
[师]有道理．这就是我们探究得到的“平方差公式”，•请同学们分别用文字语言和符号语言叙述这个公式．
（出示投影）
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
即：（a+b）（a-b）=a2-b2
平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，用它直接运算会很简便，但必须注意符合公式的结构特征才能应用．
在应用中体会公式特征，感受平方差公式给运算带来的方便，从而灵活运用平方差公式进行计算
（出示投影片）
例1：运用平方差公式计算：
（1）（3x+2）（3x-2）（2）（b+2a）（2a-b）（3）（-x+2y）（-x-2y）例2：计算：
（1）102×98 （2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）
[师生共析]运用平方差公式时要注意公式的结构特征，学会对号入座．在例1的（1）中可以把3x看作a，2看作b．
即：（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22 （a+b）（a-b）=a2-b2
同样的方法可以完成（2）、（3）．如果形式上不符合公式特征，可以做一些简单的转化工作，使它符合平方差公式的特征．比如（2）应先作如下转化：（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）．
如果转化后还不能符合公式特征，则应考虑多项式的乘法法则．
（作如上分析后，学生可以自己完成两个例题．•也可以通过学生的板演进行评析达到巩固和深化的目的）
[例1]解：（1）（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22=9x2-4．
（2）（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）=（2a）2-b2=4a2-b2．
（3）（-x+2y）（-x-2y）=（-x）2-（2y）2=x2-4y2．
[例2]解：（1）102×98=（100+2）（100-2）
=1002-22=10000-4=9996．
（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）
=y2-22-（y2+5y-y-5）
=y2-4-y2-4y+5
=-4y+1．
[师]我们能不能总结一下利用平方差公式应注意什么？
[生]我觉得应注意以下几点：
（1）公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式
即整式．
（2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式．
（3）有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，•但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式．
[生]运算的最后结果应该是最简才行．
[师]同学们总结得很好．下面请同学们完成一组闯关练习．优胜组选派一名代表做总结发言．
Ⅲ．随堂练习 ( 出示投影片)计算：
（1）（a+b）（-b+a）（2）（-a-b）（a-b）（3）（3a+2b）（3a-2b）（4）（a5-b2）（a5+b2）（5）（a+2b+2c）（a+2b-2c）（6）（a-b）（a+b）（a2+b2）Ⅳ．课时小结
通过本节学习我们掌握了如下知识．
（1）平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．•这个公式叫做乘法的平方差公式．即（a+b）（a-b）=a2-b2．
（2）公式的结构特征
①公式的字母a、b可以表示数，也可以表示单项式、多项式；
②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；
③有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式．•如：（x+y-z）（x-y-z）=[（x-z）+y][（x-z）-y]=（x-z）2-y2．
Ⅴ．作业
必做题：作业本（2）15.2.1平方差公式
全品作业本15.2.1平方差公式A、B
选做题：全品作业本15.2.1平方差公式C
板书设计：§15．2．1平方差公式
平方差公式法则：例练
公式的结构特征
教后反思：。

浙江省温岭市东浦中学八年级数学上册《15.2.1平方差公式》教案 新人教版