2020届浙江省台州市温岭中学高三下学期3月模拟测试数学试题解析
2020届浙江省温州高三下学期3月检测数学试题
2020届浙江省温州中学高三下学期3月检测数学试题一、单选题1．已知集合{}{}|1,2,3A a a =⊆，则A 的真子集个数为（ ） A ．7 B ．8C ．255D ．256【答案】C【解析】求出集合A 的元素，再求出A 真子集的个数． 【详解】因为集合{|{1,A a a =⊆2，3}}，所以集合A 的元素是集合{1,2，3}的子集，共有8个， 所以集合A 的真子集个数为821255-=个， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了集合与元素，集合与集合的关系，属于中档题． 2．“若p 则非q ”的否命题是（ ） A ．若p 则q B ．若非p 则qC ．若非q 则pD ．若非p 则非q【答案】B【解析】直接利用已知条件求出否命题，要区别否命题和命题的否定之间的关系． 【详解】根据否命题的定义可知：“若p ，则非q ”的否命题为：“若p ⌝，则q ”． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了四个命题的应用，主要考查学生对基础知识的理解和应用，属于基础题型．3．“直线()1330m x y +-+=与直线220x my -+=平行”的充要条件是m =（ ） A ．-3 B ．2C ．-3或2D ．3或2【答案】A【解析】根据直线的平行条件，得到关于m 的方程，解出检验即可． 【详解】当0m =或1m =-时，显然直线不平行， 由132m m+=，解得：3m =-或2m =， 3m =-时，直线分别为：2330x y --+=和2320x y ++=，平行， 2m =时，直线分别为：3330x y -+=和2220x y -+=，重合，故3m =-， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了直线平行问题，考查充分必要条件，是一道基础题． 4．函数()sin 2sin3f x x x =+的最小正周期为（ ） A ．π B ．2πC ．3πD ．6π【答案】B【解析】求出2y sin x =与3y sin x =的周期，然后求解最小公倍数即可． 【详解】2y sin x =的最小正周期为：π；函数3y sin x =的最小正周期为：23π， π与23π的最小公倍数为：2π， 所以函数()23f x sin x sin x =+的最小正周期为：2π． 故选：B ． 【点睛】本题考查三角函数的最小正周期的求法，是基本知识的考查，基础题． 5．若,a b ∈R ，下列等式不可能成立有（ ）个.（1）1a b b a+=（21a b =+-（3）32a b a+=A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】分类讨论结合基本不等式判断()1；特殊值判断()2；基本不等式以及函数的最值判断()3． 【详解】对于()1：当a ，b 异号时，01a b b a+<≠，当a ，b 同号时，2a bb a +≥，故()1不可能成立．对于()2：若0a =，0b =01=≠-， 当0ab ≠1a b =+-1=，看作是点()1,1到直线10a x b y +-=的距离为1，可能成立；对于()3：32||211||3a a a a a+=++≥，y b =，令2b cos θ=，224y sin cos πθθθ⎛⎫⎡=+=+∈- ⎪⎣⎝⎭，所以3||2a b a+=，不可能成立． 故选：C ． 【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，考查函数的最值以及基本不等式的应用，是中档题． 6．随机变量ξ的可能值有1，2，3，且()131P p ξ==-，()31P p ξ==-，则()D ξ的最大值为（ ） A ．89B ．1716C ．2625D ．1【答案】D【解析】求出()2P ξ=的值，求出期望，得到方差的表达式，然后求解最值即可． 【详解】随机变量ξ的可能值有1，2，3，且()131P p ξ==-，()31P p ξ==-， 可得：()212P p ξ==-，由03110110121ppp≤-≤⎧⎪≤-≤⎨⎪≤-≤⎩，可得11,32p⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以()()()()1312123144E p p p pξ=-+-+-=-．()()()222(144)31(244)12(344)1D P P P P P Pξ=-+⨯-+-+⨯-+-+⨯-（）216184P P=-+-，11,32p⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当12p=时，()Dξ的最大值为1．故选：D．【点睛】本题考查离散型随机变量的期望与方差的求法，考查转化思想以及方差思想的应用，是中档题．7．单位正方体内部或边界上不共面的四个点构成的四面体体积的最大值为（）A．16B．14C．13D．12【答案】C【解析】四面体的四个顶点应该在正方体的表面上的四面体称为正方体的内接四面体，记正方体的外接球为球O，由题意知正方体的内接四面体体积的最大值不大于球O的内接四面体的体积的最大值，球O的内接四面体以正四面体的体积最大，此时正四面体恰好是正方体的内接四面体，由此能求出结果．【详解】要使四面体的体积最大，则四面体的四个顶点应该在正方体的表面上，了叙述方便，把此时的四面体称为正方体的内接四面体，记正方体的外接球为球O，由题意知正方体的内接四面体体积的最大值不大于球O的内接四面体的体积的最大值，球O的内接四面体以正四面体的体积最大，此时正四面体恰好是正方体的内接四面体，正方体为1时，内接正四面体的体积为13．故选：C ． 【点睛】本题考查四面体体积的最大值的求法，考查正方体的内接四面体，外接球、球的内接四面体等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8．设实数列{}n a 满足10a a =>，则下面说法正确的是（ ） A ．若()*10n n a a n N +⋅=∈，则{}n a 前2019项中至少有1010个值相等B ．若()2020*1n n na a a n N -+=+∈，则当a 确定时，一定存在实数M 使naM <恒成立C ．若()2*21n n n a a a n N ++⋅=∈，{}na 一定为等比数列D ．若()*nn a e n N =∈，则当a 确定时，一定存在实数M 使2nnn aM C <⋅恒成立【答案】D【解析】对于A ，由抽屉原理可知前2019项中至少有1009个值相等，即其中的偶数项都为0；对于B ，由不动点理论知，()2020*1n n na a a n N -+=+∈所对应的特征函数()2020f x x x x -=+>，当a 确定时，数列{}n a 单调递增无上界；对于C ，若()2*21n n n a a a n N++⋅=∈，不排除数列的项可以为0，所以{}n a 不为等比数列；对于D ，由数学归纳法能证明：若()*nn a en N =∈，则当a 确定时，一定存在实数M 使2n n n a M C <⋅恒成立．【详解】 对于A ，()*10n n a a n N +⋅=∈，10a a =>，∴由抽屉原理可知前2019项中至少有1009个值相等，即其中的偶数项都为0，故A 错误；对于B ，由不动点理论知，()2020*1n n na a a n N -+=+∈所对应的特征函数()2020f x x x x -=+>，∴当a 确定时，数列{}n a 单调递增无上界，故B 错误；对于C ，若()2*21n n n a a a n N ++⋅=∈，则数列的项可以为0，所以{}na 不为等比数列，故C 错误；对于D ，由数学归纳法知，当1n =时，1a a =，12a M >+，使得2nn n a M C <⋅成立；假设n k =，2k kk e MC <成立，则1n k =+，12k k k k e e e eMC +=⋅<，()()2111222212124(1)1kk k k k eMC M MM k k +++<=⋅<++， ∴对应的1M 存在，∴若()*n n a e n N =∈，则当a 确定时，一定存在实数M 使2nn n a M C <⋅恒成立，故D正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查抽屉原理、不动点原理、等比数列、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．若0x y >>，{}0,1,2,,2020n ∈⋅⋅⋅，则使得1ny nx x y +>恒成立的n 有（ ）个. A ．1 B ．2 C ．3 D ．2021【答案】B【解析】根据题意，分情况讨论，1x y >≥和10x y >>>，0n =，1n =，2n ≥判断，得出结论. 【详解】如1x y >≥，1ny nxx y +>显然成立；当10x y >>>，0n =时，21ny nxx y +=>成立；当1n =时，由贝努力不等式(1)1rx rx +>+，1r >，1x >-， 取1r y =，y a x=， 则111(1)10y y x x x+=+>>，1y x y x x +>，得y x x x y >+， 同理xy y x y>+，故1ny nxx y +>成立； 当2n ≥时，取12x =，14y =，代入检验 1124211111()()()()1222224n nynxnx y +=+<+=+<，不成立，故选：B ．【点睛】本题考查恒成立问题，利用了贝努力不等式，考查运算求解能力，是中档题．10．过点()2,1P 斜率为正的直线交椭圆221245x y +=于A ，B 两点.C ，D 是椭圆上相异的两点，满足CP ，DP 分别平分ACB ∠，ADB ∠.则PCD ∆外接圆半径的最小值为（ ） A ．2155B ．655C ．2413D ．1913【答案】D【解析】分析可知，P ，C ，D 在一个阿波罗尼斯圆上，设其半径为r ，且111r AP BP=-，分直线AB 斜率存在及不存在两种情况分别讨论得解． 【详解】 如图，先固定直线AB ，设()BM f M AM =，则()()()f C f D f P ==，其中()BPf P AP=为定值，故点P ，C ，D 在一个阿波罗尼斯圆上，且PCD 外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为r ，阿波罗尼斯圆会把点A ，B 其一包含进去，这取决于BP 与AP 谁更大，不妨先考虑BP AP >的阿波罗尼斯圆的情况，BA 的延长线与圆交于点Q ，PQ 即为该圆的直径，如图：接下来寻求半径的表达式，由()2,2AP BP r BP BQ r AP AQ AP AP AQ BP ⋅+==+=+，解得111r AP BP=-， 同理，当BP AP <时有，111r BP AP=-， 综上，111r AP BP=-； 当直线AB无斜率时，与椭圆交点纵坐标为1,1AP BP ==，则1912r =； 当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为()12y k x -=-，即21y kx k =-+， 与椭圆方程联立可得()()()22224548129610k x k k x k k ++-+--=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则由根与系数的关系有，()()12221224821245961245k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪+⎪⎨--⎪=⎪+⎩，211112r AP BP x ∴=-=-，注意到12x -与22x -异号，故1119r ===，设125t k =+，则11121226131919192419r ==≤⋅=，，当15169t =，即1695t =，此时125k =，故1913r ≥，又19191213>，综上外接圆半径的最小值为1913. 故选：D ． 【点睛】本题以阿波罗尼斯圆为背景，考查直线与椭圆的位置关系以及外接圆半径最小值的求解，考查运算求解能力以及数形结合思想，函数思想等，属于难题．二、填空题11．平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为______，一条直线可能经过______个象限. 【答案】0,0，2，3【解析】根据直线倾斜角的定义得出倾斜角的取值范围，考虑直线的各种不同情况可得出所过象限的个数. 【详解】平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为[)0,π，一条直线可能经过2个象限，如过原点，或平行于坐标轴； 也可能经过3个象限，如与坐标轴不平行且不过原点时； 也可能不经过任何象限，如坐标轴； 所以一条直线可能经过0或2或3个象限． 故答案为：[)0,π，0或2或3． 【点睛】本题考查了直线的倾斜角与直线方程过象限问题，是基础题．12．设平面直角坐标系中有线段AB ，其对应的直观图上的线段为''A B ，若''AB A B =，则AB 的斜率为______.【答案】0或3【解析】根据斜二侧画法，“平行于x 轴的线段长度不变，平行于y 的线段长度减半”，由此得出若直线AB 与x 轴平行满足条件，当直线与x 轴不平行时，设倾斜角为θ，||AB x =计算即可求解．【详解】根据斜二侧画法知，线段AB 对应直观图上的线段''A B ， 若直线AB 与x 轴平行时，''AB A B =，此时AB 的斜率为0； 若直线AB 不与x 轴平行时，设AB 倾斜角为θ，||AB x =, 则在直观图中，据斜二侧画法及余弦定理可得：22211||(cos )(sin )cos sin cos()224A B x x x x πθθθθπ''=+-⋅⋅-，因为''AB A B =，所以22211(cos )(sin )cos sin cos()224x x x x x πθθθθπ=+-⋅⋅-，化简得3sin θθ=，即tan 3k θ==，故答案为：0或3． 【点睛】本题考查了斜二侧画法中线段长度的变化情况，余弦定理，属于中档题． 13．若抛物线24y x =与圆222x y ax +=只有一个交点，则抛物线焦点的坐标为______，a 的取值范围为______. 【答案】()1,0 ()(],00,2-∞【解析】由抛物线的性质可得焦点的坐标，联立抛物线方程和圆方程，解方程，结合抛物线的性质和圆的性质，可得所求范围． 【详解】抛物线24y x =的焦点为()1,0，联立抛物线方程24y x =与圆222x y ax +=，可得()2420x a x +-=，即有0x =或24x a =-， 由抛物线的范围可得[)0,x ∈+∞，且抛物线24y x =与圆222x y ax +=只有一个交点，可得交点为原点，则240a -≤，且0a ≠，解得2a ≤且0a ≠． 故答案为：()1,0，2a ≤且0a ≠． 【点睛】本题考查抛物线和圆的方程和性质，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于基础题．14．已知23i i z z +-=，i z C ∈，1,2i =，122z z -=，则12z z +的最大值为______.【答案】4【解析】本题先将1z ，2z 分别代入23i i z z +-=，然后相加，再运用复数模的三角不等式可计算出12z z +的最大值． 【详解】由题意，可知1123z z +-=，2223z z +-=，则12121212126222z z z z z z z z z z =++-+-≥++-=++，当12z -与22z -对应的向量反向共线时，等号成立.124z z ∴+≤．故12z z +的最大值为4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查复数的模的计算，以及复数模的三角不等式的运用，不等式的计算能力．本题属基础题．15．已知正实数,,0x y z >，则12max ,max ,A x y y x ⎧⎫⎧⎫=+⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭的最小值为______；123max ,max ,max ,B x y z y z x ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=++⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭的最小值为______.【答案】【解析】分类讨论，结合均值不等式，注意取等验证是否满足即可． 【详解】（1）若12,x y y x ≥≥时，即12xy ≤≤时，2A x x=+≥1x y ==时可取等号，若12,x y y x>>时，即2xy >时，A x y =+≥>， 若12,x y y x >>时，即01xy <<时，由01xy <<知22xy>，所以12A y x =+≥>综上可知A 的最小值为()2当3z x≥时，25B x z z zz≥++≥+≥，当55z x y ===时可取等号；当3z x ≤时，32325333x x B x x x z x x≥++≥++=+≥55z x y ===时可取等号；综上所述，B ≥,55z x y ===时可取等号；故答案为：【点睛】本题考查代数式的最值求法，考涉及均值不等式及分类讨论思想，属于中档题． 16．海面上漂浮着A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 七个岛屿，岛与岛之间都没有桥连接，小昊住在A 岛，小皓住在B 岛.现政府计划在这七个岛之间建造n 座桥（每两个岛之间至多建造一座桥）.若1n =，则桥建完后，小吴和小皓可以往来的概率为______；若3n =，则桥建完后，小昊和小皓可以往来的概率为______. 【答案】121 30133【解析】利用古典概型、排列组合直接求解． 【详解】七个岛之间两两连接共可以有27=21C 条线路，在这21条线路中若1n =，若只建一座桥，则有21种建法，则桥建完后，小吴和小皓可以往来的概率为271121C =， 若3n =，则桥建完后，小昊和小皓可以往来可以的情况有： 若A 岛和B 岛连接，其余任选2条线路建桥，共有220C 种方法，若A 岛和B 岛不连接，再选一个岛，与A 岛和B 岛都连接，再在其他18条线路种选一条建桥，则有58111C C 种方法，若A 岛和B 岛不连接，再选两个岛，与A 岛和B 岛连接，共建3座桥，共有522C 种方法，∴若3n =，则桥建完后，小昊和小皓可以往来的概率为2211201853521++133230C C C C C =． 故答案为：121，30133． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17．已知平面向量a ，b 满足4a =，33b =+，0a b ⋅=.记()(),1f x b xa b x a =++-，则()()11f x f x ++-的最大值为______.【答案】3π 【解析】先表示出()()11x f x ++-，不妨设()6,0A -，()()4,0,0,33AB a b ===--，点(),P x y 在直线l ：33y =+上移动，由此所求()()11f x f x ++-即为APB CPD APD BPC ∠+∠=∠-∠，进一步转化为通过求正切值来比较角度大小，进而求得最值． 【详解】()()()()()111,21,f x f x b x a b x a b x a b xa -++=+-+-++++，如图，在平面直角坐标系中，不妨设()6,0A -，()(4,0,0,33AB a b ===-， 点P 在直线l ：33y =+设点(),P x y ，由于33y =+b 代替计算， 则所求()()11f x f x ++-即为APB CPD APD BPC ∠+∠=∠-∠且AB BC CD ==，这里可求正切来判断角度大小，则122212116612tan 11663611x x k k b b b APD x x b x k k b b-+--∠===-++-+⋅+⋅，224tan 4bBPC b x ∠=+-，()()()()222222222222222314812364tan 313641441364b b b x b x b x APD BPC b x b x b b x b x ⎛⎫- ⎪+++-+-⎝⎭∠-∠==+-+-++⋅+-+-，不妨设2212b x t ++=，则()()2283+3tan 3768489+38316864b APD BPC b b t t∠-∠=≤==+-+-+-， 即3APD BPC π∠-∠≤，即()()11f x f x ++-的最大值为3π． 故答案为：3π． 【点睛】本题考查平面向量数量积的综合运用，考查运算求解能力以及数形结合思想，属于难题．三、解答题18．如图，在ABC ∆中，AH 为BC 边上的高线.P 为三角形内一点，由P 向三角形三边作垂线，垂足分别为D ，E ，F ，已知AH ，AC ，BC ，AB 依次构成公差为1的等差数列.（1）求ABC ∆的面积；（2）求222T PD PE PF =++的最小值. 【答案】（1）84；（2）14112295. 【解析】()1由题意，可设出1AH x =-，AC x =，1BC x =+，2AB x =+，由等面积法可求出x ，进而求得面积；()2由等面积可知141315168PD PE PF++=，再利用柯西不等式即可得到结果．【详解】()1设1AHx =-，AC x =，1BC x =+，2AB x =+，则213331122222x x x x x -+++-=⨯⨯⨯，解得13x =， ABC ∴的面积为11412842⨯⨯=；()2141315284168PD PE PF ++=⨯=，()22222222168(141315)141315(||||)PD PE PF PD PE PF ∴=++≤++++， 22214112||||295T PD PE PF ∴=++≥， T ∴的最小值为14112295． 【点睛】本题巧妙地把等差数列，柯西不等式以及解三角形结合起来考查，还考查了等面积法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．19．如图，正四面体A BCD -底面的中心为O ，ACD ∆的重心为G .P 是ACD ∆内部一动点（包括边界），满足A ，P ，G 不共线且点P 到点A 的距离与到平面BCD 的距离相等.（1）证明：//AB 平面OPG ；（2）若2AB =，求四面体B OPG -体积的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）43227.【解析】(1)延长AG 交BC 于M ，则M 为BC 的中点，由于O 是BCD 的重心，从而//OG AB ，由此能证明//AB 平面OPG ．(2)作PQ AM ⊥于Q 点，可证得PQ ⊥平面ABM ，则122327P OBG BOG V SPQ -=⋅=，作P 到底面上的投影H ，则'HH CD ⊥于'H ，由三垂线定理得'PH CD ⊥，从而22'3PH PA =，由椭圆的第二定义得P 点的轨迹是以A 为右焦点，直线CD 为右准线的椭圆，由椭圆的对称性得当P 与'P 重合时，PQ 最大，由此能求出四面体B OPG -体积的最大值． 【详解】（1）证明：如图，延长AG 交BC 于M ，则M 为BC 的中点， 由于O 是BCD 的重心，则B 、O 、M 共线， 且13MG MO MA MB ==， //OG AB ∴，又A ，P ，G 三点不共线，则P 不在平面ABOG 内部， 则//AB 平面OPG ．(2)作PQ AM ⊥于Q 点，由BM CD ⊥，AM CD ⊥，得CD ⊥平面ABM ， 又//PQ CD ，则PQ ⊥平面ABM ，则122327P OBG BOG V S PQ -=⋅=， 下面求PQ 的最大值， 作P 到底面上的投影H ，则'HH CD ⊥于'H ， 由三垂线定理得'PH CD ⊥， 则22sin 'sin3AO PHH AMO AM ∠=∠==， 由PA PH =，得22'PH PA =， 接下来，分析在平面ACD 中PQ 的最小值，由于22'PH PA =， 由椭圆的第二定义得P 点的轨迹是以A 为右焦点，直线CD 为右准线的椭圆，由椭圆的对称性得当P 与'P 重合时，PQ 最大， 此时，设''P Q x =，则'22P A x =-，)'31P K x ∴=-，22'PH PA =， )2612x x -=，解得62x =， ∴四面体B OPG -体积4322222''272727P OBGVQ -=≤=．∴四面体B OPG -体积的最大值为43227．【点睛】本题考查线面平衡地的证明，考查四面体的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．如图，(),0P a 为x 正半轴上一点.第一象限内两点(),A B A B x x <在抛物线24y x=上，满足3APBπ∠=，记PB k PA=.（1）若3A x =，2k =，求a 的值；（2）若存在PAB ∆，使得1k =，求a 的取值范围. 【答案】（1）231a =；（2）83a >. 【解析】()1推导出(3,23A ，200,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，2PAB π∠=，6PBA π∠=，从而03AB AP AB ⎧⋅=⎪⎨=⎪⎩，由此能求出a ． (2)设点(),0P a ，()11,A x y ，()22,B x y ，且120y y <<，点1212,22x x y y C ++⎛⎫⎪⎝⎭，AB l ：x my n =+，根据120y y <<，得0n <，联立24y x x my n⎧=⎨=+⎩，得2440y my n --=，由此利用韦达定理、直线垂直、抛物线性质，结合题设条件能求出a 的取值范围． 【详解】()()1,0P a 为x 正半轴上一点．第一象限内两点A ，()A B B x x <在抛物线24y x =上，满足3APB π∠=，记,3A PB k x PA==，2k =，(3,23A ∴，200,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2PAB π∴∠=，6PBA π∠=，03AB AP AB ⎧⋅=⎪∴⎨=⎪⎩，(022*******4(3)(3[(3)4a y y a ⎧-=⎪⎪⎪-∴⎨⎪⎪⎤-+-=-+⎦⎪⎩， 解得06y =，1a =．(2)设点(),0P a ，()11,A x y ，()22,B x y ，且120y y <<，点1212,22x x y y C ++⎛⎫⎪⎝⎭，AB l ：x my n =+， 根据120y y <<，得0n <，取立24y x x my n⎧=⎨=+⎩，得2440y my n --=，124y y m ∴+=，124y y n =-，(0)n <，点1212,22x x y y C ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()22,2C m n m +，3APB π∠=，1PB PA=，PAB ∴是等边三角形，PC AB ∴⊥，220112m m n a m-∴⋅=-+-， 222am n ∴=++，PC =，12y y =-= 213n m ∴=-+，且0n <，213m ∴>，22221782222333a m n m m m ∴=++=-++=+>．a ∴的取值范围是8,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查实数值、实数取值范围的求法，考查韦达定理、直线垂直、抛物线性质等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 21．对于正整数n 与实数0a ，1a ，…，n a ，记()()()()10sin sin sin 22n n nx a x a f x a x ++=++++.（1）若00a =，13a π=求，()1f x 的取值范围；（2）当2020n =时，判断:是否存在实数0a ，1a ，…，2020a ，使得()()20202020012f f ==成立.若存在，请求出任意一组0a ，1a ，…，2020a 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22⎡-⎢⎣⎦；（2）不存在.证明见解析. 【解析】()1推导出()()115sin 23442f x sinx x sinx cosx x πϕ⎛⎫=++=+=+ ⎪⎝⎭，x R ∈，其中5tan ϕ=，由此能求出()1f x 的取值范围． ()2不存在满足条件的实数0a ，1a ，⋯，2020a ，使得()()20202020120f f ==成立，利用反证法能进行证明． 【详解】()1对于正整数n 与实数0a ，1a ，⋯，n a ，记()()()()10sin sin sin 22n n nx a x a f x x a ++=+++⋯+，00a =，13a π=，()()115sin 234f x sinx x sinx x πϕ⎛⎫∴=++==+ ⎪⎝⎭，x R ∈，其中tan ϕ=()1f x ∴的取值范围是,.22⎡-⎢⎣⎦()2不存在满足条件的实数0a ，1a ，⋯，2020a ，使得()()20202020120f f ==成立．证明如下：假设存在实数0a ，1a ，⋯，2020a ，使得()()20202020120f f ==成立，①先证明002n f a π⎛⎫-> ⎪⎝⎭，001020221111111111221sin sin sin 11012222222222212n n n n n nf a a a a a a a ππππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=+-++-++⋯+-+≥---⋯-=-=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，②由()202020f =，即：()()()012020202011sin 11sin 11sin 11022a a a ⎡⎤⎤⎡⎡⎤++++++⋯+++=⎢⎥⎣⎦⎥⎢⎦⎣⎣⎦， 用两角和正弦公式展开整理，得：()()()][()()()0120200120202020202011111cos 1cos 1cos 11sin 1sin 1sin 12222sin a a a cos a a a ⎡⎤⨯++++⋯+++⨯++++⋯++⎢⎥⎣⎦，即()()()()01202020202020111cos 1cos 1111022sin a a a cos f ⎡⎤⨯++++⋯+++⨯=⎢⎥⎣⎦， ()202010f =，从而()()()012020202011cos 1cos 1cos 1022a a a ++++⋯++=，下面说明()20200f x =对所有x 都成立，()()()()2020012020202011sin sin 22f x x a x a x a =++++⋯++()()()012020202011sin 11sin 11sin 1122x a x a x a ⎡⎤⎤⎡⎡⎤=-+++-+++⋯+-+⎢⎥⎣⎦⎥⎢⎦⎣⎣⎦()()()()012020202011sin 1cos 1cos 1cos 122x a a a ⎡⎤=-++++⋯++⎢⎥⎣⎦()()()()012020202011cos 1sin 1sin 1sin 1022x a a a ⎡⎤+-++++⋯++=⎢⎥⎣⎦，这与002n f a π⎛⎫->⎪⎝⎭矛盾． ∴假设不成立，∴不存在满足条件的实数0a ，1a ，⋯，2020a ，使得()()20202020120f f ==成立．【点睛】本题考查函数的取值范围的求法，考查满足条件的是否存在的判断与证明，考查两角和正弦公式、三角函数恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，属于难题． 22．已知函数()()()ln ,,01ax x b f x x b a b a +-=>>+.（1）求()f x 的最小值()g a ； （2）若数列{}n x满足：11ln 2n n x x +⎛⎫=-⎪⎝⎭n ，12nx ≠.证明：1220211010x x x +++≥. 【答案】（1）()()1,0111ln ,11a b a a g a ab a a a ⎧+<≤⎪⎪+=⎨++⎪>⎪+⎩；（2）证明见解析.【解析】(1) 去掉绝对值号可得分段函数，当1x b ≥+时，()f x ()1ln 11a x xb a a =+-++单调递增，当1x b <+时，利用导数研究函数的单调性及极值，由此能求出()f x 的最小值()g a ．（2）1ln 2n n x ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎭从而()()111,111a b ab lna ab lnag a min a a a ⎧⎫+++++≥=⎨⎬+++⎩⎭，进而12≥+=+，迭代即可证明结论．【详解】(1()()ln )(,,0).1ax x b f x x b a b a +-=>>+()f x ∴()()1ln ,1111ln ,111a x x b x b a a a x x b x b a a ⎧+-≥+⎪⎪++=⎨⎪--<+⎪++⎩，当1x b ≥+时，()()1ln 11a f x x x b a a =+-++单调递增， 当1x b <+时，()()1ln 11a f x x xb a a =--++， ()f x '1111a a a x b=-⋅++-，令()f x '0>，得1x b a>+， 若1a >时，11b b a +<+，即()f x 在1,b b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，1,b a ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭单调递增，此时()11()1min ab lnag a f x f b a a ++⎛⎫==+=⎪+⎝⎭， 若01a <≤时，11b b a+>+，即()f x 在(),1b b +上单调递减，()1,b ++∞单调递增，此时，()()()1()11min a b g a f x f b a +==+=+．综上所述，()f x 的最小值()g a ()1,0111,11a b a a ab lna a a ⎧+<≤⎪⎪+=⎨++⎪>⎪+⎩．(2)证明：数列{}n x满足：11ln 2n n x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1ln 2n n x ⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎭， 由(1)知，()()111,111a b ab lna ab lna g a min a a a ⎧⎫+++++≥=⎨⎬+++⎩⎭， ()f x∴1ln 2x ⎛⎫⎛⎫=-+≥⎪ ⎪⎝⎭⎭12≥=+∴对任意正整数n ，12n x ≠，1220211010x x x ++⋯+≥+． 【点睛】本题考查函数的最小值的求法，考查不等式的证明，考查函数的单调性、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，属于难题．。
2020年台州市温岭中学高考数学模拟试卷(二)(3月份)(含答案解析)
2020年台州市温岭中学高考数学模拟试卷(二)(3月份)一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知全集U = {1,2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A = {2,4，6，7}，B = {3,5，6，7，8}，则(∁U A)∩(∁U B)=( )A. {1,9}B. {2,3，4，5，6，7，8}C. {1,2，3，4，5，8，9}D. {1,6，7，9} 2. 已知i 是虚数单位，若z 1−i =i ，则|z|=( )A. √2B. 2C. √3D. 33. 公差不为0的等差数列｛a n ｝中，a 2、a 3、a 6依次成等比数列，则公比等于( )A. 12B. 13C. 2D. 34. “x <2”是“ln(x −1)<0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A. m//α，n//α，则m//nB. m//n ，m//α，则n//αC. m ⊥α，m ⊥β，则α//βD. α⊥γ，β⊥γ，则α//β6. 已知a ，b 均为正实数，且2a +3b =4，则3a +2b 的最小值为( )A. 3B. 6C. 9D. 127. 在平行四边形ABCD 中，∠DAB =120°，|AB|=2，|AD|=1，若E 为线段AB 中点，则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 12B. 1C. 32D. 28. 某单位安排甲、乙、丙三入从周一至周六值班，每入值班两天，已知甲不值周一，乙不值周六，那么可以排出不同的值班表共( )A. 42种B. 60种C. 84种D. 90种 9. 已知双曲线C ：x 216−y 2b 2=1(b >0)，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，过F 2的直线l 交C 的左、右支分别于A ，B ，且|AF 1|=|BF 1|，则|AB|=( )A. 4B. 8C. 16D. 3210.已知函数，则下列结论中正确的是()A. 函数f(x)的定义域是B. 函数y=f(x−1)是偶函数C. 函数f(x)在区间上是减函数D. 函数f(x)的图象关于直线x=1轴对称二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.若实数x，y满足约束条件{x+y−1≥0x−3y+3≥0x≤3，则z=2x−y的最大值为______．12.已知在(1−2x)n的展开式中，各项的二项式系数之和是64，则(1+2x)n(1−2x2)的展开式中，x4项的系数是__________．13.已知袋子中有大小相同的红球1个，黑球2个，从中任取2个．设ξ表示取到红球的个数，则Eξ=______，Dξ=______．14.某三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积为______．15.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，若a=7，A=60°，△ABC的面积为10√3，则△ABC的周长为______ ．16.已知圆C：(x−3)2+(y−4)2=1和两点A(0,m)，B(0,−m)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m取值范围是______ ．17.一个边长为的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，要使方盒的容积最大，x的值应为__________．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数f(x)=2√3sinx⋅cosx+sin2x−cos2x(1)求函数的最小正周期及对称中心；(2)若x∈[0,π]，求函数f(x)最小值以及取最小值时x的值；(3)若f(α2)=12，α∈(0,π)，求cosα．19.如图①，在五边形ABCDE中，ED=EA，AB//CD，CD=2AB，∠EDC=150°，将△EAD沿AD折起到△PAD的位置，得到如图②所示的四棱锥P−ABCD，M为线段PC的中点，且BM⊥平面PCD．(1)求证：BM//平面PAD．(2)若直线PC与AB所成角的正切值为12，求直线BM与平面PDB所成角的正弦值．20.已知数列{a n}的前n项和为S n，并且满足a1=2，na n+1=S n+n(n+1)(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令T n=S n2n，当n≥3时，求证：T n>T n+1．21.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F，抛物线上一点P点横坐标为2，|PF|=3．(1)求抛物线的方程；(2)过F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．22.已知函数f(x)=lnx−ax+1．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若a∈(0,1)，求证：f(x)<e x−ax−a(e为自然对数的底数)．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查集合运算，属基础题．根据补集，交集定义运算即可．解：因为全集U={1,2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={2,4，6，7}，B={3,5，6，7，8}，所以∁U A={1,3,5,8,9}，∁U B={1,2,4,9}，所以(∁U A)∩(∁U B)={1,9}，故选A．2.答案：A解析：本题考查复数的运算法则、模的计算公式，考查计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解：∵z1−i=i，z=i(1−i)=i+1，则|z|=√12+12=√2．故选A．3.答案：D解析：本题考查等差数列和等比数列的性质和通项公式，属基础题．解：设等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，由题意可得(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d)，解得a1=−12d，故a 2=a 1+d=12d，a 3=a 1+2d=32d，故公比为a3a2=32d12d=3．故选D．4.答案：B解析：解：由ln(x−1)<0，得：0<x−1<1，解得：1<x<2，故x<2是1<x<2的必要不充分条件，故选：B．根据对数函数的性质结合集合的包含关系判断即可．本题考查了乘法不要条件，考查对数函数的性质，是一道基础题．5.答案：C解析：本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，是基础题．对每个选项，利用线面平行的关系判断线线平行，线面平行，面面平行的判定方法，可得结论．解：对于A，平行于同一平面的两条直线可能相交，平行或异面，故A不正确；对于B，m//n，m//α，则n//α或n⊂α，故B不正确；对于C，利用垂直于同一直线的两个平面平行，可知C正确；对于D，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是相交或平行，故D不正确．故选C．6.答案：B解析：本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三相等，考查运算能力，属于基础题．解：∵2a+3b=4，∴由基本不等式可得3a +2b=14(3a+2b)(2a+3b)=14(12+9ba+4ab)≥14(12+2√9ba×4ab)=6，当且仅当9ba =4ab，且2a+3b=4，即a=1,b=23时，等号成立，故3a +2b 的最小值为6，故选B ． 7.答案：C解析：本题考查平面向量的坐标运算及数量积运算，画出图形，建立坐标，求出相关点的坐标，通过向量的数量积求解即可． 解： 在平行四边形ABCD 中，∠DAB =120°，|AB|=2，|AD|=1，E 为线段AB 中点， 建立如图所示的坐标系，则B(1,√3)，A(0,0)，D(−1,0)，则E(12,√32)，可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,√32)， 则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3×√32=32． 故选C ．8.答案：A解析：解：根据题意分两种情况讨论：①、当甲排在星期六，有C 41C 42=24种排法； ②、当甲不排在星期六，有C 42C 32=18种排法； ∴值班方案种数为24+18=42种；故选：A ．根据题意，分为两类情况讨论：甲排在星期六，有C 41C 42种排法，甲不排在星期六，则甲从星期二到星期五之间选一天，有C 42种选法，再排乙，不能安排在星期六，所以从剩下的3天中选2天，有C 32种选法，最后排丙，再把两类相加即可．本题考查了计数原理、组合数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.答案：C解析：本题考查双曲线的定义和方程，属于基础题．求得双曲线的a=4，设|AF1|=|BF1|=m，运用双曲线的定义可得|AB|=4a，即可得到所求值．解：由双曲线C：x216−y2b2=1(b>0)可得a=4，设|AF1|=|BF1|=m，由双曲线的定义可得|AF2|=|AF1|+2a=2a+m，|BF2|=|BF1|−2a=m−2a，可得|AB|=|AF2|−|BF2|=2a+m−(m−2a)=4a=16．故选：C．10.答案：B解析：本题考查对数函数的图象和性质，主要是定义域、奇偶性和单调性、对称性，考查化简变形能力和运算能力，属于基础题．由对数的运算性质及真数大于0，可判断A，由偶函数的定义可判断B，由函数的单调性可判断C，由f(2−x)与f(x)的关系可判断D．解：函数f(x)=log12(2−x)−1og2(x+4)=−log2(2−x)−log2(x+4)=−log2(2−x)(4+x)，由2−x>0，x+4>0，可得−4<x<2，即函数f(x)的定义域为(−4,2)，故A错误；由y =f(x −1)=−log 2(3−x)(3+x)=−log 2(3−x 2)，定义域为(−3,3)，且f(−x −1)=f(x −1)，即y =f(x −1)为偶函数，故B 正确；由x ∈[−1,2)，f(−1)=−log 29，f(0)=−log 28，即f(−1)<f(0)，故C 错误；由f(2−x)=−log 2x(6−x)≠f(x)，可得f(x)的图象不关于直线x =1对称，故D 错误．故选B ．11.答案：8解析：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于基础题．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z =2x −y 的最大值． 解：由z =2x −y ，得y =2x −z ，作出实数x ，y 满足约束条件{x +y −1≥0x −3y +3≥0x ≤3对应的可行域(阴影部分)，平移直线y =2x −z ，由平移可知当直线y =2x −z 经过点A 时，直线y =2x −z 的截距最小，此时z 取得最大值，由{x =3x +y −1=0，解得A(3,−2)， 将C 的坐标代入z =2x −y ，得z =8，即目标函数z =2x −y 的最大值为8．故答案为：8．12.答案：120解析：2n =64，所以n =6．T r+1=C 6r (2x)r =C 6r 2r ⋅x r ，令r =4，则T 5=C 6424⋅x 4=240x 4，令r =2，则T 3=C 6222x 2=60x 2，x 4项为240x 4×1−60x 2×2x 2=120x 4，故x 4项的系数为120．13.答案：23；29 解析： ξ表示取出的2个球中红球的个数，则ξ的所有可能取值为0、1，得到概率，然后求出期望与方差． 解：ξ可取0、1，且P(ξ=0)=13，P(ξ=1)=23，所以Eξ=0×13+1×23=23．Dξ=(0−23)2×13+(1−23)2×23=29．故答案为：23；29． 14.答案：12+4√2解析：解：根据三视图作出该三棱柱的直观图，其中底面是直角边长为2的等腰直角三角形，故该三棱柱的表面积S =12×2×2×2+2×2×2+2×2√2=12+4√2．故答案为：12+4√2．由已知得到几何体为平放的三棱柱，根据图中数据计算表面积．本题考查了由几何体的三视图求几何体的表面积；关键是正确还原几何体． 15.答案：20解析：解：∵S△ABC=12bcsinA=12bcsin60°=10√3，∴bc=40，由余弦定理知：a2=b2+c2−2bccosA，从而有49=b2+c2−bc，解得b2+c2=89，∴(b+c)2=b2+c2+2bc=89+80=169，从而解得b+c=13．∴△ABC的周长为：13+7=20．故答案为：20．由S△ABC=12bcsinA=12bcsin60°=10√3，可解得bc=40，由余弦定理知：a2=b2+c2−2bccosA，从而解得b2+c2=89，从而(b+c)2=b2+c2+2bc=169，从而解得b+c=13，即可求得周长．解决三角形问题，正、余弦定理是我们常用的定理，利用余弦定理，通常需知道三角形的两边及其夹角或已知三边，本题属于基本知识的考查．16.答案：[4,6]解析：解：圆C：(x−3)2+(y−4)2=1的圆心C(3,4)，半径为1，∵圆心C到O(0,0)的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB=90°，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=12AB=m，故4≤m≤6，∴m取值范围是[4,6]．故答案为：[4,6]．根据圆心C到O(0,0)的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB=90°，可得PO=12AB=m，从而得到实数m的取值范围．本题考查直线与圆、圆与圆位置关系的应用，考查数形结合思想，是中档题．17.答案：解析：由题意，方盒的高xcm，长、宽都是(12−2x)cm，∴V=(12−2x)2×x=4(6−x)2×x，∵2x+(6−x)+(6−x)≥3√2x(6−x)23，∴(6−x)2×x≤32(当且仅当6−x=2x，即x=2时取等号)，时，方盒的容积最大．18.答案：解：(1)∵f(x)=2√3sinx⋅cosx+sin2x−cos2x=√3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)，∴函数的最小正周期T=2π2=π，令2x−π6=kπ，k∈Z，解得x=12kπ+π12，k∈Z，∴函数的对称中心为(12kπ+π12,0)，k∈Z．(2)∵x∈[0,π]，∴2x−π6∈[−π6,11π6]，∴sin(2x−π6)∈[−1,1]，∴f(x)=2sin(2x−π6)∈[−2,2]，可得函数f(x)最小值为−2，取最小值时x的值为；(3)∵f(α2)=12，α∈(0,π)，∴2sin(α−π6)=12，可得sin(α−π6)=14∈(0,12)，∵α−π6∈(−π6,5π6)，∴α−π6∈(0,π6)，可得cos(α−π6)=√1−sin2(α−π6)=√154，∴cosα=cos[(α−π6)+π6]=cos(α−π6)cosπ6−sin(α−π6)sinπ6=√154×√32−14×12=3√5−18．解析：(1)由二倍角公式，两角差的正弦函数公式化简可得函数解析式f(x)=2sin(2x−π6)，利用正弦函数的性质可求函数的最小正周期，函数的对称中心．(2)由x∈[0,π]，可求范围2x−π6∈[−π6,11π6]，利用正弦函数的性质可求f(x)最小值以及取最小值时x的值．(3)由已知可求sin(α−π6)=14∈(0,12)，可得范围α−π6∈(0,π6)，利用同角三角函数基本关系式可得cos(α−π6)的值，利用两角和的余弦函数公式即可求解cosα的值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.答案：解：(1)证明：取PD的中点N，连接AN，MN．又M 为PC 的中点，所以MN//CD ，MN =12CD ． 又AB//CD ，AB =12CD ，所以MN//AB ，MN =AB ． 则四边形ABMN 为平行四边形，所以AN//BM ． 因为BM ⊄平面PAD ，AN ⊂平面PAD ， 所以BM//平面PAD ．(2)解：因为BM ⊥平面PCD ，AN//BM ， 所以AN ⊥平面PCD ，所以AN ⊥PD ，AN ⊥CD ．由ED =EA ，即PD =PA 及N 为PD 的中点，可得△PAD 为等边三角形，所以∠PDA =60°． 又∠EDC =150°，所以∠CDA =90°，即CD ⊥AD ．因为AD ⊂平面PAD ，AN ⊂平面PAD ，AD ∩AN =A ，所以CD ⊥平面PAD ． 又CD ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ． 因为AB//CD ，所以∠PCD 即为直线PC 与AB 所成的角， 所以tan∠PCD =PDCD =12，所以CD =2PD ． 设PD =1，则CD =2，PA =AD =AB =1．取AD 的中点O ，连接PO ，过O 作OF//AB 交BC 于点F ，则PO ，OF ，OA 两两垂直．以O 为坐标原点，OA ，OF ，OP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．则D(−12,0，0)，B(12,1，0)，C(−12,2，0)，P(0,0，√32)，所以M(−14,1，√34).所以DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,1，−√32)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−34,0，√34). 设平面PDB 的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x +y =012x +y −√32z =0， 令x =3，则n ⃗ =(3,−3,−√3).因为cos <n ⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=n⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n ⃗⃗ ||BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√21×√32=−2√77． 所以直线BM 与平面PDB 所成角的正弦值为2√77．解析：(1)取PD 的中点N ，连接AN ，MN ，可证四边形ABMN 为平行四边形，从而应用线面平行的判定定理证得结果；(2)设PD =1，取AD 的中点O ，连接PO ，过O 作AB 的平行线，建立空间直角坐标系O −xyz ，求出平面PBD 的法向量n ⃗ ，计算法向量与BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角得出结论．该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，应用向量法求线面角的正弦值的问题，属于中档题目．20.答案：(1)解：∵na n+1=S n +n(n +1)，a n+1=S n+1−S n ，∴nS n+1−(n +1)S n =n(n +1)，两边同时除以n(n +1)，得：Sn+1n+1−S n n=1，∵S 11=a 11=2，∴{Sn n }为等差数列，公差d =1，首项为2，∴S n n=2+n −1=n +1，∴S n =n(n +1)∴a n =S n −S n−1=[n(n +1)]−((n −1)n]=2n,把n =1代入验证，满足，∴a n =2n ． (2)证明：∵T n =Sn 2n=n 2+n 2n，∴T n −T n+1=n 2+n 2n −(n +1)2+(n +1)2n+1=2n 2+2n 2n+1−n 2+3n +22n+1 =n 2−n −22n+1=(n−12)2−942n+1，由(n −12)2−94≥0，得n ≥2， ∴当n ≥2时，T n ≥T n+1, 则当n ≥3时，也满足T n >T n+1．解析：(1)由已知条件推导出nS n+1−(n +1)S n =n(n +1)，两边同时除以n(n +1)，得：Sn+1n+1−S n n=1，从而得到S n =n(n +1)，由此能求出a n =2n ． (2)由T n =Sn 2n =n 2+n 2n，得到T n −T n+1=n 2+n 2n −(n+1)2+(n+1)2n+1=(n−12)2−942n+1，由此能证明当n ≥3时，T n >T n+1．本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意作差法比较大小的合理运用．21.答案：解：(1)由抛物线定义可知，|PF|=2+p2=3，∴p=2．∴抛物线的方程为y2=4x．(2)由p2=1，得F(1,0)．∵倾斜角为30°，∴直线AB的斜率为√33．∴过A，B的直线方程为y=√33(x−1)，联立y2=4x得y2−4√3y−4=0．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=4√3，y1·y2=−4．∴S△OAB=S△OAF+S△OFB=12|y1−y2|=12√48+16=4．解析：本题考查抛物线定义的运用，考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想，涉及直线与圆锥曲线关系问题，常采用联立直线与圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，属于中档题．(1)先求抛物线y2=2px(p>0)的准线方程，根据抛物线的定义，将抛物线y2=2px上横坐标为2的点到焦点的距离等于3，转化为点到准线的距离为3，即可求得结论．(2)由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB 的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．22.答案：(1)解：f′(x)=1x −a=1−axx(x>0)，当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)=lnx−ax+1在(0,+∞)单调递增，当a>0时，x∈(0,1a)时，f′(x)>0，x∈(1a,+∞)时f′(x)<0，f(x)=lnx−ax+1在(0,1a )单调递增，在(1a,+∞)单调递减．综上所述，当a≤0时，f(x)只有增区间为(0,+∞)．当a>0时，f(x)的增区间为(0,1a )，减区间为(1a,+∞)．(2)证明：f(x)<e x−ax−a等价于e x−lnx−a−1>0．令g(x)=e x−lnx−a−1，而g′(x)=e x−1x在(0,+∞)单调递增，且g′(1)=e−1>0，g′(12)=e12−2<0．令g′(t)=0，即e t=1t(0<t<1)，lnt=−t，则x∈(0,t)时，g′(x)<g′(t)=0，x∈(t,+∞)时，g′(x)>g′(t)=0，故g(x)在(0,t)单调递减，在(t,+∞)单调递增，所以g(x)≥g(t)=e t−lnt−a−1=1t+t−a−1≥2−a−1=1−a，因为a∈(0,1)，所以1−a>0，即g(x)>0，即f(x)<e x−ax−a．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性、不等式的证明等知识，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力、属于较难题．(1)写出函数f(x)的定义域，求出f′(x)，分a≤0，a>0两种情况讨论，通过解不等式f′(x)>0，f′(x)<0可得单调区间；(2)f(x)<e x−ax−a等价于e x−lnx−a−1>0，构造函数g(x)=e x−lnx−a−1，求导，可得g(x)≥g(t)=e t−lnt−a−1，即可证明．。
浙江省台州市温岭中学2020届高三下学期数学3月模拟测试试卷
浙江省台州市温岭中学2020届高三下学期数学3月模拟测试试卷一、单选题（共10题；共20分）1.设集合，，，则（）A. B. C. D.2.已知x,y是非零实数，则“ ”是“ ”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则C的离心率为（）A. B. C. D.4.如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的体积（）A. B. C. D.5.若x，y满足叫，且，则的最小值为（）A. B. C. D.6.若函数是奇函数，则使的x的取值范围为（）A. B. C. D.7.已知，随机变量，n的分布列如表所示，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，8.如图，在直角梯形中，，，，为中点，M，N分别为，的中点，将沿折起，使点D到，M到，在翻折过程中，有下列命题：① 的最小值为；② 平面；③存在某个位置，使；④无论位于何位置，均有.其中正确命题的个数为（）A. B. C. D.9.已知，，是等差数列中的三项，同时，，是公比为的等比数列中的三项，则q的最大值为（）A. B. C. D. 无法确定10.已知函数在区间上有零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、双空题（共4题；共4分）11.已知若复数( 为虚数单位).若Z是纯虛数，则以为焦点的抛物线的标准方程为________；若，则m=________.12.已知，，动点M满足，则点M的轨迹方程是________；又若，此时的面积为________.13.在二项式的展开式中，所有项系数和为________，展开式中含的项是________.14.记A，B，C为的内角，①若，则________；②若，是方程的两根，则________.三、填空题（共3题；共3分）15.已知正实数满足，的值为________.16.已知P，Q是椭圆上的两点(点Q在第一象限)，若，且直线PM，QM的斜率互为相反数，且，则直线QM的斜率为________.17.已知A，B，C，D，E为半径为1的圆上相异的5点(没有任何两点重合)，这5个点两两相连可得到10条线段，则这10条线段长度平方和的最大值为________.四、解答题（共5题；共55分）18.已知函数.（1）若，，求得值；（2）在中，角，，的对边分别为，，且满足，求的取值范围.19.四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAD为正三角形，，E为AD 的中点.（1）证明：平面平面ABCD；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20.数列中，，，且.（1）令，将用表示，并求通项公式；（2）令，求证：.21.如图，已知抛物线的焦点为F.（1）若点P为抛物线上异于原点的任一点，过点P作抛物线的切线交y轴于点Q，证明：.（2）A，B是抛物线上两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点( 不与轴平行)，且.过y轴上一点E作直线轴，且m被以AD为直径的圆截得的弦长为定值，求面积的最大值.22.已知函数.（1）求函数在处的切线方程；（2）若在，处导数相等，证明：.（3）若对于任意，直线与函数图象都有唯一公共点，求实数b的取值范围.答案解析部分一、单选题1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】C4.【答案】B5.【答案】B6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】D9.【答案】B10.【答案】B二、双空题11.【答案】；12.【答案】；13.【答案】128；14.【答案】；三、填空题15.【答案】16.【答案】117.【答案】25四、解答题18.【答案】（1）解：，由，，可得，所以，，所以（2）解：因为，由正弦定理可得，，从而可得，，即，因为，所以，，所以，所以19.【答案】（1）证明：侧面为正三角形，为的中点，，底面是边长为的正方形，侧面为正三角形，，为的中点.，，，，，平面，平面，平面平面（2）解：以为原点，为轴，过作的平行线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量，则，取，得，设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为：20.【答案】（1）解：数列中，，，且..时，.，可得.时成立.（2）解证明：时，..，时也成立.综上可得：21.【答案】（1）证明：由抛物线的方程可得，准线方程：，设，由抛物线的方程可得，所以在处的切线的斜率为：，所以在处的切线方程为：，令，可得，即，所以，而到准线的距离，由抛物线的性质可得所以，，可证得：（2）解：设直线的方程为：，，，直线与抛物线联立，整理可得：，，即，，，，所以AB的中点坐标为：，所以线段AB的中垂线方程为：，由题意中垂线过，所以，即，①由抛物线的性质可得：，所以，即，②设，，的中点的纵坐标为，所以以AD为直径的圆与直线m的相交弦长的平方为：，要使以AD为直径的圆截得的弦长为定值则可得，时相交弦长的平方为定值，即所以E到直线AB的距离为：，而弦长，所以，将①代入可得，设为偶函数，只看的情况即可，令，当，，单调递增；当，，单调递减，所以且上，为最大值，所以的最大值为：22.【答案】（1）解：，所以，所以函数在处的切线方程为：，即（2）解：根据题意得，，即，为方程的根，，解得，所以，，所以，令，，，，，当时，，单调递增.当时，，单调递减.所以，所以，所以（3）解：根据题意得，方程只有一个根，即，只有一个根，令，有唯一零点，当趋近于时，趋近于，趋近于时，趋近于，下面证明恒成立，若存在，使得，所以存在，，使得，，，则与至少有两个交点，矛盾.由对于任意，只有一个解，得为上的增函数，所以，得，令，，则，所以在上单调递增，在上单调递减，，得11 / 11。
2020届浙江省台州市温岭中学高三下学期3月模拟考试数学试卷及解析
2020届浙江省台州市温岭中学高三下学期3月模拟考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)一､选择题1.设集合{}1,2,3,4,5,6A =,{}2,3,4B =,{}|13C x R x =∈-<≤,则()A C B =（ ）A. {}2,3B. {}2,3,4C. {}1,2,3,4D. {}2,3,4,5【答案】C【解析】求出集合,直接计算即可.【详解】解：集合{}1,2,3,4,5,6A =,{}2,3,4B =, {}|13C x R x =∈-<≤,则(){}{}{}1,2,32,3,41,2,3,4A C B ⋂⋃=⋃=,故选：C.2.已知,x y 是非零实数,则“x y >”是“11x y <”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】 因为11x y <,所以00x y x y xy xy >⎧->⇒⎨>⎩或0x y xy <⎧⎨<⎩ ,所以x y >是“11x y <”的既不充分也不必要条件,选D点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合,例如“p ⇒q ”为真,则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ,q ⇒p 与非p ⇒非q ,p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ,则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ,则A 是B 的充要条件．3.双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为110︒,则C 的离心率为（ ） A. 2sin 20︒B. 2cos20︒C. 1sin 20︒D. 1cos 20︒【答案】C【解析】由双曲线C 的一条渐近线的倾斜角为110︒,得tan110b a -=︒,所以tan 70b a =︒,C 的离心率222c a b e a a +==代入求值即可. 【详解】解：双曲线C 的一条渐近线的倾斜角为110︒,所以tan 70b a=︒, ∴C 的离心率222211tan 70sin 20c a b e a a +===+︒=︒. 故选：C.4.如图,某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形,则该多面体的体积（ ）A. 23B. 1C. 2D. 3。
2020届浙江省台州市温岭中学高三下学期3月第二次高考模拟数学试题(word无答案)
2020届浙江省台州市温岭中学高三下学期3月第二次高考模拟数学试题一、单选题(★) 1 . 已知全集.集合.则（）A．B．C．D．(★) 2 . 已知是虚数单位，则（）A．1B．C．D．2(★) 3 . 已知是公比不为1的等比数列，且依次构成等差数列，则公比为（）A．B．2C．D．(★) 4 . 已知实数满足则“ ”是“ ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★) 5 . 设是三个互不重合的平面，是两条互不重合的直线，则下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则(★) 6 . 若正实数，满足，则的最小值为（）A．2B．C．5D．(★★) 7 . 是边的中点，、是线段上两动点，且.则的最小值是（）A．B．C．1D．(★) 8 . 安排5名班干部周一至周五值班，每天1人，每人值1天，若甲、乙两人要求相邻两天值班，甲、丙两人都不排周二，则不同的安排方式有（）A．13B．18C．22D．28(★★) 9 . 双曲线分别为左、右焦点，过右焦点的直线与双曲线同一支相交于两点.若，且，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2(★★★★) 10 . 函数，则下列结论中不正确的是（）A．曲线存在对称中心B．曲线存在对称轴C．函数的最大值为D．二、双空题(★) 11 . 已知实数、满足条件，则的最小值为__________，最大值为__________.(★) 12 . 展开式中的系数是15，则展开式的常数项为__________，展开式中有理项的二项式系数和为__________.(★) 13 . 盒子中装有8个除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黑球3个，若取到红球记2分，取到黑球记1分，现从盒子中任取3个，记总分为__________，__________.(★★) 14 . 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________，表面积为__________.三、填空题(★★) 15 . 中，内角的对边分别为，已知的面积为，则的周长为__________.(★★) 16 . 已知圆、为圆上两个动点，满足为线段的中点，.当在圆上运动时，存在某个位置使为钝角，则实数的取值范围是__________.(★★★★) 17 . 设函数，若对任意的负实数和实数，总有使得，则实数的取值范围是__________.四、解答题(★★) 18 . 已知函数在时取到最大值2.（1）求函数的解析式；（2）若，求的值.(★★) 19 . 在直角三角形中，、分别在线段、上，.沿着将折至如图，使.（1）若是线段的中点，试在线段上确定点的位置，使面；（2）在（1）条件下，求与平面所成角的正弦值.(★★) 20 . 已知数列满足：.（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；（2）记、分别为数列、的前项和.求证：对任意.(★★★★) 21 . 点是抛物线内一点，是抛物线的焦点，是抛物线上任意一点，且已知的最小值为2.（1）求抛物线的方程；（2）抛物线上一点处的切线与斜率为常数的动直线相交于，且直线与抛物线相交于、两点.问是否有常数使？(★★★★) 22 . 已知函数.（1）求证：当时，；（2）记，若有唯一零点，求实数的取值范围.。
2020年高考模拟试卷浙江省高考数学全真模拟试卷(3月) 含解析
2020年高考模拟高考数学全真模拟试卷（3月份）一、选择题1．设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，则（∁U A）∪B＝（）A．∅B．{1，2，3，4}C．{2，3，4}D．{0，11，2，3，4}2．从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B﹣PA﹣C的余弦值是（）A．B．C．D．3．某棱柱的三视图如图示，则该棱柱的体积为（）A．3B．4C．6D．124．若函数f（x）＝的图象和直线y＝ax有四个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A．（﹣，4）B．（0，4）C．（﹣，0）D．（﹣，0）∪（0，4）5．若x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的最大值是（）A．﹣7B．﹣1C．5D．76．已知随机变量X的分布列如表：X135P0.40.1x 则X的方差为（）A．3.56B．C．3.2D．7．双曲线x2﹣y2＝1右支上一点P（a，b）到直线l：y＝x的距离d＝．则a+b＝（）A．﹣B．C．或﹣D．2或﹣28．已知数列{a n}满足，n∈N*，且a2+a4+a6＝9，则＝（）A．B．3C．﹣3D．9．若[x]表示不超过x的最大整数，则f（x）＝[x]﹣x，（x∈R）的值域是（）A．[0，1）B．（﹣1，1）C．[﹣1，1]D．（﹣1，0] 10．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．在圆内接四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝3，AD＝4，则△ABC的面积为．12．设函数，，则函数的最小值为；若，使得a2﹣a≥f（x）成立，则实数a的取值范围是．13．在二项式（2x﹣）6的展开式中，所有项的二项式系数之和是，含x2项的系数是．14．函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f（x）的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当x∈[﹣1，1]时，y的取值范围是；②如果对任意x∈[a，b]（b＜0），都有y∈[﹣2，1]，那么b的最大值是．15．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足||＝，则||+2||的最小值为．16．已知a，b∈R，f（x）＝e x﹣ax+b，若f（x）≥1恒成立，则的取值范围是17．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且CD+PD ＝3．若四棱锥P﹣ABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为；当四棱锥P﹣ABCD的体积取得最大值时，二面角A﹣PC﹣D的正切值为．三、解答题：共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，．（1）若ω＝1，，且对任意的，都有，求实数m的取值范围；（2）若，，且f（x）在单调递增，求ω的最大值．19．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点．（Ⅰ）求证：平面B1FC∥平面EAD；（Ⅱ）求证：BC1⊥平面EAD．20．设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n＝2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n＝0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|＝1．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”的前k项和为S k（k＝1，2，3，…，n），试证：|S k|≤．21．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，P为该抛物线上的一个动点．（1）当|PF|＝2时，求点P的坐标；（2）过F且斜率为1的直线与抛物线交与两点AB，若P在弧AB上，求△PAB面积的最大值．22．已知函数f（x）＝﹣x3+x2+x+a，g（x）＝2a﹣x3（x∈R，a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）求函数f（x）的极值．（3）若任意x∈[0，1]，不等式g（x）≥f（x）恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，则（∁U A）∪B＝（）A．∅B．{1，2，3，4}C．{2，3，4}D．{0，11，2，3，4}【分析】根据全集U及A，求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．解：∵全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，∴∁U A＝{3，4}，则（∁U A）∪B＝{2，3，4}，故选：C．2．从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B﹣PA﹣C的余弦值是（）A．B．C．D．【分析】由题意画出图形，作出二面角B﹣PA﹣C的平面角，设PE＝a，求解直角三角形得到EG、EF、FG的长度，再由余弦定理得答案．解：如图，在PA上任取一点E，在平面APB内过E作EF⊥PA交PB于F，在平面APC内过E 作EG⊥PA交PC于G，连接GF，设PE＝a，在Rt△PEG中，∵∠EPG＝60°，∴PG＝2a，GE＝a，同理求得PF＝2a，EF＝a，则GF＝2a，在△FGE中，由余弦定理得：cos∠FEG＝＝．故选：C．3．某棱柱的三视图如图示，则该棱柱的体积为（）A．3B．4C．6D．12【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，进而可得答案．解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积S＝×（2+4）×2＝6，棱柱的高为1，故棱柱的体积V＝6．故选：C．4．若函数f（x）＝的图象和直线y＝ax有四个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A．（﹣，4）B．（0，4）C．（﹣，0）D．（﹣，0）∪（0，4）【分析】根据分段函数的表达式，先得到x＝0是f（x）与y＝ax的一个根，利用参数分离法构造函数h（x），得到h（x）与y＝a有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可．解：当x＞0时，由f（x）＝ax得2x2lnx＝ax，得a＝2xlnx，当x≤0时，由f（x）＝ax得﹣x3﹣4x2＝ax，此时x＝0是方程的一个根，当x≠0时，a＝﹣x﹣4x，设h（x）＝，当x＞0时，h′（x）＝2lnx+2x＝2lnx+2＝2（1+lnx），由h′（x）＞0得1+lnx＞0得lnx＞﹣1，得x＞此时函数为增函数，由h′（x）＜0得1+lnx＜0得lnx＜﹣1，得0＜x＜，此时函数为减函数，即当x＝时，h（x）取得极小值h（）＝2×ln＝﹣，当x＜0时，h（x）＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，作出h（x）的图象如图：要使f（x）与直线y＝ax有四个不同的公共点，等价为h（x）与y＝a有3个不同的交点，则a满足﹣＜a＜0或0＜a＜4，即实数a的取值范围是（﹣，0）∪（0，4），故选：D．5．若x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的最大值是（）A．﹣7B．﹣1C．5D．7【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝3x﹣y表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．解：不等式组表示的平面区域如图所示，由解得A（2，1）当直线z＝3x﹣y过点A（2，1）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值5．故选：C．6．已知随机变量X的分布列如表：X135P0.40.1x 则X的方差为（）A．3.56B．C．3.2D．【分析】先求得x的值，然后计算出EX，再利用方差公式求解即可．解：根据随机变量分布列的性质，知0.4+0.1+x＝1，所以x＝0.5，EX＝0.4+0.3+2.5＝3.2，DX＝2.22×0.4+0.22×0.1+1.82×0.5＝3.56，故选：A．7．双曲线x2﹣y2＝1右支上一点P（a，b）到直线l：y＝x的距离d＝．则a+b＝（）A．﹣B．C．或﹣D．2或﹣2【分析】P（a，b）点在双曲线上，则有a2﹣b2＝1，即（a+b）（a﹣b）＝1．根据点到直线的距离公式能够求出a﹣b的值，注意a＞b，从而得到a+b的值．解：∵P（a，b）点在双曲线上，∴有a2﹣b2＝1，即（a+b）（a﹣b）＝1．∵A（a，b）到直线y＝x的距离为，∴d＝＝，∴|a﹣b|＝2．又P点在右支上，则有a＞b，∴a﹣b＝2．∴a+b＝，故选：B．8．已知数列{a n}满足，n∈N*，且a2+a4+a6＝9，则＝（）A．B．3C．﹣3D．【分析】首先利用关系式的两边取对数求出数列的通项公式，进一步得到数列为等差数列，最后求出结果．解：数列{a n}满足，两边取对数得到，整理得a n+1﹣a n＝2（常数），所以数列{a n}是以2为公差的等差数列．则a2+a4+a6＝3a4＝9，整理得a4＝3，所以a7＝a4+2（7﹣4）＝3+6＝9，故a5+a7+a9＝3a7＝27，所以．故选：C．9．若[x]表示不超过x的最大整数，则f（x）＝[x]﹣x，（x∈R）的值域是（）A．[0，1）B．（﹣1，1）C．[﹣1，1]D．（﹣1，0]【分析】可设n≤x＜n+1，从而得出[x]＝n，先可得出﹣n﹣1＜﹣x≤﹣n，从而可求出[x]﹣x的范围，即得出f（x）的值域．解：设n≤x＜n+1，则[x]＝n；∴﹣n﹣1＜﹣x≤﹣n；∴﹣1＜[x]﹣x≤0；∴f（x）的值域为（﹣1，0]．故选：D．10．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质即可得到结论．解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，若a⊥b，则α⊥β不一定成立，故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选：A．二、填空题：本题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．在圆内接四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝3，AD＝4，则△ABC的面积为．【分析】利用余弦定理可得AC，cos B，再利用三角形面积计算公式即可得出．解：AC2＝32+42﹣2×3×4cos D＝52+62﹣2×5×6cos B，cos B+cos D＝0．∴AC2＝，∴cos B＝，可得sin B＝＝．∴△ABC的面积S＝×＝．故答案为：．12．设函数，，则函数的最小值为2；若，使得a2﹣a≥f（x）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．【分析】由已知结合基本不等式可求函数的最小值；由，使得a2﹣a≥f （x）成立，可得a2﹣a≥f（x）min，然后解不等式可求．解：∵，由基本不等式可得，＝2，当且仅当x＝即x＝1时取得最小值2，∵，使得a2﹣a≥f（x）成立，∴a2﹣a≥f（x）min，∴a2﹣a≥2，解不等式可得，a≥2或a≤﹣1，故a的范围为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞]．故答案为：2；（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞]．13．在二项式（2x﹣）6的展开式中，所有项的二项式系数之和是64，含x2项的系数是240．【分析】先利用二项式系数的性质求得n＝6，再利用二项展开式的通项公式求得含x2项的系数．解：在二项式（2x﹣）6的展开式中，所有项的二项式系数之和是2n＝26＝64，而通项公式为T r+1＝•（﹣1）r 26﹣r•x6﹣2r，令6﹣2r＝2，求得r＝2，可得含x2项的系数是•24＝240，故答案为：64；240．14．函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f（x）的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当x∈[﹣1，1]时，y的取值范围是[1，2]；②如果对任意x∈[a，b]（b＜0），都有y∈[﹣2，1]，那么b的最大值是﹣2．【分析】①根据f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，结合图象可得y的取值范围．②当x≥0时，设抛物线的方程为y＝ax2+bx+c，求解解析式，根据f（x）是定义域为R的偶函数，可得x＜0的解析式，令y＝1，可得x对应的值，结合图象可得b的最大值．解：①根据f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，当x∈[﹣1，1]时，值域为x∈[0，1]时相同，可得y的取值范围是[1，2]．②当x≥0时，设抛物线的方程为f（x）＝ax2+bx+c，图象过（0，1），（1，2），（3，﹣2），带入计算可得：a＝﹣1，b＝2，c＝1，∴f（x）＝﹣x2+2x+1，当x＜0时，﹣x＞0．∴f（﹣x）＝﹣x2﹣2x+1即f（x）＝﹣x2﹣2x+1．令y＝1，可得1＝﹣x2﹣2x+1．解得：x＝﹣2．结合图象可得b的最大值为﹣2．故答案为：[1，2]；﹣2．15．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足||＝，则||+2||的最小值为．【分析】建立坐标系，设A（1，0），B（0，1），D（1，1），设＝，＝，则||+2||＝CD+2BC，构造相似三角形，设E（1，），可得△AEC∽△ACD，所以||+2||＝CD+2BC＝2（BC+CE）≥2BE＝．解：如图，A（1，0），B（0，1），D（1，1），设＝，＝，则向量满足||＝，设＝，所以点C为以A为圆心，以为半径的圆上的一点，所以||＝|﹣|＝|CD|，同理2||＝2|BC|，取点E（1，），则，又因∠CAE＝∠DAC，所以△AEC∽△ACD，所以，即CD＝2CE，所以||+2||＝CD+2BC＝2CE+2BC＝2（BC+CE），由三角形的三边关系知2（BC+CE）≥2BE＝2＝2×＝．故填：．16．已知a，b∈R，f（x）＝e x﹣ax+b，若f（x）≥1恒成立，则的取值范围是[﹣1，+∞）【分析】先根据导数和函数的最值得关系，以及f（x）≥1恒成立，可得当a＞0时，b ≥alna﹣a+1，代入≥＝lna+﹣2，构造函数g（a）＝lna+﹣2，a＞0，利用导数求出函数的最值即可解：∵f（x）＝e x﹣ax+b，∴f′（x）＝e x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，则f（x）单调递增，f（x）≥1不恒成立，当a＞0时，令f′（x）＝e x﹣a＝0，解得x＝lna，当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna+b，∵f（x）≥1恒成立，∵a﹣alna+b≥1∴b≥alna﹣a+1，∴≥＝lna+﹣2，设g（a）＝lna+﹣2，a＞0∴g′（a）＝﹣＝，令g′（a）＝0，解得a＝1，当a∈（0，1）时，g′（a）＜0，函数g（a）单调递减，当x∈（1，+∞）时，g′（a）＞0，函数g（a）单调递增，∴g（a）min＝0+1﹣2＝﹣1，∴≥﹣1，故答案为：[﹣1，+∞）17．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且CD+PD ＝3．若四棱锥P﹣ABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为6π；当四棱锥P﹣ABCD的体积取得最大值时，二面角A﹣PC﹣D的正切值为．【分析】设CD＝x（0＜x＜3），则PD＝3﹣x，四棱锥P﹣ABCD可补形为一个长方体，球O的球心为PB的中点，然后求解球O的表面积推出最值；四棱锥的体积为V＝（0＜x＜3），利用函数的导数，求解PD＝1，过D作DH⊥PC于H，连接AH，则∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．求解即可．解：设CD＝x（0＜x＜3），则PD＝3﹣x，因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD，所以AB⊥PD，又PD⊥AC，所以PD⊥平面ABCD，则四棱锥P﹣ABCD可补形为一个长方体，球O的球心为PB的中点，从而球心O的表面积为：＝3π[（x﹣1）2+2]≥6π．四棱锥的体积为V＝（0＜x＜3），则V′＝﹣x2+2x，当0＜x＜2时，V′＞0，当2＜x＜3时，V′＜0，所以V max＝V（2）此时AD＝CD＝2，PD＝1，过D作DH⊥PC于H，连接AH，则∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．∵DH＝＝，∴tan∠AHD＝＝．故答案为：6π；．三、解答题：共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，．（1）若ω＝1，，且对任意的，都有，求实数m的取值范围；（2）若，，且f（x）在单调递增，求ω的最大值．【分析】（1）ω＝1，φ＝时，函数f（x）＝sin（x+），不等式化为m≥﹣2sin2x+sin x；求出g（x）＝﹣2sin2x+sin x，在x∈[0，]的最大值即可；（2）根据三角函数的图象与性质，结合题意列方程和不等式，即可求出ω的最大值．解：（1）ω＝1，φ＝时，函数f（x）＝sin（x+），则y＝f（x﹣）+f（2x+）＝sin[（x﹣）+]+sin[（2x+）+]＝sin x+cos2x ＝1﹣2sin2x+sin x；不等式f（x﹣）+f（2x+）﹣m≤1，可化为m≥﹣2sin2x+sin x；设g（x）＝﹣2sin2x+sin x，x∈[0，]，则g（x）＝﹣2+，且x∈[0，]时，sin x∈[0，]，所以sin x＝时，g（x）取得最大值是，所以实数m的取值范围是m≥；（2）若，则x＝是f（x）的对称轴，即ω•+φ＝kπ+，k∈Z；又，则﹣ω+φ＝kπ，k∈Z；所以φ＝，ω＝6k+，k∈Z；又f（x）在单调递增，则，解得ω≤2；综上知，ω的最大值是．19．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点．（Ⅰ）求证：平面B1FC∥平面EAD；（Ⅱ）求证：BC1⊥平面EAD．【分析】（I）根据直三棱柱的结构特征及已知中直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，结合D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点，由三角形的中位线定理，易得AE ∥FB1，DE∥B1C，进而由面面平行的判定定理得到平面B1FC∥平面EAD；（II）根据直三棱柱的结构特征及已知中直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，结合D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点，我们可判断出△ABC是正三角形，进而得到AD⊥BC1，DE⊥BC1，结合线面垂直的判定定理即可得到BC1⊥平面EAD．【解答】证明：（Ⅰ）由已知可得AF∥B1E，AF＝B1E，∴四边形AFB1E是平行四边形，∴AE∥FB1，…（1分）∵AE⊄平面B1FC，FB1⊂平面B1FC，∴AE∥平面B1FC；…又D，E分别是BC，BB1的中点，∴DE∥B1C，…∵ED⊄平面B1FC，B1C⊂平面B1FC，∴ED∥平面B1FC；…∵AE∩DE＝E，AE⊂平面EAD，ED⊂平面EAD，…∴平面B1FC∥平面EAD．…（Ⅱ）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴C1C⊥面ABC，又∵AD⊂面ABC，∴C1C⊥AD．…又∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，D是BC边中点，∴△ABC是正三角形，∴BC⊥AD，…而C1C∩BC＝C，CC1⊂面BCC1B1，BC⊂面BCC1B1，∴AD⊥面BCC1B1，…故AD⊥BC1．…∵四边形BCC1B1是菱形，∴BC1⊥B1C，…而DE∥B1C，故DE⊥BC1，…由AD∩DE＝D，AD⊂面EAD，ED⊂面EAD，得BC1⊥面EAD．…20．设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n＝2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n＝0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|＝1．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”的前k项和为S k（k＝1，2，3，…，n），试证：|S k|≤．【分析】（1）数列，0，为三阶期待数列，数列，﹣，，为四阶期待数列．（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，由于a1+a2+…+a2013＝0，可得a1007＝0，a1008＝d，对d分类讨论，利用等差数列的通项公式即可得出．（Ⅲ）当k＝n时，显然|S n|＝0成立；当k＜n时，根据条件①得：S k＝a1+a2+…+a k ＝﹣（a k+1+a k+2+…+a n），即|S k|＝|a1+a2+…+a k|＝|a k+1+a k+2+…+a n|，再利用绝对值不等式的性质即可得出．解：（1）数列，0，为三阶期待数列，数列，﹣，，为四阶期待数列．（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，∵a1+a2+…+a2013＝0，∴＝0，∴a1+a2013＝0，即a1007＝0，∴a1008＝d，当d＝0时，与期待数列的条件①②矛盾，当d＞0时，据期待数列的条件①②可得a1008+a1009+…+a2013＝，∴1006d+d＝，即d＝，∴a n＝a1007+（n﹣1007）d＝（n∈N*，n≤2013），当d＜0时，同理可得a n＝，（n∈N*，n≤2013）．（Ⅲ）当k＝n时，显然|S n|＝0成立；当k＜n时，根据条件①得：S k＝a1+a2+…+a k＝﹣（a k+1+a k+2+…+a n），即|S k|＝|a1+a2+…+a k|＝|a k+1+a k+2+…+a n|，∴2|S k|＝|a1+a2+…+a k|+|a k+1+a k+2+…+a n|≤|a1|+|a2|+…+|a k|+|a k+1|+…+|a n|＝1，∴|S k|（k＝1，2，…，n）．21．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，P为该抛物线上的一个动点．（1）当|PF|＝2时，求点P的坐标；（2）过F且斜率为1的直线与抛物线交与两点AB，若P在弧AB上，求△PAB面积的最大值．【分析】（1）当|PF|＝2时，利用抛物线的定义，即可求点P的坐标；（2）先求出|AB|，再计算抛物线上点到直线的最大距离，即可求出△PAB的面积的最大值．解：（1）设P（x，y），则y+1＝2，∴y＝1，∴x＝±2，∴P（±2，1）；（2）过F的直线方程为y＝x+1，代入抛物线方程，可得y2﹣6y+1＝0，可得A（2﹣2，3﹣2），B（2+2，3+2），∴|AB|＝•|2+2﹣2+2|＝8．平行于直线l：x﹣y+1＝0的直线设为x﹣y+c＝0，与抛物线C：x2＝4y联立，可得x2﹣4x﹣4c＝0，∴△＝16+16c＝0，∴c＝﹣1，两条平行线间的距离为＝，∴△PAB的面积的最大值为＝4．22．已知函数f（x）＝﹣x3+x2+x+a，g（x）＝2a﹣x3（x∈R，a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）求函数f（x）的极值．（3）若任意x∈[0，1]，不等式g（x）≥f（x）恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）利用导数来求出函数的单调区间．（2）利用导数来求出函数的极值，利用（1）的结论．（3）不等式g（x）≥f（x）恒成立转化为不等式a≥x2+x恒成立，h（x）＝x2+x，x∈[0，1]，利用导数，求出h（x）的最大值，问题得以解决．解：（1）f（x）＝﹣x3+x2+x+a，f'（x）＝﹣3x2+2x+1，．．．（2）由（1）可知，当时，函数f（x）取得极小值，函数的极小值为当x＝1时，函数f（x）取得极大值，函数的极大值为f（1）＝a+1，（3）若任意x∈[0，1]，不等式g（x）≥f（x）恒成立，即对于任意x∈[0，1]，不等式a≥x2+x恒成立，设h（x）＝x2+x，x∈[0，1]，则h'（x）＝2x+1，∵x∈[0，1]，∴h'（x）＝2x+1＞0恒成立，∴h（x）＝x2+x在区间[0，1]上单调递增，∴[h（x）]max＝h（1）＝2∴a≥2，∴a的取值范围是[2，+∞）。
高常考题—函数的性质(含解析)
函数的性质一、题型选讲题型一 、 函数的奇偶性正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性.填空题，可用特殊值法解答，但取特值时，要注意函数的定义域．例1、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2xf x =，则当0x >时，()f x =（ ） A ．2x - B ．2x - C ．2x --D ．2x例2、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知定义在[]5,12m m --上的奇函数()f x ，满足0x >时，()21x f x =-，则()f m 的值为（ ）A ．-15B ．-7C ．3D ．15例3、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）若函数()2ln 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则使()1f x <的x 的取值范围为（ ） A ．11,1e e -⎛⎫- ⎪+⎝⎭B ．10,1e e -⎛⎫⎪+⎝⎭C ．1,11e e -⎛⎫⎪+⎝⎭D ．11,(1,)1e e -⎛⎫-⋃+∞ ⎪+⎝⎭例4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =题型二、函数的单调性已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数.简称：同增异减.例5、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）已知函数22,1()1,1ax x x f x ax x ⎧+≤=⎨-+>⎩在R 上为单调増函数，则实数a 的取值范围为________．例6、函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是例7、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当12x x ≠时，有1212[()()]()0f x f x x x --<恒成立，若(31)(2)0f x f ++>，则x 的取值范围是________．题型三、 函数的周期性1、若()f x 是一个周期函数，则()()f x T f x +=，那么()()()2f x T f x T f x +=+=，即2T 也是()f x 的一个周期，进而可得：()kT k Z ∈也是()f x 的一个周期2、函数周期性的判定：（1）()()f x a f x b +=+：可得()f x 为周期函数，其周期T b a =- （2）()()()f x a f x f x +=-⇒的周期2T a = （3）()()()1f x a f x f x +=⇒的周期2T a = （4）()()f x f x a k ++=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a = （5）()()f x f x a k ⋅+=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a =例8、(2019通州、海门、启东期末）已知函数f(x)的周期为4，且当x ∈(0，4]时，f(x)＝⎩⎨⎧cos πx 2，0<x≤2，log 2⎝⎛⎭⎫x －32，2<x≤4.则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12的值为________．例9、(2017南京三模）已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数． 当x ∈[2，4]时，f (x )＝|log 4(x －32)|，则f (12)的值为 ▲ ．题型四 函数的对称性函数的对称性要注意一下三点：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a bx +=轴对称 （3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。
2020年浙江省高考数学全真模拟试卷(1)(3月份)(有解析)
2020年浙江省高考数学全真模拟试卷(1)(3月份)一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知全集U ={l,2，3，4，5，6}，集合A ={l,2，4，6}，集合B ={l,3，5}，则A ∪(∁U B)=( )A. {l,2，3，4，5，6}B. {1,2，4，6}C. {2,4，6}D. {2,3，4，5，6}2. 把边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当B 、D 两点距离为a 时，二面角B −AC −D 的大小为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°3. 某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为( )A. 4√3B. 4√33C. 8√3D. 8√334. 已知函数f(x)={1−x,x ≤0log 2x,x >0，若关于x 的方程f(f(x))=m 有两个不同的实数根x 1，x 2，则x 1+x 2的取值范围为( )A. [2,3)B. (2,3)C. [2ln2,4)D. (2ln2,4)5. 已知实数x ，y 满足条件{x −y +1≥0y +1≥0x +y +1≤0，那么2x −y 的最大值为( )A. −3B. −2C. 1D. 26. 已知随机变量X 的分布列如表，则D(X)=( )X 0 1 3P 0.2 0.2 yA. 0.4B. 1.2C. 1.6D. 27. 若双曲线x 2−y 2=2右支上一点(s,t)到直线y =x 的距离为2，则s −t 的值等于( )A. 2B. 2√2C. −2D. −2√28.已知数列{a n}满足a1=32，a n+1=3a na n+3，则a2019=()A. 32020B. 20203C. 20193D. 202139.已知[x]表示不超过x的最大整数，则f(x)=√1−log2[x]的定义域为()A. (0,3]B. [0,3)C. (1,3]D. [1,3)10.“α≠β”是“cosα≠cosβ”的()条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分又不必要二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）11.在ΔABC中，已知AB=√3，AC=1，A=30∘，则ΔABC的面积为________________．12.若向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=8，|b⃗ |=12，则|a⃗+b⃗ |的最小值是__________．13.若函数f(x)，g(x)满足：∀x∈(0,+∞)，均有f(x)>x，g(x)<x成立，则称“f(x)与g(x)关于y=x分离”.已知函数f(x)=a x与g(x)=log a x(a>0，且a≠1)关于y=x分离，则a的取值范围是______．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14.已知a,b为正实数，且a+b=2，则2a +1b+1的最小值为(1)，(a2+3)(b2+3)的最小值为(2)．15.在二项式(x−√x )7的展开式中，所有项系数之和为，含x4的项的系数是．16.已知定义域为R的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)=−(x−1)2+1． ①当x∈[−1,0]时，f(x)的取值范围是(1); ②当函数f(x)的图像在直线y=x的下方时，x的取值范围是(2)．17.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，ABCD是边长为1的正方形，D1B与平面ABCD所成的角为45∘，则棱AA1的长为；二面角B−DD1−C的大小为．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.知函数f(x)=x2+2xsinθ−1,x∈[−√32,12],θ∈[0,2π)．(1)当θ=π6时，求f(x)的最值；(2)若f(x)是单调函数，求θ的取值范围．19.如下图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B，D1D，DA的中点．(1)求证：平面AD1E//平面BGF．(2)求证：D1E⊥AC．20.在等差数列{a n}中，a4+a7+a10=17，a4+a5+⋯+a14=77，求此数列的通项公式．若a k=13，求k的值．21.已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10，求点P的坐标．(a∈R).22.已知函数f(x)=ax+(1−a)lnx+1x(1)当a=0时，求f(x)的极值；(2)当a<0时，求f(x)的单调区间．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵全集U={1,2，3，4，5，6}，集合A={1,2，4，6}，集合B={1,3，5}，∴∁U B={2,4，6}，则A∪(∁U B)={1,2，4，6}．故选：B．根据全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的并集即可此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.答案：D解析：解：如图，连接AC，BD交于O，则DO⊥AC，BO⊥AC，∴∠BOD为二面角B−AC−D的平面角，∵正方形ABCD的边长为a，则BO=DO=√2a，2a，BD=a，可得BO2+OD2=BD2，在△BOD中，由BO=DO=√22则∠BOD=90°．∴二面角B−AC−D的大小为90°．故选：D．由题意画出图形，求出二面角B−AC−D的平面角，解三角形得答案．本题考查二面角的平面角及其求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．3.答案：B解析：本题是基础题，考查三视图的视图能力，计算能力，空间想象能力，常考题型．依据三视图的数据，求出几何体的体积．解：三视图复原的几何体是以俯视图为底面，高为2的三棱锥， 所以三棱锥的体积为：13×12×2×2√3×2=4√33． 故选：B ． 4.答案：A解析：解：函数f(x)={1−x,x ≤0log 2x,x >0，的图象如下：当m ≥1时，f(t)=m ，有两个解t 1，t 2，其中t 1≤0，t 2≥2，f(x)=t 1有一个解，f(x)=t 2有两个解，不符合题意．当m <0时，f(t)=m ，有一个解t ，且t ∈(0,1)，f(x)=t 有一个解，不符合题意．当0≤m <1时，f(t)=m ，有一个解t ，且t ∈[1,2)，f(x)=t 两个不同的实数根x 1，x 2，符合题意． 可得1−x 1=log 2x 2=t ，且t ∈[1,2)，x 1+x 2=2t −t +1，令g(t)=2t −t +1，g′(t)=2t lnt −1>0，故g(t)在[1,2)单调递增，∴g(t)∈[2,3)．故选：A ．画出函数f(x)={1−x,x ≤0log 2x,x >0，的图象，可求得当0≤m <1时，f(t)=m ，有一个解t ，且t ∈[1,2)，f(x)=t 两个不同的实数根x 1，x 2，符合题意．可得1−x1=log2x=t，且t∈[1,2)，x1+x2=2t−t+1，令g(t)=2t−t+1，利用导数求解．本题考查了函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．5.答案：C解析：解：由约束条件作出图形：易知可行域为一个三角形，验证当直线过点A(0,−1)时，z取得最大值z=2×0−(−1)=1，故选：C．先根据约束条件画出可行域，z=2x−y表示斜率为2的直线在y轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．本题是考查线性规划问题，准确作图以及利用几何意义求最值是解决问题的关键，属中档题．6.答案：C解析：解：由题意0.2+0.2+y=1，所以y=0.6所以E(X)=1×0.2+3×0.6=2所以D(X)=4×0.2+1×0.2+1×0.6=1.6故选C．利用概率和为1，确定y的值，计算出期望，即可求得方差．本题考查期望、方差和分布列中各个概率之间的关系，考查学生的计算能力，属于基础题．7.答案：B解析：解：∵双曲线x2−y2=2右支上一点(s,t)到直线y=x的距离为2，∴d=√2=2，∴|s−t|=2√2．又P点在右支上，则有s>t，∴s−t=2√2．故选B．根据点到直线的距离公式能够求出s−t的值．本题考查双曲线的性质和点到直线的距离，解题时要注意公式的灵活运用．8.答案：A解析：本题考查了数列的通项公式与数列的递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．运用数列的递推公式可得数列{1an }是以首项为1a1=23，公差为13的等差数列，进而由等差数列的通项公式可求出a2019．解：∵a n+1=3a na n+3⇒1a n+1=13+1a n⇒1a n+1−1a n=13，∴数列{1a n }是以首项为1a1=23，公差为13的等差数列，∴1a2019=23+(2019−1)×13=20203，∴a2019=32020．故选A．9.答案：D解析：本题主要考查函数定义域的求解，结合根式和对数的性质建立不等式关系是解决本题的关键，属基础题．根据函数表达式建立不等式，结合[x]的定义进行求解即可．解：要使函数有意义，则1−log2[x]≥0，即log2[x]≤1且[x]>0得0<[x]≤2，则1≤x<3，即函数的定义域为[1,3)，故选：D．10.答案：B解析：解：若“α≠β”则“cosα≠cosβ”的逆否命题是：若“cosα=cosβ”则“α=β”，∵α=β⇒cosα=cosβ，又当cosα=cosβ时，α=±β+2kπ，k∈Z，∴cosα=cosβ推不出α=β，∴“cosα=cosβ”是“α=β”的必要非充分条件，即“α≠β”是“cosα≠cosβ”的必要不充分条件．故选：B．根据充分必要条件的定义结合三角函数的性质判断即可．本题考查必要条件、充分条件和充要条件的求法，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．11.答案：√34解析：本题考查三角面积公式，根据题意利用三角形面积公式SΔABC=12AB·AC·sinA，即可求得结果．解：S△ABC=12AB·ACsinA=12×√3×1×sin30°=√34，故答案为√34．12.答案：4解析：本题考查了平面向量数量积中模长公式的应用问题，属于基础题．设a⃗与b⃗ 的夹角为θ，则θ∈[0,π]，利用|b⃗ |−|a⃗|≤|a⃗+b⃗ |≤|a⃗|+|b⃗ |，得出θ=π时，|a⃗+b⃗ |取得最小值．解：设a⃗与b⃗ 的夹角为θ，则θ∈[0,π]，∵|a⃗|=8，|b⃗ |=12，∴|b⃗ |−|a⃗|≤|a⃗+b⃗ |≤|a⃗|+|b⃗ |，即4≤|a⃗+b⃗ |≤20，∴θ=π时，|a⃗+b⃗ |的最小值为4．故答案为4．13.答案：(e1e,+∞)解析：解：由题意，a>1．故问题等价于a x>x(a>1)在区间(0,+∞)上恒成立．构造函数f(x)=a x−x，则f′(x)=a x lna−1，由f′(x)=0，得x=log a(log a e)，x>log a(log a e)时，f′(x)>0，f(x)递增；0<x<log a(log a e)，f′(x)<0，f(x)递减．则x=log a(log a e)时，函数f(x)取到最小值，故有a log a(log a e)−log a(log a e)>0，解得a>e1e．故答案为：(e1e,+∞)．由题意可得y=a x与y=log a x互为反函数，a>1，故问题等价于a x>x(a>1)在区间(0,+∞)上恒成立，利用导数进行解决．本题考查恒成立问题关键是将问题等价转化，从而利用导数求函数的最值求出参数的范围．14.答案：3+2√2316解析：本题考查了利用基本不等式求最值，构造13(a+b+1)=1，由“1”的用法利用基本不等式得2a+1b+1的最小值，由a2+b2=4−2ab可得(a2+3)(b2+3)=(ab−3)2+12，由2=a+b≥2√ab，得0<ab≤1，即可得出最小值．解：由a+b=2，则13(a+b+1)=1，所以2a +1b+1=13(a+b+1)(2a+1b+1)=13[3+2(b+1)a+ab+1]≥13(3+2√2(b+1)a·ab+1)=3+2√23，当且仅当2(b+1)a =ab+1时等号成立，由a+b=2得a2+b2=4−2ab，所以(a2+3)(b2+3)=a2b2+3(a2+b2)+9=a2b2+3(4−2ab)+9=(ab−3)2+12，由a+b=2得2=a+b≥2√ab，得0<ab≤1，当且仅当a=b=1等号成立，所以当ab=1时，(ab−3)2+12取得最小值为16，即(a2+3)(b2+3)的最小值为16，故答案为3+2√23；16．15.答案：−184解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，赋值法求所有项的系数和，属于基础题．赋值法求出所有项的系数之和，写出二项展开式的通项公式，令7−32r=4，得r=2，再代入公式中即可求出含x4项的系数．解：二项式(x−√x )7的展开式中，令x=1，所有项的项式系数之和为(1−2)7=−1，二项展开式的通项公式T r+1=C7r(x)7−rx)r=C7r·(−2)r·x7−32r，由7−32r=4，得r=2，∴含x4项的系数为C72·(−2)2 =21×4=84．故答案为−1；84．16.答案：[−1,0](−1,0)∪(1,+∞)解析：本题考查函数的奇偶性的应用，二次函数的图像以及性质的应用，属于中档题．①由函数的奇偶性，以及二次函数在x ∈[0,1]时的值域即可求得在x ∈[−1,0]时的值域； ②由函数的图像可得x 的取值范围．解：①当x >0时，f(x)=−(x −1)2+1，∴当x ∈[0,1]时，f (x )∈[0,1]，因为f(x)为奇函数，∴当x ∈[−1,0]时，f(x)的取值范围是[−1,0]；②函数f(x)的图像如图所示，当函数f(x)的图像在直线y =x 的下方时，得x 的取值范围是(−1,0)∪(1,+∞).故答案为①[−1,0] ；② (−1,0)∪(1,+∞).17.答案：√245∘解析：(1)由D 1B 与平面ABCD 所成的角为45∘可知∠D 1BD =45∘，又易知在等腰直角三角形DD 1B 中，DD 1=DB =√2，所以AA 1=√2.(2)BD ⊥DD 1，CD ⊥DD 1，∠BDC 即为所求二面角的平面角，为45∘． 18.答案：解：(1)当θ=π6时，f(x)=x 2+x −1=(x +12)2−54，又x ∈[−√32,12]， 所以当x =−12时，f(x)min =−54；x =12时，f(x)max =−14；(2)因为f(x)=x 2+2xsinθ−1的对称轴为x =−sinθ，又欲使f(x)在x ∈[−√32,12]上单调，则−sinθ≤−√32或−sinθ≥12，又θ∈[0,2π)，所以θ∈[π3,2π3]∪[7π6,11π6]．解析：本题主要考查三角函数性质的应用，熟悉三角函数求最值的方法是解答本题的关键，属于中档题，(1)由题意得，直接运用三角函数和二次函数的性质即可求解；(2)由题意得，直接运用三角函数的图像与性质即可求解．19.答案：证明：(1)∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1F=BE，且D1F//BE，∴四边形BED1F是平行四边形，∴D1E//BF．∵D1E不在平面BGF内，BF⊂平面BGF，∴D1E//平面BGF．∵FG是△DAD1的中位线，∴FG//AD1．又AD1不在平面BGF内，FG⊂平面BGF，∴AD1//平面BGF．∵AD1∩D1E=D1，∴平面AD1E//平面BGF.(2)如图，连接BD，B1D1，∵底面是正方形，∴AC⊥BD．∵D1D⊥AC，D1D∩BD=D，∴AC⊥平面BDD1B1．∵D1E⊂平面BDD1B1，∴ D 1E ⊥AC.解析：(1)由于E ，F 分别是B 1B 和D 1D 的中点可证得D 1E//BF 再由线面平行的性质定理得到D 1E//平面BGF.同理证得FG//AD 1再由线面平行的性质定理得到AD 1//平面BGF ，再由面面平行的性质定理得到平面AD 1E//平面BGF.(2)由已知可证得AC ⊥平面BDD 1B 1.再由线面垂直的性质定理得到D 1E ⊥AC.20.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 4+a 7+a 10=17，a 4+a 5+a 6+⋯+a 14=77．∴3a 1+18d =17，14a 1+14×132d −(3a 1+3d )=77，化为{3a 1+18d =17a 1+8d =7，解得a 1=53，d =23． ∴a n =53+23(n −1)=2n+33．(2)∵13=a k =2k+33，解得k =18．解析：本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 4+a 7+a 10=17，a 4+a 5+a 6+⋯+a 14=77.可得3a 1+18d =17，14a 1+14×132d −(3a 1+3d )=77，联立解出即可．(2)由(1)可得：13=a k=2k+33，解得k．21.答案：解：设p(x,y)由抛物线的焦半径公式知|PF|=x+p2，又p=1，所以10=x+1，解得x=9，又P在y2=4x上，解出y=±6．所以P(9,6)或(9,−6)解析：本题考察抛物线的焦半径公式，利用焦半径公式|PF|=x+p2求出P的横坐标，然后P在抛物线上，求出纵坐标。
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绝密★启用前
2020届浙江省台州市温岭中学高三下学期3月模拟测试数学
试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题
1．设集合{}1,2,3,4,5,6A =，{}2,3,4B =，{}|13C x R x =∈-<≤，则
()A C B =I U （ ）
A ．{}2,3
B ．{}2,3,4
C ．{}1,2,3,4
D ．{}2,3,4,5
答案：C
求出集合，直接计算即可. 解：
解：集合{}1,2,3,4,5,6A =，{}2,3,4B =，
{}|13C x R x =∈-<≤，
则(){}{}{}1,2,32,3,41,2,3,4A C B ⋂⋃=⋃=， 故选：C. 点评：
考查集合的交集，并集运算，属于基础题. 2．已知,x y 是非零实数，则“x y >”是“11
x y
<”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
答案：D
因为11x y <,所以00x y x y
xy xy >⎧->⇒⎨>⎩或0
x y xy <⎧⎨<⎩ ,所以x y >是“11x y <”的既不
充分也不必要条件,选D
点睛：充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．
2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是
B 的充要条件．
3．双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的一条渐近线的倾斜角为110︒，则C 的离心率
为（ ） A ．2sin 20︒ B ．2cos20︒
C ．
1
sin 20︒
D ．
1
cos 20︒
答案：C
由双曲线C 的一条渐近线的倾斜角为110︒，得tan110b a -
=︒，所以tan 70b a
=︒，C 的离心率22
2
c a b e a a
+==代入求值即可.
解：
解：Q 双曲线C 的一条渐近线的倾斜角为110︒，所以
tan 70b
a
=︒， ∴C 的离心率22
2211tan 70sin 20c a b e a a +===+︒=︒
. 故选：C. 点评：
本题主要考查了双曲线的性质，属于基础题.
4．如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的体积（ ）
A ．
2
3
B ．1
C ．2
D ．3
由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，PA ⊥底面ABCD ，且1PA =，底面
ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥，//AD BC ，2AB AD ==，1BC =，再由棱锥体积
公式求解. 解：
解：由三视图还原原几何体如图，
该几何体为四棱锥，PA ⊥底面ABCD ，且1PA =，
底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥，//AD BC ，2AB AD ==，1BC =，
∴该多面体的体积()11
1221132
V =⨯
+⨯⨯=. 故选：B.
点评：
本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，属于中档题. 5．若x ，y 满足叫2y x ≤-，且1x ≤，则2x y +的最小值为（ ） A ．7- B ．5-
C ．1
D ．4
答案：B
作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可得到结论. 解：
解：作出x ，y 满足2y x ≤-，且1x ≤，对应的平面区域如图： 由2z x y =+得2y x z =-+ 平移直线2y x z =-+，
由图象可知当直线2y x z =-+经过点A 时，直线的截距最小，此时z 最小，
由21y x
x -=-⎧⎨
=-⎩
，解得()1,3A --，此时()()2135z =⨯-+-=-，则2x y +的最小值
为：5-.
点评：
本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题. 6．若函数()2ln 1f x a x ⎛⎫
=+
⎪-⎝⎭
是奇函数，则使()1f x <的x 的取值范围为（ ） A ．11,
1e e -⎛
⎫
- ⎪+⎝⎭ B ．10,
1e e -⎛⎫
⎪+⎝⎭
C ．1,11e e -⎛⎫
⎪+⎝⎭
D ．11,
(1,)1e e -⎛
⎫
-⋃+∞ ⎪+⎝
⎭
答案：A
由奇函数的定义可得()00f =，变形可得a 的值，即可得函数的解析式，由复合函数的单调性判断方法可得()f x 在()1,1-上为增函数，求出满足()1f x =的x 的值，据此分析可得答案. 解：
解：根据题意，函数()2ln 1f x a x ⎛⎫
=+
⎪-⎝⎭
是奇函数，则()00f =， 即2ln 010a ⎛⎫
+=
⎪+⎝⎭
，可得1a =-， 则()21ln 1ln 11x f x x x +⎛⎫⎛⎫
=-=
⎪ ⎪
--⎝⎭⎝⎭
，有101x x +>-，解可得11x -<<， 即函数的定义域为()1,1-， 设11x
t x +=
-，则ln y t =， 12111
x t x x +==----，则t 在()1,1-上为增函数，而ln y t =在()0,∞+上为增函数，则
()f x 在()1,1-上为增函数，
若()1f x =，即
11x e x +=-，解可得1
1
e x e -=+， 则
()1f x <，即()11e f x f e -⎛⎫< ⎪+⎝⎭
，解得1
1e x e -<
+， 又由11x -<<，则有1
11
e x e --<<+， 即x 的取值范围为11,1e e -⎛⎫
- ⎪+⎝⎭
； 故选：A. 点评：
本题考查函数的奇偶性的性质及其应用，涉及不等式的解法，属于基础题. 7．已知c a >，随机变量ξ，n 的分布列如表所示，则（ ）
A ．E E ξη>，D D ξη<
B ．E E ξη>，D D ξη=
C ．E E ξη>，
D D ξη> D ．
E E ξη<，D D ξη=
答案：B
求出数学期望，作差比较大小，和利用方差的性质，得到结论. 解：
解：234E a b c ξ=++，
432E a b c η=++，
()20E E c a ξη-=->，
由6ξη+=，所以()6D D D ξηη=-=，
故选：B. 点评：
本题考查数学期望和方差的性质及其应用，属于中档题.
8．如图，在直角梯形ABCD 中，BC CD ⊥，2AB BC ==，4CD =，E 为CD 中点，M ，N 分别为AD ，BC 的中点，将ADE V 沿AE 折起，使点D 到1D ，M 到1M ，在翻折过程中，有下列命题： ①1M M 的最小值为1； ②1//M N 平面1CD E ；
③存在某个位置，使1M E DE ⊥； ④无论1M 位于何位置，均有1M N AE ⊥. 其中正确命题的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
答案：D
通过连接直线1,MN M N 等直线，结合直线与平面。
平面与平面的平行与垂直，转化判断4个命题的真假即可. 解：
在直角梯形ABCD 中，BC CD ⊥， 2AB BC ==，4CD =，
E 为CD 中点，M ，N 分别为AD ，BC 的中点，
将ADE V 沿AE 折起，使点D 到1D ，M 到1M ，
在翻折过程中，当1D 与C 重合时，1M N 的最小值为1；所以①正确；
连接MN 交AE 于F 连接1M F ，可以证明平面1FM N //平面1CD E ，所以1 M N //平面1CD E ，所以②正确；
当1D E ⊥平面ABCD 时，可得DE ⊥平面1D AE ，所以1M E DE ⊥，所以③正确；。