1.4.2正弦函数、余弦函数的性质

.
分析:利用三角函数的单调性比较两个同名 三角函数值的大小,可以用诱导公式将已知 角化为同一单调区间内的角,然后再比较大 小.
解:(1)因为
2


10


18
0
正弦函数y=sinx在区间 2 , 0 上是增函数,
所以
sin sin . 18 10
y
-4π
-3π -2π -π
1
O
y=sinx,x∈R
π 2π 3π 4π
-1
x
正弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都 是它的周期,最小正周期是2π.
y
7 2
1
5 2 3 2
y=cosx,x∈R
O
2
3 2 5 2
-4π

2-1
7 4π 2
x
余弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都 是它的周期,最小正周期是2π.
例2 求下列函数的周期: 1 y 3cos x, x R; 2 y sin 2 x, x R;
1 3 y 2sin x , x R. 6 2
1 1 2sin x 4 2sin x 2 6 6 2 2 1 =2sin x 6 2
单调性 奇偶性
最小正周期
3 在 2k , 2k k Z 递减 2 2
在2k , 2k k Z 递减
奇函数
偶函数
2π
2π
作业:
课本第53页习题1.4A组3、4、5
(2)令z=2x,使函数y=-3sinz,z∈R取得最大 值的z的集合是
z | z 2k , k Z 2
由
2x z x


4
2
2 k
k
因此使函数y=-3sin2x,x∈R取得最大值的x 的集合 x | x k , k Z
w
思考 “如果函数y=f(x)的周期是T,那么函数
T y=f(ωx)的周期是 ”能否成立？ w
令z=ωx
有y=f(z)且周期为T
T z T wx T w x w
f z f z T
T y=f(ωx)的周期是 w
T f w x f w x w
1 2k x 2k 2 2 3 2

小结
正弦函数 定义域 值 域 余弦函数
R [-1,1]
在 2k , 2k k Z 递增 2 2
R [-1,1]
在 2k , 2k k Z 递增

17 cos 4
23 cos 5
1 例5 求函数 y sin x , x 2 , 2 3 2
的单调递增区间
1 令z x 2 3
函数y=sinz的单调递增区间是
- 2 +2k , 2 2k
8 T 3 T
2 y cos 4 x, x R;
1 3 y cos x, x R; 2

2
T 2
1 4 y sin x , x R. T 6 4 3
探究
函数yAsinwxj及函数yAcoswxj的周期 其中A,w,j为常数,且A≠0, w0的周期仅与自 变量的系数有关. 如何利用自变量的系数表示上述函数的周期呢 令z=wxj,z∈R y=Asinz,z∈R及y=Asinz,z∈R的周期都是2π 2 z 2 w x j 2 w x j w 2 自变量x只要并且至少要增加到 x w
正弦函数、 余弦函数的性质
y
-4π -3π -2π -π
1
O
y=sinx,x∈R
π 2π 3π 4π
-1
x
y
7 2
1
5 2 3 2
y=cosx,x∈R
O
2
3 2 5 2
-4π

2-1
7 4π 2
x
(1)周期性
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使 得当x取定义域内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x) 那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期.
(2)
23 cos 5 17 cos 4
23 3 cos cos 5 5
因为
17 cos cos 4 4 3 0 4 5
且函数y=cosx,x∈[0,π]是减函数,所以
3 cos cos 4 5
2k k Z 余弦函数当且仅当 x=_____________时取 2k k Z 得最大值1,当且仅当x=_______________时 取得最小值-1.

2 k k Z
2 k k Z
例3 下列函数有最大值、最小值吗?如果有, 请写出取最大值、最小值时的自变量x的集 合,并说出最大值、最小值分别是什么. (1)y=cosx+1,x∈R; (2)y=-3sin2x,x∈R. 解: (1)使函数y=cosx+1,x∈R取得最大值的 x的集合,就是使函数y=cosx,x∈R取得最大 值的x的集合 {x|x=2kπ,k∈Z} 取最小值时x的集合 {x|x=(2k+1)π,k∈Z}
(2)奇偶性
-4π
-3π -2π -π
y
1
O
y=sinx,x∈R 关于原点对称
π 2π 3π 4π
-1
x
sin(-x)=-sinx
y
7 2
正弦函数是奇函数
1
关于y轴对称 y=cosx,x∈R
O
2
-4π
5 2
3 2


2-1
3 2
5 2
7 4π 2
x
cos(-x)=cosx
余弦函数是偶函数
(3)单调性
1

2
y

O -1
2

3 x 2
正弦的一个周期上
x sinx


2
·· · ↗
0 0
·· · ↗
3 2 , 2
2
·· π · 0
·· · ↘
3 2
-1
1
↘
-1
正弦函数在每一个闭区间
2 2k , 2 2k k Z
2
·· π · ↘ -1
0
0
余弦函数在每一个闭区间
2k ,2k k Z
上都是增函数,其值从-1增大到1; 在每一个闭区间
2k , 2k k Z
上都是减函数,其值从1减小到-1
(4)最大值与最小值


正弦函数当且仅当 x=_____________时取 2 得最大值1,当且仅当x=_____________时取 2 得最小值-1;
所以由周期函数的定义可知,原函数的周 期为4π
y 3cos x, x R; y sin 2 x, x R;
2π π
4π
1 y 2sin x , x R. 6 2
这些函数的周期与解析式中哪些量有关?
与自变量的系数有关
练习 求下列函数的周期
3 1 y sin x, x R; 4
上都是增函数,其值从-1增大到1; 在每一个闭区间 3 2k , 2k k Z
2 2
上都是减函数,其值从1减小到-1
y
1
2
O
-1
2

x
余弦的一个周期上[-π,π]
x sinx -π -1 ·· · ↗


2
·· · ↗
0 1
·· · ↘

例2 求下列函数的周期: 1 y 3cos x, x R; 2 y sin 2 x, x R;
1 3 y 2sin x , x R. 6 2
解: (1)因为3cos(x+2π)=3cosx 所以由周期函数的定义可知,原函数的周 期为2π (2)因为sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x, 所以由周期函数的定义可知,原函数的周 期为π
函数值才能重复出现
T
2
w
是使等式
A sin w x T j A sin w x j , A cos w x T j A cos w x j ,
成立的最小正数
函数yAsinwxj,x∈R 及函数yAcoswxj x∈R 2 的周期 T
4
取得最小值的x的集合
x | x k , k Z 4

例4 利用三角函数的单调性,比较下列各 组数的大小:
1 sin 与sin ; 18 10 23 17 2 cos 与cos 5 4