《用公式法解一元二次方程》一元二次方程ppt教材课件
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用公式法求解一元二次方程课件 (共25张PPT)
复习引入
（4） 4 x2 3x 2 0.
3 1 解：两边同时除以4，得 x x 0 . 4 2 3 1 2 移项，得 x x= . 4 2 2 2 3 1 3 3 2 配方，得 x x = ， 4 8 2 8 2 3 23 即 x = . 8 64 ∴此方程无实数根.
2
2 b b 4ac 0. 即： x 2 2a 4a 2
b b2 4ac 移项，得 x = . 2 2a 4a
2
下面该怎么 运算？有条 件限制吗？
探索新知
ax2 bx c 0 a 0
2 b b 4ac 2 当 b 4ac ≥0时，开平方得 x = . 2 2a 4a
（1）x 5x 4 0；
2
∵ b 4ac ＞0，∴方程有两个不相等的实数根.
2
（2） 4x2 7 6 x；
2 b 4ac ＜0，∴方程没有实数根. ∵
（3） 2 x 2 6 x 3 0.
2
2 ∵ b 4ac ＝0 ，∴方程有两个相等的实数根.
1 解：两边都除以2，得：x 2 x 0 . 2
2
1 移项，得 x 2 x= . 2
2
2
1 配方，得 x 2 x 1= 1 . 2 3 2 即 x 1 = . 2
6 6 ∴ x1 1 ，x2 =1+ . 2 2
复习引入
（2）x2 1.5= 3x；
2
分析：（1）确定a,b,cLeabharlann 值；（2）判断方程是否有根；
（3）写出方程的根.
新知应用
（1）x 7 x 18 0； 例1 解方程：
用公式法解一元二次方程课件
例1：解方程 $x^2 - 6x + 9 = 0$。
根据公式，计算判别式 $Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 times 1 times 9 = 0$。
因为 $Delta = 0$，所以方程 有两个相等的实数根，即 $x_1 = x_2 = frac{-b}{2a} = frac{6}{2} = 3$。
准确性：直接利用公式求解，避免了因式 分解可能出现的错误。
05
06
简便性：对于某些复杂的一元二次方程， 公式法比因式分解更简便。
02
一元二次方程的标准形式
标准形式的表达式
01
一元二次方程的一般形式为 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a, b, c$ 是 常数，$a neq 0$。
当 $Delta = 0$ 时，方程 有两个相等的实数根（即 一个重根）；
判别式的计算可以通过公式 $Delta = p^2 - 4q$ 进行， 其中 $p$ 和 $q$ 是标准形式 中的系数。
当 $Delta < 0$ 时，方程 没有实数根，而是有两个 共轭复数根。
03
公式法求解一元二次方程
公式法的推导过程
求解方法
此时方程没有实数根，但有两个 共轭的复数根，即 $x_1=frac{-
b+sqrt{Delta}i}{2a}$ 和 $x_2=frac{-b-
sqrt{Delta}i}{2a}$。
示例
$x^2+2x+5=0$，判别式 $Delta=-16<0$，解得 $x_1=-
1+2i$ 和 $x_2=-1-2i$。
$left(x + frac{b}{2a}right)^2 = frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$。
《解一元二次方程》一元二次方程PPT课件(公式法)
配方,得
即
x2
b
c
x .
a
a
2
2
b
c b
b
x2 x ,
a
a 2a
2a
b b 2 4ac
.
x
2
2a
4a
2
②
b b 2 4ac
对于 x
. ②
2
2a
4a
2
因为a≠0,
由②式得
∴ 原方程无实数根.
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1.变形: 化已知方程为一般形式;
2.确定系数:确定a,b,c的值（注意符号）;
3.计算: 求出b2-4ac的值;
4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
★ 根的判别式
b b 2 4ac
3 x 2 6 x 5 0;
（1）
（2）
4 x 2 -x-9 0.
2、用配方法解方程的一般步骤有哪些？
一般步骤
方法
一移
移项
将常数项移到右边，含未知数的项移到左边
二化
二次项系数化为1
左、右两边同时除以二次项系数
三配
配方
左、右两边同时加上一次项系数一半的平方
四开
开平方
利用平方根的意义直接开平方
＝
−1 ± 1.96 −1 ± 1.4
＝
，
2 × 0.3
0.6
2
∴ 1＝ ，2＝ − 4.
3
(2)6x2－11x＋4＝2x－2；
用公式法求解一元二次方程ppt课件
题 k=0 总有实数根，∴Δ=（2 ）2+4k≥0，解得 k≥-7，
型
突 ∴k 的取值范围是 k≥-7；
破
（2）∵ 方程有两个相等的实数根，
∴Δ=（2 ）2+4k=0，∴k=-7，代入方程，
得x2+2 x+7=0，即（x+ ）2=0，解得 x1=x2=- ．
2.3 用公式法求解一元二次方程
突
破 地的面积为144 m2，则 x=______．
2.3 用公式法求解一元二次方程
重
难
题
型
突
破
［解析］ 根据题意，得（18-2x）（15-x）=144
解得 x=21（不合题意，舍去）或 x=3，
∴ 道路的宽为 3 m．
［答案］ 3
2.3 用公式法求解一元二次方程
变式衍生
重
难
如图，在宽为 20 m，长为 30 m 的矩形地面上修建两
错
易 2×100-4x）cm，宽为（40-2x）cm，根据题意得（1 000混 2×100-4x）（40-2x）=15200， 整理得 x2-220x+2100=0
分
析 ，解得 x1=210，x2=10.因为当 x=210 时，1000-2×1004x＜0，40-2x＜0，即画心的长与宽为负值，不符合实际意
清
单
解 用的最大长度为 15 m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围
读 成，篱笆总长为 24 m．若计划在花圃中间再用一道篱笆隔
成两个小矩形，且围成的花圃面积为50 m2，问能否成功围
成花圃？
2.3 用公式法求解一元二次方程
重 ■题型 甬道问题
难
例
如图，世纪广场有一块矩形绿地，AB=18 m，
型
突 ∴k 的取值范围是 k≥-7；
破
（2）∵ 方程有两个相等的实数根，
∴Δ=（2 ）2+4k=0，∴k=-7，代入方程，
得x2+2 x+7=0，即（x+ ）2=0，解得 x1=x2=- ．
2.3 用公式法求解一元二次方程
突
破 地的面积为144 m2，则 x=______．
2.3 用公式法求解一元二次方程
重
难
题
型
突
破
［解析］ 根据题意，得（18-2x）（15-x）=144
解得 x=21（不合题意，舍去）或 x=3，
∴ 道路的宽为 3 m．
［答案］ 3
2.3 用公式法求解一元二次方程
变式衍生
重
难
如图，在宽为 20 m，长为 30 m 的矩形地面上修建两
错
易 2×100-4x）cm，宽为（40-2x）cm，根据题意得（1 000混 2×100-4x）（40-2x）=15200， 整理得 x2-220x+2100=0
分
析 ，解得 x1=210，x2=10.因为当 x=210 时，1000-2×1004x＜0，40-2x＜0，即画心的长与宽为负值，不符合实际意
清
单
解 用的最大长度为 15 m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围
读 成，篱笆总长为 24 m．若计划在花圃中间再用一道篱笆隔
成两个小矩形，且围成的花圃面积为50 m2，问能否成功围
成花圃？
2.3 用公式法求解一元二次方程
重 ■题型 甬道问题
难
例
如图，世纪广场有一块矩形绿地，AB=18 m，
公式法解一元二次方程课件
公式法解一元二次方程 PPT课件
本课件将详细介绍公式法解一元二次方程的步骤、应用和几何意义，以及解 答思路和优缺点分析。同时还包括丰富的例题演示和实战演练。
一元二次方程的定义和特点
一元二次方程是形如ax²+ bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知数，a ≠ 0。 它的特点是含有二次项和一次项，并且未知数的最高次幂为2。
求解一元二次方程的两种方法的比较
公式法
适用于一切一元二次方程，计算简便，但需要 记住公式。
配方法
适用于特定的一元二次方程，计算较为繁琐， 但思维灵活。
一元二次方程在实际生活中的 应用
• 物理学中的运动学问题。 • 工程学中的曲线设计。 • 经济学中的成本与收益分析。 • 金融学中的利润计算。
求解一元二次方程时需要注意的事项
• 确保方程按标准形式排列。 • 计算判别式时，注意繁简幂运算和符号的处理。 • 对于存在浮点数解的情况，注意精度问题。 • 在使用根的公式计算解时，注意正负号的运算。
实数解和虚数解的区别
一元二次方程的实数解是指方程的解为实数，虚数解是指方程的解为虚数。 虚数解以i表示，例如3 + 4i。
常见一元二次方程的例子
例子1
x² + 3x - 4 = 0
例子3
3x² - 6x + 3 = 0
例子2
2x² - + 2 = 0
例子4
x² + 4x + 4 = 0
公式法解一元二次方程的步骤
1. 将方程按标准形式ax²+ bx + c = 0排列。 2. 计算判别式△ = b²- 4ac。 3. 根据△的值来判断方程的根的情况。 4. 如果△ > 0，则方程有两个不相等的实数根。 5. 如果△ = 0，则方程有两个相等的实数根。 6. 如果△ < 0，则方程没有实数解，存在两个虚数根。
本课件将详细介绍公式法解一元二次方程的步骤、应用和几何意义，以及解 答思路和优缺点分析。同时还包括丰富的例题演示和实战演练。
一元二次方程的定义和特点
一元二次方程是形如ax²+ bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知数，a ≠ 0。 它的特点是含有二次项和一次项，并且未知数的最高次幂为2。
求解一元二次方程的两种方法的比较
公式法
适用于一切一元二次方程，计算简便，但需要 记住公式。
配方法
适用于特定的一元二次方程，计算较为繁琐， 但思维灵活。
一元二次方程在实际生活中的 应用
• 物理学中的运动学问题。 • 工程学中的曲线设计。 • 经济学中的成本与收益分析。 • 金融学中的利润计算。
求解一元二次方程时需要注意的事项
• 确保方程按标准形式排列。 • 计算判别式时，注意繁简幂运算和符号的处理。 • 对于存在浮点数解的情况，注意精度问题。 • 在使用根的公式计算解时，注意正负号的运算。
实数解和虚数解的区别
一元二次方程的实数解是指方程的解为实数，虚数解是指方程的解为虚数。 虚数解以i表示，例如3 + 4i。
常见一元二次方程的例子
例子1
x² + 3x - 4 = 0
例子3
3x² - 6x + 3 = 0
例子2
2x² - + 2 = 0
例子4
x² + 4x + 4 = 0
公式法解一元二次方程的步骤
1. 将方程按标准形式ax²+ bx + c = 0排列。 2. 计算判别式△ = b²- 4ac。 3. 根据△的值来判断方程的根的情况。 4. 如果△ > 0，则方程有两个不相等的实数根。 5. 如果△ = 0，则方程有两个相等的实数根。 6. 如果△ < 0，则方程没有实数解，存在两个虚数根。
用公式法求解一元二次方程PPT教学课件
2020/10/16
8
练一练，巩固新知
三、一个直角三角形三边的长为三个连 续的偶数，求这个三角形的三条边长。
2020/10/16
9
感悟与收获：
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式是什么？
2、如何判断一元二次方程根的情况？ 3、用公式法解方程应注意的问题是什么？ 4、你在解方程的过程中有哪些小技巧？
2020/10/16
5
比一比谁简洁
（3）3x2+2x+1=0
解:a=3,b=2,c=1
b2-4ac =22-4×2×1 =-4<0
∴ 方程无解
x2 2 x 1 0 33
x2 2 x (1)2 1 1 0 3 3 93
(x 1)2 2 0 39
(x 1)2 2
3
9
∵
2 0 9
3
公式的推导
一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0) 的解为：
b b20 )
2020/10/16
4
练一练，巩固新知
一、判断下列方程解的情况： （1）x2-7x=18 （2）2x2+3=7x
（3）3x2+2x+1=0 （4）9x2+6x+1=0 （5）16x2+8x=3 （6） 2x2-9x+8=0
∴原202方0/10程/16 无解
6
比一比谁简洁
解列方程 2x2+3=7x
解:2x2-7x+3=0
a=2, b=-7, c=3 ∵b2-4ac=(-7)2-4×2×3
=25>0
∴
b b2 4ac x
《用公式法求解一元二次方程》ppt课件
比你优秀的人不可怕！
可怕的是 比你优秀的人却比你
更努力！！
当堂练习
1.用公式法解下列方程
(1) x2 -3x–4 = 0;
(2) 2x2 + x–1 = 0;
(3) x2 -2x = 3;
(4) x（x - 6）= 6;
(5) 4x2 + 4x–1 = -10 - 8x;
(6) 2x2 - 7x + 7 = 0.
解：(1) x1=4 , x2 = -1；
解：移项得： a2xbxc
系数化1得：
x2
b a
x
c a
配方得： 整理得：
x2bx(b)2c(b)2 a 2 a a 2 a
(x b)2 b2 4ac
2a
4a2
问题1：接下来我们能用直接开平方法求解吗？
问题2：什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能呢？
a0 4a2 ＞0 b24a42ac的符b号 24由 a决 c 定
1 (2) x1= 2
, x2 = -1；
(3)x1 = 3 , x2 = -1； (4) x1=3 2 , x2 = 3 2 ;
(5) x1 = x2 =
3 2
；
(6)没有实数根.
课堂小结
1求根公式：xb b2 4ac (a ≠ 0 , b2 - 4ac ≥ 0) 2a
2用公式法解一元二次方程的一般步骤
（1）.将方程化为一般形式； （2）.确定 a, b, c 的值； （3）.求出 b2 - 4ac ； （4）.利用求根公式求解.
课后作业 1、教材习题22.2第4题任选四个用公 式法求解 2、思考与探究（选做） 对于求根公式的推导，若一元二次方 程 a2xb xc0(a0)两边都乘以4a,你 能推导出一元二次方程的求根公式吗
解一元二次方程-公式法 ppt课件
利用公式法解一元二次方程
例题
解析
解方程：x²−4x=7
一般步骤
化为一般式得：x²−4x-7=0
∵ = 1，b=−4，c=−7.
∴△= 2 − 4 =16−(−28)=44＞0.
∴方程有两个不相等的实数根
∴ =
−± 2 −4
2
=
4± 44
2
= 2 ± 11
即
= 2 + 11， = 2 − 11.
x
，
2a
25
5
1
即 x1 1, x2 5 .
典型例题
用公式法解下列方程：
(1) x2 4 x 7 0
(3) 5x 2 3x x+1
(2) 2x2 2 2 x+1 0
(4) x2 17 8x
解: (4) 方程化为一般式 x2 8x 17 0
解析
意.
练习
练习
若关于 x 的一元二次方程 (k-1)x2+2x-2=0 有不相
等实数根，求 k的取值范围．
不解方，判断关于 x 的方程 x²-kx+k-2=0的根的
情况.
练习
若关于 x 的一元二次方程 (k-1)x2+2x-2=0 有不相
等实数根，求 k的取值范围．
k
练习
1
的取值范围为：k＞2且 k
=
=
2
2
2 −4
判别式的应用
例题
关于x的一元二次方程：(m-3)x²-4x-1=0，有
实数根，求m的取值范围？
依题可得
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25
10
4．代入：把有
28
5
x1
65；x2
2.
关数值代入公式
计算; 5．定根：写出 原方程的根．
求根公式 ：x= -b b2 4ac 2a
（a≠0， b2-4ac≥0） 例2．用公式法解方程2x2+5x-3=0
解：a=2 b=5 c= -3 ∴ b2-4ac=52-4×2×（-3）=49
x -5 49 -5 7
2a
4、写出方程的解： x1、x2
随堂 练习 用公式法解下列方程：
（1）2x2-9x+8=0
（2）9x2+6x+1=0
（3）16x2+8x=3
思考题
1、m取什么值时，方程 x2+（2m+1）x+m24=0有两个相等的实数解。
2、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0 ） 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根 为互为相反数？
4
4
x1
-3，x2
1 2
求根公式 ：x= -b b2 4ac 2a
（a≠0， b2-4ac≥0）
例3：用公式法解方程 x2+4x=2
解：移项，得 x2+4x-2=0
a=1 b=4 c= -2 ∴ b2-4ac=42-4×1×（-2）=24
x -4 24 -2 6
4
2
x1
-2+ 2
6 ，x2
二、用配方法解一元二次方程：
(1).2x2 4x 1 0 (2).3x2 12x 1 0 3
公式法
一般地，对于一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）
当b2 4ac 0时,它的根是 : x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式． 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
思考题：
1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）． 当a，b，c 满足什么条件时，方程 的两根为互为相反数？
2、m取什么值时，方程 x2+（2m+1）x+m24=0有两个相等的实数解
用配方法解一元二次方程 2x2+4x+1=0
用配方法解一元二次方程的步骤： 1．把原方程化成 x2+px+q=0的形式． 2．移项整理 得 x2+px=-q 3．在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系数 p的一半的平 方．
-22
6.
用公式法解下列方程： 1、x2 +2x =5
2、 6t2 -5 =13t
例4
解方程： x2 3 2 3x
解： 原方程化为：x2 2 3x 3 0
a 1，b 2 3，c 3
b2 4ac
2
3
2
413 0
x （ 2 3） 0 2 3 3
21
2
x1 x2 3
结论：当 b2 4ac 0 时，一元二次方程有两个
相等的实数根．
小结
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
（1）把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值．
（2）求出b2-4ac的值．
（3）代入求根公式 ：x -b b2 4ac （a≠0， b2-4ac≥0） 2a
（4）写出方程的解：
x1=？， x2=？
2
b
b 4ac
x 2a
4a 2
即
b
b2 4ac
x
2a
2a
特别提醒
一元二次方程的 求根公式
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
当 b2 4ac 0 时，方程有 实数根吗
例 1 解方程： x2 7x 18 0
解：
a 1 b 718） 121﹥0
结论：当b2-4ac=0时，一元二次方程有两 个相等 的实数根.
例 3 解方程： x 21 3x 6
解： x 3 x2 2 6 x 6 3x2 7 x 8 0
3x2 7x 8 0
a 3、 b= - 7、 c= 8 b2 4ac （ 7）2 4 3 8
49 96 - 47 0
原方程无实数根
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用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 4ac 的值，
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解 3、代入求根公式 : x b b2 4ac
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2 bx c 0 （a≠0）
解: 把方程两边都除以 a
x2 b x c 0 aa
移项，得
x2 b x c
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
4a2 0 当 b2 4ac 0 时
公式法
例1、用公式法解方程 5x2-4x-12=0
解： a 5，b 4，c 12
1．变形：化已知 方程为一般形式;
b2 4ac 42 4 5 (12) 256 0. 2．确定系数：
b b2 4ac x
2a
4
256 4 16 .
用a，b，c写出 各项系数;
3．计算：b24ac的值;
一元二次方程
用公式法解一元二次方程
回顾与复习
一、用配方法解下列方程 2x²-12x+10=0
二、用配方解一元二次方程的步骤是什么？ 1.化1:把二次项系数化为1（方程两边都除以二次项系 数）; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
3、已知方程2x²+7x+c=0,方程的根为一个实 数，求c和x的值。
3、解：
a 2,b 7,c c
又b2 4ac 72 4 2 c 0
8c 49,即c 49 8
x1
x2
b 2a
7 2
2
7 4
回顾与复习
一、用配方解一元二次方程的步骤是什么？
移项：把常数项移到方程的右边； 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方； 开方：根据平方根意义，方程两边开平方； 求解：解一元一次方程； 定解：写出原方程的解．
x 7 121 7 11
21
2
∴ x1 9 x2 2
例 2 解方程： x2 3 2 3 x
解：化简为一般形式：x2 2 3 x 3 0 a 1、 b -2 3、 c 3
b2 4ac （ 2 3）2 41 3 0
（- 2 3） x
02
3
3
21
2
∴
x1 x2 3