小学奥数裂项公式汇总

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小学奥数裂项公式汇总

裂项运算常用公式一、分数“裂差”型运算 (1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即b a ⨯1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜b ，那么有: )11(11b a a b b a --=⨯(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+-+⨯=+⨯+⨯)2()1(1)1(121)2()1(1n n n n n n n⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯+-+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯)3()2()1(1)2()1(131)3()2()1(1n n n n n n n n n n二、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a b b a b b a a b a b a 11+=⨯+⨯=⨯+（2）a bb ab a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

裂和：抵消，或凑整三、整数裂项基本公式(1))1()1(31)1(......433221+-=⨯-++⨯+⨯+⨯n n n n n(2) )1()1)(2(41)1()2(......543432321+--=⨯-⨯-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n n (3) )1()1(31)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n n n n n +=+2)1((4) )2)(1()1(41)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n(5) !)!1(!n n n n -+=⨯裂项求和部分基本公式1.求和： 1)1(1......541431321211+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：1111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n2.求和：12)12)(12(1971751531311+=+-++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：12)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n3.求和：13)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：)131231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 13)1311(31+=+-=n n n4.求和：)2111211(31)2(1641531421311+-+-+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：)1111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-+-+-=n n S n )2111211(31)211(21+-+--+=+-+n n n n5.求和：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=)2)(1(12121)2)(1(1543143213211n n n n n S n 证：因为])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n ， ])2)(1(121[21])2)(1(1)1(1[21)431321(21)321211(21++-=++-+++⨯-⨯+⨯-⨯=∴n n n n n n S n特殊数列求和公式2)1(321+=++n n n 212311321n n n n =++++-++-++++ ）（）（2127531n n =-++++）（6)12)(1(21222++=+++n n n n 3)14(3)12)(12(1253122222-⨯=-+=-++++n n n n n n ）（ ()()412121222333+=++=+++n n n n平方差公式 ))((22b a b a b a -+=-完全平方和（/差）公式 2222)(b ab a b a +±=±。

裂项公式大全基本

裂项公式大全基本1.二项展开公式：二项展开公式是裂项公式的基本形式，用于展开一个二项式的幂。

假设有两个实数a和b，以及非负整数n，则二项展开公式如下：(a+b)^n=C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^(n-1)*b^1+C(n,2)*a^(n-2)*b^2+...+C(n,n-1)*a^1*b^(n-1)+C(n,n)*a^0*b^n其中C(n,k)表示组合数，表示从n个元素中选择k个元素的组合的个数。

2.差的平方公式：差的平方公式用于展开一个两个实数的差的平方。

假设有两个实数a 和b，则差的平方公式如下：(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^23.和的平方公式：和的平方公式用于展开一个两个实数的和的平方。

假设有两个实数a 和b，则和的平方公式如下：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^24.三项展开公式：三项展开公式是裂项公式的扩展形式，用于展开一个三项式的幂。

假设有三个实数a、b和c，以及非负整数n，则三项展开公式如下：(a + b + c)^n = Σ(i=0 to n) Σ(j=0 to n-i) C(n, i, j) *a^(n-i-j) * b^i * c^j其中C(n,i,j)表示三项式系数，表示从n个元素中选择i个元素的组合的个数，且这i个元素中的j个选择为c。

5.四项展开公式：四项展开公式是裂项公式的进一步扩展，用于展开一个四项式的幂。

假设有四个实数a、b、c和d，以及非负整数n，则四项展开公式如下：(a + b + c + d)^n = Σ(i=0 to n) Σ(j=0 to n-i) Σ(k=0 to n-i-j) C(n, i, j, k) * a^(n-i-j-k) * b^i * c^j * d^k其中C(n,i,j,k)表示四项式系数，表示从n个元素中选择i个元素的组合的个数，且这i个元素中的j个选择为c，这j个元素中的k个选择为d。

常用的八个裂项公式例题

常用的八个裂项公式例题裂项法是数学中非常实用的一种解题技巧，在计算一些复杂的式子时往往能起到奇效。

下面咱就来好好聊聊常用的八个裂项公式，并且通过例题来加深理解。

咱先来说说第一个裂项公式：$\frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{n} -\frac{1}{n + 1}$ 。

比如有这么一道题：计算$\frac{1}{1\times2} + \frac{1}{2\times3} +\frac{1}{3\times4} + \cdots + \frac{1}{99\times100}$ 。

这道题如果直接计算，那可太麻烦啦。

但是用上咱刚说的裂项公式，就能轻松搞定。

$\frac{1}{1\times2} = 1 - \frac{1}{2}$ ，$\frac{1}{2\times3} =\frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ，$\frac{1}{3\times4} = \frac{1}{3} -\frac{1}{4}$ ，以此类推，最后一项$\frac{1}{99\times100} =\frac{1}{99} - \frac{1}{100}$ 。

把这些式子加起来，中间的项都能相互抵消，最后就剩下$1 -\frac{1}{100} = \frac{99}{100}$ 。

是不是简单多啦？再来看第二个裂项公式：$\frac{1}{n(n + k)} =\frac{1}{k}(\frac{1}{n} - \frac{1}{n + k})$ 。

比如说，计算$\frac{1}{1\times4} + \frac{1}{4\times7} +\frac{1}{7\times10} + \cdots + \frac{1}{97\times100}$ 。

因为这里的$k = 3$ ，所以$\frac{1}{1\times4} = \frac{1}{3}(1 -\frac{1}{4})$ ，$\frac{1}{4\times7} = \frac{1}{3}(\frac{1}{4} -\frac{1}{7})$ ，以此类推。

六种裂项基本公式

六种裂项基本公式(1) 二次方程的裂项公式：设ax²+bx+c=0，则有x= [-b±√(b²-4ac)]/2a(2) 三次方程的裂项公式：设ax³+bx²+cx+d=0，则有x=-[(b+√(b^2-4ac))/2a] [+(b-√(b^2-4ac))/2a](3) 四次方程的裂项公式：设ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0，则有x=[-(b+√(b²-4ac))/2a]+[(b+√(b²-4ac))/2a], [-(b-√(b²-4ac))/2a]+(b-√(b²-4ac))/2a](4) 五次方程的裂项公式：设ax⁵+bx⁴+cx³+dx²+ex+f=0，则有x=[-(b+√(b²-4ac))/2a]+[(b+√(b²-4ac))/2a], [-(b-√(b²-4ac))/2a]+(b-√(b²-4ac))/2a], [-(b+ 2√(5b^2-4ac-2√(10b^3-27a²d+9abc))/ (5a)]+[(b+2√(5b^2-4ac-2√(10b^3-27a²d+9abc))/ (5a)], [-(b-2√(5b^2-4ac-2√(10b^3-27a²d+9abc))/ (5a)]+(b-2√(5b^2-4ac-2√(10b^3-27a²d+9abc))/ (5a)](5) 六次方程的裂项公式：设ax⁶+bx⁵+cx⁴+dx³+ex²+fx+g=0，则有x=[-(b+√(b²-4ac))/2a]+[(b+√(b²-4ac))/2a], [-(b-√(b²-4ac))/2a]+(b-√(b²-4ac))/2a], [-(b+2√(5b²-4ac-2√(10b³ -27a²d+9abc))/ (5a)]+[(b+2√(5b²-4ac-2√(10b³ -27a²d+9abc))/ (5a)], [-(b-2√(5b²-4ac-2√(10b³ -27a²d+9abc))/ (5a)]+(b-2√(5b²-4ac-2√(10b³ -27a²d+9abc))/ (5a)], [-(b+ 3√(b³ -8ac+4b√(b²-4ac))/ (8a)]+[(b+3√(b³ -8ac+4b√(b²-4ac))/ (8a)], [-(b-3√(b³ -8ac+4b√(b²-4ac))/ (8a)]+(b-3√(b³ -8ac+4b√(b²-4ac))/ (8a)]裂项是在多项式函数中，根据特定的基本公式将方程拆解之后得到的解。

小学奥数裂项公式汇总

小学奥数裂项公式汇总1. 一元二次方程：一元二次方程是来自于“二次”，即指二次多项式的方程，此方程只有一个未知变量，解决的时候通常是找出它的两个实数根。

一般的一元二次方程的形式如下：ax2+bx+c=0，其中a、b、c都是实数，而且a不等于0，x表示未知变量，a、b、c用来确定任意的一个一元二次方程。

此方程的解可以用裂项公式来求，公式由x=(-b±√（b2-4ac）)/2a两个解式组成，其中b2-4ac为判别式，若判别式大于0，则此一元二次方程有两个不同的实数根，若判别式等于0，则有两个重根，若判别式小于0，则没有有理数根。

2. 二次不等式：二次不等式是以“二次”为特征的不等式，是指一个二次多项式在单一或双边限制范围内的取值，其一般形式为ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0 。

其中a、b、c都是实数，a不等于0，x表示未知变量。

此不等式的解可以用裂项公式来求，公式由-b-√（b2-4ac）/2a<x<-b+√（b2-4ac）/2a两个解式组成，其中b2-4ac为判别式，若判别式大于0，则满足此二次不等式的解为一个区间，若判别式等于0，则此不等式的解为一个端点，若判别式小于0，则此不等式没有有理数根，是一个无解事件。

3. 一元三次方程：一元三次方程的形式为：ax3+bx2+cx+d=0，其中a、b、c、d为实数，a不等于0，x为未知变量。

这是一个由三次多项式形成的方程，解法有三种：秦九韶算法、降次法和Vieta公式，其中秦九韶算法是求根最经典的方法；而Vieta公式是起到检验求根方法的作用，也可以求出根等信息；降次法是尝试将方程按次数降低，从而将一元三次方程分解成一元二次方程，乘以常数所形成的一个等式组，这样就可以使用上面的一元二次方程的裂项公式来求解。

4. 平方：平方是指某个数字被提取，且其乘方为2的结果数，常用三角形表示。

其求根可以用裂项公式来求，公式由x=±√b两个解式组成，此实数根依然是以b为参数，且包含正数解和负数解，而结果有可能是实数根也有可能是复数根，要从b的正负来判断其结果是什么样。

小学奥数裂项公式大全

小学奥数裂项公式大全裂项公式是指将多项式分解为各个因式之积的一种数学方法，它是数学中最为常用的一种公式之一。

在小学数学中，裂项公式被广泛用于解方程问题，是小学数学学习的重要组成部分。

裂项公式有许多种，小学奥数裂项公式大全是学习小学奥数的重要参考资料，务必要好好掌握。

下面将介绍小学奥数裂项公式大全中的内容。

1、一元二次方程裂项公式。

一元二次方程的裂项公式是 x2 + bx + c = (x + a1)(x + a2)，其中，a1和a2是方程的根，可以通过求解一元二次方程来获得。

2、二元一次方程组裂项公式。

二元一次方程组的裂项公式有两种：一是求解二元一次方程组的代数式，即 x y = a b；二是计算等价式的方法，即 xy = (x + c)(y + d)。

3、三元一次方程组裂项公式。

三元一次方程组的裂项公式如下：x + y + z = a b c，其中a、b、c可以通过求解三元一次方程组来获得。

4、三次方程的裂项公式。

三次方程的裂项公式是 x3 + bx2 + cx + d = (x + a1)(x + a2)(x + a3)，其中a1、a2、a3可以通过求解三次方程来获得。

以上就是小学奥数裂项公式大全内容的简要介绍，希望我们能够真正掌握这些公式，从而做好小学奥数的学习。

从小学开始，学习数学就要掌握公式，其中除了裂项公式外，还有平方公式、立方公式、二次求根公式、二次型方程公式等。

而要想掌握这些公式，就需要我们记住这些公式，并熟练掌握它们的运用。

所以，如果我们想要学好小学数学，就要认真的研究这些公式，将它们仔细记住，并形成自己的思维模式，调整自己的学习思维，从而找到最有效的解题方法。

另外，在解题过程中，我们还要注意遵循一定的解题步骤，遵循具体的解题技巧，这样才能够顺利完成解题，没有遗漏任何内容。

综上所述，小学奥数裂项公式大全是学习小学奥数的重要参考资料，要掌握这些公式，就要认真的研究，将它们记住，并熟练掌握它们的应用。

小学奥数裂项公式汇总

小学奥数裂项公式汇总 Prepared on 24 November 2020裂项运算常用公式一、分数“裂差”型运算(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即ba ⨯1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜b ，那么有:(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：二、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a b b a b b a a b a b a 11+=⨯+⨯=⨯+（2）a bb ab a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

裂和：抵消，或凑整三、整数裂项基本公式 (1))1()1(31)1(......433221+-=⨯-++⨯+⨯+⨯n n n n n(2) )1()1)(2(41)1()2(......543432321+--=⨯-⨯-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n n (3) )1()1(31)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n (4) )2)(1()1(41)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n(5) !)!1(!n n n n -+=⨯裂项求和部分基本公式1.求和： 1)1(1 (541)431321211+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n nn n S n证：1111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n nn n n S n2.求和：12)12)(12(1971751531311+=+-++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：12)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n 3.求和：13)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：)131231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 4.求和：)2111211(31)2(1641531421311+-+-+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：)1111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-+-+-=n n S n 5.求和：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=)2)(1(12121)2)(1(1543143213211n n n n n S n 证：因为])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n ，特殊数列求和公式平方差公式 ))((22b a b a b a -+=-完全平方和（/差）公式 2222)(b ab a b a +±=±。

小学奥数裂项公式汇总资料

裂项运算常用公式一、分数“裂差”型运算(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即b a ⨯1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜b ，那么有: )11(11b a a b b a --=⨯(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+-+⨯=+⨯+⨯)2()1(1)1(121)2()1(1n n n n n n n⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯+-+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯)3()2()1(1)2()1(131)3()2()1(1n n n n n n n n n n二、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a b b a b b a a b a b a 11+=⨯+⨯=⨯+（2）a bb ab a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

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裂项运算常用公式
一、分数“裂差”型运算
(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即b a ⨯1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜b ，那么有: )11(11b a a b b a --=⨯
(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：
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二、分数“裂和”型运算
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
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b a b
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（2）a b
b a
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裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”
分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

裂和：抵消，或凑整
三、整数裂项基本公式
(1))1()1(31
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(2) )1()1)(2(4
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裂项求和部分基本公式
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证：1
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特殊数列求和公式
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平方差公式 ))((22b a b a b a -+=-
完全平方和（/差）公式 2222)(b ab a b a +±=±。