奥数裂项法(含答案)
小学奥数教程-分数裂项计算 (含答案)
教师版
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【考点】分数裂项
【难度】2 星
【题型】计算
【解析】 1 + 1 + 1 + + 1 = 1 × (1 − 1 + 1 − 1 + … + 1 − 1 ）= 50
1×3 3×5 5× 7
99 ×101 2 3 3 5
99 101 101
【答案】 50 101
【巩固】 计算：
【考点】分数裂项
【难度】3 星
【题型】计算
【解析】原式 =1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 = 1 2 5 5 7 7 11 11 16 16 22 22 29 29 2
【答案】 1 2
【例 4】 计算： (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ) ×128 = 8 24 48 80 120 168 224 288
【答案】12
【巩固】 251 + 251 + 251 + + 251 + 251
4 × 8 8 ×12 12 ×16
2000 × 2004 2004 × 2008
【考点】分数裂项
【难度】2 星
【题型】计算
【关键词】台湾，小学数学竞赛，初赛
【解析】 原式
=251 16
×
1 1×
2
+
2
1 ×
裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数)的，但是只要将 x 提取出来即可转化为分子都是 1 的运算。
奥数：1-2-1分数裂项
教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为 观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分 运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分， 列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的 前提，是能力的体现，对学生要求较高。
目加归 知识点拨分数裂项将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法•裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的 观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂 的计算，一般都是中间部分消去的过程， 这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
（1）对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 丄形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a ：：：b ，a =<b那么有代=亡（a 4）（2）对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即:11 1 1 i[ ] n (n 1) (n 2) 2 n (n 1) (n 1)(n 2)11 1n (n 1) (n 2) (n 3) ~3[n (n 1) (n 2)裂差型裂项的三大关键特征:（1） 分子全部相同，最简单形式为都是 1的，复杂形式可为都是 x （x 为任意自然数）的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2） 分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2个分母上的因数“首尾相接”（3） 分母上几个因数间的差是一个定值。
常见的裂和型运算主要有以下两种形式:“裂差”型运算1 n (n 1) (n 2)1n (n 1) (n 2) (n 3)形式的，我们有:_____ 1 ____(n 1) (n 2) (n 3)]“裂和”型运算:(1)a b = a b J 1 ( 2)a2 b2 _ a2 a xb axb a：<b b a axb a>:b裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的” 同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
小学奥数--分数裂项-精选练习例题-含答案解析(附知识点拨及考点)
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
，本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-⨯- 、(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
$知识点拨教学目标分数裂项计算二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
(完整版)裂项相消法求和附答案
裂项相消法利用列项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面剩两项，再就是通项公式列项后，有时需要调整前面的系数，使列项前后等式两边保持相等。
（1）若是{a n }等差数列，则)11.(1111++-=n n n n a a d a a ,)11.(21122n ++-=n n n a a d a a（2）11111+-=+n n n n ）（ （3）)11(1)(1kn n k k n n +-=+（4）)121121(2112)121+--=+-n n n n ）（（（5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n（6）n n n n -+=++111（7）)(11n k n kkn n -+=++ 1.已知数列的前n 项和为， ．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n 项和为．[解析] (1) ……………①时, ……………②①②得:即……………………………………3分在①中令, 有, 即，……………………………………5分故对2.已知{a n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n，S4=2S2+8．（Ⅰ）求公差d的值；（Ⅰ）若a1=1，设T n是数列{}的前n项和，求使不等式T n≥对所有的nⅠN*恒成立的最大正整数m的值；[解析]（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，Ⅰ S4=2S2+8，即4a1+6d=2(2a1+d) +8，化简得：4d=8，解得d=2．……………………………………………………………………4分（Ⅰ）由a1=1，d=2，得a n=2n-1，…………………………………………5分Ⅰ =．…………………………………………6分Ⅰ T n===≥，…………………………………………8分又Ⅰ 不等式T n≥对所有的nⅠN*恒成立，Ⅰ ≥，…………………………………………10分化简得：m2-5m-6≤0，解得：-1≤m≤6．Ⅰ m的最大正整数值为6．……………………………………………………12分3.)已知各项均不相同的等差数列{a n}的前四项和S4=14,且a1,a3,a7成等比数列.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅰ)设T n为数列的前n项和,求T2 012的值.[答案] (Ⅰ)设公差为d,由已知得(3分)解得d=1或d=0(舍去),Ⅰa1=2. (5分)故a n=n+1. (6分)(Ⅰ)==-,(8分)ⅠT n=-+-+…+-=-=. (10分)ⅠT2 012=. (12分)4.)已知数列{a n}是等差数列,-=8n+4,设数列{|a n|}的前n项和为S n,数列的前n项和为T n.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求证:≤T n<1.[答案] (1)设等差数列{a n}的公差为d,则a n=a1+(n-1)d. (2分)Ⅰ-=8n+4,Ⅰ(a n+1+a n)(a n+1-a n)=d(2a1-d+2nd)=8n+4.当n=1时,d(2a1+d)=12;当n=2时,d(2a1+3d)=20.解方程组得或(4分)经检验知,a n=2n或a n=-2n都满足要求.Ⅰa n=2n或a n=-2n. (6分)(2)证明:由(1)知:a n=2n或a n=-2n.Ⅰ|a n|=2n.ⅠS n=n(n+1). (8分)Ⅰ==-.ⅠT n=1-+-+…+-=1-. (10分)Ⅰ≤T n<1. (12分)5.已知等差数列{a n}的公差为2,前n项和为S n,且S1,S2,S4成等比数列. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅰ)令b n=(-1)n-1,求数列{b n}的前n项和T n.[答案] 查看解析[解析] (Ⅰ)因为S1=a1,S2=2a1+×2=2a1+2,S4=4a1+×2=4a1+12,由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得a1=1,所以a n=2n-1.(Ⅰ)b n=(-1)n-1=(-1)n-1=(-1)n-1.当n为偶数时,T n=-+…+-=1-=.当n为奇数时,T n=-+…-+++=1+=.所以T n=6. 已知点的图象上一点，等比数列的首项为，且前项和(Ⅰ) 求数列和的通项公式；(Ⅰ) 若数列的前项和为，问的最小正整数是多少？[解析]解：(Ⅰ) 因为，所以，所以，，，又数列是等比数列，所以，所以，又公比，所以，因为，又，所以，所以，所以数列构成一个首项为1，公差为1的等差数列，，所以，当时，，所以. （6分）(Ⅰ) 由(Ⅰ) 得，（10分）由得，满足的最小正整数为72. （12分）7. 在数列，中，，，且成等差数列，成等比数列（）.（Ⅰ）求，，及，，，由此归纳出，的通项公式，并证明你的结论；（Ⅰ）证明：.[解析] （Ⅰ）由条件得，由此可得.猜测. （4分）用数学归纳法证明：①当时，由上可得结论成立.②假设当时，结论成立，即，那么当时，.所以当时，结论也成立.由①②，可知对一切正整数都成立. （7分）（Ⅰ）因为.当时，由（Ⅰ）知.所以.综上所述，原不等式成立. (12分）8.已知数列的前项和是，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅰ）设，，求使成立的最小的正整数的值．[解析] （1）当时，，由，……………………1分当时，Ⅰ是以为首项，为公比的等比数列．……………………4分故…………………6分（2）由（1）知，………………8分，故使成立的最小的正整数的值.………………12分9. 己知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设T n为数列的前n项和，若T n≤¨对恒成立，求实数的最小值．[解析] 122.（Ⅰ）设公差为d. 由已知得……………………………3分解得，所以………………………………6分（Ⅰ），………………………………9分对恒成立，即对恒成立又Ⅰ的最小值为……………………………………………………………12分10. 已知数列前项和为，首项为，且，，成等差数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（II）数列满足，求证：，[解析] （Ⅰ）成等差数列, Ⅰ，，当时，,两式相减得：.所以数列是首项为，公比为2的等比数列，.（6分）(Ⅰ) ，（8分），.（12分）11.等差数列{a n}各项均为正整数, a1=3, 前n项和为S n, 等比数列{b n}中, b1=1, 且b2S2=64, {}是公比为64的等比数列.(Ⅰ) 求a n与b n;(Ⅰ) 证明:++…+<.[答案] (Ⅰ) 设{a n}的公差为d, {b n}的公比为q, 则d为正整数,a n=3+(n-1) d,b n=q n-1.依题意有①由(6+d) q=64知q为正有理数, 又由q=知, d为6的因子1, 2, 3, 6之一, 解①得d=2, q=8. 故a n=3+2(n-1) =2n+1, b n=8n-1.(Ⅰ) 证明:S n=3+5+…+(2n+1) =n(n+2) ,所以++…+=+++…+==<.12. 等比数列{a n}的各项均为正数, 且2a1+3a2=1, =9a2a6.(Ⅰ) 求数列{a n}的通项公式;(Ⅰ) 设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n, 求数列的前n项和.[答案] (Ⅰ) 设数列{a n}的公比为q. 由=9a2a6得=9, 所以q2=.因为条件可知q>0, 故q=.由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1, 所以a1=.故数列{a n}的通项公式为a n=.(Ⅰ) b n=log3a1+log3a2+…+log3a n=-(1+2+…+n)=-,故=-=-2,++…+=-2++…+=-.所以数列的前n项和为-.13.等差数列{a n}的各项均为正数,a1=3,其前n项和为S n,{b n}为等比数列,b1=1,且b2S2=16,b3S3=60.(Ⅰ)求a n和b n;(Ⅰ)求++…+.[答案] (Ⅰ)设{a n}的公差为d,且d为正数,{b n}的公比为q,a n=3+(n-1)d,b n=q n-1,依题意有b2S2=q·(6+d)=16,b3S3=q2·(9+3d)=60,(2分)解得d=2,q=2.(4分)故a n=3+2(n-1)=2n+1,b n=2n-1.(6分)(Ⅰ)S n=3+5+…+(2n+1)=n(n+2),(8分)所以++…+=+++…+=(10分)==-.(12分)14.设数列{a n}的前n项和S n满足:S n=na n-2n(n-1). 等比数列{b n}的前n项和为T n,公比为a1,且T5=T3+2b5.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设数列的前n项和为M n,求证:≤M n<.[答案](1)ⅠT5=T3+2b5,Ⅰb4+b5=2b5,即(a1-1)b4=0,又b4≠0,Ⅰa1=1. n≥2时,a n=S n-S n-1=na n-(n-1)a n-1-4(n-1),即(n-1)a n-(n-1)a n-1=4(n-1).Ⅰn-1≥1,Ⅰa n-a n-1=4(n≥2),Ⅰ数列{a n}是以1为首项,4为公差的等差数列,Ⅰa n=4n-3. (6分)(2)证明:Ⅰ==·,(8分)ⅠM n=++…+==<,(10分)又易知M n单调递增,故M n≥M1=.综上所述,≤M n<. (12分)。
(完整版)裂项练习题答案
裂项基本训练裂项可以说是资优生考试的宠儿，几乎每年必考，即使在10年秋季没有在计算中直接考察，但是在最后一题中的计算过程也要明显采用裂项解决。
而资优生的裂项题目有其明显的不易发觉的表面特点，需要同学们大量的练习作为依托。
作为分数运算中少有的几种技巧之一，裂项相消的确有其非常重要的地位。
希望同学们能够引起足够重视。
【例1】计算： 11111661111165156++++⨯⨯⨯⨯ 【答案】：5611【例2】计算：22222211111121314151981991++++++------ 【答案】：1980014651【例3】计算： ．11111111(1288244880120168224288+++++++⨯=【答案】：9256【例4】1434629814219425432239848215356399143195255323399483+++++++++答案】：69680【例5】计算：2310011(12)(12)(123)(1299)(12100)----⨯++++++++++ 【答案】：50501【例6】计算： 23993!4!100!+++= 【答案】：112!100!-【例7】计算：11139921111111(1)(1)(1)(1)(1)2232399+++++++++ 【答案】：99100【例8】计算：________1223344556677889910⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=【答案】：330【例9】计算：12323434591011⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯= 【答案】：2970【例10】计算：________11!22!33!20082008!⨯+⨯+⨯++⨯= 【答案】：2009!1-【例11】计算： 35496377911053116122030425688⎡⎤⎛⎫-+-+--÷= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【答案】：10【例12】计算：57911131517191612203042567290-+-+-+-+【答案】：58【例13】计算：111111324352007200920082010+++++⨯⨯⨯⨯⨯ 【答案】：20094020【例14】计算： ．1111112612203042-----=【答案】：17【例15】计算：123456121231234123451234561234567+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【答案】：50395040【例16】计算：222222227191111991 (7191111991)++++++++----【答案】：4747300【例17】计算： 1111120102638272330314151119120123124+++++++++=【答案】：127。
奥数裂项法(含答案)
奥数裂项法同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。
（一）阅读思考例如1314112-=，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：111111 1111n nnn nnn n n nn n n n-+=++-+ =+-+=+()()()()即11111 n n n n-+=+()或11111 n n n n ()+=-+/下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。
【典型例题】例1. 计算：119851986119861987119871988119941995⨯+⨯+⨯++⨯……+⨯+⨯+1 199519961 1996199711997分析与解答：1 1985198611985119861 1986198711986119871 1987198811987119881 199419951199411995⨯=-⨯=-⨯=-⨯=-……1 1995199611995119961 199619971199611997⨯=-⨯=-上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了。
11985198611986198711987198811995199611996199711997⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+… (=-+-+-++-+-+=119851198611986119871198711988119951199611996119971199711985…… 像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。
例2. 计算：1111211231123100+++++++++++…… 公式的变式11221+++=⨯-…n n n ()当n 分别取1，2，3，……，100时，就有112121122231123234112342451121002100101=⨯+=⨯++=⨯+++=⨯+++=⨯ (111121123112100)212223234299100210010121121231341991001100101211212131314199110011001101211101++++++++++=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯-+-+-++-+-=⨯-……………()()()=⨯==2100101200101199101 "例3. 设符号（ ）、< >代表不同的自然数，问算式1611=+<>()中这两个符号所代表的数的数的积是多少 分析与解：减法是加法的逆运算，1611=+<>()就变成1611-=<>()，与前面提到的等式11111n n n n -+=+()相联系，便可找到一组解，即1617142=+ 另外一种方法设n x y 、、都是自然数，且x y ≠，当111n x y =+时，利用上面的变加为减的想法，得算式x n nx y-=1。
奥数专题——裂项法(一)(含答案)-
奥数专题一一裂项法(一)同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。
(一)阅读思考1 1 1例如，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积,3 4 12把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：1 1 n 1 n—— ------ = ---------- — ----------n n 1 n(n 1) n(n 1)_ n 1 - n _ 1n(n 1) n(n 1)1 n(n 1)十 1 1 1 % --------- =—— ---------n(n 1) n n 1F 面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。
【典型例题】1 1 11985 1986 -1985 19861 1 1 1986 1987 -1986 1987 1 1 1 1987 1988 -1987 1988例1.计算:+1995 1996分析与解答:+ -------- : ------- + --------- : ------ + 1985 19861986 1987 1987 1988 1 1+ ------- ------ +——1996 199719971994 199511994 1995 1 11994 19951995 1996 1995 19961 _ 1 11996 1997 - 1996 一 1997上面12个式子的右面相加时， 很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为 0,这一来问题解起来就十分方便了。
1 1 1 1 1… •—1985 19861986 1987 1987 19881995 19961996 19971+ ------1997 _ 1 1-19851986 11 _ ------ + -------1997 1997像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分 分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。
小学奥数：分数裂项.专项练习及答案解析[汇编]
![小学奥数：分数裂项.专项练习及答案解析[汇编]](https://img.taocdn.com/s3/m/bcfcdd9403d276a20029bd64783e0912a2167cb5.png)
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b形式的，这里我们把较小的数写在前面，即ab ，那么有1111()a bba a b(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1(1)(2)n n n，1(1)(2)(3)n n nn形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n nn n n n1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n nnnn n nn n n裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：知识点拨教学目标分数裂项计算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11aba b a ba ba bba（2）2222ababa b a b a b a bba裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
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—奥数裂项法同学们知道：在计算分数加减法时，两个分母不同的分数相加减，要先通分化成同分母分数后再计算。
（一）阅读思考例如1314112-=，这里分母3、4是相邻的两个自然数，公分母正好是它们的乘积，把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：111111 1111n nnn nnn n n nn n n n-+=++-+ =+-+=+()()()():即11111 n n n n-+=+()或11111 n n n n ()+=-+下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题。
【典型例题】例1. 计算：119851986119861987119871988119941995⨯+⨯+⨯++⨯……+⨯+⨯+1 199519961 1996199711997分析与解答："1 1985198611985119861 1986198711986119871 1987198811987119881 199419951199411995⨯=-⨯=-⨯=-⨯=-……1 1995199611995119961 199619971199611997⨯=-⨯=-上面12个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了。
11985198611986198711987198811995199611996199711997⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+… =-+-+-++-+-+=119851198611986119871198711988119951199611996119971199711985…… 像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法。
例2. 计算：1111211231123100+++++++++++…… :公式的变式11221+++=⨯-…n n n ()当n 分别取1，2，3，……，100时，就有112121122231123234112342451121002100101=⨯+=⨯++=⨯+++=⨯+++=⨯ (111121123112100)212223234299100210010121121231341991001100101211212131314199110011001101211101++++++++++=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯-+-+-++-+-=⨯-……………()()()=⨯==2100101200101199101例3. 设符号（ ）、< >代表不同的自然数，问算式1611=+<>()中这两个符号所代表的数的数的积是多少`分析与解：减法是加法的逆运算，1611=+<>()就变成1611-=<>()，与前面提到的等式11111n n n n -+=+()相联系，便可找到一组解，即1617142=+ 另外一种方法设n x y 、、都是自然数，且x y ≠，当111n x y =+时，利用上面的变加为减的想法，得算式x n nx y-=1。
这里1y是个单位分数，所以x n -一定大于零，假定x n t -=>0，则x n t =+，代入上式得t n n t y()+=1，即y n t n =+2。
又因为y 是自然数，所以t 一定能整除n 2，即t 是n 2的约数，有n 个t 就有n 个y ，这一来我们便得到一个比11111n n n n -+=+()更广泛的等式，即当x n t =+，y n t n =+2，t 是n 2的约数时，一定有111n x y=+，即 11n n t t n n t -+=+()上面指出当x n t =+，y n t n =+2，t 是n 2的约数时，一定有111n x y=+，这里n n ==6362,，36共有1，2，3，4，6，9，12，18，36九个约数。
当t =1时，x =7，y =42-当t =2时，x =8，y =24当t =3时，x =9，y =18 当t =4时，x =10，y =15当t =6时，x =12，y =10当t =9时，x =15，y =10当t =12时，x =18，y =9当t =18时，x =24，y =8当t =36时，x =42，y =7$故（ ）和< >所代表的两数和分别为49，32，27，25。
【模拟试题】（答题时间：20分钟）二.尝试体验：1. 计算：11212313419899199100⨯+⨯+⨯++⨯+⨯… 2. 计算：131611011512112813614515516617819111051120+++++++++++++ 3. 已知x y 、是互不相等的自然数，当11811=+x y 时，求x y +。
{【试题答案】1. 计算：11212313419899199100⨯+⨯+⨯++⨯+⨯… =-+-+-++-+-=-=1121213131419819919911001110099100… 2. 计算：131611011512112813614515516617819111051120+++++++++++++ =+++++++++++++=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯-=-=262122202302422562722902110213221562182221022402123134145156167178189191011011111121121311314114151151621211611878()() 3. 已知x y 、是互不相等的自然数，当11811=+x y时，求x y +。
x y +的值为：75，81，96，121，147，200，361。
；因为18的约数有1，2，3，6，9，18，共6个，所以有118111811136136=+⨯+=+() 118121812154127542781118131813172124722496=+⨯+=++==+⨯+=++=()()118161816112612121126147=+⨯+=++=()11819181911801202018020011811818118119134219342361=+⨯+=++==+⨯+=++=()() 1182318231451303045751182918291991222299121=+⨯+=++==+⨯+=++=()() 还有别的解法。
!裂项法（二）前一节我们已经讲过，利用等式11111n n n n -+=+()，采用“裂项法”能很快求出121611212019900+++++…这类问题的结果来，把这一等式略加推广便得到另一等式：11n n t t n n t -+=+()，现利用这一等式来解一些分数的计算问题。
【典型例题】例1. 113135157119931995119951997⨯+⨯+⨯++⨯+⨯… 分析与解：此题如按异分母加法法则来求和，计算量太大，下面用裂项法试一试。
下面我们用11n n t t n n t -+=+()，现在给n 、t 一些具体的值，看看有什么结果。
|当n t ==12,时，有2131113⨯=- 当n t ==32,时，有2351315⨯=- 当n t ==52,时，有2571517⨯=- ……当n t ==19932,时，有2199319951199311995⨯=- 当n t ==19952,时，有2199519971199511997⨯=- 上面这998个等式左边的分数，其分母分别与题目中各加数的分母一样，只是分子是2不是1，但是很容易将题目中各数的分子变为2，例如1131221313512235⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯,，……，这样采用裂项法也能较快求出结果来。
因为1131221313512235⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯,，……，11993199512219931995⨯=⨯⨯，11995199712219951997⨯=⨯⨯ !所以113135119931995119951997⨯+⨯++⨯+⨯… =⨯-+-++-+-=⨯-=⨯=121131315119931199511995119971211199712199619979981997()()…例2.1123123419899100⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯…… 因为112123311232123⨯-⨯=-⨯⨯=⨯⨯ 所以112312112123⨯⨯=⨯⨯-⨯() 同样可得123412123134⨯⨯=⨯⨯-⨯() 134512134145⨯⨯=⨯⨯-⨯() -一般地，因为11112n n n n ()()()+-++ =+-++=++n n n n n n n n 212212()()()()1121211112n n n n n n n ()()[()()()]++=⨯+-++ 这里n 是任意一个自然数。
利用这一等式，采用裂项法便能较快地求出例2的结果。
11231234198991001211212312313419899199100121121231231341989919910012112199100⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=⨯⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯=⨯⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯=⨯⨯-⨯………[()()()]()() =⨯-=⨯=124950199001249499900494919800@例3. 计算：121231234123451234200+++++++++++++++…… 分析与解：1232232225123422432361234522542471234112212122122112+=+⨯=⨯++=+⨯=⨯+++=+⨯=⨯++++=+-=-+-+=⨯-+()()()()()()()()()()()…n n n n n n n n n而11122112312n n n n n n n n --+=+---+=-+()()()()()()即112131112()()()n n n n -+=⨯--+ 连续使用上面两个等式，便可求出结果来。
12123123420012225236219920212233253363199202122312151316141715181711011991202++++++++=+⨯+⨯++⨯=+⨯⨯+⨯++⨯=+⨯-+-+-+-+-++-……………()() [=+⨯+++++-++++12231213141511991516171202[()()] (122312131415119915161200120112021223121314120012011202)12239920066201994041233100442013320214309332030100+⨯+++++-+++++=+⨯++---=+⨯++=+++=[()()]()()…… 【模拟试题】（答题时间：15分钟）二. 尝试体验1. 求和：13134134513456134520+++++++++++++++…… 2. 求和：1110314051887115491238111340+++++ 3. 求和：1123412345117181920⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯…【试题答案】1. 求和：13134134513456134520 +++++++++++++++……687836 8412252. 求和：1110314051887115491238111340 +++++363 203. 求和：1123412345117181920⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯…1139 20520。