小学奥数裂项公式汇总
1-2-3裂项与通项归纳
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
一、裂项综合 （1）、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+知识点拨教学目标1-2-3裂项与通项归纳（2）裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
万能裂项公式
万能裂项公式
含指数的裂项，是裂项当中最难的情形，今天介绍万能的裂项公式。
分母分作母，分子指固定。
什么叫分母分作母？顾名思义，原分母分下来作为新分母，
其中三项积时，前中与中后作分母，
什么叫分子指固定？
下面给出万能裂项公式：
最后记得要将差的形式通分，与原式比较，多退少补。
对于含指问题，指数统一到分子上，利用万能裂项公式，试着感受万能裂项的巧妙。
类型一：指数在分子
类型二：指数在分母
类型三：指数在分子与分母
训练题组：
有疑问的，可以在下面评论区提出来，请继续关注明天的内容。
数学歌
三角函数东升西落照苍穹,影短影长角不同。
昼夜循环潮起伏,冬春更替草枯荣。
立体几何锥顶柱身立海天,高低大小也浑然。
平行垂直皆风景,有角有棱足壮观。
解析几何代数几何熔一炉,乾坤变幻坐标书。
图形百态方程绘,曲线千姿运算求。
三等分角与数域扩张一角三分本等闲,尺规限制设难关。
几何顽石横千载,代数神威越九天。
步步登攀皆是二 ,层层寻觅杳无三。
小学奥数--计算模块分类总结汇总版(裂项、巧算、比大小等题型总结全)
目录目录 (1)一加减速算、巧算 (2)练习题 (3)答案 (4)二乘除法速算、巧算 (5)练习题 (7)答案 (7)三分数比较大小估算 (10)练习 (12)答案 (13)三裂项综合 (15)练习 (17)答案 (17)四繁分数计算、循环小数化分数 (20)练习 (22)答案 (23)五定义新运算 (26)练习 (27)答案 (28)一加减速算、巧算课程准备：1.接下来的课程不需要计算器，收起计算器。
2.准备一个本子，随时记录自己想到，学到的巧算方法3.每天做几道有关计算的题目，题目选择思考过程很简单，计算很麻烦的题，不断练习才能不断提高。
速算几个要点,1.找到最熟悉的速算数，哪怕只是接近：0，1,10,100， 1000······2.套用最基本的运算法则：交换律，结合律，分配律，提取公因数，平方差，完全平方公式······3.牢记特殊数的计算方法。
思考方向：1.找到可以快速运算的数，或者可以通过一定可以快速运算的数；2.运用运算法则化繁为简，牢记经常用的规律性运算；3.如果发现题目计算起来非常的麻烦，请重复第一二条，直到可以快速计算为止。
一、加减法中的速算与巧算：⑴凑整法：凑整法就是将算式中的数分成若干组，使每组的运算结果都是整十、整百、整千……的数再将各组的结果相加．①移位凑整法．②借数凑整法．③分组凑整法．⑵找“基准数”法：当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注意把多加的数减去，把少加的数加上）二、基本运算律及公式：一、加法：加法交换律： a＋b＝b＋a加法结合律： a＋b＋c＝（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）二、减法在连减或者加减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时要带数字前面的运算符号“搬家”．例如：a－b－c＝a－c－b，a－b＋c＝a＋c－b，其中a，b，c各表示一个数．如：a＋（b－c）＝a＋b－c a－（b＋c）＝a－b－ca－（b－c）＝a－b＋c在加、减法混合运算中，添括号时：如：a＋b－c＝a＋（b－c）a－b＋c＝a－（b－c） a－b－c＝a－（b＋c）1、（1350＋249＋468）＋（251＋332＋1650）=（1350+1650）+（249+251）+（468+332）=3000+500+800=43002、98-96-97-105+102+101=102-97+101-96+98-105=10+98-105=33、276+285+291+280+277=300-24+300-15+300-9+300-20+300-23=300x5-（24+15+9+20+23）=1500-91=14094、计算：11+192+1993+19994+199995所得和数的数字之和是多少？11+192+1993+19994+199995=20-9+200-8+2000-7+20000-6+200000-5=222220-35=222185；2+2+2+1+8+5=20．练习题一、28+208+2008+20008二、24+63+52+17+49+81+74+38+95三、（1+2+3+4+···+99+100）-（2+4+6+8+···+96+98）四、从1999这个数里减去253以后，再加上244；然后再减去253，再加上244，······，这样一直算下去，当减去第次时，得数恰好第一次等于0.答案一、28+208+2008+20008=20+200+2000+20000+4x8=22220+32=22252二、24+63+52+17+49+81+74+38+95=(63+17)+(52+38)+(49+81)+24+95+74=493三、（1+2+3+4+···+99+100）-（2+4+6+8+···+96+98）=1+3+5+7+9…+99+100=(1+99)x25+100=2600四、从1999这个数里减去253以后，再加上244；然后再减去253，再加上244，······，这样一直算下去，当减去第 195 次时，得数恰好第一次等于0.二乘除法速算、巧算一、乘法凑整法：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使得运算简便；记一些比较特殊的数。
裂项和数列
六年级奥数计算知识点：裂项法题目特点：项项相消、首尾相连（一）、“裂差”型运算裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
小学阶段学习奥数应该掌握哪些知识点呢？下面是小学奥数必须掌握的30个知识点之一的“数列求和”。
12．数列求和等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。
基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示；项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示．基本思路：等差数列中涉及五个量：a1，an，d，n，sn，，通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。
基本公式：通项公式：an=a1+（n－1）d；通项＝首项＋（项数一1)×公差；数列和公式：sn，=(a1+an)×n÷2；数列和＝（首项＋末项）×项数÷2；项数公式：n=(an+a1)÷d＋1；项数=（末项-首项）÷公差＋1；公差公式：d=（an－a1））÷（n－1）；公差=（末项－首项）÷（项数－1）；关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；。
小学六年级奥数裂项求和
小学六年级奥数裂项求和裂项求和 11111122334989999100+++++ 分析：这是我们裂项求和的基本型。
它具备三个特点（1）分子都是1，(2)分母都是相邻两数相乘，（3）相邻两项的分母的首尾因数必须相同。
1111212=-? 1112323=-? 解：原式=111111111122334989999100-+-+-++-+- =11100- =99100例2. 22222122334989999100+++++ 分析：这和我们的基本型有什么不同？分子不是1是2，我们把这种题型叫做分子变化型，解题思路就是分子是几就提出几。
解：原式=1111111112122334989999100?-+-+-++-+- =121100-=9950 例3. 11112446684850++++ 分析：这和我们基本型有什么不同？分母的因数不是相邻两数相乘，它们的差是2，其他都符合，解题思路是分子相差几就提出几分之1。
这种叫做分母变化型。
111124224??=?- 111146246??=?-解：原式=11111111122446684850-+-+-++-=1112250- =625例4．33335579799+++分析：这种题型叫做分子分母变化型，解题思路分子是几，分母相差几，就提出几分之几。
解：原式=3111111235579799-+-++- =3112399- =1633例5. 11111315356399++++ 分析：认真观察分母，看它和基本型有什么关联。
解：原式=1111113355779911++++ =1111111111123355779911-+-+-+-+-=111211- =511例6. 179111315131220304256-+-+- 分析：观察分子和分母的联系，这里要注意括号外是“—”号，括号内的每一项都要变号。
解：原式=11111111111133445566778+-++--+++-- ? ? ? ? ???????????=118-=78第一讲分数巧算求和（一）1.50491321211?++?+?2.199319921993321993211993?++?+?3.99971751531?++?+? 4.1029711271721?++?+?5.1009751075745?+?+?6.1321421301201++++7.301120912765211-+-+8.561542133011209411+-+-。
小学数学知识点《分数裂项》教师版
本讲知识点属于计算大板块内容,其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程,可以分为观察、改造、运用公式等过程.很多时候裂项的方式不易找到,需要进行适当的变形,或者先进行一部分运算,使其变得更加简单明了.本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分,列项与通项归纳是密不可分的,所以先找通项是裂项的前提,是能力的体现,对学生要求较高.分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分,使拆分后的项可前后抵消,这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项,常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差.遇到裂项的计算题时,要仔细的观察每项的分子和分母,找出每项分子分母之间具有的相同的关系,找出共有部分,裂项的题目无需复杂的计算,一般都是中间部分消去的过程,这样的话,找到相邻两项的相似部分,让它们消去才是最根本的.(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即1a b⨯形式的,这里我们把较小的数写在前面,即a b <,那么有1111(a b b a a b=-⨯-(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数,即:1(1)(2)n n n ⨯+⨯+,1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的,我们有:1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++知识点拨教学目标分数裂项计算1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+裂差型裂项的三大关键特征:（1）分子全部相同,最简单形式为都是1的,复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的,但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算.（2）分母上均为几个自然数的乘积形式,并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值.二、“裂和”型运算:常见的裂和型运算主要有以下两种形式:（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯裂和型运算与裂差型运算的对比:裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的.【例 1】111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯ .【考点】分数裂项 【难度】2星【题型】计算【关键词】美国长岛,小学数学竞赛【解析】原式111111115122356166⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 提醒学生注意要乘以(分母差)分之一,如改为:111113355779+++⨯⨯⨯⨯,计算过程就要变为:111111113355779192⎛⎫+++=-⨯ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭．【答案】56【巩固】111 (101111125960)+++⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】2星【题型】计算【解析】原式111111111((......()101111125960106012=-+-++-=-=例题精讲【答案】112【巩固】2222109985443++++=⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】2星【题型】计算【解析】原式111111112910894534⎛⎫=⨯-+-++-+- ⎪⎝⎭ 112310⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭715=【答案】715【例 2】111111212312100++++++++++ 【考点】分数裂项 【难度】3星【题型】计算【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题.此类问题需要从最简单的项开始入手,通过公式的运算寻找规律.从第一项开始,对分母进行等差数列求和运算公式的代入有112(11)11122==+⨯⨯,112(12)212232==+⨯+⨯,……, 原式22221200992(1)1122334100101101101101=++++=⨯-==⨯⨯⨯⨯ 【答案】991101【例 3】1111133********++++=⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算【解析】111111111150(113355799101233599101101++++=⨯-+-++-=⨯⨯⨯⨯ …）【答案】50101【巩固】计算:1111251335572325⎛⎫⨯++++= ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 【考点】分数裂项 【难度】2星【题型】计算【关键词】迎春杯,初赛,六年级【解析】原式11111125123352325⎛⎫=⨯⨯-+-++- ⎪⎝⎭ 11251225⎛⎫=⨯⨯- ⎪⎝⎭2524225=⨯12=【答案】12【巩固】2512512512512514881212162000200420042008+++++⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算【关键词】台湾,小学数学竞赛,初赛【解析】原式2511111116122334500501501502⎛⎫=⨯+++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 251111111111622334501502⎛⎫=⨯-+-+-++- ⎪⎝⎭25150150121151********=⨯==【答案】211532【巩固】计算:3245671255771111161622222929++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】原式1111111111111255771111161622222929=-+-+-+-+-+-+12=【答案】12【例 4】计算:11111111()1288244880120168224288+++++++⨯=【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算【关键词】101中学【解析】原式11111282446681618=++++⨯⨯⨯⨯⨯ （） 1111111128224461618=⨯-+-++-⨯ （） 1164218=-⨯（） 4289=【答案】4289【巩固】11111111612203042567290+++++++=_______【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算【关键词】走美杯,初赛,六年级【解析】根据裂项性质进行拆分为:11111111612203042567290+++++++1111111123344556677889910112==2105=+++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-【答案】25【巩固】11111113610152128++++++= 【考点】分数裂项 【难度】6星【题型】计算【关键词】走美杯,6年级,决赛【解析】原式111111212312341234567=+++++++++++++++++2221233478=++++⨯⨯⨯111111122233478⎛⎫=+-+-++- ⎪⎝⎭ 1218⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭74=【答案】74【巩固】计算:1111111112612203042567290--------＝ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【关键词】走美杯,6年级,决赛【解析】原式111111111()223344556677889910=-+++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯1111111(22334910=--+-++- 111(2210=--110=【答案】110【巩固】11111104088154238++++=.【考点】分数裂项 【难度】3星【题型】计算【解析】原式11111255881111141417=++++⨯⨯⨯⨯⨯111111111113255881111141417⎛⎫=⨯-+-+-+-+- ⎪⎝⎭1115321734⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭【答案】534【例 5】计算:1111135357579200120032005++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【关键词】华杯赛,总决赛,二试【解析】原式11111114133535572001200320032005⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11110040034132003200512048045⎛⎫=⨯-=⎪⨯⨯⎝⎭【答案】100400312048045【例 6】7 4.50.161111181315356313 3.75 3.23⨯+⎛⎫⨯+++= ⎪⎝⎭-⨯【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【关键词】仁华学校【解析】原式79161111118290113355779133 1.2540.83-⨯+⎛⎫=⨯+++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭-⨯⨯⨯71111111461123357913123+⎛⎫=⨯⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭-4631824429=⨯⨯⨯23=36【答案】2336【例 7】计算:11111123420261220420+++++ 【考点】分数裂项 【难度】3星【题型】计算【关键词】小数报,初赛【解析】原式()1111112320261220420⎛⎫=++++++++++ ⎪⎝⎭ 11111210122334452021=++++++⨯⨯⨯⨯⨯ 11111112101223342021=+-+-+-++-12021012102121=+-=【答案】2021021【巩固】计算:11111200820092010201120121854108180270++++= .【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算【关键词】学而思杯,6年级,1试【解析】原式1111120082009201020112012366991212151518=+++++++++⨯⨯⨯⨯⨯1111111201059122356⎛⎫=⨯+⨯-+-++- ⎪⎝⎭ 51005054=【答案】51005054【巩固】计算:1122426153577++++= ____.【考点】分数裂项 【难度】2星【题型】计算【答案】1011【巩固】计算:1111111315356399143195++++++【考点】分数裂项 【难度】3星【题型】计算【解析】分析这个算式各项的分母,可以发现它们可以表示为:232113=-=⨯,2154135=-=⨯,……,21951411315=-=⨯,所以原式11111111335577991111131315=++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯11111111121323521315⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1112115⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭715=【答案】715【巩固】计算:15111929970198992612203097029900+++++++= ． 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【关键词】四中【解析】原式1111111126129900⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11199122399100⎛⎫=-+++ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭ 1111199122399100⎛⎫=--+-++- ⎪⎝⎭ 1991100⎛⎫=-- ⎪⎝⎭198100=【答案】198100【例 8】111123234789+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星【题型】计算【解析】首先分析出()()()()()()()()11111111211211n n n n n n n n n n n n ⎡⎤+--==-⎢⎥-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯+⎢⎥⎣⎦原式11111111121223233467787889⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112128935144⎛⎫=⨯- ⎪⨯⨯⎝⎭=【答案】35144【巩固】计算:1111232349899100+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星【题型】计算【解析】原式11111111()21223233434989999100=⨯-+-++⋅⋅⋅+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯111149494949(212991002990019800=⨯-=⨯=⨯⨯【答案】494919800【巩固】计算:1111135246357202224++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】原式＝1135⨯⨯＋1357⨯⨯＋…+1192123⨯⨯+1246⨯⨯+…+1202224⨯⨯＝14(113⨯－12123⨯)＋14(124⨯－12224⨯)＝40483＋652112＝28160340032＋10465340032＝38625340032【答案】38625340032【巩固】4444 (135357939597959799)++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】11111111((......()(133535579395959795979799=-+-++-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯11139799=-⨯⨯32009603=【答案】32009603【巩固】999897112323434599100101++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】99123⨯⨯＝1001123-⨯⨯＝100123⨯⨯－123⨯＝100123⨯⨯－123⨯ 98234⨯⨯＝1002234-⨯⨯＝100234⨯⨯－2234⨯⨯＝100234⨯⨯－134⨯ 97345⨯⨯＝1003345-⨯⨯＝100345⨯⨯－3345⨯⨯＝100345⨯⨯－145⨯……199100101⨯⨯＝1009999100101-⨯⨯＝10099100101⨯⨯－9999100101⨯⨯＝10099100101⨯⨯－1100101⨯原式100100100100111...( (123234345991001012334100101)=++++-+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯1111151100()(2422101002101101=⨯⨯---=【答案】5124101【例 9】11111123423453456678978910+++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】原式111111131232342343457898910⎛⎫=⨯-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 11131238910⎛⎫=⨯- ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭1192160=【答案】1192160【巩固】333 (1234234517181920)+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】原式11111113[(...)]3123234234345171819181920=⨯⨯-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯1131920111391231819201819206840⨯⨯-=-==⨯⨯⨯⨯⨯⨯【答案】11396840【例 10】计算:57191232348910+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯． 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】如果式子中每一项的分子都相同,那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同,而是成等差数列,且等差数列的公差为2．相比较于2,4,6,……这一公差为2的等差数列(该数列的第n 个数恰好为n 的2倍),原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3,所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．原式32343161232348910+++=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1111283212323489101232348910⎛⎫⎛⎫=⨯++++⨯+++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 111111111132212232334899102334910⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+-++-+⨯+++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭31111111122129102334910⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+-++- ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 3111122290210⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7114605=-- 2315=也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质,可知分子的通项公式为23n +,所以()()()()()()2323121212n n n n n n n n n +=+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+,再将每一项的()()212n n +⨯+与()()312n n n ⨯+⨯+分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．【答案】2315【巩固】计算:5717191155234345891091011⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ （）【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【关键词】迎春杯,初赛,五年级【解析】本题的重点在于计算括号内的算式:571719234345891091011++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ．这个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列,而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形,使之转化成我们熟悉的形式．观察可知523=+,734=+,……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和,所以571719234345891091011++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 233491023434591011+++=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111342445*********=++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111344510112435911⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 11111111111111111344510112243546810911⎛⎫⎛⎫=-+-++-+⨯-+-+-++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11111113112210311⎛⎫⎛⎫=-+⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8128332533⎛⎫=+⨯+ ⎪⎝⎭3155=所以原式31115565155=⨯=．（法二）上面的方法是最直观的转化方法,但不是唯一的转化方法．由于分子成等差数列,而等差数列的通项公式为a nd +,其中d 为公差．如果能把分子变成这样的形式,再将a 与nd 分开,每一项都变成两个分数,接下来就可以裂项了．571719234345891091011++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 122132182192234345891091011+⨯+⨯+⨯+⨯=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 122132182192234234345345891089109101191011⨯⨯⨯⨯=++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1111222223434589109101134459101011⎛⎫⎛⎫=+++++++++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭11111111111112223343445910101134451011⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-+⨯-+-++- ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 1111122231011311⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯- ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭11223413112220311422055=-+-=-=,所以原式31115565155=⨯=．（法三）本题不对分子进行转化也是可以进行计算的:571719234345891091011++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 51171117111911223342344528991029101011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 5175197119171191223223422452291021011⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+-⨯+-⨯++-⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 51111191223344591021011=⨯++++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 51119311231022055=+--=所以原式31115565155=⨯=．（法四）对于这类变化较多的式子,最基本的方法就是通项归纳．先找每一项的通项公式:21(1)(2)n n a n n n +=++（2n =,3, (9)如果将分子21n +分成2n 和1,就是上面的法二;如果将分子分成n 和1n +,就是上面的法一．【答案】651【巩固】计算:3451212452356346710111314++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数,就会是5个连续自然数的乘积,所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即:原式2222345121234523456345671011121314=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 现在进行裂项的话无法全部相消,需要对分子进行分拆,考虑到每一项中分子、分母的对称性,可以用平方差公式:23154=⨯+,24264=⨯+,25374=⨯+……原式2222345121234523456345671011121314=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 154264374101441234523456345671011121314⨯+⨯+⨯+⨯+=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111123434545611121344441234523456345671011121314⎛⎫=++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎛⎫+++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭11111112233434451112121311111112342345234534561011121311121314⎛⎫=⨯-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎛⎫+-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 111112231213123411121314⎛⎫⎛⎫=⨯-+- ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭111112212132411121314=-+-⨯⨯⨯⨯⨯1771811121314+=-⨯⨯⨯11821114=-⨯⨯11758308616=-=【答案】75616【例 11】12349223234234523410+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算【解析】原式12349223234234523410=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 21314110122323423410----=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111112223232342349234910=-+-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1362879912349103628800=-=⨯⨯⨯⨯ 【答案】36287993628800【例 12】123456121231234123451234561234567+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算【解析】原式131********121231234123451234561234567-----=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯111111121212312312341234567=+-+-+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11112121234567=+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯115040=-50395040=【答案】50395040【巩固】计算:23993!4!100!+++= . 【考点】分数裂项 【难度】4星【题型】计算【解析】原式为阶乘的形式,较难进行分析,但是如果将其写成连乘积的形式,题目就豁然开朗了．原式23991231234123100=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 314110011231234123100---=+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11111112123123123412399123100=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1112123100=-⨯⨯⨯⨯⨯ 112100!=-【答案】112100!-【例 13】234501(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(1250)++++⨯++⨯++++⨯+++++++⨯+++ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】原式＝213⨯＋336⨯＋4610⨯＋51015⨯＋…＋5012251275⨯＝（11-13）＋（13-16）＋（16-110）＋（11225-11275）＝12741275【答案】12741275【巩固】2341001(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100)++++⨯++⨯++++⨯++++++⨯+++ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】2111(12)112=-⨯++,311(12)(123)12123=-+⨯+++++,……,10011(1299)(12100)129912100=-+++⨯+++++++++ ,所以原式1112100=-+++ 15049150505050=-=【答案】50495050【巩固】23101112(12)(123)(1239)(12310)----⨯++⨯++++++⨯++++ （）【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算【解析】原式234101(133********=-++++⨯⨯⨯⨯ 1111111113366104555⎛⎫=--+-+-++- ⎪⎝⎭ 11155⎛⎫=-- ⎪⎝⎭155=【答案】155【例 14】22222211111131517191111131+++++=------. 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【关键词】仁华学校【解析】这题是利用平方差公式进行裂项:22()()a b a b a b -=-⨯+,原式111111(((()(()24466881010121214=+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯1111111111111(244668810101212142=-+-+-+-+-+-⨯1113()214214=-⨯=【答案】314【巩固】计算:222222111111(1)(1)(1)(1)(1)(123454849-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-= 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】2111131(1(1)22222-=-⨯+=⨯,2111241(1)(133333-=-⨯+=⨯,……所以,原式1324485022334949=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1502524949=⨯=【答案】2549【巩固】计算:222222223571512233478++++⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星【题型】计算【解析】原式22222222222222222132438712233478----=++++⨯⨯⨯⨯ 2222222111111112233478=-+-+-++- 2118=-6364=【答案】6364【巩固】计算:222222222231517119931199513151711993119951++++++++++=----- ．【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】原式2222222222111113151711993119951⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222997244619941996⎛⎫=++++ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭ 111111997244619941996⎛⎫=+-+-++- ⎪⎝⎭ 1199721996⎛⎫=+- ⎪⎝⎭9979971996=【答案】9979971996【巩固】计算:22222222222213243598100213141991++++++++=---- ． 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】2221310213+=-,2222420318+=-,22235344115+=-,……由于104233=,204288=,34421515=,可见原式222244442222213141991=++++----1111298413243598100⎛⎫=⨯+⨯++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 111111111964123243598100⎛⎫=+⨯⨯-+-+-++- ⎪⎝⎭11119621299100⎛⎫=+⨯+-- ⎪⎝⎭199196329900=+-⨯47511984950=【答案】47511984950【巩固】计算:22221235013355799101++++=⨯⨯⨯⨯ ． 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大,但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为221-,241-,261-,……,21001-,可以发现如果分母都加上1,那么恰好都是分子的4倍,所以可以先将原式乘以4后进行计算,得出结果后除以4就得到原式的值了．原式22222222124610042141611001⎛⎫=⨯++++ ⎪----⎝⎭ 222211111111142141611001⎛⎫=⨯++++++++ ⎪----⎝⎭ 1111150413355799101⎛⎫=⨯+++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭111111111501423355799101⎡⎤⎛⎫=⨯+⨯-+-+-++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 11150142101⎡⎤⎛⎫=⨯+⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦150504101=⨯6312101=【答案】6312101【例 15】5667788991056677889910+++++-+-+⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】3星【题型】计算【解析】56677889910111111113(...(56677889910566791051010+++++-+-+=+-++++=+=⨯⨯⨯⨯⨯【答案】310【巩固】 36579111357612203042++++++【考点】分数裂项 【难度】3星【题型】计算【关键词】第三届,祖冲之杯,人大附中【解析】原式=36233445566736111111 (57233445566757233467)+++++++++++=++++++++⨯⨯⨯⨯⨯=4【答案】4【巩固】计算:1325791011193457820212435++++++++=【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】原式13257111111213457845373857=++++++++++++111115=++++=【答案】5【巩固】123791117253571220283042+++++++【考点】分数裂项 【难度】3星【题型】计算【解析】原式12311111121133573445475667=++++++++++++11112123131113366555777444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭334=【答案】334【巩固】1111120102638272330314151119120123124+++++++++【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】原式11111111111111123303141317717430341431⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111112337434=++++++127=【答案】127【巩固】35496377911053116122030425688⎡⎤⎛⎫-+-+--÷⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】原式5791113153718612203042568⎡⎤⎛⎫=-+-+-⨯-⨯ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦11111111782334788⎡⎤⎛⎫=+--+--⨯-⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 1111788288⎛⎫=-⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭211110=-=【答案】10【巩固】计算:57911131517191612203042567290-+-+-+-+【考点】分数裂项 【难度】3星【题型】计算【解析】原式23344556677889910123344556677889910++++++++=-+-+-+-+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯11111111111111111(()(()()(()(23344556677889910=-+++-+++-+++-+++11312105=-+=【答案】35【巩固】11798175451220153012++++++【考点】分数裂项 【难度】3星【题型】计算【解析】原式111111112111453445355646=+++++++++++ 111124523456=⨯+⨯+⨯+⨯3=【答案】3【例 16】22222222122318191920122318191920++++++⋯⋯++⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】原式1232341918192021919 (21736)2123431819201912020=++++++++++=+⨯+=【答案】193620【巩固】11112007111(......(......)120072200620062200712008120062200520061++++-+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算 【解析】原式=2008111200711(...(...200812007220062007120081200620061⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯=2008111200711(...(...200812007220062007120081200620061⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯=1200820082008120072007(...(...)200812007220062007120081200620061⨯+++-++⨯⨯⨯⨯⨯=11111111111[(...)(...)]20081200722006200711200620061⨯++++++-++++=11111111111[(...)(...)]20081200722006200711200620061⨯++++++-++++=1111(2008200720072015028⨯+=【答案】12015028【例 17】计算:11111123459899515299+++++++=⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】5星 【题型】计算【解析】原式11111111124983599515299⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 111111111224503549525498⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】 11111111124503549262749⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 111111111122424352526284850⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 11111111112424352513142450⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 111111111112241235111416245025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++⨯++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 111111111112412351178125025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【解析】 1111111111224635810125025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++⨯+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】 1111111111246354565025⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【解析】 11491502550=+-=【答案】4950【例 18】计算:24612335357357911++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【考点】分数裂项 【难度】4星 【题型】计算【解析】原式31517113133535735791113----=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 111111133535791133535791113⎛⎫⎛⎫=+++-+++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭ 【解析】 1135791113=-⨯⨯⨯⨯⨯【解析】 135134135135=【答案】135134135135【例 19】计算:28341112222221335571719135357171921⎛⎫++++-+++= ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 【考点】分数裂项【难度】5星【题型】计算【解析】3411992222244221353571719211335355717191921+++=-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】892242213355717191921=++++-⨯⨯⨯⨯⨯【解析】所以原式889122224221335171913355717191921⎛⎫=+++-++++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭ 【解析】 921512133379192113399399-=-==⨯⨯【答案】379399。
小学六年级奥数~分数裂差
⼩学六年级奥数~分数裂差
对于运⽤定律和性质以及数的特点进⾏巧算和简算，其实⼤家并不陌⽣。
今天我们主要是来学习另⼀种巧算，运⽤拆分法进⾏分数的简便运算。
运⽤拆分法解题主要是拆开后的⼀些分数相抵消，达到简化运算的⽬的。
裂项
裂项——实质上是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去⼀些项，最终达到求和的⽬的。
裂差
裂差——就是把⼀个分数写成两个单位之差的形式。
分数裂差的两种形式
①当分⼦为1时；如：
②分数不⼀定是1哦！只要能写成差的形式，都可以进⾏裂差。
如：
我们来总结⼀下，可以进⾏裂差的分数特点：
①分母可以写成两个数的乘积②分⼦恰好是这两个数的差
裂差的标准模式：
需要变形的分数裂差
如果原题没有给你差的裂项符合模式，可以通过构造标准模式得到两个分数差的形式，例如：①有积的形式，但是没有差的形式：
②通过拆数，来得到裂差模式：
⽜⼑⼩试。
分数求和技巧裂项法奥数专题课件数学六年级上册全国通用
练习题1
计算： 1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 64 128
练习题2
计算： 1 1 1 1 1 1
2 4 8 16
1024
练习题3
计算： 1- 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 2 4 8 16 32 64
1- 1 - 1 - 1 - 1 -- 1
例三 计算：1 1 1 1 1 1
2 4 8 16 32 64 志坚者，功名之柱也。登山不以艰险而止，则必臻乎峻岭。
贫困能造就男子气概。
穷人的孩子早当家。
1 1 1 1 1 1 1 1 原式 = 立志是事业的大门，工作是登门入室的旅程。
石看纹理山看脉，人看志气树看材。
2 4 8 16 32 64 64 64 虽长不满七尺，而心雄万丈。
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1 1
11
10 11
练习题1
计算： 1 1 1 1 1 1 34 45 56 67 78 89
1 1 1 9900 99 100
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
裂项法： 当分子是1，分母是两个连续自然数的乘积时，
可以裂成两个以连续自然数为分母的分数之差。
例一
计算：1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 6 12 20 30 42 56 72 90 110
裂项法
原式 =
分母是126， 分子是1~125， 共有125个真分数。
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小学奥数裂项公式汇总文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
裂项运算常用公式
一、分数“裂差”型运算
(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
b
a ⨯1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜
b ，那么有:
(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：
二、分数“裂和”型运算
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1）
a
b b a b b a a b a b a 11+=⨯+⨯=⨯+
（2）a
b b a b a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾” 分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
裂和：抵消，或 凑整
三、整数裂项基本公式 (1))1()1(3
1)1(......433221+-=⨯-++⨯+⨯+⨯n n n n n (2) )1()1)(2(4
1)1()2(......543432321+--=⨯-⨯-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n n (3) )1()1(3
1)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n (4) )2)(1()1(4
1)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n (5) !)!1(!n n n n -+=⨯
裂项求和部分基本公式
1.求和： 1
)1(1......541431321211+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：1
111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n 2.求和：1
2)12)(12(1971751531311+=+-++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n
证：
1
2)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n 3.求和：13)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯=
n n n n S n 证：)1
31231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 4.求和：)2111211(31)2(1641531421311+-+-+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=
n n n n S n 证：)1111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-+-+-=
n n S n 5.求和：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=
)2)(1(12121)2)(1(1543143213211n n n n n S n 证：因为])
2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n ， 特殊数列求和公式
平方差公式 ))((22b a b a b a -+=-
完全平方和（/差）公式 2222)(b ab a b a +±=±。